Sistemi di numerazione e rappresentazione dei numeri negli elaboratori

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1 Sistemi di numerazione e rappresentazione dei numeri negli elaboratori 1 SistemiNumerazione.tex: Versione 1.0, aa

2 Proprietà fondamentali I sistemi di numerazione di nostro interesse sono caratterizzati da: presenza dello 0; notazione posizionale: ogni cifra ha un peso che è dato dalla sua posizione all interno del numero; presenza di 4 operazioni: addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. 2 SistemiNumerazione.tex: Versione 1.0, aa

3 Definizioni (1) Cifra: simbolo dell alfabeto con cui sono rappresentati i numeri fino al decimo simbolo si usano 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, dopo il decimo simbolo si usano le lettere (maiuscole) dell alfabeto inglese. Base: cardinalità dell alfabeto dei simboli usato per rappresentare un numero. Numero: sequenza ordinata di cifre può essere preceduto dal segno + o, può contenere un solo simbolo,. 3 SistemiNumerazione.tex: Versione 1.0, aa

4 Definizioni (2) Notazione posizionale: dato un numero N = c t c t 1... c 1 c 0, c 1 c 2... c z in base b, composto da un numero finito di cifre c i, il numero può essere scritto in maniera equivalente come: N = c t b t c 1 b 1 + c 0 b 0 + c 1 b c z b z Notazione: per chiarezza si indicherà con n b che il numero n è rappresentato in base b (con b in base 10 se non altrimenti specificato). 4 SistemiNumerazione.tex: Versione 1.0, aa

5 Un modo per rappresentare le cifre (1) Le cifre possono essere viste come disposte su di una circonferenza. Tenendo conto di questo modo di rappresentare le cifre si possono enunciare degli algoritmi per le usuali operazioni aritmetiche. Questi algoritmi operano su numeri x e y nella stessa base e con lo stesso numero di cifre La circonferenza per la base 10 5 SistemiNumerazione.tex: Versione 1.0, aa

6 Somma in base qualsiasi La somma z z n+1 z n... z 1 z 0 di due numeri x x n... x 1 x 0 e y y n... y 1 y 0 in base b si ottiene nel seguente modo: z 0 : partendo dalla cifra x 0 si percorre la circonferenza in base b in senso orario toccando y 0 cifre. La cifra così raggiunta è il valore di z 0. Il riporto r 0 = 1 se durante l avanzamento di y 0 cifre si tocca la cifra 0, altrimenti r 0 = 0. z i : partendo dalla cifra x i si percorre la circonferenza in base b in senso orario toccando y i cifre. Dalla cifra così selezionata si percorre la circonferenza in base b in senso orario toccando r i 1 (il riporto precedente) cifre. La cifra così ottenuta è il valore di z i. Il riporto r i = 1 se durante l avanzamento di y i + r i 1 cifre si tocca la cifra 0, altrimenti r i = 0. z n+1 = r n. 6 SistemiNumerazione.tex: Versione 1.0, aa

7 Esempio = arrivo 3 +2 parto 1 3 arrivo 1 parto 2 2 riporto= = 0 riporto= = 1 riporto=1 7 SistemiNumerazione.tex: Versione 1.0, aa

8 Differenza in base qualsiasi La differenza z z n... z 1 z 0 di due numeri x x n... x 1 x 0 e y y n... y 1 y 0 in base b (x y) si ottiene nel seguente modo: z 0 : partendo dalla cifra x 0 si percorre la circonferenza in base b in senso anti-orario toccando y 0 cifre. La cifra così raggiunta è il valore di z 0. Il prestito r 0 = 1 se durante l avanzamento di y 0 cifre si attraversa la cifra 0, altrimenti r 0 = 0. z i : partendo dalla cifra x i si percorre la circonferenza in base b in senso anti-orario toccando y i cifre. Dalla cifra così selezionata si percorre la circonferenza in base b in senso anti-orario toccando r i 1 (il prestiro precedente) cifre. La cifra così ottenuta è il valore di z i. Il riporto r i = 1 se durante l avanzamento di y i + r i 1 cifre si attraversa la cifra 0, altrimenti r i = 0. 8 SistemiNumerazione.tex: Versione 1.0, aa

9 Esempio = arrivo arrivo parto 2 parto = = 7 prestito = 1 9 SistemiNumerazione.tex: Versione 1.0, aa

10 Prodotto in base qualsiasi Si può applicare la definizione che vede il prodotto x y come: y x i=1 In alternativa, si può costruire la tavola pitagorica con le cifre della base e quindi procedere come in base SistemiNumerazione.tex: Versione 1.0, aa

11 Esempio = = SistemiNumerazione.tex: Versione 1.0, aa

12 Divisione in base qualsiasi Si procede utilizzando la tabella del prodotto secondo le regole usate per la base 10. Anche nelle basi diverse da 10 esistono i numeri periodici. 12 SistemiNumerazione.tex: Versione 1.0, aa

13 Esempio (1) : 2 4 = : 2 = SistemiNumerazione.tex: Versione 1.0, aa

14 Esempio (2) : 2 4 = 30 4 con resto di 1 oppure 30, : 2 = : 2 = 30, SistemiNumerazione.tex: Versione 1.0, aa

15 Esempio (3) : 3 4 = 12 4 con resto di 2 oppure 12, : 3 = : 3 = 12, SistemiNumerazione.tex: Versione 1.0, aa

16 Conversioni di base Conversioni da una base q 10 alla base 10. Conversioni dalla base 10 ad una base q 10. Conversioni da una base q 10 ad una base h 10. Conversioni da una base q ad una base h = q t, dove t è un numero naturale e viceversa. Osservazione: le cifre c 0,..., c q 1 di una base q vengono banalmente convertite in base 10 dal seguente algoritmo: c i in base q corrisponde ad i in base SistemiNumerazione.tex: Versione 1.0, aa

17 Conversioni verso la base 10 Dato un numero x in base q (q 10) x q = x n... x 0, x 1... x z per convertirlo in base 10 si può applicare il seguente algoritmo: 1. si converte ogni cifra x i nel corrispondente numero y i in base si determina il numero k = y n q n y 0 q 0 + y 1 q y -z q -z dove le operazioni aritmetiche sono da intendersi in base k è il numero in base 10 equivalente a x in base q. 17 SistemiNumerazione.tex: Versione 1.0, aa

18 Esempi 21A 12 = = A 16 = = , 34 8 = = 143, = = SistemiNumerazione.tex: Versione 1.0, aa

19 Conversioni dalla base 10 Dato un numero x in base 10 x 10 = x n... x 0, x 1... x z per convertirlo in base b (b 10) si può applicare il seguente algoritmo: 1. Siano I x n... x 0 e D 0, x 1... x z. 2. Poniamo k e j uguali a zero. 3. Siano q k e r k rispettivamente il quoziente ed il resto della divisione I diviso b. 4. Se q k è diverso da zero poni il valore di q k in I, incrementa k di uno e vai al punto Siano t j e h j rispettivamente la parte intera e la parte decimale del prodotto di D per b. 6. Se h j è diverso da zero poni il valore 0, h j in D, incrementa j di uno e vai al punto Siano u k,..., u 0 le cifre in base b corrispondenti ai numeri r k,..., r 0 e siano w 0,..., w j le cifre in base b corrispondenti ai numeri t 0,..., t j. Il numero v = u k... u 0, w 0,... w j in base b è l equivalente di x in base SistemiNumerazione.tex: Versione 1.0, aa

20 Esempio (1). parte intera , =? 5 parte decimale 0, 56 5 = 2, , 80 5 = 4, , = 443, SistemiNumerazione.tex: Versione 1.0, aa

21 Esempio (2). parte intera 58 3 A , =? 16 parte decimale 0, = 15, 5 F 0, 5 16 = 8, , = 3A, F SistemiNumerazione.tex: Versione 1.0, aa

22 Conversioni tra basi diverse dalla base 10 Dato un numero x in base q (q 10) per convertirlo in base b (b 10) si può applicare il seguente algoritmo: 1. Si converte il numero x dalla base q alla base Il numero in base 10 ottenuto al punto 1 si converte in base b. 22 SistemiNumerazione.tex: Versione 1.0, aa

23 Esempio Conversione in base 10: 21A 12 =? 4 Conversione in base 4: 21A 12 = = A 12 = SistemiNumerazione.tex: Versione 1.0, aa

24 Conversioni tra basi una potenza dell altra (1) Dato un numero x x n... x 0, x 1... x z in base q per convertirlo in base b con q = b t si può applicare il seguente algoritmo: 1. Si converte ogni cifra x i di x nell equivalente numero k i nella base b utilizzando t cifre (eventualmente aggiungendo degli zeri). 2. Il numero d k n... k 0, k 1... k z in base b è l equivalente del numero x in base q. 24 SistemiNumerazione.tex: Versione 1.0, aa

25 Esempio 36D, B4 16 =? A B C D E F D, B4 16 = 31231, D, B , A05, =? 4 A 0 5, , A05, = , SistemiNumerazione.tex: Versione 1.0, aa

26 Conversioni tra basi una potenza dell altra (2) Dato un numero x x n... x 0, x 1... x z in base q con q t = b e n + 1, z multipli di t. Per convertire x dalla base q alla base b si può applicare il seguente algoritmo: 1. Siano k e h rispettivamente il quoziente della divisione di n+1 diviso t e z diviso t. 2. Si raggruppa, a partire da destra per la parte intera e a partire da sinistra per la parte decimale, il numero x in blocchi di t cifre. Si ottengono così t 0,..., t k numeri in base q per la parte intera di x e s 0,..., s h numeri in base q per la parte decimale di x. 3. Si converte ogni blocco t i (s i ) nella corrispondente cifra d i (c i ) nella base b. 2. Il numero f d k... d 0, c 0... c h in base b è l equivalente del numero x in base q. 26 SistemiNumerazione.tex: Versione 1.0, aa

27 Esempio 11010, 11 2 =? , 11 2 = 32, , , , =? , , , = 14, SistemiNumerazione.tex: Versione 1.0, aa

28 Rappresentazione dei numeri interi Problemi da affrontare: 1. L elaboratore adopera solo due simboli: 0: assenza di corrente 1: presenza di corrente 2. L elaboratore ha una memoria finita. Conseguenze: Codificare i numeri in binario. Limitare l insieme dei numeri rappresentabili. Le operazioni non godono delle usuali proprietà (ad esempio, associativa) 28 SistemiNumerazione.tex: Versione 1.0, aa

29 Rappresentazione in complemento a due (1) segno 2 k 2 k numero intero codificato Intervallo di rappresentazione: 2 k k 1 1 Unica rappresentazione per 0. La somma eguale a differenza. Osservazione: con cpl2,x indicheremo la rappresentazione in complemento a due con x bit. 29 SistemiNumerazione.tex: Versione 1.0, aa

30 Rappresentazione in complemento a due (2) Si decide a priori il numero k di bit utilizzati per la rappresentazione. Si potranno rappresentare 2 k 1 valori maggiori od uguali a 0 e 2 k 1 valori minori di 0. Per rappresentare un numero positivo m (0 m 2 k 1 1) si utilizza la sua rappresentazione binaria aggiungendo eventualmente degli 0 a sinistra fino a raggiungere k bit. Per rappresentare un numero negativo m ( 2 k 1 m 1) si determina il numero c = 2 k + m (c è un numero positivo) e quindi si scrive la rappresentazione binaria di c. 30 SistemiNumerazione.tex: Versione 1.0, aa

31 Esempio Con 3 bit si rappresenta in complemento a due l intervallo [ ]. Il numero 3 viene rappresentato dalla sequenza 011. Per rappresentare il numero 3 determino il numero = 8 3 = 5 e quindi 3 = 101. Con 4 bit si rappresenta in complemento a due l intervallo [ ]. Il numero 3 viene rappresentato dalla sequenza Per rappresentare il numero 3 determino il numero = 16 3 = 13 e quindi 3 = Osservazione: L esempio mostra la proprietà di estensione in segno secondo cui se si vuole trasformare un numero in complemento a due a k bit in uno a k + m bit (m > 0) è sufficiente aggiungere a sinistra m zeri se il numero è positivo, m uni se il numero è negativo. 31 SistemiNumerazione.tex: Versione 1.0, aa

32 Operazioni in complemento a due (2) Si esamineranno solo le operazioni di 1. Complemento a due ( ), 2. addizione (+) e 3. sottrazione ( ). Le operazioni sono definite dopo avere fissato il numero di bit nella rappresentazione in complemento a due. Attenzione! Il risultato delle operazioni potrebbe non essere compreso nell intervallo di rappresentazione scelto. 32 SistemiNumerazione.tex: Versione 1.0, aa

33 Addizione Si procede sommando fra loro i due addendi come se fossero numeri binari. L eventuale riporto oltre la k-esima cifra si scarta. L operazione può produrre un risultato al di fuori dell intervallo rappresentabile (overflow). Il risultato è corretto (non si verifica overflow) se: i due addendi sono di segno diverso; i due addendi ed il risultato sono dello stesso segno. 33 SistemiNumerazione.tex: Versione 1.0, aa

34 Esempi =? = (1)00101 il risultato corretto poichè gli addendi sono di segno diverso =? = (1)00001 il risultato non è corretto poichè è di segno diverso dagli addendi. 34 SistemiNumerazione.tex: Versione 1.0, aa

35 Operazione di complemento a due Esistono due regole alternative: 1. A partire da destra si lasciano inalterati tutti i bit del numero fino al primo 1 compreso. I bit restanti vengono invertiti (0 si trasforma in 1 e viceversa). 2. Si invertono tutti i bit del numero e si somma 1. Non esiste il complemento a k bit di 2 k 1. La rappresentazione di un numero negativo n 10 in complememto a due con k bit (n 2 k 1 ) si ottiene anche scrivendo la rappresentazione del numero positivo n e complementando a due il risultato. 35 SistemiNumerazione.tex: Versione 1.0, aa

36 Esempi Numero Complemento a due non rappresentabile è rappresentabile in complemento a due con 8 bit ed è diverso da = = cpl2, cpl2,8 = cpl2,8 = in maniera equivalente: = = cpl2,8 36 SistemiNumerazione.tex: Versione 1.0, aa

37 Sottrazione Per calcolare la differenza a b tra due numeri a e b in complemento a due ad k bit distinguiamo tre casi: 1. b 2 k 1 : si calcola il complemento di b ( b) e si esegue la somma a + ( b). 2. b = 2 k 1 e a < 0: si inverte il primo bit della rappresentazione di a. 3. b = 2 k 1 e a 0: il risultato non è rappresentabile. 37 SistemiNumerazione.tex: Versione 1.0, aa

38 Esempi (1) =? si complementa a due il sottraendo si procede con la somma: = il risultato è corretto =? è positivo e = Con 6 bit non si può rappresentare il risultato =? si complementa a due il sottraendo e si ottiene si procede con la somma: = il risultato non è corretto in quanto la somma di due numeri negativi ha prodotto un risultato positivo. 38 SistemiNumerazione.tex: Versione 1.0, aa

39 Esempi (2) =? si complementa a due il sottraendo e si ottiene si procede con la somma: = il risultato non è corretto in quanto la somma di due numeri positivi ha prodotto un risultato negativo =? è negativo e = 2 6 1, il risultato è SistemiNumerazione.tex: Versione 1.0, aa

40 Rappresentazione dei numeri reali (1) Rappresentazione in virgola mobile (floating point). Notazione ispirata a quella scientifica: ogni numero è rappresentato attraverso una mantissa m ed un esponente e. m 2 e La mantissa è in valore assoluto minore di 1 (±0, b 1... b k ). Non rappresenta dei numeri reali ma solo alcuni numeri razionali all interno di un intervallo. La risoluzione (precisione) dipende dalle cifre usate per la mantissa. Fissato un numero di cifre per l esponente, i valori possibili si addensano intorno allo 0 e si diradano verso gli estremi dell intervallo rappresentato. 40 SistemiNumerazione.tex: Versione 1.0, aa

41 Rappresentazione dei numeri reali (2) Supponiamo di avere a disposizione 2 bit per l esponente e 3 bit per la mantissa SistemiNumerazione.tex: Versione 1.0, aa

42 Rappresentazione dei numeri reali (3) Esiste una forma normalizzata (IEEE 754) nella quale devono essere riportati tutti i risultati: ±0, b 1... b k 2 e (b 1 0) La mantissa contiene solo le cifre decimali La mantissa eguale a 0 implica che si rappresenta il numero 0 indipendentemente dal valore dell esponente. 42 SistemiNumerazione.tex: Versione 1.0, aa

43 Ossevazione Per stabilire il significato da dare ad una sequenza binaria occorre conoscere come è stata codificata. Ad esempio, la sequenza: = cpl2,9 = In virgola mobile con i primi 5 bit per la mantissa ed i restanti 4 bit per l esponenete, entrambi rappresentati in complemento a due = SistemiNumerazione.tex: Versione 1.0, aa

44 Rappresentazione dei caratteri Convenzionalmente i caratteri sono rappresentati attraverso la codifica ASCII. Mediante tale codifica ogni carattere viene rappresentato da un numero compreso tra 0 e 127. Sono quindi utilizzati 7 bit per la rappresentazione. I primi 32 caratteri della codifica sono caratteri di controllo. I caratteri alfabetici (maiuscoli o minuscoli) sono consecutivi (il carattere A ha il valore più piccolo) così come le cifre decimali. 44 SistemiNumerazione.tex: Versione 1.0, aa

45 Char Dec Oct Hex Char Dec Oct Hex Char Dec Oct Hex CharDec Oct Hex (nul) x00 (sp) x x60 (soh) x x21 A x41 a x61 (stx) x x22 B x42 b x62 (etx) x03 # x23 C x43 c x63 (eot) x04 $ x24 D x44 d x64 (enq) x05 % x25 E x45 e x65 (ack) x06 & x26 F x46 f x66 (bel) x x27 G x47 g x67 (bs) x08 ( x28 H x48 h x68 (ht) x09 ) x29 I x49 i x69 (nl) x0a x2a J x4a j x6a (vt) x0b x2b K x4b k x6b (np) x0c, x2c L x4c l x6c (cr) x0d x2d M x4d m x6d (so) x0e x2e N x4e n x6e (si) x0f / x2f O x4f o x6f (dle) x x30 P x50 p x70 (dc1) x x31 Q x51 q x71 (dc2) x x32 R x52 r x72 (dc3) x x33 S x53 s x73 (dc4) x x34 T x54 t x74 (nak) x x35 U x55 u x75 (syn) x x36 V x56 v x76 (etb) x x37 W x57 w x77 (can) x x38 X x58 x x78 (em) x x39 Y x59 y x79 (sub) x1a : x3a Z x5a z x7a (esc) x1b ; x3b [ x5b { x7b (f s) x1c < x3c \ x5c x7c (gs) x1d = x3d ] x5d } x7d (rs) x1e > x3e x5e x7e (us) x1f? x3f x5f (del) x7f 45 SistemiNumerazione.tex: Versione 1.0, aa

46 Rappresentazione delle immagini (1) Le immagini vengono codificate attraverso una sequenza di 0 ed 1. Il passaggio da una immagine ad una sequenza binaria prende in nome di digitalizzazione. L immagine è suddivisa in punti o pixel. Ogni pixel viene codificato attraverso una sequenza di bit (profondità) che indica l intensità di ciascuna componente di colore (RGB). 46 SistemiNumerazione.tex: Versione 1.0, aa

47 Rappresentazione delle immagini (2) Per interpretare una immagine è necessario conoscere: 1. La dimensione del rettangolo in cui è contenuta. 2. La risoluzione misurata in punti per pollice quadrato (dpi). 3. La profondità dell immagine. I formati di codifica più diffusi sono: TIFF: Target image file format, GIF: Graphic Interchange Format, JPEG: Joint Photographic Experts Group. 47 SistemiNumerazione.tex: Versione 1.0, aa