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1 Università degli Studi di Salerno Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali Corso di Laurea in Informatica Tesi di Laurea Algoritmi basati su formule di quadratura interpolatorie per GPU ABSTRACT Relatore Prof.ssa Angelamaria Cardone Candidato Antonio Della Pietra Matr Anno Accademico 2011/2012

2 In questa tesi si affronta il problema della parallelizzazione del calcolo numerico di integrali definiti utilizzando la piattaforma CUDA, un'architettura hardware per l'elaborazione parallela su GPU creata da NVIDIA. Sia nel campo scientifico che in quello tecnico si presentano spesso problemi che fanno il ricorso alla quadratura numerica, ossia l approssimazione del calcolo di un integrale definito. Alcuni esempi si possono trovare nel campo della fisica (lavoro di una forza), della statistica (distribuzione normale), della meccanica (calcolo del momento di inerzia). Al fine di ridurre i tempi di calcolo possono essere utilmente impegate le architetture parallele. Ci sono poi problemi in cui, ad esempio nel caso di alcuni integrali a più dimensioni, è praticamente impossibile ottenere una risposta in tempo di calcolo ragionevoli senza l utilizzo di architetture parallele. D altro canto, la quadratura numerica si presta bene ad essere realizzata mediante il calcolo parallelo in quanto la proprietà di additività degli integrali definiti permette di scomporre il problema in sottoproblemi di taglia minore risolvibili indipendentemente. In generale è sempre più evidente negli ambienti scientifici che per rispondere ai numerosi interrogativi che ancora oggi non hanno risposta, ma sono di grande rilevanza per il progresso dell uomo, l indagine scientifica può essere condotta solo utilizzando risorse di calcolo ad altissime prestazioni. Questo motiva la progettazione e l'uso di strumenti di calcolo sempre più potenti, in grado di eseguire più attività contemporaneamente, in parallelo. Le tradizionali CPU fanno però fatica a stare al passo con la crescente domanda di prestazioni. Inoltre le infrastrutture di calcolo parallelo basate su CPU sono di complessa gestione e spesso costose ed inevitabilmente destinate a grossi centri di calcolo, un grande problema questo per l utenza scientifica. L avvento di GPU multicore programmabili ad alte prestazioni e ad un costo accessibile ha portato, 2

3 negli ultimi anni, i ricercatori a sfruttare questa tipologia di architettura per ridurre drasticamente il tempo di calcolo dei propri algoritmi. Per questo si prevede che il settore informatico sia prossimo ad una rivoluzione nel campo del calcolo parallelo, e CUDA-C è stato finora il linguaggio di maggior successo mai realizzato per il calcolo parallelo. Il lavoro di tesi qui descritto, svolto anche nell ambito dell attività di tirocinio, ha richiesto un approfondito studio sulla quadratura numerica e sugli aspetti teorici e implementativi ad essa correlati, con particolare attenzione alle formule interpolatorie di Newton Cotes e gaussiane. È stato realizzato uno studio approfondito della piattaforma CUDA in quanto, per avvantaggiarsi delle prestazioni messe a disposizione dalla moderne GPU, è indispensabile dominarne la complessità architetturale. Inoltre, parte importante del lavoro ha riguardato lo sviluppo, l implementazione e la valutazione di algoritmi paralleli CUDA per il calcolo di un integrale definito, basati sulla formula di Cavalieri Simpson composita. In particolare è stato sviluppato il codice simpson-opt modificando e ottimizzando il codice simpson-naive che implementa la formula di Cavalieri Simpson composita su un numero di nodi fissato a priori. Le modifiche principali sono state apportate sia per soddisfare le limitazioni hardware sia per sfruttare le caratteristiche messe a disposizione dalla GPU per incrementare le performance. In particolare sono stati modificati la dimensione della griglia di blocchi che vengono assegnati ai vari multiprocessori della GPU, l implementazione del kernel e la scelta del numero di thread concorrenti. Le valutazioni delle prestazioni hanno provato che tali modifiche hanno permesso di ottenere una riduzione del tempo di calcolo del 20% circa rispetto all algoritmo simpson-naive, raggiungendo valori di speedup fino a 24. Il lavoro di tesi è poi proseguito con lo sviluppo del codice seriale gauss-cheb che implementa in linguaggio C la formula di quadratura di 3

4 Gauss Chebyshev. Il confronto delle prestazioni tra il codice gauss-cheb e il codice simpson-seriale, che implementa la formula di quadratura di Cavalieri Simpson in linguaggio C, ha mostrato un miglioramento delle prestazioni solo per funzioni del tipo:, dove w(x) è la funzione peso e p(x) un polinomio. Negli altri casi, dato che le formule gaussiane non sono innestate, le prestazioni peggiorano. La tesi è articolata in tre capitoli. Nel primo capitolo, vengono introdotti i principali aspetti della quadratura numerica. Vengono esaminate, per l approssimazione degli integrali definiti, due formule appartenenti alla famiglia di formule di quadratura interpolatorie: le formule di quadratura di Newton Cotes, con le corrispondenti formule composite, ponendo particolare attenzione alla formula di Cavalieri Simpson, le formule di quadratura gaussiane il cui grado di precisione è il massimo raggiungibile da una formula di quadratura costruita su n nodi, con particolare attenzione alla formula di Gauss Chebyshev. Nel secondo capitolo, dopo un breve accenno al GPU computing, viene esaminata l architettura della piattaforma CUDA, mettendo in rilievo le caratteristiche fisiche da tenere in considerazione per migliorare l efficienza, quali ad esempio la coalescenza, l utilizzo della memoria condivisa, il controllo del flusso e le operazioni aritmetiche intere e viene analizzato il modo con cui valutare le prestazioni degli algoritmi. Nel capitolo, inoltre, viene proposta una guida sul processo d installazione per linux, sotto Ubuntu 11.04, dei driver CUDA. Infine, nel terzo capitolo viene presentato il codice simpson-naive che implementa su GPU un algoritmo di quadratura basato sulla formula di Cavalieri Simpson su un numero di nodi fissato a priori. Quindi viene introdotta una nuova versione simpson-opt che ottimizza il codice simpson- 4

5 naive al fine di migliorarne le prestazioni. Inoltre viene presentato il codice simpson-automatico che implementa, su GPU, un algoritmo di quadratura basato sulla formula di Cavalieri Simpson in cui il numero di nodi viene stabilito dinamicamente dall algoritmo al fine di soddisfare la tolleranza per l errore. Infine viene sviluppato un algoritmo seriale di quadratura basato sulle formule di quadratura di Gauss Chebyshev. Al termine del capitolo sono illustrati i risultati ottenuti su significativi esempi test, mettendo a confronto: il codice simpson-naive e simpson-opt e il corrispondente algoritmo per CPU, l implementazione su GPU del codice simpson-automatico e la sua implementazione seriale sviluppata in linguaggio C, il codice gauss-cheb, che implementa la formula di quadratura di Gauss Chebyshev, e il codice simpson-seriale, che implementa la formula di quadratura di Cavalieri Simpson, entrambi sviluppati in linguaggio C. 5

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