UN MODELLO ATTRITIVO DIPENDENTE DALLA VELOCITÀ DI DEFORMAZIONE PER LA FRANA DI VALLCEBRE

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1 UN MODELLO ATTRITIVO DIPENDENTE DALLA VELOCITÀ DI DEFORMAZIONE PER LA FRANA DI VALLCEBRE Maria Rosaria Scoppettuolo Università degli Studi di Salerno Leonardo Cascini Università degli Studi di Salerno Sommario Le frane a cinematica lenta sono diffuse in numerosi contesti geo-ambientali ed in particolare in Italia, dove ne sono state censite e cartografate circa (ISPRA, 2016). In considerazione delle ridotte velocità che li caratterizzano, inferiori a 1,3 m/anno, questi fenomeni causano essenzialmente danni economici, anche se un numero limitato, non noto a priori, può subire spostamenti con velocità tali da indurre conseguenze ancora più gravi. La diffusione e, talora, la rilevanza delle conseguenze hanno indotto molti ricercatori a focalizzare l attenzione sul comportamento cinematico dei fenomeni in questione perseguendo molteplici obiettivi tra i quali la previsione degli spostamenti nel tempo. In questa ottica il presente lavoro propone un modello fisicamente basato in grado di riprodurre l evoluzione della frana di Vallcebre per la quale in letteratura è disponibile un ampia mole di dati derivanti da un monitoraggio diffuso ed accurato. 1. Introduzione Lo studio dei fenomeni franosi a cinematica lenta ha attirato l attenzione dei ricercatori che approfondiscono con sistematicità molteplici temi tra i quali si cita la previsione degli spostamenti nel tempo. Un contributo significativo su questo argomento è fornito in Grimaldi (2008) e Cascini et al. (2014) che analizzano i dati disponibili in letteratura per alcuni fenomeni franosi, attivi o soggetti a riattivazioni occasionali (Figura 1a). In particolare gli autori, attraverso una procedura di adimensionalizzazione degli spostamenti e del tempo (Figura 1b), individuano tre tipici trend di spostamento (Figura 1c). Il primo tipo, ad andamento lineare, è caratterizzato da una velocità costante e sembra sistematicamente registrarsi in concomitanza dei periodi asciutti quando i livelli di falda raggiungono i valori minimi. Il secondo tipo è caratteristico di frane attive che subiscono un accelerazione all inizio della stagione delle piogge, in conseguenza del mutato regime di pressioni neutre, seguita in modo ricorrente da una diminuzione di velocità che appare indipendente dal successivo regime pluviometrico. Nel terzo tipo, infine, l andamento degli spostamenti non è esclusivamente legato al livello di falda che ha sede nel pendio ed è caratterizzato da un accelerazione spesso causata da una riattivazione occasionale conseguente ad una significativa variazione delle condizioni al contorno. Calvello et al. (2009), focalizzando l attenzione sul trend di tipo II, hanno mostrato la possibilità di una modellazione soddisfacente degli spostamenti nel tempo sulla base di una valutazione accurata del regime di pressioni neutre nel pendio e di un modello empirico in grado di mettere in relazione la velocità di scorrimento con le variazioni del coefficiente di sicurezza conseguenti alle escursioni del livello di falda.

2 Fig. 1: a) Spostamenti nel tempo per alcuni casi di studio; b) Adimensionalizzazione degli spostamenti e del tempo; c) Tipici trend di spostamento (modificata da Grimaldi, 2008) Ancora, con l ausilio di un analisi inversa, Cascini et al. (2014) hanno mostrato la possibilità di prevedere gli spostamenti caratterizzati dal trend II sulla base di un numero ridotto di misure relative al periodo iniziale della stagione delle piogge. Sempre con riferimento al trend II, in questa nota si riproducono gli spostamenti della frana di Vallcebre, con l ausilio di un modello fisicamente basato che consiste nella risoluzione dell equazione di equilibrio dinamico alla traslazione nella direzione di propagazione del movimento. La scrittura di tale equazione è completata introducendo un valore dell angolo di attrito variabile con la velocità di scorrimento, congruentemente con quanto evidenziato nella letteratura. 2. La frana di Vallcebre La frana di Vallcebre (Corominas et al., 1999 e Corominas et al, 2005) è ubicata nei Pirenei nordorientali, in prossimità del fiume di Llobregat, a 140 km da Barcellona. Il fenomeno franoso è di tipo traslativo, si estende per una lunghezza di 1200 m ed una larghezza di 600 m, copre un area dell estensione complessiva di 0,8 km 2 e coinvolge un volume di circa 20 milioni di m 3. Come mostrato nella Figura 2a, il corpo di frana è caratterizzato da tre diverse unità, con spessori decrescenti spostandosi da monte verso valle laddove la superficie di scorrimento presenta una risalita verso il piano campagna (Figura 2b). I terreni presenti nel sottosuolo sono essenzialmente costituiti da siltiti e scisti che scorrono su un basamento calcareo. Fig. 2: Pianta e sezione trasversale della frana di Vallcebre (Corominas et al., 2005)

3 Gli accurati dati sperimentali acquisiti per la frana di Figura 2 sono riportati in Corominas et al. (2005), che forniscono un dataset dettagliato sul regime delle pressioni neutre, misurate con piezometri e celle piezometriche, e sull andamento degli spostamenti in diversi punti del corpo di frana, a loro volta misurati con inclinometri ed estensimetri. Le proprietà meccaniche dei terreni coinvolti nel movimento franoso sono illustrate da Corominas et al. (2005) che, sulla base di prove di laboratorio, forniscono un valore dell angolo di attrito residuo di 7,8 per i terreni presenti lungo la superficie di scorrimento e di 11,8 per il terreno scistoso sovrastante. 3. Metodologia di modellazione 3.1 Equilibrio dinamico La modellazione è stata sviluppata in corrispondenza della verticale per la quale passa il sondaggio S2, ubicato in una zona nella quale il meccanismo di frana è di tipo traslativo (Fig.2) ed il corpo di frana, per la sua geometria, può essere riprodotto come un blocco rigido su un piano inclinato (Ledesma et al. 2009). Volendo semplificare ulteriormente il problema, si può assumere una superficie di scorrimento parallela al piano campagna facendo riferimento, sulla base delle misure in sito, ad un moto di filtrazione nel pendio con linee di flusso ancora una volta parallele al piano campagna (Figura 3). Fig. 3: Schema di riferimento per la modellazione degli spostamenti (Alonso et al., 2015) Facendo, quindi, riferimento al secondo principio della dinamica, l equazione di equilibrio di un pendio così definito si scrive: F " F $ = m dv dt dove F " sono le forze instabilizzanti, F $ sono le forze resistenti, m è la massa e v è la velocità del corpo di frana. Naturalmente, il termine al secondo membro risulta pari a zero nelle condizioni di equilibrio dinamico, vale a dire nel caso di trend I. Introducendo nell equazione i termini relativi alla forza peso, alle risultanti delle pressioni neutre e della tensione tangenziale agente lungo la superficie di scorrimento, attraverso alcuni passaggi matematici (Scoppettuolo, 2016) si ottiene: dv dt = g sinβ g cosβ 1 ρ 4 h 4 ρ 6 H tanφ dove g è l accelerazione di gravità, β è l inclinazione della superficie di scorrimento, ρ 4 è la densità dell acqua, ρ 6 è la densità del terreno, H è lo spessore della frana e h 4 è il livello della falda acquifera misurato a partire dalla superficie di scorrimento.

4 3.2 Attrito dipendente dalla velocità di deformazione lungo la superficie di scorrimento Numerose ricerche sperimentali hanno evidenziato una dipendenza dell angolo di attrito dalla velocità di spostamento. A puro titolo esemplificativo si citano: La Gatta (1970) che ha misurato in un apparecchio di taglio anulare incrementi del 18% del coefficiente d attrito in terreni a grana fine; Bucher (1975) che sempre nel taglio anulare ha stimato un incremento del 24% della resistenza; Tika et al. (1996) che forniscono un ampia ed interessante sintesi dei risultati presenti in letteratura; Rice et al. (2001) che attribuiscono l aumento di attrito con la velocità ad una serie di reazioni chimiche a livello interparticellare. Partendo dalle evidenze sperimentali la letteratura fornisce molteplici relazioni empiriche che correlano l angolo d attrito con la velocità tra le quali si cita quella proposta da Alonso et al. (2015) che assumono: tanφ = tanφ ; + A dove φ ; rappresenta l angolo d attrito minimo, posto pari a quello residuo, A è un parametro del modello e v ; è una velocità di riferimento. Nella presente nota la relazione assunta a riferimento (Scoppettuolo, 2016) pone: tanφ = tanφ ; + (tanφ BCD tanφ ; )(1 e GC? ) nella quale a rappresenta un parametro del modello e tanφ BCD la tangente dell angolo d attrito massimo che si attinge in corrispondenza del massimo incremento di velocità. 4. Risultati Lo schema in Figura 3, l equazione di equilibrio del pendio e l espressione proposta per l incremento di resistenza lungo la superficie di scorrimento della frana di Vallcebre sono stati utilizzati per la valutazione degli spostamenti orizzontali in corrispondenza del sondaggio S2 per il quale si dispone di misure accurate di pressioni neutre e di spostamenti per un periodo di circa due anni. Nonostante le semplificazioni introdotte, l implementazione di un modello così definito presenta non poche difficoltà per la presenza dell esponenziale della velocità nel termine relativo alla tangente dell angolo d attrito che rende l equazione non lineare e di difficile risoluzione. Queste difficoltà sono state superate introducendo un metodo semplificato che, ponendo il differenziale della velocità nel tempo pari a zero, in corrispondenza di ciascun valore della pressione neutra, fa sì che l unico termine legato alla velocità sia la tangente dell angolo d attrito. Invertendo, quindi, la relazione che lega l angolo di attrito alla velocità, si ottiene per ciascun valore di pressione neutra un valore della velocità che risulta espressa da: v = H C ln ICJ K LMNGICJ K LOP ICJ K LMN GICJ in cui tan φ BQR può essere semplicemente calcolato come: tan φ BQR = tan β 1 ρ 4 h 4 ρ 6 H Note le velocità, il calcolo degli spostamenti risulta immediato, essendo noti gli intervalli temporali ai quali le velocità fanno riferimento e che sono definiti tenendo conto dell andamento del livello di falda nel tempo (Figura 4). I risultati che si ottengono con la procedura illustrata, ponendo il parametro a pari a 3, ed un angolo di attrito massimo pari a 12,3, sono paragonati in Figura 5 con quelli misurati in sito (Corominas et al., 2005).

5 Livello di falda misurato dal piano campagna [m] set-96 nov-96 gen-97 mar-97 mag-97 lug-97 set-97 nov-97 gen-98 mar-98 mag-98 lug-98 set Tempo Fig. 4: Variazioni del livello di falda in corrispondenza di S2 (modificata da Corominas et al.,2005) Spostamenti cumulati [mm] Spostamenti misurati Spostamenti calcolati set-96 nov-96 gen-97 mar-97 mag-97 lug-97 set-97 nov-97 gen-98 mar-98 mag-98 lug-98 set-98 Tempo Fig. 5: Spostamenti misurati e modellati in corrispondenza di S2 Come osservato nella 57esima Rankine Lecture (Alonso, 2017), i risultati sono soddisfacenti nonostante le semplificazioni alla base del modello, a testimonianza dell affidabilità della relazione introdotta. È interessante osservare che, facendo riferimento alla resistenza residua misurata in laboratorio, l aumento dell angolo d attrito risulta pari al 57% (Figura 6) vale a dire un valore di gran lunga superiore a quelli mostrati in letteratura ed ai quali si è fatto in precedenza cenno. Viceversa, se come angolo di attrito minimo si considera quello mobilitato in corrispondenza della stagione asciutta, quando le pressioni neutre sono minime ed il corpo di frana si muove con velocità costante (trend di tipo I), si ottiene un valore di φ pari a 9,3 ed un incremento massimo con la velocità non superiore al 32% circa, di gran lunga più prossimo ai dati presenti in letteratura. Angolo d'attrito [ ] Velocità [mm/giorno] Fig. 6: Variazioni dell angolo d attrito con la velocità per la frana di Vallcebre 5. Conclusioni La nota evidenzia come sia possibile modellare con accuratezza gli spostamenti della frana di Vallcebre partendo dai dati sperimentali presenti in letteratura ed utilizzando un modello fisicamente basato che porta in conto l aumento di resistenza lungo la superficie di scorrimento in funzione della

6 velocità di deformazione. È interessante notare come la valenza del modello cresca passando da una resistenza minima stimata con le prove di laboratorio al valore che scaturisce da una analisi del fenomeno franoso in condizioni di velocità di deformazione costante, corrispondente al trend I degli spostamenti, Figura 1c. È altresì interessante osservare come, in concomitanza dell inizio della stagione delle piogge, un incremento di resistenza interna sia in grado di bilanciare lo squilibrio provocato dall aumento di pressioni neutre nel pendio, quasi a testimoniare il fatto che il trend II, riscontrabile anche nella frana di Vallcebre (Figura 1c), sia tipico di un corpo di frana in grado di auto equilibrarsi in presenza di ben determinate variazioni delle condizioni al contorno. Circostanza questa che andrà adeguatamente approfondita per tutti i fenomeni analizzati in Grimaldi (2008) e Cascini et al. (2014) al fine di acquisire ulteriori elementi di giudizio sulla evoluzione dei fenomeni franosi che sistematicamente si riattivano in concomitanza della stagione delle piogge per poi successivamente evolvere verso la condizione di moto uniforme al termine della stessa. Bibliografia Alonso E.E (2017). Triggering and Motion of Landslides 57th British Geotechnical Association s Rankine Lecture, London. Alonso E.E., Zervos,A., Pinyol N.M. (2015). Thermo-poro-mechanical analysis of landslides: from creeping behaviour to catastrophic failure, Géotechnique, 63, No. 3, Bucher, F. (1975). Die Restscherfestigkeit naturlicher Boden, ihre Ein ūssgrossen und Beziehungen als Ergebnis experimenteller Untersuchungen, Mitt. Inst. Grundbau Bodenmechanik Eidg. Technische Hochsch. ZuÈrich, No Calvello M., Cascini L., Grimaldi G.M. (2009). Displacement scenarios of a rainfall-controlled slow moving active slide in stiff clays, Georisk: Assessment and Management of Risk for Engineered Systems and Geohazards, 3: 3, Cascini L., Calvello M., Grimaldi G.M. (2007). Analisi cinematica di fenomeni franosi attivi in terreni argillosi: un caso di studio. Incontro Annuale dei Ricercatori di Geotecnica IARG 2007, Salerno. Cascini L., Calvello M., Grimaldi G.M. (2008). Modelling the transient groundwater regime for the displacement analysis of slow-moving active landslides. Proc. X Int. Symp. on Landslides, Xi an, China. Cascini, L., Calvello, M., Grimaldi G.M. (2010). Groundwater modelling for the analysis of active slowmoving landslides, Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, 136, Cascini L., Calvello M., Grimaldi G.M. (2014). Displacement Trends of Slow-moving Landslides: Classification and Forecasting Journal of Mountain Science, 11(3), Corominas J, Moya J, Ledesma A, Rius J, Gili JA, Lloret A (1999). Monitoring of the Vallcebre landslide, Eastern Pyrenees, Spain Proc. Int. Symp. on Slope Stability Engineering. Matsuyama, Japan, v.2, Corominas J., Moya J., Ledesma A., Lloret A., Gili J.A. (2005). Prediction of ground displacements and velocities from groundwater level changes at the Vallcebre landslide (Eastern Pyrenees, Spain), Landslides 2, Grimaldi G.M. (2008). Modelling the displacements of slow moving landslides. Tesi di dottorato. La Gatta, D. P. (1970). Residual strength of clays and clay shales by rotation shear tests. Harvard Soil Mechanics Series, No. 86, Cambridge. Ledesma A., Corominas J., Gonzál D.A., Ferrari A. (2009). Modelling slow moving landslides controlled by rainfall. Proc. 1 st Italian Workshop on Landslides, Rainfall-Induced Landslide: mechanisms, monitoring techniques and nowcasting models for early warning systems, Naples. Rice J. R., Lapusta N. & Ranjith K. (2001). Rate and state dependent friction and the stability of sliding between elastically deformable solids, J. Mech. Phys. Solids 49, No. 9, Scoppettuolo M.R. (2016). A strain-rate-dependent friction model to improve the kinematical understanding of slow moving landslides. Tesi di laurea magistrale. Tika T. E., Vaughan P. R., Lemos, L. (1996). Fast shearing of pre-existing shear zones in soil, Géotechnique 46, No.2,