Problema del Job Shop

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1 Problema del Job hop

2 Job hop n ob, m macchine iascun ob è composto da una sequenza di task (t (1),,t (r )) ogni task t (k) deve essere eseguito su una specifica macchina i = m (k) (richiedendo un tempo p i ). Tutte le macchine hanno capacità unitaria. Quindi, ad ogni ob è associata una sequenza (m (1),,m (r )) (con possibili ripetizioni) di macchine, detta instradamento Ogni macchina è dotata di un buffer di ingresso in cui i ob possono attendere prima di essere processati Problema: decidere la sequenza di processamento su ciascuna macchina in modo da minimizzare il tempo di completamento di tutti i ob (makespan)

3 Esempio ob m (1) [p m(1), ] 1 [] [3] m () [p m(), ] 4 [] 4 [1] m (3) [p m(3), ] 3 [4] 1 [] Una soluzione: precede sulla macchina 1 precede sulla macchina se precedesse macchina 1? sulla

4 aso particolare: Flow hop iascun ob è composto da m task, e tutti i ob hanno la stessa sequenza (1,,, m) di visita delle macchine J 1 m-1 m Il buffer di ingresso consente i sorpassi: la sequenza di processamento della macchina i + 1 può essere diversa da quella sulla macchina i. Il numero di soluzioni è pari a (n!) m In assenza di buffer di ingresso (permutation flow shop) il sequenziamento è unico su tutte le macchine e ci sono n! soluzioni

5 Formulazione Grafo disgiuntivo disgiuntiva N = { 1,..., t } Insieme di tutti i task. e ogni ob visita tutte le macchine esattamente una volta t = nm ia G = (V, t M ) un grafo orientato costruito come segue. V contiene un vertice per ogni task più due vertici s e z t contiene, per ogni ob, l insieme degli archi associati alla catena dei suoi task più gli archi (s, t (1)) [(t (r ), z)] M k=1,,m ( k ) in cui k contiene una coppia (disgiuntiva) di archi (t i, t ) e (t, t i ) per ogni coppia di task t i, t da eseguirsi sulla machina k.

6 Lunghezze Esempio degli archi ob m (1) [p m(1), ] m () [p m(), ] m (3) [p M(3), ] 1 [] 4 [] 3 [4] [3] 4 [1] 1 [] s 0 0,1,4,3 1,,4, z d ogni arco (t i, t ) si associa una lunghezza pari alla durata del task t i

7 Esempio elezione efinizione. Un insieme k di archi in k che contiene esattamente un elemento per ciascuna coppia disgiuntiva è detto selezione parziale della macchina k. Una selezione k è aciclica se (il corrispondente grafo parziale) non contiene cicli orientati. Una selezione aciclica k corrisponde (biunivocamente) ad un sequenziamento delle operazioni sulla macchina k. efinizione. L unione degli insiemi k, k =1,, m è detta selezione completa.

8 elezioni Esempio complete e cicli L unione di selezioni acicliche può non essere aciclica 0,1,4,3 4 s 0,,4,1 3 l contrario, nel caso di flow shop, l unione di selezioni acicliche è aciclica e c è un ciclo la selezione non può corrispondere a schedule ammissibili (provare a costruire uno schedule) 1 z

9 Riformulazione Esempio 0 s 0 Ogni soluzione ammissibile del problema di Job hop corrisponde biunivocamente ad una selezione completa aciclica Il valore di una soluzione (makespan) è pari alla lunghezza del cammino massimo da s a z,1,4,3,,4, z Job shop: trovare una selezione completa aciclica che minimizzi la lunghezza del cammino massimo.

10 Variabili decisionali: n R τ istante di inizio del task τ n min t i i i p τ τ ), ( M k i p p k i i i τ τ τ τ, ), ( N τ 0 Formulazione disgiuntiva

11 Esempio: problema dei giornali G FT E T E FT G

12 oluzione ammissibile FT G E T giornale FT Lett. 1 Lett. Lett. 3 Lett. 4 G E

13 G FT E T 60 1 FT 90 G ammino critico E

14 FT oluzione non ammissibile T E G E G FT Lett. 4 Lett. 3 Lett. Lett.1 giornale

15 oluzione non ammissibile FT G E T Osservazione. e è aciclica, allora ogni k è aciclica. Il vice-versa non è vero.

16 Euristica hifting ottleneck ostruisce una selezione completa aciclica construendo iterativamente selezioni parziali acicliche d ogni passo viene costruita la selezione parziale della macchina più critica (bottleneck) m iterazioni: ad ogni passo, la macchina bottleneck cambia (shifting) Passo generico. Input: M 0 insieme delle macchine già sequenziate 1. ostruisce il grafo G(M 0 ) fissando l orientamento degli archi associati alle macchine in M 0 ed eliminando gli archi disgiuntivi associati alle macchine in M \ M 0.. alcola la lunghezza max (M 0 ) del cammino critico su G(M 0 ). 3. Identifica e sequenzia la macchina collo di bottiglia e aggiorna il grafo

17 3. eterminazione della macchina collo di bottiglia Ogni iterazione introduce dei nuovi archi nel grafo, quelli della selezione parziale aciclica della macchina collo di bottiglia corrente. Quindi, al procedere dell algoritmo max (M 0 ) aumenta (non diminuisce). Una misura di criticità delle macchine è la seguente: la macchina collo di bottiglia è quella il cui sequenziamento produce il massimo aumento di max (M 0 ) In particolare, per ogni macchina k, si minimizza l aumento massimo del makespan rispetto a max (M 0 ) provocato dal sequenziamento di k

18 3. Minimizzazione del massimo ritardo La relazione di precedenza ottenuta fissando le selezioni parziali delle macchine in M 0 implica che, ad ogni task è associato istante prima del quale non può iniziare, cioè una release date r per un certo task, sia x la lunghezza del percorso critico da a u in G(M 0 ). llora, con il sequenziamento fissato, non può iniziare prima di x. s x z

19 3. Minimizzazione del massimo ritardo Per un certo task, sia y la lunghezza del percorso critico da u a T in G(M 0 ). llora, se si vuole rispettare il makespan corrente max (M 0 ), non può terminare dopo l istante max (M 0 ) y. s x y max (M 0 ) z l insieme dei task di una macchina k determina quindi un istanza del problema 1/r /L max. efiniamo L max (k) il valore della sua soluzione ottima La macchina k* = argmax (L max (k): k M \ M 0 ) è detta collo di bottiglia

20 3. equenziamento di k* La macchina collo di bottiglia k* è sequenziata in accordo alla soluzione ottima del problema 1/r /L max. M 0 := M 0 {k*}; aggiorna il grafo fissando gli archi di k* ggiorna il valore del cammino critico max (M 0 K*) = max (M 0 ) + L max (k*) (verificare sull esempio)

21 Validità Teorema. Gli archi orientati associati alla soluzione ottima di un problema a macchina singola non creano cicli nel grafo G(M 0 ). onseguenza: la selezione completa ottenuta dalle selezioni acicliche generate nelle singole iterazioni è aciclica.