Interpolazione e integrazione numerica

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1 Interpolazione e integrazione numerica Carlo Mancini 16 dicembre 2015

2 Interpolazione con i polinomi di Lagrange Integrazione numerica

3 Interpolazione con i polinomi di Lagrange - Introduzione Immaginiamo di conoscere il valore di f(x) solo in alcuni punti {x 1,..., x n } Con l interpolazione cerchiamo una funzione L(x, c) (dove c sono una serie di parametri) che approssimi f(x): almeno nell intervallo [x min, x max ] L(x, c) f(x) (1) Inoltre chiediamo che L(x, c) eguagli f(x) nei punti in cui quest ultima assume un valore noto ({xi}) L(x i, c) = f(x i ) i {1,..., n} (2)

4 Interpolazione con i polinomi di Lagrange Possiamo cercare L(x i, c) come combinazione lineare di altre funzioni φ i (x): n L(x i, c) = c i φ i (x) (3) dove gli c i sono dei coefficienti i=1 Grazie all arbitrarietà su L(x i, c) e dunque sulle φ i (x), possiamo imporre che: φ i (x j ) = δ ij (4) dove δ ij è detta delta di Kronecher e vale 1 se i = j e 0 altrimenti la condizione 4 significa chiedere che ogni φ i valga 1 in x = x i e che in tutti gli altri punti x j in cui è nota la funzione f(x) valga 0; questa condizione ancora lascia arbitrarietà sulle φ i

5 Interpolazione con i polinomi di Lagrange Ricordando che abbiamo imposto che L(x, c) assuma lo stesso valore di f(x) nei punti x i in cui quest ultima è nota f(x j ) = L(x j, c) (5) sostituendo a L(x i, c) la combinazione di funzioni più semplici φ i (x): n f(x j ) = c i φ i (x j ) (6) ricordando la condizione sulle φ i nei punti in cui f è nota: i=1 f(x j ) = n c i δ ij (7) i=1 possiamo fissare il valore dei coefficienti c j f(x j ) = c j (8)

6 Ricapitolando - Interpolazione con i polinomi di Lagrange L(x i ) è una combinazione lineare di funzioni φ i. I coefficienti della c.l. sono i valori della f(x) in ciascuno dei punti x i in cui assume un valore noto: L(x) = n f(x i )φ i (x) (9) i=1 le φ i sono ancora arbitrarie ma abbiamo imposto che ognuna valga 0 in tutti i punti x j in cui f(x) assume un valore noto eccetto che nel punto x i, dove φ i vale 1: φ i (x j ) = δ ij (10)

7 Interpolazione con i polinomi di Lagrange possiamo scegliere le φ i come dei polinomi: φ i (x) = α n k=1,k i (x x k ) (11) dove gli x k sono sempre i punti in cui f(x) è nota questa scelta verifica la condizione φ i (x j ) = δ ij, infatti per ogni x j x i almeno uno dei termini della produttoria è nullo.

8 Interpolazione con i polinomi di Lagrange per imporre che ogni φ i (x) valga 1 in x = x i : n φ i (x i ) = α (x i x k ) = 1 (12) k=1,k i da cui: quindi ogni φ i : α = φ i (x) = n k=1,k i n k=1,k i 1 (x i x k ) (x x k ) (x i x k ) (13) (14)

9 Riassumendo - Interpolazione con i polinomi di Lagrange Ognuna delle φ i è un polinomio di grado n 1 φ i (x) = n k=1,k i (x x k ) (x i x k ) (15)

10 Interpolazione con i polinomi di Lagrange Infine: L(x) = n f(x i ) i=1 n k=1,k i (x x k ) (x i x k ) (16)

11 Esempi - Interpolazione con i polinomi di Lagrange Per n = 2 si parla di interpolazione lineare, infatti L(x) è di primo grado: L(x) = f(x 1 ) (x x 2) (x 1 x 2 ) + f(x 2) (x x 1) (x 2 x 1 ) (17) Per n = 3: L(x) = f(x 1 ) (x x 2) (x x 3 ) (x 1 x 2 ) (x 1 x 3 ) + f(x 2 ) (x x 1) (x x 3 ) (x 2 x 1 ) (x 2 x 3 ) + f(x 3 ) (x x 1) (x x 2 ) (x 3 x 1 ) (x 3 x 2 ) (18) (19) (20)

12 Il codice - Interpolazione con i polinomi di Lagrange La seguente funzione restituisce il valore di L(y) dati gli array dei valori che la funzione assume (f) nei punti x d o u b l e Lagrange ( d o u b l e y, d o u b l e f, d o u b l e x, i n t n ) { d o u b l e P, S = 0. ; i n t i, j ; } f o r ( i = 0 ; i < n ; i ++) { P = 1. ; f o r ( j = 0 ; j < n ; j ++) { i f ( j!= i ) { P = ( y x [ j ] ) / ( x [ i ] x [ j ] ) ; } } S += P f [ i ] ; } r e t u r n S ;

13 L(y) = n f(x i ) i=1 n j=1,j i (y x j ) (x i x j ) d o u b l e Lagrange ( d o u b l e y, d o u b l e f, d o u b l e x, i n t n ) { d o u b l e P, S = 0. ; i n t i, j ; } f o r ( i = 0 ; i < n ; i ++) { P = 1. ; f o r ( j = 0 ; j < n ; j ++) { i f ( j!= i ) { P = ( y x [ j ] ) / ( x [ i ] x [ j ] ) ; } } S += P f [ i ] ; } r e t u r n S ;

14 Integrale di una funzione L integrale è un operatore che data una funzione ne associa l area sottesa dal grafico in un intervallo [a, b] I b a f(x)dx (21)

15 Primitiva di una funzione La primitiva di una funzione f(x) è una F (x) tale che: F (x) = f(x) (22) allora l integrale I di f(x) è: I b a f(x)dx = F (b) F (a) (23)

16 Additività degli integrali L integrale di una funzione in un intervallo [a, b] è uguale alla somma degli integrali negli intervalli [a, c] e [c, b] se a < c < b: I b a f(x)dx = c a f(x)dx + b c f(x)dx (24)

17 Integrali numerici Non sempre la primitiva della funzione integranda è calcolabile analiticamente in questi casi si possono usare metodi numerici per stimare l integrale

18 Sfruttare l additività Possiamo dividere il dominio di integrazione [a, b] in sottointervalli piccoli a piacere nei limiti imposti dall architettura del computer [c 0, c 1 ], [c 1, c 2 ],..., [c n 1, c n ] a coincide con c 0 e b con c n sfruttando l additività degli integrali possiamo calcolare l integrale I come la somma degli integrali sugli intervalli [c i, c i+1 ] b n 1 ci+1 f(x)dx = f(x)dx (25) a c i i=0

19 Il metodo dei rettangoli ProgrammazioneScientifica 2006/3/6 se gli intervalli sono sufficientemente piccoli (e la funzione regolare) possiamo approssimare la funzione in ognuno degli intervalli come costante ci+1 c i 8.2. INTEGRAZIONE NUMERICA f(x)dx = C i (c i+1 c i ) = C i h (26) dove h è la dimensione degli intervalli (ovvero: c i+1 c i i [0, n]) e C i f(ξ), con ξ [a, b] arbitrario f (x) f (x) f (a+h) f (ξ) f (a) f (ξ) a ξ a+h x a ξ a+h

20 Il metodo del punto di mezzo si può scegliere come ξ il punto al centro di ogni intervallo ξ = c i+1 + c i 2 equivalente a qualunque trapezio di altezza h, con il lato obliquo passante per f(ξ) (27)

21 Il main #i n c l u d e <math. h> #i n c l u d e <s t d i o. h> #d e f i n e TYPE d o u b l e TYPE m i d p o i n t (TYPE a, TYPE b, i n t n, TYPE ( f ) (TYPE ) ) ; TYPE m i d p o i n t 2 (TYPE a, TYPE b, i n t n, TYPE ( f ) (TYPE ) ) ; TYPE f u n c (TYPE ) ; i n t main ( ) { TYPE a =0., b=2.m PI ; i n t M= 1 2 ; i n t i ; TYPE I=m i d p o i n t ( a, b,m, f u n c ) ; p r i n t f ( I : \% l f \n, I ) ; TYPE I 2=m i d p o i n t 2 ( a, b,m, f u n c ) ; p r i n t f ( I 2 : \% l f \n, I 2 ) ; r e t u r n 0 ; }

22 Una cattiva realizzazione dell algoritmo del punto di mezzo TYPE m i d p o i n t (TYPE a, TYPE b, i n t n, TYPE ( f ) (TYPE) ) { TYPE I = 0., x = a ; TYPE h = ( b a ) / (TYPE) n ; i n t s c =0; w h i l e ( x < b ) { I += ( f ) ( x h ) ; x += h ; s c++; } #i f d e f DEBUG p r i n t f ( m i d p o i n t h : \%.55 f, n s t e p s : \%d \n, h, s c ) ; #e n d i f } r e t u r n I h ;

23 Valore dell integrale in funzione del numero di sottodomini Integrale di sin(x) fra 0 e 1 in funzione del numero di sottodomini M con cui è calcolato. Sembrano esserci due diversi andamenti.

24 Una buona realizzazione dell algoritmo del punto di mezzo TYPE m i d p o i n t 2 (TYPE a, TYPE b, i n t n, TYPE ( f ) (TYPE) ) { TYPE I = 0., x ; TYPE h = ( b a ) / (TYPE) n ; i n t i ; i n t s c =0; f o r ( i = 0 ; i < n ; i ++) { x = a + h i h ; I += ( f ) ( x ) ; s c++; } #i f d e f DEBUG p r i n t f ( m i d p o i n t 2 h : \%.55 f n s t e p s : \%d \n, h, s c ) ; #e n d i f } r e t u r n I h ;

25 Valore dell integrale in funzione del numero di sottodomini Integrale di sin(x) fra 0 e 2π in funzione del numero di sottodomini M con cui è calcolato. Il primo algoritmo mostra la stessa anomalia, mentre il secondo no.

26 Valore dell integrale in funzione del numero di sottodomini (Anche ponendo M = 1 il valore dell integrale viene 0 perché sin(x) è simmetrica rispetto al punto centrale del dominio di integrazione.)

27 Problemi di precisione 0.1 in rappresentazione binaria è: 0.1 è 1/ in rappresentazione binaria è La divisione di 1 per 1010 fra binari è un numero periodico in rappresentazione decimale è un numero leggermente superiore o minore di 01. a seconda di dove viene troncata la rappresentazione

28 Problemi di precisione Un simile problema di precisione causa l errore per alcuni valori di M nel primo algoritmo visto infatti il ciclo while termina quando x è maggiore o uguale a b all ultimo passo x è uguale a h n che, a meno di errori di precisione, è uguale a b tuttavia, proprio per i problemi di precisione esposti prima, per alcuni valori di M x*h!= b, ed è più grande o più piccolo a seconda della macchina per questo motivo il primo algoritmo in questi casi fa un passo in più (o in meno) di quello che dovrebbe la seconda implementazione non è affetta da questo problema perché il ciclo for fa sempre n passi