L'analisi bivariata (associazione e cograduazione)

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1 L'analisi bivariata (associazione e cograduazione) Prof. Stefano Nobile Corso di Metodologia della ricerca sociale

2 L analisi bivariata L analisi bivariata è un analisi delle relazioni tra due caratteristiche osservate sulle stesse unità statistiche Studia il comportamento di due caratteri considerati congiuntamente Misura il grado di associazione tra due caratteri qualitativi, quantitativi e misti Fornisce indicazioni riguardo al legame esistente tra coppie di variabili Il tipo di associazione dipende dalla natura dei caratteri Prof. Stefano Nobile L'analisi bivariata (associazione e cograduazione) 2

3 L analisi bivariata: combinazioni tra variabili di diversa natura Variabile dipendente Nominale Cardinale Variabile indipendente Nominale Tabelle di contingenza Analisi della varianza Cardinale *evento raro Regressione e correlazione Prof. Stefano Nobile L'analisi bivariata (associazione e cograduazione) 3

4 Due problemi opposti Distribuzioni sbilanciate Una delle due variabili varia poco o niente perché è di fatto una costante Relazioni troppo strette tra variabili Le due variabili covariano perché sono collegate concettualmente dallo stesso rapporto di indicazione con un concetto più generale Prof. Stefano Nobile L'analisi bivariata (associazione e cograduazione) 4

5 Le tabelle di contingenza Y 1 Y 2 Y 3 Y 4 Y h X 1 f 11 f 12 f 13 f 14 f 1h f 1* X 2 f 21 f 22 f 23 f 24 f 2h f 2* X 3 f 31 f 32 f 33 f 34 f 3h f 3* X 4 f 41 f 42 f 43 f 44 f 4h f 4* X h f h1 f h2 f h3 f h4 F HH f h* f *1 f *2 f *3 f *4 f *h f ** Prof. Stefano Nobile L'analisi bivariata (associazione e cograduazione) 5

6 I criteri per la costruzione di una tabella di contingenza PARSIMONIA riportare solo le % che servono TOTALI BASI DELLE % CIFRE DECIMALI riportare sempre i totali di riga e di colonna (in % o in valore assoluto) se riporto solo le % è meglio riportare anche i totali (N) sui quali è calcolata la % - sotto un numero ragionevole di unità N non ha senso calcolare le percentuali. sono previsti arrotondamenti e riporto di 1 o al massimo 2 cifre decimali INTESTAZIONE le tavole devono essere sempre intestate Prof. Stefano Nobile L'analisi bivariata (associazione e cograduazione) 6

7 La relazione tra due variabili Se ci si basa esclusivamente sulla matrice dei dati, non è possibile stabilire se, date due variabili X ed Y, X influenza Y (unidrezionalità) o viceversa o si influenzano a vicenda (bidirezionalità) e se, stabilito che si influenzano a vicenda, X influenza Y tanto quanto Y influenza X (asimmetria) o se X e Y si influenzano reciprocamente allo stesso modo (simmetria). Sono le conoscenze del ricercatore circa la natura delle due proprietà a stabilire: La simmetria / asimmetria della relazione; L Unidirezionalità / Bidirezionalità della relazione. Possono verificarsi tre situazioni: Unidirezionalità Bidirezionalità simmetrica Bidirezionalità asimmetrica Esistono tecniche di analisi che, preventivamente, consentono di stabilire la direzione della relazione, ma nessuna di queste consente di stabilire la simmetria/asimmetria. Prof. Stefano Nobile L'analisi bivariata (associazione e cograduazione) 7

8 Influenza tra due variabili Origine sociale e risultati scolastici Relazione unidirezionale Una relazione si dice unidirezionale se, date due variabili A e B, è possibile ipotizzare che A influenzi B senza che A ne sia influenzata. La prima variabile sarà detta indipendente la seconda valibile sarà detta dipendente. In questo caso, quindi la relazione ha un unica direzione. Successi scolastici e aspettative di istruzione ulteriore Relazione bi-direzionale asimmetrica Una relazione si dice bidirezionale asimmetrica se, date due variabili A e B, si ipotizza che ci sia un influenza reciproca e che A influenza B con una forza minore con cui B influenza A (o viceversa). In questo caso, quindi la relazione ha una doppia direzione. Sensibilità civica e partecipazione Relazione bi-direzionale simmetrica Una relazione si dice bidirezionale simmetrica se, date due variabili A e B, si ipotizza che ci sia un influenza reciproca e che A influenza B con la stessa forza con cui B influenza A (o viceversa). Anche in questo caso, quindi, la relazione ha una doppia direzione Prof. Stefano Nobile L'analisi bivariata (associazione e cograduazione) 8

9 Le percentuali Si percentualizza per colonna quando è possibile individuare una variabile indipendente Si percentualizza per riga se si vogliono esplorare anche le percentuali di riga trattando la variabile di riga come una specifica classe Si percentualizza sul totale quando si vuole vedere l ammontare percentuale delle singole combinazioni (riga+colonna, che diventa una classificazione) Prof. Stefano Nobile L'analisi bivariata (associazione e cograduazione) 9

10 Direzione delle percentuali Oltre 54 Totale Praticanti 24,4 27,6 41,5 28,9 Saltuari 29,1 28,0 20,1 27,0 Non praticanti 46,5 44,4 38,4 44,1 Totale 100,0 100,0 100,0 100,0 (N) (914) (1134) (438) (2486) La percentualizzazione per colonna risponde a questa domanda: «l'età degli intervistati influenza il loro grado di pratica religiosa?». Si tratta di una domanda esplicativa (si considera l età come causa della pratica religiosa). Prof. Stefano Nobile L'analisi bivariata (associazione e cograduazione) 10

11 Direzione delle percentuali Oltre 54 Totale N Praticanti 31,1 43,6 25,3 100,0 (718) Saltuari 39,6 47,3 13,1 100,0 (671) Non praticanti 38,7 46,0 15,3 100,0 (1097) Totale 36,8 45,6 17,6 100,0 (2486) La percentualizzazione per riga risponde a questa domanda: «il gruppo dei praticanti è mediamente più giovane o più anziano rispetto ai non praticanti e ai saltuari?» Non è una domanda esplicativa. Non intendiamo sapere se essere praticante o meno abbia effetti sull'età dell'intervistato, lo scopo è meramente descrittivo. Prof. Stefano Nobile L'analisi bivariata (associazione e cograduazione) 11

12 Rappresentazioni grafiche di una relazione bivariata Prof. Stefano Nobile L'analisi bivariata (associazione e cograduazione) 12

13 Rappresentazioni grafiche di una relazione bivariata Prof. Stefano Nobile L'analisi bivariata (associazione e cograduazione) 13

14 Indipendenza statistica B1 B2 B3 B4 Tot A A A A Tot Prof. Stefano Nobile L'analisi bivariata (associazione e cograduazione) 14

15 Associazione statistica B1 B2 B3 B4 Tot A A A A Tot Prof. Stefano Nobile L'analisi bivariata (associazione e cograduazione) 15

16 Marradi, 1997 Associazione statistica Concordanza Associazione tra due variabili categoriali Cograduazione Associazione tra due variabili ordinali Correlazione Covariazione Controvariazione Associazione tra due variabili cardinali o quasi cardinali Associazione tra variabili cardinali e ordinali Prof. Stefano Nobile L'analisi bivariata (associazione e cograduazione) 16

17 Associazione diretta e inversa Associazione Vale per le variabili diretta nominali? Coefficienti di segno positivo Associazione inversa Coefficienti di segno negativo Prof. Stefano Nobile L'analisi bivariata (associazione e cograduazione) 17

18 Accertare la fondatezza di una relazione causale tra variabili Esistenza della relazione Forza della relazione Forma della relazione Genuinità della relazione Coefficienti di significatività statistica Coefficienti di associazione statistica Analisi di opportune relazioni grafiche Analisi multivariata Esistenza della relazione Prof. Stefano Nobile L'analisi bivariata (associazione e cograduazione) 18

19 Il test del χ quadrato L indice chi-quadrato χ 2 misura la distanza della distribuzione di frequenza osservata dalla distribuzione di frequenza attesa che si avrebbe in caso di indipendenza Tale distanza è funzione delle differenze tra le frequenze osservate e quelle teoriche. All aumentare degli scarti in valore assoluto fra le frequenze osservate e quelle teoriche il χ 2 aumenta. L indice è nullo quando le frequenze osservate sono uguali a quelle attese e sono in un caso di indipendenza Prof. Stefano Nobile L'analisi bivariata (associazione e cograduazione) 19

20 Il test del χ quadrato χ 2 = f o fe 2 f e Prof. Stefano Nobile L'analisi bivariata (associazione e cograduazione) 20

21 Il test del χ quadrato Il valore di chi 2 aumenta all aumentare della numerosità del campione n. Per avere una misura di distanza che non dipenda da n viene introdotto φ 2 (phi quadro) φ 2 =χ 2 /n φ 2 = 0 in caso di indipendenza φ 2 min [(r - 1); (c - 1)] dove r e c rappresentano il numero di modalità di X e Y Prof. Stefano Nobile L'analisi bivariata (associazione e cograduazione) 21

22 La forza della relazione: il Q Il Q di Yule è una misura statistica che fornisce un indicazione sulla forza dell associazione tra due variabili categoriali dicotomiche. Si calcola così: Q= ad bc ad+bc X a X b Y a A B Y b C D di Yule Prof. Stefano Nobile L'analisi bivariata (associazione e cograduazione) 22

23 Misure di associazione tra due variabili ordinali: il gamma di Goodman e Kruskal Le variabili ordinali contengono l ordine delle modalità delle variabili. Per questo motivo possono esistere due tipi di relazione: Cograduazione (relazione diretta) tra X e Y quando le modalità di ordine elevato di X si associano più frequentemente a modalità di ordine elevato di Y, e viceversa. Contrograduazione (relazione inversa) tra X e Y quando le modalità di ordine elevato di X si associano più frequentemente a modalità di ordine basso di Y L Indice gamma di Goodman e Kruskal: C D γ = C+D dove C e D rappresentano il numero di coppie concordanti e discordanti nei dati. - 1 γ +1 Prof. Stefano Nobile L'analisi bivariata (associazione e cograduazione) 23

24 Misure di associazione tra due variabili ordinali: il tau di Kendall Tau-b= P Q D r D c P = Somma delle coppie cograduate; Q = somma delle coppie contrograduate Tau-c= q(p Q) N 2 (q 1) Dove q=min(r,c) Prof. Stefano Nobile L'analisi bivariata (associazione e cograduazione) 24

25 La forza della relazione: il φ, In alternativa, si usa il φ: Φ = ab cd a+b c+d a+c (b+d) Oppure di il D di Somers: d = ab cd ad+bc+ 1 2 (ad+bc) il D di Somers e il tau Sebbene quello che funziona meglio, in circostanze di questo tipo, sembra essere il τ (tau) : τ = 4 (ad bc) N 2 Prof. Stefano Nobile L'analisi bivariata (associazione e cograduazione) 25

26 Entrambe equilibrate e Sinottica dei coefficienti per tabelle di contingenza fra due dicotomie (Marradi, 1997: 44) Coppie di marginali Q φ D sim τ D xy Entrambe equilibrate Bene Bene Bene Bene bene Una equilibrata e una no Sovrastima Bene Bene Bene Sovrastima se è semivuota una riga; bene se è semivuota una colonna Nessuna cella (semi)vuota Bene Accettabile Accettabile Accettabile Accettabile Una cella (semi)vuota Sovrastima moltissimo Sovrastima molto Sovrastima molto Sovrastima molto Sovrastima molto Una diagonale (semi)vuota Bene Bene Bene Può sottostimare molto Bene Tre celle (semi)vuote Sovrastima moltissimo Sovrastima molto Sovrastima molto Accettabile Sovrastima Prof. Stefano Nobile L'analisi bivariata (associazione e cograduazione) 26

27 Il paradosso di Simpson Si vuole sperimentare l effetto sulle vendite di un certo prodotto di una campagna pubblicitaria; Da un sondaggio effettuato, è noto che i contenuti del messaggio pubblicitario sono stati considerati sgradevoli da una certa quota delle persone intervistate (il messaggio era, o appariva, politicamente scorretto ). Prof. Stefano Nobile L'analisi bivariata (associazione e cograduazione) 27

28 Il paradosso di Simpson La sperimentazione ha dato i seguenti risultati: Hanno acquistato Non hanno acquistato Totale Con pubblicità Senza pubblicità Totale % di acquisto con pubblicità: 50% % di acquisto senza pubblicità: 40% Quindi sembra che nonostante la sgradevolezza del messaggio la campagna abbia comunque avuto un certo successo. Prof. Stefano Nobile L'analisi bivariata (associazione e cograduazione) 28

29 Il paradosso di Simpson Ora andiamo a vedere che cosa accade se separiamo il nostro campione in due parti: rispettivamente, in maschi e femmine: Maschi Hanno acquistato % di acquisto con pubblicità: 60% % di acquisto senza pubblicità: 70% Non hanno acquistato Totale Con pubblicità Senza pubblicità Totale Prof. Stefano Nobile L'analisi bivariata (associazione e cograduazione) 29

30 Il paradosso di Simpson Ecco quanto accade tra le femmine: Femmine Hanno acquistato Non hanno acquistato Totale Con pubblicità Senza pubblicità Totale % di acquisto con pubblicità: 20% % di acquisto senza pubblicità: 30% Prof. Stefano Nobile L'analisi bivariata (associazione e cograduazione) 30

31 Il paradosso di Simpson A sorpresa, quindi, gli stessi dati una volta considerati separatamente per maschi e femmine, danno risultati completamente opposti a quelli visti per il campione complessivo; Questo fenomeno è dovuto alla scelta evidentemente disonesta del protocollo sperimentale: durante la sperimentazione, i maschi sono stati sottoposti al messaggio pubblicitario in misura molto maggiore rispetto alle femmine (300 maschi vs 100 femmine); E questo perché ai disonesti sperimentatori era noto che, per i maschi, il messaggio pubblicitario era risultato essere molto meno sgradevole che per le femmine. Prof. Stefano Nobile L'analisi bivariata (associazione e cograduazione) 31

32 Il rapporto di probabilità e gli odds ratio Una misura di associazione molto importante è il rapporto tra Odds (Odds Ratio), in alcuni testi chiamato anche rapporto crociato. Dato un certo insieme di individui, suddiviso dicotomicamente in due parti: coloro che sono ammalati, (o hanno una certa condizione, A) e coloro che non sono ammalati (NA), si dice ODDS, o rapporto di probabilità, il rapporto tra la probabilità di essere ammalati (o di avere una certa condizione, A) e la probabilità dell evento complementare, cioè di non essere ammalati (NA, o di NON avere una certa condizione, A). Prof. Stefano Nobile L'analisi bivariata (associazione e cograduazione) 32

33 Il rapporto di probabilità P(A) Odds = P(A)/P(NA) = 1 P(A) Poiché, con semplici passaggi, si ha: odds = P(A) P(NA) = ammalati popolazione a rischio non ammalati polazione a rischio = ammalati non ammalati Risulta evidente che per calcolare l odds non è necessario conoscere la consistenza numerica della popolazione a rischio, ma è sufficiente sapere quanti Sono ammalati e quanti no. Prof. Stefano Nobile L'analisi bivariata (associazione e cograduazione) 33

34 Gli odds ratio Se vogliamo confrontare ciò che accade a un insieme di individui (es. gli ESPOSTI a un certo fattore Di Rischio) con ciò che accade a un altro insieme di individui (es. i NON ESPOSTI), possiamo fare il rapporto tra i due ODDS (Odds Ratio): OR = Odds (Esposti) Odds (Non esposti) = ammalati non ammalati esposti ammalati non esposti non ammalati Prof. Stefano Nobile L'analisi bivariata (associazione e cograduazione) 34