DESCRIZIONE DEI RISULTATI PRESENTATI KEVIN R. PAYNE

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1 DESCRIZIONE DEI RISULTATI PRESENTATI KEVIN R. PAYNE INTERESSI DI RICERCA Teoria degli operatori pseudodifferenziali ed analisi funzionale nonlineare (1) Equazioni alle derivate parziali Analisi microlocale e problemi di risolubilità (2,3,4) Esistenza di soluzioni generalizzate per problemi lineari (5,8,15) Principi di massimo e teoria spettrale per problemi lineari (6,8,9,10) Metodi variazionali e topologici per problemi nonlineari (5,6,7,10,11,12) Gruppi di simmetria, leggi di conservazione, e strutture geometriche (12,13) Metodi di molteplicatori per problemi lineari e nonlineari (5,8,11,12,13,14,15) I numeri si riferiscono all elenco delle quindici (15) pubblicazioni scelte al fine della valutazione comparativa - Allegato 5. La maggior parte dei lavori presentati concerne equazioni lineari e nonlineari di tipo misto ellitticoiperbolico o degeneri. Il prototipo di tali equazioni è l equazione di Tricomi, in cui l operatore differenziale T u := yu xx + u yy cambia di genere se il dominio Ω su cui si considera il problema interseca l asse delle x. L alternanza di tipo rende estremamente difficile lo studio e ciò giustifica la mancanza di una teoria organica e ben sviluppata quale la teoria ellittica o iperbolica. Equazioni che cambiano tipo in questo modo sono di interesse applicativo, per esempio, nello studio di flussi transonici, nell immersione di varietà con curvatura che cambia segno, e nella relatività generale e cosmologia quantistica. PRINCIPALI RISULTATI CONSEGUITI Teoria degli operatori pseudodifferenziali ed analisi funzionale nonlineare [1] Payne, K. R. - Smooth tame Fréchet algebras and Lie groups of pseudodifferential operators, Comm. Pure Appl. Math. 44, no.3 (1991), Riassunto: La domanda principale che ci si pone è sino a che punto sia possibile utilizzare la teoria degli operatori pseudodifferenziali in una struttura di Teorema delle Funzioni Implicite (di tipo Nash- Moser) per mostrare l esistenza di soluzioni per equazioni e sistemi nonlineari. Questo soggetto ha ancora interesse come si può vedere dal fatto che l esistenza locale nel caso semilineare è stato risolto solo recentamente. I risultati dicono che tutte l operazioni algebriche fatte su operatori pseudodifferenziali conservano le stime di tipo smooth tame su cui si basa la teoria di Nash-Moser. 1

2 Esistenza di gruppi di Lie e *- Algebre di Fréchet di operatori pseudodifferenziali globali, le cui operazioni algebriche obbediscono a stime di tipo smooth tame dell analisi funzionale nonlineare di Nash-Moser, (Teoremi 4.2 e 4.3 di [1]). Utilizzazione della caratterizzazione di Cordes delle algebre di operatori pseudodifferenziali via la regolarità dell operazione di coniugazione attraverso la rappresentazione di opportuni gruppi di Lie, (sezione 1 di [1]). Esistenza di strutture di smooth tame su C (M, B) nel caso in cui M è una palla compatta centrata nell identità di un gruppo di Lie e B è una *-algebra di Banach, (sezione 3 di [1]). Analisi microlocale e problemi di risolubilità per equazioni lineari di tipo misto [2] Payne, K. R. - Interior regularity of the Dirichlet problem for the Tricomi equation, J. Math. Anal. Appl. 199, no.1 (1996), [3] Payne, K. R. - Boundary geometry and location of singularities for solutions to the Dirichlet problem for Tricomi type equations, Houston J. Math. 23, no.4 (1997), [4] Payne, K. R. - Solvability theorems for linear equations of Tricomi type, J. Math. Anal. Appl. 215, no.1 (1997), Riassunto: Questi lavori rappresentano il primo studio sistematico di una classe di equazioni di tipo misto mediante strumenti di analisi microlocale; tali strumenti sono independenti grosso modo dal tipo dell equazione. I risultati danno una descrizione completa di come si propagano le singolarità nell interno del dominio e al bordo. Tale informazione è molto importante nello studio dell esistenza di soluzioni di problemi con dati al bordo perchè essi sono spesso sopradeterminati rispetto a spazi di regolarità classica. Inoltre, si provano risultati sulla risolubilità locale, semiglobale e globale mediante la struttura del flusso bicaratteristico per classi di equazione di tipo Tricomi. Più in particolare, il lavoro tocca: Studio della relazione tra la geometria della frontiera del dominio e le singolarità delle soluzioni del problema di Dirichlet. Condizioni necessarie e sufficienti per la regolarità della soluzione all interno in termini della regolarità microlocale alla frontiera per l operatore di Tricomi (Teoremi 3.1 e 5.1 di [2]) utilizzando la teoria di Hörmander della propagazione delle singolarità lungo il flusso bicaratteristico generalizzato. Generalizzazioni al caso di equazioni di tipo Chalpygin anche in dimensione superiore (Teoremi 5.4 e 4.2 di [3]). Fenomeni di propagazione delle singolarità alla frontiera. 1. Si esibiscono per l equazione di Tricomi fenomeni di tipo trapped gliding rays nei punti di frontiera parabolici che abbiano normale interna che punta nella regione ellittica grazie all uso delle coordinate geodetiche normali (Prop. 5.3 di [2]). Questo risultato fornisce una condizione geometrica necessaria per l esistenza di soluzioni con singolarità isolate al bordo parabolico. È stato congetturato negli anni 50 da Guderley che tali soluzioni debbano esistere e la loro esistenza implica una contrazione dello shock su di un punto del profilo alare nei problemi di flusso transonico. 2

3 2. Analogamente vengono esibiti fenomeni di diffrazione degenere in punti con derivata normale interna in direzione iperbolica. Entrambi i tipi di risultati vengono estesi al caso di equazioni di tipo più generale attraverso l uso di tecniche invarianti di tipo simplettico, (Prop. 4.4 e Prop. 3.7 di [3]). 3. Viene stabilita l assenza di fenomeni diffrattivi nella regione iperbolica, nel caso di domini limitati con frontiere non-caratteristiche e regolari, (Prop 3.3 di [3]) grazie ad un argomento di continuità e all esistenza su ogni componente connessa della frontiera iperbolica di una normale di tipo tempo. Viene stabilita per equazioni di tipo Tricomi la propietà delle bicaratteristiche nulle di non essere imprigionate in insiemi compatti (Prop. 4.4 di [3]) attraverso un analisi del blow-up del sistema Hamiltoniano associato al problema. Il risultato è generalizzato (Prop di [4]) utilizzando una fattorizzazione microlocale dell operatore, la riduzione del sistema equivalente e un attenta stima a priori che utilizza l uniforme ellitticità di un opportuna espressione e la diseguaglianza di Gronwall. Teoremi di risolubilità per equazioni di tipo Tricomi. 1. Vengono derivati risultati di risolubilità locale e semiglobale dalla teoria di Hörmander e della proprietà di non-imprigionamento delle bicaratteristiche nulle (Teoremi 2 e 3 di [5]). 2. Viene stabilito un risultato di risolubilità globale attraverso la dimostrazione della pseudoconvessità del flusso bicaratteristico, ottenuta mediante la costruzione di una specie di inviluppo pseudo-convesso per il sistema Hamiltoniano associato (Teorema 4 di [5]). Esistenza di soluzioni generalizzati per equazioni lineari di tipo misto [5] Lupo, D. and Payne, K. R. - A dual variational approach to a class of nonlocal semilinear Tricomi problems, NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl. 6, no.3 (1999), [8] Lupo, D. and Payne, K. R. - On the maximum principle for generalized solutions to the Tricomi problem, Commun. Contemp. Math. 2, no.4 (2000), [15] Lupo, D., Morawetz, C. S. and Payne, K. R. - On closed boundary value problems for equations of mixed elliptic-hyperbolic type, Comm. Pure Appl. Math. 60, no.9 (2007), Riassunto: Sono stati studiati due tipi di problemi al contorno per equazioni lineari di tipo misto nel piano: problemi aperti in cui il dato al bordo è assegnato solo su un sottoinsieme proprio del bordo e problemi chiusi in cui il dato è assegnato su tutto il bordo. La presenza di iperbolicità implica che problemi chiusi sono sovvradeterminati per soluzioni classiche e quindi bisogna cercare soluzioni in un opportuno senso debole. Entrambi tipi di problemi sono di interesse nello studio di flussi transonici potenziali dove l equazione per la funzione potenziale/di corrente diventa lineare dopo una trasformazione odografa e le condizioni al bordo nel piano odografo sono aperti per flussi nel caso di un canale e chiusi per flussi attorno un profilo. Esistevano pocchisimi risultati sui problemi chiusi e tutti i risultati esistente nella letteratura hanno ipotesi forti sulla geometria del bordo che corrisponde alla geometria nel piano fisico nelle applicazioni. Sono stati mostrati i seguenti risultati di esistenza di soluzioni generalizzate con particolare attenzione alla generalità della geometria del bordo: 3

4 Per ogni termine noto f L 2 e per domini angolosi (cioè con spigoli acuti nei punti parabolici del bordo), è mostrata l esistenza ed unicità di una soluzione generalizzata nello spazio di Sobolev W 1,2 per il problema lineare di Tricomi (LT ) e il problema aggiunto (LT ). Gli operatori inversi sono mostrati essere compatti. Questo problema classico è aperto in cui il datoè assegnato sul bordo ellittico e su una delle due caratteristiche che formano il bordo iperbolico. Le dimostrazioni sono fatte mediante il cosidetto metodo di integrali (a, b, c) che fornisce opportune stime a priori (cf. sezione 2 e l appendice di [5]). Per domini normali (cioè cui il bordo ellittico incontra il segmento parabolico perpendicolarmente) con un ipotesi di convessità nei punti parabolici al bordo, risultati analoghi sono mostrati per soluzioni deboli in un opportuno spazio di Sobolev con peso (Teoremi 2.1 e 2.2 di [8]). Il risultato chiarisce, inoltre, affermazioni contradittorie che si trovano nel lavoro di Didenko per domini normali. Per una classe di operatori lineari di tipo Tricomi è stata mostrata l esitenza di una soluzione debole in L 2 per ogni termine noto nello spazio H 1 (il duale dello spazio di Sobolev H0 1 = W 1,2 0 per il problema (chiuso) di Dirichlet (Teorema 2.2 di [15]). L unica ipotesi sul dominio è che il bordo sia C 1 a tratti. Tale soluzione è troppo debole per essere unica ma soluzioni forti sono uniche (Teorema 2.2 di [15]). Invece, per domini in cui il bordo iperbolico è stellato in un senso opportuno è mostrata l esistenza ed unicità di una soluzione generalizzato in uno spazio di Sobolev con peso opportuno (Teorema 3.2 di [15]) per ogni termine noto in L 2 con un peso opportuno. Le tecniche sono varianti dei metodi di integrali dell energia calibrate ad invarianze e quasi invarianze del operatore. Questo risultato migliore sostanzialmente l unico risultato noto sul problema di Dirichlet (Morawetz, Comm. Pure. Appl. Math. (1970)). Un rislutato analogo è ottenuto per il problema con condizioni miste Dirichlet-conormale al bordo (Teorema 4.4 di [15]). La tecnica consiste in una riduzione ad un sistema del primo ordine e poi l applicazione del metodo di multiplcatori come nel lavoro di Morawetz (Comm. Pure Appl. Math. (1958)). In un lavoro successivo, il Teorema 3.2 di [15] viene generalizzato in diversi modi rispetto alla geometria del bordo. In particolare, l obbiettivo principale di questo studio è la dimostrazione dell esistenza di candidati per veri flussi transonici nel piano odografo via l esistenza di soluzioni di un problema di Dirichlet per la funzione corrente. Tale obbiettivo è in fase di realizzazione. Principi di massimo e teoria spettrale per equazioni lineari di tipo misto [6] Lupo, D., Micheletti, A. M., and Payne, K. R. - Existence of eigenvalues for reflected Tricomi operators and applications to multiplicity of solutions for sublinear and asymptotically linear nonlocal Tricomi problems, Adv. Differential Equations 4, no.3 (1999), [8] Lupo, D. and Payne, K. R. - On the maximum principle for generalized solutions to the Tricomi problem, Comm. Contemp. Math. 2, no.4 (2000), [9] Lupo, D. and Payne, K. R. - Existence of a principal eigenvalue for the Tricomi problem, Electron. J. Differential Equations, Conf. 05 (2000),

5 [10] Lupo, D. e Payne, K. R. - Spectral bounds for Tricomi problems and applications to semilinear existence and existence with uniqueness, J. Differential Equations 184, no.1 (2002), Riassunto: Il fatto che il problema lineare di Tricomi non è autoaggiunto dà una spiegazione parziale del fatto che non esista una teoria spettrale per tale operatore (come non ci sia per tutti i problemi con condizioni aperte). Tale mancanza rallenta il progresso sui problemi nonlineari associati. Come un primo passo, sono stati analizzati gli autovalori di una versione simmetrizata del problema in cui l operatore è composto con un operatore di riflessione. Poi, a partire dai principi di massimo/minimo noti per soluzioni abbastanza regolari è stato esteso tali risultati a soluzioni generalizzate in un senso opportuno. Il risultato vale per un termine noto in L 2 qualsiasi e domini normali (definiti nel punto sopra). Il fatto di avere un principio di massimo che è compatibile con la teoria di esistenza è molto importante per le applicazioni. Per esempio, il nostro principio di minimo fornisce l invarianza del cono positivo in L 2 rispetto l operatore di soluzione da cui si ricava l esistenza di un autovalore principale, che è un primo risultato di una teoria spettrale per questo problema noto dagli anni 20. In particolari sono stati mostrati i risultati seguenti. Esistenza di infiniti autovalori positivi ed infiniti negativi per operatori Tricomi simmetrizzati mediante la caratterizzazione variazionale degli autovalori di operatori compatti autoaggiunti (Proposizione 2.1 di [6]) È mostrato un principio di massimo/minimo per soluzioni generalizzate del problema (LT ); cioè, per ogni f L 2 tale che f 0( 0) la soluzione generalizzata u soddisfa u 0( 0) (cf. Teorema 3.1 di [8]). Il risultato è mostrato in passi: 1) applicare un risultato di Agmon di esistenza di soluzioni continue per un problema regolarizato, 2) dimostrare proprietà di ulteriore regolarità di tali soluzioni, 3) dimostrare una variante del principio di massimo di Agmon-Nirenberg-Protter per soluzioni che soddisfino proprietà di regolarità più deboli (nel caso di condizioni al bordo omogenea e termine noto a sopporto compatto) e 4) usare la continuità dell operatore di soluzione per soluzioni generalizzate. È mostrata l esistenza di un autovalore principale per l operatore di Tricomi con condizioni di Tricomi omogenee al bordo; cioè l esistenza di una coppia autovalore-autofunzione (λ, u) dove λ > 0 è di modolo minimo nello spettro e u è un autofunzione generalizzata tale che u > 0 q.o. (cf. Teorema 1.1 di [9]). La dimostrazione è una combinazione dei risultati d esistenza e principio di minimo sopra descritti e di un argomento di tipo Krein-Rutman. È mostrato che gli autovalori reali associati ad autofunzioni generalizzate del operatore di Tricomi con condizioni omogenee al bordo sono positivi (cf. Teorema 2.5 di [10]). Inoltre si ottengono stime sull estremo inferiore dello spettro mediante una raffinamento della tecnica usata per mostrare la risolubilità (cf. Esempio 2.6 di [10]) Metodi variazionali e topologici per equazioni nonlineari di tipo misto e degenere [5] Lupo, D. e Payne, K. R. - A dual variational approach to a class of nonlocal semilinear Tricomi problems, NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl. 6, no.3 (1999), [6] Lupo, D., Micheletti, A. M., e Payne, K. R. - Existence of eigenvalues for reflected Tricomi operators and applications to multiplicity of solutions for sublinear and asymptotically linear nonlocal Tricomi problems, Adv. Differential Equations 4, no.3 (1999),

6 [7] Lupo, D. e Payne, K. R. - Multiplicity of nontrivial solutions for an asymptotically linear nonlocal Tricomi problem, Nonlinear Anal. Ser. A; Theory, Methods 46, no.1 (2001), [10] Lupo, D. e Payne, K. R. - Spectral bounds for Tricomi problems and applications to semilinear existence and existence with uniqueness, Preprint J. Differential Equations 184, no.1 (2002), [11] Lupo, D. and Payne, K. R. - Critical exponents for equations mixed elliptic-hyperbolic and degenerate types, Comm. Pure Appl. Math. 56 (2003), [12] Lupo, D. and Payne, K. R. - Conservation laws for equations of mixed elliptic-hyperbolic type and applications, Duke Math. J. 127, no.3 (2005), [14] Lupo, D., Payne, K. R. and Popivanov, N. I. - Nonexistence of nontrivial solutions for supercritical equations of mixed elliptic-hyperbolic type, , Progr. Nonlinear Differential Equations Appl. 66, Birkhäuser Verlag, Basel, Riassunto: È iniziato in Lupo-Payne [5] lo studio dell uso di metodi variazionali/ topologici per equazioni di tipo misto. Vi è una duplice motivazione per cercare di implementare tale approccio; la prima è che ci sono problemi fisici particolari ma interessanti (il flusso transonico), che hanno una caraterizzazione variazionale formale e la seconda è che soluzioni variazionali sono trovate in un modo globale (anzichè di trovare soluzioni a pezzi come è comunemente fatto nella letteratura sulle equazioni di tipo misto). Cominciando con il problema più studiato (il problema lineare di Tricomi) viene stabilito che si possono trattare problemi semilineari simmetrizzati in un modo variazionale. L estensione al problema di Dirichlet è il soggetto di lavori in corso reso trattabile per i nuovi risultati di esistenza ed unicità citati sopra. Inoltre sulla base dei nostri risultati per la parte lineare si possono trattare problemi (non simmetrizzati) semilineari a crescita sottocritica tramite metodi topoligici come teoremi di punto fisso, il grado di Leray-Schauder ed il metodo di sopra e sottosoluzioni. Infine, sono stati mostrati risultati di nonesistenza per problemi sopracritici tramite identità di tipo Pohožaev calibrate alle invarianze ripsetto dilatazioni anisotropiche. L esponente critico è uno in meno di un esponente critico in un immersione di Sobolev con pesi naturale per il problema. Così si trova un analogia soprendente con il caso puramente ellittico. In particolare: Introduzione e applicazione di un metodo duale per problemi di Tricomi semilineari non locali. Lo studio è composto di tre parti. 1. Teoria d esistenza di soluzioni deboli per il problema lineare di Tricomi (sopra citato) per domini angolari. 2. Simmetrizzazione dell operatore di Tricomi lineare su di un dominio simmetrico attraverso un operatore di riflessione (sezione 2 di [5]). 3. Esistenza di una soluzione non banale per una classe di problemi di Tricomi semilineari nonlocali con nonlinearità sublineare ottenuta come controimmagine di un punto di minimo per il funzionale duale associato (Teorema 1.2 di [5]). Sviluppo del metodo duale per risultati di esistenza e molteplicità di soluzioni per problemi di Tricomi semilineari usando la teoria spettrale per l operatore simmetrizzata (sopra citata). 1. Esistenza di infinite soluzioni per nonlinearità dispari e sublineari che sono controimmagini di infiniti punti critici del funzionale duale ottenuti con l uso del genere di Krasnoselskii (Teorema 3.2 di [6]). 6

7 2. Esistenza di una soluzione non banale per nonlinearità asintoticamente lineari all infinito e sublineari in zero ottenuta come controimmagine di un passo di montagna (Teorema 4.1 di [6]). 3. Esistenza di una soluzione non banale per nonlinearità asintoticamente lineari all infinito ed in zero (con pendenze diverse) come controimmagine di un punto di linking (Teorema 4.4 di [6]). Esistenza di due soluzioni distinte ottenute mediante un secondo linking che risulta essere distinto dal linking precedentemente trovato tramite stime precise sui livelli (Teorema B di [7]). Gli stessi risultati adesso possono essere dimostrati per domini normali sulla base dei risultati in [8] tenendo conto solo del fatto che nel caso normale c è un esponente critico per l immersione dello spazio delle soluzioni deboli (con peso) in L p (sezione 3 di [10]). Risultati di esistenza ed esistenza con unicità per problemi semilineari non simmetrizzati. Lo studio è composto di tre parti. 1. Teoria d esistenza di soluzioni deboli, principio di massimo e teoria spettrale per il problema lineare (sopra citate) 2. Esistenza di soluzioni generalizzate per problemi con nonlinearità sottolineari tramite il principio di Leray-Schauder (Teorema 3.2 di [10]) 3. Esistenza di un unica soluzione per problemi con nonlinearità sottolineari o asintoticamente lineari sotto l ipotesi di lipschitzianità della nonlinearità dove la costante di Lipschitz dipende da stime sullo spettro del problema lineare (Teorema 3.5 di [10]). Risultati di nonesistenza per problemi semilineari sopracritici di tipo misto e degenere. Lo studio comprende 1. Idenità di tipo Pohožaev calibrate alle invarianze rispetto dilitazioni anisotropiche (sezione 3 di [11]). 2. Nonesistenza di soluzioni non banali per vari problemi con condizioni aperte al contorno con crescita sopracritica tramite l identità di tipo Pohožaev più una disuguaglianza di Hardy- Sobolev ottimale per controllare la mancanza di una condizione al bordo su una parte del dominio (sezione 4 di [11]). 3. Nel casi iperbolici degeneri, il risultato di nonesistenza è stato generalizzato ad un problema con crescita critica (Teorema 4.3 di [12]) tramite il metodo delle leggi di conservazione (cf. la discussione nel paragrafo sotto). 4. Tali risultati di nonesistenza sono stati generalizzati in diversi modi; per condizioni di Dirichlet anche in dimensione superiore (Teorema 2.1 di [14]), per condizioni aperte al bordo in dimensione due e oltre (Teoremi 3.1, 3.2, 4.1 di [14]), per operatori di degenerazione laterale (Teorema 5.1 di [14]). 7

8 Gruppi di simmetrie e strutture geometriche per equazioni di tipo misto e degenere [12] Lupo, D. and Payne, K. R. - Conservation laws for equations of mixed elliptic-hyperbolic and degenerate types, Duke Math. J. 127, no.3 (2005), [13] Payne, K. R. - Singular metrics and associated conformal groups for operators of mixed and degenerate types, Ann. Mat. Pura Appl. 185, no.4 (2007), Riassunto: Dato il bisogno di stime nuove per problemi di tipo misto, è stato iniziato uno studio delle strutture algebriche e geometriche associate alla parte lineare dell equazione. È ben noto nella teoria di equazioni iperboliche che leggi di conservazione associate ad invarianze possono fornire nuove stime per l uso in risultati di unicità, regolarità, stabilità, e fenomeni di concentrazione. Sono state classificate tutte le invarianze per equazioni lineari e nonlineari di tipo misto o degenere con degenerazione di tipo Gellerstedt in più variabili tramite tecniche infinitesimali. Sono state trovate tutte le leggi di conservazione associate e completate numerose applicazioni di queste leggi. Infine, è stata associata agli operatori di tipo misto una naturale struttura geometrica via una metrica mista riemanianalorentziana ma singolare. È stato studiato il legame tra questa struttura geometrica e le invarianze degli operatori. Tali metriche con segnatura mista sono di interesse attuale via il no boundary hypothesis di Hawking-Hartle nella relatività generale ed in effetti di tunneling nella cosmologia quantisitica. In particolare sono stati ottenuti i seguenti risultati: Classificazione delle invarianze per operatori di tipo Gellerstedt e calcolo dei gruppi di simmetrie via tecniche infinitesimali nella teoria di gruppi di simmetrie (sezione 2 di [12]). Derivazione di tutte le leggi di conservazione associate (sezione 3 di [12]). Applicazioni delle leggi di conservazione 1. Risultati di unicità per problemi lineari e condizioni aperte al bordo (Teoremi 4.1 e 4.2 di [12]) per domini stellati che non richiedono monotonia sulla parte del bordo iperbolico in cui viene prescrita la soluzione. Così si migliorano risultati noti. Risultato di unicità (nonesistenza di soluzioni nonbanali) per un problema semilineare a crescita critica (sopra citato). 2. Stime sulla concentrazione di energia localizzata lungo palle per problemi iperbolici degeneri con crescita sopracritica all istante di degenerazione. È stato mostrato che la parte nonbanale del gruppo di simmetria per operatori di tipo Gellerstedt è un gruppo delle trasformazioni conformi rispetto la metrica mista riemanniana-lorenziana natuaralmente associata all operatore (Teorema 4.3 di [13]). La dimostrazione usa tecniche infinitesimali per calcolare il gruppo conforme e poi un confronto con la rappresentazione infinitesimale del gruppo di simmetria Metodi di moltiplicatori per problemi lineari e nonlineari [5] Lupo, D. e Payne, K. R. - A dual variational approach to a class of nonlocal semilinear Tricomi problems, NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl. 6, no.3 (1999), [8] Lupo, D. and Payne, K. R. - On the maximum principle for generalized solutions to the Tricomi problem, Commun. Contemp. Math. 2, no.4 (2000),

9 [11] Lupo, D. and Payne, K. R. - Critical exponents for equations mixed elliptic-hyperbolic and degenerate types, Comm. Pure Appl. Math. 56 (2003), [12] Lupo, D. and Payne, K. R. - Conservation laws for equations of mixed elliptic-hyperbolic and degenerate types, Duke Math. J. 127, no.3 (2005), [13] Payne, K. R. - Singular metrics and associated conformal groups for operators of mixed and degenerate types, Ann. Mat. Pura Appl. 185, no.4 (2006), [14] Lupo, D., Payne, K. R. and Popivanov, N. I. - Nonexistence of nontrivial solutions for supercritical equations of mixed elliptic-hyperbolic type, , Progr. Nonlinear Differential Equations Appl. 66, Birkhäuser Verlag, Basel, [15] Lupo, D., Morawetz, C. S. and Payne, K. R. - On closed boundary value problems for equations of mixed elliptic-hyperbolic type, Comm. Pure Appl. Math. 60, no.9 (2007), Riassunto: Nel corso dei nostri lavori su equazioni di tipo misto hanno mostrato avere un ruolo sempre più importante i metodi di moltiplicatori dove si: 1) moltiplica l equazione differenziale per un espressione opportuna, 2) integra l equazione sul dominio, 3) cerca di manipolare l espressione per arrivare ad un indenità o disuguaglianza utile. Ci solo diversi varianti del metodo (moltiplicatori differenziali o integrali) e non c è una ricetta fissa per come scegliere i moltiplicatori. Abbiamo sviluppato sia applicazioni di metodi noti (indicando come scegliere la forma del moltiplicatore) sia generalizzazioni del metodo. In particolare, abbiamo ottenuto: Risultati di esistenza ed unicità per soluzioni deboli per problemi lineari (sopra citati e contenuti in [7],[11],[18]) dove opportune le stime a priori sono ottenute via un perfezionamento di un metodo integrale introdotto da Didenko (Ukrain. Math. J. (1973)) per problemi con condizioni aperte al bordo e poi via un estensione del metodo a problemi con condizioni chiuse al bordo. Risulati di nonesistenza per problemi nonlineari (sopra citati e contenuti in [14],[17]) dove le identità di tipo Pohožaev sono ottenute mediante un moltiplicatore differenziale opportuno. Una classificazione ed un intepretazione geometrica della fomiglia di moltiplicatori più naturali per classe di equazioni di tipo misto e degenere (sopra citate e contenute in [15],[16]). Ulteriori generalizzazioni ed applicazioni del metodo integrale sono contenute in un lavoro successivo. Milano, 5 settembre 2008 Kevin R. Payne 9