Esercizi di PDE C.L. in Matematica e Matematica per le Applicazioni Prof. Kevin R. Payne

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1 Esercizi di PDE C.L. in Matematica e Matematica per le Applicazioni Prof. Kevin R. Payne Capitolo 3: Spazi di Sobolev Esercizio [Derivate deboli]: Per la funzione u : = ( 1, 1) 2 R definita da u(x 1, x 2 ) = sign(x 1 )x 2 calcolare (se esistono) le derivate deboli D 1 u, D 2 u, D 12 u = in L 1 loc (). Esercizio [Derivate deboli e funzioni integrali]: Siano f L 1 loc (R) e F a (x) := x a f (t) dt, a R Da analisi reale si sa che F a è differenziabile quasi-ovunque (essendo localmente assolutamente continua). Mostrare che anche esiste la derivata debole (F a ) w L 1 loc (R). Esercizio [Soluzioni deboli per PDE lineari]: Per l operatore differenziale lineare del secondo ordine n L = a ij (x)d ij, a ij = a ji C () i,j=1 formulare una definizione di u L 1 () è soluzione debole di Lu = in. loc Esercizio [Esempi elementari]: Determinare al variare dei parametri α, β R per quali n N, p [1, + ] le seguenti funzioni stanno in W 1,p (B 1/2 ()) (a): u(x) = x α (b): u(x) = log x β (c): u(x) = x α log x β Ripetere l esercizio per W 1,p (R n \ B 2 ()) W k,p (B 1/2 ()) con k N, p [1, + ] Esercizio [Esempio elementare]: Esercizio di [E]. Esercizio [Funzioni W 1,p ([a, b]) e funzioni AC([a, b]) ]: Esercizi 5.1.5, di [E]. Esercizio [Prime proprietà degli spazi W k,p ()]: Mostrare le proprietà (c) e (d) enunciati a lezione in Teorema (restrizioni, molteplicazione per funzioni C ()). (v. Teorema di [E]) Verificare che i funzionali W k,p () (definiti a lezione in Def 3.2.2) sono davvero norme su W k,p () 1

2 2 Esercizio [Funzioni cutoff e partizioni di unità]: Esercizio 2.29 di [P-ARE] Esercizio di [E] Per maggior dettagli, consultare Paragrafo 3.1 di [G]. Esercizio [Domini per cui C 1 () non è denso in W 1,p ()]: Siano = {(x, y) R 2 : < y < 1, < x < 1} e u : R definita da { 1 x > u(x, y) = x < Verificare che u W 1,p () ma non esiste w C 1 () arbitrariamente vicino a u in norma W 1,p (). Trovare qualche esempio analogo ma con connesso. N.B. Enunciato già a lezione dopo Osservazione 3.3.1, il punto è che le cose vanno male se non sta solo su un lato del suo bordo. nvece, ci sono varie condizioni geometriche per cui vale la denistà (v. Teorema di [E] o più generalmente Teorema 3.22 di [A]). Esercizio [u +, u, u per u W 1,p ()]: Finire la dimostrazione di Corollario delle lezioni, trattando le affermazioni fatte per u e u. (v. anche Esercizio di [E]) Esercizio [Cambiamento di variabili mediante diffeomorfismi di classe C k ]: Giustificare Teorema delle lezioni, consultando la dimostrazione di Adams (Teorema 3.41 di [A]) oppure Giusti (Teorema 3.5 di [G]). Esercizio [Mancanza di tracce per funzioni L p ()]: Esercizio di [E]. Esercizio [Disugualianza di traccia - metodo alternativo]: Sia R n con bordo di classe C 1 e versore normale uscente ν. Dato µ C 1 (, R n ) un campo vettoriale t.c. (1) µ ν 1 su Mostrare che esiste C = C(n, p, µ) t.c. u p ds C ( u p + Du p ) dx. Hint: Usare il Teorema della Divergenza Per = B R (), costruire un campo µ che soddisfa (1) e trovare una stima per C(n, p, µ). Hint: Considerare una funzione cutoff ψ = ψ(ρ) : [r δ, r] R di classe C 1 t.c. per costruire µ = ψ( x )x ψ(r δ) =, ψ(r) = 1, ψ (ρ) 2δ, ρ [r δ, r] Esercizio [Tracce e gli spazi W 1,p ()]: Finire la dimostrazione del Teorema delle lezioni mostrando che se u W 1,p () ha Tu = allora u W 1,p () (v. Teorema di [E]). Esercizio [Soluzione debole del problema di Dirichlet per l equazione di Poisson]: Mostrare che { u = f in u = su

3 3 ha una soluzione debole u H 1 () per ogni f L2 () nel senso che Du Dϕ dx = f v dx, ϕ H 1 () Hint: Considerare E(u) := 1 ( Du 2 f u ) dx 2 e sfruttare la compatezza della immersione H 1 () L2 (). Esercizio [Lemma di Gagliardo]: Mostrare Lemma 3.6.1: Siano { f i } n funzioni non negative in R n tali che f i = f i ( ˆx i ) dove ˆx i = (x 1,..., x i 1, x i+1,..., x n ). Allora n n ( ) 1 f i dx f n 1 n 1 i d ˆx i R n R n 1 N.B. Così si finisce anche la dimostrazione del Teorema (Gagliardo-Nirenberg-Sobolev). Si può consultare Lemma 3.3 di [G]. Esercizio [nterpolazione di norme L p ] Mostrare la disuguaglianza u q u θ p u 1 θ r se 1 q = θ p + 1 θ r N.B. Abbiamo usato questo fatto nella dimostrazione del Corollario con r = p = np/(n p). Esercizio [Ottimalità nelle immersioni di Sobolev] 1 p < n: Mostrare che W 1,p (B 1 ) L p +ɛ (B 1 ) per ogni ɛ >. Hint: Considerare u = u( x ) radiale. 1 < p = n: Mostrare che u definita da u(x) = log log(1 + x 1 ) appartiene a W 1,n (B 1 ) L q (B 1 ) per ogni q < ma u L (B 1 ) N.B. Qui B 1 = B 1 () R n Esercizio [Mancanza di immersioni per domini cattivi ] Siano = {(x, y) R 2 : < x < 1, y < exp( 1/x 2 )} e u(x) = x 3 exp(1/x 2 ). Mostrare che u W 1,1 () \ L q () per ogni q > 1. Esercizio [Sulla definizione degli spazi di Hölder] (a): Mostrare il fatto enunciato a lezione sul prolungamento di funzioni continue: Sia aperto in R n con. Se u C () è uniformemente continua sui sottoinsiemi limitati di allora esiste ū C () tale che ū = u. (b): Dedurre che C,α () := {u C () : u C,α () < + } C () nel senso che u estende ad una e una sola funzione ū C (). (c): Dedurre che C k () := {u C k () : β k, D β u estende con continuita a } = {u C k () : β k, D β u e uniformemente continua sui limitati di } (d): Dedurre che C k,α () = {u C k () : u C k,α () < + } e che Ck,α () C k () nel senso di punto (b).

4 4 Esercizio [Spazi di Hölder sono spazi di Banach]: Esercizio di [E] Esercizio [nterpolazione negli spazi di Hölder] Esercizio di [E]. Esercizio [Derivate deboli e derivate forti] Leggere la dimostrazione del Teorema 3.3 di [G]. Esercizio [Approssimazione in W k,p () con funzioni in C ()] Leggere la dimostrazione del Teorema in [E]. il risultato vale anche per domini con bordo solo Lipschitz (non C 1 come fa [E]). Per questa generalizzazione si può consultare Teorema 3.11 di [G]. Esercizio [Prolungamento da W 1,p () a W 1,p (R n )] Leggere la dimostrazione del Teorema di [E]. l risultato vale anche per domini con bordo meno liscio (Evans usa C 1 ). Per generalizzazioni, si può consultare sezione 5.4 di [A]. Esercizio [Disuguaglianze di Sobolev per u W k,p ] Leggere la dimostrazione del Teorema di [E]. Esercizio [La disugaglianza di Poincaré-Wirtinger] Mostrare la seguente affermazione: Sia = (, 2π) R. Esiste C > independente da u per cui (2) u 2 dx C u 2 dx, u W 1,2 # () dove W 1,2 # () = {u W1,2 () : u() = u(2π), (u) := N.B. Abbiamo l inclusione W 1,2 () C,1/2 () e quindi W 1,2 # u dx = }. () è ben definito. Esercizio [La disugaglianza di Poincaré-Wirtinger generalizzata] Leggere la dimostrazione del Teorema dove viene sostituito con R n con bordo C 1 e lo spazio è W 1,p () (senza le restrizioni di periodicità e media nulla per u). Consultare anche il caso particolare ma importante per = B r (x) in Teorema e il suo legame con lo spazio BMO. Esercizio [Caratterizzazione di W 1, mediante funzioni Lip] Leggere la dimostrazione del Teorema di [E]. Esercizio [Differenziabilità q.o. in W 1,p () se n < p ] Leggere la dimostrazione del loc Teorema di [E] e trovare il Teorema di Rademacher come corollario (Teorema di [E]) usando anche Esercizio Esercizio [Disuguaglianza di Hardy] Mostrare il seguente risultato: Sia u H 1 (B r ) con B r = B r () R n dove n 3, r >. Allora x 1 u L 2 (B r ) ed esiste C = C(n) t.c. u Br 2 ( ) x 2 dx C Du 2 + u2 r 2 dx B r Hint: Sfruttare densità di C (B r ), integrare per parti usando l identità D k ( x 1 ) = x k x 3 e l identità div(u 2 x) dx = r u 2 ds. B r B r

5 5 Referenze [A] - Adams, R.A e Fournier, J.J.F. Sobolev Spaces, 2nd ed., Academic Press, Amsterdam, 23. (La prima edizione è a cura solo di Adams e va bene anche come referenza). [E] - Evans, L.C. - Partial Differential Equations, Graduate Studies in Mathematics, Vol. 19, Amer. Math. Soc., Providence, R, [G] - Giusti, E. - Metodi Diretti nel Calcolo delle Variazioni - Unione Matematica taliana, Bologna, (Adesso disponibile anche in inglese e pubblicato da World Scientific Press, 23). [P-ARE] Payne, K.R. - Esercizi di Analisi Reale, Parte 1, (27), scaricabile in rete all indirizzo