Corso di laurea in Matematica Equazioni Differenziali

Dimensione: px

Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Corso di laurea in Matematica Equazioni Differenziali"

Geronimo Colella
5 anni fa
Visualizzazioni

1 Corso di laurea in Matematica Equazioni Differenziali Dettaglio delle lezioni svolte 29/09 Presentazione del corso. Esempi di equazioni alle derivate parziali. Equazioni in forma di divergenza: derivate di funzionali del calcolo delle variazioni. 30/09 Richiami di analisi funzionale: spazi di Banach, spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue: densità delle funzioni continue, separabilità, spazi duali. Convergenza debole. Spazi riflessivi e proprietà di Bolzano-Weierstrass per la convergenza debole. Teorema di Riesz per spazi di HIlbert. 02/10 Teorema del punto fisso di Brouwer. Teorema di esistenza degli zeri in IR n. Operatori monotoni tra uno spazio di Banach e il suo duale. Teorema di Minty-Browder (suriettività di operatori monotoni coercivi) (si veda l articolo sulla mia pagina web) 06/10 Convoluzione tra funzioni. Mollificatori e approssimazione con funzioni regolari. Spazi di Sobolev: derivate deboli. Proprietà di densità. Spazi duali. (ref: H. Brezis, Analisi Funzionale, Masson ed.. L. C. Evans, Partial differential equations, AMS ed.) 07/10 Spazio W 1,p 0 (Ω). Disuguaglianza di Poincarè. Duale di W 1,p 0 (Ω). Applicazione del Teorema di Minty-Browder all esistenza di soluzioni deboli per operatori in forma di divergenza (problema di Dirichlet). Corollario: esistenza di minimi in W 1,p 0 (Ω) per funzionali convessi e coercivi del Calcolo delle Variazioni. 09/10 Esempi di applicazione del teorema di Minty-Browder. Problema di Neumann in W 1,p (Ω). Discussione della formulazione debole della condizione di Neumann al bordo. 13/10 Composizione e regola della catena negli spazi di Sobolev. Operatore di troncamento. Teoremi di immersione e compattezza negli spazi di Sobolev. (ref: L. C. Evans, Partial differential equations, cap. 5, D. Gilbarg-N. Trudinger, Elliptic partial differential equations of second order, cap. 7)

2 14/10 Metodo di troncamento per l esistenza di soluzioni di A(u) + β(x, u) = f con β(x, ) monotona. Esempi. Teorema di Schauder e Teorema di Schaefer. (ref: L. C. Evans, Partial differential equations, paragrafo 9.2.2, oppure Gilbarg- Trudinger, Elliptic partial differential equations of second order, 11.1 ) 17/10 Esempi di applicazione del Teorema di Schauder: risoluzione del problema di Dirichlet { Lu = u q + f(x) in Ω per crescite sottocritiche. u = 0 in Ω 20/10 Esistenza di soluzioni, mediante punto fisso, per il problema { Lu = H(x, Du) + f(x) in Ω u = 0 in Ω con H a crescita lineare e drift β L N. Principio del massimo debole, teorema di confronto. 20/10 Conclusione della trattazione del problema (1). Limitatezza delle soluzioni deboli mediante stime integrali sui sottolivelli. Discussione della soglia critica per dati in spazi di Lebesgue. (1) 23/10 Regolarità Hölderiana per soluzioni di problemi ellittici con coefficienti misurabili. Motivazioni del Calcolo delle Variazioni. Presentazione del metodo di Nash-Moser e anteprima delle idee principali. (ref: Gilbarg-Trudinger, Elliptic partial differential equations of second order, capitolo 8) 27/10 Stima locale in L per sottosoluzioni di equazioni ellittiche con il metodo iterativo di Moser. 28/10 Stima dell inf per soprasoluzioni di equazioni ellittiche (disuguaglianza di Harnack debole). Teorema di John-Nirenberg e conclusione della dimostrazione della locale Hölderianità delle soluzioni. Principio del massimo forte. 30/10 Riassunto del programma svolto sui problemi ellittici in forma di divergenza. Esempi di applicazione della regolarità Hölderiana: problemi agli autovalori, regolarità C 1,α delle estremali del calcolo delle variazioni.

3 03/11 Problemi di evoluzione. Soluzioni deboli: cenni al quadro funzionale, teorema di Minty-Browder nel caso parabolico. (possibili ref: per una precisa e completa introduzione degli spazi funzionali, si vedano le dispense di J. Droniou sulla mia pagina web, oppure il volume R. Dautray, J.L. Lions: Mathematical analysis and numerical methods for science and technology, Vol. 5, Capitoli XVII-XVIII, Springer- Verlag (1992). Per il teorema di esistenza, si veda ad esempio J.-L. Lions: Quelque méthode de resolution des problèmes aux limites nonlinéaires, [Cap. 2, sections 1-2], Dunod Gauthier-Villars (1969). ) 06/11 Uso del teorema delle contrazioni per la risoluzione di problemi parabolici. Fenomeno di blow-up per l equazione u t u = u p con p > 1. Principio del massimo debole per operatori parabolici lineari (soluzioni regolari). Caso di dominio limitato; problema di Cauchy in tutto IR N. 10/11 Discussione delle condizioni sulla matrice di diffusione e sul drift per la validità del principio del massimo debole in tutto IR N. Effetti regolarizzanti in equazioni paraboliche e decadimento in tempo lungo. Caso del problema di Cauchy diffusione-trasporto: metodo di Bernstein per la stima gradiente. Decadimento della norma sup del gradiente: proprietà di Liouville per funzioni armoniche. Caso di dominio limitato con condizioni di Dirichlet: uso del teorema di confronto per la stima del gradiente al bordo. Decadimento esponenziale tramite confronto con la prima autofunzione. 13/11 Effetti regolarizzanti in equazioni paraboliche e decadimento in tempo lungo: il caso delle soluzioni deboli per operatori in forma di divergenza. Effetto regolarizzante in spazi L p per il problema di Dirichlet: stima per tempi piccoli e comportamento asintotico per t. Dati iniziali in L 2 : regolarizzazione, confronto con funzioni barriera e autofunzioni, decadimento esponenziale. 17/11 Interpretazione probabilistica delle soluzioni per equazioni lineari diffusionetrasporto attraverso la formula di Ito. 18/11 Equazione della legge del processo stocastico (equazione di Fokker-Planck). Conservazione della norma L 1. Controllo su dinamiche deterministiche ed equazioni di Hamilton-Jacobi.

4 20/11 Controllo su processi stocastici ed equazioni di Bellman per la funzione valore. (possibili ref: survey article di Soner (vedi pagina web), oppure i libri Bardi- Capuzzo Dolcetta: Optimal Control and Viscosity Solutions of Hamilton- Jacobi- Bellman Equations, Birkhäuser (1997). Fleming-Soner: Controlled Markov processes and viscosity solutions, 2nd ed. Springer- Verlag (1993). i quali contengono anche la presentazione della teoria di viscosità in relazione ai problemi di controllo) 24/11 Teoria delle soluzioni di viscosita. Definizione ed esempi. Teorema di stabilita rispetto alla convergenza localmente uniforme. Esempio: metodo della viscosita evanescente per l equazione u t + Du = f(t, x) (problema di Cauchy in IR n con f e u 0 Lipschitz). (ref: la referenza principale per una presentazione sistematica della teoria è l articolo M.G. Crandall, H. Ishii, P.-L. Lions, Users guide to viscosity solutions of second order partial differential equations. Bull. AMS 27, 1 67 (1992). ) 25/11 Sopra(sotto) differenziali del primo e second ordine. Esempi. Formulazione di viscosita usando i sopra(sotto)differenziali. Principio di confronto per il problema di Cauchy u t + H(t, x, Du) = 0 in (0, T ) IR n. Dimostrazione con il metodo di raddoppio di variabili (inizio...). 27/11 Fine della dimostrazione del principio di confronto per il problema di Cauchy del primo ordine. 01/12 Principio di confronto per equazioni del second ordine: presentazione della strategia del raddoppio di variabili. Enunciato del teorema di confronto; verifica delle ipotesi nel caso di diffusioni degeneri con drift (A = σσ con σ Lipschitz e b tale che b + cx è monotono). 02/12 Dimostrazione del Teorema di confronto usando il teorema delle somme (sul sopradifferenziale dei minimi locali di u(x) + v(y) ϕ(x, y)). Proprieta di sup e inf convoluzioni.

5 03/12 Dimostrazione del teorema delle somme. 04/12 Teorema di esistenza di soluzioni con il metodo di Perron. 11/12 Esempio: l equazione iconale stazionaria. Proprietà delle sottosoluzioni nel caso di Hamiltoniana coerciva e convessa. La distanza dal bordo come unica soluzione di viscosità del problema di tempo d uscita. 15/12 Esistenza di barriere al bordo per il problema stazionario di diffusionetrasporto: ruolo della diffusione normale, effetti di curvatura e trasporto. Corollario: esistenza di soluzioni in C(Ω) per il problema modello { λu Tr(A(x)D 2 u) b(x) Du = f(x) x Ω u = 0 x Ω. Condizioni al bordo rilassate e formulazione generalizzata nei casi degeneri. (2) 16/12 Problema del second ordine nel caso uniformemente ellittico. Metodo di Ishii-Lions per la stima Hölder o Lipschitz delle soluzioni attraverso il raddoppio di variabili. Corollario: regolarità delle soluzioni del problema (2) nel caso A(x) coerciva. 18/12 Formulazione generalizzata delle condizioni al bordo e definizione di soluzione di viscosità nel caso discontinuo. Analisi dell esempio modello u +u = 1 con condizioni di Dirichlet; confronto con il problema coercivo u + u = 1. Problema del tempo di uscita, rappresentazione delle soluzioni, discussione della condizione al bordo per problemi di puro trasporto. (ref: Bardi-Capuzzo Dolcetta, Crandall-Ishii-Lions, op. cit.)

Documenti analoghi

Sulle funzioni di W 1,p (Ω) a traccia nulla

Sulle funzioni di W 1,p (Ω) a traccia nulla Sulle funzioni di W 1,p () a traccia nulla Sia u W 1,p (R n ) e supponiamo che il supp u, essendo un aperto di R n. Possiamo approssimare u con una successione di funzioni C il cui supporto è contenuto