Modelli Matematici per l Ingegneria

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1 Dispense del corso di Modelli Matematici per l Ingegneria Facoltà di Ingegneria Università degli studi dell Aquila Anno Accademico Marco Di Francesco

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3 Indice 1 Introduzione alle equazioni alle derivate parziali PDE del primo ordine semilineari Equazioni semilineari del secondo ordine in due variabili Problemi ben posti Modelli di diffusione L equazione del calore Un modello di propagazione del calore Problemi ben posti per l equazione del calore Evoluzione della temperatura in una sbarra omogenea. Tendenza all equilibrio Il metodo dell energia. Unicità La soluzione fondamentale Il problema di Cauchy Diffusione e probabilità Diffusione non lineare Conducibilità termica nei gas diluiti Le soluzioni di Barenblatt Diffusione veloce Problemi stazionari. Equazioni di Laplace e di Poisson La soluzione fondamentale Problema al bordo sul cerchio per l equazione di Laplace Il metodo della funzione di Green Tendenza all equilibrio per l equazione del calore Modelli di convezione e di convezione diffusione Un modello di traffico Equazione del trasporto lineare Un modello cinematico di traffico non lineare Due modelli semplificati di trasporto nonlineare Un modello di scambio chimico Moto di particelle in un letto fluidizzato

4 4 INDICE 4.5 La legge di conservazione scalare nonlineare Rarefazione e shock nel modello di Whitham Onde smorzate Modello di inquinante in un fiume (drift-diffusion) L equazione di Burgers viscosa Viscosità evanescente Onde viaggianti N-Waves viscose Fenomeni vibratori: l equazione delle onde Onde trasversali in una corda: derivazione del modello L equazione delle onde in elettromagnetismo Conservazione dell energia Unicità della soluzione La formula di d Alembert Soluzione fondamentale L equazione non omogenea. Metodo di Duhamel Effetti di dispersione e dissipazione Dissipazione esogena Dissipazione interna Dispersione Piccole vibrazioni di una membrana elastica Membrana quadrata Un metodo di riflessione Soluzione in dimensione tre Soluzione in dimensione due Moto di un sistema continuo Nozione di sistema continuo Teorema del trasporto Conservazione della massa Bilancio dell impulso (equazione di Newton) Bilancio del momento angolare Bilancio dell energia (prima legge della Termodinamica) Equazioni di Eulero e Navier Stokes Fluidi ideali Fluidi perfetti Fluido viscoso di Navier-Stokes Fluido incompressibile

5 8 Fluidi ideali Condizioni al contorno Conservazione dell energia totale Teoremi di Bernoulli Teorema di Kelvin Flussi bidimensionali Equazione della vorticità in dimensione Cenni di teoria cinetica: l equazione di Boltzmann Funzioni di distribuzione L equazione di Boltzmann La distribuzione di Maxwell Boltzmann Pressione e temperatura assoluta Il teorema H di Boltzmann. Entropia Alcuni limiti idrodinamici Equazione delle onde con dissipazione esogena Primo metodo: separazione delle variabili Secondo metodo: stima dell energia Approssimazione acustica per un flusso isoentropico Limite incompressibile per il flusso isoentropico Limite diffusivo in un mezzo poroso Fenomeni di radiazione termica in un gas Concetti introduttivi L equazione del radiative transfer Approssimazione diffusiva A Alcuni richiami di analisi e di geometria. 159 A.1 Distanze, norme e topologia A.2 Matrici A.3 Calcolo differenziale in più variabili A.4 Integrazione A.5 Serie di funzioni A.6 Serie di Fourier A.7 Equazioni differenziali ordinarie

6 6 INDICE

7 Introduzione Questo libro raccoglie gli argomenti dell omonimo corso di Modelli matematici per l Ingegneria, previsto per l Anno Accademico , alla Facoltà di Ingegneria dell Università degli Studi dell Aquila. Lo scopo di base di questo corso è duplice: in primo luogo trattare alcuni metodi standard per ricavare modelli di equazioni alle derivate parziali applicati ad alcuni semplici problemi di fisica e di ingegneria; in secondo luogo e compatibilmente con il background matematico degli studenti, fornire loro gli strumenti analitici per risolvere o per studiare qualitativamente i problemi posti. Riguardo al primo aspetto, verranno ad esempio studiati modelli di trasporto, convezione, diffusione (o dispersione), reazione e dissipazione, con applicazioni alla dinamica dei fluidi, ai modelli di traffico, alla propagazione di onde elastiche lineari, ad alcune dinamiche particellari. Per la maggior parte di questi modelli si fornirà una descrizione di tipo cinematico, ovvero in cui vengono trascurati gli effetti dinamici (o inerziali) causati dalla relazione tra le accelerazioni e le forze in gioco. Sono questi i modelli per cui verranno forniti maggiori strumenti dell analisi matematica, data anche la loro relativa semplicità. Verranno anche introdotti modelli dinamici (idrodinamici nel caso dei modelli di fluido dinamica) per cui è assai difficile trattare una teoria matematica adattata alle conoscenze matema- tiche degli studenti. In questo caso si studierà soprattutto il comportamento di tali modelli mandando certi parametri al limite. Riguardo ai metodi matematici usati nel corso, nel caso di modelli lineari (ed anche in qualche model- lo nonlineare, come ad esempio l equazione viscosa di Burgers) verranno forniti metodi per la risoluzione analitica esplicita. La teoria nonlineare ha nello studio delle onde di shock per le leggi di conservazione nonlineari il suo argomento principale. Per il resto, nel caso di modelli nonlineari si cercherà di analizzare le soluzioni da un punto di vista qualitativo. Il corso è organizzato distribuendo gli argomenti dal punto di vista dei modelli matematici piuttosto che delle aree di applicazione. Ad esempio, il capitolo sui modelli di trasporto conterrà sia modelli di traffico che modelli di scambio chimico. Ci sembra questo un modo per abituare lo studente a riconoscere la matematica che c è dietro un problema al di là della branca specifica di applicazione. Per quanto riguarda i prerequisiti matematici, si considerano note la teoria delle funzioni reali ed il calcolo differenziale in una e più variabili, il calcolo integrale multiplo e la teoria di base delle equazioni differenziali ordinarie. Alcuni concetti sono richiamati per comodità in Appendice. Per quanto concerne l introduzione alle derivate parziali ed alcuni 7

8 8 INDICE semplici metodi di risoluzione, si è ritenuto opportuno richiamarle nel primo capitolo del testo (parte del quale è stata curata da Corrado Lattanzio).

9 Capitolo 1 Introduzione alle equazioni alle derivate parziali Lo studente che si accinge ad affrontare il presente corso si è già imbattuto nel concetto di equazione differenziale ordinaria 1. Risolvere un equazione differenziale ordinaria consiste nel determinare una funzione incognita t u(t) dipendente da una sola variabile. Nel caso in cui la funzione incognita sia a valori vettoriali t X(t) R n, allora si parla di sistema di equazioni ordinarie. Nel nostro corso ci occuperemo invece di equazioni differenziali alle derivate parziali, ovvero di equazioni differenziali la cui incognita è una funzione (spesso scalare) dipendente da più di una variabile. Nelle applicazioni descritte in questo corso, le variabili indipendenti saranno sempre costituite da una variabile temporale t 0 e da una variabile spaziale x R n. Molto spesso considereremo il caso unidimensionale x R, ovvero n = 1. Se un equazione differenziale ordinaria era una relazione algebrica tra la variabile t, l incognita X(t) e le sue derivate rispetto al tempo, un equazione alle derivate parziali sarà una relazione algebrica tra le variabili indipendenti x e t, l incognita u(x, t) e le sue derivate parziali u t, u x, u tt, u xx, etc.... In situazioni più generali, le variabili spaziali saranno più di una (fino, ovviamente, ad un massimo di tre!), nel qual caso saranno indicate con (x, y) nel caso bidimensionale e (x, y, z) nel caso tridimensionale 2. Riportiamo qui una lista di equazioni alle derivate parziali che incontreremo nel seguito del corso. Esempi di equazioni alle derivate parziali: 3 (a) L equazione del calore u t = u xx (b) L equazione del trasporto lineare u t + cu x = 0, c R 1 Per un breve richiamo sulle equazioni differenziali ordinarie, si veda la sezione A.7 dell Appendice. 2 In generale i modelli che consideriamo sono ambientati in R 3, ed il vettore spaziale di riferimento è (x, y, z). In alcune situazioni particolari, si può supporre che variazioni significative delle grandezze in esame avvengano soltanto lungo una direzione, nel qual caso la variabile spaziale di riferimento è uno scalare x. In altre situazioni ancora, si suppone che non avvengano variazioni lungo una direzione di riferimento z, nel qual caso la variabile spaziale di riferimento è un vettore bidimensionale (x, y). 3 u = u(x, t) è la funzione incognita. Per semplicità consideriamo solo esempi in cui x R. 9

10 10CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLE EQUAZIONI ALLE DERIVATE PARZIALI (c) L equazione delle onde u tt + c 2 u xx = 0, c > 0 (d) L equazione di Burgers u t + uu x = 0 (e) L equazione viscosa di Burgers u t + uu x = u xx (f) L equazione di Laplace u xx + u yy + u zz = 0 Nel seguito useremo l abbreviazione PDE ad indicare un equazione alle derivate parziali (dall inglese Partial Differential Equation), mentre una equazione differenziale ordinaria è comunemente detta una ODE (Ordinary Differential Equation). Una categoria importante di PDE è costituita dalle PDE lineari, ovvero da quelle equazioni in cui la dipendenza dall incognita u e dalle sue derivate è lineare. Nell elenco precedente, le uniche equazioni non lineari sono la (d) e la (e). Per le PDE lineari vale il seguente Teorema (Principio di sovrapposizione) Siano u 1 ed u 2 soluzioni di una data equazione alle derivate parziali lineare. Siano inoltre λ, µ due costanti reali. Allora λu 1 + µu 2 è anch essa una soluzione della stessa equazione. Analogamente alle ODE, si definisce ordine di una PDE come l ordine massimo di derivazione che compare nell equazione. Una PDE di ordine n si dice semilineare se essa è lineare nelle derivate di ordine n. In particolare, le uniche equazioni nonlineari nella lista precedente (ovvero la (d) e la (e)) sono semilineari. Richiamiamo ora alcuni metodi analitici per alcune semplici PDE del primo e del secondo ordine. 1.1 PDE del primo ordine semilineari Per equazione differenziale alle derivate parziali del primo ordine semilineare nelle variabili indipendenti (x, t) R 2 si intende un equazione della forma: a(x, t)u t + b(x, t)u x = f(x, t, u), (1.1) dove la funzione incognita u = u(x, t) è una funzione a valori reali. Le funzioni a, b, f sono funzioni regolari, ad esempio a, b C 1 (Ω) e f C 1 (Ω R), dove Ω R 2 è un aperto del piano (x, t). Una funzione u è soluzione dell equazione (1.1) in un aperto U Ω se verifica tale equazione per ogni (x, t) U. Definiamo ora il problema di Cauchy per l equazione (1.1). Sia C una curva regolare contenuta in Ω di equazioni parametriche x = x 0 (σ), t = t 0 (σ). Definiamo problema di Cauchy il seguente sistema: { a(x, t)u t + b(x, t)u x = f(x, t, u) (1.2) u(x 0 (σ), t 0 (σ)) = u 0 (σ)

11 1.1. PDE DEL PRIMO ORDINE SEMILINEARI 11 e u è soluzione di (1.2) se verifica sia l equazione differenziale che il dato iniziale (ovvero la seconda condizione in (1.2)) in ogni punto della curva C. Prima di discutere l esistenza e l unicità delle soluzioni di (1.2), vediamo come determinare tale soluzione in un esempio concreto. Esempio Consideriamo l equazione differenziale alle derivate parziali u t + vu x = 0, (1.3) dove v > 0 è una costante, a cui aggiungiamo una condizione iniziale u(x, 0) = u 0 (x), (1.4) con u 0 funzione regolare. Associamo all equazione differenziale (1.3) il seguente sistema di equazioni differenziali ordinarie (che è anche un sistema dinamico): { ẋ(s) = v (1.5) ṫ(s) = 1, dove con indichiamo la derivata rispetto al parametro s. Le curve soluzioni di (1.5) sono dette curve caratteristiche per (1.3). Esse sono curve del piano (x, t), che è detto piano delle fasi. Imponendo le condizioni iniziali in s = 0 { x(0) = x 0 t(0) = t 0, si determina un unica soluzione per (1.5) fornita chiaramente da: { x(s) = vs + x 0 t(s) = s + t 0. Dato che la condizione iniziale (1.4) è assegnata sulla curva di equazione t = 0, imponiamo che (x 0, t 0 ) sia un punto di tale curva. Ciò comporta t 0 = 0. Quindi la curva caratteristica si può riscrivere, eliminando il parametro s, come x(t) = vt + x 0. (1.6) La (1.6) rappresenta pertanto la curva caratteristica che interseca in x 0 la curva {t = 0} del dato iniziale. Tale curva risulta essere nel piano (x, t) una retta di pendenza 1 v o, equivalentemente, di velocità v (vedere Figura 1.1). Sia ora φ(t) = u(x(t), t) la soluzione di (1.3) calcolata lungo le caratteristiche (1.6). Dalla definizie di caratteristica (sistema (1.5)), si ha: φ(t) = ẋ(t)u x (x(t), t) + u t (x(t), t) = vu x (x(t), t) + u t (x(t), t) = 0,

12 12CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLE EQUAZIONI ALLE DERIVATE PARZIALI t x 0 x Figura 1.1: caratteristiche per l equazione (1.3) vale a dire, la soluzione di (1.3) è costante lungo le caratteristiche (1.6). Quindi, si può risolvere l equazione differenziale ordinaria per φ e si ha: vale a dire φ(t) = φ(0), u(vt + x 0, t) = u(x(t), t) = u(x(0), 0) = u 0 (x 0 ), utilizzando la (1.6) e la condizione iniziale (1.4). Per determinare ora il valore della soluzione u in un punto generico (x, t) del piano, basta determinare il punto x 0 di intersezione tra la caratteristica passante per (x, t) e l asse {t = 0}, cioè basta invertire la relazione x = vt + x 0 ottenendo x 0 = x vt. In definitiva, la soluzione di (1.3) (1.4) è data da u(x, t) = u 0 (x vt), come è a questo punto facile convincersi anche per verifica diretta. La soluzione al tempo t è pertanto ottenuta traslando il grafico della condizione iniziale u 0 della quantità vt: questa proprietà giustifica la definizione di velocità data alla quantità v. In altre parole, le caratteristiche trasportano le informazioni dal dato iniziale e le fanno viaggiare con velocità v (vedere Figura 1.2). Nell Esempio abbiamo visto come è utile introdurre una opportuna famiglia di curve (le curve caratteristiche), che nel caso specifico risultano essere rette, lungo le quali l equazione differenziale ha una formulazione più semplice, formulazione che permette di risolvere esplicitamente il problema di Cauchy (1.3) (1.4) (nel caso esaminato, la soluzione

13 1.1. PDE DEL PRIMO ORDINE SEMILINEARI 13 t grafico della soluzione per t=0 t x v v x grafico della soluzione per t=1 Figura 1.2: la soluzione di (1.3) (1.4) viaggia con velocità v risultava costante lungo le caratteristiche!!). In realtà, l utilizzo delle curve caratteristiche permette, anche nel caso generale (1.2), di arrivare ad un teorema di esistenza e unicità delle soluzioni per tale problema di Cauchy. Definiamo allora curve caratteristiche per l equazione a(x, t)u t + b(x, t)u x = f(x, t, u) (1.7) le soluzioni del seguente sistema di equazioni differenziali ordinarie: { ẋ(s) = b(x(s), t(s)) ṫ(s) = a(x(s), t(s)). (1.8) Se calcoliamo la soluzione u di (1.7) lungo le soluzioni di (1.8), ossia consideriamo la funzione φ(s) = u(x(s), t(s)), si ha: φ(s) = ẋ(s)u x (x(s), t(s)) + ṫ(s)u t (x(s), t(s)) = a(x(s), t(s))u t (x(s), t(s)) + b(x(s), t(s))u x (x(s), t(s)) = f(x(s), t(s), u(x(s), t(s))) = ψ(s, φ(s)).

14 14CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLE EQUAZIONI ALLE DERIVATE PARZIALI Pertanto, lungo le caratteristiche, l equazione alle derivate parziali (1.7) si riscrive come un equazione differenziale ordinaria: le caratteristiche sono definite proprio in modo che il termine a sinistra in (1.7) diventi una derivata totale rispetto al parametro che descrive le caratteristiche stesse. Abbiamo quindi ridotto lo studio un equazione alle derivate parziali allo studio di equazioni differenziali ordinarie e, mediante questo metodo, siamo in grado di determinare la soluzione dell equazione (1.7), con dato iniziale u(x 0 (σ), t 0 (σ)) = u 0 (σ) (1.9) assegnato lungo una curva C (di equazioni parametriche (x 0 (σ), t 0 (σ))) regolare contenuta nel dominio Ω R 2 di definizione del problema di Cauchy preso in considerazione. Come già osservato nell Esempio 1.1.1, per far sì che questo metodo sia efficace, le caratteristiche devono poter pescare informazioni dalla curva del dato iniziale C e trasportarle in un aperto U Ω, nel quale otterremo la soluzione cercata. Pertanto, nel teorema di esistenza e unicità locali per (1.7) (1.9), ci aspettiamo una condizione di compatibilità tra le caratteristiche dell equazione (1.7) e la scelta della curva del dato iniziale C. Più precisamente, è naturale richiedere che, in ogni punto della curva C nel quale vogliamo costruire la soluzione locale del problema di Cauchy, la curva caratteristica e la curva C siano trasversali, cioè non abbiano la stessa tangente. Questo risultato è stabilito dal teorema seguente. Teorema Sia dato il problema di Cauchy (1.7) (1.9) per (x, t) Ω R 2, dove la curva iniziale C Ω è regolare e le funzioni a, b, f sono funzioni regolari delle loro variabili e tali che a(x, t) 2 + b(x, t) 2 0 per ogni (x, t) Ω. Sia (x 0, t 0 ) = (x 0 (σ 0 ), t 0 (σ 0 )) C un punto della curva iniziale tale che C non sia caratteristica in (x 0, t 0 ) rispetto all equazione, vale a dire: a(x 0, t 0 ) dx 0 dσ b(x 0, t 0 ) dt 0 σ=σ0 dσ 0. (1.10) σ=σ0 Allora esiste un aperto U Ω, con (x 0, t 0 ) U, e un unica soluzione u = u(x, t) di (1.7) (1.9), che verifica (1.7) in ogni (x, t) U e (1.9) in ogni punto di C contenuto in U. Osservazione Come abbiamo anticipato, per poter avere un risultato di esistenza e unicità per (1.7) (1.9), è necessario avere una condizione di trasversalità tra le caratteristiche stesse e la curva del dato iniziale C. Tale trasversalità è garantita dalla condizione (1.10) del Teorema Infatti, il vettore τ = (b(x 0, t 0 ), a(x 0, t 0 )) rappresenta il vettore tangente alla caratteristica nel punto (x 0, t 0 ) (si ( veda la definizione delle caratteristiche tramite il sistema (1.8)), mentre il vettore ν 0 = dt 0 dσ, dx ) 0 σ=σ0 dσ è il vettore normale alla curva iniziale C nel punto ( (x 0, t 0 ), essendo ortogonale al vettore tangente a tale dx 0 curva, vale a dire il vettore T 0 = dσ, dt ) σ=σ0 0 σ=σ0 dσ. Pertanto, la condizione (1.10) in σ=σ0 termini di tali vettori diventa τ, ν 0 = 0. In altre parole, il vettore tangente alla caratteristica non è ortogonale alla normale alla curva del dato iniziale C in (x 0, t 0 ), cioè la caratteristica e la curva del dato iniziale C non hanno la stessa tangente in (x 0, t 0 ) (vedere la Figura 1.3).

15 1.2. EQUAZIONI SEMILINEARI DEL SECONDO ORDINE IN DUE VARIABILI 15 ν 0 τ T 0 curva iniziale C caratteristica Figura 1.3: interpretazione geometrica della condizione (1.10) Esempio Una classe di esempi fisicamente importanti è fornito dal seguente problema di Cauchy: { u t + b(x, t)u x = f(x, t, u) (1.11) u(x, 0) = u 0 (x), cioè problemi di Cauchy con dato assegnato lungo la curva {t = 0} per equazioni della forma (1.7) con a(x, t) = 1. In questo caso, l asse delle x non è caratteristico rispetto all equazione considerata in ogni punto (x 0, 0). Infatti, il vettore normale a tale curva è dato, in ogni punto, da (0, 1) e pertanto la condizione (1.10) diventa: b(x 0, 0) 0 = 1 0. Osserviamo che lo stesso risultato si ottiene per equazioni con coefficiente a(x, t) 0 (e non necessariamente uguale a 1), in quanto in questo caso (1.10) diventa: a(x 0, 0) 1 + b(x 0, 0) 0 = a(x 0, 0) 0, ma, d altra parte, tali equazioni si possono ricondurre alla forma (1.11) semplicemente dividendo per a(x, t). 1.2 Equazioni semilineari del secondo ordine in due variabili Consideriamo la PDE semilineare del secondo ordine a(x, y)u xx + 2bu xy + c(x, y)u yy = F (x, y, u, u x, u y ), (1.12)

16 16CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLE EQUAZIONI ALLE DERIVATE PARZIALI ove F è supposta analitica nelle sue componenti per semplicità. Supponiamo anche che a, b e c siano analitiche nelle loro componenti. Non esiste un metodo generale per la risoluzione dell equazione (1.12) senza ulteriori ipotesi sui coefficienti a, b e c. Una equazione della forma (1.12) viene classificata a seconda del segno del determinante ( ) d := deta = a(x, y) b(x, y) = a(x, y)c(x, y) b 2 (x, y). (1.13) b(x, y) c(x, y) Si distinguono i seguenti casi: Se d > 0 l equazione (1.12) si dice ellittica. Esempio tipico di equazione ellittica è l equazione di Laplace u xx + u yy = 0, ove d = 1. Se d < 0 l equazione (1.12) si dice iperbolica. Esempio tipico di equazione iperbolica è l equazione delle onde u tt c 2 u xx = 0, c > 0, ove d = c 2. Se d = 0 e la suddetta matrice A non è identicamente nulla, l equazione (1.12) si dice parabolica. Esempio tipico di equazione parabolica è l equazione del calore u t αu yy = 0, α > 0. Durante il corso incontreremo equazioni di tutti e tre i tipi sopra elencati. Si tratta di equazioni per le quali è spesso possibile determinare esplicitamente le soluzioni. Analogamente ad una ODE, anche una PDE può avere infinite soluzioni a meno che non si imponga il valore della soluzione su un dato insieme. Nella sezione A.7 è richiamato un risultato di esistenza ed unicità per sistemi di ODE nel caso in cui si imponga il dato iniziale su un punto (ad esempio t = 0). Dato che nelle PDE la variabile indipendente è un vettore multidimensionale, appare naturale che il dato debba essere imposto su un insieme di dimensione maggiore di un semplice punto. In particolare, vedremo come nel caso in cui la variabile indipendente è un vettore bidimensionale, il dato debba essere assegnato su una curva del piano. Prima di anticipare un risultato di esistenza per PDE del secondo ordine, è necessario introdurre anche qui come nella sezione precedente un concetto di curva caratteristica. Definizione Una curva γ in forma implicita Φ(x, y) = 0 del piano R 2 si dice una curva caratteristica per l equazione (1.12) nel punto (x, y) R 2 se valgono le seguenti condizioni La curva γ è regolare,

17 1.2. EQUAZIONI SEMILINEARI DEL SECONDO ORDINE IN DUE VARIABILI 17 Nel punto (x, y) vale la relazione a(x, y)φ 2 x + 2b(x, y)φ x Φ y + c(x, y)φ 2 y = 0. Nel seguente teorema diamo un risultato generale di esistenza locale di soluzioni. L unicità della soluzione è un problema spesso complicato, che tratteremo in alcuni casi particolari. Teorema (Teorema di Cauchy Kovalevsky) Sia data una curva γ che non sia una curva caratteristica per l equazione (1.12) in nessun punto del suo supporto. Supponiamo che le funzioni a, b, c, F nella (1.12) siano analitiche. Supponiamo assegnati i dati al bordo u u(x, y) = φ(x, y) (x, y) = ψ(x, y), per ogni (x, y) γ, (1.14) n ove il simbolo u (x, y) indica la derivata di u lungo la direzione normale a γ. Supponiamo n anche che i dati φ e ψ siano analitici. Allora esiste una soluzione u dell equazione (1.12) accoppiata con i dati al bordo (1.14) definita in un intorno piano della curva γ Problemi ben posti Così come le equazioni differenziali ordinarie, anche le equazioni alle derivate parziali possono essere risolte in domini diversi, con condizioni al bordo di diversa natura. Iniziamo questo paragrafo trattando il caso delle PDE evolutive (ovvero in cui una delle variabili scalari indipendenti rappresenta il tempo t) di tipo parabolico ed iperbolico (avendo in mente come esempi tipici l equazione del calore e l equazione delle onde). Cominciamo con il caso semplice in cui la variabile spaziale ha dimensione uno, ovvero l incognita u è del tipo u = u(x, t). Supponiamo che la variabile x varia in un segmento [0, L] sull asse reale e che il tempo t varia in un intervallo [0, T ]. Se vogliamo studiare l evoluzione di u è ragionevole precisare anzitutto il suo valore iniziale al tempo t = 0. Occorre dunque assegnare un dato iniziale u(x, 0) = u 0 (x). Ciò sufficiente nel caso in cui l ordine massimo di derivazione rispetto a t sia 1, ad esempio nel caso dell equazione del calore. In generale (anche qui in analogia alle ODE) occorre imporre al tempo t = 0 un numero di dati pari all ordine massimo di derivazione rispetto al tempo t. Quindi, nel caso dell equazione delle onde occorre imporre due dati, ovvero u(x, 0) = f(x), u t (x, 0) = g(x). L insieme dei dati iniziali di un equazione è detto dato di Cauchy. Molto spesso il dato di Cauchy non è sufficiente a determinare la soluzione in modo unico, in quanto occorre anche tenere conto di come u varia agli estremi dell intervallo, assegnando dei dati al bordo. Ad esempio, potremmo assegnare i dati u(0, t) e u(l, t) per t 0, che sono detti dati di Dirichlet. In altri casi possiamo assegnare i valori delle derivate spaziali u x (0, t) e u x (L, t), che sono detti dati di Neumann. In alcune applicazioni ha senso studiare il problema su tutta la retta reale senza condizioni al bordo. Quando ciò

18 18CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLE EQUAZIONI ALLE DERIVATE PARZIALI accade, il problema dato dalla PDE accoppiata con il suo dato iniziale è detto problema di Cauchy. Se il dato iniziale è accompagnato da dati di Dirichlet su un intervallo, il problema è detto di Cauchy Dirichlet, mentre se il dato iniziale è accompagnato da dati di Neumann il problema è detto di Cauchy Neumann. Si può dimostrare che tutti questi problemi sono ben posti, ovvero esiste sempre una soluzione unica e vi è continuità rispetto ai dati iniziali e alle condizioni al bordo. Quest ultima affermazione rimarrà un po oscura, in quanto in questo corso non sempre (quasi mai) ci occuperemo continuità rispetto ai dati. Interpretiamola nel senso seguente: se variamo di poco i dati iniziali ed i dati al bordo, allora la soluzione varia di poco. Le definizioni appena date si generalizzano in modo naturale al caso n > 1, in cui la variabile spaziale vive in una regione V limitata del piano o dello spazio tridimensionale. Per ottenere una soluzione è necessario anche qui assegnare condizioni iniziali e condizioni al bordo. Nel caso delle condizioni di Dirichlet assegneremo in valore di u in ogni punto del bordo V. Le condizioni di Neumann corrispondono all assegnazione della derivata direzionale di u nella direzione normale uscente dal bordo ν. Si possono assegnare anche condizioni al bordo miste, ovvero fissare i valori di u in alcuni punti di V ed i valori di ν θ negli altri punti. Un altra possibilità è quella di assegnare in un punto del bordo un valore corrispondente ad una particolare combinazione lineare di u e ν u, ovvero ν u + αu = β con α > 0 e β una funzione data. In tal caso si parla di condizione di radiazione (o di Robin). Infine, anche in dimensione maggiore di uno ha senso risolvere il problema di Cauchy su tutto lo spazio. In tutti questi casi i problemi sono ben posti nel senso sopra specificato. Dimostreremo tale asserto solo in parte e solo in alcuni casi. Infine consideriamo il caso delle equazioni ellittiche. Esse modellano spesso un problema in cui non vi sia dipendenza dal tempo, quindi le variabili spaziali vivono in una regione V R n con n = 2 o n = 3 4. Allora si parlerà semplicemente di problema di Dirichlet o di Neumann o misto o di Robin se i dati assegnati su V corrispondono a quelli descritti precedentemente nei rispettivi casi. 4 Il concetto di equazione ellittica in più di due variabili non è stato introdotto per semplicità. Lo facciamo ora: Un equazione semilineare del secondo ordine i,j a i,j(x 1, x 2, x 3 )u xix j = F (x 1, x 2, x 3, u, u) si dice ellittica in (x 1, x 2, x 3 ) se gli autovalori della matrice simmetrica (a i,j )(x 1, x 2, x 3 ) sono non nulli e hanno tutti lo stesso segno.

19 Capitolo 2 Modelli di diffusione 2.1 L equazione del calore L equazione del calore (o equazione di diffusione lineare) per una funzione u(x, t), x R n variabile spaziale, t > 0 variabile temporale, ha la forma ove indica l operatore di derivazione di Laplace t u = µ u + f(x, t), (2.1) u = n i=1 2 u, x 2 i µ è una costante positiva e f è una funzione nota. Nel caso in cui f 0, l equazione di dice omogenea. Come abbiamo visto nel paragrafo 1.2, l equazione del calore è un equazione parabolica. Nel paragrafo seguente ricaveremo l equazione (2.1) come modello di trasporto di energia termica a densità costante. Nella sezione 4.8 vedremo che un equazione analoga si può ricavare da modelli dispersivi di trasporto di materia Un modello di propagazione del calore La denominazione dell equazione (2.1) è dovuta al fatto che essa descrive l evoluzione della temperatura in un mezzo omogeneo ed isotropo, con densità costante ρ, che può ricevere calore da una sorgente. Indichiamo con r il tasso di calore per unità di massa fornito al corpo dall esterno, e consideriamo un volume V all interno del corpo. La legge di bilancio dell energia richiede che il tasso di variazione dell energia interna in V eguagli il flusso di calore attraverso il bordo V di V, dovuto alla conduzione, più quello dovuto alla sorgente esterna. Sia e l energia interna per unità di massa (densità di energia interna), la quantità totale di energia interna in V è data da eρdx. V 19

20 20 CAPITOLO 2. MODELLI DI DIFFUSIONE Indichiamo con q il vettore flusso di calore, ovvero, data una superficie infinitesima dσ del bordo di V centrata in x V con versore normale esterno ν, ( q, ν )dσ esprime la quantità di energia che fluisce attraverso dσ nell unità di tempo. L uso del prodotto scalare è coerente con l osservazione che non c è alcun flusso di energia se il vettore q è parallelo alla superficie del bordo (e quindi normale a ν ). Il flusso di calore entrante attraverso l intera superficie V è dato da ( q, ν )dσ = div q dx, V V ove abbiamo usato il teorema di Gauss (vedi teorema A.4.3). Infine, il contributo dovuto alla sorgente di calore esterna è dato da rρdx. V Il bilancio dell energia, dunque, richiede la seguente relazione: d eρdx = div q dx + rρdx. (2.2) dt V V Assumiamo ora due relazioni costitutive. La prima è la legge di Fourier per la conduzione del calore, secondo cui il flusso di calore è proporzionale al gradiente della temperatura secondo la relazione q = κ θ, (2.3) dove θ è la temperatura assoluta e κ > 0 è una costante legata alle proprietà del materiale detta conducibilità termica 1. Il segno meno nella (2.3) è dovuto al fatto che il calore fluisce da zone ad alta temperatura a zone a bassa temperatura. La seconda equazione costitutiva mette in relazione energia interna e temperatura secondo la legge e = c v θ, ove c v è il calore specifico a volume costante del materiale. La relazione precedente, le (2.3) ed il bilancio energetico (2.2) implicano [c v ρθ t κ θ rρ] dx = 0. V Poichè tale relazione è vera per ogni volume V, l integranda deve essere identicamente nulla (vedi teorema A.4.1). Otteniamo dunque l equazione ove µ = κ/c v ρ e f = r/c v. V θ t = µ θ + f, (2.4) 1 In talune applicazioni, la conducibilità termica non può essere considerata costante, ma dipendente da θ. Ci occuperemo di tale eventualità nella sezione 2.3

21 2.1. L EQUAZIONE DEL CALORE Problemi ben posti per l equazione del calore Supponiamo che la soluzione u della equazione (2.1) rappresenti la temperatura di una sbarra di sezione trascurabile. Possiamo pensare alla sbarra come al segmento [0, L] sull asse reale. La posizione sulla sbarra è detta x. Il tempo t varia in un intervallo [0, T ]. Se vogliamo studiare l evoluzione della temperatura è ragionevole precisare la sua distribuzione iniziale. Occorre dunque assegnare un dato iniziale u(x, 0) = u 0 (x) di Cauchy. D altra parte, occorre anche tenere conto di come la sbarra interagisce con l ambiente circostante. Ad esempio, potremmo tenere la temperatura ad un livello desiderato agli estremi delle sbarre. Ciò equivale ad assegnare i dati di Dirichlet u(0, t) e u(l, t) per t 0. Anziché la temperatura, si potrebbe controllare il flusso di calore agli estremi, che sappiamo essere proporzionale a u x per la legge di Fourier. Dunque, possiamo assegnare u x (0, t) e u x (L, t), assegnando così dei dati di Neumann. In alcune applicazioni ha senso studiare il problema di Cauchy su tutta la retta reale senza condizioni al bordo. Nel caso multidimensionale pensiamo ad un corpo conduttore di calore che occupi una regione V limitata del piano o dello spazio tridimensionale. Nel caso delle condizioni di Dirichlet assegneremo la temperatura in ogni punto del bordo V. Le condizioni di Neumann corrispondono all assegnazione del flusso di calore al bordo, ovvero q = κ u secondo la legge di Fourier. Siccome ci interessa il flusso entrante, assegneremo al bordo i valori di q ν = κ ν u, ovvero la derivata direzionale di θ nella direzione normale uscente dal bordo ν. Anche qui può avere senso assegnare condizioni miste o di Robin 2. Per concludere questa sezione, consideriamo una soluzione non negativa ρ(x, t) del problema di Cauchy relativo all equazione del calore tale che la massa totale 3 della soluzione ρ(x, t)dx sia finita ad ogni tempo t. Allora, integrando l equazione del calore su tutto lo spazio R n e derivando rispetto al tempo otteniamo d ρ(x, t)dx = D ρ(x, t)dx. dt R n R n Ora, dato che la soluzione ha massa finita, essa è essenzialmente nulla per x +. 4 Supponendo per semplicità che ρ(, t) sia identicamente uguale a zero al di fuori della sfera B(0, R) con R grande, usando il teorema di Gauss A.4.3, l integrale a secondo membro nella relazione precedente si riduce all integrale superficiale ρ D dσ = 0, B(0,2R) ν che implica che l integrale ρ(x, t)dx si conserva nel tempo. Tale fenomeno è matematicamente detto conservazione della massa. 2 vedi paragrafo Il termine massa è fisicamente inappropriato, visto che l incognita rappresenta una temperatura. Tale termine viene usato per analogia con altri modelli, in particolare quelli trattati nel capitolo 6. 4 Si pensi ad esempio al caso in cui ρ ammette limite l per x +. Se l fosse diverso da zero, l integrale di ρ su tutto R dovrebbe essere necessariamente infinito.

22 22 CAPITOLO 2. MODELLI DI DIFFUSIONE Evoluzione della temperatura in una sbarra omogenea. Tendenza all equilibrio Vediamo nel seguito un semplice esempio di problema di Cauchy Dirichlet risolto mediante il cosiddetto metodo della separazione delle variabili. Lo scopo è quello di constatare che l evoluzione del modello corrisponde alla previsione suggerita dalla fisica. Una sbarra di lunghezza L è tenuta inizialmente a temperatura θ 0. Successivamente, l estremo x = 0 è mantenuto alla stessa temperatura, mentre l estremo x = L viene mantenuto ad una temperatura costante θ 1 > θ 0. Vogliamo sapere come evolve la temperatura. Prima di fare calcoli, proviamo a congetturare che cosa può succedere. Dato che θ 1 > θ 0, dall estremo caldo comincerà a fluire calore causando un aumento della temperatura all interno e una fuoruscita di calore dall estremo freddo. All inizio, il flusso entrante sarà superiore al flusso uscente, ma col tempo, con l aumento della temperatura all interno, esso comincerà a diminuire, mentre il flusso uscente aumenterà. Ci si aspetta che prima o poi i due flussi si bilancino e si assestino su una situazione stazionaria. Sarebbe poi interessante avere informazioni sul tempo di assestamento. Cerchiamo ora di dimostrare che questo è esattamente il comportamento che il nostro modello matematico riproduce. Il problema è: θ t Dθ xx = 0 t > 0, 0 < x < L con le condizioni θ(x, 0) = θ 0 0 x L θ(0, t) = θ 0 θ(l, t) = θ 1 t > 0. Non lasciamoci impressionare dal fatto che il dato iniziale non si raccordi con continuità con quello laterale all estremo x = L; vedremo dopo che cosa ciò comporti. Conviene riformulare il problema passando a variabili adimensionali, riducendo i dati a 0 e a 1. Per passare a variabili adimensionali occorre riscalare tutte le variabili rispetto a grandezze caratteristiche del sistema. Ad esempio, la lunghezza della sbarra è una caratteristica che possiamo usare per riscalare la variabile spaziale. Poniamo dunque y = x L che è ovviamente una grandezza adimensionale essendo rapporto tra lunghezze. Notiamo poi che 0 y 1. Osserviamo poi che la costante D ha come dimensione [lunghezza] 2 [tempo] 1. La costante τ = L2 ha dunque le dimensioni di un tempo, ed è legata alle caratteristiche D del problema. Poniamo dunque s = t τ

23 2.1. L EQUAZIONE DEL CALORE 23 che è anche essa una quandità adimensionale. Poniamo infine Risulta u(y, s) = θ(ly, τs) θ 0 θ 1 θ 0. u(y, 0) = 0 0 y 1 u(0, s) = 0 u(1, s) = 1 s > 0. Inoltre, semplici calcoli permettono di ricavare l equazione derivate parziali soddisfatta da u, ovvero u s u yy = 0. Abbiamo così riformulato il nostro problema di Cauchy Dirichlet in variabili adimensionali. Cominciamo con il determinare la soluzione stazionaria u S del problema, ovvero quella soluzione che si ottiene dimenticandoci della condizione iniziale, tenendo conto delle condizioni al bordo e richiedendo che la soluzione non dipenda dal tempo. Stiamo cercando quindi una funzione u = u(y), 0 y 1, tale che u yy = 0, u(0) = 0 e u(1) = 1. Si trova facilmente la funzione lineare u S (y) = y, che nelle variabili originali è data da che corrisponde ad un flusso di calore θ S (x) = θ 0 + (θ 1 θ 0 ) x L, θ S x κθ 1 θ 0 L uniforme lungo la sbarra. Dalle considerazioni precedenti, la soluzione stazionaria è per noi un punto di riferimento, dato che ci aspettiamo che l evoluzione di u sia molto vicina ad essa per tempi s molto grandi. Conviene dunque considerare l incognita U(y, s) = u S (y) u(y, s) = y u(y, s), detta regime transitorio. Ci aspettiamo dunque che U tenda a zero per s +. Osserviamo che U soddisfa U s U yy = 0 con dato iniziale U(y, 0) = y e dati al bordo U(0, s) = U(1, s) = 0. L introduzione del regime transitorio ha apportato un vantaggio: i dati al bordo di Dirichlet sono diventati omogenei, ovvero nulli. Cerchiamo ora una formula esplicita per la soluzione U usando il metodo della separazione delle variabili. Poniamo U(y, s) = w(s)v(y), per cui l equazione differenziale per U diventa 0 = w (s)v(y) w(s)v (y),

24 24 CAPITOLO 2. MODELLI DI DIFFUSIONE da cui, separando le variabili, w (s) w(s) = v (y) v(y). Come sempre avviene usando tale metodo, il primo membro dipende solo da s, il secondo dipende solo da y, per cui l unica possibilità è che siano entrambi uguali ad una costante λ, il che conduce alle due equazioni v (y) = λv(y) (2.5) w (s) = λw(s). (2.6) Usiamo l equazione (2.5) con le condizioni al bordo v(0) = v(1) = 0 per determinare λ. Vi sono tre casi. Se λ = 0 si ha v(y) = A + By, il che porta a v(y) 0 in virtù delle condizioni al bordo. Se λ = µ 2 > 0, allora v(y) = Ae µy + Be µy, ed ancora una volta le condizioni al bordo implicano v(y) 0. Se infine λ = µ 2 < 0, allora si ha v(y) = A sin µy + B cos µy. Imponendo le condizioni al bordo si trova v(0) = B = 0 v(1) = A sin µ + B cos µ = 0 da cui A è una costante arbitraria, B = 0 e µ = mπ, con m = 1, 2, 3,.... Dunque solo il terzo caso produce delle soluzioni non nulle, cioè v m (y) = A sin mπy, m N. Sostituendo i valori λ = m 2 π 2 alla (2.6) otteniamo le soluzioni w m (s) = Ce m2 π 2s, che portano alla seguente famiglia di soluzioni per U U m (y, s) = A m e m2 π 2s sin mπy, m N. Ricordiamo che per le equazioni alle derivate parziali lineari omogenee vale il principio di sovrapposizione 5, per cui la somma di soluzioni è ancora una soluzione. Formalmente, dunque, la somma infinita 5 Vedi il teorema U(y, s) = A m e m2 π 2s sin mπy (2.7) m=1

25 2.1. L EQUAZIONE DEL CALORE 25 costituisce la forma più generale della soluzione del problema con i dati al bordo. La condizione iniziale determinerà i coefficienti A m, dandoci una soluzione unica. Per determinare tali coefficienti usiamo lo sviluppo in serie di Fourier 6 del dato iniziale (il cui calcolo è lasciato per esercizio) y = ( 1) m+1 2 sin mπy. mπ m=1 Imponendo U(y, 0) = y otteniamo dunque la soluzione U(y, s) = ( 1) m+1 2 π2s mπ e m2 sin mπy. m=1 Osservando l espressione di U si osserva immediatamente che per s molto grande l ampiezza delle oscillazioni delle componenti sinuisoidali diminuisce esponenzialmente. Si può dire di più: la soluzione U(y, s) tende a zero uniformemente per s +, ovvero sup U(y, s) 0, y [0,1] per s +. Dimostriamo tale affermazione. Dalla disuguaglianzza triangolare e dalla formula esplicita per la serie geometrica 7 abbiamo sup U(y, s) y [0,1] m=1 = 2 [ ] 1 π 1 e 1 π2 s 2 π2s mπ e m2 2 π = 2 π e π2 s 1 e π2 s. m=1 e mπ2 s Scegliendo ad esempio s > 1 (siamo interessati al limite per s + ) abbiamo sup U(y, s) y [0,1] 2 π(1 e π2 ) e π2s, il che dimostra la tesi e ci dice che il decadimento a zero avviene in modo esponenziale. Ciò prova dunque in modo rigoroso che il regime transitorio tende a zero, e che la temperatura della sbarra tende a distrubuirsi in modo stazionario per tempi grandi. Esercizio Riportare tutti i risultati e le formule precedenti nelle variabili originarie θ(x, t) e stabilire da quali quantità dipende il tasso di decadimento esponenziale di θ(t). 6 Un breve richiamo sulle serie di Fourier è contenuto nella sezione A.6 in appendice 7 Dato un numero reale a tale che 0 < a < 1, si ha n=0 an = 1 1 a.

26 26 CAPITOLO 2. MODELLI DI DIFFUSIONE Il metodo dell energia. Unicità Consideriamo due soluzioni u e v dell equazione del calore u t = D u su un dominio V R n, n > 1. Supponiamo che u e v assumano lo stesso dato iniziale u(x, 0) = v(x, 0) = g(x) per ogni x V. Supponiamo inoltre che per u e v valgano le stesse condizioni al bordo, siano esse di Dirichlet, di Neumann, miste, di Robin. Consideriamo ora la differenza tra le due soluzioni w = u v. Ovviamente si ha w t = D w per il principio di sovrapposizione. Inoltre w(x, 0) 0. A seconda dei diversi tipi di dati al bordo, w soddisfa una delle seguenti condizioni: w = 0 nel caso di condizioni di Dirichlet, ν w = 0 nel caso di condizioni di Neumann, ν w + αw = 0 con α > 0 nel caso di condizioni di Robin, w = 0 su A V e ν w = 0 su V \ A nel caso di problema misto. Moltiplichiamo l equazione di diffusione per w ed integriamo sul dominio V. Otteniamo ww t dx = D w wdx. (2.8) V Ora, passando la derivata temporale sotto il segno di integrale (possiamo farlo perchè l integrale è rispetto ad x), otteniamo ( ) w 2 ww t dx = D dx = 1 d w 2 dx. V V 2 t 2 dt V Inoltre, dal teorema di Gauss A.4.3 e dalla regola di derivazione del prodotto abbiamo w wdx = div(w w)dx w 2 dx = w ν wdσ w 2 dx. V V Sostituendo le ultime due identità nella (2.8), ponendo E(t) := w 2 dx, otteniamo 1 d 2 dt E(t) = D Se vale la condizione di Robin In tutti gli altri casi Di conseguenza si ha V V V V V w ν wdσ D w 2 dx D w ν wdσ. V V V w ν wdσ = α w 2 dx 0. V V w ν wdx = 0. d E(t) 0. dt V

27 2.1. L EQUAZIONE DEL CALORE 27 Il funzionale non negativo t E(t) è detto energia. Esso decresce nel tempo, per cui si ha E(t) E(0) = w(x, 0) 2 dx = 0, V da cui segue che E(t) 0 per ogni t 0. Dato che l integranda in E(t) è non negativa, ciò implica che essa deve essere identicamente nulla, ovvero w(x, t) 0 per ogni x V, t 0, ovvero u v. Quanto appena mostrato si può dunque sintetizzare nel seguente Teorema I problemi di Cauchy Dirichlet, Cauchy Neumann, Cauchy Robin e misto per l equazione del calore (2.1) hanno al più una soluzione La soluzione fondamentale Abbiamo già osservato che, grazie al principio di sovrapposizione, è possibile costruire soluzioni dell equazione del calore a partire da altre soluzioni. Ciò è possibile anche usando la proprietà di invarianza di scala che ci accingiamo a mostrare. Data una soluzione u(x, t) dell equazione del calore su R n [0, + ) tale che il suo integrale su tutto R n è finito, vogliamo costruire un altra soluzione v definita come v(x, t) = cu(ax, bt), con costanti positive a, b, c da determinare, tale che u(x, t)dx = v(x, t)dx. Stiamo dunque cercando una soluzione v costruita a partire dalla soluzione mediante omotetie sulle variabili dipendenti ed indipendenti (tale operazione è detta scaling, o riscalamento delle variabili) in modo tale che la massa totale udx sia conservata. Sostituendo l espressione per v nell equazione del calore soddisfatta da u, ponendo τ = bt e y = ax, otteniamo 0 = u τ D y u = 1 cb v τ 1 ca D xv. 2 Dunque v soddisfa ancora l equazione del calore se b = a 2. Per la conservazione della massa occorre inoltre che c = a n, come appare evidente dal calcolo v(x, t)dx = cu(ax, bt)dx = ca n u(y, τ)dy. In conclusione, in corrispondenza di una soluzione u e di un parametro arbitrario positivo a abbiamo costruito una nuova soluzione u a (x, t) = a n u(ax, a 2 t). Appare naturale, a questo punto, cercare delle soluzioni che rimangano invariate a seguito dello scaling precedente, cioè tali che u = u a per ogni a. Affermiamo che ciò è possibile solo scegliendo u(x, t) nel modo seguente: u(x, t) = G(x, t) := t n 2 U(ξ), ξ = xt 1 2. (2.9)

28 28 CAPITOLO 2. MODELLI DI DIFFUSIONE Mostriamo che una u siffatta è invariante rispetto all operazione u u a per ogni a > 0: ) ( ) u a (x, t) = a n G(ax, a 2 t) = a n (a 2 t) n 2 U (ax(a 2 t) 1 2 = t n 2 U xt 1 2 = G(x, t). Per ragioni che risulteranno chiare tra pochissimo, trovare una soluzione della forma (2.9) ci interessa moltissimo. Ovviamente, il lavoro ancora da fare consiste nel determinare U nella formula (2.9). Imponendo che G(x, t) soddisfi l equazione del calore, otteniamo 0 = U t D x U = t n 2 [ 1 n 2 U 1 ] 2 ξ ξu t n 2 1 D ξ U, che possiamo riscrivere come div (D U + 12 ) ξu = 0. Ricordiamo che la nostra funzione U : R n R dovrà essere integrabile su tutto R n. Per semplificare la situazione, imponiamo anche che essa sia sempre diversa da zero. Possiamo quindi dividere e moltiplicare per U all interno dell operatore di divergenza ottenendo 0 = div [ U ( D U U + ξ 2 )] = div L equazione precedente è soddisfatta ad esempio se [ U D log U + ξ 2 4 = costante. (D log U + ξ 2 4 In realtà, dal fatto che U deve essere integrabile segue che non vi possono essere soluzioni diverse. Abbiamo quindi ottenuto l espressione ovvero U(ξ) = Ce ξ 2 4D, G(x, t) = Ct n/2 e x 2 4Dt. La funzione G è detta soluzione fondamentale (o soluzione Gaussiana) dell equazione del calore in R n. La costante C è scelta in base alla massa totale. Osserviamo che la soluzione trovata è compatibile con l assunzione fatta in precedenza che essa debba essere sempre diversa da zero a condizione che t > 0. Dunque, la soluzione fondamentale è una soluzione solo per tempi strettamente positivi. Essa, in effetti, non ammette un dato iniziale ben definito, in quanto il suo valore in x = 0 esplode quando t 0. Cerchiamo di chiarire meglio questo aspetto. Osserviamo anzitutto che, per ogni x 0, si ha lim G(x, t) = 0. t 0 )].

29 2.1. L EQUAZIONE DEL CALORE 29 Come osservato in precedenza, in x = 0 si ha invece lim G(x, t) = +. t 0 Questo suggerisce che, a meno di un insieme di misura nulla (ovvero l unico punto x = 0), il dato iniziale della soluzione fondamentale sia identicamente zero. Tale affermazione è in un certo senso vera. D altra parte, però, abbiamo lim G(x, t)dx = costante > 0, t 0 R n dato che la massa totale di G(, t) è la stessa per ogni t > 0. Intuitivamente, questo ci dice che la massa di G tende a concerntrarsi tutta nell origine quando t tende a zero. Il dato iniziale, dunque, dovrebbe essere uguale a zero quasi ovunque ed avere una massa totale non nulla. Questo è incompatibile con il concetto classico di funzione, visto che una funzione nulla quasi ovunque deve avere necessariamente integrale nullo (esercizio). In questo caso, il concetto di funzione lascia spazio a quello più generale di distribuzione. Non è interesse di questo corso definire rigorosamente il concetto di distribuzione. Qui ci limitiamo a dire che il dato iniziale della soluzione fondamentale è una distribuzione detta delta di Dirac, indicata con δ, che soddisfa δ(0) =, δ(x) = 0, per ogni x 0 δ(x)dx = Il problema di Cauchy Passiamo ora alla soluzione del problema di Cauchy { u t = D u D > 0 u(x, 0) = f(x) ove f : R n R è il dato iniziale. Applichiamo la trasformata di Fourier rispetto alla variabile x all equazione del calore ed otteniamo dove û t = D ξ 2 û, Fu(ξ, t) = û(ξ, t) = e 2πiξ x u(x, t)dx R n è la trasformata di Fourier di u(, t) e dove abbiamo usato la proprietà xk u = iξ k û. Detta ˆf la trasformata di f, possiamo risolvere l equazione (ordinaria) per û come segue û(ξ, t) = ˆf(ξ)e D ξ 2t.