DISUGUAGLIANZA DI FEFFERMAN-POINCARE E REGOLARITA PER EQUAZIONI ELLITTICHE DEGENERI

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1 DISUGUAGLIANZA DI FEFFERMAN-POINCARE E REGOLARITA PER EQUAZIONI ELLITTICHE DEGENERI

2 Equazioni lineari con ipotesi di tipo L p sui coefficienti (a i j u xi ) x j + b i u xi + cu = f De Giorgi (957); Stampacchia (965); Ladyzhenskaia & Uraltzeva (968); Estensione ad alcuni casi non lineari - sempre con assunzioni di tipo L p. Serrin (964); Morrey (966); Trudinger (967); Emerge l inadeguatezza delle classi L p come classi dei coefficienti di ordine inferiore.

3 Equazioni lineari con assunzioni di tipo non L p sui coefficienti di ordine inferiore. Lewy & Stampacchia (970); hölderianità per l equazione u = f con f in uno spazio di Morrey legato alla dimensione dello spazio ambiente. Aizenman & Simon (982); - Harnack con V nella classe di Stummel Kato per l equazione u = Vu La tecnica fa uso di metodi probabilistici e di un conveniente teorema di immersione.

4 Definizione Supponiamo che V(y) η(r) sup dy 0, quando R 0. x Ω x y n 2 Ω R (x) Diciamo allora che la funzione V appartiene alla classe di Stummel Kato class, S (Ω). Teorema (Aizenman & Simon, Schechter) Se V S (Ω), V u 2 dx c η(r) u 2 dx, u C0 ( R), R R

5 Dal Maso & Mosco (986); Lu + µ u = ν, con L uniformemente ellittico e µ,ν misure verificanti condizioni di tipo Stummel - Kato; Chiarenza Fabes Garofalo (986); Lu Vu = 0 L uniformemente ellittico e V S (Ω); uso della formula di rappresentazione. Simader (990); u + Vu = 0, quando la soluzione è limitata, Harnack e la continuità sono fatti equivalenti. Hinz & Kalf (990); Lu = Vu, disuguaglianza di Harnack e regolarità attraverso studio di sottosoluzioni e soprasoluzioni. D. (992); Lu = f, L uniformemente ellittico, uso della formula di rappresentazione e assunzioni di tipo Stummel e Morrey; Rakotoson & Ziemer (990); equazione quasilineare, regolarità attraverso la disuguaglianza di Harnack. Zamboni ( ); equazione quasilineare, regolarità attraverso la disuguaglianza di Harnack mediante una tecnica dovuta a Serrin.

6 Gutierrez (994); Lu = Vu, equazione lineare che degenera secondo un peso A 2 e V in una classe tipo Stummel. Vitanza & Zamboni (997); Risultati collegati a quello di Gutierrez nel caso degenere. Citti - Garofalo - Lanconelli (994); Lu = Vu, equazione lineare del tipo somme di quadrati. Risultato di continuità con V in Stummel. Citti & D. (994);Lu = Vu, equazione lineare del tipo somme di quadrati. Risultato di hölderianità per operatori del tipo somma di quadrati con V in una classe di Morrey costruita sulle linee di livello della soluzione fondamentale. Capogna - Danielli - Garofalo; (993) Harnack e regolarità per equazioni quasi lineari degeneri; Lu; (994) Harnack e regolarità per equazioni lineari degeneri; iroli & Mosco (999); Forme di Dirichlet.

7 D. & Zamboni; Degenerazione secondo pesi di tipo strong A - equazione quasilineare; D.- Lanconelli - Gutierrez; Degenerazione per campi vettoriali non regolari - equazione lineare.

8 Si rivela cruciale la validità del teorema per quanto concerne la regolarità con termini di ordine inferiore. Aizenman & Simon (982), Schechter (984) p = 2 e V S C.Fefferman (983) per p = 2 e V L r,n pr. Chiarenza & Frasca; (990) < p n/2 e V L r,n pr - prova più semplice. Danielli (999); Generalizza Chiarenza-Frasca ai campi di Hörmander. D. & Zamboni (2002); p > e V in una classe tipo Stummel Kato rispetto a campi vettoriali.

9 X = (X,..., X m ) campi vettoriali su un aperto Ω R n a coefficienti localmente Lipschitziani b j k. X j = X j = n k= n k= b j k x k, b j k Lip loc (Ω) j =,..., m, k =,..., n, x k (b j k ). Si definiscono gli spazi di Sobolev rispetto ai campi, W,p X (Ω) = { u L p (Ω) : X j u L p (Ω), j =,..., m }, p <, normati nel modo naturale, u,p u p + Xu p.

10 Usando i campi, si può considerare una metrica - la metrica di controllo. Una curva γ : [0, T] R n di classe C a tratti verificante la condizione γ (t), ξ 2 m X j (γ(t)), ξ 2 ξ R n j= si dice X- sub unitaria. Posto l S (γ) = T, l estremo inferiore delle lunghezze delle curve X-sub unitarie che congiungono due dati punti (se ne esistono!) si chiama distanza di Carnot Caratheodory rispetto al sistema di campi X.

11 (A) L applicazione identica i : (R n, d e ) (R n, d) è continua; (A2) (Doubling condition for small balls) Per ogni Ω R n esistono costanti C D, R D > 0 tali che, se x 0 Ω e 0 < 2r < R D si ha (x 0, 2r) C D (x 0, r) ; (A3) (Weak-L Poincarè) Fissato Ω esistono due costanti positive C P e α tali che, per ogni x 0 Ω, 0 < r < R D e u C ((x 0, αr)), si ha: sup[λ {x (x 0, r) : u(x) u (x0,r) > λ} ] C P R Xu dx. λ>0 (x 0,αr) Q = log 2 C D, si chiama dimensione omogenea di Ω.

12 Definizione 2 (classi di Stummel Kato) Siano V Lloc (Ω), r > 0 and < p < Q. Posto φ V (r) sup x Ω Ω (x,r) d(x, y) (x, d(x, y)) Ω (x,r) d(z, y) V(z) (z, d(z, y)) dz p dy diciamo che una funzione V L loc (Ω) appartiene alla classe ( M X ) p (Ω) quando φ V (r) è finita per ogni r > 0. Se inoltre si ha: lim r 0+ φ V (r) = 0 diciamo che la funzione appartiene alla classe (M X ) p (Ω). La funzione V appartiene invece alla classe (M X ) p(ω) quando p. δ > 0 : δ 0 φ V (t) p t dt < +.

13 Definizione 3 (Spazi di Morrey) Siano p [, + [ e λ > 0. Diciamo che V L p loc (Ω) appartiene allo spazio di Morrey rispetto al sistema di campi X = (X,..., X m ), L p,λ X (Ω), se V L p,λ X (Ω) = sup x Ω 0<r<d 0 d 0 = min(diam(ω), R D ). r λ (x, r) Ω (x,r) Ω V(y) p dy p < +, Proposizione Sia < p < Q e 0 < ε < p. Se V L,p ε X (Ω) si ha: φ V (r) C (C D, p, ε) V L,p εr ε, 0 < r < R D ovvero X L,p ε X (Ω) (M X ) p(ω).

14 Teorema 2 (D.& Zamboni - PAMS 2002) Sia Ω un aperto limitato di R n, di dimensione Q e sia < p < Q. Supponiamo (A) - (A3) e V (M X ) p (Ω). Allora esiste una costante positiva c indipendente da u tale che V(x) u(x) p dx c φ V (2r) Xu(x) p dx Ω per ogni funzione u regolare a supporto compatto in r 2r Ω. Ω

15 V(x) u(x) p dx c V(x) u(x) p ( ) d(x, y) Xu(y) (x, d(x, y)) dy dx c ( Xu(y) ) V(x) u(x) p d(x, y) (x, d(x, y)) dx dy ( c ) Xu(y) p dy p ( ) V(x) u(x) p d(x, y) p (x, d(x, y)) dx p dy p p.

16 ( ) V(x) u(x) p d(x, y) p (x, d(x, y)) dx p dy ( ) ( d(z, y) V(z) (z, d(z, y)) dz p ) V(x) u(x) p d(x, y) (x, d(x, y)) dx dy = = V(x) u(x) p d(x, y) (x, d(x, y)) ( d(z, y) V(z) (z, d(z, y)) dz ) p dy dx φ p (2r) V(x) u(x) p dx.

17 Corollario 2 Sotto le stesse ipotesi del teorema precedente si ha che per ogni σ > 0 esiste una funzione positiva σ K(σ) tale che Ω [φ V (σ) ] Q+p V(x) u(x) p dx σ Ω Xu(x) p dx + K(σ) per ogni funzione u regolare a supporto compatto in Ω. Ω u(x) p dx,

18 Sia Ω un aperto limitato di dimensione Q. Consideriamo A(x, u, ξ) : Ω R R m R m, (x, u, ξ) : Ω R R m R tali che A(x, u, ξ) a ξ p + b u p + e (x, u, ξ) c ξ p + d u p + f ξ A(x, u, ξ) ξ p d u p g () q.o. x Ω R n, u R, ξ R n e l equazione m X j A j(x, u(x), Xu(x)) + (x, u(x), Xu(x)) = 0. (2) j=

19 Definizione 4 Una funzione u W,p X,loc (Ω) si dice soluzione debole dell equazione (2) in Ω se m j= Ω A j (x, u(x), Xu(x))X j ϕ(x) dx + per ogni ϕ W,p X,0 (Ω). Ω (x, u(x), Xu(x)) ϕ(x) dx = 0,

20 Teorema 3 (Locale limitatezza) Supponiamo (A)-(A3). Sia Ω un aperto limitato di dimensione Q e sia u W,p X,loc (Ω), < p < Q, una soluzione debole dell equazione (2). Assumiamo verificate le condizioni di struttura () ed inoltre, a R, b p/p, c p, d, e p/p, f, g, (M X ) p(ω). Allora, esiste una costante positiva c, indipendente da u, tale che, per ogni r = (x 0, r) (x 0, 4r) Ω e r < R D, si ha ( ) u L ( r ) C u p p dx + h(r) 2r dove h(r) = [ ] φ p (2r) + φ p e p g(2r) + [ φ f (2r) ] p.

21 TRACCIA DELLA DIMOSTRAZIONE Posto = u + h(r), dalle ipotesi di struttura, si ottiene A(x, u, ξ) a ξ p + b p (x, u, ξ) c ξ p + d p (3) ξ A(x, u, ξ) ξ p d p dove, b = b + h p e, d = d + h p f + h p g (4) sono funzioni della classe di Stummel. Infatti, [ ] φ (ρ) C(p) φ p (ρ) + b p b p p φ d (ρ) C(p) [ φ d (ρ) + 2 ], 0 < ρ < 2r.

22 Seguendo la classica tecnica di Serrin, per una conveniente potenza della soluzione u, si trova 2r η p X p dx C(p, a)q p p p { dove V = b + c p + d. 2r (Xη) p dx + } V η p dx, 2r

23 Usando adesso il fatto che la funzione V appartiene alla classe di Stummel Kato, { η p X p dx Cq p ( + σ) (Xη) p dx+ 2r 2r } +σ η p X p dx + K(σ) η p p dx 2r 2r dove K(σ) σ [. φ V (σ)] Q+p σ > 0,

24 Ciò permette un riporto a primo membro scegliendo in modo adeguato σ. Precisamente, scegliamo σ = da cui, 2Cqp 2r η p X p dx C {q p 2r Xη p p dx + q p K ( 2Cq p ) } η p p dx 2r

25 Dal teorema di Sobolev segue, ( ) p η p p r p dx C 2r r p Q {q p Xη p p dx 2r ( ) } +q p K η p p dx, 2Cq p 2r dove p = pq Q p pχ dx r e C è indipendente da, ovvero χ dove χ = p p = Q Q p. rp C r p Q (r 2 r ) p [ ( φ V Cq p )] Q+p r2 p dx,

26 Ponendo γ = pq, L χγ ( r ) C γ r p γ r p γq ( r 2 r ) p γ ( φ V ( )) Q+p C ( ) γ p p γ L γ ( r2 ). Iterando quest ultima disuguaglianza, L ( r ) C r p + j=0 ( φ V ( )) Q+p Cχ (p ) j pχ j L p(2r).

27 Il risultato sarà conseguito se e solo se si ha convergenza del seguente prodotto infinito, + j=0 ( φ V j=0 ( )) Q+p Cχ (p ) j pχ j < + ovvero convergenza della serie numerica, + ( ) log φ χ j V χ (p ) j e ciò si ottiene facilmente grazie all ipotesi sulla funzione φ.

28 Teorema 4 (Disuguaglianza di Harnack) Assumiamo (A)-(A3). Sia Ω è un aperto limitato di dimensione Q e u W,p X,loc (Ω), with < p < Q, una soluzione debole non negativa dell equazione (2). Supponiamo inoltre che valgano le condizioni di struttura () nelle quali si assume, a R, b p/p, c p, d, e p/p, f, g, (M X ) p(ω). Allora, esiste una costante positiva c, indipendente da u, tale che, per ogni r = (x 0, r) per cui (x 0, 4r) Ω e r < R D, abbiamo max r u c { } min u + h(r) r.

29 Osservazione La disuguaglianza di Harnack rimane valida anche per le sottosoluzioni non negative e la dimostrazione è la stessa. Osservazione 2 Le soluzioni deboli sono, a questo punto, continue rispetto alla distanza indotta dalla metrica di Carnot Caratheodory.

30 Teorema 5 (Continuità delle soluzioni deboli) Supponiamo vere le (A)-(A3). Sia Ω un aperto limitato di dimensione Q e sia u W,p X,loc (Ω), < p < Q, una soluzione debole dell equazione (2). Supponiamo vere le condizioni di struttura () nelle quali supponiamo, a R, b p/p, c p, d, e p/p, f, g, (M X ) p(ω). Allora, u è continua in Ω.

31 Teorema 6 (Hölderianità delle soluzioni deboli) Supponiamo vere le (A)-(A3). Sia Ω un aperto limitato di dimensione Q. Sia u W,p X (Ω), < p < Q, una soluzione debole dell equazione (2). Supponiamo vere le condizioni di struttura () nelle quali a R, b p/p, c p, d, e p/p, f, g, L,p ɛ X (Ω). Allora, la soluzione u è localmente hölderiana in Ω rispetto alla metrica di Carnot Caratheodory ovvero, per ogni Ω Ω esistono c > 0 e α > 0, tali che u(x) u(y) c d(x, y) α x, y Ω.