Operatori ed equazioni di Schrödinger con potenziali multi-polari di tipo Hardy

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1 Operatori ed equazioni di Schrödinger con potenziali multi-polari di tipo Hardy Veronica Felli in collaborazione con E. Marchini e S. Terracini Milano, 21 febbraio 2006

2 Operatori di Schrödinger con potenziali multi-centro L λ1,...,λ k,a 1,...,a k := k λ i x a i 2 dove N 3, k N, (λ 1, λ 2,..., λ k ) R k, (a 1, a 2,..., a k ) R kn. In ogni polo c è una singolarità 1/ x 2. questo tipo di singolarità è critica : la singolarità ha lo stesso grado di omogeneità del laplaciano potenziali singolari di questo tipo hanno interesse in vari contesti: meccanica quantistica, fisica molecolare, astrofisica... 1

3 Bibliografia per problemi con singolarità 1/ x 2 Un polo Jannelli Ferrero Gazzola Ruiz Willem Baras Goldstein Vazquez uazua Garcia Azorero Peral problema nonlineare alla Brezis-Nirenberg in domini limitati equazioni del calore con potenziali singolari Berestycki Esteban Terracini Smets F. Schneider Abdellaoui F. Peral F. Pistoia F. Terracini } equazione di Wheeler DeWitt (modelli cosmologici) equazioni nonlineari con potenziale singolare (1 polo) e crescita critica in R N 2

4 Bibliografia per problemi con singolarità 1/ x 2 Più poli T. Duyckaerts [Bulletin de la SMF, to appear]: operatore di Schrödinger con più poli 1/ x 2 (stime sul risolvente ed effetti regolarizzanti per l associata equazione di Schrödinger). F. Terracini [Comm. PDEs, Calc. Var. PDEs, to appear]: equazioni nonlineari con potenziale multipolare e crescita critica in R N. F. Marchini Terracini [2006, preprint]: proprietà spettrali e positività degli operatori L λ1,...,λ k,a 1,...,a k. 3

5 Positività Per quali scelte di coefficienti e configurazioni delle singolarità la forma quadratica Q λ1,...,λ k,a 1,...,a k (u) := u(x) 2 dx R N è definita positiva? k λ i R N u 2 (x) x a i 2 dx. Introduciamo lo spazio funzionale D 1,2 (R N ) := C c (R N ), u = u L 2. Q λ1,...,λ k,a 1,...,a k si dice semidefinita positiva se Q λ1,...,λ k,a 1,...,a k (u) 0 u D 1,2 (R N ). Q λ1,...,λ k,a 1,...,a k si dice definita positiva se ε > 0: Q λ1,...,λ k,a 1,...,a k (u) ε u(x) 2 dx R N per ogni u D 1,2 (R N ).

6 Nel caso di un solo polo il problema della positività non è altro che il problema della miglior costante nella disuguaglianza di Hardy: u D 1,2 (R N ) u 2 (x) ( 2 ) 2 R N x 2 dx u(x) 2 dx N 2 R }{{} N ottimale e non raggiunta cioè inf D 1,2 (R N )\{0} u(x) 2 dx R N u 2 (x) R N x 2 dx = (N 2)2 non è raggiunto. Ottimalità della costante la forma quadratica Q λ,0 è positiva se e solo se λ < ( ) N

7 Nel caso di più poli la positività dipende dalle masse e dalla collocazione delle singolarità: condizione sufficiente sui coefficienti perché la forma quadratica sia definita positiva per ogni scelta della configurazione a 1, a 2,..., a k è k λ + i < (N 2)2 ; d altra parte, se k λ+ i > (N 2)2, allora esistono a 1, a 2,..., a k t.c. la forma quadratica non è definita positiva. In particolare, segue che nel caso k = 2, se λ i < (N 2)2, i = 1, 2, e λ 1 +λ 2 < (N 2)2, allora la forma quadratica è definita positiva per ogni scelta dei poli a 1, a 2. 6

8 Condizioni sulle masse per l esistenza di almeno una configurazione di poli per cui la forma sia definita positiva? Supponiamo Q λ1,...,λ k,a 1,...,a k > 0. Sia 0 < δ << 1 ottimalità nella dis. di Hardy = φ C c (RN ) t.c. φ(x) 2 2 (N 2) φ 2 (x) φ 2 (x) < δ R N R N x 2 R N x. 2 La funzione riscalata φ µ (x) = µ (N 2)/2 φ(x/µ) verifica Q λ1,...,λ k,a 1,...,a k (φ µ (x a i )) = φ(x) 2 λ i R N Per µ 0, otteniamo R N φ 2 (x) + o(1), as µ 0. x 2 ε φ(x) 2 φ(x) 2 φ 2 (x) λ i R N R N R N x 2 φ 2» «(x) N 2 2 φ 2 (x) < δ + λ R N x 2 i 2 R N x 2» «δ N 2 2 φ(x) 2 + λ (N 2) 2 i R N 2 R N φ 2 (x) x 2 = λ i < «N 2 2 i = 1,..., k. 2 7

9 Inoltre, per µ +, Q λ1,...,λ k,a 1,...,a k (φ µ (x)) = φ(x) 2 dx R N kx λ i R N φ 2 (x) x 2 dx + o(1). = kx «λ i < «N Quindi condizione necessaria sulle masse per l esistenza di almeno una configurazione di poli per cui la forma quadratica sia definita positiva è λ i < k λ i < (N 2)2 (N 2)2. i = 1,..., k, ( ) Teorema 1. La condizione ( ) è anche sufficiente. 8

10 La classe V Si possono ottenere operatori positivi sommando operatori multi-singolari positivi, traslati opportunamente in modo da indebolire le interazioni tra i poli? Consideriamo la classe V := V = k λ i χ B(ai,r i ) x a i 2 + λ χ Bc R x 2 + W : k N, r i, R R +, a i R N distinti, < λ i, λ < (N 2) 2 /, W L N/2 (R N ) L (R N ). Disuguaglianze di Hardy e Sobolev = V V µ(v ) = inf u D 1,2 u 0 R N ( ) u 2 V u 2 u 2 R N >. 9

11 Osservazioni: se λ i < 0 i = 1,..., k,, allora µ(v ) 1; se max,...,k, λ i > 0, allora µ(v ) 1 (N 2) 2 max,...,k, λ i. Proposizione. Se valgono le disuguaglianze con <, allora µ(v ) è raggiunto. Quindi nel caso di potenziali multi-singolari di tipo Hardy, un opportuno bilancio tra masse positive e negative può portare al raggiungimento della migliore costante nella corrispondente disuguaglianza di Hardy: V u 2 ( 1 µ(v ) ) R N R N u 2 u D 1,2. 10

12 Criterio si positività nella classe V D 1,2 L 2,2 = se V L N/2,, la forma quadratica associata a V è positiva non appena V + L N/2, = sup X R N misurabile X V + X 1 2 N è piccola. I potenziali in V stanno in L N/2,, ma lo loro norma in L N/2, non è piccola. Criterio di positività in V. Dato V V, µ(v ) > 0 ε > 0 e ϕ D 1,2 (R N ), ϕ positiva e regolare in R N \ {a 1,..., a k }, tale che ϕ(x) V (x)ϕ(x) > ε V + (x)ϕ(x) a.e. in R N. 11

13 Dimostrazione (= ) se µ(v ) > 0, allora anche µ(v + εv + ) > 0 per ε << 1. Per ogni p L N/2 L, p > 0 q.o. in R N, ` u RR N 2 V u 2 ε V + u 2 ν p = inf u D 1,2 \{0} RR N p u 2 > 0 è realizzato da una ϕ D 1,2 \ {0}, ϕ 0, che verifica ϕ V ϕ = ε V + ϕ + ν p p ϕ. Principio del Massimo Forte e teoria della regolarità ϕ > 0 e regolare fuori dai poli. ( =) Sia ϕ soprasoluzione. u C c (RN \ {poli}), moltiplico per u 2 /ϕ ε V + u 2 R N u 2 R N V u 2. R N Per densità di C c (RN \ {a 1,..., a k }) in D 1,2 (R N ) ` u RR N 2 V u 2 inf u D 1,2 \{0} RR N V + u 2 ε ` u 2 V u 2 ε V + u 2 ε V u 2 R N R N R N V u 2 1 u 2 R N 1 + ε R N ` u 2 V u 2 ε u 2. R N 1 + ε R N 12

14 Quali operazioni conservano la positività degli operatori? Perturbazione all infinito: sia k V = λ i χ B(ai,r i ) x a i 2 + λ χ Bc R x 2 + W V, W L (R N ), W (x) = O( x 2 δ ), δ > 0, per x. Se µ(v ) > 0 e λ + γ < ( ) N 2 2, 2 = R > R t.c. ( µ V + γ ) x 2χ R N \B(0, R) > 0. Somma + separazione: per j = 1, 2, siano Se V j = k 1 λ j i χ B(a j i,rj i ) x a j i λj χ B R c j + 2 x 2 + W j V. µ(v 1 ), µ(v 2 ) > 0 e λ 1 + λ 2 < ( N 2 2 ) 2 = µ (V 1 + V 2 ( y)) > 0 per y grande. 13

15 Idea della dimostrazione I due operatori positivi associati ai potenziali dati danno luogo a soprasoluzioni positive φ 1 e φ 2 per le corrispondenti equazioni di Schrödinger. La funzione φ 1 + φ 2 ( y) fornisce la soprasoluzione positiva che stiamo cercando per il potenziale V 1 + V 2 ( y). Se y è grande, allora l interazione tra i potenziali è trascurabile. Il controllo di tale interazione si basa sullo studio del comportamento asintotico vicino ai poli delle soluzioni delle equazioni di Schrödinger con potenziali singolari [F. Schneider, Adv. Nonlinear Stud. (2003)]. 1

16 Comportamento vicino ai poli Lemma. Sia ϕ D 1,2 (R N ), ϕ 0 q.o. in R N, ϕ 0, soluzione debole di ϕ(x) = [ λ χ B1 (x) x 2 dove q L loc (RN \ {0}). Allora ] + q(x) ϕ(x) in R N, se q(x) = O( x (2 ε) ) per x 0, ε > 0, = ϕ(x) x N r ( N 2 2 ) 2 λ per x 0; se q(x) = O( x 2 ε ) per x +, = ϕ(x) x (N 2) per x.. Vale un risultato analogo se la singolarità è all. 15

17 Dimostrazione del teorema 1 Per induzione sul numero dei poli k. Supponiamo che λ 1 λ 2 λ k verifichino 8 (N 2)2 λ i <, i = 1,..., k, >< >: kx λ i < (N 2)2. ( ) 1. Se k = 2, l asserto è vero per ogni scelta di a 1, a Supponiamo l asserto vero per k 1. Sia λ k > 0. Se λ 1,..., λ k verificano ( ), allora lo stesso vale per anche λ 1,..., λ k 1. w Ipotesi di induzione {a 1,..., a k 1 } t.c. Q λ1,...,λ k 1,a 1,...,a k 1 > 0. Inoltre V 1 (x) = Xk 1 λ i x a i 2, V 2(x) = λ k x 2, stanno in V, µ(v 1 ) > 0, µ(v 2 ) > 0 e k 1 λ 1 + λ2 = X λ i + λ k < N quindi esiste a k R N t.c. µ (V 1 + V 2 ( a k )) > 0. 16

18 Se le singolarità sono localizzate vicino ai poli... a 1,..., a k B R0, < λ 1,..., λ k, λ < (N 2)2, Lemma di separazione. Esiste δ > 0 t.c. la forma quadratica associata all operatore k λ i χ B(ai,δ)(x) x a i 2 λ χ B c R0 x 2 è definita positiva. Più precisamente ( k λ i χ B(ai,δ)(x) µ x a i 2 + λ χ RN \B(0,R 0 ) (x) ) x 2 { max 1,...,k, λ i, if max = (N 2) 2,...,k, λ i > 0, 1, if max,...,k, λ i < 0. Corollario. Ogni V V si può scrivere nella forma V (x) = Ṽ (x) + W (x) dove Ṽ V, W L N/2 (R N ) L (R N ) e µ(ṽ ) > cioè ogni operatore V, V V, è una perturbazione compatta di un operatore positivo. 17

19 Con infiniti poli su un reticolo... Lemma. Se λ < (N 2) 2 / e {a n } n R N soddisfa a n (N 2) < +, n=1 a n+k a n (N 2) è limitata unif. in n, k=1 e a n a m 1 n m, allora esiste δ > 0 t.c. ( ) χ B(an,δ)(x) µ λ x a n 2 > 0. Osservazioni. n=1 Esistono potenziali con norma L N/2, infinita che danno luogo a forme quadratiche definite positive. Se i poli giacciono su un reticolo M-dim, M N, cioè {a n } = {(x 1,..., x M, 0,..., 0) : x i }, allora X 1 < + a n+k a n N 2 k=1 cioè se M < N 2. X k=1 1 < + kn 1 M 18

20 Proprietà spettrali in L 2 (R N ) Lemma di separazione = ν 1 (V ) := inf u H 1 (R N )\{0} R N ( u 2 V u 2) R N u 2 >, cioè gli operatori di Schrödinger con potenziali in V sono semi-limitati. Per ogni V V, consideriamo l operatore V con dominio Cc (R N \ {a 1,..., a k }). L operatore si dice essenzialmente auto-aggiunto se ammette un unica estensione auto-aggiunta. Nel caso di un polo: Teorema di Kalf-Schmincke-Walter-Wüst. Se V (x) = λ x 2 + W (x), W L (R N ), l operatore V è essenzialmente auto-aggiunto in C c (R N \ {0}) se e solo se λ (N 2) 2 / 1. 19

21 Criteri di essenziale auto-aggiunzione V V, V (x) = Ṽ (x) + W (x) Ṽ = k λ i χ B(ai λ,δ) χ x a i 2 Bc R 0 x 2, µ(ṽ ) > 0. Criterio di auto-aggiunzione. V è essenzialmente auto-aggiunto in Cc (R N \ {a 1,..., a k }) se e solo se Range( Ṽ + b) è denso in L2 (R N ) per qualche b > 0. Condizione di non auto-aggiunzione. Se esistono v L 2 (R N ), v(x) 0 q.o. in R N, R N v 2 > 0, una distribuzione h H 1 (R N ), e b > 0 t.c. (NA) H 1 h, u H 1 0 u H 1, u 0 q.o., v Ṽ v + b v = h in D (R N \ {poli}), allora V non è essenzialmente auto-aggiunto. 20

22 Dimostrazione Basta dimostrare che v Range( e V + b) L2. Per assurdo, {u n } n C c (RN \ {poli}), f n v in L 2 e u n (x) Ṽ (x) u n(x) + b u n (x) = f n (x). (1) Lax-Milgram = u H 1 : u(x) Ṽ (x)u(x) + b u(x) = v(x). (2) Principio del massimo = u > 0 in R N \ {a 1,..., a k }. Sottraggo (2) da (1) e moltiplico per u n u = u n u H 1 const f n v L 2, quindi u n u in H 1. v Ṽ v + b v = h + (1) H 1 (R N ) H 1 (R N ) h, un h, u w H 1 (R N = f ) n (x)v(x) dx, R N w n H 1 (R N ) = R N v 2 (x) dx > 0. assurdo. 21

23 Essenziale auto-aggiunzione Teorema. Sia V V. Allora V è essenzialmente auto-aggiunto in Cc (R N \ {a 1,..., a k }) se e solo se λ i (N 2)2 1 i = 1,..., k. Dimostrazione. I passo: se λ i < (N 2)2 1 i = 1,..., k, allora V è essenzialmente autoaggiunto. Sia f C c (RN \ {a 1,..., a k }) e b > 0. Lax-Milgram = u H 1 soluzione di u(x) e V (x)u(x) + b u(x) = f(x) in R N. Comportamento di u vicino ai poli: ( u(x) x ai a λ i, u(x) = O` x a i a λ i 1, per x a i. 22

24 Per ogni n N, sia η n una successione di cut-off che sono nulle in un intorno sempre più piccolo delle singolarità e di e che convergono a 1. Considero u n = η n u = u n C c (RN \ {a 1,..., a k }) u n (x) e V (x)u n (x) + b u n (x) = f n (x), dove f n := η n f 2 η n u u η n. Quindi f n Range( e V + b). Inoltre η n f f in L 2 e» X η n (x) 2 u(x) 2 dx const R N» kx η n (x) 2 u(x) 2 dx const R N i n 2a λ + N 2 i + n n 2a λ + N i + n. Se λ i < (N 2) 2 / 1, allora 2a λi + N < 0 e quindi f n f in L 2 = Range( e V +b) è denso in C c (RN \{a 1,..., a k }) che è a sua volta denso in L 2 (R N ). II passo: se λ i (N 2)2 1 i = 1,..., k, allora V è essenzialmente autoaggiunto. Approssimo le masse uguali alla soglia con masse più piccole. 23

25 III passo: se λ i > (N 2) 2 / 1 per qualche i {1,..., k}, allora V non è essenzialmente auto-aggiunto. Uso la condizione di non auto-aggiunzione. Siano i t.c. λ i > (N 2)2 1, α < 0 e ψ C 1`(, ln δ] : ( ψ (s) ω 2 λi ψ(s) = b e2s ψ(s), ψ(ln δ) = 0, ψ (ln δ) = α, dove ω λi := q`n λi. Gronwall s Lemma = 0 ψ(s) C exp( ω λi s) for all s ln δ. Quindi la funzione v(x) := verifica ( x a i N 2 2 ψ(ln x a i ), in B(a i, δ) \ {a i }, 0, in R N \ B(a i, δ), 0 v(x) C x a i N 2 2 r N 2 λ i > (N 2) 2 / 1 = v L 2 (R N ). 2 2 λi in B(a i, δ). 2

26 Inoltre 8 v(x) >< λ i x a i 2 v(x) + b v(x) = 0, in B(a i, δ), >: v = 0 and v ν = δ N 2 α, su B(a i, δ). Quindi v V e v + b v D (R N \ {a 1,..., a k }) agisce così: D v V e v + b v, ϕ D = δ N 2 α ϕ(x) ds. B(a i,δ) Essendo α < 0, deduco che h = v e V v + b v H 1 (R N ) verifica (NA). Quindi V non è essenzialmente autoaggiunto. 25

27 Estensione di Friedrichs Se V V e λ i (N 2)2 1, i = 1,..., k, allora V ammette un unica estensione auto-aggiunta data dall estensione di Friedrichs: ( V ) F : u u V u D ( ( V ) F ) = {u H 1 : u V u L 2 }. Altrimenti, se λ i > (N 2)2 1 per quache i, V ammette più estensione auto-aggiunte, tra cui quella di Friedrichs è l unica il cui dominio è contenuto in H 1. Spettro dell estensione di Friedrichs. V V: ( σ ess ( V ) F ) = [0, + ); ( se ν 1 (V ) < 0 allora σ discreto ( V ) F ) consiste in un numero finito di autovalori negativi. 26

28 inf dello spettro essenziale Teorema. Allora Siano (λ 1,..., λ k ) R k t.c. λ i < k λ i < (N 2)2, i = 1,..., k, (N 2)2. ( ) k λ + i > (N 2)2 e k λ i < (N 2)2 1, è condizione necessaria e sufficiente per l esistenza di almeno una configurazione di poli (a 1,..., a k ) R Nk, a i a j per i j, per cui 0 sia un autovalore dell estensione di Friedrichs di L λ1,...,λ k,a 1,...,a k, cioè per l esistenza di u H 1 (R N ) \ {0} t.c. L λ1,...,λ k,a 1,...,a k u = 0. L insieme delle configurazioni per cui 0 è autovalore disconnette R Nk \ Σ, dove Σ := {(a 1,..., a k ) R Nk : a i = a j for some i j}. 27