Quarta Edizione Giochi di Achille e la tartaruga Giochi Matematici ( ) Soluzioni Categoria Sup-T (Alunni Triennio Superiori)

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1 Il Responsabile coordinatore dei giochi: Prof. Agostino Zappacosta Chieti tel (cell.: ) Quarta Edizione Giochi di Achille e la tartaruga Giochi Matematici ( ) Soluzioni Categoria Sup-T (Alunni Triennio Superiori) Quesito Risposta esatta E E B D A C C A B D 48 m 39 s / Vale punti Il massimo punteggio previsto è 100. Una risposta mancante vale 1 punto. Una risposta sbagliata vale 0 punti. Quesito 1 [proprietà delle potenze] (vale 4 punti) Quali delle seguenti relazioni è vera? A) = (5 27 x40 27 ) ; B) = (42 27 x5 27 ) 5 27 ; C) = (5 27 x40 27 ) : 5 27 ; D) = (5 27 x40 27 ) x 5 27 ; E) nessuna delle precedenti. Risposta esatta E). Si procede per esclusione: Alternativa A) il secondo membro diventa (5x40) = Calcolando la potenza al secondo membro otteniamo un numero di 63 cifre mentre il primo membro, pur dando un numero 63 cifre, ne rappresenta poco più della metà!! L alternativa B) è pure da scartare in quanto (42 27 x5 27 ) 5 27 = (42x5) = (210) L alternativa C) è pure da scartare in quanto (5 27 x40 27 ) : 5 27 = (5x40:27) 27 = (200/27) 27 che evidentemente è diverso da Lo stesso vale per l alternativa D) in quanto (5 27 x40 27 ) x 5 27 = (5x40x5) Non resta che l alternativa E. Quesito 2 [Le potenze.magiche!!!] (vale 4 punti) Il calcolo della seguente potenza: , richiede molto tempo!! Non vogliamo sapere tutto il numero ma solo le ultime tre cifre. Quali delle seguenti alternative è quella giusta? A) 149; B) 469; C) 994; D) 941; E) nessuno dei precedenti. Risposta esatta: E) Le potenze di 1499 sono magiche!!! Infatti se l esponente è dispari, le rispettive potenze finiscono per 499; mentre se l esponente è pari, le rispettive potenze finiscono per 001. Provare per credere!!! Con una certa meraviglia, poi, notiamo che entrambe le sequenze, sia 499 che 001 risultano una complementare all altra rispetto a 500!!! ( = 500). Che strano!!! Soluzioni_Sup-T_IV-Ed._Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia]Pag. 1

2 Quesito 3 [Percentuali di percentuali!!] (vale 4 punti) La popolazione residente nel comune di Chieti rappresenta il 4.16% di quella abruzzese ed il 13.74% di quella della provincia di Chieti. Quale percentuale della popolazione residente nella regione Abruzzo è rappresentata dalla popolazione residente nella provincia di Chieti? (dare il risultato con due cifre decimali). A) 57.16; B) 30.27; C) 3.30; D) 33.27; E) nessuno dei precedenti. Risposta esatta B) 30.27%. Il 4.16% della popolazione residente nella regione Abruzzo è pari al 13.74% della popolazione residente nella provincia di Chieti. Quindi la popolazione residente nella provincia di Chieti è il 4.16/13.74 x 100 di quella residente nella regione Abruzzo cioè circa il 30.27%. Quesito 4 [Queste potenze benedette!!!!!!] (Triennio) Tra i numeri naturali fino a mille miliardi quanti quadrati, cubi e quarte potenze, diversi fra loro, ci sono? A) ; B) ; C) ; D) ; E) nessuno dei precedenti. Risposta esatta D): I quadrati sono : infatti = I cubi sono : infatti = Da questi bisogna togliere quelli che sono contemporaneamente cubi e quadrati cioè delle seste potenze che sono in tutto 100 infatti: = = (100 2 ) 3 = = (100 3 ) 2 = = Quindi tra 1 e mille miliardi ci sono ( ) = tra quadrati e cubi. Tutte le quarte potenze che sono 1000 [ = = ( ) 2 = = ] non si devono prendere perché sono state già conteggiate nei quadrati. Quesito 5 [Villetta nel giardino e contratto di compravendita] (vale 5 punti) La figura disegnata a fianco, mostra la pianta di un giardino con al centro una villetta. Tutto quanto è stato venduto per mezzo milione di Euro. Dal contratto di vendita si evince che il prezzo di vendita del giardino è stato pari ad un ottavo del prezzo complessivo. Con le misure riportate (vedi quadrato A) date una valutazione del prezzo per m 2 di cortile. A) 48.23; B) 48.50; C) 48.43; D) 48.33; E) nessuna delle precedenti. A 6m 6m Risposta esatta: A) arrotondato a Il lato del quadrato A misura 6 metri; quindi la sua superficie è di m Di conseguenza, la superficie del cortile, (pari a 36 volte la superficie del quadrato A), sarà di m 2 (36x36) = m (500000:8) = (prezzo di vendita del cortile). (62500:1296) = (prezzo di vendita per 1 metro quadrato di cortile). A Soluzioni_Sup-T_IV-Ed._Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia]Pag. 2

3 Quesito 6 [Quadrato ed esagono contro circonferenza] (vale 5 punti) Un quadrato ed un rettangolo sono, rispettivamente, il primo circoscritto ed il secondo inscritto ad una stessa circonferenza. Le dimensioni del rettangolo sono una i ¾ dell altra. Sapendo che il raggio della circonferenza misura 12.5 cm, qual è l area del rettangolo? (nel caso in cui il risultato fosse decimale, riportare solo le prime due cifre dopo la virgola). A) ; B) ; C) 300; D) ; E) nessuno dei precedenti. Risposta esatta: C) 300 cm 2. La diagonale di qualsiasi rettangolo inscritto in una circonferenza è uguale al suo diametro. Il lato del quadrato circoscritto è uguale a sua volta al diametro della stessa circonferenza. Da ciò deriva che la diagonale del rettangolo è uguale al lato del quadrato. Sapendo che il raggio misura 12.5 cm il diametro sarà di cm 25 (12.5x2). Indicando con x la misura (in cm) del lato maggiore del rettangolo, la misura di quello minore risulterà essere ¾ x. Applicando il teorema di Pitagora, avremo: x 2 + (3/4x) 2 = 25 2 ; x 2 + 9/16 x 2 = 25 2 ; 25/16 x 2 = 625; x 2 = /25 = 400; x = 20 cm. Lato minore = cm(3/4 x 20) = cm 15. L area del rettangolo sarà: cm 2 (20x15) = cm Quesito 7 [Ordine nei cassetti!!!!] (vale 5 punti) Diana ha deciso di riordinare il suo cassetto contenente 26 cartoncini, di varie dimensioni, per lavori di decoupage. Dei ventisei cartoncini rimasti dai precedenti lavori, ne ha dovuto buttare nove, perché troppo rovinati. Inoltre, ha dovuto ridurre le dimensioni dei cartoncini più grandi. Di questi, tre li ha tagliati in cinque pezzi più piccoli. Per altri cartoncini, meno grandi dei precedenti, ha provveduto a tagliarli solo in tre parti ciascuno. Alla fine si ritrova con 45 cartoncini. Quanti sono i cartoncini che Diana da dovuto dividere in tre parti? A) 5; B) 9; C) 8; D) 10; E) nessuno dei precedenti. Risposta esatta: C) 8. Dopo lo scarto, i cartoncini rimasti sono 17 (26-9). Da questi 17, Diana ne prende tre. A questo punto i cartoncini rimasti sono 14 (17-3). Con questi tre, avendo diviso ciascun cartoncino in cinque parti, ottiene quindici cartoncini, anche se di dimensioni ridotte. Aggiungendo i 15 cartoncini ritagliati ai 14 rimasti, otteniamo 29 cartoncini. Sottraendo questi 29 dai 45 che Diana si ritrova alla fine, otteniamo 16 che sono i cartoncini eccedenti. Un cartoncino ritagliato in tre parti scompare per dar vita a tre cartoncini più piccoli. Effettivamente l accrescimento è soltanto di due. Dividendo 16 per 2 di ottiene 8 che è il numero dei cartoncini che Diana ha diviso in tre parti. Prova: 14-8 = 6 cartoncini rimasti senza essere suddivisi. In tutto i cartoncini saranno: 6+3x8+5x3= =45. Molto più semplicemente si poteva risolvere con una semplice equazione di primo grado: indicando con x il n. dei cartoncini da dividere per tre. (14-x) risulteranno i cartellini non divisi. Si arrivava così alla soluzione risolvendo l equazione: (14-x) +3x +15= 45; 2x = 16; x = 8. Quesito 8 [Dalle parole alla formula!! ] (vale 5 punti) Quali tra le seguenti espressioni rappresenta: il triplo della differenza tra il quadrato del consecutivo della quarta parte di un numero intero n e il cubo del precedente della terza parte di n? A) 3[(n/4+1) 2 (n/3-1) 3 ]; B) [3 (n/4+1) 2 (n/3-1) 3 ]; C) 3[(n/4-1) 2 (n/3+1) 3 ]; D) [3 (n/4-1) 2 (n/3+1) 3 ]; E) 3[(n/4+1) 2 (n/3+1) 3 ]. Risposta esatta: A) La quarta parte di un numero si indica con n/4. Il consecutivo avrà un unità in più: n/ Il suo quadrato si indicherà con (n/4+1) 2. La terza parte di un numero si indica con n/3. Il precedente avrà un unità in meno: n/3 1. Il suo cubo si indicherà (n/3+1) 3. Il triplo della differenza tra le suddette due espressioni verrà infine indicato con 3[(n/4+1) 2 (n/3-1) 3 ]. Soluzioni_Sup-T_IV-Ed._Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia]Pag. 3

4 Quesito 9 [Il cicloamatore alle prese con salite e discese] (vale 6 punti) Un cicloamatore parte dal suo paese, in provincia di Chieti, per raggiungere il Blockhaus (località della Maiella situata a quasi 2000 m di altitudine sul livello del mare). All andata, quasi tutta in salita, procede ad un andatura di 16 km/h. Dopo cinque ore, giunto in cima, rigira e ridiscende a valle (percorrendo la stessa strada) impiegando esattamente due ore. Qual è la media complessiva tenuta dal cicloamatore, durante tutto il suo viaggio? A) ; B) ; C) ; D) ; E) nessuna delle precedenti. Risposta esatta B) km/h. Intanto calcoliamo la lunghezza del tragitto (in andata): km (5x16) = 80 km. All andata, il cicloamatore, quando la strada era in salita, ha pedalato per ben cinque ore ad una velocità di 16 km/h.; mentre, al ritorno, avendo pedalato solo per due ore per compiere 80 km ha viaggiato a 40 km/h. Nel calcolo della media, bisogna considerare come pesi le ore che si è viaggiato a quelle determinate velocità medie. Perciò Vm = (16x5 + 40x2): 7 = 160 : 7 = Km/h. Più semplicemente, il cicloamatore ha impiegato complessivamente 7 ore per percorrere 160 km (andata e ritorno). Vm = km/h (160:7) = km/h 22.(857142) arrotondato a km/h Quesito 10 [La crescita della ninfea nello stagno] (vale 6 punti) Una pianta acquatica, dalle foglie grandi e galleggianti chiamata ninfea bianca, si riproduce molto velocemente. Una di queste, caduta in uno stagno, raddoppia la sua superficie in 120 ore (cinque giorni). Dopo 150 giorni (5 mesi circa) è riuscita a ricoprire tutto lo stagno. Quanti giorni ha impiegato per ricoprire la metà dello stagno? A) 125; B) 75; C) 130; D) 145; E) 142. Risposta esatta D) 145. Se al centocinquantesimo giorno la pianta ha ricoperto tutto lo stagno, cinque giorni prima ne copriva evidentemente la metà, dato che ogni cinque giorni le foglie di questa pianta raddoppiano. Quesito 11 [Gli imbianchini e le stanze da dipingere!!!] (vale 6 punti) Antonio, Roberto e Carlo sono tre provetti imbianchini. Ciascuno di loro riesce a dipingere una stanza, rispettivamente, in due ore, due ore e mezza e tre ore. Se dipingono tutti insieme la stessa stanza quanto tempo (in ore, minuti e secondi) ci impiegano? Risposta esatta: 48 minuti e 38,9 secondi (si può arrotondare a 48 min e 39 sec). Esprimiamo i tempi in minuti. Allora avremo che: Antonio dipinge una stanza in 120 minuti; Roberto dipinge una stanza in 150 minuti e Carlo dipinge una stanza in 180 minuti. Sapendo che 120=2 3 x3x5; 150=2x3x5 2 ; 180=2 2 x3 2 x5 il loro minimo comune multiplo sarà: 2 3 x 3 2 x5 2 = 8x9x25 = Questo vuol dire che: Antonio, in 1800 minuti dipinge (1800:120) = 15 stanze; Roberto, in 1800 minuti dipinge (1800:150) = 12 stanze; Carlo, in 1800 minuti dipinge (1800:180) = 10 stanze; In 1800 minuti, i tre imbianchini riescono a dipingere ( ) = 37 stanze. Per conoscere il tempo necessario per dipingere una stanza basta dividere il tempo complessivo (1800 minuti) per il numero delle stanze (37). 1800:37 = 48 minuti e 38.9 secondi Soluzioni_Sup-T_IV-Ed._Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia]Pag. 4

5 Quesito 12 [somma di potenze con esponenti grandi!!!] (vale 6 punti) Quali sono le ultime due cifre di questa somma: ? Risposta esatta: E) 00. Ricordando la proprietà dei prodotti notevoli si ha che la somma di due potenze con esponenti uguali e dispari, è sempre divisibile per la somma delle basi. In questo caso, la somma delle basi vale 100 (73+27). Per cui la somma di quelle due potenze è divisibile per 100; quindi la somma finisce con due zeri. Es. con esp. dispari (per es. 3). Questo es. serve solo come esercitazione (per riscaldarsi un po!!!) a 3 +b 3 = (a+b) (a 2 -ab+b 2 ). Poniamo a = 73 e b = 27 Allora avremo: = (73+27) ( x ) = (73+27) ( ) = (100) ( ) = 100x4087. Quesito 13 (vale 8 punti) Quanti sono i numeri di tre cifre che diminuiscono di 99 se si scambia la cifra delle centinaia con quella delle unità? ATTENZIONE: le cifre delle centinaia e delle unità devono essere diverse tra loro, e diverse da 0. Risposta esatta: 80. Basta prendere un numero in cui la cifra delle centinaia supera di 1 quella delle unità. E chiaro che la cifra delle decine resta la stessa = 99; = 99; = 99; = 99;.. in tutto 10; = 99; = 99; = 99; = 99;.. in tutto 10; = 99; = 99; = 99; = 99;.. in tutto 10; = 99; = 99; = 99; = 99;.. in tutto 10; = 99; = 99; = 99; = 99;.. in tutto 10; = 99; = 99; = 99; = 99;... in tutto 10; = 99; = 99; = 99; = 99;. in tutto 10; = 99; = 99; = 99; = 99. in tutto 10. Quindi, concludendo, abbiamo 80 numeri, con questa proprietà. Quesito 14 [Si avvicina Natale.. si gioca!!!!] (vale 8 punti) Lanciando tre dadi simultaneamente, a caso, qual è la probabilità di ottenere il totale nove oppure undici? Nota Bene: qui si parla di dadi normali a forma di cubo (con sei facce) e non truccati!!!. Risposta : 13/54 Soluzione: I casi possibili sono 6 3 = 216. I casi favorevoli sono: per E 1 (totale 9) 25 e per E 2 (totale undici) 27. La probabilità sarà p(e 1 ) + p(e 2 ) = 25/ /216 =52/216 = 13/54. Vedi tabella sotto. Soluzioni_Sup-T_IV-Ed._Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia]Pag. 5

6 numero combinazioni per ottenere un totale = 9 n. combinazioni per ottenere un totale = 11 Punteggio Punteggio Punteggio Punteggio Punteggio Totale Totale dado dado dado dado dado Punteggio dado Quesito 15 [Disposizione di angolare su griglia bipiramidale!!!] (vale 12punti) In quanti modi diversi posso disporre l angolare A sulla griglia disegnata? A Risposta esatta: 56. Ci sono in tutto 56 disposizioni diverse. [( )+( ) +( )+ +( )] = [ ] = 56. Vedi sotto: Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4 Si ottengono 5 disp.div. Si ottengono 5 disp.div. Si ottengono 3 disp.div. Si ottengono 3 disp.div. Fig. 5 Fig. 6 Fig. 7 Fig. 8 Si ottengono 5 disp.div. Si ottengono 5 disp.div. Si ottengono 3 disp.div. Si ottengono 3 disp.div. Soluzioni_Sup-T_IV-Ed._Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia]Pag. 6

7 Fig. 9 Fig. 10 Fig. 11 Fig. 12 Si ottengono 2 disp.div. Si ottengono 2 disp.div. Si ottengono 2 disp.div. Si ottengono 2 disp.div. Fig. 13 Fig. 14 Fig. 15 Fig. 16 Si ottengono 4 disp.div. Si ottengono 4 disp.div. Si ottengono 4 disp.div. Si ottengono 4 disp.div. Quesito 16 [misure di una scatola rettangolare] (vale 12 punti) La seguente scatola è formata da 9 scomparti rettangolari perfettamente uguali. Si sa che il perimetro e l area della scatola, misurano, rispettivamente, 510 cm e cm 2. Qual è la lunghezza della dimensione maggiore di questa scatola? Risposta: 153 cm. Indichiamo con x la misura del lato minore e con y quella del lato maggiore di uno dei 9 scomparti. Dalla figura notiamo che il perimetro della scatola è formato da nove segmenti ciascuno pari alla dimensione minore dello scomparto e da 4 segmenti ciascuno pari alla dimensione maggiore dello stesso. Avremo le due seguenti equazioni: 9x + 4y =510 (per il perimetro) 2y [3x+y] = (per l area) Dalla prima eq. ricaviamo y = (510-9x)/4 che andiamo a sostituire nella seconda equazione: 2(510-9x)/4 [3x+(510-9x)/4] = 15606; (510-9x)/2 (12x+510-9x)/4 = 15606; (510-9x)/2 (3x+510)/4 = 15606; (1530x x x = ; infine 3x x = 0. Scartando la soluzione negativa (n.a.) troviamo x = 34 che sostituito nella prima equazione ci dà y = 51. Lato maggiore della scatola = 3x+y = cm (3x34+51) = cm (102+51) = cm 153. Soluzioni_Sup-T_IV-Ed._Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia]Pag. 7