Seconda Edizione Giochi di Achille ( ) - Olimpiadi di Matematica Soluzioni Categoria Sup-B2 (Alunni di seconda superiore)

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1 posto posto posto 9 posto 0 posto posto 9 posto 99 posto 00 posto Il Responsabile coordinatore dei giochi: Prof. Agostino Zappacosta Chieti tel. 07 (cell.: ) agostino_zappacosta@libero.it Seconda Edizione Giochi di Achille (--0) - Olimpiadi di Matematica Soluzioni Categoria Sup-B (Alunni di seconda superiore) C D E B A C E E B E 0/ 0 0 N 7 Quesito. La risposta esatta è la C), cioè 7 secondi. Per battere le sette (del mattino o del pomeriggio) l orologio procede così: rintocco - pausa - rintocco - pausa - rintocco - pausa - rintocco - pausa - rintocco pausa - rintocco pausa 7 rintocco. L orologio per 7 rintocchi fa pause. Le pause sono sei per cui una pausa dura sec (:) secondi. Per battere le dieci occorrono 0 rintocchi e dunque si avranno 9 pause. Poiché ogni pausa dura secondi, si conclude che sono necessari sec (9x) 7 secondi. Quesito. La risposta esatta è la D) Se è l angolo, il suo complementare sarà: 90 - ; il suo supplementare sarà: 0 -. Affinché un triangolo esista si devono verificare due condizioni: ) Ciascuno dei tre angoli interni, e dovrà essere diverso da zero. ) Per la proprietà degli angoli interni, dovrà aversi (90 - ) + (0 - ). 0; da cui 90 ; questa soluzione rende 90-0 ma non può essere nullo (per la proprietà ), Allora se 90 se ne deduce che tali triangoli non esistono. dovrebbe essere uguale a 0 mentre 90. Ciò porta ad + 0!!!!! Quesito. La risposta esatta è la E). Basta calcolare il mcm tra i numeri: 0, 9,, 7,,.,,. Cioè 9xx7x 0. Infatti 0, 9,, 7,,,, e sono divisibili rispettivamente per 0, 9,, 7,,., e. Quesito. La risposta esatta è la B). I diversi fattori differiscono solo per le ultime due cifre mentre le restanti restano uguali: Basta perciò moltiplicare solo le ultime due cifre di ogni fattore ed avremo: A) 0x07 ; B) 0x0 ; C) 0x00; ; D) 0x0; E) 0x097. Il risultato più grande è proprio quello presente in B. Quesito. La risposta esatta è la A). Al 00 posto troviamo proprio la cifra Ragioniamo così: da a 9 abbiamo 9 cifre: il posto e la cifra del numero coincidono. Da 0 a 99 abbiamo 0 cifre. Da 00 a 0 abbiamo altre 09 cifre Soluzioni_Sup-B_II-Ed._Giochi_di_Achille (--00) [Il mago dei numeri CH- Italia] pag.

2 Quindi se scriviamo tutti i numeri da a 0, uno a fianco all altro scriviamo in tutto 9 cifre che occupano 9 posti: (nove posti per i numeri da a 9, 0 posti per i numeri da 0 a 99 (sono 90 numeri e ciascuno con due cifre per cui abbiamo 90x 0) e infine 09 posti per i numeri da 00 a 0 (sono 0 numeri con tre cifre per cui abbiamo 0x09). Dopo la cifra (delle unità del numero 0). bisognerà scrivere il numero 0. Quindi il occuperà il 99 posto e lo 0 il 00 posto. Quesito. La risposta esatta è la C), cioè 7 Km/h. Il distacco da colmare è di minuti che corrispondono a/ d ora e cioè a 0.7 h. Il pullman in ¾ d ora percorre km (90x0,7) km 7.. In. ore l auto dovrà recuperare questi 7, km. Km(7,:,) km 7 (chilometri recuperati in un ora) L auto deve viaggiare a 7 km per ora in più rispetto a quelli percorsi in un ora dal pullman che sappiamo essere di 90 Km/h. Perciò km/h (90+7) 7 km/h. Quesito 7. La soluzione è la E): tre ore e quarantacinque F G minuti. Il primo, procedendo ad una velocità di km/h, impiega E A H minuti (0:) per percorrere km (equivalenti a 000 m). Quindi dopo un ora si trova in F. Pincopallone, invece, procedendo ad una velocità di km/h, impiega 0 minuti (0:) per percorrere km. Dopo un ora si trova in I e per D I B arrivare in B impiega ulteriori 0 minuti. Se il fratello non è ancora passato in B, potrebbe incrociarlo lungo il tratto BA. C L Ma Pincopallino che dopo un ora era arrivato in F, per arrivare a B impiega solo minuti. Per cui durante questo primo giro i due non si incrociano. Dopo due ore Pincopallino si troverà in E e Pincopallone in A. Procedendo avanti, dopo tre ore il primo si troverà in D ed il secondo si troverà di nuovo in I. Dopo minuti Pincopallino si troverà in A mentre Pincopallone sta per arrivare in B (gli restano solo minuti). Siccome Pincopallino per percorrere il tratto AB impiegherà esattamente minuti, Pincopallone dopo minuti, passando per B, imboccherà lo stesso tratto di percorso che il fratello sta percorrendo in senso inverso a quello suo. Dopo ore i due non si sono ancora incrociati e si ha la seguente situazione: quando il primo transita in A (sono passati esattamente ore e minuti dall inizio), il secondo si trova a percorrere il tratto LB. Quando il secondo transita in B (dopo e 0 minuti dall inizio), il primo ha lasciato A per andare verso B già da minuti. Perciò è sicuro che l incontro dei due avverrà lungo il tratto AB (dopo ore e 0 minuti e prima delle ore e minuti che costituisce il momento il cui il primo arriverebbe in B). Dopo ore e 0 minuti Pincopallone si trova in B mentre Pincopallino si trova ad / di km da A (se in minuti percorre un km, in ne percorrerà /). s sarà lo spazio percorso dal primo mentre s sarà quello percorso dal secondo. Allo scoccare delle ore e quaranta minuti lo spazio che separa i due è esattamente di 000m - /x000 m cioè /x000 m.( s + s ). Indichiamo con x il tempo che deve trascorrere fino all incontro dei due. Trasformiamo le due velocità in m/s: v 000m/00sec / m/sec circa.9 m/sec; v 000m/00 sec /m/sec circa 0. m/sec. Impostiamo la semplice equazione: s + s /x000 m; ovvero v x t + v x t /x000 m. Ma t t x (espresso in sec).perciò avremo: : v x x + v x x /x000 m; /x+/x /x000; x+x000 da cui x00 sec cioè minuti. Quindi ore e 0 minuti più minuti fanno ore e minuti. Soluzioni_Sup-B_II-Ed._Giochi_di_Achille (--00) [Il mago dei numeri CH- Italia] pag.

3 Quesito. La risposta esatta è la E) cioè chilo di grano. Se 9 galline producono 9 dozzine di uova in 9 giorni, una gallina produrrà una dozzina di uova in 9 giorni. Se 9 galline mangiano 9 chili di grano in 9 giorni, 9 galline mangeranno un chilo di grano in un giorno. Una gallina, quindi, mangerà chilo di grano in 9 giorni. Quindi se una gallina produce in 9 giorni una dozzina di uova e nello stesso periodo di tempo mangia chilo di grano vuol dire che per produrre una dozzina di uova occorre chilo di grano. Quesito 9. La risposta esatta è la B). I gradini sono in tutto (7+9). La parte verticale del gradino si chiama alzata mentre la parte orizzontale (dove si appoggiano i piedi) si chiama pedata. Quindi nel contare i gradini bisogna contare solo le alzate che sono quelle che ci fanno alzare (o abbassare di quota). Quando la nonna incontra Antonio vengono a trovarsi sullo stesso gradino (pedata). In quel momento la nonna ha salito 7 gradini (cioè alzate ) mentre Antonio è sceso di 9 gradini (cioè alzate a scendere). Perciò rispetto alla pedata comune le ultime alzate conteggiate sono diverse: verso l alto (per la nonna) e verso il basso (per Antonio). La pedata comune è come se fosse un pianerottolo. Pedata Alzata Profilo della scala Quesito 0. La risposta esatta è la E): 0 km/h. Il numero palindromo successivo a 99 è 999, quindi in un ora hanno percorso 00 km (999-99). Quindi la velocità media è stata di 0 km/h (spazio percorso in km diviso tempo impiegato in ore: 00:). Quesito. Soluzione: le ragazze sono. Essendo gli alunni la spesa totale sarà di 0 (x0).se ogni ragazzo paga, i maschi saranno (0:). Le ragazze, di conseguenza saranno (-) Quesito. La risposta esatta è. Infatti. Verifica:. 0 Soluzione con metodo algebrico: Indichiamo con a e b i due termini del rapporto. Avremo successivamente: a a 0 ; ; dalla prima proporzione ricaviamo che a b e andando a sostituire alla b b 0 seconda uguaglianza avremo un equazione nell incognita b. Soluzioni_Sup-B_II-Ed._Giochi_di_Achille (--00) [Il mago dei numeri CH- Italia] pag.

4 ( b +0) (b+0); risolvendo avremo: b +0 0 b + 00 da cui b ed a b 0. Quindi la frazione iniziale è 0/. Quesito. La risposta esatta è 0. Quel Cavaliere aveva inizialmente 0 monete. Con 0 monete si ottiene: ; 0- dopo il attraversamento il Cav. resta con monete + ; - + ; - + ; Quesito. La risposta esatta è 0. Indichiamo con x il numero dei pentagoni. Il numero dei triangoli sarà allora x+. Il numero dei triangoli e pentagoni sarà x+(x+) x+. Per differenza, gli esagoni saranno -(x+) -x- -x. I vertici dei pentagoni saranno x; quelli dei triangoli (x+) e quelli degli esagoni (-x). Avremo la semplicissima equazione: totale vertici 9. x + (x + ) + ( x) 9. x +x + + x 9. -x - 7; da cui x 9. I triangoli saranno in più cioè 0 (9+0). Quesito. La risposta esatta è N. Le caselle di questo quadrato sono nove:,,,,,, 7,, 9. Questi numeri scritti in lettere diventano: Uno, Due, Tre, Quattro; Cinque, Sei, Sette, Otto e Nove. Nel quadrato sono riportate proprio le iniziali di queste parole. Manca solo la lettera N iniziale di Nove!!! Quesito. Soluzione: I trapezi sono 7 (9 trap. rettangoli ed 0 trap. isosceli). Soluzioni_Sup-B_II-Ed._Giochi_di_Achille (--00) [Il mago dei numeri CH- Italia] pag.

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7 Soluzioni_Sup-B_II-Ed._Giochi_di_Achille (--00) [Il mago dei numeri CH- Italia] pag. 7 I trapezi rettangoli sono in tutto: x(+++++)+x(0+++)+x(+)x(7+0+) x7 9. I trapezi isosceli sono in tutto I trapezi isosceli sono in tutto: x(+9+)+x(+)+x x(7++) x0 0.