La struttura stellare (I)

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1 La struttura stellare (I)

2 Richiami sul diagramma HR Ripasso

3 Il diagramma HR Come già visto ad Astronomia ricordiamo brevemente alcune proprietà del diagramma HR. Le superfici delle stelle si possono approssimare come corpi neri di temperatura T allora Ripasso L =4 r 2? T 4? nel diagramma HR in figura si ha logl vs logt ovvero log L = [log(4 ) + 2 log r? ] + 4 log T cioè le linee a raggio stellare costante sono delle rette con pendenza 4. Tutte le stelle sono in parti ben definite del diagramma: 80-90% delle stelle sono nella striscia diagonale detta Sequenza Principale (Main Sequence, MS) che corrisponde ad una relazione L T 8 e (Sequenza Principale) data la relazione di corpo nero sulla MS r ~ T 2 ovvero stelle più calde sono più grandi. Il Sole è una stella di MS. Stelle più fredde hanno T~ 0.5 T ovvero r ~ 1/4 r ; Stelle più calde hanno T~ 5 T ovvero r ~ 25 r. 3

4 Il diagramma HR Esistono altri luoghi occupati nel diagramma HR. In alto a destra rispetto alla MS esiste una concentrazione di stelle fredde (più rosse) dette Giganti Rosse; L alcuni ordini di grandezza più grande rispetto alle stelle di MS con la stessa T; per L = 4πr 2 σt 4 queste stelle devono avere raggi più grandi fino a 100 r ~ 1 AU. Nella parte bassa del diagramma c è una sequenza di punti corrispondente alle stelle Nane Bianche; L alcuni ordini di grandezza più piccola rispetto alle stelle di MS con la stessa queste stelle hanno raggi ~ 10-2 r ~ 10 4 km. Inizialmente fu ipotizzato che la MS fosse una sequenza di raffreddamento da cui il nome Early Types per O-B e Late Types per F-G-K-M. Quando le masse divennero disponibili (dalle binarie) ci si rese conto che alte T corrispondevano a alte M e viceversa. Sulla MS si ha M ~ M e la relazione L-M è L ~ M α con α 3 per M > M e α 5 per stelle meno massicce; Le nane bianche hanno masse ~M ma sempre < 1.4 M. Ripasso 4

5 La struttura stellare Una stella è una sfera di gas tenuta insieme dall auto gravità ed il cui collasso è impedito dalla presenza di gradienti di pressione. Con ottima approssimazione una stella è un sistema a simmetria sferica, ovvero le grandezze fisiche sono funzione soltanto della distanza r dal centro della stella. Prima di procedere vediamo alcuni cenni di teoria del campo gravitazionale. Il campo gravitazionale in P generato da una massa puntiforme in P è ( x) = GM x x 0 pertanto il campo generato da una distribuzione di massa è ( x) = G Z V ( x 0 )dv x x 0 dv = d 3 x 0 dm = ( x 0 )dv 5

6 La struttura stellare Vediamo ora di ottenere l energia gravitazionale. Data una distribuzione di massa l elemento di massa in i è soggetto al campo gravitazionale generato dall elemento di massa in j ovvero l energia gravitazionale associata sarà W ij = m i j ( x i )= ( x i ) j ( x i ) V i W = 1 2 dove ϕj(xi) è il potenziale gravitazionale generato dalla massa j in i ed il fattore 1/2 è necessario per non contare due volte l energia gravitazionale dell interazione ij ovvero ΔWij e ΔWji sono la stessa cosa e devono contribuire una sola volta a W. Infine, passando al limite per elementi di volume infinitesimi W = 1 2 Z V ( x) ( x) dv X che esprime l energia potenziale di una distribuzione di massa. i6=j ( x i ) j ( x i ) V i 6

7 La struttura stellare sostituiamo ora l espressione del potenziale in W W = 1 2 Z V = 1 2 G Z d 3 x ( x) V 1 2 x x0 2 = 1 2 = 1 2 = 1 2 d 3 x Z " Z V V G ( x 0 )d 3 x 0 x x 0 # d 3 x 0 ( x) ( x 0 ) x x 0 3 x x0 2 X (x i x 0 i)(x i x 0 i) i X i X i x i (x i x 0 i) 1 2 x i (x i x 0 i)+ 1 2 X j x 0 j(x j x 0 j) X x 0 j(x 0 j x j ) j 7

8 La struttura stellare ma siccome nell integrale le variabili x e x sono perfettamente interscambiabili allora posso scrivere (sempre e solo ai fini dell integrale) 1 2 x x0 2 = X i x i (x i x 0 i)=x (x x 0 ) ovvero W = W = Z Z G d 3 x V V Z d 3 x ( x) x V d 3 x 0 ( x) ( x 0 ) x x 0 3 x ( x x0 ) apple Z d 3 x 0 G ( x 0 ) x x 0 3 ( x x0 ) V ma l espressione tra le parentesi quadre è quella del campo gravitazionale generato dalla stessa distribuzione di massa g( x) = Z V G ( x 0 )d 3 x 0 x x 0 3 ( x x0 ) 8

9 Introduzione alla struttura stellare per cui si ottiene un altra espressione per l energia potenziale gravitazionale W = Z V ( x) x gdv Per calcolare W si può adesso utilizzare una proprietà notevole della forza gravitazionale ovvero il teorema di Gauss secondo cui, data una superficie chiusa S, si ha Z S g nds = 4 GM dove n è la normale all elemento di superficie ds, ed M è la massa contenuta all interno di S. Questo teorema è l analogo di quello visto nel corso di Fisica II per il campo elettrostatico. 9

10 Introduzione alla struttura stellare Con una distribuzione sferica di massa M(r), se S è superficie sferica di raggio r si ha ovvero g = g(r)u r n = u r Z Z Z 4 GM(r) = g nds = g(r) ds = g(r) S S pertanto g a distanza r dal centro dipende soltanto nella massa contenuta all'interno della sfera di raggio r ed è la stessa che si avrebbe se questa massa fosse concentrata nel centro della sfera stessa. Allora l energia potenziale di una distribuzione sferica di massa è W = W = Z V Z g(r) = V GM(r) r 2 ( x) x gdv = GM(r) r Z V (r) dv (r) r u r S GM(r) r 2 ds = g(r)4 r 2 u r dv 10

11 Il tempo di free fall Vedremo come questa relazione sarà utile tra poco, ma per adesso consideriamo solo la massa dm contenuta nell elemento di volume dv a distanza r0 dal centro (shell sferica), la sua energia potenziale gravitazionale è dw = GM(r 0) r 0 dm = (r 0 )dv dm Supponiamo che questo elemento di massa sia in caduta libera allora dalla conservazione dell energia meccanica, al raggio r si avrà 1 2 dm dr dt 2 GM(r) r dm = 1 2 dm dr dt 2 GM(r 0 ) r=r 0 r 0 Se tutta la massa è in caduta libera partendo da ferma si ha M(r) = M(r0) e dr/dt = 0 per r = r0. r0 dm 11

12 Il tempo di free fall Si ottiene 1 2 dr dt dr dt = 2 = GM(r 0) s r 2GM(r 0 ) 1 r GM(r 0 ) r 0 1 r 0 il segno - è stato scelto dal fatto che il gas deve cadere verso il centro ( r=0 ) per cui dr/dt < 0. Separando le variabili ed integrando membro a membro si ottiene il tempo che la distribuzione di massa impiega a collassare nel centro Z 0 ff dt = Z 0 r 0 apple 2GM(r 0 ) 1 r 1 r 0 1/2 dr 12

13 Il tempo di free fall Ponendo x = r/r0, dr = r0 dx si ottiene infine ff = apple 2GM(r0 ) r 3 0 1/2 Z 1 l integrale definito si calcola ponendo 0 x 1 x 1/2 dx x =sin 2 dx =2sin cos d Z 1 1/2 Z x /2 sin 2 dx = 1 x cos /2 2 sin cos d = Z /2 0 2 sin 2 d = 2 Definendo la densità media = M(r 0) 4 3 r3 0 13

14 Il tempo di free fall si può esprimere M(r0)/r0 3 in funzione di ρ ottenendo alla fine ff = 1/2 3 32G nel caso del Sole ff = cgs 1.4 g cm 3 1/2 = 1800 s quindi, in assenza di supporto, il Sole collasserebbe nell arco di mezz ora. Questo non avviene perché il Sole è in equilibrio idrostatico. 14

15 L equilibrio idrostatico Nel caso di equilibrio idrostatico, si è visto nel corso di Fluidi che rp = g dove P è la pressione del gas, ρ la densità e g l accelerazione di gravità (il campo gravitazionale). Nel caso semplificato di simmetria sferica che si applica alle stelle, solo la componente radiale di quella equazione vettoriale non è identicamente nulla per cui si ha dp (r) dr = GM(r) r 2 (r) questa è l equazione dell equilibrio idrostatico ed è la prima equazione utilizzata per determinare la struttura delle stelle. Si noti come il gradiente di pressione è negativo, poiché la pressione deve aumentare verso l interno per bilanciare la forza di gravità che tenderebbe a far collassare gli strati esterni. 15

16 Il teorema del viriale Dall equazione dell equilibrio idrostatico è possibile imparare molte cose. Moltiplicando membro a membro per 4π r 3 dr ed integrando tra r =0 e r =r Z r? 0 4 r 3 dp dr dr = Z r? 0 GM(r) (r) r 4 r 2 dr ricordando che l elemento di volume è dv = 4πr 2 dr e l espressione per l energia potenziale gravitazionale W, si nota come il secondo membro è proprio pari a W. Integrando il primo membro per parti si ottiene Z r? 0 4 r 3 dp dr dr =3 apple 4 3 r3 P (r ) Z r? 0 P 4 r 2 dr ma P(r )=0 poiché è la pressione alla superficie della stelle, inoltre definendo la pressione media P = R r? 0 P dv R r? 0 dv = R r? 0 P dv V 16

17 Il teorema del viriale si ottiene Z r? 0 4 r 3 dp dr dr = 3 PV quindi integrando l equazione dell equilibrio idrostatico si è giunti alla relazione 3 PV = W che rappresenta una delle molte forme del Teorema del Viriale che, in generale, si applica ai sistemi legati gravitazionalmente. Supponiamo che il gas sia ideale, non relativistico (v c) e composto di particelle uguali, allora P V = nrt dove ΔV è un volume di gas, P pressione, T temperatura e Δn il numero di moli. Ricordando che n = N/NA (NA numero Avogadro) e R/NA = k (k costante di Boltzmann) si ha P V = NkT 17

18 Il teorema del viriale L energia cinetica per particella dovuta all agitazione termica è 3/2 kt (gas perfetto monoatomico) per cui l energia totale in ΔV è E th =3/2 NkT ovvero P = 2 3 E th V = 2 3 E th cioè per un gas ideale non relativistico la pressione è 2/3 della densità di energia termica. Questa relazione vale in ogni punto della stella, dove posso definire pressione e temperatura (equilibrio termodinamico locale). Moltiplicando membro a membro per dv = 4π r 2 dr e integrando sul volume della stella otteniamo Z r? 0 4 r 2 P (r)dr = 2 3 Z r? 0 E th dv 18

19 Il teorema del viriale ovvero nella notazione di prima PV = 2 3 ETOT th dove Eth TOT è l energia termica totale immagazzinata nella stella. Sostituendo nel teorema del viriale si ottiene infine E TOT th = 1 2 E grav forma alternativa del teorema del viriale. Ricordiamo che Egrav < 0 poichè il sistema è legato. Se una stella si contrae, Egrav diminuisce (ovvero diventa più negativa) e, di conseguenza, la sua energia termica aumenta. In pratica una stella ha una capacità termica negativa, e questo fatto è alla base di tutta l'evoluzione stellare. 19

20 Il teorema del viriale Altre forme del teorema del viriale sono E TOT = Eth TOT + E grav = Eth TOT E TOT = E TOT th = 1 2 E grav = 1 2 E grav Da cui è ovvio come la capacità termica sia negativa se si considera che un aumento di ETOT porta una diminuzione di ETH. Siccome tutte le stelle irraggiano (perdono) energia sono destinate prima o poi a collassare (Egrav diventa sempre più negativo). Consideriamo nuovamente P = 1 3 E TOT grav V e supponiamo, in prima approssimazione, che ρ sia costante, allora si ha E grav = Z r? 0 = G GM(r) 4 r 2 dr = r Z r? Z r? 0 r 4 dr 0 G 4 3 r r3 4 r 2 dr 20

21 Il teorema del viriale ovvero E grav = 3 5 G 4 3 r3 4 3 r3 r = 3 5 GM 2 r dove M è la massa della stella e ρ è costante. Se ρ decrescesse con r, Egrav sarebbe più negativo (sistema più legato) con un coefficiente > 3/5. In conclusione, a meno di una costante, il valore caratteristico dell energia gravitazionale di una stella è E grav = GM 2 r ovvero P = 1 3 E grav V = GM 2 4 r 4 nel caso del Sole si avrebbe P = GM 2 4 r dyne cm 2 21

22 Il teorema del viriale ricordiamo che 1 dyne cm -2 = 1 g cm s -2 cm -2 = 10-1 (kg m s -2 ) m -2 = 10-1 Pa. Poichè 10 5 Pa 1 atm risulta infine P = Pa = 10 9 atm ovvero la pressione media del Sole è 10 9 volte quella dell atmosfera terrestre! Per stimare il valore tipico della temperatura E TOT th = 1 2 E grav 3 2 NkT vir 1 2 GM 2 r kt vir GM 2 3Nr con N numero totale di particelle nella stella. M = m N dove m è la massa media delle particelle. 22

23 Il teorema del viriale Se il gas è fatto di solo H, ad 1 protone corrisponde un elettrone ovvero m = m p + m e 2 = 1 2 m p 1+ m e m p ' 1 2 m p poiché me/mp ~ 1/2000. Sostituendo per N si ottiene infine kt vir GM m p 6r Nel caso del Sole kt vir erg = 0.34 kev con k = erg K -1 si ha T vir K si ricorda che questa è una temperatura media (viriale) della struttura stellare ed è ovviamente diversa dalla temperature superficiali stimate dagli spettri stellari e che si utilizzano per ottenere la luminosità della stella con la formula del corpo nero. Come vedremo più avanti, a temperature di questo ordine di grandezza possono aver luogo le reazioni di fusione termonucleare. 23

24 La sorgente di energia La pressione del gas consente di mantenere la stella in equilibrio idrostatico con la propria forza gravità. Però la stella perde energia irraggiando alla luminosità L e questo porta ad una diminuzione dell energia totale ETOT; dal teorema del viriale ETOT = EGRAV/2 pertanto EGRAV diminuisce (diventa più negativa) e la stella si contrae. Questa contrazione deve avvenire su tempi scala lunghi, compatibili col fatto che il Sole ha avuto L per almeno 4 miliardi di anni (prove geologiche). Altrimenti deve esistere una fonte di energia che bilanci le perdite radiative e permetta al Sole di mantenersi in equilibrio per almeno 4 miliardi di anni. Supponiamo che la fonte di energia del Sole sia gravitazionale, ovvero che il Sole abbia irraggiato fino ad ora l energia liberata dalla sua contrazione. All inizio della contrazione del Sole (ovvero all infinito) adesso E(1) =E grav (1)+E th (1) =0 E(R )=E grav (R )+E th (R ) dal teorema del Viriale E grav = 2E th 24

25 La produzione di energia nelle stelle La diminuzione di energia è dovuta all energia irraggiata che è pertanto ovvero E(R )=E grav (R )+E th (R )= E th (R ) <E(1) E = E(1) E(R )=E th (R )= 1 2 E grav(r )= 1 2 GM 2 Per quanto tempo il Sole avrebbe potuto irraggiare energia gravitazionale mantenendo una luminosità L? Questo tempo scala è il cosiddetto tempo di Kelvin-Helmholtz dato da R KH = E L = 1 2 GM 2 L R = s= yr Ma dalla geologia sappiamo che la Terra è esistita da almeno 4 miliardi di anni e che durante questo tempo non ci sono stati variazioni significative di L. Evidentemente l energia irraggiata dal Sole non è di natura gravitazionale. Similmente si può dimostrare che l energia prodotta da reazioni chimiche (es. H+O H2O) non è sufficiente. 25

26 Energia di legame per particella nucleare (10-13 J) Le reazioni di fusione nucleare Meno strettamente legato H Fusione Energia di legame dovuta alla forza nucleare forte. Una possibile fonte di energia per il Sole e le altre stelle sulla sequenza principale è la fusione di H in He. Più strettamente legato Li He Fissione N C O U 56Fe Numero di massa Questo processo è esoenergetico poiché l energia di legame di atomo di He è inferiore (più negativa) dell energia di legame totale dei singoli nuclei di H. La diminuzione dell energia di legame all aumento della massa nucleare avviene fino al 56Fe, dopo l energia di legame cresce nuovamente.

27 La catena p-p La maggior parte dell energia prodotta dal Sole proviene da una catena di reazioni detta catena p-p. Il primo passo è p + p! d + e + + e d nucleo di Deuterio, isotopo di H con p e n nel nucleo. Il tempo scala perché questo processo avvenga è τ ~ yr ovvero se ho 2 protoni devo farli scontrare per ~10 10 anni prima che quella reazione avvenga. τ è così lungo perché è reazione che coinvolge le interazioni deboli come si vede dalla presenza del neutrino. L energia totale prodotta e distribuita tra le particelle risultanti è MeV. Appena la reazione avviene e + si annichila con e - rilasciando MeV in fotoni γ. Il neutrino invece ha una debolissima interazione con la materia (cammino libero medio R ) per cui scappa dal Sole portandosi via E~0.26 MeV. Entro ~1 s dalla reazione p+p un deuterone (nucleo deuterio) si fonde con un protone e p + d! 3 He + con rilascio totale di energia E = 5.40 MeV (γ ed en. cinetica). 27

28 La catena p-p Infine dopo un tempo scala di circa ~ anni si ha 3 He + 3 He! 4 He + p + p con un rilascio di energia cinetica pari a MeV. Ricapitolando, ogni volta che la reazione p+p avviene per due volte, 4 protoni sono convertiti in 4 He + 2 neutrini + fotoni + energia cinetica delle particelle. p + p! d + e + + e yr E =0.425 MeV e + + e! 2 E =2 m e c 2 = MeV} 2 1s p + d! 3 He yr E =5.49 MeV 3 He + 3 He! 4 He + p + p E = MeV 28

29 La catena p-p Il risultato finale è 4p! 4 He +2 e + L energia prodotta è E =( ) MeV a cui dobbiamo sottrarre 2 x MeV che vengono dall annichilazione di 2 elettroni pre-esistenti ovvero E = MeV MeV = MeV = [m(4p) m( 4 He)]c 2 ovvero E è proprio pari alla differenza di energia di legame tra 4 He ed i 4 protoni liberi. Risulta anche E =0.007 m(4p)c 2 ovvero l efficienza di produzione di energia (conversione materia in energia) è pari allo 0.7% della materia/energia a disposizione (massa dei 4 protoni) 29

30 Catena p-p Deuterio Protone Raggio γ ν Neutrino Neutrone Positrone

31 La catena p-p nel Sole Supponiamo adesso che il Sole effettui la reazione 4p 4 He riprocessando il 10% della sua massa. Per quanto tempo è in grado di sostenere un emissione con luminosità L? ovvero E nuc = M c 2 nuc = E nuc L = M c2 L = s ' yr cioè il Sole riprocessando appena il 10% della sua massa è in grado di emettere L per 10 miliardi di anni ovvero la catena pp è in grado di alimentare l emissione del Sole e delle stelle. 31

32 Reazioni di fusione: termostati Tenendo conto delle sezioni d urto (probabilità) delle varie reazioni nucleari nella catena p-p e della distribuzione di energia dei protoni si può ricavare l emissività ε, l energia prodotta per unità di volume e di tempo ( Astrofisica, LM). Si trova che le reazioni nucleari avvengono principalmente nel nucleo delle stelle (core) dove le temperature sono a quelle temperature (T ) T 4 T K cioè dipende fortemente da T. Per reazioni nucleari con elementi più pesanti la dipendenza da T è ancora maggiore. Questo comporta che la produzione di energia per fusione nucleare agisce come termostato per tutta la struttura stellare. Supponiamo che T cresca aumenta produzione energia; dato il tempo necessario ai fotoni per uscire, inizialmente ETOT aumenta; E TOT = 1 2 E grav = E th E TOT = E TOT th = 1 2 E grav quindi per mantenere l equilibrio della struttura, Egrav deve aumentare ovvero la stella si deve espandere. 32

33 Reazioni di fusione: termostati Ma se la stella si espande, Eth deve diminuire, ovvero la stella si raffredda. Se la stella si raffredda a seguito dell espansione, T diminuisce nuovamente, Eth diminuisce e la stella deve contrarsi, aumentando nuovamente la sua temperatura. Analogamente accadrebbe se si partisse da una diminuzione di T. In ogni caso la produzione di energia dalla relazioni nucleari tende a mantenere costante la temperatura della struttura stellare. In seguito a questo effetto di termostato le stelle sulla MS che bruciano H devono avere temperature simili, ovvero T M R ; T cost.! M R 33

34 Il problema dei neutrini solari Una predizione chiave del modello riguarda i neutrini. Per ogni ciclo 4p 4 He si ha la produzione di 26.2 MeV di energia e l emissione di 2 neutrini (elettronici νe) che escono senza interazioni dal Sole. Il flusso di neutrini atteso a Terra è pertanto f e =2 f 26.2 MeV =2 L /4 d MeV = s 1 cm 2 questi attraversano la Terra senza alcuna interazione. Esperimenti sui neutrini solari sono stati condotti fin dagli anni 60 ma i neutrini rivelati erano circa ~1/3 di quelli predetti dal modello. Oltre ai neutrini elettronici esistono anche i neutrini muonici (νµ ) e tauonici (ντ), non rivelati negli esperimenti di ricerca. Con l esperimento di Superkamiokande in Giappone (2001), si sono cercati i neutrini elettronici prodotti dalle centrali nucleari giapponesi (numero ben noto perchè sono noti i processi che li producono) e se ne sono trovati un numero inferiore alle attese: i neutrini oscillano tra i vari stati νe νµ ντ e questo spiega perfettamente il problema dei neutrini solari mancanti. Questa è la prova che il Sole è alimentato dalla catena p-p. 34

35 Il problema dei neutrini solari Neutrini prodotti anche in rami secondari oltre a p-p: 3He+ 4 He 7 Be+γ!"##$%&!'() *+,-./01-) 234)2'() 7Be+e 7 Li+νe 7Be+p 8 B+ γ 8B 8 B+e + +νe 35

36 Il problema dei neutrini solari Il Sudbury Neutrino Observatory (SNO) era in grado di rivelare due reazioni νe + D e- + p + p, solo per neutrini elettronici νe,τ,μ + D νe,τ,μ + p + n possibile per tutti i neutroni In questo modo è stato possibile verificare che i neutrini solari νe si trasformavano in altri tipi: il flusso totale atteso di neutrini solari νe era pari al flusso νe,τ,μ misurato. SuperKamiokande invece era predisposto per rivelare i neutrini prodotti dalle interazioni fra i raggi cosmici e l atmosfera. SK era in grado di distinguere tra i neutrini provenienti da sopra e da sotto ; il flusso di neutrini dovrebbe essere isotropo (il passaggio attraverso la Terra non lo influenza perché la profondità ottica per interazione è ~0). In realtà si trovarono molti più neutrini da sopra che da sotto. sopra Siccome quelli da sotto dovevano attraversare tutta la Terra prima di giungere SK Terra il rivelatore avevano il tempo di oscillare in altri tipi non rivelati: questa era quindi la prova dell oscillazione dei neutrini. sotto 36

37 Il problema dei neutrini solari Premio Nobel per la Fisica 2015 (6 Ottobre 2015) a Takaaki Kajita, Super-Kamiokande Collaboration Arthur B. McDonald, Sudbury Neutrino Observatory Collaboration Spiegazione dettagliata:

38 Il ciclo CNO Nelle stelle più massicce del Sole (M > 1.2 M ) la produzione di energia segue una sequenza di reazioni diversa detta ciclo CNO che ha sempre come risultato 4p 4 He. In questo ciclo, C, N ed O presenti in tracce fungono da catalizzatori del processo di bruciamento H He, senza che ulteriori C, N e O vengano sintetizzati. La reazione più lenta è la prima (p+ 12 C) che ha bisogno di T~10 7 K ma la sua velocità è fortemente dipendente da T tanto che CNO(T ) T 20 ricordiamo che pp(t ) T 4 anche se T~cost., l aumento di M determina piccoli aumenti di T da ~10 7 a oltre K con conseguente dominio il ciclo CNO oltre 1.2 M. log " T 4 " pp T K " CNO log T 38

39 Il ciclo CNO Isotopi di N e O instabili, decadono in pochi minuti.