Calcolo Numerico. la risoluzione di problemi del mondo reale, sfruttando al meglio le risorse di un

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1 Calcolo Numerico Il Calcolo Numerico si occupa di progettare ed analizzare metodi numerici per la risoluzione di problemi del mondo reale, sfruttando al meglio le risorse di un sistema di calcolo (non necessariamente un calcolatore). L uso di una strumento di calcolo presuppone limitazioni che riguardano: TEMPO Analisi della Complessità Computazionale: numero di operazioni necessarie SPAZIO Memoria limitata: analisi della quantità di memoria, numeri finiti e analisi dell errore La maggior parte dei problemi può essere decomposta in sottoproblemi riconducibili all insieme dei problemi fondamentali del Calcolo Scientifico.

2 I numeri e la rappresentazione posizionale A causa della natura fisica a due stati degli elementi di base che costituiscono la memoria di un calcolatore, indipendentemente dalla tecnologia con cui essi sono costituiti, si conviene di rappresentare ogni elemento di base con una cifra binaria (BINARY DIGIT o BIT). L unico alfabeto compreso da una macchina è il binario. In una macchina o nei manuali capita di vedere sistemi di numerazione differenti da quello decimale. Perciò conviene ricordare alcuni elementi sulla rappresentazione posizionale dei numeri.

3 NUMERO ENTITA ASTRATTA RAPPRESENTAZIONE sette (7, VII, 1112,...) univocamente determinata molteplice a seconda dei criteri di rappresentazione adottati. RAPPRESENTAZIONE UNARIA: non conveniente RAPPRESENTAZIONE POSIZIONALE: dato un numero naturale β > 1 (base) e una lista di β simboli ordinati (corrispondenti alla rappresentazione dei primi β naturali), ogni numero naturale è univocamente rappresentabile come combinazione di questi simboli.

4 SIMBOLO VALORE INTRINSECO (compreso tra 0 e β 1) posizione occupata entro la lista dei simboli VALORE PESO (dato da β j ) posizione occupata entro il numero ed equivalente alla potenza della base corrispondente, contando le posizioni a partire da 0 da destra verso sinistra.

5 Per convenzione, si adotta il sistema di numerazione decimale, con base β = 10 e 10 simboli dati dalle cifre arabiche 0, 1, 2,..., 9. Ogni naturale N in notazione decimale si esprime come N = dn10 n + dn 110 n d d010 0 = (dndn 1...d0)10 ove 0 di 9 e (dndn 1...d0)10 si dice forma sintetica. Ogni di ha un valore intrinseco, pari a ord(di) di, e un valore peso dato da 10 i. Esempio. 327 = In generale, in un sistema di numerazione in base β > 1, ogni naturale N si rappresenta come: N = (dndn 1...d0)β = ord(dn)β n + ord(dn 1)β n ord(d1)β 1 + ord(d0)β 0 ove ord(di) è il valore dell i esimo naturale; se si usano come simboli le cifre arabiche e se β 10, ord(di) = di. Vale che: ord(di) VALORE INTRINSECO β i VALORE PESO

6 (dndn 1...d0)β è la forma sintetica di N in base β. BASE SIMBOLI 2 0, 1 8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, , 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F ESEMPIO. trecentosettantadue = (372)10 = (174)16 = (564)8 = ( )2 = duecentoottantasette = (287)10 = ( )2 = (10133)4 (437)8 = (11F )16 = (8V )32.

7 ESERCIZIO. SCELTA DELLA BASE numero dei simboli lunghezza delle stringhe complessità dell aritmetica N = (anan 1...a0)β 1 = (bmbm 1...b0)β 2 β n N < βn+1 β m N < βm+1 1 N < βn N < βm+1 2 n log β1 N < n + 1 m log β2 N < m + 1 Poichè log β1 N = log β2 N log β1 β2, si ha che n m log β 1 β2. Se β1 = 2 e β2 = 10, log β1 β2 = log Pertanto per rappresentare un numero in base 2 ci vogliono circa il triplo del numero di cifre necessarie in base 10.

8 OPERAZIONI ARITMETICHE NELLE DIFFERENTI BASI Valgono le stesse regole e proprietà formali dell aritmetica decimale, ma si devono usare tavole diverse da quelle pitagoriche per addizione e moltiplicazione. La somma può dare un riporto 1; il prodotto può dare un riporto compreso tra 1 e β 2. Base Base

9 CASO BINARIO L aritmetica binaria è particolarmente semplice. Somma: (25)10 + (19)10 = (44) = Riporto Differenza: (24)10 (13)10 = (11) =

10 Prodotto: (13)10 (14)10 = (182) = Quoziente: (28)10 : (9)10 = (3)10 con resto

11 Quoziente e prodotto sono riportati a differenze o somme e traslazioni di numeri. La scelta della base 2 comporta la manipolazione di lunghe stringhe di numeri ma la complessità dell aritmetica è bassa. Le operazioni possono essere realizzate con semplici circuiti elettronici.

12 ESEMPIO La somma di due cifre con riporto fornisce il risultato e il successivo riporto. Il numero delle possibili combinazioni degli impulsi in entrata è basso. c1 c0 riporto s riporto

13 Teorema di rappresentazione dei numeri reali Teorema. Sia α R, α 0; fissato un intero β > 1, α si rappresenta in modo unico come: α = segno(α)(a1β 1 + a2β 2 + a3β )β p = segno(α) i=1 = segno(α) mβ p (aiβ i )β p ove segno(α) = ±1 (a seconda che α >, < 0), 0 ai β 1, con ai interi e a1 0 e p è un intero; può esistere un indice k tale che ai = 0, k i (rappresentazione degli interi o dei razionali finiti), ma non esiste un indice k tale che ai = β 1, k i. Il numero reale 0 si rappresenta con 0. Poichè β > 1, la serie i=1 (a iβ i ) è convergente. m si dice mantissa e vale che 1 β m < 1. β p si dice parte esponente; p si dice esponente o caratteristica. si dice punto radice, + o si dice segno del numero e può essere omesso se il numero è positivo.

14 In forma sintetica ogni numero reale α 0 si rappresenta come α = ±(.a1a2a3...)ββ p Se a1 0, questa si dice forma normalizzata. Un numero reale α 0 si esprime in notazione posizionale in base β > 1 nel seguente modo: 1. forma mista: α = { ± a1a2... p 0 p zeri ±a1a2...ap.ap+1ap+2... p > 0 Si distingue la parte intera [α] (corrispondente a un polinomio in β di grado p 1, a sinistra del punto radice) e la parte frazionaria α [α] (corrispondente a una serie in 1/β senza termine corrispondente alla potenza nulla). Se p > 0 e α [α] = 0, il numero è intero e si usa rappresentarlo come: α = ±a1a2...ap = ±cp 1cp 2...c0 = ±(cp 1β p c0β 0 ) con ai = cp i, i = 1,..., p.

15 2. forma scientifica: α = ±.a1a2...β p ; si dice normalizzata se a1 0. In base 2, in forma normalizzata, a1 = 1. ESEMPI. (372)10 mista normalizzata scientifica ( )10 mista normalizzata.3243f (3.243F...)16 normalizzata mista

16 Algoritmi di conversione di base Conversione di un intero positivo α da base 10 a base β > 1. Le incognite del problema sono il numero di cifre m + 1 della nuova rappresentazione e le cifre stesse am, am 1,...a0. Illustriamo il METODO DELLE DIVISIONI SUCCESSIVE: α = (amam 1...a0)β = amβ m + am 1β m a1β + a0 = = (amβ m 1 + am 1β m a1)β + a0 = γ1β + a0 a0, ossia la cifra meno significativa della rappresentazione cercata, è il resto della divisione intera di α per β. γ1 = (amβ m 2 + am 1β m a3β + a2)β + a1 = γ2β + a1 γ2 = (amβ m 3 + am 1β m a4β + a3)β + a2 = γ3β + a2... γm 1 = amβ + am 1 = γmβ + am 1 γm = 0β + am m + 1 è il numero delle divisioni successive eseguite fino ad avere un quoziente 0. Dopo aver eseguito m + 1 divisioni, i resti in ordine inverso (rappresentati con i simboli della nuova base) forniscono la rappresentazione del numero.

17 Metodo delle divisioni successive Si ottengono le cifre di rappresentazione di α in base β dalla meno significativa alla più significativa. Pertanto, scrivendo i resti delle divisioni nell ordine inverso a quello in cui sono stati ottenuti si ottiene la rappresentazione in forma sintetica di α in base β. Le cifre ottenute vanno convertite nei simboli della base. ESEMPIO. (1972)10 base : 2 = 986 resto : 2 = 493 resto : 2 = 246 resto : 2 = 123 resto : 2 = 61 resto 1 61 : 2 = 30 resto 1 30 : 2 = 15 resto 0 15 : 2 = 7 resto 1 7 : 2 = 3 resto 1 3 : 2 = 1 resto 1 1 : 2 = 0 resto 1 (1972)10 = ( )2

18 base : 8 = 264 resto : 8 = 30 resto 6 30 : 8 = 3 resto 6 3 : 8 = 0 resto 3 base : 16 = 123 resto : 16 = 7 resto 11 = B 7 : 16 = 0 resto 7 (1972)10 = (3664)8 (1972)10 = (7B4)16

19 Esiste un modo più efficiente per eseguire la conversione. Esso consiste dei seguenti passi. Sia α il numero da convertire in base β e s la sua conversione: determinare la più grande potenza β j della base β che non supera il numero α, contando quante volte questa potenza sta in α; se i è il numero di volte, convertire iβ j nella base e sommarla a s; togliere da α il numero iβ j e ripetere fino a che α = 0. L algoritmo è particolarmente efficiente in base 2 (i = 1 sempre). Per esempio, se α = 1972, la potenza di 2 più grande che non supera il numero vale Quindi, s = e α = 948; ripetendo: 512 < 948; α = 436, s = ; 256 < 436; α = 180, s = ; 128 < 180; α = 52, s = < 52; α = 20, s = < 20; α = 4, s = poichè la conversione di 4 vale 100, s =

20 Conversione di un reale positivo α < 1 da base 10 a base β > 1. Le incognite del problema sono il numero di cifre della nuova rappresentazione e le cifre stesse a1, a2,... A priori non si sa se il numero ha rappresentazione finita, poichè non è detto che se un numero ha rappresentazione finita in base 10 altrettanto accade in base β. Si può dimostrare che: un numero α > 0 ha rappresentazione finita in base β esistono interi positivi m, n tali che α = m β n. Altrimenti il numero nella nuova base ha rappresentazione periodica. Illustriamo il METODO DELLE MOLTIPLICAZIONI SUCCESSIVE: α = (.a1a2a3...)β = = a1β 1 + a2β 2 + a3β 3... αβ = a1 + a2β 1 + a3β 2 + a4β 3... = a1 + n1 a1 è la parte intera del risultato e n1 la parte frazionaria. n1 = a2β 1 + a3β n1β = a2 + a3β 1 + a4β = a2 + n2

21 n2β = a3 + a4β 1 + a5β = a3 + n3 Ci si arresta o perchè la parte frazionaria diventa nulla o perchè si è raggiunto un numero di cifre sufficienti.

22 Metodo delle moltiplicazioni successive ESEMPIO. (0.1)10 base = 0.2 p. intera = 0.4 p. intera = 0.8 p. intera = 1.6 p. intera = 1.2 p. intera = 0.4 p. intera 0... base = 0.5 p. intera = 2.5 p. intera = 2.5 p. intera 2... (0.1)10 = ( )2 (0.1)10 = (0.02)5

23 base = 0.7 p. intera = 4.9 p. intera = 6.3 p. intera = 2.1 p. intera = 0.7 p. intera 0... (0.1)10 = (0.0462)7

24 Conversione di un reale α da base 10 a base β > Determinare α, ricordando il segno. 2. Determinare [ α ] e eseguire la conversione con l algoritmo delle divisioni successive. 3. Determinare α [ α ] e eseguire la conversione con l algoritmo delle moltiplicazioni successive. 4. Scrivere il segno, la conversione della parte intera, il punto radice, la conversione della parte frazionaria. ESEMPIO. α = ( )10. Convertire in base α = ; segno= [ α ] = 25; (25)10 = (11001)2. 3. α [ α ] =.375; (.375)10 = (.011)2. 4. α = ( )2.

25 Conversione di un reale da base β > 1 a base 10. Ci sono due modi: Si sfrutta la rappresentazione posizionale (p > 0): α = ±(a1a2...ap.ap+1ap+2...aq)β = ±(a1β p 1 + a2β p apβ ap+1β 1 + ap+2β aqβ p q ) Si tratta di calcolare: f(x) = a1x p 1 + a2x p ap in x = β, g(x) = aqx p+q + aq 1x p+q ap+1x in x = 1/β. (α)10 = ±(f(β) + g(1/β)). Occorre un algoritmo conveniente per fare il calcolo di un polinomio a coefficienti reali in corrispondenza di un certo valore. Per convertire da base β a base 10 il numero reale α si può usare gli algoritmi delle divisioni e delle moltiplicazioni successive, purchè si lavori con aritmetica in base β. Le cifre ottenute si convertono ai simboli di base 10.

26 Conversione di un reale α da base β1 a base β2. 1. Si converte da base β1 a base 10 (usando la rappresentazione posizionale) e da base 10 a base β2 (con gli algoritmi delle divisioni e delle moltiplicazioni successive). α = (1221)7. Conversione a base β2 = 2. α = = (456)10 (456)10 = ( )2 DIVISIONI SUCCESSIVE 2. Si può eseguire la conversione da base β1 a base β2 usando l algoritmo delle divisioni successive e/o delle moltiplicazioni successive con aritmetica in base β1, convertendo le cifre ottenute ai simboli della base β2. β2 va espresso in base β1. ESEMPIO. α = ( )2. Si converte a base β2 = 7 = (111) : 111 = resto : 111 = 1001 resto (10)2 = : 111 = 1 resto (10)2 = 2 1 : 111 = 0 resto 1 α = (1221)7.

27 Conversione di un reale da base β1 a base β2. Caso particolare Nel caso in cui β2 = β k 1, nella rappresentazione in base β 1 di un numero α reale, si staccano gruppi di k cifre a partire dal punto radice verso destra e verso sinistra, completando eventualmente il primo e l ultimo gruppo con zeri. Ogni gruppo è convertito a un simbolo della base β2. ESEMPIO. β1 = 2; β2 = 8(k = 3). α = ( )2 = ( 156.2) β1 = 2; β2 = 16(k = 4). α = ( )2 = ( 6E.4) E 4

28 Viceversa, se β1 = β k 2, si espande ogni simbolo della rappresentazione di α in base β 1 sostituendolo con un gruppo di k cifre che sono la conversione del simbolo nella base β2. ESEMPIO. β1 = 9; β2 = 3(k = 2). α = (37.47)9 = ( ) Si usa la seguente tabella di conversione dei simboli. (00)3 09 (01)3 19 (02)3 29 (10)3 39 (11)3 49 (12)3 59 (20)3 69 (21)3 (22)

29 Valutazione di un polinomio reale in x = α. pn(x) = a0x n + a1x n an 1x + an ai R, a0 0 ALGORITMO 1. p 1; s an; for i n 1 to 0 step 1 do begin p p α; s p ai + s; end; stampare s; La COMPLESSITA COMPUTAZIONALE dell algoritmo (ossia il numero totale di operazioni aritmetiche che devono essere fatte) è 2n moltiplicazioni e n addizioni. ALGORITMO 2. Si basa sulla seguente riscrittura del polinomio: pn(x) = (...(((a0x + a1)x + a2)x + a3)x +...)x + an s a0; for i 1 to n do s s α + ai; stampare s;

30 La COMPLESSITA COMPUTAZIONALE è pari a n moltiplicazioni e n addizioni. L algoritmo prende il nome di SCHEMA di RUFFINI-HORNER. Lo schema di Horner si può riscrivere in modo da tener conto dei risultati intermedi: b0 a0; for i 1 to n do stampare bn; bi bi 1 α + ai; In questo caso, lo schema di Horner fornisce i coefficienti (bi, i = 0,..., n 1) del polinomio quoziente pn(x)/(x α): pn(x) = (x α)(b0x n 1 + b1x n bn 1) + bn bn è una costante che rappresenta il resto della divisione di pn(x) per x α. Infatti, in base al Teorema di Ruffini, il valore di un polinomio in α è uguale al resto della divisione di pn(x) per x α. La regola di Ruffini che calcola i coefficienti del polinomio quoziente e il resto di tale divisione coincide con lo schema di Horner. a0 a1 a2... an α b0α b1α... bn 1α b0 b1 b2 bn

31 Applicazione: calcolo del valore di un polinomio e delle sue derivate in x = α Lo schema di Horner permette di valutare un polinomio in x = α, calcolando il resto (r1) della divisione di pn(x) per x α e i coefficienti del quoziente di tale divisione (q1(x)): pn(x) = (x α)q1(x) + r1 Poichè vale che: p n (x) = q 1(x) + (x α)q 1 (x) segue che p n (α) = q 1(α). Pertanto applicando lo schema di Horner (seconda volta) a q1(x) si ottiene q2(x) ed r2 = q1(α) = p n (α). q1(x) = (x α)q2(x) + r2

32 Di nuovo, vale che: p n (x) = 2.q 1 (x) + (x α)q 1 (x) Pertanto p n (α) = 2q 1 (α) = 2q 2(α). Applicando lo schema di Horner a q2(x) (III volta), si ottiene q3(x) e il resto r3 = q2(α) = q 1 (α) = p n (α)/2: q2(x) = (x α)q3(x) + r3 Ancora: Pertanto p n p n (x) = 3q 1 (α) = 3q 1 (α) = 3.2.q 3(α) = 3!q3(α). (x) + (x α)q 1 (x) Applicando lo schema di Horner (IV volta) a q3(x) si ottiene q4(x) e r4 = q3(α) = p n (α)/3!. In generale, applicando la i + 1 esima volta lo schema di Horner si ottiene: p (i) n (α)/i! = q i(α).