Gli obiettivi specifici di apprendimento della scuola primaria e della scuola secondaria di I grado. M.Marchi Università Cattolica - Brescia

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1 Gli obiettivi specifici di apprendimento della scuola primaria e della scuola secondaria di I grado M.Marchi Università Cattolica - Brescia L insegnamento della matematica nella scuola della riforma 16 marzo 2004 Bergamo

2 L'idea di Matematica presentata dagli OBIETTIVI SPECIFICI DI APPRENDIMENTO e dal PROFILO di Matematica relativi al PRIMO CICLO DELL'ISTRUZIONE 1. L'APPRENDIMENTO - INSEGNAMENTO della Matematica è ACQUISIZIONE- FORMAZIONE di una forma di conoscenza della realtà che dai DATI offerti dalla PERCEZIONE e porta alla ESPERIENZA SENSIBILE loro ORGANIZZAZIONE RAZIONALE (= RAZIONALIZZAZIONE della REALTÀ) vale per ogni LIVELLO SCOLARE! (a) non si dà MATEMATICA senza ENTRAMBE queste due Componenti la Matematica è dunque SCIENZA di CONTENUTI SCIENZA di STRUTTURE. ma anche L'insegnamento della matematica nella riforma - Bergamo, 16 marzo

3 (b) queste due componenti non sono STADI STORICI diversi non convivono CONTEMPORANEAMENTE in modo Statico ma sono in CONTINUA EVOLUZIONE dalla ESPERIENZA SENSIBILE criticamente analizzata, che diventa ESPERIENZA VISSUTA alla COSTRUZIONE dei CONCETTI che nascono come REALTÀ ASTRATTE della nostra MENTE ma diventano, se INTERIORIZZATI, anche loro parte della ESPERIENZA VISSUTA e acquistano così una loro CONCRETEZZA questa EVOLUZIONE CONTINUA si riconosce: nella ESPERIENZA PERSONALE INSEGNAMENTO - APPRENDIMENTO "a spirale" nello SVILUPPO STORICO della disciplina. L'insegnamento della matematica nella riforma - Bergamo, 16 marzo

4 (c) si realizza così lo "slogan didattico" "dal CONCRETO all'astratto" che bene descrive questa EVOLUZIONE ma non deve privilegiare nessuno dei due TERMINI (d) il sussistere di una DOPPIA NATURA DINAMICA DELLA MATEMATICA implica anche non c'è una MATEMATICA dei "grandi" e una dei "piccoli" non c'è una MATEMATICA APPLICATA e una PURA ma c'è una UNICA MATEMATICA che serve UFFICI DIVERSI e si adatta, si coniuga secondo tali UFFICI. L'insegnamento della matematica nella riforma - Bergamo, 16 marzo

5 2. La matematica "RAZIONALIZZAZIONE del REALE" significa che la MATEMATICA richiede la MATEMATICA produce SPECIFICI STRUMENTI CONCETTUALI che si esprimono con un LINGUAGGIO APPROPRIATO una STRUTTURA SIMBOLICA FORMALE adeguata questi sono gli OGGETTI dell'insegnamento APPRENDIMENTO della MATEMATICA parola che non deve SPAVENTARE! "c'è un FORMALISMO e un RIGORE per ogni età" (a) La STRATEGIA DIDATTICA deve portare alla PRESA DI COSCIENZA CONSAPEVOLE di questa PROCEDURA che a partire dai DATI SENSIBILI dalla ESPERIENZA OSSERVATA e RIFLESSA porta alla loro RAZIONALIZZAZIONE perché l'apprendimento richiede un PROCESSO COSCIENTE di ASTRAZIONE e INTERIORIZZAZIONE. L'insegnamento della matematica nella riforma - Bergamo, 16 marzo

6 In tal modo l'acquisizione di COMPETENZE MATEMATICHE permette di COMPRENDERE, INTERPRETARE, USARE CRITICAMENTE le CONOSCENZE scientifiche e tecnologiche; il processo di EDUCAZIONE MATEMATICA contribuisce alla formazione del PENSIERO CRITICO RAZIONALE che è strumento irrinunciabile di CRESCITA CULTURALE e UMANA. Di ciò gli allievi devono diventare CONSAPEVOLI per evitare che la CONOSCENZA MATEMATICA diventi "PURA ACQUISIZIONE di PROCEDURE" che vanno imparate "perché non se ne può fare a meno!" L'insegnamento della matematica nella riforma - Bergamo, 16 marzo

7 3. Il PERCORSO FORMATIVO della MATEMATICA descritto negli OBIETTIVI SPECIFICI di APPRENDIMENTO: E) non è in SEQUENZA LINEARE ma " a spirale" = riprende più volte: MEDESIMI CONTENUTI a livelli via, via più complessi, acquistando in CONSAPEVOLEZZA si realizza così il PROCESSO di "EVOLUZIONE CONTINUA" proprio della matematica. EE) è organizzato in CINQUE TEMI con una scansione in CONOSCENZE e ABILITÀ IL NUMERO GEOMETRIA LE RELAZIONI (*) LA MISURA DATI E PREVISIONI INTRODUZIONE AL PENSIERO RAZIONALE + Aspetti storici connessi alla matematica (*) classe terza della Scuola Secondaria di primo grado L'insegnamento della matematica nella riforma - Bergamo, 16 marzo

8 IL NUMERO 1. E' il percorso dell'aritmetica: i numeri NATURALI scuola " INTERI RELATIVI primaria " RAZIONALI secondaria fino alla preparazione e all avvio delle prime forme di pensiero astratto e formale (elementi di calcolo letterale, relazioni, funzioni). L'introduzione dei numeri non deve essere fatta attraverso STRUTTURE ASTRATTE ma è ESEMPLIFICAZIONE ILLUMINANTE del PROCESSO di RAZIONALIZZAZIONE della REALTÀ che sarà quella CONCRETA del fanciullo. Dalla nozione INTUITIVA e CONCRETA di MOLTEPLICITÀ per piccoli passi si arriverà alla STRUTTURA FORMALE che si è affermato essere COMPONENTE ESSENZIALE e IRRINUNCIABILE della MATEMATICA realtà che non deve spaventare ma deve essere gradatamente conquistata L'insegnamento della matematica nella riforma - Bergamo, 16 marzo

9 2. Itinerario di formalizzazione ( i ) NUMERI NATURALI "lo stesso strumento formale" ( = il NUMERO) E) può descrivere ( = valutare la NUMEROSITÀ) realtà molto diverse EE) ha DIFFERENTI MODALITÀ di ESISTENZA: "numerosità" e "ORDINAMENTO" (*) aspetto CARDINALE e ORDINALE ( ii ) Il problema del FORMALISMO per rappresentare i NUMERI " ( = SCRITTURA dei n.) scrittura "stenografica" (es. NUMERI ROMANI) scrittura POSIZIONALE ( iii ) Un SINGOLO NUMERO può ridursi ad un puro SIMBOLO STENOGRAFICO. La MATEMATICA comincia con la organizzazione di una FAMIGLIA di NUMERI strutturata ( gli INSIEMI NUMERICI): LEGGI di CONFRONTO LEGGI di COMPOSIZIONE (= le c.d. OPERAZIONI ) caratterizzate dalle loro LEGGI di COMPORTAMENTO (= le proprietà delle operazioni) (*) nel LINGUAGGIO COMUNE in questi casi lo stesso numero ha nomi diversi! L'insegnamento della matematica nella riforma - Bergamo, 16 marzo

10 ( iv ) Altre sollecitazioni della realtà esterna (oltre alla NUMEROSITÀ) oppure PROBLEMI interni della MATEMATICA (es.: la necessità FORMALE di estendere l'ambito di VALIDITÀ delle operazioni) richiedono nuovi STRUMENTI FORMALI con le relative LEGGI SINTATTICHE: INSIEME dei NUMERI INTERI RELATIVI (v ) analogamente (es. : le PARTIZIONI di un "tutto" " le fette di torta" ) le FRAZIONI con le loro OPERAZIONI analogamente (scuola SECONDARIA I grado) INSIEME dei NUMERI RAZIONALI (RELATIVI) (vi ) Il PROCESSO di ASTRAZIONE porta a RAZIONALIZZARE queste ESPERIENZE diverse, in un'unica STRUTTURA FORMALE che si amplia progressivamente conglobando le precedenti, senza però che vengano ad IDENTIFICARSI (ISOMORFISMO!) (Esempio di una PROCEDURA ASTRATTA che l'uso ha fatto "diventare CONCRETA" cioè parte della ns. ESPERIENZA "vissuta") L'insegnamento della matematica nella riforma - Bergamo, 16 marzo

11 ( vii ) L'introduzione del CALCOLO APPROSSIMATO a partire da PROBLEMI CONCRETI prepara l'introduzione dei NUMERI IRRAZIONALI ( come OPERAZIONE INVERSA) Siamo nel cuore di veri PROBLEMI CONOSCITIVI della MATEMATICA, non a livello di semplici procedure ALGORITMICHE addestrative! ( viii ) L'approfondimento della CONSAPEVOLEZZA nell'uso dei SIMBOLI del CALCOLO con NUMERI prepara al CALCOLO LETTERALE ALGEBRICO (affrontato poi nel 2 ciclo) inteso come RAPPRESENTAZIONE GENERALIZZATA di CALCOLI NUMERICI. Si ripete il processo "dal CONCRETO all'astratto": i NUMERI, da "ASTRATTI" sono ormai "diventati CONCRETI". L'insegnamento della matematica nella riforma - Bergamo, 16 marzo

12 GEOMETRIA ambito di RAZIONALIZZAZIONE privilegiato ove si realizza il PROCESSO di EVOLUZIONE CONTINUA 1. (a) dalla REALTÀ FISICA CONCRETA della esperienza SPAZIALE E) degli OGGETTI MATERIALI contenuti ( la FORMA!) E) della valutazione delle RECIPROCHE POSIZIONI dei CORPI, anche rispetto l'osservatore ( ) ( la DIMENSIONE, la DISTANZA) E) dei reciproci SPOSTAMENTI dei CORPI ( ), o anche i MOVIMENTI rispetto a se stessi ( SIMMETRIE) ( le TRASFORMAZIONI) per ASTRAZIONE e GENERALIZZAZIONE si ottiene: ( ) nella RAPPRESENTAZIONE è coinvolto anche l'osservatore; non così in ARITMETICA. L'insegnamento della matematica nella riforma - Bergamo, 16 marzo

13 (b) i ) prima forma di RAZIONALIZZAZIONE: MODELLIZZAZIONE SCHEMATICA ASTRATTA, es. RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE con il DISEGNO realizzazione di MODELLI MATERIALI intuizione della nozione di FIGURA (modelli singoli) ii ) seconda fase di razionalizzazione (tra scuola PRIMARIA e SECONDARIA): definizione RAZIONALE ASTRATTA e RIGOROSA di FIGURA GEOMETRICA = = caratterizzazione RAZIONALE dell'oggetto della INDAGINE GEOMETRICA attraverso le sue PROPRIETÀ RIGOROSAMENTE INDIVIDUATE (pluralità strutturata) La distinzione tra FIGURA e DISEGNO occasione educativa nello studio della GEOMETRIA dello SPAZIO l'astratto delle FIGURE con la stessa famiglia di PROPRIETÀ introduce alla nozione di FORMA L'insegnamento della matematica nella riforma - Bergamo, 16 marzo

14 (c) ai due LIVELLI di RAZIONALIZZAZIONE corrispondono due linee di INDAGINE CONOSCITIVA: i ) le PROPRIETÀ PLAUSIBILI e VEROSIMILI degli OGGETTI GEOMETRICI che l'intuizione e le VERIFICHE SPERIMENTALI fanno rilevare nei singoli MODELLI (MODELLI MATERIALI, DISEGNI, MODELLI VIRTUALI ): sono le PROPRIETÀ che la nostra MENTE si aspetta siano alla base della disciplina GEOMETRIA Ma questa non è ancora MATEMATICA perché non c'è la VALIDITÀ UNIVERSALE delle DEDUZIONI ii ) le PROPRIETÀ riconosciute come VERE in base alla ARGOMENTAZIONE RAZIONALE realizzata a partire dalle PROPRIETÀ delle FIGURE RIGOROSAMENTE INDIVIDUATE mediante CONSIDERAZIONI INDIPENDENTI dal particolare modello sul quale INTUIZIONE e RAGIONAMENTO si appoggiano. L'insegnamento della matematica nella riforma - Bergamo, 16 marzo

15 (d) La CONCETTUALIZZAZIONE del pensiero GEOMETRICO risente della DUPLICE NATURA della INDAGINE CONOSCITIVA in GEOMETRIA CONCETTI FIGURALI o IMMAGINI MENTALI dove sono presenti entrambe le componenti: l'immagine GEOMETRICA INTUITIVA e la descrizione razionale (FORMALE, anche) RIGOROSA L'EDUCAZIONE MATEMATICA deve CONSIDERARE e VALORIZZARE entrambe le COMPONENTI: esercizio di INTUIZIONE e FANTASIA CREATRICE (per es. : educazione alla c.d. INTUIZIONE SPAZIALE) educazione al PENSIERO ASTRATTO e RAZIONALE L'insegnamento della matematica nella riforma - Bergamo, 16 marzo

16 2. Le nozioni di FIGURA GEOMETRICA UGUAGLIANZA TRASFORMAZIONE sono tra loro strettamente legate. La GEOMETRIA costituisce lo studio delle PROCEDURE di CONFRONTO tra FIGURE DISTINTE che si intende considerare UGUALI e viceversa PROPRIETÀ rispetto alle quali FIGURE DISTINTE si possono ritenere UGUALI oppure DIVERSE. Lo strumento concettuale che permette di IDENTIFICARE FIGURE DISTINTE che si intende considerare UGUALI è offerto dalle TRASFORMAZIONI (GEOMETRICHE) che sono RAZIONALIZZAZIONE della esperienza fisica del MOVIMENTO di CORPI tra loro oppure tra loro e l'osservatore! L'insegnamento della matematica nella riforma - Bergamo, 16 marzo

17 3. La MATEMATICA come linguaggio. La MATEMATICA descrive se stessa : (a) Il METODO delle COORDINATE l'aritmetica e il CALCOLO algebrico descrivono gli OGGETTI della GEOMETRIA ELEMENTARE le Operazioni Geometriche sono descritte da OPERAZIONI tra i SIMBOLI del linguaggio FORMALE (risoluzione di equazioni o SISTEMI di equazioni) (b) La RAPPRESENTAZIONE PIANA di OGGETTI TRIDIMENSIONALI. (Sviluppo piano di solidi) (c) La QUADRETTATURA. Primo esempio (classe prima, sc. PRIMARIA) di RAZIONALIZZAZIONE dello spazio. Nozione CONCRETA che però può anche essere molto ASTRATTA Preparazione concettuale alla nozione di SISTEMA di RIFERIMENTO. L'insegnamento della matematica nella riforma - Bergamo, 16 marzo

18 LA MISURA E' un tema a sé perché mette in evidenza l'aspetto che la MATEMATICA presenta di STRUMENTO DI MODELLIZZAZIONE e rispetto le CODIFICAZIONE REALTÀ TECNOLOGICHE E SCIENTIFICHE (compresa la stessa MATEMATICA) Si riconoscono quindi i ) gli ASPETTI di UTILITÀ e APPLICABILITÀ PRATICA della MATEMATICA (quelli che per MOLTI giustificano l'importanza della MATEMATICA nei riguardi della VITA REALE) la MATEMATICA che serve nella VITA REALE ii ) l'aspetto di LINGUAGGIO RAZIONALE e FORMALE che CODIFICA (= DESCRIVE) la REALTÀ, la TECNOLOGIA, le SCIENZE dotato di proprie regole grammaticali e sintattiche (PROPRIETÀ delle OPERAZIONI e RELAZIONI della MATEMATICA) L'insegnamento della matematica nella riforma - Bergamo, 16 marzo

19 la MATEMATICA come PROCEDURA di RAPPRESENTAZIONE SIMBOLICA basata su REGOLE CONVENZIONALI (ma non ARBITRARIE!) progressiva educazione al PENSIERO ASTRATTO L'insegnamento della matematica nella riforma - Bergamo, 16 marzo

20 DATI E PREVISIONI 1: "dati" = Analisi e organizzazione di DATI è argomento della STATISTICA 2: "previsioni" = Formulazione di ragionevoli PREVISIONI sulla base di INFORMAZIONI razionalmente analizzate : la PROBABILITÀ sono profondamente collegati: la STATISTICA è «RILEVAZIONE e CLASSIFICAZIONE di fatti NOTI come eventuale base di CONOSCENZA su fatti IGNOTI» Nel 1 ciclo non si intendono trattare (teoricamente) queste DISCIPLINE ma si vogliono presentare i problemi legati ai loro OGGETTI di INDAGINE almeno per gli aspetti che hanno riscontro con la VITA REALE QUOTIDIANA, personale e sociale. Occasione privilegiata di utilizzazione della MATEMATICA come STRUMENTO di CODIFICAZIONE della REALTÀ! L'insegnamento della matematica nella riforma - Bergamo, 16 marzo

21 fornire agli ALUNNI, futuri cittadini, gli strumenti che permettano loro di " non essere condizionati da INFORMAZIONI FUORVIANTI o fornite in modo AMBIGUO o SCORRETTO " (preoccupazione che non deve sembrare precoce neppure nella scuola PRIMARIA) RAZIONALIZZAZIONE della INCERTEZZA: si deve evitare la ILLUSIONE che SEMPLICI FORMULE matematiche possano risolvere i difficili aspetti delle SITUAZIONI INCERTE. Si deve quindi evitare una PRESENTAZIONE ASTRATTA dei CONCETTI PROBABILISTICI. L'insegnamento della matematica nella riforma - Bergamo, 16 marzo

22 INTRODUZIONE AL PENSIERO RAZIONALE Non basta CONOSCERE e SAPER USARE determinati CONTENUTI MATEMATICI; occorre anche ACQUISIRE la STRUTTURA CONCETTUALE il MODO di PENSARE che CARATTERIZZANO il PENSIERO MATEMATICO, che sono cioè richiesti per REALIZZARE la CONCETTUALIZZAZIONE MATEMATICA e che ne condizionano anche le PROPRIETÀ CARATTERISTICHE. Due procedure in particolare descrivono i PROCESSI MENTALI che contribuiscono a formare una "MENTALITÀ MATEMATICA" 1. ARGOMENTARE e CONGETTURARE saper GIUSTIFICARE con ARGOMENTAZIONI RAGIONEVOLMENTE FONDATE ogni affermazione riguardante enunciati di PROPRIETÀ MATEMATICHE: non significa necessariamente saper DIMOSTRARE RAZIONALMENTE ma almeno saper RENDERE RAGIONE L'insegnamento della matematica nella riforma - Bergamo, 16 marzo

23 Si forma così un ABITO MENTALE prezioso e ALTAMENTE FORMATIVO anche al di fuori della MATEMATICA saper distinguere tra ENUNCIATI DIFENDIBILI CON ARGOMENTAZIONI RAGIONEVOLI e CONVINCENTI e PROPOSIZIONI O ASSERZIONI PLAUSIBILI ma che non si è in grado di GIUSTIFICARE RAZIONALMENTE (= CONGETTURE) 2. PORSI e RISOLVERE PROBLEMI L'ATTEGGIAMENTO PROBLEMATICO è connaturato con la mentalità matematica. Infatti la STRUTTURA RAZIONALE della MATEMATICA non costituisce un CORPO di PENSIERO ormai STRUTTURATO e IMMUTABILE ma al contrario è un CAMPO di CONOSCENZE in continua evoluzione, sia al proprio interno sia nei riguardi delle diverse APPLICAZIONI. Lo stimolo a questa CONTINUA CRESCITA viene dagli interrogativi che rispondono a SOLLECITAZIONI che possono provenire dall'interno della DISCIPLINA MATEMATICA oppure anche dal MONDO ESTERNO che ISPIRA oppure che è SERVITO dalla MATEMATICA stessa. L'insegnamento della matematica nella riforma - Bergamo, 16 marzo