Massimo Flusso Massimo Flusso 1 1

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1 Massimo Flusso 1

2 Massimizzare il # di PC prodotti Prof. Carlo Blundo LASD

3 Descrizione del problema Una fabbrica (sorgente) di PC deve stabilire il numero di PC da assemblare giornalmente. Tutti i PC prodotti verranno venduti in un negozio (destinazione). La fabbrica ed il negozio sono collegati attraverso una rete di comunicazione. Su di ogni tratto della rete è in servizio un furgone che può trasportare un numero fissato di PC (numero che dipende dalla grandezza del furgone). Prof. Carlo Blundo LASD

4 Ulteriori vincoli In ogni nodo della rete di comunicazione: Non è possibile produrre PC Non è possibile stoccare PC In altre parole il numero di PC che entra in un nodo è uguale al numero di PC che esce dal nodo. GOAL: Quale è il maggior numero di PC che può essere trasportato dalla sorgente alla destinazione senza violare i vincoli del problema? Prof. Carlo Blundo LASD

5 Rete di flusso È un grafo orientato e pesato G=(V,E) con delle proprietà aggiuntive Esistono due nodi particolari s V detto sorgente t V detto destinazione/pozzo Ad ogni arco (u,v) E è assegnato un valore c(u,v)>=0 detto capacità Per ogni v V esistono: s v (cammino da s a v) v t (cammino da v a t) Prof. Carlo Blundo LASD

6 Flusso in G È una funzione f:vxv R È definita per ogni coppia di vertici Indica le unità di bene (e.g., # di PC) che viaggia tra ogni coppia di nodi f(u,v) indica il flusso della rete dal nodo u al nodo v Prof. Carlo Blundo LASD

7 Flusso in G La funzione f:vxv R soddisfa le seguenti proprietà Vincolo sulla capacità f(u,v) <= c(u,v), per ogni u,v V Simmetria obliqua f(u,v) = - f(v,u), per ogni u,v V Conservazione del flusso v V f(u,v) = 0, per ogni u V-{s,t} Prof. Carlo Blundo LASD

8 Vincolo sulla capacità Il flusso da un nodo ad un altro non può superare la capacità dell arco che congiunge i due nodi Ovvio, da un nodo all altro, non si possono trasportare più PC di quelli che entrano in un furgone Prof. Carlo Blundo LASD

9 Simmetria obliqua Il flusso da un nodo ad un altro è l opposto del flusso nella direzione inversa In particolare f(u,u)=0, dato che f(u,u) = - f(u,u) Prof. Carlo Blundo LASD

10 Conservazione del flusso v 5 6 Prof. Carlo Blundo LASD

11 Ulteriori proprietà Se (u,v),(v,u) E, allora non c è flusso tra il nodo u ed il nodo v. (u,v),(v,u) E implica c(u,v)=c(v,u)=0 Dal vincolo sulla capacità f(u,v)<=0 e f(v,u)<=0 Dato che -f(u,v) = f(v,u), allora -f(u,v)<=0 implica f(u,v)>=0 Quindi, f(u,v)=0 Prof. Carlo Blundo LASD

12 In altre parole Se vi è flusso tra il nodo u ed il nodo v allora: (u,v) E oppure (v,u) E o entrambi Prof. Carlo Blundo LASD

13 Valore del flusso Dato un flusso f di G, il valore del flusso è definito come: f = v V f(s,v) È possibile verificare che vale anche f = v V f(v,t) Problema: Dato G, determinare il flusso di valore massimo Prof. Carlo Blundo LASD

14 Notazione u 13 v 13 è la capacità 10 è il flusso u 10/13 v Prof. Carlo Blundo LASD

15 Equivalenza u 10 4 v u 8/10 3/4 v u 5/10 0/4 v f(u,v)=5 f(u,v)=5 Prof. Carlo Blundo LASD

16 Esempio 12 v 1 v s 7 t 13 v 3 14 v 4 4 Prof. Carlo Blundo LASD

17 Esempio 12/12 v 1 v 2 11/16 15/20 0/4 1/10 4/9 s 7/7 t 8/13 v 3 11/14 v 4 4/4 Prof. Carlo Blundo LASD

18 Sorgenti e destinazioni multiple s 1 s 2 t 1 s 3 t 2 s 4 s 5 Prof. Carlo Blundo LASD

19 Sorgenti e destinazioni multiple s 1 s 2 t 1 S s 3 s 4 t 2 T s 5 Prof. Carlo Blundo LASD