Basi Dati Multimediali - 68A6 Midterm 3 giugno 2004

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1 Basi Dati Multimediali - 68A6 Midterm giugno 2004 Nome, Cognome, Numero di Matricola Le risposte devono essere inserite nel box eventualmente disegnato. Allegare anche i fogli per lo sviluppo delle domande. In particolare i fogli allegati saranno giudicati per le domande aperte. Il simbolo significa che l esercizio è facoltativo. domande a risposta chiusa (totale 12 punti, facoltative punti) 1. punti 1.5 La compressione di testo con le tecniche oggi più sosfisticate raggiunge una dimensione che, rispetto a quella originale, è dell ordine del: (a) 50% (b) 80% (c) 20% (d) 0% (mediante applicazione iterata di opportuni programmi di compressione) Risposta: c 2. punti 1.5 Due immagini (non necessariamente con lo stesso contenuto) sono visualizzate in due finestre di un computer usando complessivamente lo stesso numero di pixels. Esse sono poi memorizzate in due files rispettivamente in formato GIF e JPEG. Dato che il formato GIF è un formato senza perdita, mentre il JPEG risparmia spazio perdendo di qualità, è vero il file in formato GIF occupa sicuramente sempre meno spazio di quello in formato JPEG? (a) Si; (b) No; (c) Non si può rispondere con i dati assegnati. Risposta: b. punti Si consideri la diseguaglianza di Kraft 1

2 2 l(s) 1. s S Se la sorgente è composta da n simboli equiprobabili allora l(s) = log n l(s) = log 1/n. Dunque 2 l(s) = n 1 n = 1 s S E vero che la diseguaglianza di Kraft diventa uguaglianza solo in questo caso di simboli equiprobabili? (a) No (b) Si (c) E un problema aperto. La risposta No è valida solo se corredata da un esempio 1. Risposta: a La diseguaglianza di Kraft diventa uguaglianza anche nel caso in cui le probabilità dei simboli si possono esprimere come potenza del due. In tal caso infatti la codifica di Huffman determina codici ottimi, che soddisfano dunque la diseguaglianza di Kraft (vedi ad esempio il primo esercizio - domande aperte). 4. punti 1.5 L algoritmo di compressione con codifica artitmetica è sempre più efficiente in termini di dimensione dei codici dell algoritmo di Huffman (a) Vero, la codifica aritmetica è un evoluzione del metodo di Huffman; (b) Falso; (c) E un problema aperto. Risposta: b 5. punti 1.5 Il range della similarità coseno corrisponde con l intervallo [ 1,1] (a) Vero; infatti la funzione coseno ha per codominio l intervallo [ 1,+1]; (b) Falso; (c) Non è possibile trovare una limitazione al range della similarità coseno. Risposta: b 1 Da presentare su fogli allegati. 2

3 6. punti 2.5 (la risposta è valida solo se è presentata spiegazione in allegato) Si consideri una base documentale di 1 milione di documenti con parole chiave non più corte di 5 caratteri e con documenti non più lunghi di 10 KBytes. E possibile che nel vector space il peso per un termine, ottenuto come tf idf, raggiunga in un qualche documento della collezione il valore di ? (a) Si; (b) No, indipendentemente da quanto il termine corrispondente è raro; (c) Non è possibile rispondere con i dati assegnati; (d) Nessuna delle precedenti. Risposta: b Troviamo un upper bound per tf idf. Questo corrisponde al caso in cui il termine si trova in un solo documento (d F = 1) composto solo da ripetizioni di quel termine. Considerando la separazione con lo spazio, tale ripetizione non può occorrere più di volte. Dunque tf < e Pertanto if idf < < < idf = log N d F = log < punti 2 Con riferimento alla definizione di precision p e di recall r è vero che (a) No, la proprietà è falsa; p + r = 1 (1) (b) Si, infatti se si decide di recuperate pochi documenti si ha alta precisione ma basso indice di recall. Viceversa, se si recuperano quasi tutti i documenti della collezione la precisione diventa bassa, ma l indice di recall assume un valore complementare molto alto; (c) Le analisi sperimentali confermano la rigorosa validità dell equazione 1. Risposta: a 8. punti 1.5 Alcune pagine pubblicate per errore sul sito Web di un azienda vengono successivamente tolte. E possibile che un azienda concorrente riesca a recuperarle comunque anche dopo la cancellazione dalla rete Internet? (a) No, le pagine rimangono nel sistema informativo aziendale e sono irrecuperabili, a meno di intrusioni nel sistema;

4 (b) Si, tali pagine si possono sempre ottenere in perfetta copia dalla cache di motori di ricerca quali Google; (c) Si, ma non sempre. Talvolta le pagine possono essere recuperata solo in parte (d) Nessuna delle precedenti; Risposta: c domande a risposta aperta - totale 18 punti, facoltative 4 punti 1. punti 4 (codifica di huffman) Data una sorgente S =. {(a 1,0.5),(a 2,0.125)(a,0.125),(a 4,0.125),(a 5,0.125)} costruire la codifica di Huffman. E vero che il codice trovato è ottimo? Si. Si consideri poi la generalizzazione della sorgente precedente: { } S n = (a 1,2 1,(a 2,2 k ),...,(a n,2 k ) dove k = 1 + log(n 1) N. Si determini la codifica di Huffman. E vero che i simboli con stessa probabilità hanno la stessa lunghezza? Si 2. punti compressione basata su riconoscimento e sintesi vocale Un approccio possibile alla compressione della voce, soprattutto in certi ambienti controllati, è semplicemente quello di usare un riconoscitore vocale per la compressione e un traduttore testo voce per la decompressione. Considerando il segnale vocale codificato in PCM con una frequenza di campionamento di 4 KHz, campioni a 8 bit, si fornisca una stima plausibile del fattore di compressione (spazio segnale compresso rispetto all originale espresso in percentuale), assumendo che si pronuncino due parole al secondo con lunghezza media di 8 caratteri. fattore di compressione 0.5%. punti nodi essenziali Con riferimento alla Fig. 1 si determini il PageRank dei nodi quando d 1 x 1 = 0, x 2 =, x = 0, x 4 = 0, x 5 = 0, x 6 = 4. calcolo di pagerank punti 4 Con riferimento alla Fig. 2 si determini il PageRank in funzione del damping parameter d. x 1 = (2d 2 + 2d + 2)/(d 2 + 2d + 2) x 2 = (d 2 + d + 2)/(d 2 + 2d + 2) x = (2 + d)/(d 2 + 2d + 2) Si calcoli anche il PageRank - sempre in funzione di d - invertendo l arco la freccia dell arco 1. 4

5 Figure 1: Il calcolo serve solo per d 1. Figure 2: Il calcolo di PageRank si determini anche invertendo l arco 1. web Figure : L effetto dello spamming del PageRank. 5

6 Figure 4: Quanti nodi hanno valore di PageRank diverso? Non serve necessariamente sviluppare i calcoli. x 1 = 1 + d/2 x 2 = 1 + d/2 x = 1 d Cosa succede per d 1 in questo caso (valore di PageRank)? x 1 = /2, x 2 = /2, x = 0 5. punti 4 spamming Con riferimento alla Fig. si determini il numero delle pagine della comunità di promozione che garantiscono x p, assumendo che sia d = 0.8. Numero nodi per garantire spamming = punti Simmetrie Con riferimento alla Fig. 4 si determini quanti nodi hanno valore di PageRank diverso. Nodi con PageRank diverso: 6

7 Figure 5: Costruzione dell albero di Huffman. 1 Soluzioni a domande aperte 1.1 Codifica di Huffman La codifica si determina dalla costruzione dell albero di Huffman. Una possibile è: x 1 = 0 x 2 = 100 x = 101 x 4 = 110 x 5 = 111 Dato che le probabilià dei simboli sono potenze del due il codice trovato è ottimo. Nel caso generale di n simboli la soluzione si determina per induzione osservando che il primo simbolo x 1 si può codificare con x 1 = 0 mentre i rimanenti n 1 si possono codificare in codifica binaria. Dimostrazione per induzione: Passo base n = 2 (banale) x 1 = 0 x 2 = 1 Ipotesi di induzione n 1 Si comincia con l osservare che, l aggiunta di (n 1)/2 simboli produce un albero di Huffman uguale a quello dell ipotesi di induzione per il simbolo x 1. Essendo k = 1+log(n 1) N, i simboli aggiunti questi sono aggregati con lo stesso sotto albero con cui sono aggregati 7

8 gli n 2 simboli da x 2 a x n 1, per i quali vale l ipotesi di induzione. Alla fine, secondo la costruzione di Huffman i due sottoalberi si congiungono con la radice che differenzia le codifiche con 0 e 1. Dunque la codifica dei simboli da x 2 a x n+1 è binaria. Una conseguenza delle codifiche trovate è che simboli della stessa probabilità hanno la stessa lunghezza. 1.2 Compressione basata su riconoscimento e sintesi vocale Il file originale, per una porzione vocale di t secondi, ha lunghezza (bytes) pari a t Considerando almeno la separazione delle parole con spazi, il riconoscitore vocale permette di registrare tale file in ASCII (esteso) con bytes. Dunque il fattore di compressione è t = 18 t c = t t = 9 20 Considerando che la ricostruzione testo-voce beneficia certamente di segni di interpunzione oltre allo spazio si può ritenere in via approssimativa che il fattore di compressione sia circa 0.5%. 1. Nodi essenziali Quando d 1 lo scambio di flusso è ridotto solo ai nodi 2 e 6. Siccome il grafo è un isola senza pozzi E I = 6. Inoltre la condizione d 1 produce simmetria nei nodi 2 e 6. Pertanto x 2 = x 6 = 1.4 Calcolo di PageRank Le equazioni di PageRank risultano: x 1 = dx d x 2 = d 2 x 1 + dx + 1 d x = d 2 x d La soluzione è: x 1 = 2d2 + 2d + 2 d 2 + 2d + 2 x 2 = d2 + d + 2 d 2 + 2d d x = d 2 + 2d + 2 8

9 Nota che d x 1 +x 2 +x = e che per d 1 si ha x 1 = 6/5, x 2 = 6/5 e x = /5. Questo si desume anche direttamente dalla simmetria nel modo seguente: l energia deve sommare a ; inoltre per d 1, si ha x 1 = x 2, mentre x = x 1 /2. Link 1 rovesciato In questo caso si ha immediatamente x = 1 d mentre, per simmetria x 1 = x 2. Non essendoci pozzi x 1 + x 2 + x = ; dunque da cui 2x d = x 1 = 1 + d 2 x 2 = 1 + d 2 = 1 d x 2 Spamming Calcoliamo il PageRank della pagina p su cui si vuole fare spam assumendo che le pagine artificiali siano denotate con a e quella radice di connessione al Web con r. Si ha x p = ndx a + 1 d x a = d n x r + 1 d x r > 1 d Dunque x p > (1 d)(n d + d 2 + 1) Imponendo per d = 0.8 si trova n = 17. (1 d)(n d + d 2 + 1) > Simmetrie Il grafo presenta la una simmetria illustrata in Fig. 6. Si ha dunque x 2 = x 5 x = x 4 Adesso si dimostra che non esistono altre uguaglianze. 9

10 Figure 6: Simmetrie. Mostriamo che, per d 0, si ha x 2 x. Se per assurdo fosse x 2 = x si avrebbe ( x1 (1 d) + d 2 + x 5 + x ) ( 2 ) x4 = (1 d) + d 2 + x ) 2 Da cui x 1 = 0 che è contraddetto da ovvie considerazioni di flusso (ad esempio per d = 1/2). Adesso si dimostra che x 1 x. Considera ad esempio d = 1/2. Si ha x 1 = x 2 (2) x = x 2 () Se per assurdo fosse x 1 = x, dall equazione precedente si avrebbe x 2 = 2/ Dunque, per simmetria, x 5 = 2/. Come conseguenza x 1 = 1 e, seguendo l ipotesi assurda, x = x 1 = 1. Per simmetria x 4 = x = 1 e, infine che contraddice la condizione E I = 5. x 1 + x 2 + x + x 4 + x 5 = 6 Dunque i gruppi di stesso PageRank sono S = {x 1,(x 2,x 5 ),(x,x 4 )} e il numero dei valori diversi del PageRank è S =. 10