Meccanica Applicata alle Macchine VO Compito 10/9/03

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1 Meccanica Applicata alle Macchine VO Compito 1/9/3 I modulo: punti 1 e - Esame completo: punti 1 e Il madrino di una macchina utensile, Fig.1, è un corpo cilindrico di acciaio (densità 785 kg/m3) di lunghezza e diametro indicati nel disegno. Il mandrino ha uno sbilanciamento residuo equivalente ad una massa m5g sulla periferia del cilindro nella sezione mediana. Il mandrino è vincolato dai cuscinetti A e B, al lato sinistro (nelle posizioni indicate nel disegno). Il mandrino può ruotare a velocità angolare compresa fra e 3 giri per minuto. Si chiede (considerare la velocità costante e trascurare il peso): a)che tipo di sbilanciamento ha il mandrino? (spiegare). b) Quali reazioni vincolari sono complessivamente esercitatedai cuscinetti A e B? (in particolare il valore alla velocità di rotazione massima). c) (facoltativo) Quali forze si producono su ciascun cuscintetto, A o B, singolarmente? Soluzione Dati M p M m.5 a) Il mandrino ha uno sbilanciamento di tipo statico. Infatti l'effetto di aggiungere la massa m, essendo questa nella sezione di mezzeria, è quello di spostare la posizione del baricentro, mentre gli assi principali di inerzia restano inalterati. b) La posizione del baricentro complessivo, tenuto conto della rotazione wt del mandrino, è: m xm + M xm xg xm xm.15 cos w t xg.75 m cos w t xg cos w t m ym + M ym yg ym ym.15 sin w t

2 yg.75 m sin w t yg sin w t La prima equazione cardinale della dinamica, relativa alle direzioni x e y fornisce: M + M + m m xg RAx + RBx yg RAy + RBy Da cui le reazioni complessivamente esercitate dai cuscinetti: RAx + RBx xg RAx + RBx w cos w t RAy + RBy yg RAy + RBy w sin w t Alla velocità di rotazione di 3 giri al minuto si ha in particolare: w 3 p 6 w RAx + RBx cos t RAy + RBy sin t e il modulo delle forze vale complessivamente 37 N. c) Per calcolare le reazioni singolarmente si deve scrivere la seconda equazione cardinale della dinamica. Se lo si fa (rispetto al baricentro) si scopre che, essendo gli assi principali di inerzia paralleli a xyz, i momenti delle reazioni vincolari si annullano nella sezione mediana. Il risultato sarà, per esempio per la componente x delle forze (ricordare che le equazioni sono scritte rispetto al polo baricentro): RAx RBx -.1 Combinando questa equazione con la precendente per x si ottiene: RBx - 3 RAx RAx RBx.1875 w cos w t w cos w t alla massima velocità di rotazione: RAx RBx cos t cos t Da cui si desume che le reazioni sono discordi e quella in B è di gran lunga maggiore di quanto desumibile dalla semplice somma ricavata al punto b.. Gradi di libertà dei sistemi meccanici e vari tipi di coppie cinematiche.

3 3. I cuscinetti del mandrino dell'esercizio 1 sono considerati cedevoli elasticamente. Sia k la loro rigidezza equivalente radiale. Per semplicità si riduce il caso precedente alla analisi delle vibrazioni nel piano xz. L'effetto della massa sbilanciata è descritto da una forza armonica in mezzeria P(t). Si chiede: a) L'espressione che rappresenta la forza della massa sbilanciata, P(t) (con giustificazione). b) Le equazioni del moto vibratorio forzato. c) (facoltativo) La risposta forzata in corrispondenza dei cuscinetti A e B, al variare della velocità di rotazione nell'intervallo considerato -3 giri per minuto. Soluzione a) La forza P(t) è la forza apparente di inerzia della massa m: P m.15 w cos w t P.375 w cos w t b) Equazioni. Conviene assumere come coordinate generalizzate lo spostamento x del baricentro e la inclinazione (nel piano xz) q dell'asse del mandrino (vedi figura). Con questa scelta di coordinate gli spostamenti xa e XB delle sezioni dei cuscinetti sono: xa x -.3 q xb x -.1 q L'equazione di traslazione è: x - P - k xa - k xb x k x k q w cos w t

4 L'equazione di rotazione: 1 1 M.6 q k xa.3 + k xb.1.3 M q - 5 k x k q In forma matriciale: M + m.3 M x k -.4k + -.4k.1k q x q w cos w t c) Risposta forzata: x xo cos w t q qo cos w t Sostituendo nelle equazioni si ottiene l'ampiezza della risposta in funzione della frequenza della forzante (velocià di rotazione): M + m.3 M - w xo - w qo + k -.4k -.4k.1k xo qo - w xo - 5 qo k + xo k w w qo M qo k - 5 xo k w - 3 w xo.375 M + 1 k - 3 w 4 M - w k 8 M + 5 m + 4 k w qo.15 k - 3 w 4 M - w k 8 M + 5 m + 4 k w xao xo -.3 qo 3 w xao 3 w M + k 8 3 w 4 M - w k 8 M + 5 m + 4 k xbo xo -.1 qo 3 w xbo 3 w M - 6 k 8 3 w 4 M - w k 8 M + 5 m + 4 k Graficamente: k 5

5 xo -. 4 w 4 6