IX ESERCITAZIONE - 16 Dicembre 2013

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Orlando Fabiano Grosso
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1 IX ESERCITAZIONE - 16 Dicembre 2013 I. RENDIMENTO Un gas perfetto monoatomico compie il ciclo schematicamente mostrato in figura, attraverso trasformazioni reversibili. I valori di pressione e volume sono i seguenti: P A = Pa, V A =2l, P B =5P A, V C =3V A. Calcolare il rendimento η del ciclo. Il rendimento è η =L/Q ass. Il lavoro compiuto nel ciclo è pari all area del triangolo ABC: Il calore viene assorbito nel tratto L= 1 2 AC BC =4V A P A =1600 J (1) AB e si ottiene dal primo principio: Q ass =Q AB =L AB + U AB =Area ABVA V C + nc V (T B T C ) (2) dove U AB =nc V ( PB V B nr da cui Q ass =10800J e η =15% Area=L + V A V C AV A =2400 J ) (3) =21P A V A =8400 J (4) P AV A nr

2 2 II. MACCHINA DI CARNOT Una macchina di Carnot assorbe una certa quantità di calore Q 1 da una sorgente a temperatura T 1 e cede calore Q 2 ad una seconda sorgente a temperatura T 2 =40%T 1. Determinare il rendimento η della macchina, il lavoro compiuto durante il ciclo e il calore ceduto. Il rendimento di una macchina di Carnot in funzione delle temperature è: η =1 T 2 T 1 =1 0.4=60% (5) Il lavoro compiuto nel ciclo è L=ηQ 1 ; il calore assorbito è Q 2 = Q 1 (1 η).

3 3 III. LAVORO Un gas perfetto biatomico è contenuto in un cilindro chiuso da un pistone. Inizialmente, si trova nello stato caratterizzato da T A = 300K, V A = 4l, P A = 1atm. Il gas viene poi compresso adiabaticamente fino a V B =1l, poi raffreddato a V =cost finché la temperatura non raggiunge il valore iniziale T A. Il gas viene infine lasciato espandere isotermicamente fino al volume iniziale V A. Disegnare il ciclo nel piano PV e calcolare il lavoro totale. L=L AB + L BC + L CA = U AB + L CA =nc V (T A T B ) + nrt A ln V A V C (6) Dobbiamo ricavare T B =(P B V B )/(nr): nr= P AV A T A =1.35 JK 1 (7) P A V γ A =P BV γ B P B =4 7 5 PA (8) T B =4 7 5 P A V B nr = K (9) da cui L= 5 2 nr(t A T B ) + nrt A ln 4= J (10)

4 4 IV. ISOCORA IRREVERSIBILE Una mole di gas perfetto monoatomico compie un ciclo tra gli stati ABCA, secondo le seguenti trasformazioni: A B isoterma reversibile; B C isobara reversibile; C A isocora irreversibile, durante la quale il sistema viene riportato nello stato A mediante il solo scambio di calore Q CA (L CA =0J). Disegnare il ciclo nel piano PV; calcolare il calore scambiato in ciascuna trasformazione e il calore totale (in modulo e segno); calcolare il lavoro compiuto in ciascuna trasformazione e il lavoro totale (in modulo e segno). Dati: V A =5l, V B =10l, P A =1atm, P B =0.5atm. Q AB =L AB =nrt A ln V B V A =nrt A ln 2 (11) Q BC =nc P (T C T B )=nc P (T C T A ) (12) Q CA =nc V (T A T C ) (13) Dobbiamo ricavare T A e T C. La prima si ottiene dall equazione dei gas perfetti applicata allo stato A, la seconda imponendo che P/(nR)=cost nel tratto BC: T A = P AV A =60.85 K nr (14) T B = T C T C = T A V B V C 2 (15) da cui Q AB =351.08J, Q BC = J, Q CA =379.87J, Q tot =97.83J.

5 5 L AB =Q AB = J (16) L BC =P B (V C V B )= P B V A = J (17) L CA =0 J (18) L tot =97.83 J (19) Nota bene: Q tot =L tot, poiché in un ciclo U tot =0J.

6 6 V. CICLO REVERSIBILE Una mole di gas perfetto monoatomico compie il seguente ciclo: A B isoterma reversibile a T A = 400K che porta a V B = 2V A ; B C isocora reversibile; C A compressione adiabatica reversibile. Disegnare il ciclo nel piano PV; calcolare il calore totale scambiato e il rendimento η del ciclo. Q tot =Q AB + Q BC =L AB + Q BC = (20) =nrt A ln V B V A + nc V (T C T B )=nrt A ln 2 + nc V (T C T A ) (21) Dobbiamo ricavare T C : utilizziamo la relazione tra T e V in un adiabatica (tratto CA): T C V γ 1 C =T A V γ 1 A T C = 1 2/3 T A = K (22) 2 tenuto conto che V B = 2V A. Il calore totale scambiato è Q tot = J. Il rendimento del ciclo: η = L Q ass = Q tot Q AB =20% (23)

7 7 VI. TRASFORMAZIONI REVERSIBILI Una mole di gas perfetto monoatomico è nello stato A (T A =300K, V A =1l). Il gas compie le seguenti trasformazioni reversibili: A B isoterma fino a V B =3V A ; B C isocora fino a T C =144.2K; C D compressione adiabatica fino a V D =V A. Disegnare il ciclo nel piano PV. Determinare P(atm), V(l), T(K) in ognuno dei 4 stati. Determinare il calore scambiato in ogni trasformazione, in modulo e segno. Calcolare il lavoro compiuto in ogni trasformazione, in modulo e segno. Calcolare la variazione di energia interna in ogni trasformazione, in modulo e segno. Se D A, calcolare il rendimento η del ciclo. Stato A: Stato B: Stato C: Stato D: T A =300 K; V A =1l; P A = nrt A V A = P a (24) T B =T A =300 K; V B =3V A =3l; P B = nrt B V B = P A 3 = P a (25) T B =144.2 K; V C =3V A =3l; P C = nrt C V C = P a (26) V D =V A =1l (27) T D V γ 1 A =T C (3V A ) γ 1 T D =3 2/3 T C =300 K =T A (28) P D =P A (29) ovvero D A.

8 8 Calori scambiati: Q AB =L AB =nrt A ln V B V A = J (30) Q BC =nc V (T C T B )=nc V (T C T A )= J (31) Q CA =0 J (32) Lavori compiuti: L AB =Q AB = J (33) L BC =0 J (34) L CA = U CA =nc V (T C T A )=Q BC = J (35) Variazioni di energia interna: U AB =0 J (36) U BC =Q BC = J (37) U CA = Q BC = J (38) Nota bene: U tot =0J (ciclo). Il rendimento del ciclo è: η = L = Q tot =1 Q BC =29% (39) Q ass Q AB Q AB

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