Eratostene ( 276 a.c a.c.) L uomo che misurò la Terra

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1 Eratostene ( 76 a.c a.c.) L uomo che misurò la Terra Presso le classi colte delle civiltà antiche che fiorirono attorno al Mar Mediterraneo era risaputo che la forma della Terra fosse sferica : Gli Egizi, circumnavigando l Africa, avevano notato che il Sole a mezzogiorno non si trova più a Sud ma a Nord quando si oltrepassa l equatore; La corretta interpretazione delle eclissi di Luna da parte de Greci indicava che l ombra che oscura la Luna è l ombra della Terra e la sua forma è rotonda; L osservazione, che le navi che appaiano o spariscano all orizzonte, ha indotto le antiche popolazioni marinare a ritenere che la Terra abbia una curvatura, e l uso di fari, che per la loro altezza aumentavano il raggio di visibilità, ne è un ulteriore conferma. Il sorgere e il tramontare degli astri, primo fra tutti il Sole, sono possibili soltanto se la Terra si trova al centro di questo universo che le ruota attorno. Viaggiando tra nord e sud si nota che le stelle che cambiano in modo rilevante la loro altezza, fatto che questo che indusse l opinione che la Terra oltre ad essere sferica, fosse anche una sfera non particolarmente grande. Eratostene era uno studioso che lavorava presso la grande biblioteca di Alessandria d Egitto ( contemporaneo di Archimede e Annibale) e ne era certamente uno dei più influenti responsabili. Egli venne a sapere che in una città di nome Siene (attualmente presso Assuan) il giorno del solstizio d estate il fondo dei pozzi è illuminato a mezzogiorno dai raggi del Sole, mentre ad Alessandria, che si trova più a nord, questo non avviene e i raggi del Sole formano con la verticale un angolo di circa 7 1 ( un cinquantesimo dell angolo giro). Con facili osservazioni geometriche ( rette parallele tagliate da una trasversale) Eratostene concluse che la distanza tra Alessandria e Siene corrisponde ad un cinquantesimo della lunghezza della circonferenza terrestre. La spedizione che Eratostene organizzò per calcolare tale distanza espresse tale misura in circa 5000 stadi ( +e stadi), quindi la

2 circonferenza terrestre è di stadi (+ e stadi). Le unità di misura. Un numero da solo può anche non dire molto se non è seguito da una unità di misura. Eratostene ha usato come unità di misura lo stadio e qui può sorgere un problema: questa misura fa riferimento alla lunghezza dello stadio della città più importante della regione ma purtroppo non si hanno indicazioni univoche su questo valore che pertanto può oscillare tra 150 metri circa e 190 metri circa. Il valore più accreditato è di 157,50 metri corrispondenti a 300 cubiti (1 cubito 0=5,36 cm). Con tale valore la circonferenza terrestre ( meridiano x ) risulta lunga circa chilometri, valore assai prossimo a quello calcolato con metodi più precisi ai nostri giorni: km.

3 ARISTARCO di Samo (310 a.c a.c.) Archimede nell Arenario afferma che Aristarco propose un sistema eliocentrico, in cui la Terra, al pari degli altri pianeti, aveva un moto rotazionale attorno a se stessa e un moto di rivoluzione intorno al Sole. Archimede dice di lui ne L'Arenario: Aristarco ha pubblicato un libro contenente certe ipotesi da cui appare, come conseguenza delle assunzioni fatte, che l'universo è molte volte più grande dell'universo appena citato. Le sue ipotesi sono che il sole e le stelle fisse restano ferme, che la terra gira intorno al sole sulla circonferenza di un cerchio di cui il sole occupa il centro, e che la sfera delle stelle fisse, situata intorno allo stesso centro, è così grande che il cerchio in cui egli suppone che la terra si muova dista dalle stelle fisse tanto quanto il centro della sfera dista dalla sua superficie Calcolo della distanza tra la Terra e il Sole: Ciò che Aristarco riteneva essere corretto: la Terra è una sfera; il Sole è lontano, ma non troppo: i suoi raggi colpiscono Terra e Luna con angoli diversi; la Luna orbita intorno alla Terra in modo che sia possibile avere le eclissi. Calcolo della distanza: Attendendo che la Luna fosse vista dalla Terra o al primo quarto o all'ultimo quarto, affermò che l'angolo Luna-Terra- Sole è di 87 e quindi l'angolo Terra-Sole-Luna risulta essere di 3. Confrontando il triangolo Terra,Luna.Sole con un triangolo simile con gli angoli di 87, 90, 3, notò che il rapporto tra il cateto minore e l ipotenusa è un valore compreso tra 1/0 e 1/18 ( calcolò il valore di sin3 ), da qui la conclusione che la distanza Terra.Sole è circa 19 volte maggiore della distanza TerraLuna- La distanza angolare fra Sole e Luna viene stimata da Aristarco in 87. In realtà il valore corretto è di circa 89 51', che porta il rapporto fra le due distanze a circa 400 volte. L'errore deriva dalla difficoltà di misurare esattamente l'angolo formato fra il Sole e la Luna e dalla difficoltà di calcolare ed osservare il momento esatto in cui la parte illuminata della Luna è del 50% (i valori oggi correntemente usati sono: distanza media della Luna: km; distanza media del Sole: km; il rapporto fra le due distanze è quindi circa uguale a 389.) Per lo stesso motivo Aristarco ipotizzò che il Sole fosse 18-0 volte più grosso della Luna..

4 La distanza Terra Luna Ipparco 1. Ciò che Ipparco conosceva: a. Dalla Terra il Sole (e anche la Luna) si vede sotto un angolo di 30 ( mezzo grado) b. La Luna impiega circa 7 giorni e 8 ore a fare un giro attorno alla Terra, mentre impiega poco meno di ore e mezzo a passare, durante un eclisse, nella zona d ombra dovuta alla Terra; e poiché questo tempo è circa quattro volte maggiore del tempo che impiega la Luna ad entrare totalmente nella zona d ombra, Ipparco dedusse che il diametro lunare è circa 4 volte inferiore a quello della Terra. c. Lo spostamento angolare giornaliero della Luna nel suo moto di rivoluzione intorno alla Terra è di circa Il metodo di calcolo: = diametro angolare del Sole (30 ) eclisse: 4 h : 13 =,5 h : angolo della zona d ombra, prodotta dalla Terra, percorsa dalla Luna in una sua = 1,44 =86 = 43 ma CSE CME perché le due somme formano entrambe un angolo piatto con SCM Inoltre, prendendo spunto da Aristarco, sa che SE = 19EM CSE SE EC e poichè 1 si ha che 19CSE CME CME ME EC s m 58' 19 m 58' 55,1' che in radianti è circa 0,016 1/6 19 s m 0 Quindi EC / EM = 1 / 6 quindi la distanza tra la terra e luna è circa 6 volte il raggio della terra: i calcoli di Ipparco ponevano questo valore tra 60 e 70 volte..

5 Il sistema tolemaico (breve sintesi) Apollonio di Perga nel III sec a.c. sembra che sia stato il primo a proporre una soluzione ai due problemi creati dai pianeti che conservando il moto circolare, nello stesso tempo non fosse eccessivamente complessa e soprattutto desse delle previsioni accettabili sui moti stessi: Il pianeta P si muove su un'orbita circolare detta epiciclo il cui centro si muove a sua volta su di un'altra circonferenza, detta deferente, avente come centro la Terra. In tal modo venivano abbastanza bene interpretati la diversa luminosità dei pianeti, che dipende dalla distanza dalla Terra, e in funzione delle velocità sull'epiciclo del pianeta e del centro dell'epiciclo sulla deferente, la traiettoria ottenuta poteva presentare una corrispondenza con i dati osservati: quando la velocità sull'epiciclo era maggiore della velocità del centro dell'epiciclo stesso sulla deferente si poteva avere il moto retrogrado del pianeta. NB: Questa ipotesi corrisponde alla situazione, che attualmente è ritenuta corretta, di Sole-Terra-Luna: - Sole centro della deferente, - Terra centro dell'epiciclo, - Luna pianeta che si muove sull'epiciclo. Tolomeo propose un'ulteriore modifica al sistema di Apollonio e di Ipparco, apportando una maggiore complessità ma anche una maggiore corrispondenza con i dati rilevati e una più precisa previsione dei fenomeni celesti. Le innovazioni furono, rispetto ai modelli precedenti alquanto originali: - il centro della traiettoria deferente non coincide con il centro della Terra, - il centro dell'epiciclo non si muove con velocità costante sulla deferente, - ma il suo moto angolare risulta uniforme se visto da un ulteriore punto detto equante; questo per giustificare le velocità non costanti dei pianeti, almeno osservate dalla Terra. - Propose, inoltre, che la deferente fosse leggermente ellittica. Il sistema tolemaico, che è certamente geocentrico, non trascura di dare al Sole l'importanza che merita, infatti il Sole e la sua collocazione sono sempre in relazione con la posizione degli altri pianeti: - Mercurio e Venere hanno sempre il centro del proprio epiciclo sulla congiungente Terra - Sole; - Marte, Giove e Saturno hanno, invece, parallelo alla direzione Terra-Sole il raggio che li unisce al centro del proprio epiciclo. - il Sole, ovviamente, non ha un epiciclo, ma si muove sulla deferente. Le indicazioni tolemaiche, tramandateci, attraverso traduzioni arabe, nell'almagesto, furono ritenute valide fino al sec. XVI, senza subire variazioni significative o migliorative; la grande precisione dei calcoli tolemaici fu la forza di questo sistema che, pur non indicando la causa dei moti, era una corretta lettura dei moti stessi relativi alla Terra, ritenuta immobile in mezzo all'universo.

6 Copernico Nel 1543 il polacco Copernico, pochi giorni prima della propria morte, permise la pubblicazione del suo libro De Revolutionibus Orbium Coelestium nel quale propone il nuovo modello cosmologico eliocentrico e lo giustifica innanzitutto con la maggiore semplicità strutturale rispetto al modello geocentrico o quasi geocentrico di Tolomeo che per più di mille anni era stato, almeno in occidente, comunemente accettato. Il modello copernicano per una maggiore coerenza con i dati osservati prevedeva alcune correzioni all iniziale proposta di porre il Sole al centro dell universo con i pianeti che ruotavano su orbite circolari aventi appunto il Sole nel centro: il Sole non è al centro delle orbite dei vari pianeti, anzi ogni pianeta ha per la propria orbita un centro diverso, le orbite dei pianeti non erano semplici orbite circolari, ma, similmente al modello di Tolomeo, erano un moto composto da due moti circolari ( il pianeta ruota attorno ad un punto - centro dell epiciclo - che a sua volta percorre una circonferenza deferente ). Nei due modelli proposti mancava sempre una spiegazione del perché i moti avrebbero dovuto percorrere queste traiettorie e non altre; Copernico, personalmente, non escludevo la correttezza del modello di Tolomeo, sosteneva soltanto che la propria era più semplice. Il moto non regolare dei pianeti è tale perché lo si vede dalla Terra che non è ferma, ma è in moto attorno al Sole: i pianeti quindi sono visti proiettati sulla volta celeste ed essendo le loro velocità di rivoluzione diverse da quella Terra, in alcune posizioni il loro moto sembra retrogrado come, nell arco dell anno, possono essere più o meno vicini alla Terra. Sistema Tychonico: Tycho Brahe propose un sistema proprio: la Terra immbile al centro dell Universo mentre il Sole le girava intorno; gli altri pianeti seguivano orbite concentriche con il Sole: Dal punto di vista formale è equivalente al sistema geocentrico.

7 Isaac Newton (Woolsthorpe London) La gravitazione universale J.N. vede cadere una mela da un albero e : se l albero fosse stato più alto - si chiede - la mela sarebbe stata ancora in grado di cadere? Anche se la sua altezza fosse stata uguale alla distanza della Luna dalla Terra? Perché no?!....- J.N. riflette - Allora perché la Luna non cade?... Ma la Luna sta cadendo soltanto che non trova la Terra nella sua traiettoria di caduta come una bomba, allorché è lanciata, non cade verticalmente,ma sempre più lontano in funzione della velocità con la quale è lanciata. Osservazione : paragonare il movimento della Luna al movimento di una bomba è stato un passo molto importante in quanto si affermava che un corpo celeste e un corpo terrestre erano soggetti alle medesime leggi della fisica. Per I.N. esiste tra la Luna e la Terra una forza attrattiva che egli definisce gravità che causa il moto circolare della Luna attorno alla Terra. Un oggetto che si muove secondo le leggi del moto circolare è soggetto ad una accelerazione centripeta: a c = R = (4 /T ) R (v/r velocità angolare). I.N. afferma che la gravità funziona come forza centripeta. L orbita lunare la si può ritenere in prima approssimazione circolare, quindi con la formula precedente si può calcolare qual è la accelerazione centripeta e quindi qual è la accelerazione di gravità che è esercitata su qualsiasi oggetto che si trovi ad una distanza dalla Terra uguale a quella della Luna: tenendo presente che T =, sec (periodo di rivoluzione della Luna = 7 g 8 h ) e che R TL = 3, m (distanza Terra - Luna = km ) sostituendo nella formula precedente si ha : 8 a 4 3, m s c, 7110 / 6, Questo valore corrisponde alla accelerazione centripeta a cui è soggetta la Luna a motivo del suo movimento di rivoluzione attorno alla Terra; ma questa accelerazione è anche uguale alla accelerazione di gravità a cui la Luna stessa è soggetta, come qualsiasi altro oggetto che si trovasse a quella distanza dalla Terra.. Riassumendo: La Luna per il principio di inerzia tenderebbe a proseguire su una traiettoria rettilinea, ma a motivo della forza di gravità (f = ma ), che agisce perpendicolarmente alla sua traiettoria, questa risulta modificata: quando una forza agisce perpendicolarmente alla traiettoria, non si ha variazione di velocità per quanto riguarda il modulo, ma si ha variazione della velocità per quanto riguarda la direzione; se la forza rimane costante, la variazione della velocità sarà costante, e quindi la traiettoria diverrà circolare. La forza di gravità è quindi la forza centripeta che causa il moto circolare della Luna.

8 L accelerazione sulla Terra è circa 9,8 m/s, quindi molto maggiore di quella a cui è soggetta la Luna; pertanto si deve concludere che la forza di gravità diminuisce con la distanza. E necessario trovare la legge che lega la distanza e la forza. Per la terza legge di Keplero si ha che T /R 3 = k s, essendo T il periodo di rivoluzione di un pianeta e R la sua distanza media dal Sole; Newton afferma che questa legge vale anche per la Luna nei riguardi della Terra, e per qualsiasi satellite nei confronti del pianeta attorno a cui ruota, cambierà solo il valore della costante k. Per la Terra il valore di k è calcolabile con i valori propri della Luna e questo valore sarà valido per tutti i satelliti (artificiali) che girano attorno alla Terra: 6 TL (,36 10 ) 14 s k T = 9, R (3,83 10 ) m L Accettata questa legge anche per la Terra, da T /R 3 = k T (costante propria della Terra e dei suoi satelliti) si ottiene T = k T R 3, e tenendo presente che a c = (4 /T ) R, si ha a c =4 / (k T R ), e pertanto si nota che l accelerazione di gravità è inversamente proporzionale al quadrato della distanza. Verifica della teoria ( concordanza tra ragionamento e dati sperimentali): I.N. pensa: se nella formula a c =4 / (k T R ) si pone il valore di k T trovato e il valore del raggio della Terra ( R = 6, m) si deve ottenere l accelerazione centripeta che agirebbe su un oggetto che, possedendo l opportuna velocità, compie una traiettoria circolare attorno alla Terra a livello del suolo, accelerazione che corrisponderà anche alla sua accelerazione di gravità, e quindi si dovrebbe ritrovare il noto 9,8 m/s : e così trova , 8 9, , m/s g = ottenendo la conferma della teoria con l esperienza. Quindi la forza che attrae la Luna verso la Terra è F TL = m L a c = m L 4 / (k T R ) In modo analogo la Terra si comporta nei riguardi del Sole, quindi la forza di attrazione del Sole per la Terra è F ST = m T a c = m T 4 / (k S R ); ma, per il terzo principio della dinamica, è anche vero che la Terra attrae il Sole con una forza avente la medesima intensità espressa in modo analogo F TS = m S a c = m S 4 / (k T R ) confrontando le due formule e semplificando i valori identici si ha mt ms mt k T ms k S k k S T

9 da questa uguaglianza I.N deduce che il prodotto m k per qualsiasi corpo è una costante universale, evitando di attribuire alla Terra una proprietà specifica che dopo la rivoluzione copernicana non aveva più ragione di essere. Riprendendo la formula della forza che attrae il Sole verso la Terra, moltiplicando e dividendo per m T la precedente relazione F TS = m S a c = m S 4 / (k T R ) si ha F TS = m S m T 4 / (k T m T R ) = 4 / (k T m T ) m S m T / R = G m S m T / R avendo posto G = 4 / (k T m T ), stabilendo inoltre che G è una costante universale. I.Newton generalizzò questo risultato, applicandolo a qualsiasi oggetto avente massa, enunciando la sua legge di gravitazione universale: Due oggetti,aventi una certa massa, si attraggono con una forza che è direttamente proporzionale alle loro masse e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza. m1 m F G R I. Newton, però, non fu in grado di determinare il valore della costante G,non conoscendo la massa della Terra, né potè verificarlo sperimentalmente essendo troppo piccola la forza di gravità che interagisce tra oggetti comuni; il valore di tale costante fu calcolato, circa 70 anni dopo la morte di I.N., con sufficiente precisione da H. Cavendish, usando la bilancia a torsione: costante di Cavendish : G = 6, Usufruendo di questo valore fu possibile calcolare la massa della Terra e la sua densità; per il primo valore è sufficiente uguagliare la forza peso alla forza di gravità di Newton: mg G m m T r Anche perché nel frattempo si era calcolata la, con una certa precisione, la distanza Terra-Sole (R TS = 150 milioni di km) e il suo raggio ( r S = km = 109 r T ), fu possibile calcolare la massa e la densità del Sole. F G m m T S 4 r e F mt r mt r T m S 3 4 RST 10 G 365, kg