Corso di laurea in Ingegneria per l Ambiente e il Terrirorio a.a Misura degli angoli ABC

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1 z B Misura degli angoli ABC B 0

2 Corso di laurea in Ingegneria per l Ambiente e il Terrirorio a.a L angolo azimutale fra A e B misurato in O è la sezione normale dell angolo diedro formato dal piano contenente la verticale per O ed il punto A e dal piano contenente la verticale per O ed il punto B; questo angolo coincide, a meno di correzioni trascurabili rispetto ai minimi errori di misura, con l angolo tra le due sezioni normali O o A o e O o B o dove con O o, A o e B o si indicano le proiezioni dei punti O, A e B sulla superficie di riferimento (ellissoide). L angolo zenitale z OA o distanza zenitale è l angolo che la direzione OA forma con la verticale in O; il suo complemento è l angolo d altezza α OA.

3 Corso di laurea in Ingegneria per l Ambiente e il Terrirorio a.a Il teodolite è lo strumento che misura angoli azimutali e zenitali dopo essere stato opportunamente sistemato su un treppiede. La sua struttura è costituita da: - una base dotata di tre viti calanti che permettono l orientamento dell asse primario a 1 secondo la verticale (operazione detta messa in stazione dello strumento ); - un alidada che può ruotare intorno all asse primario a 1 ed è dotata di un asse secondario a 2 ; - un cannocchiale che ruota intorno all asse secondario a 2 e che definisce un terzo asse a 3 detto asse di collimazione.

4 Per quanto riguarda la precisione strumentale dei teodoliti si può dire che lo scarto quadratico medio strumentale della misura di un angolo azimutale varia entro limiti molto ampi da 0,3 cc a 1 c. Non si confonda tale precisione con lo scarto quadratico medio di un angolo nelle misure effettive che dipende oltre che dalla precisione strumentale anche dall ambiente in cui si lavora, dai segnali che si collimano, etc. In linea generale si può dire che per misure effettuate con strumenti poco precisi i due scarti coincidono mentre per misure effettuate con strumenti di elevata precisione il secondo è sempre più alto non scendendo mai al disotto di 1 cc. Infine una considerazione sul nome dello strumento; è ancora in uso, ma in via di eliminazione, la distinzione tra teodoliti e tacheometri riservando il secondo nome per gli strumenti meno precisi. La tendenza, usata in questi appunti, è quella di usare il nome di teodolite affiancandogli il suo s.q.m..

5 Corso di laurea in Ingegneria per l Ambiente e il Terrirorio a.a Il cannocchiale Il tipo più in uso è quello astronomico o di Keplero che analizzeremo nella sua struttura elementare utilizzata nel passato. Esso è costituito da una lente, detta obbiettivo, montata all estremità di un tubo cilindrico e da una lente, detta oculare, montata su un secondo tubo, movibile con un bottone, interno e coassiale al primo.

6 Corso di laurea in Ingegneria per l Ambiente e il Terrirorio a.a Dicesi asse ottico di una lente la congiungente i centri di curvatura delle superfici ottiche di separazione. Diconsi punti nodali, P 1 e P 2, di un obbiettivo quei due punti, appartenenti al suo asse ottico, che godono della proprietà che qualsiasi raggio incidente nell uno emerge dall altro parallelamente alla sua direzione. Se la distanza tra l oggetto ed il primo punto nodale è d l immagine si forma ad una distanza q dal secondo punto nodale data dalla prima equazione fondamentale delle lenti = d q f 1 Se consideriamo l oggetto puntiforme e posto ad una distanza H dall asse ottico la distanza h dell immagine dallo stesso asse è data dall equazione h H F 1, F 2 (fuochi) = punti coniugati dei punti all infinito q f 1 e f 2 = distanze focali dell obbiettivo e dell oculare = = E dove con E si indica l ingrandimento lineare o d trasversale della lente. RETICOLO

7 Dalle equazioni scritte si desume che se un oggetto è posto ad una distanza maggiore del doppio della distanza focale dell obbiettivo (d 2f 1 ), come in genere avviene nelle normali condizioni d'uso, si ottiene una immagine reale, capovolta e rimpicciolita. L immagine viene fatta cadere tra il fuoco F 1' ed il primo punto nodale dell oculare per cui ne risulta una immagine (indicata a tratteggio grosso nella figura) virtuale, diritta ed ingrandita (rispetto alla prima) che può essere osservata ponendo l occhio dietro l oculare. RETICOLO

8 Corso di laurea in Ingegneria per l Ambiente e il Terrirorio a.a Il reticolo è costituito da un vetrino con linee incise che individuano un punto centrale chiamato centro del reticolo; esso va posto nello stesso piano in cui si forma l immagine data dall obbiettivo. Si definisce come asse di collimazione di un cannocchiale la congiungente il centro del reticolo con il secondo punto nodale dell obbiettivo. Tale asse, per eventuali operazioni di rettifica, deve avere la possibilità di subire piccoli spostamenti; il problema si risolve dotando il reticolo di viti a contrasto che ne permettono piccoli spostamenti sia in orizzontale che in verticale.

9 Per collimare punti posti a distanze diverse è necessario quindi poter variare la distanza q tra l obbiettivo ed il reticolo, realizzando così il cosiddetto adattamento alla distanza che, si ribadisce, consiste nel far coincidere il piano in cui si forma l immagine con il piano in cui è posto il reticolo. Questa immagine viene osservata tramite l oculare che quindi deve possedere la caratteristica di potersi muovere rispetto al reticolo per adattarsi alla vista dell osservatore; in quest ultima operazione consiste l adattamento alla vista. Uno dei meccanismi costruttivi con cui si realizzava tale necessità nei tempi passati è indicato nella figura seguente Per collimare un punto sono quindi necessari due adattamenti: prima si esegue l adattamento alla vista e poi quello alla distanza.

10 Corso di laurea in Ingegneria per l Ambiente e il Terrirorio a.a Per eseguire la collimazione, l immagine della croce sul campanile deve essere portata con l ausilio delle viti micrometriche di cui è dotato il teodolite nell incrocio dei fili del reticolo.

11 Corso di laurea in Ingegneria per l Ambiente e il Terrirorio a.a Negli strumenti moderni l adattamento alla distanza non avviene più spostando l obiettivo relativamente al reticolo (cannocchiale a lunghezza variabile) ma utilizzando il cannocchiale a lunghezza costante che contiene al suo interno una particolare lente mobile (lente collettiva) che provvede a far sì che le immagini di oggetti collimati a varie distanze si formino sempre sul piano del reticolo. I n = f ob / f oc I n = 20X 50X Una variante che presentano molti teodoliti moderni è l'aggiunta di una lente supplementare all'interno del cannocchiale con il compito di raddrizzare l'oggetto; perciò nell'oculare si vede un'immagine virtuale, ingrandita e dritta anziché capovolta come nei cannocchiali astronomici classici.

12 Componenti ottiche di un teodolite

13 Corso di laurea in Ingegneria per l Ambiente e il Terrirorio a.a Mezzi di lettura ai cerchi Nei teodoliti moderni i cerchi graduati sono sempre costruiti in vetro ottico ed hanno incisa sul bordo una finissima graduazione. L incisione dei cerchi deve essere eseguita con elevata precisione; basta osservare che 1 c è la quarantamillesima parte dell angolo giro e che al bordo di un cerchio, avente un diametro di 80 mm, 1 c corrisponde ad un intervallo di circa 6 µm; ciò significa che anche in un teodolite da 1 c i tratti debbono essere tracciati con la precisione di pochi µm. La presenza di graduazioni ai cerchi con tratti così sottili impone l utilizzo di un microscopio composto il cui schema ottico è essenzialmente identico a quello del cannocchiale; l oggetto da osservare (la graduazione), in questo caso è posto poco al di là del primo fuoco per cui l obbiettivo genera una immagine reale e ingrandita sul piano del reticolo; l oculare a sua volta ingrandisce ulteriormente l immagine per cui si possono raggiungere anche 100 ingrandimenti. Il microscopio viene posto vicino al cannocchiale per cui l osservatore con un leggero movimento della testa passa direttamente dalla collimazione alla lettura; in genere nel campo dell oculare compaiono contemporaneamente i due cerchi (azimutale e zenitale).

14 Sistemi di misura non micrometrici Tali metodi di lettura non consentono un elevata precisione perché al massimo si riesce ad apprezzare 0,5 c ; nei teodoliti di elevata precisione si deve ricorrere a sistemi di lettura più sofisticati.

15 Microscopio a stima Lettura al cerchio azimutale: 378 g Lettura al cerchio verticale: 102 g.47

16 3 Microscopio a nonio

17 Corso di laurea in Ingegneria per l Ambiente e il Terrirorio a.a Sistemi di lettura micrometrici Il metodo più usato prevede l utilizzo di una lamina piano-parallela che si basa sulla legge della rifrazione. E noto dall ottica che un raggio di luce che incide ortogonalmente una superficie di separazione tra due mezzi (nel nostro caso aria-vetro e poi vetro-aria) li attraversa senza subire alcuna deviazione. Nel caso il raggio incida la superficie con un angolo i subisce il fenomeno della rifrazione cioè il raggio subisce una deviazione seguendo la legge di Snellius seni n2 = n21 = sen r n1 dove con n 21 si indica l indice di rifrazione relativo del mezzo 2 rispetto al mezzo 1 (nel nostro caso vetro-aria) dato dal rapporto dell indice di rifrazione assoluto n 2 del mezzo 2 (vetro) con l indice di rifrazione assoluto n 1 del mezzo 1 (aria).

18 Corso di laurea in Ingegneria per l Ambiente e il Terrirorio a.a Nello schema indicato il raggio passando dall aria al vetro riemerge quindi nell aria con lo stesso angolo di incidenza ma subendo una traslazione pari a d. Per angoli di incidenza molto piccoli si ottiene: d n = s i n 21 1 In definitiva d risulta proporzionale all angolo di incidenza e tale proporzionalità si può ritenere valida per angoli di incidenza anche di parecchi gradi. Nei teodoliti si pone una lamina piano-parallela in posizione opportuna lungo il cammino dei raggi ottici dal cerchio al reticolo, girevole intorno ad un asse ortogonale alla direzione dei raggi, e si fa in modo che nel campo dell'oculare si possa leggere in una opportuna finestra, in frazioni dell intervallo della graduazione principale, la rotazione della lamina. 21

19 Uso della lamina pian parallela nei teodoliti di precisione 10

20 Corso di laurea in Ingegneria per l Ambiente e il Terrirorio a.a Una variante molto più precisa è il microscopio a coincidenza di immagini: attraverso un sistema ottico si portano le immagini dei due lembi diametralmente opposti a contrapporsi sul piano del reticolo di un microscopio-semplice. Prima della coincidenza i tratti del cerchio immediatamente prima dell indice distano da questo di due quantità a e b generalmente diverse tra loro per effetto dell errore di eccentricità. Sul percorso dei raggi ottici sono inserite due lamine pian-parallele collegate con una manopola esterna che ne permette la simultanea rotazione di quantità uguali e contrarie. Con tale comando si portano quindi a coincidere i due tratti contrapposti del cerchio realizzando con ciò una media ottica in quanto ognuna delle immagini ha traslato di una quantità pari ad (a+b)/2 ; lo spostamento effettuato si legge in una finestrella che appare nel campo dell'oculare in frazioni dell intervallo da misurare. Si elimina anche l errore di eccentricità del lembo in modo automatico.

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22 Corso di laurea in Ingegneria per l Ambiente e il Terrirorio a.a Livelle La livella è un dispositivo che si usa per verificare la verticalità di un asse, l orizzontalità di un asse e l orizzontalità di un piano. parte È una fiala di vetro riempita parzialmente di alcool, avente la superficie interna a forma di toro. Nella parte alta si forma sempre una bolla (vapori del liquido) che si dispone C sempre orizzontale. Sulla fiala è incisa una graduazione i cui tratti distano 2 mm (parte); la tangente alla fiala nel punto centrale C della graduazione dicesi tangente centrale della livella. Se si fa coincidere la mezzeria della bolla con il tratto centrale Livella della graduazione, la tangente centrale della torica livella si dispone orizzontale. La sensibilità s di una livella è l angolo di cui deve ruotare la livella affinché la bolla si sposti di 1/2 parte; R è il raggio della sezione mediana del toro. Più piccolo è il valore di s maggiore 2mm 1 2mm è la sensibilità della livella in quanto riesce s " = = " R arc1 R a percepire spostamenti della bolla più Valore angolare della parte ovvero piccoli. sensibilità per 2 mm (più usata)

23 Livella torica a graduazione R 0 C La fiala torica è inserita in una custodia Superficie torica è generata dalla rotazione di un cerchio intorno ad un centro O Sensibilità per 2 mm: da 20 /2 mm a 90 /2 mm Sulla fiala è incisa una graduazione di 2 mm, simmetrica rispetto a uno zero centrale

24 La livella sferica è una fiala di vetro avente la superficie interna superiore a forma di calotta sferica incastonata in una armatura metallica; nella parte superiore di tale calotta è inciso un circoletto di qualche mm di diametro intorno ad un punto detto polo. Centrare la bolla significa portarla all interno del circoletto; in tale situazione, per le note condizioni di equilibrio, la superficie del liquido che delimita i vapori si dispone orizzontale e quindi il piano tangente alla livella nel punto centrale del circoletto si dispone orizzontale. Per centrare una livella sferica di un teodolite, in genere poggiata sull'alidada, si ruotano le due viti calanti V1 e V2 sino a portare la bolla nella direzione a-a e successivamente con la vite V3 si porta nel circoletto; tutto ciò senza ruotare minimamente l'alidada. Sono livelle molto meno precise delle toriche e si utilizzano in topografia per rendere verticale l asse di un teodolite in prima approssimazione oppure per rendere verticali paline, stadie, etc..

25 Livella sferica Sensibilità: da 4 / 2 mm a 10 / 2 mm volte inferiore alla sensibilità della livella torica È una fiala a tronco di cilindro che termina con una calottina sferica contenente fluido in parte allo stato gassoso. La livella è centrata quando la bolla è inscritta nel cerchietto iscritto sulla livella

26 Le livelle toriche, in topografia, vengono usate anche per rendere orizzontale l asse del cannocchiale di un livello oppure per eliminare l errore di verticalità nelle letture zenitali; in questi casi, essendo necessario centrare la bolla con notevole precisione si usano le cosiddette livelle a coincidenza, nelle quali, attraverso un opportuno sistema di prismi, appaiono affiancate le due estremità della bolla. La livella sarà centrata quando le due immagini della bolla appariranno perfettamente raccordate. Con tale accorgimento la sensibilità della livella di partenza risulta aumentata di cinque volte, intendendo con ciò che la livella è 5 volte più sensibile (una livella torica con una sensibilità s"=25 raggiunge una sensibilità di 5"). Usate nei livelli

27 Corso di laurea in Ingegneria per l Ambiente e il Terrirorio a.a Messa in stazione del teodolite Per eseguire le misure, il teodolite viene posto su di un apposito treppiede e fissato allo stesso tramite un opportuno vitone. I treppiedi sono incernierati su una struttura, pure essa metallica, con una faccia piana e rettificata su cui si fissa il teodolite. Mettere in stazione il teodolite significa non solo rendere il suo asse principale verticale ma fare in modo che esso intercetti il punto segnalizzato a terra. L'operazione di rendere l'asse verticale è effettuata con l'ausilio della livella posta sull'alidada, mentre il riporto a terra sul punto segnalizzato si realizza con un semplice filo a piombo fissato ad un gancio presente all'interno del vitone e, costruttivamente, in asse con l'asse principale dello strumento.

28 Piombino ottico L'operazione di rendere l'asse verticale può essere notevolmente sveltita se lo strumento possiede un piombino ottico, basato sul principio della riflessione totale.

29 Corso di laurea in Ingegneria per l Ambiente e il Terrirorio a.a Treppiede

30 Gambe allungabili incernierate alla piastra d appoggio Cerniera con vitone Piastra con foro centrale

31 P Consente, anche su terreni accidentati, di rendere quasi orizzontale il piano d appoggio degli strumenti Lo scopo è centrare lo strumento sul punto di stazione Si comincia verificando che il foro centrale della piastra d appoggio contenga la verticale per il punto di stazione (filo a piombo)

32 Corso di laurea in Ingegneria per l Ambiente e il Terrirorio a.a La basetta La funzione della basetta è di portare l asse dello strumento abbastanza vicino alla verticale. V vitone piano basculante viti calanti piano di base La basetta è un dispositivo che deve essere interposto fra: - treppiede - strumenti/segnali Si compone di 3 parti Il piano di base è fissato mediante il vitone al treppiede Le viti calanti permettono il basculamento rispetto al piano di base

33 INTERCAMBIABILITA FRA STRUMENTO E SEGNALE c r d P Una volta messo in stazione lo strumento, si eseguono misure. L operatore può poi togliere lo strumento e infilare il segnale Infatti non sono stati toccati né treppiede né basetta o r d P

34 Si supponga che la livella sia rettificata, cioè la sua tangente centrale sia perpendicolare all asse di rotazione dello strumento. In una condizione generica di asse non verticale si ruoti l alidada e si disponga la livella parallelamente a due viti calanti della base d appoggio dello strumento a). V3 V1 a) V2 b) V1 V2 a) Agendo su tali viti con rotazioni simultanee, uguali ma contrarie, si centri la bolla (la retta V1V2 è orizzontale); b) si ruoti ora l alidada di 100 g e si centri la bolla con la terza vite calante. Dopo tali operazioni, ruotando l alidada in qualsiasi posizione la bolla deve restare sempre centrata. Se ciò non avviene la livella non è rettificata e si procede come indicato nella diapositiva seguente. V3

35 Si supponga la livella non rettificata, cioè la sua tangente centrale formi un angolo v con la normale all asse intorno a cui ruota. Dopo aver agito come nel caso a) si ruoti l alidada di 200 g ; la bolla non sarà più centrata ma spostata di un certo numero di parti (pari all angolo 2v). V1 V2 Volendo rettificare la livella, si dovrà agire sulla vite di rettifica riportando la bolla verso il centro di un numero di parti pari alla metà di quelle osservate e procedere con la fase b).

36 Corso di laurea in Ingegneria per l Ambiente e il Terrirorio a.a Un teodolite si può considerare privo di difetti se: Il piano del cerchio è perpendicolare all asse primario (generale); Il centro del lembo (graduazione) ricade sull asse primario; L asse di collimazione è incidente con l asse primario; L asse di rotazione del cannocchiale è perpendicolare all asse primario (quindi orizzontale se l asse primario è verticale); L asse di collimazione è perpendicolare all asse di rotazione del cannocchiale ed incidente con esso; L asse primario è verticale. Difetti del teodolite I difetti si caratterizzano, nell ordine, con i nomi di: difetto di perpendicolarità p, di eccentricità del lembo e, di eccentricità dell asse di collimazione r, di inclinazione i, di collimazione c, di verticalità v. I primi tre si dicono strumentali, i rimanenti di rettifica. Uno strumento può essere affetto contemporaneamente da più difetti; per esaminare, allora, l influenza che i singoli difetti hanno sulle letture azimutali si può ricorrere al principio di indipendenza delle piccole cause d errore.

37 Il difetto di perpendicolarità p, di solito, è trascurabile; è inferiore, cioè, all approssimazione con cui si legge al cerchio orizzontale. Il difetto di eccentricità del lembo e, presente sia nelle letture azimutali che in quelle zenitali, si verifica, nelle prime, quando l asse principale dello strumento non interseca il cerchio azimutale nel suo centro e nelle seconde quando l asse secondario (asse di rotazione del cannocchiale) non interseca in cerchio zenitale nel suo centro. II C e C l 0 ε l ε O C = centro della graduazione C = traccia asse primario CC = eccentricità e; CI = R; OC I = l 0 ; OCI = l; ε = l - l 0 (errore) Applicando il teorema dei seni al triangolo CC I e considerando che ε è piccolo del 1 ordine, si ha: e ε = senl 0 R Se si munisce lo strumento di un altro indice diametralmente opposto, l errore sarà ε. (temibile solo per i teodoliti) I Le letture agli indici opposti sono errate della stessa quantità (una volta > 0 e una volta < 0) per cui la loro media è esente da tale errore. Per lettura al cerchio si intende allora la media delle letture agli indici opposti.

38 Corso di laurea in Ingegneria per l Ambiente e il Terrirorio a.a Se l asse di collimazione è eccentrico rispetto all asse generale dello strumento, esso si proietta sul piano del lembo in una retta che non passa per il centro C ma ne dista di r, difetto di eccentricità dell asse di collimazione. Si collimi un punto P posto ad una distanza D. All indice I si farà una lettura l s e, in assenza del difetto r, l asse di collimazione avrebbe la posizione indi-cata in tratteggiato; il punto P non sarebbe collimato. Per collimarlo sarebbe necessario ruotare l alidada dell angolo ε, facendo all indice la lettura l s +ε. L errore da cui è affetta la lettura l è dunque ε che vale: r C ε CP=D I (l s ) I (l s +ε) ε sen ε = r D Dato che ε è del primo ordine: P r ε = D La sua influenza risulta trascurabile Facendo la lettura coniugata l d l errore è uguale ma di segno opposto. La media delle letture coniugate l 0 è esente dal difetto di eccentricità dell asse di collimazione.

39 Se l asse di rotazione del cannocchiale non è perpendicolare all asse primario, esso non sarà orizzontale se l asse primario è verticale. Quando il cannocchiale ruota, l asse di collimazione descriverà un piano non verticale. Se collimiamo a strumento difettoso un punto alto sull orizzonte, al cerchio orizzontale leggeremo l; se lo strumento non fosse in rettifica, quando si fa la lettura l, il punto non sarebbe più collimato. Per collimare il punto si dovrebbe allora ruotare l alidada di un angolo e i che rappresenta quindi l errore sulle letture azimutali che si commette in presenza del difetto di inclinazione i. Tale errore vale: e i = i cot gz Esso è nullo per punti sull orizzonte, cresce in modulo al crescere dell altezza o della depressione del punto collimato, può non essere trascurabile. Può essere eliminato, come nel caso precedente, eseguendo le letture coniugate e facendone la media.

40 Se l asse di collimazione incide quello di rotazione del cannocchiale ma non forma con esso un angolo retto, al ruotare del cannocchiale, l asse di collimazione non descrive un piano verticale ma un cono. Le conseguenze sono analoghe al caso precedente e l errore e c nelle letture azimutali conseguente al difetto di collimazione c vale: e c = c senz Esso cresce al crescere dell altezza o della depressione del punto collimato sull orizzonte. Per un punto sull orizzonte l errore dovuto al difetto di collimazione vale proprio il difetto c. Anche questo errore si elimina eseguendo la media delle letture coniugate.

41 Se nel mettere in stazione lo strumento, non si è reso verticale l asse generale (primario) siamo in presenza del difetto di verticalità v. In questo caso si misura la sezione retta di un diedro con costola inclinata. È il difetto maggiormente temibile perché induce in errori che non possono ritenersi trascurabili, non si può eliminare con opportuni modi d uso dello strumento e non si riesce a calcolare la correzione da apportare alle letture eseguite. È funzione del collegamento strumento-treppiedi e della messa in stazione L influenza e v di questo difetto nelle letture azimutali è espressa dalla formula: ev = vcot gz senl v dove v è il difetto e L v l angolo azimutale variabile con la direzione collimata

42 Corso di laurea in Ingegneria per l Ambiente e il Terrirorio a.a Regola di Bessel Dall esame dei sei difetti, strumentali e di rettifica, si perviene ad una conclusione notevole che viene indicata come la regola di Bessel per la misura degli angoli azimutali. Quando si devono misurare angoli azimutali, si deve porre la massima cura nel rendere verticale l asse generale dello strumento; quindi, per ogni direzione da collimare, si eseguono le letture coniugate, intendendo per lettura la media delle letture agli indici opposti (eseguita con il microscopio a coincidenza di immagini); si otterranno così le singole direzioni, esenti praticamente da errori dovuti a difetti strumentali e di rettifica. C.S. C.D. Stazione Pi I II M I II M Direzione Angolo V S V

43 Corso di laurea in Ingegneria per l Ambiente e il Terrirorio a.a Regola di Bessel l s WILD T2 l d = l s ± 200 g

44 Per ottenere risultati più precisi, riducendo gli errori di puntamento e di lettura e quelli dovuti a possibili imperfezioni nella graduazione dei cerchi, si ricorre al metodo della reiterazione che consente di determinare ciascuna misura come media di più determinazioni. Tale metodo consiste nel misurare un angolo in zone diverse del cerchio orizzontale, preferibilmente a uguali distanze. V A B Se si è stabilito di eseguire n reiterazioni dell angolo AVB, dopo aver proceduto alla 1^ misura, si ricollima il punto A, si ruota il cerchio di 2π/n (π/n) e si effettua una 2^ misura dell angolo; si collima ancora il punto A, si ruota il cerchio di 2π/n (π/n) e si esegue una 3^ misura, e così fino ad eseguire le n reiterazioni. Si assume infine come valore dell angolo la media degli n valori ottenuti. Per stabilire quante reiterazioni devono eseguirsi, si deve fissare la precisione che si intende ottenere nella misura dell angolo con un determinato strumento ed applicare la formula già vista: 2 m m α α m0 = e quindi n = 2 n m 0

45 I teodoliti utilizzati sono detti reiteratori : in essi il cerchio azimutale non è fisso alla base, ma ad essa collegato con un sistema a frizione che ne permette rotazioni relative tramite un opportuno comando detto vite di reiterazione. In figura è riportato un accoppiamento base-alidada che mostra chiaramente il dispositivo di rotazione del cerchio

46 Corso di laurea in Ingegneria per l Ambiente e il Terrirorio a.a Misura degli angoli zenitali Nella misura degli angoli zenitali si richiede una precisione minore di quella degli angoli azimutali; pertanto negli strumenti moderni i cerchi zenitali sono generalmente di diametro minore di quelli azimutali e non sono reiterabili, sicché gli errori di graduazione non sono eliminabili. D'altronde non avrebbe molto senso procedere alla eliminazione dei piccoli errori del cerchio perché le distanze zenitali per effetto della rifrazione atmosferica e dell'impossibilità di tenerne perfettamente conto risultano in genere di precisione inferiore agli angoli azimutali. Tuttavia la ripetizione delle misure, anche se eseguita nelle stesse condizioni, serve a ridurre l'influenza degli errori accidentali di puntamento e di centramento della livella zenitale

47 Corso di laurea in Ingegneria per l Ambiente e il Terrirorio a.a Il cerchio zenitale ha una graduazione oraria ed è solidale al cannocchiale mentre gli indici di lettura sono collegati all'alidada e passibili di piccoli spostamenti. Una livella (zenitale) è collegata agli indici e dalla posizione della bolla di tale livella si possono dedurre le eventuali variazioni della loro posizione durante le operazioni; conviene centrare la bolla prima di fare ogni lettura perché le letture siano riferite sempre alla stessa posizione degli indici. Per determinare con un teodolite la distanza zenitale z di un punto A si collima, a bolla della livella zenitale centrata, il punto nella posizione C.S. e si esegue la lettura ls al cerchio in corrispondenza dell'indice I. Questa lettura rappresenta l'angolo che l'asse di collimazione forma con l'asse a1, e quindi con la verticale, e cioè la distanza zenitale z (fig. a). Livella zenitale e traversa porta indici

48 l s = z C.S. C.D. l d = 400 g - z Si ruota poi l'alidada di 200 g : l'asse di collimazione si dispone in posizione simmetrica rispetto all'asse a 1 e la lettura l s non cambia. Si ruota il cannocchiale fino a collimare nuovamente il punto A e si esegue la lettura l d nella posizione C.D. Ma può darsi che a bolla della livella zenitale centrata, la traversa indici non sia nella posizione teorica e ad asse di collimazione verticale non si legga 0 g al cerchio verticale ma ζ (zenit strumentale). In queste condizione le letture precedenti diventano: ls = z + ζ ld = 400 g z + ζ

49 ls = z + ζ (1) ld = 400 g z + ζ (2) Da queste, per differenza e per somma, si ottiene: z l s l = d g 2 l g 2 (3) l s d (4) ζ = Se lo strumento è sfornito di livella zenitale (teodoliti al 1 c ) le distanze zenitali relative a tutti i punti collimati vanno corrette di ζ.

50 Corso di laurea in Ingegneria per l Ambiente e il Terrirorio a.a Correzione d indice La conoscenza dello zenit strumentale risulta inessenziale quando si eseguono le letture nelle due posizioni coniugate in quanto applicando la (3) si ottiene sempre e comunque la distanza zenitale z, ma acquista rilievo quando si eseguono misure speditive delle distanze zenitali consistenti nella sola lettura ls (celerimensura). Per tale motivo tutti i teodoliti (con m α < 1 c ) permettono la rettifica dello zenit strumentale (correzione d indice) con opportuni piccoli spostamenti degli indici procedendo nel seguendo modo: si collima un punto e si eseguono le due letture ls e ld nelle posizioni coniugate; applicando la (3) si determina il valore corretto z; si ricollima il punto nella posizione C.S. e si spostano gli indici fino ad eseguire una lettura pari a z; si centra la bolla della traversa degli indici con le viti proprie (negli strumenti moderni la correzione d indice è automatica). l s l z = d g 2 (3)

51 Con un teodolite si è fatto stazione su un punto e si sono effettuate le seguenti letture al cerchio verticale per la determinazione della distanza zenitale di un altro punto posto a distanza di qualche chilometro: I II Direzione C.S. 93 g, g,6250 l s C.D. 306 g, g,3690 l d Segue per la (3) e la (4): g g , ,3690 g z = = 93, g g g 93, , g ζ = = 0, Si noti che, ricavato ζ, la distanza zenitale può ottenersi con la sola ls: z = l s - ζ = 93 g,6250 (-0 g,0030) = 93 g,6280 g Esempio

52 O Corso di laurea in Ingegneria per l Ambiente e il Terrirorio a.a α D D α B A Visibilità dei segnali " d 1 α = D arc1" d d = " D d = α" D arc1" = α" D " d d 1 d D = = " α" arc1" α" = grandezza apparente di un oggetto d tg α = D Se l oggetto AB si allontana dall occhio, la sua grandezza apparente diminuisce e i due punti A e B non si vedranno più distinti. Si chiama potere separatore della vista l angolo minimo sotto il quale due punti A e B si vedono ancora distinti; varia da 30 a 90. Per α molto piccolo, tg α è quasi uguale ad α e posso applicare le (2) e (3) le quali, se si sceglie per l angolo α il potere separatore della vista, si prestano a risolvere molti problemi relativi alle dimensioni che deve avere un oggetto perché risulti ancora visibile ad una data distanza o alla distanza alla quale può porsi un oggetto di date dimensioni perché risulti ancora visibile. (1) (2) (3)

53 grandezza apparente di un oggetto α potere separatore della vista D D max d tg α = d / D A α* d B

54 Se si assume per il potere separatore della vista il valore di 80 (con un certo margine di sicurezza), le (2) e (3) si possono scrivere con una certa approssimazione: (4) (5) 80 d = D = 0, 0004D D = d = d 80 Dimensione del segnale perché sia visibile ad una distanza D Distanza alla quale può porsi un segnale di date dimensioni perché sia visibile Le (4) e (5) valgono per osservazioni eseguite ad occhio nudo; se si osserva invece un oggetto con un cannocchiale avente un ingrandimento I, si ha: (6) (7) D d = I D = d I e quindi D I = d (8) La (8) consente di calcolare quale ingrandimento deve avere un cannocchiale per potere osservare un segnale posto ad una certa distanza

55 Segnali o mire

56 Sistemi di misura angolari Centesimale; unità: grado centesimale 1 g (1/400 dell angolo giro); sottomultipli: primo centesimale 1 c =1 g /100, secondo centesimale 1 cc =1 g /10000; angolo retto: 100 g, piatto: 200 g, giro: 400 g Sessagesimale; unità: grado sessagesimale 1 (1/360 dell angolo giro); sottomultipli: primo sessagesimale 1 =1 /60, secondo sessagesimale 1 =1 /3600; angolo retto: 90, piatto: 180, giro: 360 Sessadecimale; unità: grado sessagesimale 1 (1/360 dell angolo giro); sottomultipli: primo sessadecimale = 1 /100, secondo sessadecimale = 1 /10000; angolo retto: 90, piatto: 180, giro: 360 Analitico; unità: radiante 1 r (angolo al centro che sottende un arco di circonferenza di lunghezza uguale al raggio); angolo retto: π/2, piatto: π, giro: 2π

57 Corso di laurea in Ingegneria per l Ambiente e il Terrirorio a.a Trasformazioni angolari Centesimale: 121 g,7846 Sessadecimale: 109,6061 α / α g = 90/100 α = 0,9 α g α g = α 10/9 121 g,7846 x 0.9 = 109,6061; Sessadecimale: 109,6061 Centesimale: 121 g,7846 α g = α 10/9; 109, /9= 121 g,7846 Centesimale: 121 g.7846 Sessagesimale: ,1 121 g,7846 x 0,9 = 109, ,60614 x 60 = ; 0,3684 x 60 = Sessagesimale: ,1 Centesimale: 121 g, :60=0, ,3683:60=0, , , /9 = 121 g, 7846