I distanziometri e la misura delle distanze pag. 48

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1 IV Indice Modulo 1 pag Premessa Elementi costitutivi di un teodolite ottico-meccanico Elementi costitutivi del cannocchiale Utilizzo del cannocchiale Le caratteristiche ottiche del cannocchiale Le condizioni di esattezza dei teodoliti Condizioni di rettifica 8 Errore di verticalità 10 Errore di orizzontalità e di collimazione 12 Corretta posizione dell indice zenitale Condizioni di costruzione 13 Condizione di non ortogonalità 13 Eccentricità dell alidada e del cannocchiale 14 Eccentricità dell asse di collimazione 14 Imperfetta graduazione dei cerchi 16 Gli errori residui di rettifica e la regola di Bessel Messa in stazione del goniometro Misura degli angoli orizzontali Misura degli angoli orizzontali con stazione fuori centro 21 Determinazione dell eccentricità del punto di stazione Misura degli angoli orizzontali con segnale fuori centro Misura degli angoli verticali Misura degli angoli verticali con stazione fuori centro Misura degli angoli verticali con segnale fuori centro Mezzi per apprezzare i piccoli intervalli delle graduazioni Il nonio o veniero 26 La lettura del nonio Il micrometro a stima Il micrometro a scala Il microscopio a micrometro ottico Il microscopio a coincidenza di immagini Il microscopio a simmetria di immagini 30 La misura fotografica ed elettronica degli angoli 31 Esercizi svolti 31 Domande a risposta multipla 44 Domande a risposta aperta 45 Esercizi proposti 46 Modulo 2 I distanziometri e la misura delle distanze pag Premessa Misura diretta delle distanze Misura indiretta delle distanze Le stadie o mire 50 Stadie verticali comuni 50 Stadie verticali di invar 51 Stadie verticali codificate 52

2 V Modulo 3 Stadie orizzontali non graduate con scopi 52 Stadie orizzontali graduate Metodi stadimetrici 53 Metodo con stadia verticale e angolo parallattico variabile 53 Metodo ad angolo parallattico costante e stadia verticale 56 Metodo con stadia orizzontale e angolo parallattico variabile 60 Metodo con stadia orizzontale e angolo parallattico costante Metodi non stadimetrici Metodi ad onde elettromagnetiche I distanziometri elettronici Elementi costitutivi dei distanziometri elettronici Distanziometri a misurazione di fase 63 La modulazione del segnale Distanziometri a misurazione di impulsi Precisione e portata dei distanziometri I distanziometri usati in campo topografico Teoria degli errori per la misura indiretta delle distanze Precisione dei metodi con stadia verticale Precisione dei metodi con stadia orizzontale 73 Esercizi svolti 73 Domande a risposta multipla 88 Domande a risposta aperta 89 Esercizi proposti 90 I livelli e la misura dei dislivelli pag Premessa Quote, pendenze e dislivelli Errore di sfericità e di rifrazione Le livellazioni Livellazioni con visuale orizzontale 96 Livellazione geometrica con stazione in un estremo 96 Livellazione geometrica con stazione in vicinanza di un estremo 97 Livellazione geometrica reciproca con stazione negli estremi 98 Livellazione geometrica reciproca con stazione in vicinanza degli estremi 99 Livellazione geometrica dal mezzo 99 Livellazione geometrica composta dal mezzo 100 Precisione della livellazione geometrica dal mezzo Livellazioni con visuale inclinata 102 Livellazione ecclimetrica 102 Livellazione tacheometrica 103 Livellazione clisimetrica 104 Livellazione trigonometrica Determinazione del coefficiente di rifrazione Livellazioni senza visuale I livelli Classificazione dei livelli 109 Livelli a cannocchiale fisso senza vite di elevazione 109 Livelli a cannocchiale fisso con vite di elevazione 110 Livelli a manicotto 111 Livelli automatici 112 Livelli digitali 112 Livelli laser 112 Livelli zenitali e nadirali Precisione dei livelli 113 Esercizi svolti 114 Domande a risposta multipla 123 Domande a risposta aperta 124 Esercizi proposti 125 RCS Libri S.p.A. - Divisione Education, Milano

3 VI Modulo 4 Modulo 5 Il rilievo planimetrico pag Premessa La realizzazione del rilievo planimetrico Le reti di inquadramento Precisione, controllo e compensazione delle reti di inquadramento La compensazione empirica delle triangolazioni topografiche Collegamento dei punti delle reti di inquadramento Rilevamento planimetrico per triangolazioni 132 Le triangolazioni dell I.G.M. 135 Triangolazione catastale Rilevamento planimetrico per trilaterazioni Rilevamenti planimetrici per intersezioni 138 Intersezioni dirette in avanti semplici 139 Intersezione diretta in avanti multipla 140 Intersezione diretta laterale semplice 140 Intersezione diretta laterale multipla 141 Intersezione all indietro o inversa semplice (problema di Snellius) 141 Considerazioni sul problema di Snellius 146 Intersezione all indietro o inversa multipla 147 Doppia intersezione inversa (problema di Hansen) 147 Considerazione sul problema di Hansen 151 Doppia intersezione in avanti semplice Rilevamenti planimetrici per poligonazioni 152 Scelta dei vertici di una poligonale 152 Classificazione delle poligonali 153 Orientamento delle poligonali 154 Misura dei lati e degli angoli di una poligonale 155 Compensazione delle poligonali 157 Calcolo delle poligonali 159 Poligonale aperta non orientata 160 Poligonale aperta, orientata, con un estremo vincolato 161 Poligonale aperta, orientata, con vertici noti non reciprocamente visibili, appoggiata a due punti noti 162 Poligonale aperta, orientata, con vertici noti non reciprocamente visibili, appoggiata a un punto noto 164 Poligonale aperta, orientata, con vertici noti reciprocamente visibili, senza appoggio 166 Poligonale aperta, orientata, con vertici noti non reciprocamente visibili, senza appoggio 168 Poligonale aperta, non orientata, con vertici noti ma reciprocamente visibili 170 Poligonale chiusa, orientata 171 Poligonale chiusa, non orientata 173 Il rilievo altimetrico delle poligonali 176 Esercizi svolti Rilievo celerimetrico Collegamento di stazioni celerimetriche Collegamento diretto o a punto indietro Collegamento Moinot Collegamento Villani o misto Collegamento Porro o indiretto 214 Domande a risposta multipla 216 Domande a risposta aperta 217 Esercizi proposti 218 Il rilievo altimetrico pag Premessa Rilievo altimetrico lungo una linea Livellazione geometrica da un estremo 221

4 VII Livellazione geometrica dal mezzo Livellazione tacheometrica e clisimetrica Rilievo altimetrico su di una striscia Livellazione di alta precisione dell I.G.M Rappresentazione plano-altimetrica del terreno Rappresentazione mediante piani quotati Rappresentazione mediante curve di livello 227 Leggere un piano a curve di livello Trasformazione di un piano quotato in un piano a curve di livello 229 Domande a risposta multipla 231 Domande a risposta aperta 232 Modulo 6 Il GPS pag Premessa Struttura del sistema GPS Il segmento spaziale 235 Caratteristiche dei satelliti Il segmento di controllo Il segmento di utilizzo Il sistema di rferiment WGS Il segnale dei satelliti del sistema GPS I codici binari Determinazione delle distanze tra i satelliti e l antenna del ricevitore Procedure di rilievo Limiti del rilievo GPS Applicazioni del sistema GPS 247 Domande a risposta multipla 249 Domande a risposta aperta 250 Modulo 7 Le rappresentazioni cartografiche pag Premessa Le deformazioni cartografiche Le equazioni della carta Classificazione delle carte Le proiezioni prospettiche Esempi di proiezioni prospettiche Le proiezioni per sviluppo Esempi di proiezioni per sviluppo Proiezioni modificate e convenzionali La cartografia italiana Evoluzione del sistema cartografico nazionale La cartografica UTM e UPS Le carte dell IGM La declinazione magnetica L orientamento delle carte 277 Orientamento con la bussola 277 Orientamento empirico con il sole e l orologio 277 Orientamento empirico con la Stella Polare 278 Orientamento empirico con la Luna La produzione cartografica La nuova produzione cartografica 281

5 VIII Modulo Il telerilevamento Il Sistema Informativo geografico (GIS) Il Sistema Informativo territoriale (SIT) La cartografia Tecnica e la cartografia Tematica La Carta Tecnica Regionale (CTR) La carta tecnica regionale numerica (CTRN) Le ortofotocarte regionali Le carte tematiche Come costruire una carta tematica La carta pedologica La carta dell uso reale del suolo La carta geologica La carta delle unità geomorfologiche Esempi di tematismi 293 Esercizi svolti 318 Domande a risposta multipla 322 Domande a risposta aperta 323 Gli aggiornamenti catastali pag Premessa Tipi di aggiornamento L oggetto dell aggiornamento Strumenti e tolleranze nelle operazioni di aggiornamento La rete dei punti fiduciali Il rilievo planimetrico e altimetrico Rilievo per allineamenti e squadri Rilievo celerimetrico Rilievo GPS Rilievo misto Rilievo altimetrico Procedura di aggiornamento catastale Libretto delle misure Tipologia delle righe del programma PREGEO Esercitazioni Pregeo 341 Frazionamento 341 Tipo mappale Dati simulazione Schema del rilievo Libretto delle misure Il modello censuario Elaborazione del libretto Proposta di aggiornamento 377 Carica EdM in PREGEO 378 Estratto di mappa autoallestito 380 Associazione del libretto all estratto di mappa 382 Produzione dello stralcio dell estratto di mappa 383 Proposta di aggiornamento 385 Presentazione atto di aggiornamento 388 Esempi di stampati Esercitazione Docfa Dati simulazione e sintesi dell esercitazione Tabella delle categorie catastali Elenco pulsanti del programma Docfa Utilizzo del programma Docfa 396 Esempio di stampa 422 Domande a risposta multipla 423 Domande a risposta aperta 424

6 I goniometri e la misura degli angoli Modulo Premessa 1.2 Elementi costitutivi di un teodolite ottico-meccanico 1.3 Le condizioni di esattezza dei teodoliti 1.4 Messa in stazione del goniometro 1.5 Misura degli angoli orizzontali 1.6 Misura degli angoli verticali Prerequisiti Conoscenze matematiche di base. Conoscenze di geometria di base. Conoscenze di fisica. Conoscenza del funzionamento degli strumenti ottici semplici. Conoscenza degli strumenti semplici. 1.7 Mezzi per apprezzare i piccoli interventi delle gradazioni 1.8 La misura fotografica ed elettronica degli angoli Obiettivi Saper scegliere lo strumento in base alla precisione richiesta. Conoscere i fattori che influenzano la precisione delle misure. Conoscere le metodologie operative nella determinazione degli angoli. Saper utilizzare i goniometri in modo corretto.

7 2 modulo 1 I goniometri e la misura degli angoli 1.1 Premessa Gli strumenti che consentono la misura degli angoli orizzontali (azimutali) e verticali (zenitali) prendono il nome generico di goniometri (dal greco goníos = angolo e métron = misura); si classificano in: 1. azimutali, misurano solo angoli orizzontali: gli squadri graduati a riflessione o rifrazione; gli squadri graduati a traguardi; le bussole a cannocchiale (danno gli azimut magnetici); 2. ecclimetri, misurano solo angoli verticali: a traguardi; a cannocchiale; 3. goniometri universali, misurano sia angoli orizzontali che verticali: tacheometri con precisione del primo centesimale (in genere varia da 1 c a 5 c ); teodoliti con precisione del secondo centesimale (in genere varia da 0,5 cc a 10 cc ); 4. goniografi, permettono di tracciare gli angoli orizzontali direttamente sulla carta: tavoletta pretoriana; 5. sestanti, consentono la misurazione di angoli contenuti in piani qualsiasi, detti angoli di posizione. Di tutti questi strumenti topografici che sono stati ricordati i goniometri di uso comune, che oggi possono interessare a un geometra, sono quelli universali e, in particolare, i teodoliti (dato che i tacheometri non sono più prodotti). 1.2 Elementi costitutivi di un teodolite ottico-meccanico Gli elementi principali che costituiscono un teodolite sono ( fig. 1.1): treppiede; basamento; piombino ottico; cerchi graduati (orizzontale e verticale); microscopi di lettura; alidada; livelle (toriche e sferiche); cannocchiale; viti dei grandi spostamenti e viti dei piccoli spostamenti. a. Il treppiede, è un elemento indipendente dallo strumento, ma necessario per una

8 Modulo 1 3 figura 1.1 comoda osservazione; è costituito da tre gambe (di legno o metallo) incernierate a una piattaforma sulla quale si trova una grossa vite per il fissaggio dello strumento. b. Il basamento, è costituito da una parte superiore a contatto con il cerchio orizzontale e da una parte inferiore staccabile; la parte superiore in genere è provvista di piombino ottico per poter posizionare lo strumento sulla verticale passante per il punto di stazione a terra; se il piombino ottico non fosse presente in questo elemento allora lo si potrebbe trovare sull alidada; la parte inferiore, detta tricuspide, è formata da una piastra metallica piana che va appoggiata sulla piattaforma del treppiede, sopra alla quale si trovano tre bracci disposti a 120 alle cui estremità vi sono 3 viti, dette viti di base o viti calanti; queste viti, insieme alla livella sferica (anch essa fissata alla tricuspide), consentono di rendere orizzontale il piano del cerchio graduato; essendo questa parte staccabile dal resto dello strumento, permette di sostituire il goniometro con una mira senza dover effettuare nuovamente la procedura di stazionamento. c. Il cerchio orizzontale è costituito da una corona circolare di vetro, interna allo strumento, sulla quale è incisa una graduazione, sessagesiamale o centesimale, in senso orario o antiorario; l illuminazione del cerchio e del relativo microscopio di lettura avviene tramite uno specchietto che convoglia la luce internamente allo strumento mediante una serie di prismi. d. L alidada, è la parte superiore dello strumento e ruota attorno all asse Z-Z detto asse principale dello strumento; i due montanti verticali, che ne conferiscono la tipica forma di U, servono per sostenere il cannocchiale identificandone l asse R-R di rotazione; inoltre, in uno di essi è contenuto il cerchio verticale che ha le stesse caratteristiche di quello orizzontale. L alidada è, inoltre, provvista di una livella torica per rendere orizzontale il piano del cerchio graduato. e. Il cannocchiale, è a lunghezza costante con reticolo distanziometrico e il suo asse di collimazione C-C è perpendicolare all asse R-R di rotazione; accanto al cannocchiale si trova un microscopio composto che permette la lettura simultanea dei due cerchi graduati; per facilitare le operazioni di collimazione degli oggetti il cannocchiale ha, inoltre, un mirino di puntamento. f. Le viti dei grandi spostamenti e le viti dei piccoli spostamenti, servono per poter eseguire il puntamento ai segnali e le letture ai cerchi graduati. RCS Libri S.p.A. - Divisione Education, Milano

9 4 Modulo Elementi costitutivi del cannocchiale Come già visto nel primo volume, i cannocchiali permettono di osservare gli oggetti lontani e, nel caso del cannocchiale astronomico, si ha un immagine capovolta, mentre con quelli terrestre e di Galileo si ha un immagine dritta. Il cannocchiale usato in campo topografico è quello astronomico, detto anche cannocchiale di Keplero, che è costituito da tre tubi cilindrici coassiali ( fig. 1.2): un tubo alla cui estremità è montato l oculare che può scorrere all interno del tubo contenente il reticolo; un tubo contenente il reticolo (fissato vicino al fuoco della lente dell oculare) che può scorrere all interno del tubo contenente l obbiettivo; un tubo alla cui estremità è montato l obbiettivo. figura 1.2 Le parti principali che caratterizzano questo cannocchiale sono: a. l obbiettivo; b. l oculare; c. il reticolo. a. L obbiettivo può essere costituito da una lente convergente a grande distanza focale oppure, per ridurre l effetto delle aberrazioni cromatiche, da un sistema di lenti che si comporta in modo analogo. In genere vengono accoppiate una lente convergente biconvessa di vetro crow (ai sali di sodio) e una lente divergente biconvessa di vetro flint (ai sali di piombo) ( fig. 1.3). figura 1.3 osservazione L aberrazione cromatica è semplice da riconoscere perché gli oggetti presentano degli aloni colorati più o meno diffusi; sono dovuti all impossibilità per una lente di mettere a fuoco tutte le lunghezze d onda (e quindi i colori) nello stesso piano focale per via della dispersione che la luce subisce attraversando materiali di diversa densità. b. L oculare è costituito da una lente convergente a corta distanza focale oppure, per ridurre l effetto delle aberrazioni cromatiche e di sfericità, da un sistema di lenti che si comporta in modo analogo; la lente rivolta verso l obbiettivo viene detta collettiva, mentre quella verso l osservatore viene detta lente dell occhio. Gli oculari possono essere: a fuoco esterno o positivi, in quanto il primo fuoco del sistema è esterno alle due lenti tra i quali si possono ricordare: oculare di Kellner, dove la lente dell occhio è costituita da una lente biconvessa e da una piano-concava, mentre la lente collettiva è formata da una lente piano-convessa ( fig. 1.4); oculare di Ramsden, costituito da due lenti piano-convesse con le parti curve verso l interno ( fig. 1.5);

10 Modulo 1 5 a fuoco interno o negativi, in quanto il primo fuoco del sistema è interno alle due lenti tra i quali si può ricordare: oculare di Huyghens, costituito da due lenti piano-convesse fra le quali si trova il reticolo ( fig. 1.6). figura 1.4 figura 1.5 figura 1.6 Tra gli oculari si può anche ricordare l oculare a prismi, che permette di deviare i raggi luminosi di 90 ( fig. 1.7). c. Il reticolo è costituito da un vetrino sul quale sono incise dei sottilissimi tratti, uno verticale e uno orizzontale il cui punto di intersezione definisce il centro del reticolo; a seconda del tipo di reticolo vi sono poi altri tratti incisi, orizzontali e verticali, equidistanti e anche obliqui ( fig. 1.8). figura 1.7 La retta che unisce il centro del reticolo con il centro ottico dell obbiettivo si chiama asse di collimazione. figura 1.8

11 6 Modulo Utilizzo del cannocchiale Per poter utilizzare il cannocchiale astronomico si devono effettuare due operazioni: a. l adattamento alla vista, che consiste nello spostare l oculare fino a quando si vedono nitidamente i fili del reticolo ovvero fino a che l immagine dei fili del reticolo fornita dall oculare non si forma alla distanza della visione distinta dell operatore. Per effettuare agevolmente l adattamento alla vista conviene dirigere il cannocchiale verso una parete chiara oppure verso il cielo; una volta effettuata questa operazione, quando si orienta il cannocchiale verso il punto da osservare, l immagine di quest ultimo appare sfuocata cioè non nitida, ma confusa; quindi, si deve effettuare anche un adattamento alla distanza; b. l adattamento alla distanza, che consiste nello spostare il tubo del reticolo rispetto al tubo dell obbiettivo fino a quando l immagine dell oggetto appare nitidamente (insieme a quella dei fili del reticolo) ovvero fino a quando l immagine dell oggetto non si forma alla distanza della visione distinta dell operatore. L adattamento alla distanza deve essere eseguita tutte le volte che viene collimato un nuovo oggetto. I fili del reticolo e l immagine dell oggetto fornita dall obbiettivo devono appartenere allo stesso piano, cioè essere perfettamente coincidenti; questa condizione viene verificata collimando un oggetto ed effettuando piccoli spostamenti dell occhio davanti all oculare guardando con attenzione un filo del reticolo; se il filo rimane fisso rispetto all immagine la condizione è verificata, mentre se il filo sembra spostarsi rispetto all immagine non si ha la perfetta coincidenza e la collimazione è affetta da un errore detto errore di parallasse. Per eliminare tale errore bisogna ripetere le operazioni di adattamento alla vista e alla distanza. Nell adattamento alla distanza il cannocchiale varia di lunghezza in quanto il tubo contenente l obbiettivo e quello contenente il reticolo scorrono l uno dentro l altro, ma il piccolissimo gioco che permette questo movimento di scorrimento permette l entrata di umidità e polvere all interno del cannocchiale. Questo provoca un appannamento delle lenti che pregiudica le operazioni di misurazione e, quindi, sono necessarie delle operazioni di pulitura molto laboriose e con il pericolo di provocare danneggiamenti al cannocchiale stesso. Per questo motivo il cannocchiale astronomico non è stato più utilizzato negli strumenti topografici ed è stato sostituito dal cannocchiale a lunghezza costante. Il cannocchiale a lunghezza costante è un evoluzione del cannocchiale astronomico, in quanto l unica differenza sostanziale riguarda il fatto che obbiettivo e oculare sono sullo stesso tubo a distanza fissa. Tra il reticolo e l obbiettivo vi è una lente divergente detta di focamento fissata a un supporto che può far scorrere internamente la lente stessa ( fig. 1.9). figura 1.9

12 Modulo 1 7 Questa lente fa parte del sistema obbiettivo che risulta, quindi, composto da tre lenti; muovendo questa lente variano le caratteristiche ottiche del sistema obbiettivo, in particolare la sua distanza focale. La variazione della distanza focale comporta anche una variazione di ingrandimento la cui entità è però trascurabile, tale cioè da non compromettere il funzionamento del cannocchiale. Ovviamente l adattamento alla distanza per questo strumento avviene agendo sulla lente di focamento. In alcuni tipi di cannocchiale a lunghezza costante, l immagine viene raddrizzata mediante un prisma di forma particolare collocato tra il reticolo e la lente di focamento ( fig ). figura Le caratteristiche ottiche del cannocchiale Le caratteristiche principali di un cannocchiale sono: 1. ingrandimento normale I N : è indipendente dalla distanza ed è il rapporto tra il fuoco dell obbiettivo e il fuoco dell oculare I N f 1 ; per i cannocchiali si hanno dei valori f 2 variabili a seconda della loro precisione, compresi tra i 20 e i 45 ingrandimenti; 2. sensibilità: è l angolo minimo al di sotto del quale, con il cannocchiale, non si riesce più a distinguere due punti tra loro separati; questo angolo, a occhio nudo viene detto acuità visiva e mediamente vale 60 (da non confondere con la distanza della visione distinta che è la distanza a cui, senza fatica, si riesce a vedere nitidamente un oggetto e che equivale a 25 cm): Considerando l ingrandimento del cannocchiale, la sensibilità sarà quindi: s 60. In base al valore dell acuità visi- I N I N va (o della sensibilità di un cannocchiale) è possibile determinare la dimensione d che deve avere un oggetto posto a una distanza D per poter essere visto in modo distinto: d D r D s D I N ,0003 D ; I N 3. chiarezza: è il rapporto tra la chiarezza di un oggetto visto con il cannocchiale e la chiarezza di un oggetto visto a occhio nudo e, siccome di norma la prima è meno chiara della seconda, tale rapporto è generalmente minore dell unità; la chiarezza risulta essere: c K R 2 con: K costante, R raggio utile o apertura obbiettivo, r r 2 2 I N raggio della pupilla;

13 8 Modulo 1 4. campo: è l angolo del triangolo, che ha come vertici le due estremità del reticolo e il centro ottico dell obbiettivo; si calcola mediante la formula: K I N ; l anello metallico su cui è fissato il reticolo funziona anche da diaframma consentendo solo a una parte dei raggi provenienti dall obbiettivo di raggiungere l oculare ( fig ); figura portata: è la massima distanza alla quale un oggetto è distintamente osservabile con il cannocchiale; dipende dalle dimensioni e dalla chiarezza dell oggetto, ma anche dall ingrandimento del cannocchiale; 6. fattore crepuscolare: è la capacità di distinguere un segnale con scarsa condizione di luce; si determina tramite la formula: f 21I A D2 con D diametro dell obbiettivo e I A ingrandimento angolare. 1.3 Le condizioni di esattezza dei teodoliti Per il corretto utilizzo del goniometro devono essere soddisfatte delle condizioni di costruzione, il cui onere spetta alla casa costruttrice dello strumento, e delle condizioni di rettifica che devono essere verificate dall operatore prima di eseguire le misure (variano da strumento a strumento) Condizioni di rettifica Il goniometro possiede 3 assi di rotazione ( fig ) il cui punto di incontro è detto centro dello strumento: figura 1.12

14 Modulo 1 9 Tali assi devono soddisfare alle seguenti condizioni di rettifica: 1. l asse primario o principale Z-Z, che è l asse di rotazione dell alidada, deve essere verticale. Se la condizione non è soddisfatta si ha un angolo v formato dall asse di rotazione Z-Z dell alidada e la verticale ( fig ). L errore che si commette nella misurazione degli angoli orizzontali viene detto errore di verticalità e si ricava dalla formula: e v v tang cos 2. l asse secondario R-R, che è l asse di rotazione del cannocchiale, deve essere orizzontale. Se la condizione non è soddisfatta si ha un angolo v formato dall asse di rotazione R-R del cannocchiale e il piano orizzontale ( fig ). L errore che si commette nella misurazione degli angoli orizzontali viene detto errore di orizzontalità e si ricava dalla formula: e i i tang figura l asse di collimazione C-C, che è l asse di inclinazione del cannocchiale, deve essere perpendicolare al suo asse di rotazione R-R. Se la condizione non è soddisfatta si ha un angolo c formato dall asse di collimazione C-C e il piano normale all asse di rotazione R-R ( fig ). L errore che si commette nella misurazione degli angoli orizzontali viene detto errore di collimazione e si ricava dalla formula: e c c sec Nella misura di un angolo orizzontale si commette, quindi, un errore totale dato da: figura 1.14 e tot 1v tang cos 2 1i tang 2 1c sec 2 Nelle formule esaminate, che determinano l entità degli errori, si ha: angolo di inclinazione del cannocchiale e lettura al cerchio orizzontale. Le condizioni di rettifica che devono essere soddisfatte dall operatore sono quindi: a. verticalità dell asse primario; b. ortogonalità fra asse secondario e asse di collimazione; c. orizzontalità dell asse secondario; d. corretta posizione dell indice zenitale. Queste condizioni di esattezza sono verificabili e rettificabili. figura 1.15

15 10 Modulo 1 Errore di verticalità L errore di verticalità dell asse primario non è eliminabile, ma può essere limitato facendo una rettifica accurata. La verticalità dell asse viene valutata osservando il centramento delle livelle sferiche e toriche presenti sul basamento e sull alidada dello strumento; quindi si procede alla rettifica, che viene effettuata rendendo orizzontale il piano perpendicolare all asse primario mediante: a. la livella sferica dell alidada o del basamento; b. la livella torica dell alidada. Ricordando che i goniometri hanno sul basamento tre bracci disposti a 120 terminanti con tre viti calanti, che chiameremo C 1, C 2, C 3, e che un piano è individuato da due rette tra loro perpendicolari, che chiameremo retta a-a, congiungente le due viti calanti C 1 e C 2, retta b- b perpendicolare a tale congiungente e passante per la terza vite C 3. Vediamo come rendere orizzontale il piano individuato da queste due rette. a. L operazione di rettifica per rendere orizzontale il piano mediante livella sferica si esegue nel seguente modo ( fig ): con la bolla in posizione 1 si dispongono le tre viti di rettifica V 1, V 2 e V 3, nella stessa direzione delle tre viti calanti C 1, C 2 e C 3 ; ruotando le due viti calanti C 1 e con movimento uguale e contrario, si sposta la bolla lungo la direzione parallela alla congiungente delle due viti stesse fino a raggiungere la posizione 2; infine, agendo sulla vite calante C 1 si sposta la bolla lungo la direzione ortogonale alla precedente e passante per la vite stessa, passando dalla posizione 2 alla posizione 3. A questo punto si ruota la livella di 180 : se la bolla rimane centrata, la livella è rettificata e il piano è orizzontale; se, invece, dopo la rotazione la bolla si sposta bisogna intervenire correggendo lo spostamento per metà con le viti della livella e per metà con le viti del piano, operando nel seguente modo ( fig ): la bolla dalla posizione A viene prima spostata nella posizione B tramite le due viti di rettifica V 1 e V 2 ; in seguito, agendo sulla terza vite V 3, la si sposta dalla posizione B alla posizione C; successivamente, si agisce sulle due viti calanti C 1 e C 2 con rotazione uguale e contraria spostando la bolla dalla posizione C alla posizione D; infine, agendo sulla terza vite si sposta la bolla in posizione centrale E. figura 1.16 figura 1.17

16 Modulo 1 11 b. L operazione di rettifica per rendere orizzontale il piano mediante livella torica si esegue nel seguente modo: si dispone la bolla in posizione tale da essere parallela alla retta a-a, quindi si centra la bolla ruotando, con movimento uguale e contrario, le due viti (il movimento in coppia delle viti è più efficace del movimento singolo in quanto all abbassamento di una vite si ha contemporaneamente l innalzamento dell altra) ( fig ); si inverte la posizione degli estremi della bolla ruotandola di 180 (mantenendo cioè la sua posizione in direzione parallela alla retta a- a); quindi, se la bolla non rimane centrata si corregge lo spostamento per metà con la vite di rettifica verticale della livella e per metà con le due viti ( fig ). In questo modo tutte le rette parallele alla direzione a- a saranno orizzontali; si ruota la base di 90 in modo che la livella si porti nella direzione parallela alla retta b b ( fig ) e, agendo sulla terza vite C 1, si centra la bolla rendendo orizzontali anche tutte le rette parallele alla direzione b b e, quindi, il piano stesso. figura 1.18 figura 1.19 Si può rendere orizzontale il piano anche senza rettificare la livella, procedendo nel seguente modo: dopo aver invertito la posizione della livella con la rotazione di 180, l eventuale spostamento che può avere la bolla si corregge per metà con le due viti C 1 e C 2 ; quindi, osservando di quanto rimane spostata la bolla e verso quale direzione, si ruota la livella di 90 e si ruotano le restanti viti calanti ripristinando la posizione della bolla. figura 1.20

17 12 Modulo 1 Errore di orizzontalità e di collimazione Gli errori di orizzontalità dell asse secondario e l errore di collimazione, negli strumenti moderni, non sono rettificabili se non in laboratorio data la complessità dell operazione; tuttavia, le case costruttrici garantiscono queste condizioni di esattezza nei limiti di approssimazione dello strumento. È possibile però verificare se queste condizioni sono soddisfatte procedendo nel seguente modo: dopo aver reso verticale l asse primario a una distanza di circa 50 metri, si distende un filo a piombo; con il cannocchiale in posizione quasi orizzontale si esegue la collimazione del filo; si muove il cannocchiale verso l alto e verso il basso e se entrambe le condizioni sono verificate allora il centro dei fili del reticolo seguirà l immagine del filo a piombo. Nel caso in cui si le condizioni non siano soddisfatte, si può determinare ugualmente e in modo preciso l angolo orizzontale senza dover necessariamente eseguire la rettifica. Vediamo come vengono effettuate queste operazioni. a. Errore di orizzontalità Quando abbiamo un errore di orizzontalità, per determinare l angolo correttamente senza effettuare la rettifica, le operazioni da eseguire sono le seguenti: si rende il cannocchiale pressoché orizzontale con il cerchio verticale alla sinistra (C.S.), si collima un generico punto P e si esegue la lettura l a un indice del cerchio graduato orizzontale; si capovolge il cannocchiale e ruotando l alidada si mette lo strumento in modo che il cerchio verticale sia a destra (C.D.) e si collima nuovamente il punto P eseguendo la seconda lettura allo stesso indice. Il valore dell angolo cercato si ottiene con la formula: u l l se l 180 e se l 180 l ed l sono le letture coniugate. b. Errore di collimazione Quando abbiamo un errore di orizzontalità, per determinare l angolo correttamente senza effettuare la rettifica, le operazioni da eseguire sono le seguenti: con il cannocchiale molto inclinato e con il cerchio verticale alla sinistra (C.S.), si collima un generico punto P e si esegue la lettura l a un indice del cerchio graduato orizzontale; si capovolge il cannocchiale e ruotando l alidada si mette lo strumento in modo che il cerchio verticale sia a destra (C.D.) e si collima nuovamente il punto P eseguendo la seconda lettura allo stesso indice. Il valore dell angolo cercato si ottiene con la formula: u l l se l 180 e se l 180 l ed l sono le letture coniugate. Corretta posizione dell indice zenitale Gli errori più temibili per la misura degli angoli verticali sono dovuti all errore dell indice zenitale e alla non verticalità dell asse primario. La non corretta posizione dell indice zenitale si verifica quando, supponendo di porre il cannocchiale in posizione verticale e di poter effettuare la corrispondente lettura, si ottiene un valore dell angolo diverso da zero, detto zenit strumentale.

18 Modulo 1 13 Per determinare l angolo correttamente senza effettuare la rettifica, le operazioni da eseguire sono le seguenti: con il cannocchiale avente il cerchio verticale alla sinistra (C.S.), si collima un generico punto P e si esegue la lettura l a un indice del cerchio graduato verticale; si capovolge il cannocchiale e, ruotando l alidada, si mette lo strumento in modo che il cerchio verticale sia a destra (C.D.) e si collima nuovamente il punto P eseguendo la seconda lettura allo stesso indice. l l 360 Il valore dell angolo cercato si ottiene con la formula: l ed l sono le letture coniugate. 2 l l 360 Il valore dello zenit si determina invece mediante la formula: z. 2 In alcuni strumenti il controllo della verticalità è affidato a una livella torica, detta livella zenitale, montata sugli indici di lettura del cerchio verticale e provvista di viti di rettifica, la cui sensibilità è maggiore di quella montata sull alidada oppure da dei particolari compensatori meccanici che, sfruttando le proprietà del pendolo, mantengono l indice del cerchio nella giusta posizione verticale anche se l asse principale non è perfettamente verticale Condizioni di costruzione Le condizioni che devono essere soddisfatte dalla casa costruttrice dei goniometri sono: 1. l asse primario deve essere perpendicolare al piano del cerchio orizzontale; se la condizione non è soddisfatta la lettura al cerchio orizzontale è affetta da un errore di non ortogonalità; 2. l asse secondario deve essere perpendicolare al piano del cerchio verticale; se la condizione non è soddisfatta la lettura al cerchio verticale è affetta da un errore di non ortogonalità; 3. l asse primario deve passare per il centro del cerchio orizzontale; se la condizione non è soddisfatta la lettura al cerchio orizzontale è affetta da un errore di eccentricità dell alidada; 4. l asse secondario deve passare per il centro del cerchio verticale; se la condizione non è soddisfatta la lettura al cerchio verticale è affetta da un errore di eccentricità del cannocchiale; 5. l asse di collimazione deve intersecare l asse primario; se la condizione non è soddisfatta la lettura al cerchio orizzontale è affetta da un errore di eccentricità dell asse di collimazione, mentre la lettura al cerchio verticale non risente in modo sensibile dell errore; 6. la graduazione dei cerchi, orizzontale e verticale, deve essere corretta; se la condizione non è soddisfatta la lettura al cerchio orizzontale e verticale è affetta da un errore di graduazione dei cerchi. Queste condizioni di esattezza sono verificabili e non rettificabili, ma si può eliminare l influenza negativa che hanno sulle misurazioni senza effettuare rettifiche. Nelle rettifiche che verranno esaminate si supporrà sempre che il cannocchiale sia capovolgibile, come in effetti lo è in tutti gli strumenti moderni. Condizione di non ortogonalità Le condizioni di non ortogonalità dell asse primario e secondario, forniscono degli errori nella misura degli angoli orizzontali e verticali del tutto trascurabili, in quanto le case costruttrici riescono a mantenere l errore di non ortogonalità entro dei limiti tali da non influenzare le misure angolari (un errore di non ortogonalità di 1 corrisponde a un errore di lettura ai cerchi di 0,004 ).

19 14 Modulo 1 Eccentricità dell alidada e del cannocchiale Consideriamo ora i casi dell eccentricità dell alidada e del cannocchiale. Se l asse primario (o l asse secondario) passa per il centro C del cerchio orizzontale (o verticale), ruotando l alidada (o il cannocchiale) e collimando un generico punto P, si esegue la lettura corretta l 1 ; se l asse, invece, passa per un punto C * con una eccentricità e CC *, si esegue la lettura l 1 * affetta dall errore e si ha: l 1 l 1 * e ( fig ). Considerando il triangolo qualunque PCC * si ha: sen e e rad e sen e e sen l r e e sen l r ma quindi figura 1.21 L errore assume un valore massimo per l 90 (o 270 ), quindi per sen l 1. Non si riesce a realizzare il centramento perfetto dei cerchi, ma le case costruttrici riescono a contenere l eccentricità e nell ordine di 0,001 mm; quindi, per un raggio del cerchio graduato r 50 mm l errore di misura angolare risulta essere di circa 4 ovvero 0 g,0013. Se l errore è trascurabile per gli strumenti meno precisi, non lo è per quelli più precisi; si può eseguire una lettura corretta solo se si dispone di un secondo indice di lettura diametralmente opposto; infatti, se il centramento è perfetto, all indice opposto si esegue la lettura l 2 ; se, invece, non lo è si esegue la lettura l 2 * affetta dall errore e si ha: l 2 l 2 * e quindi siccome l 1 l allora l 1 l 2 * e 180. Sommando membro a membro si ottiene: l 1 l 1 * l 1 l * l 1 l * 1 l 2 * 180 l 1 l 1* l 2 * Viene messo il segno positivo se l 1 7 l 2, negativo se l 1 6 l 2 come nel nostro caso. Effettuando la media delle letture agli indici diametralmente opposti si riesce a eliminare gli errori di misurazione degli angoli orizzontali e verticali dovuti all eccentricità dell alidada e del cannocchiale. Nei teodoliti moderni, con il metodo della coincidenza o quello della simmetria delle immagini, si ottiene la media automaticamente. osservazione Quando si calcola un angolo come differenza di due letture, l errore raddoppia. Eccentricità dell asse di collimazione Vediamo di esaminare il problema riguardante l imperfetta intersezione dell asse di collimazione con l asse primario.

20 Modulo 1 15 Un tempo alcuni strumenti avevano il cannocchiale appositamente eccentrico per poter avere notevoli ingrandimenti e per poter collimare punti molto alti. Negli strumenti moderni il cannocchiale si trova al centro e solo problemi di costruzione o di usura possono determinare questo tipo di problema. Collimando un generico punto P, senza l eccentricità, si esegue la lettura corretta l 1 ( fig ), se invece l asse di collimazione ha una eccentricità e CC * (posizione A) si esegue la lettura l 1 * affetta dall errore e si ha: l 1 l 1 * e. Considerando il triangolo rettangolo si ha: ma sen e e rad e PCC * sen e e D e quindi e. D L errore di misura angolare, considerando l eccentricità e di 1 mm e una distanza D pari a 100 metri, vale circa 2 e non può essere trascurato. Allora a questo punto, si capovolge il cannocchiale e si ruota l alidada in senso orario fino ad effettuare nuovamente la collimazione del punto P ( fig ); quindi, si esegue una seconda lettura allo stesso indice, detta lettura coniugata, ottenendo una lettura l 2 se non c è l eccentricità o una lettura l 2 * affetta dall errore nel caso in cui ci fosse (posizione B), con l 2 l 2 * e. figura 1.22 figura 1.23 Analogamente a prima si ha: l 1 l quindi l 1 l 2 * e 180. Sommando membro a membro si ottiene: l 1 l* 1 l 1 l* l 1 l* 1 l * da cui si ottiene l 1 l 1 * l 2 * 180 2

21 16 Modulo 1 Viene messo il segno positivo se l 1 7 l 2, negativo se l 1 6 l 2 come nel nostro caso. Effettuando la media delle letture coniugate si riesce a eliminare l errore di misurazione degli angoli orizzontali dovuto all eccentricità dell asse di collimazione. osservazione Quando si calcola un angolo come differenza di due letture, l errore in genere è minore e si annulla se le distanze dei due punti rispetto al punto di stazione sono uguali. Imperfetta graduazione dei cerchi Per quanto riguarda l imperfetta graduazione dei cerchi, che dipende dalla suddivisione in parti non tutte uguali del cerchio graduato, si può affermare che questo errore, per gli strumenti moderni, ha un valore di circa 0,7 che non può essere ignorato. A differenza degli errori visti in precedenza, questo non può essere eliminato ma solo attenuato mediante l applicazione di opportuni procedimenti. Per poter ridurre gli effetti di questo errore si usano il metodo della reiterazione e il metodo della ripetizione, che consentono di effettuare la lettura dell angolo orizzontale, compreso tra due direzioni, su diversi settori del cerchio graduato orizzontale. Un teodolite si dice reiteratore ( fig ) quando il cerchio orizzontale è indipendente dal basamento e dall alidada; lo strumento presenta una vite che consente il fissaggio dell alidada con il basamento. Un teodolite si dice ripetitore ( fig ) se ha due viti, una che consente il fissaggio dell alidada con il cerchio orizzontale e l altra che consente il fissaggio del cerchio orizzontale con il basamento. Le due vite funzionano nel seguente modo: con le due viti bloccate lo strumento non ruota attorno al suo asse primario; sbloccando la vite alidada-cerchio orizzontale, ruotando lo strumento, il cerchio orizzontale ruota insieme all alidada e quindi le letture degli angoli orizzontali non possono essere eseguite perché rimane invariata; sbloccando la vite cerchio orizzontale-basamento, ruotando lo strumento, il cerchio orizzontale rimane fermo e quindi è possibile effettuare le letture degli angoli orizzontali. Metodo della ripetizione Prima di illustrare il metodo, per semplicità chiameremo: vite 1 la vite cerchio orizzontale-basamento vite 2 la vite alidada-cerchio orizzontale Per misurare l angolo orizzontale ˆ si opera nel seguente modo: a. con la vite 1 bloccata e la vite 2 sbloccata, dal punto di stazione O si collimano i punti A e B effettuando le relative letture e, in questo modo 1 l I I B l A ( fig ); AOB l A I l B I figura 1.24 figura 1.25

22 Modulo 1 17 una volta effettuata la seconda lettura cioè I l B si sblocca la vite 1 e si blocca la vite 2; quindi, si ritorna a collimare il punto A; b. una volta collimato il punto A (dopo aver ruotato in senso antiorario di un angolo pari a 1 ) ( fig. 1.27) non si esegue la sua lettura in quanto l II I A l B, ma si agisce ancora sulle viti bloccando la vite 1 e sbloccando la vite 2; quindi, si collima il punto B e si esegue la relativa lettura II. In questo modo 2 l II B l II A l II I l B B l B ; c. a questo punto si ripete il procedimento agendo sulle viti una prima volta per ritornare a collimare il punto A e agendo una seconda volta per collimare il punto B ( fig ) ed III eseguire la terza lettura ; si avrà: l III II l B A l B e quindi 3 l III B l III A l III II B l B. Supponendo di fermarci a tre ripetizioni, l angolo che si vuole ricavare sarà: l B I l A I 2 1l B II l B I 2 1l B III l B II 2 3 1l B III l A I 2 3 In generale, nel caso di n ripetizioni, la formula per il calcolo dell angolo cercato è: ln B l I A Questo metodo è preciso (perché può essere effettuato con solo due letture al cerchio), ma sconsigliato a causa del trascinamento del cerchio dovuto all usura e alle perturbazioni al treppiede; quindi, il suo uso è consigliato solo per gli strumenti meno precisi. n figura 1.26 figura 1.27 osservazione Se l indice di lettura passa per lo zero del cerchio graduato, la differenza è negativa e bisogna aggiungere un angolo giro ogni m volte che l indice è passato per lo zero, quindi: ln B l I A 1360 m2 n figura 1.28

23 18 Modulo 1 Metodo della reiterazione Con questo metodo si realizza la rotazione del cerchio graduato in modo indipendente dall alidada mediante una vite oppure a mano. Volendo misurare l angolo orizzontale ˆ si opera nel seguente modo: a. lasciando fermo il cerchio, dal punto di stazione O si collimano i due punti A e B eseguendo le corrispondenti lettura al cerchio graduato l A e l B, in questo modo I I I 1 l B l I A ;; sempre collimando B si ruota il cerchio graduato di un valore pari a circa con n numero delle reiterazioni previste; 360 n II II b. si esegue la seconda lettura l B e, collimando il punto A, si esegue la seconda lettura l A ; quindi si avrà 2 l II II B l A, poi sempre collimando il 360 punto A si ruota ancora di un valore pari a circa n ; c. a questo punto si ripete il procedimento eseguendo la terza lettura l A e collimando il punto B si esegue la lettura III ottenendo 3 l III III B l A e così via. l B III AOB L errore di graduazione si compensa leggendo lo stesso angolo su più parti del cerchio ( fig ). Facendo tre reiterazioni, l angolo che si vuole ricavare sarà: figura l B I l A I 2 1l B II l A II 2 1l B III l A III 2 3 1l B I l B II l B III 2 1l A I l A II l A III 2 3 In generale, nel caso di n reiterazioni, la formula per il calcolo dell angolo cercato è: l B l A n Il metodo della reiterazione è più semplice e rapido, ma meno preciso. osservazione Con i metodi della reiterazione e della ricezione si possono ridurre anche gli errori di collimazione o di puntamento e gli errori di lettura quando si stimano gli angoli. Gli errori residui di rettifica e la regola di Bessel Si è visto che l errore di verticalità non è eliminabile; quello di non ortogonalità, anche se non è eliminabile, è trascurabile. Rimangono pur sempre degli errori, detti errori residui di rettifica, che riguardano: l errore di collimazione; l errore di inclinazione; l errore di eccentricità dell alidada; l errore di eccentricità del cannocchiale. Per poter eliminare questi errori residui oppure nell ipotesi di non aver potuto o voluto effettuare le rettifiche di cui sopra, si usa la regola di Bessel secondo la quale: per misurare un angolo orizzontale compreso tra due direzioni si deve effettuare per ogni punto collimato la media aritmetica delle due letture la I e la II agli indici diametralmente opposti con il cannocchiale in posizione (C.S.) e delle due letture la III e la IV agli stessi indici con il cannocchiale in posizione (C.D.).

24 Modulo La misura fotografica ed elettronica degli angoli I teodoliti moderni sono strutturati in modo da effettuare le letture angolari in modo differente dai teodoliti ottico-meccanici; in alcuni casi cambia solo il tipo di lettura, in altri cambia anche la struttura del cerchio goniometrico in cui non sono più presenti i tratti e i numeri rappresentanti la graduazione. Tra i metodi si possono ricordare : metodo di lettura fotografica, attraverso cui la lettura degli angoli viene fatta a tavolino in quanto a ogni collimazione viene fotografata la porzione di cerchio interessato dall indice di lettura e la livella dello strumento per verificare anche la condizione di rettifica; la fotografia, una volta sviluppata, viene osservata mediante un micrometro ottico a lastra pian-parallela; metodo di lettura a codice, attraverso cui il cerchio presenta una graduazione a codice costituita da rettangolini neri su sfondo bianco, aventi diverse larghezze e lunghezze; a ogni collimazione è sufficiente premere un bottone per azionare la relativa ripresa fotografica (si possono effettuare diverse centinaia di registrazioni per ogni pellicola); L indice di lettura è sostituito da una cellula fotoelettrica per l interpretazione dei rettangolini e per il conteggio dei tratti compresi nell intervallo di misura; metodo di lettura digitale, il cui procedimento di lettura è simile al precedente, ma con la differenza che il cerchio goniometrico in questo caso è costituito da tratti trasparenti alla luce alternati a tratti opachi. La lettura elettronica fornisce anche il valore degli angoli diametralmente opposti e prende in considerazione anche tutta la superficie del cerchio in modo da eliminare rispettivamente l errore di eccentricità dell alidada e l errore di graduazione. esercizio svolto 1 Determinare il valore degli angoli in gradi sessagesimali, al cerchio verticale e al cerchio orizzontale, nel seguente micrometro a stima: V H Soluzione Cerchio verticale: sulla scala principale si legge 86 40, si stimano 5, quindi Cerchio orizzontale: sulla scala principale si legge 275, si stimano 8, quindi

25 32 Modulo 1 esercizio svolto 2 Determinare il valore degli angoli in gradi centesimali, al cerchio verticale e al cerchio orizzontale, nel seguente micrometro a stima: V H Soluzione Cerchio verticale: sulla scala principale si legge 96 g 60 c, si stimano 5 c, quindi 96 g 65 c. Cerchio orizzontale: sulla scala principale si legge 344 g 50 c, si stimano 3 c, quindi 344 g 53 c. esercizio svolto 3 Determinare il valore degli angoli in gradi sessagesimali, al cerchio verticale e al cerchio orizzontale, nel seguente micrometro a stima: V H Soluzione Cerchio verticale: sulla scala principale si legge , si stimano 00, quindi Cerchio orizzontale: sulla scala principale si legge , si stimano 25, quindi