ARITMETICA - GEOMETRIA 1

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2 ROBERTO VACCA BRUNO ARTUSO CLAUDIA BEZZI ARITMETICA - GEOMETRIA 1 ISBN Edizione Direzione Editoriale: Progetti di Editoria s.r.l. Redazione: Domenico Gesmundo, Mario Scalvini Coordinamento edizione digitale: Roberto Rustico Progetto grafico: Ufficio Tecnico Atlas Fotocomposizione, impaginazione e disegni: GIERRE, Bergamo Copertina: Vavassori & Vavassori Illustrazioni: Bruno Dolif Stampa: Grafica Veneta - Trebaseleghe (PD) Con la collaborazione della Redazione e dei Consulenti dell'i.i.e.a. La casa editrice ATLAS opera con il Sistema QualitaÁ conforme alla nuova norma UNI EN ISO 9001:2008 certificato da CISQ CERTICARGRAF Il presente volume eá conforme alle nuove Indicazioni Nazionali e alle nuove disposizioni ministeriali in merito alle caratteristiche tecniche e tecnologiche dei libri di testo. Si ringraziano le prof.sse Carla Melzani, Barbara Vanzani ed Elisabetta Zampiceni per la collaborazione editoriale. In particolare si ringrazia la prof.ssa Ivana Durante per la realizzazione dei video che accompagnano come "assistente digitale" la spiegazione dei concetti fondamentali dell'intero capitolo. Per eventuali e comunque non volute omissioni o per gli aventi diritto tutelati dalla legge, l'editore dichiara la propria disponibilitaá. Ogni riproduzione del presente volume eá vietata. Le fotocopie per uso personale del lettore possono essere effettuate nei limiti del 15% di ciascun volume/fascicolo di periodico dietro pagamento alla SIAE del compenso previsto dall'art. 68, commi 4e 5, della legge 22 aprile 1941 n Le fotocopie effettuate per finalitaá di carattere professionale, economico o commerciale o comunque per uso diverso da quello personale possono essere effettuate a seguito di specifica autorizzazione rilasciata da CLEARedi, Centro Licenze e Autorizzazioni per le Riproduzioni Editoriali, Corso di Porta Romana 108, Milano, autorizzazioni@clearedi.org e sito web Questo volume eá disponibile anche in versione digitale. Per scaricarla: 1. prendi nota del codice stampato sul bollino, presente in questa pagina solo sulle copie destinate alla vendita; 2. segui le istruzioni sul sito della Casa Editrice Q 2014by ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS Bergamo - Via Crescenzi, 88 - Tel. (035) Fax (035)

3 PREFAZIONE Un'opera mista e digitale per una nuova didattica della matematica Il corso "Noi matematici" eá un libro misto e digitale che nasce dalla necessitaá di accogliere tutte le esigenze didattiche ed editoriali che il nuovo scenario della Scuola Italiana esige dall'insegnamento della matematica oggi. EÁ un progetto didattico frutto di una pluriennale esperienza nella scuola sia sotto il profilo dell'insegnamento che sotto quello della ricerca e dell'aggiornamento. Le riforme avviate negli ultimi anni valorizzano, ancor piuá che nel passato, la funzione culturale e formativa della matematica, ponendola al centro del curriculum formativo dello studente ed assegnandole ampie finalitaá formative. Oggi e nel futuro prossimo, infatti, la societaá avraá sempre piuá bisogno di cittadini che siano "competenti" dal punto di vista matematico per essere in grado di munirsi degli strumenti per affrontare una societaá molto complessa e in rapido cambiamento, dove l'informazione disponibile ha raggiunto livelli esponenziali. In tale contesto un corso di matematica, secondo le indicazioni ministeriali e le attese generali, deve avere alcune caratteristiche indispensabili: n stimolare la comprensione e l'interesse e per questo deve essere scritto in un linguaggio chiaro, semplice, accattivante e soprattutto comprensibile per uno studente di etaá intorno agli anni n far capire percheâ gli strumenti matematici sono indispensabili nell'affrontare e risolvere problemi n far capire come il linguaggio e i concetti della matematica sono presenti nel mondo che ci circonda per cui eá indispensabile essere in grado di "matematizzare" la realtaá n essere ricco di esempi, dai piuá semplici che servono per imparare ad usare formule o comprendere concetti, a quelli piuá complessi nei quali le formule e i concetti si applicano n proporre un abbondante repertorio di esercizi, opportunamente graduati, non ripetitivi e non banali, che stimolino il ragionamento e la riflessione n mettere in grado lo studente di autovalutare il proprio livello di preparazione, di capire gli errori commessi, in modo da renderlo consapevole delle proprie competenze n utilizzare gli strumenti che la tecnologia informatica mette a disposizione della didattica, ovvero gli strumenti integrativi digitali da usare individualmente o per le lezioni con la Lavagna Interattiva Multimediale. Struttura dell'opera Il corso Noi matematici eá un progetto didattico che favorisce le esigenze legate alla programmazione personale del Docente e tiene conto del problema del tetto di spesa e del peso, secondo le norme vigenti. Per questo si compone di tre volumi uno per ciascun anno di corso. Ogni volume si articola in capitoli e ogni capitolo eá suddiviso in paragrafi. Nella pagina iniziale di ogni capitolo sono espressamente dichiarati i Prerequisiti, indispensabili per affrontare in modo consapevole e con successo i contenuti, e gli Obiettivi che si vogliono conseguire, suddivisi in Conoscenza e AbilitaÁ. Allegati alla collana, tre volumi dal titolo Laboratorio per le competenze, uno per ogni anno, contenenti: n le prove INVALSI somministrate nel corso degli anni e divise per capitolo n una serie di attivitaá di carattere pluridisciplinare sempre organizzate per capitolo e dirette al graduale sviluppo delle Competenze previste dalle Indicazioni Nazionali per il curricolo. La proposta editoriale "Noi matematici" si completa con un'edizione specifica triennale per i Bisogni Educativi Speciali, in particolare per chi soffre di discalculia. Contenuti e impostazione didattica La parte teorica tratta i concetti in modo chiaro ed esaustivo e, per facilitare la comprensione dei contenuti, evidenzia con chiarezza le "Definizioni", le"proprietaá" e le"regole". Ogni capitolo eá corredato da numerosi Esempi svolti ed esercizi, nella rubrica "Verifica se hai capito": inseriti al termine di ogni paragrafo, essi mirano a verifi- 2 PREFAZIONE

4 care le conoscenze fondamentali e il Docente puoá proporli agli alunni subito dopo la spiegazione. Ogni capitolo eá inoltre arricchito da un vastissimo repertorio di esercizi e problemi suddivisi in relazione alla scansione dei paragrafi della teoria; gli esercizi sono stati raggruppati in tre livelli di difficoltaá (ben riconoscibili dalla grafica) e comunque graduati nei vari paragrafi. Il presente volume propone numerosissimi esercizi nella versione a stampa; a questi se ne aggiungono moltissimi altri nella versione digitale. All'interno dei paragrafi sono presenti numerosi esercizi, denominati "Laboratorio delle competenze", volti a verificare la capacitaá degli alunni di saper applicare i concetti matematici in ambito scientifico, logico e creativo. Al termine di ogni capitolo eá presente una Verifica sommativa che permette all'alunno di verificare il livello di preparazione raggiunto in vista della prova di verifica proposta dal Docente. Sono inoltre previsti Esercizi di recupero che servono a puntualizzare e chiarire le nozioni minime di base che devono essere possedute da tutti gli alunni, anche quelli che presentano maggiori difficoltaá nell'apprendimento dei contenuti. Ciascun capitolo termina con le rubriche: n Math in English: sono esercizi di matematica in lingua inglese n Gare di matematica: sono esercizi assegnati nelle varie competizioni nazionali e internazionali di matematica; suddivisi in relazione alle scansioni dei contenuti dei testi, sono destinati in particolare agli studenti piuá capaci che vogliono mettersi alla prova con contenuti ed esercizi piuá complessi e con proposte piuá creative n OCSE-PISA: in questa rubrica, presente in quasi tutti i capitoli, sono stati inseriti esercizi proposti nei testi di valutazione elaborati dall'ocse (Organizzazione per la cooperazione e lo sviluppo economico) all'interno del progetto PISA (Programme for International Student Assessment), che intende valutare il livello di competenze matematiche in piuá di 60 Nazioni. Gli esercizi proposti richiedono la capacitaá dello studente di pianificare strategie di soluzione e di applicarle in ambiti matematici piuá complessi e meno familiari. Versione digitale ebook+ per computer, tablet e LIM con contenuti digitali integrativi ed espansioni multimediali Alla luce delle nuove Indicazioni Nazionali e disposizioni ministeriali, "Noi matematici" eá un'opera mista e digitale per computer, tablet e LIM. Nelle varie parti di ogni capitolo eá infatti presente un apposito simbolo che segnala la disponibilitaá sulla versione digitale ebook+ di contenuti digitali integrativi ed espansioni multimediali. In particolare: Video introduttivo: attraverso aneddoti e informazioni tratti dalla realtaá di tutti i giorni, ha lo scopo di trovare un collegamento tra i contenuti del capitolo e l'esperienza personale degli alunni Assistente digitale: ripropone in formato digitale e con l'aiuto di un commento vocale i contenuti del capitolo. EÁ suddiviso in tre sezioni: la prima parte presenta la teoria ripercorrendo i contenuti del capitolo con esempi e utili suggerimenti; la seconda parte eá ricca di esercizi guidati spiegati in maniera dettagliata; la terza parte, denominata Prova tu invita l'alunno a risolvere una serie di esercizi con la possibilitaá di verificare la correttezza del lavoro svolto Guida allo studio: unfile audio guida l'alunno al ripasso delle definizioni, regole e proprietaá di riferimento Perche studiare: eá una rubrica che permette di porre in relazione i contenuti propri del capitolo con il vissuto del ragazzo (motivazione iniziale) Link interno: permette il collegamento fra diverse componenti del volume (ad esempio teoria, esercizi, esercizi-soluzioni) Scheda di approfondimento: amplia i contenuti del capitolo con schede storiche sui principali protagonisti della storia della matematica e su alcuni temi affascinanti e interessanti. Non mancheranno, inoltre, curiositaá e aneddoti, che servono a rendere piuá accattivante l'approccio al sapere matematico Mappa concettuale: la parte di teoria si chiude con la presenza di una scheda di ripasso che riprende i Concetti chiave studiati nel capitolo Informatica: eá una espansione di cui un moderno corso di matematica non puoá fare a meno. I programmi aggiornati GeoGebra e OpenOffice applicati ai capitoli di Geometria e Aritmetica, portano progressivamente gli alunni ad integrare e completare i contenuti del capitolo Ulteriori esercizi: completano la giaá ricca dotazione di esercizi presenti nel testo; anche questi esercizi sono suddivisi per livello di difficoltaá PREFAZIONE 3

5 Gare di matematica: in questa espansione piuá di 160 esercizi integrano i giaá numerosi esercizi presenti nel volume a stampa e rappresentano un valido strumento per la valorizzazione delle eccellenze Test interattivo di conoscenza: puoá essere utilizzato dallo studente per testare il proprio livello di conoscenze raggiunto Verifica di abilitaá: costituisce un utile strumento per mettere alla prova le proprie abilitaá prima di dover affrontare la prova di verifica del Docente Valutazione del recupero: a conclusione dell'attivitaá di recupero eá presente una scheda di verifica per l'accertamento delle conoscenze e delle abilitaá di base Aiuto alla soluzione: permette di svolgere con piuá facilitaá gli esercizi piuá complessi del recupero. Contenuti digitali integrativi disponibili sul sito della Casa Editrice Alcuni contenuti digitali integrativi della versione ebook+ sono disponibili anche sul sito della Casa Editrice. Essi sono contrassegnati, sul testo cartaceo, con il simbolo. In particolare si tratta di: Verifiche delle abilitaá Valutazione del recupero Schede di approfondimento. Materiali per il Docente Per i Docenti che adottano l'opera sono disponibili: n la guida didattica a stampa e in formato pdf nell'area riservata del sito della Casa Editrice e su chiavetta USB n un DVD con i contenuti digitali integrativi e le espansioni multimediali per le lezioni con la LIM n un eserciziario digitale su chiavetta USB che propone tutti gli esercizi presenti nella guida didattica con la possibilitaá di comporre prove di verifica o compiti da assegnare a casa n le presentazioni in PowerPoint per ogni capitolo sulle principali definizioni, proprietaá e regole. Sono inoltre disponibili i file sorgente dei programmi GeoGebra e OpenOffice a supporto delle espansioni di informatica. Il LABORATORIO DI MATEMATICA PER LO SVILUPPO DELLE COMPETENZE e preparazione alle PROVE INVALSI comprende attivitaá strutturate in funzione dei Traguardi per lo sviluppo delle competenze della disciplina, articolate in proposte di lavoro ed esercizi collegati agli Obiettivi di apprendimento previsti dalle nuove Indicazioni Nazionali. Le schede di lavoro sono suddivise secondo tre macro categorie: l Matematica e scienze l Matematica e realtaá l Matematica creativa Come contributo alla preparazione della Prova Nazionale INVALSI di Matematica, in questo quaderno operativo vengono proposte, per ciascun anno, alcune prove per esercitare le proprie abilitaá e conoscenze in previsione della prova finale. I testi dei Giochi Matematici che compaiono alla fine di ogni capitolo sotto la rubrica "Gare di Matematica" sono stati gentilmente forniti dal Centro Pristem-Eleusi dell'universitaá Bocconi di Milano e si riferiscono alle competizioni matematiche organizzate dallo stesso Centro. 4 PREFAZIONE

6 INDICE GENERALE 1. GLI INSIEMI 1. Il concetto di insieme La rappresentazione di un insieme Il concetto di sottoinsieme Intersezione e unione di insiemi L'intersezione L'unione 20 Esercizi e problemi 23 Math in English 35 Gare di Matematica 35 Verificasommativa 36 Esercizi di recupero NUMERI NATURALI E DECIMALI 1. Il sistema di numerazione decimale 40 Approfondimenti Antichi sistemi di numerazione L'insieme dei numeri naturali I numeri decimali La rappresentazione dei numeri decimali Il confronto di numeri decimali 47 Esercizi e problemi 49 Math in English 63 Gare di Matematica 63 Verificasommativa 64 Esercizi di recupero 65 n Approfondimenti: l Gli sviluppi della teoria degli insiemi 14 n Verifica delle abilitaá n Valutazione del recupero n Approfondimenti: l Alla conquista dei numeri 40 l Antichi sistemi di numerazione: Babilonesi ed Egizi 42 n Verifica delle abilitaá n Valutazione del recupero INDICE 5

7 3. LE OPERAZIONI CON I NUMERI 1. L'addizione L'addizione in colonna Le proprietaá dell'addizione La sottrazione La sottrazione in colonna 74 Approfondimenti I numeri relativi La proprietaá invariantiva della sottrazione La moltiplicazione La moltiplicazione in colonna La moltiplicazione per 10; 100; 1000 e per 0,1; 0,01; 0, Le proprietaá della moltiplicazione La divisione Le divisioni per 10; 100; Le proprietaá della divisione Le espressioni numeriche 89 Esercizi e problemi 91 Math in English 116 Gare di Matematica 116 Verificasommativa 117 Esercizi di recupero 118 OCSE - PISA I PROBLEMI MATEMATICI 1. Che cosa eá un problema matematico La comprensione del testo La definizione dei dati e delle incognite La scelta del metodo di risoluzione Il metodo delle operazioni aritmetiche Il metodo grafico 126 Esercizi e problemi 129 Math in English 141 Gare di Matematica 142 Verificasommativa 143 Esercizi di recupero 144 OCSE - PISA 146 n Approfondimenti: l Tanti modi per risolvere un problema 122 n Verifica delle abilitaá n Valutazione del recupero n Approfondimenti: l Il quadrato magico "rotas" 69 l Le moltiplicazioni nella storia 77 l Le divisioni per 0,1; 0,01; 0, n Verifica delle abilitaá n Valutazione del recupero 6 INDICE

8 5. DALLE POTENZE AI NUMERI BINARI 1. La potenza di un numero Le espressioni con le potenze Le proprietaá delle potenze Le potenze con 0 e La notazione scientifica e l'ordine di grandezza La numerazione binaria 156 Approfondimenti Le quattro operazioni nel sistema binario 158 Esercizi e problemi 160 Math in English 178 Gare di Matematica 178 Verificasommativa 179 Esercizi di recupero 180 n Approfondimenti: l Gli scacchi e le potenze 148 l Le teorie di Thomas Malthus 148 l Il sistema binario e l'informatica 156 l Sistemi di numerazione con altre basi 156 n Verifica delle abilitaá n Valutazione del recupero 6. LA DIVISIBILITA Á 1. Multipli e divisori di un numero Multipli di un numero Divisori di un numero I criteri di divisibilitaá Numeri primi e numeri composti La scomposizione in fattori primi L'insieme dei divisori di un numero Il criterio generale di divisibilitaá Massimo Comune Divisore (M.C.D.) Il calcolo del M.C.D. mediante la scomposizione in fattori primi Minimo comune multiplo (m.c.m.) Il calcolo del m.c.m. mediante la scomposizione in fattori primi I problemi e il calcolo di M.C.D. e m.c.m. 200 Esercizi e problemi 202 Gare di Matematica 219 Verificasommativa 220 Esercizi di recupero 221 OCSE - PISA 223 n Approfondimenti: l Altri criteri di divisibilitaá 186 l Eulero e i numeri primi 188 l La ricerca del numero primo piuá grande 188 l Il M.C.D. con il metodo delle divisioni successive 196 l Il m.c.m. con il metodo delle divisioni successive 199 n Verifica delle abilitaá n Valutazione del recupero INDICE 7

9 7. I NUMERI RAZIONALI 1. La frazione come operatore La rappresentazione delle frazioni su una semiretta orientata I problemi con le frazioni La classificazione delle frazioni Le frazioni equivalenti La semplificazione di una frazione La trasformazione di una frazione in un'altra equivalente di denominatore dato La trasformazione di piuá frazioni allo stesso minimo comune denominatore (m.c.d.) Il confronto di frazioni 241 Esercizi e problemi 243 Math in English 259 Gare di Matematica 259 Verificasommativa 260 Esercizi di recupero 261 OCSE - PISA LE OPERAZIONI CON LE FRAZIONI 1. L'addizione di frazioni La sottrazione di frazioni La frazione complementare Le espressioni con addizioni e sottrazioni La moltiplicazione di frazioni Le frazioni reciproche La divisione di frazioni La potenza di una frazione Le proprietaá delle potenze Le espressioni con tutte le operazioni I problemi con le frazioni 277 Esercizi e problemi 280 Math in English 309 Gare di Matematica 309 Verificasommativa 310 Esercizi di recupero 311 OCSE - PISA 313 n Approfondimenti: l Le frazioni e le note musicali 225 n Verifica delle abilitaá n Valutazione del recupero n Approfondimenti: l Il calcolo con le frazioni nella storia 266 n Verifica delle abilitaá n Valutazione del recupero 8 INDICE

10 9. LA RAPPRESENTAZIONE DEI DATI 1. Gli ideogrammi Gli istogrammi Gli areogrammi I diagrammi cartesiani 319 Esercizi e problemi 322 Math in English 331 Verificasommativa 332 Esercizi di recupero 334 OCSE - PISA 336 n Approfondimenti: l Ideogrammi e cartogrammi 315 n Verifica delle abilitaá n Valutazione del recupero 10. LA MISURA DELLE GRANDEZZE 1. Misurare una grandezza Il Sistema Internazionale di misura La misura della lunghezza La misura della superficie Le misure agrarie La misura del volume La misura della capacitaá 347 Approfondimenti Relazione fra litri e decimetri cubi La misura della massa 349 Approfondimenti La massa e il peso di un corpo Il peso specifico I problemi con il peso specifico La misura degli angoli Le operazioni con le misure angolari Le misure di tempo Le operazioni con le misure di tempo 358 Esercizi e problemi 360 Math in English 382 Gare di Matematica 382 Verificasommativa 383 Esercizi di recupero 384 OCSE - PISA 386 n Approfondimenti: l Approssimazione e misure 339 l Le unitaá di misura anglosassoni 340 n Verifica delle abilitaá n Valutazione del recupero INDICE 9

11 11. I PRIMI ELEMENTI DELLA GEOMETRIA 1. Gli enti geometrici fondamentali Il rapporto tra gli enti geometrici fondamentali Gli assiomi della geometria La semiretta e il segmento Il confronto tra due segmenti Le operazioni con i segmenti Il piano cartesiano Il punto medio di un segmento Gli angoli Angoli particolari Angoli consecutivi, adiacenti e opposti al vertice Il confronto fra due angoli Le operazioni con gli angoli Angolo retto, acuto, ottuso Angoli complementari, supplementari, esplementari 405 Esercizi e problemi 406 Math in English 421 Gare di Matematica 421 Verificasommativa 422 Esercizi di recupero 423 OCSE - PISA PERPENDICOLARITA Á E PARALLELISMO 1. Le rette perpendicolari Le rette parallele I criteri di parallelismo 430 Esercizi e problemi 432 Math in English 440 Gare di Matematica 440 Verificasommativa 441 Esercizi di recupero 442 n Approfondimenti: l Oltre la geometria euclidea 429 l Eratostene e la misura della Terra 431 n Verifica delle abilitaá n Valutazione del recupero n Approfondimenti: l Euclide 388 l Le illusioni ottiche 391 n Verifica delle abilitaá n Valutazione del recupero 10 INDICE

12 13. I POLIGONI 1. Le caratteristiche dei poligoni Tipi di poligoni Le diagonali di un poligono Le proprietaá dei poligoni La relazione fra i lati di un poligono La somma degli angoli interni di un poligono La somma degli angoli esterni di un poligono 451 Approfondimenti Spezzate e poligoni nel piano cartesiano 452 Esercizi e problemi 454 Math in English 468 Gare di Matematica 468 Verificasommativa 469 Esercizi di recupero 470 OCSE - PISA 472 n Approfondimenti: l La tassellatura del piano 445 n Verifica delle abilitaá n Valutazione del recupero 14. I TRIANGOLI 1. Gli elementi di un triangolo La classificazione dei triangoli Triangoli rettangoli particolari Linee particolari e punti notevoli del triangolo Le tre altezze e l'ortocentro Le tre mediane e il baricentro Le tre bisettrici e l'incentro I tre assi e il circocentro Linee e punti notevoli nei triangoli particolari La congruenza dei triangoli I criteri di congruenza dei triangoli rettangoli 487 Esercizi e problemi 489 Math in English 508 Gare di Matematica 508 Verificasommativa 509 Esercizi di recupero 510 OCSE - PISA 512 n Approfondimenti: l Come si costruisce una cartina geografica 474 l Il baricentro e la stabilitaá 480 l La retta di Eulero 483 n Verifica delle abilitaá n Valutazione del recupero INDICE 11

13 15. I QUADRILATERI 1. Le caratteristiche generali di un quadrilatero Il trapezio Il parallelogrammo Il deltoide 520 Esercizi e problemi 521 Math in English 543 Gare di Matematica 543 Verificasommativa 544 Esercizi di recupero 545 n Approfondimenti: l Il quadrilatero articolato 514 n Verifica delle abilitaá n Valutazione del recupero 16. LE TRASFORMAZIONI ISOMETRICHE 1. Congruenza diretta e inversa La traslazione 550 Approfondimenti La composizione di traslazioni La rotazione 552 Approfondimenti La composizione di rotazioni concentriche La simmetria assiale La simmetria centrale 556 Approfondimenti La composizione di simmetrie La simmetria e i poligoni 559 Esercizi e problemi 562 Math in English 580 Gare di Matematica 580 Verificasommativa 581 Esercizi di recupero 583 n Approfondimenti: l Le trasformazioni isometriche nell'arte 548 l Giochiamo con le monete 550 l La simmetria nel corpo umano 554 n Verifica delle abilitaá n Valutazione del recupero Soluzioni gare di matematica 585 Soluzioni verifiche sommative 587 Tavole numeriche INDICE

14 Capitolo 1 gli insiemi Prerequisiti Leggere e comprendere un testo Conoscere i concetti base sulle figure geometriche e i numeri Obiettivi CONOSCENZE Il concetto di insieme matematico La rappresentazione di un insieme Il concetto di sottoinsieme Le operazioni con gli insiemi Il pubblico di uno stadio, opportunamente diviso in insiemi distinti di tifosi, puoá formare curiose rappresentazioni grafiche. & realtà matematica realtà ABILITAÁ Costruire e rappresentare insiemi Definire e rappresentare un sottoinsieme Operare con gli insiemi VIDEO INTRODUTTIVO ASSISTENTE DIGITALE PERCHÉ STUDIARE

15 1 Il concetto di insieme APPROFONDIMENTO Gli sviluppi della teoria degli insiemi In matematica con la parola insieme si intende un raggruppamento, una collezione, una raccolta di oggetti di qualsiasi natura che siano individuabili in modo certo. Un insieme di insetti prende il nome di sciame. DEFINIZIONE. Per insieme matematico si intende un raggruppamento di elementi che possono essere individuati con assoluta certezza. Gli insiemi matematici vengono indicati con una lettera maiuscola dell'alfabeto: A B C D ::::: Gli oggetti che formano un insieme si chiamano elementi di quell'insieme e vengono indicati con le lettere minuscole: a b c d :::: Per chiarire meglio quando eá possibile parlare di insieme matematico consideriamo i seguenti esempi. n Le cittaá «Bari, Brindisi, Foggia, Lecce, Taranto» rappresentano un insieme poicheâ gli elementi dell'insieme sono specificati in modo preciso e sono elencati uno per uno. n «Le cittaá piuá belle d'italia» non rappresentano un insieme matematico poicheâ non eá possibile stabilire con certezza, e in modo universalmente chiaro, quali elementi appartengono all'insieme, in quanto i giudizi sulla bellezza variano da persona a persona. Per indicare che un elemento appartiene ad un insieme si usa il simbolo 2, si scrive a 2 A e si legge «l'elemento a appartiene all'insieme A». Quando si vuole indicare che un elemento non appartiene ad un insieme si utilizza lo stesso simbolo barrato: 62, si scrive b 62 A e si legge «l'elemento b non appartiene all'insieme A». In base al numero di elementi che compongono un insieme possiamo dire che: DEFINIZIONE. Un insieme si dice finito quando eá costituito da un numero limitato di elementi. I granelli di sabbia presenti su una spiaggia pur essendo molto numerosi formano un insieme finito di elementi. Esempi di insiemi finiti sono: l l l «i componenti della tua famiglia» «le cittaá capoluogo di regione» «le persone presenti sull'elenco telefonico della tua cittaá». Esempi di insiemi infiniti sono: l l l DEFINIZIONE. Un insieme si dice infinito quando eá costituito da un numero illimitato di elementi. «i punti di una retta» «i numeri naturali» «i numeri pari». 14 CAPITOLO 1 Gli insiemi

16 PuoÁ anche accadere che un insieme non contenga alcun elemento: DEFINIZIONE. Un insieme privo di elementi si dice vuoto e si indica con uno dei seguenti simboli: 1 oppure f g Per esempio, l'insieme formato da «gli uomini alti piuá di sei metri» eá un insieme vuoto. Diciamo infine che: DEFINIZIONE. Due insiemi sono uguali se sono formati dagli stessi elementi. Sono per esempio uguali l'insieme A formato dalle vocali della parola matite e l'insieme B costituito dalle vocali della parola alice percheâ entrambi sono formati dagli elementi a, e, i (indipendentemente dall'ordine con cui vengono presi). GUIDA ALLO STUDIO Verifica i se hai capito 1 Stabilisci quali delle seguenti affermazioni presentano una proprietaá che determina un insieme dal punto di vista matematico: a. l'insieme degli alunni bravi in matematica; b. l'insieme degli oggetti contenuti nella tua cartella; c. l'insieme dei calciatori di serie A; d. l'insieme degli alunni piuá alti della scuola. 2 Indica, nei vari casi, quali sono gli elementi che appartengono agli insiemi: a. i giorni della settimana; b. i mesi dell'anno di 28 (o di 29) giorni; c. le consonanti della parola computer; d. i numeri dispari maggiori di 3 e minori di Spiega qual eá il significato dei seguenti simboli: a. 2; b. 62; c. 1; d. f g. 4 Completa, inserendo la simbologia corretta, le seguenti relazioni: a. b eá un elemento dell'insieme A e si puoá scrivere sinteticamente nella forma b ::::: A; b. Genova eá una cittaá che non appartiene alla regione Lazio e si puoá scrivere sinteticamente nella forma Genova ::::: L; c. il numero 7 appartiene all'insieme dei numeri dispari e si puoá scrivere sinteticamente nella forma 7 ::::: D. 5 Considera l'insieme A formato dalle cittaá capoluogo di provincia della Toscana. Quale delle seguenti scritture eá esatta? a. Firenze 2 A; b. Empoli 62 A; c. Arezzo 62 A; d. Roma 2 A. 6 Considera l'insieme A degli alunni che frequentano una scuola e l'alunno Stefano Rossi della classe 1 a Bdi quella scuola; quali delle seguenti scritture sono corrette? a. Stefano Rossi 62 A; b. 1 a B 2 A; c. Stefano Rossi 2 1 a B. 7 Un insieme si dice finito quando: a. eá costituito da un numero illimitato di elementi; b. eá costituito da un numero limitato di elementi; c. eá privo di elementi. 8 Quali dei seguenti insiemi si possono considerare vuoti? a. Gli alunni della tua classe nati nell'anno 1990; b. le lettere dell'alfabeto italiano dopo la lettera b; c. gli abitanti del tuo quartiere che parlano cinese e russo. esercizi e problemi a pagina 23 CAPITOLO 1 Gli insiemi 15

17 Verifica i se hai capito 1 Si dice che A eá contenuto in B e si scrive A B se: a. ogni elemento di A appartiene anche all'insieme B ma non viceversa; b. ogni elemento di B appartiene anche all'insieme A; c. ogni elemento di A appartiene anche all'insieme B e viceversa. 2 Completa la seguente definizione: un insieme B si dice sottoinsieme proprio di un insieme A se... di B appartiene ad A ma c'eá... elemento di A che... a B. 3 Un insieme A eá sottoinsieme proprio di B se: a. alcuni elementi di B appartengono ad A; b. tutti gli elementi di A appartengono a B ma non viceversa; c. non tutti gli elementi di B appartengono ad A; d. non tutti gli elementi di A appartengono a B. 4 Un insieme A eá sottoinsieme improprio di B se: a. qualche elemento di A appartiene a B; b. tutti gli elementi di A appartengono a B; c. l'insieme A eá vuoto; d. l'insieme B eá vuoto. 5 Completa, inserendo la simbologia corretta, le seguenti relazioni: a. l'insieme B eá un sottoinsieme dell'insieme A e si puoá scrivere sinteticamente nella forma B ::::: A; b. l'insieme A include l'insieme B e si puoá scrivere sinteticamente nella forma A ::::: B; c. l'insieme A non eá sottoinsieme dell'insieme B e si puoá scrivere sinteticamente nella forma A ::::: B. 6 Scrivi la forma simbolica relativa alle seguenti affermazioni: a. B eá un sottoinsieme di A : B ::::: A; b. A non include B : A ::::: B; c. A eá contenuto in B : A ::::: B; d. B include A : B ::::: A; e. B eá un sottoinsieme proprio di A : B ::::: A. 7 Siano dati i seguenti insiemi: A ˆf1; 2; 3; 4; 5; 6g, B ˆf4; 5; 6g e C ˆf1; 2g. Stabilisci quali delle seguenti relazioni sono vere: a. B A; b. C 6 A; c. 1 C; d. f1; 2g 2C; e. A B; f. 1 2 B. esercizi e problemi a pagina 28 4 Intersezione e unione di insiemi Dati due o piuá insiemi, eá possibile eseguire alcune operazioni fra di essi che permettono di costruire un nuovo insieme. In questo paragrafo studiamo le due operazioni fondamentali: l'intersezione e l'unione. 4.1 L'intersezione Siano dati i due insiemi A ˆf5; 10; 12; 20g e B ˆf8; 10; 20g (figura 6a di pagina seguente). CAPITOLO 1 Gli insiemi 19

18 Figura 6a Consideriamo tutti gli elementi che appartengono contemporaneamente sia all'insieme A sia all'insieme B (cioeá gli elementi 10 e 20) e costruiamo il nuovo insieme C ˆf10; 20g che eá detto intersezione degli insiemi A e B. EÁ possibile rappresentare graficamente gli insiemi in un'unico diagramma di Eulero-Venn evidenziando il nuovo insieme (figura 6b). Figura 6b PiuÁ in generale possiamo affermare che: DEFINIZIONE. Dati due insiemi A e B, si dice intersezione di tali insiemi l'insieme C formato dagli elementi che appartengono contemporaneamente ad A e B. In simboli si scrive: C ˆ A \ B Se due insiemi A e B non hanno alcun elemento in comune, la loro intersezione eá l'insieme vuoto e si dice che A e B sono disgiunti. Il linguaggio della Matematica Disgiunti: staccati, separati; si dice di due insiemi che non hanno elementi comuni. In simboli, indichiamo due insiemi disgiunti con la scrittura A \ B ˆ L'unione Esaminiamo nuovamente i due insiemi A ˆf5; 10; 12; 20g e B ˆf8; 10; 20g (della figura 6a). Consideriamo ora tutti gli elementi che appartengono indifferentemente ad uno dei due insiemi (cioeá gli elementi 5, 8, 10, 12, 20) e costruiamo il nuovo insieme D ˆf5; 8; 10; 12; 20g che eá detto unione degli insiemi A e B (figura 7). PiuÁ in generale possiamo affermare che: Figura 7 DEFINIZIONE. Dati due insiemi A e B, si dice unione di tali insiemi quel nuovo insieme D formato dagli elementi che appartengono indistintamente ad A oab, presi una sola volta quando esistono elementi comuni. In simboli si scrive: D ˆ A [ B Va sottolineato che gli elementi comuni ai due insiemi non devono mai essere ripetuti. Considerando sempre gli insiemi A e B precedenti e ricordando quanto detto nel paragrafo 2 eá un grave errore scrivere: A [ B ˆf5; 8; 10; 10; 12; 20; 20g GUIDA ALLO STUDIO 20 CAPITOLO 1 Gli insiemi

19 1. Siano dati gli insiemi A ˆfx j x eá una lettera della parola mesig e B ˆfx j x eá una lettera della parola vasig. Determiniamo A \ B e A [ B. Come si puoá facilmente osservare dalla rappresentazione con il diagramma di Eulero-Venn (figura 8), la loro intersezione eá l'insieme A \ B ˆfx j x eá una lettera della parola "si"g; l'insieme unione eá invece l'insieme A [ B ˆfm; e; s; i; v; ag. Ancora una volta, osserviamo che gli elementi dell'insieme intersezione s e i, comuni ai due insiemi, non vengono ripetuti. Figura 8 Figura 9 2. Siano dati gli insiemi A ˆft; e; s; o; r; ig e B ˆfo; r; eg. Determiniamo A \ B e A [ B. Come si puoá facilmente osservare dalla rappresentazione con il diagramma di Eulero-Venn (figura 9) A \ B ˆ B ˆfo; r; eg. Se ne deduce allora che B A. L'unione dei due insiemi coincide invece con l'insieme A: A [ B ˆ A ˆft; e; s; o; r; ig. 3. Siano dati gli insiemi A ˆ fc; a; r; eg e B ˆ fc; e; r; ag. Determiniamo A \ B e A [ B. Come possiamo osservare dalla figura 10 i due insiemi sono formati dagli stessi elementi; avremo dunque: A \ B ˆ A ˆ B e A [ B ˆ A ˆ B. Figura Siano dati gli insiemi A ˆfa; b; c; d; eg e B ˆff ; g; h; i; lg. Determiniamo A \ B e A [ B. Dalla rappresentazione dei due insiemi con il diagramma di Eulero- Venn (figura 11) possiamo notare che essi non hanno elementi in comune e sono pertanto disgiunti. La loro intersezione eá A \ B ˆ 1. L'unione eá l'insieme A [ B ˆfa; b; c; d; e; f ; g; h; i; lg. Figura 11 Verifica i se hai capito 1 L'intersezione di due insiemi A e B eá l'insieme formato dagli elementi che appartengono: a. sia al primo sia al secondo insieme, ovvero dagli elementi comuni ai due insiemi; b. ad A oab ed anche ad entrambi gli insiemi; c. ad A oab. 2 L'unione di due insiemi A e B eá l'insieme formato dagli elementi che: a. appartengono o ad A oab; b. appartengono ad A o a B, quindi anche da quegli elementi che appartengono ad entrambi; c. appartengono contemporaneamente ai due insiemi A e B. CAPITOLO 1 Gli insiemi 21

20 3 Considera la rappresentazione grafica a lato e indica quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali sono false: a. l'insieme A eá sottoinsieme di B V F b. gli insiemi A e B non hanno alcun elemento in comune V F c. l'insieme unione di A e B eá dato da tutti gli elementi di A e da tutti gli elementi di B presi una sola volta. V F 4 Considera la rappresentazione grafica a lato e indica quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali sono false: a. l'insieme B eá sottoinsieme di A V F b. gli insiemi A e B hanno alcuni elementi in comune V F c. l'insieme unione eá dato da tutti gli elementi di B presi una sola volta V F d. gli insiemi A e B sono disgiunti V F e. l'insieme intersezione eá dato da tutti gli elementi di A. V F 5 Considera la rappresentazione grafica a lato e indica quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali sono false: a. gli insiemi A e B hanno alcuni elementi in comune V F b. l'insieme B eá un sottoinsieme di A V F c. l'insieme unione eá dato da tutti gli elementi di A e da tutti gli elementi di B V F d. l'insieme intersezione eá vuoto V F e. l'insieme intersezione eá dato da tutti gli elementi di A edib. V F 6 Considera la rappresentazione grafica a lato e indica quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali sono false: a. l'insieme C eá un sottoinsieme di B V F b. gli insiemi A e B non hanno alcun elemento in comune V F c. l'insieme intersezione C eá dato da tutti gli elementi comuni ad A e B. V F 7 Se l'insieme A eá un sottoinsieme proprio di B, quali delle seguenti scritture sono corrette? a. A [ B ˆ A; b. A \ B ˆ 1; c. A [ B ˆ B; d. A \ B ˆ B; e. A \ B ˆ A; f. A [ B ˆ 1. 8 Dati gli insiemi M ˆfa; b; c; d; eg, N ˆfc; d; e; f ; gg e K ˆff ; gg, quali delle seguenti relazioni sono corrette? a. M \ K ˆ 1; b. N [ K ˆ N; c. M [ N ˆfd; eg. 9 Completa i seguenti diagrammi di Eulero-Venn sulla base delle informazioni date: a. A \ B ˆf2; 3g; b. A ˆf1; 2; 3; 4g; c. A [ B ˆf1; 2; 3; 4; 5g. 10 Completa i seguenti diagrammi di Eulero-Venn sulla base delle informazioni date: a. C ˆf8; 9; 10; 12g; b. A \ B ˆf11; 12g; c A [ B; d A; e. 8 2 A; f B \ C; g C. esercizi e problemi a pagina 30 MAPPA CONCETTUALE 22 CAPITOLO 1 Gli insiemi

21 ESERCIZI E PROBLEMI 1 Il concetto di insieme teoria a pagina 14 1 Considera le seguenti figure geometriche: ULTERIORI ESERCIZI Forma alcuni insiemi utilizzando come elementi le figure proposte: indica il motivo della tua scelta. 2 Indica quali dei seguenti raggruppamenti rappresentano un insieme dal punto di vista matematico: a. le cittaá capoluogo di provincia della Campania; b. l'insieme degli alunni piuá bassi della tua classe; c. l'insieme delle vocali del tuo cognome; d. l'insieme degli oggetti contenuti nel tuo astuccio; e. l'insieme delle alunne piuá simpatiche della tua classe; f. l'insieme dei numeri dispari. 3 Tra le seguenti frasi stabilisci quali caratterizzano un insieme dal punto di vista matematico: a. i libri della famiglia Bianchi; b. i mesi dell'anno; c. le cittaá italiane lontane da Roma; d. le autovetture Fiat; e. i ragazzi magri della tua classe; f. i numeri naturali maggiori di Elenca gli elementi dei seguenti insiemi: a. l'insieme dei mesi dell'anno con 30 giorni; b. le consonanti della parola insegnante; c. i multipli di 7 compresi tra 12 e Elenca gli elementi dei seguenti insiemi: a. i numeri pari maggiori di 3 e minori di 10; b. gli alunni della tua classe il cui nome inizia per consonante; c. i libri di testo in uso nella tua classe. 6 Scrivi mediante la simbologia corretta le seguenti relazioni: a. 5 eá un elemento dell'insieme A; b. 15 non eá un elemento dell'insieme B; c. A eá un insieme vuoto. 7 Scrivi al posto dei puntini il simbolo mancante (appartiene o non appartiene): a. il gatto... all'insieme degli animali domestici; b. Roma... all'insieme delle cittaá del Piemonte; c. la Sicilia... all'insieme delle regioni italiane. Traduci le seguenti frasi nel linguaggio simbolico degli insiemi. 8 Il numero 2 non appartiene all'insieme dei numeri pari P.! 2 ::::: P 9 La cittaá di Roma appartiene all'insieme delle cittaá italiane C.! Roma ::::: C 10 La vocale a non appartiene alla parola computer C.! a ::::: C 11 Il numero 0,5 non appartiene all'insieme dei numeri dispari D.! 0,5 ::::: D CAPITOLO 1 Gli insiemi 23

22 12 Il pianeta Giove appartiene all'insieme dei pianeti del Sistema Solare S.! Giove ::::: S 13 Il Brasile non appartiene all'insieme delle nazioni della ComunitaÁ Europea E.! Brasile ::::: E 14 Napoli appartiene all'insieme delle cittaá della regione Campania C.! Napoli ::::: C 15 Il numero 5 appartiene all'insieme dei numeri dispari D.! 5 ::::: D 16 Considera l'insieme delle lettere che compongono la parola scuola. Utilizzando il simbolo di appartenenza e di non appartenenza, indica tre elementi che appartengono e tre elementi che non appartengono all'insieme dato. 17 Stabilisci quali dei seguenti insiemi sono finiti e quali sono infiniti: a. le note musicali; b. i mammiferi che depongono uova; c. i numeri superiori a 1000; d. le stelle dell'universo; e. i numeri che terminano con la cifra 3; f. i numeri naturali minori di miliardi. 18 Scrivi tre insiemi di cui uno finito, uno infinito e uno vuoto. 19 Stabilisci quali dei seguenti insiemi sono finiti, quali sono infiniti e quali sono vuoti: a. «l'insieme degli alunni della tua scuola»; F I V b. «l'insieme dei numeri naturali»; F I V c. «l'insieme dei monti piuá alti di metri»; F I V d. «l'insieme dei corpi celesti dell'universo»; F I V e. «l'insieme dei calciatori di serie A»; F I V f. «l'insieme dei punti del piano»; F I V g. «l'insieme delle cittaá italiane»; F I V h. «l'insieme degli abitanti residenti nel tuo comune»; F I V i. «l'insieme degli alunni della tua classe con 20 fratelli». F I V 20 Individua fra i seguenti insiemi quelli che sono vuoti e quelli che non hanno senso dal punto di vista matematico: a. «l'insieme degli alunni piuá bravi della tua classe»; b. «l'insieme dei libri della biblioteca della tua scuola scritti in cinese»; c. «l'insieme delle auto piuá belle»; d. «l'insieme degli abitanti della provincia dove risiedi»; e. «l'insieme degli alunni della tua classe il cui cognome eá composto solo da consonanti». 21 Stabilisci se i seguenti insiemi A e A 0 sono uguali: a. A ˆf2; 4; 6; 8; 10g A 0 ˆfx j x eá un numero pari minore di 14g; b. A ˆfpollice; indice; medio; anulare; mignolog A 0 ˆfx j x eá un dito della manog; c. A ˆfl; i; b; r; og A 0 ˆfx j x eá una consonante della parola librog. 2 La rappresentazione di un insieme teoria a pagina Fai un esempio di un insieme e rappresentalo per elencazione. 23 Fai un esempio di un insieme e rappresentalo con un diagramma di Eulero-Venn. ULTERIORI ESERCIZI 24 Fai un esempio di un insieme e rappresentalo per caratteristica. 25 Rappresenta per elencazione l'insieme A formato dalle lettere della parola cielo. 26 Rappresenta per caratteristica l'insieme B ˆfEuropa; Africa; Asia; America; Oceaniag. 27 Rappresenta per caratteristica l'insieme C ˆfmio; tuo; suo; nostro; vostro; lorog. 28 Rappresenta per caratteristica i seguenti insiemi definiti per elencazione: a. A ˆfa; r; i; t; m; e; cg; b. B ˆf1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17; 19g; c. C ˆfBari; Brindisi; Bologna; Bolzano; Biella;...g. 24 CAPITOLO 1 Gli insiemi

23 29 Se eá possibile, rappresenta per caratteristica i seguenti insiemi definiti con un diagramma di Eulero-Venn. a. b. c. 30 Rappresenta per elencazione gli insiemi A e B definiti con il seguente diagramma di Eulero-Venn. 31 Rappresenta con un diagramma di Eulero-Venn l'insieme formato dai numeri maggiori di 9 e minori di Rappresenta con un diagramma di Eulero-Venn i seguenti insiemi definiti per elencazione: A ˆfdo; re; mi; fa; sol; la; sig; B ˆf1; 3; 5; 7; 9; 11g; C ˆfm; e; l; ag. 33 Rappresenta per caratteristica gli insiemi A, B e C definiti con un diagramma di Eulero-Venn: 34 Rappresenta con un diagramma di Eulero-Venn i seguenti insiemi: a. l'insieme dei mesi dell'anno di 30 giorni; b. l'insieme dei numeri pari minori di 15 e maggiori di 5; c. l'insieme dei numeri dispari minori di 3. matematica &scienze 35 matematica GLI STATI DI AGGREGAZIONE DELLA MATERIA La materia eá tutto cioá che ci circonda, possiede una massa e occupa uno spazio; eá fatta di atomi, che possono aggregarsi in modo diverso. A seconda dello stato di aggregazione degli atomi, i corpi vengono suddivisi in: l solidi: hanno forma e volume propri e sono incomprimibili l liquidi: hanno un volume proprio, ma assumono la forma del recipiente che li contiene l aeriformi: non hanno neâ forma neâ volume propri e si dividono in: l gas se a temperatura e pressione normali sono allo stato aeriforme; l vapori se a temperatura e pressione normali sono allo stato liquido o solido. Rappresenta con un diagramma di Eulero-Venn gli stati di aggregazione della materia. Laboratorio per le competenze 36 Rappresenta per caratteristica i seguenti insiemi definiti per elencazione: a. A ˆfnord, sud, est, ovestg; b. B ˆf2; 4; 6; 8g; c. C ˆfAvellino; Benevento; Caserta; Napoli; Salernog. CAPITOLO 1 Gli insiemi 25

24 37 Rappresenta per elencazione i seguenti insiemi definiti per caratteristica: a. A ˆfx j x eá un capoluogo di provincia della Sardegnag; b. B ˆfx j x eá un professore che insegna nella tua classeg; c. C ˆfx j x eá un dito della tua manog. 38 Rappresenta per elencazione i seguenti insiemi definiti con un diagramma di Eulero-Venn: a. b. c. 39 Rappresenta per caratteristica i seguenti insiemi definiti per elencazione: a. A ˆfEolo; Cucciolo; Mammolo; Pisolo; Brontolo; Dotto; Gongolog; b. B ˆf0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9g; c. C ˆfc; a; sg. 40 Rappresenta con un diagramma di Eulero-Venn i seguenti insiemi definiti per caratteristica: a. A ˆfx j x eá una consonante della parola aeroportog; b. B ˆfx j x eá un numero dispari minore di 12g; c. C ˆfx j x eá un giorno della settimanag. matematica &realtà 41 matematica STORIA/GEOGRAFIA: LE CIVILTAÁ DEI FIUMI E DEI MARI Le piuá importanti antiche civiltaá che si svilupparono sui fiumi furono: l l l l sul Tigri ed Eufrate: i Sumeri, i Babilonesi e gli Assiri sul Nilo: gli Egizi sull'indo: la civiltaá dell'indo sul Fiume Giallo: la civiltaá del fiume Giallo. Le civiltaá che si svilupparono sui mari furono: l l l i Cretesi (Grecia) i Micenei (Grecia) i Fenici (Libano). Laboratorio per le competenze Rappresenta per elencazione l'insieme delle civiltaá, fra quelle indicate, che si svilupparono su fiumi asiatici, su fiumi africani, su fiumi europei, in Africa, in Europa. 42 Stabilisci se c'eá corrispondenza tra la rappresentazione per caratteristica e quella di Eulero-Venn delle seguenti coppie di insiemi: a. A ˆfx j x eá un numero naturale minore di 30 e maggiore di 20g; b. B ˆfx j x eá un mammifero che vive nell'acquag; c. C ˆfx j x eá una fabbrica italiana di autoveicolig. 26 CAPITOLO 1 Gli insiemi

25 43 Dopo aver individuato quali dei seguenti insiemi sono finiti, quali infiniti e quali vuoti, rappresenta gli insiemi finiti e quelli infiniti rispettivamente per elencazione e per caratteristica: a. l'insieme delle lettere della parola libro; b. l'insieme dei multipli di 5; c. l'insieme degli alunni della tua scuola che sono nati nel Rappresenta per elencazione, per caratteristica e con un diagramma di Eulero-Venn i seguenti insiemi. 44 L'insieme delle lettere della parola mamma. 45 L'insieme dei primi dieci numeri naturali. 46 L'insieme delle consonanti dell'alfabeto italiano. 47 L'insieme dei giorni della settimana. 48 L'insieme delle consonanti del tuo cognome. 49 L'insieme dei mesi dell'anno di 31 giorni. 50 L'insieme delle ragazze della tua classe. 51 L'insieme delle vocali della parola elementare. 52 L'insieme delle lettere della parola vocabolario. 53 Sia dato l'insieme A ˆfe, a, n, pg e l'insieme B ˆfx j x eá una lettera della parola paneg. Possiamo affermare che A ˆ B? 54 Confronta i tre insiemi A ˆfx j x eá una vocale della parola vuotareg, B ˆfx j x eá una vocale della parola uovag e C ˆfx j x eá una vocale della parola nuotareg. Gli insiemi dati sono tutti uguali? Fra essi ce ne sono di uguali? 55 Osserva le seguenti coppie di insiemi. In quali casi si puoá dire che A ˆ B? Segna con una crocetta la risposta esatta: A ˆfSandro; Paolag B ˆfPaola, Sandrog SI NO A ˆf0; 2; 4; 6; 8; :::g B ˆfx 2 N j x eá un numero parig SI NO A ˆfp; s; r; a; o; z; ig B ˆfx j x eá una lettera della parola spaziog. SI NO 56 Considera l'insieme A rappresentato con il diagramma di Eulero-Venn e, utilizzando i simboli di appartenenza e di non appartenenza, inserisci al posto dei puntini il simbolo che ritieni corretto: a :::::::: A b :::::::: A c :::::::: A d :::::::: A e :::::::: A f :::::::: A g :::::::: A h :::::::: A i ::::::::: A. 57 Considera la rappresentazione di Eulero-Venn a lato e stabilisci se le seguenti relazioni sono vere o false: a. a 2 A V F b. h 2 A V F c. b 62 A V F d. i 62 A V F e. e 2 A V F f. f 62 A V F CAPITOLO 1 Gli insiemi 27

26 58 Scrivi alcuni elementi che appartengono ai seguenti insiemi utilizzando il simbolo di appartenenza: A ˆfx j x eá una capitale di una nazione dell'africag; B ˆfx j x eá un monte che si trova sul territorio italianog; C ˆfx j x eá un monumento della cittaá di Romag. 59 Dato il diagramma di Eulero-Venn a lato rappresenta gli elementi a, b, c, d, e, f, g in modo che siano verificate tutte le seguenti relazioni: a. a 2 A a 62 B a 62 C; b. b 62 A b 2 B b 62 C; c. c 62 A c 62 B c 2 C; d. d 62 A d 2 B d 2 C; e. e 2 A e 62 B e 2 C; f. f 2 A f 2 B f 62 C; g. g 2 A g 2 B g 2 C. 3 Il concetto di sottoinsieme teoria a pagina Scrivi la simbologia relativa a ciascuna delle seguenti affermazioni: a. l'insieme A eá un sottoinsieme di B:...; b. l'insieme A include l'insieme B:...; c. l'insieme A non eá contenuto nell'insieme B:... d. l'insieme B non include l'insieme A:... ULTERIORI ESERCIZI 61 Traduci in simboli matematici le seguenti frasi: a. l'insieme B eá un sottoinsieme proprio di A:... b. l'insieme A eá un sottoinsieme improprio di A:... c. l'insieme 1 eá un sottoinsieme improprio di A: Traduci in simboli matematici le seguenti frasi: a. l'insieme A non ha elementi:... b. l'insieme B eá un sottoinsieme improprio di A:... c. l'insieme B non eá un sottoinsieme di A:... d. l'insieme vuoto eá un sottoinsieme improprio di A: Per ognuno dei seguenti insiemi trova un possibile sottoinsieme e rappresentalo per elencazione: A ˆfx j x eá un'alunna della tua classeg; B ˆfx j x eá un mese dell'annog; C ˆfx j x eá un mobile della tua aulag; D ˆfx j x eá una nazione europeag. 64 Per ognuno dei seguenti sottoinsiemi trova un insieme che lo contenga e rappresentalo per caratteristica: A ˆfMilan; Inter; Palermo; Romag; B ˆfvipera; boa; pitone; cobrag; C ˆfFirenze; Pistoia; Pisa; Arezzo; Luccag; D ˆfMercurio; Venere; Terra; Marteg. 65 Confronta le seguenti coppie di insiemi e stabilisci in quali casi il primo eá un sottoinsieme del secondo: a. A ˆfa; b; cg; A 0 ˆfa; b; c; dg; b. B ˆf1; 2; 4; 5g; B 0 ˆf1; 2; 3g; c. C ˆfx j x eá un numero pari maggiore di 5g; C 0 ˆfx j x eá un numero naturale maggiore di 5g; d. D ˆfx j x eá una persona residente nella provincia in cui abitig; D 0 ˆfx j x eá un alunno della scuola che frequentig. 66 Indica quali dei seguenti insiemi sono sottoinsiemi non vuoti dell'insieme degli alunni della tua classe: a. «gli alunni piuá alti di 1,40 m»; b. «gli alunni che pesano meno di 20 kg»; c. «gli alunni che hanno un fratello»; d. «gli alunni che hanno trascorso le vacanze al mare»; e. «gli alunni che fanno il tifo per la nazionale di calcio della Germania»; f. «gli alunni che portano le scarpe da ginnastica». 28 CAPITOLO 1 Gli insiemi