Analisi Sismica di Parete in Muratura: Tecniche a Confronto

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1 Analisi Sismica di Parete in Muratura: Tecniche a Confronto T. Aoki Department of Human Environmental Design, School of Design and Architecture, Nagoya City University, Nagoya, Japan D. Carpentieri Ingegnere, Libero Professionista, Torino, Italy A. De Stefano, C. Genovese e D. Sabia Dipartimento di Ingegneria Strutturale e Geotecnica, Politecnico di Torino, Italy SOMMARIO: In questo lavoro alcune delle tecniche proposte dalla letteratura corrente per l analisi del comportamento delle strutture in muratura sotto sisma vengono confrontate, tra loro e con proposte più recenti e di concezione non convenzionale. Il confronto avviene tramite l applicazione ad un caso reale di muratura storica. I metodi di analisi considerati appartengono a due famiglie principali: modellazione basata sullo stato tensionale locale (FEM in campo non-lineare) e modellazione di tipo funzionale basata su schemi semplificati capaci di riprodurre globalmente e per macroelementi la risposta strutturale (POR, Traliccio equivalente, etc.). Entrambe le famiglie possono dar luogo ad approcci di tipo deterministico o probabilistico. Uno dei metodi applicati utilizza una modellazione funzionale all interno di una procedura di ottimizzazione combinatoria. ABSTRACT: In this paper someones among the techniques proposed by the recent literature are compared, and the comparative analysis includes also a new proposal for a non-conventional approach. The compared techniques are applied to a real existing masonry structure of historical relevance. The analysed methods are belonging to two main families: models based on local stress (non-linear FEM) and models of functional type, using simplified schemes reproducing as well as it is possible the response of each structural macro-element. Both the aforementioned families can be adopted in deterministic or probabilistic way. One of the proposed methods uses a functional model inside a combinatorial optimisation procedure. 1 INTRODUZIONE Di fronte alle complessità e le incertezze intrinsecamente presenti nella modellazione delle strutture murarie esistenti, occorre tener presente che anche i risultati di analisi numeriche molto sofisticate sono affetti da errore e vanno presi in conto con grande cautela. Ciò giustifica l attenzione sempre viva ed attuale per modelli semplici e apparentemente grossolani, ma controllabili e robusti. I risultati ottenuti da ricerche sperimentali e numeriche finora svolte, consento di individuare alcune dei requisiti richiesti per tali modelli di calcolo. Sicuramente riveste una grande importanza prevedere i principali meccanismi di rottura degli elementi strutturali, sia per la muratura che per elementi in c.a., e quindi associare ad ogni meccanismo di rottura un opportuno criterio di resistenza sufficientemente approssimato. In questa sede alcune delle tecniche proposte dalla letteratura corrente per l analisi del comportamento delle strutture in muratura sotto sisma vengono confrontate, tra loro e con proposte più recenti e di concezione non convenzionale. I metodi di analisi considerati appartengono a

2 due famiglie princ ipali: modellazione basata sullo stato tensionale locale (FEM in campo nonlineare) e modellazione di tipo funzionale basata su schemi semplificati capaci di riprodurre globalmente e per macroelementi la risposta strutturale (POR, traliccio equivalente, Macroelementi.). Entrambe le famiglie possono dar luogo ad approcci di tipo deteministico o probabilistico. Uno dei metodi applicati utilizza una modellazione funzionale all interno di una procedura di ottimizzazione combinatoria. L oggetto delle analisi è una parete in pietra di tufo, situata in provincia di Salerno e collocata in zona sismica di terza categoria. 2 ANALISI NUMERICHE CONFRONTATE 2.1 Analisi FEM non-lineare Il pannello di muratura è considerato come una lastra in materiale omogeneizzato in condizioni di distribuzione piana di tensioni Il modello scelto (Aoki 1997) è un modello isotropo dove la non-linearità delle leggi costitutive è formulata mediante il modello elastico plastico di Drucker-Prager. Il modello della muratura è basato su elementi shell degeneri isoparametrici multistrato. Si adotta l elemento a nove nodi Heterosis per evitare i fenomeni di locking e zero energy mode. L integrazione numerica segue la regola della integrazione selettiva (Hinton 1984). L aspettativa di ampie deformazioni impone di prendere in conto la non-linearità meccanica e quella geometrica. Si assume che la muratura entri in dominio plastico per compressione quando la tensione ideale σ raggiunge il 30% della resistenza a compressione monoassiale, e la legge di Prandtl- Reuss descrive la fase plastica. Il comportamento hardening della muratura segue la relazione equivalente monoassiale tensione-deformazione definita dalla curva convenzionale illustrata in Figura 1. La superficie limite, data dalla equazione (1), è rappresentata in Figura 2. Il comportamento plastico biassiale in compressione rispetta il criterio di Duruker-Prager. La funzione di yielding dipende dalla tensione di compressione idrostatica I 1 e dalla invariante deviatorico J 2 : 2 [ β (3J + α ] 1/ = σ f ( I1, J2 ) = 2 ) I1 (1) dove α=0.355σ e β=1.355, secondo le indicazioni di Kupfer et al. (Kupfer 1969, 1973). Rispetto alle tensioni principali il comportamento plastico può essere formulato nel modo seguente: [( σ σ + σ ) ( σσ + σσ + σ σ )] + ασ ( + σ + σ ) β + = (2) σ Lo schiacciamento della muratura è definito dal valore della deformazione equivalente, ottenuta sostituendo nella funzione di yielding la deformazione alla tensione. Si assume che la rottura per schiacciamento avvenga quando la deformazione ε raggiunge il valore ε u, oltre il quale si annulla le rigidezza. La fessurazione si verifica quando la tensione supera il valore di trazione indicato nella Figura 3. La rigidezza in regime fessurato è rappresentata come segue: ' σ = α f (1 ε / ε ), ε ε ε ( i = 1,2) (3) i t i m σ t si riduce nella regione di trazione-compressione secondo il criterio seguente: ' t ( σ / f ) ' ' t 1 2 c t i m σ = f + (4) dove σ t indica la tensione di fessurazione, σ 2 e f t, rispettivamente, la compressione perpendicolare alla trazione e la resistenza a trazione monoassiale.

3 Figura 1. Caratteristica tensione deformazione. Figura 2. Superficie limite. Figura 3. Comportamento a carico e scarico della muratura fessurata. A titolo di esempio, la validità del modello proposto viene illustrata con riferimento ad un pannello sottoposto a un azione contemporanea di taglio e compressione di cui è nota la risposta sperimentale (Calvi 1992). I risultati sono confrontabili sia in termini di resistenza che di modalità di collasso. Il carico di collasso ricavato vale 251 kn, solo leggermente inferiore a quello di 257 kn rilevato sperimentalmente. Si osservi come sia lo spostamento a collasso che il carico in fase post-critica siano confrontabile (Figura 4). 300 Forza orizzontale (kn) a) sperimentale b) numerico Figura 4. Analisi di un pannello soggetto a taglio e compressione: a) diagramma sperimentale della curva sforzi-spostamenti (da Calvi 1992); b) diagramma numerico Spost. orizzontale (mm) 2.2 Analisi limite tramite uno schema a traliccio equivalente e ottimizzazione combinatoria L esame dei danni provocati dal sisma in edifici in muratura e le prove sperimentali su modelli in scala reale hanno evidenziato che i fenomeni di fessurazione e rottura in una parete muraria sono localizzati negli architravi e nei maschi murari, mentre le parti di muratura che li connettono risultano sostanzialmente non danneggiate. Questo consente di schematizzare una parete muraria con aperture come un assemblaggio di maschi murari ed architravi orizzontali e, nell ambito di una modellazione semplificata, assumere infinitamente resistenti le porzioni di muratura che li connettono. Varie metodologie per l analisi di pareti in muratura sono accomunate da questa schematizzazione; in alcune i maschi murari e le fasce di piano sono trattati come macroelementi bid i- mensionali dotati dei fondamentali meccanismi di rottura e di un modello di degrado con attrito (Brencich 1997); in altri casi trasformando i maschi e fasce di piano ad elementi monodimensionali equivalenti (Magenes 1996, 1999).

4 Partendo dalla medesima schematizzazione è possibile eseguire anche l analisi limite di pareti murarie complesse (Kohama 2000). L idea che sta alla base della metodologia è quella di rappresentare i maschi e le fasce di piano mediante un modello equivalente semplice, costituito, per esempio, da un sistema di bielle caratterizzate da una legge costitutiva rigido-plastica. Il modello equivalente deve rispettare la condizione di indipendenza dei principali meccanismi di rottura locali. Il meccanismo di collasso globale si attiva quando si attiva un cinematismo plastico sull intera parete. Operativamente, la teoria dei grafi contribuisce a descrivere una serie di modi di collasso elementari di parete come insieme di meccanismi di plasticizzazione locale; la modalità di collasso più probabile per l intero sistema murario va ricercata tra le loro combinazioni lineari. Pertanto lo studio diventa un tipico problema di ottimizzazione combinatoria che viene affrontato mediante algoritmi genetici. La Figura 5 mostra il modello reticolare adottato per i maschi murari. Il modello per le fasce di piano si ottiene ruotando questo schema di 90 gradi in senso orario. La Figura 6 mostra i possibili meccanismi locali indipendenti di attivazione del cinematismo plastico. In generale, in un pannello con rapporto H/D elevato prevale il meccanismo di rocking, ovvero ribaltamento del maschio con eventuale schiacciamento locale della muratura compressa. Il valore del massimo tagliante resistente può essere ricavato dalla seguente relazione (Magenes 1997, 1999): D t p p V = r 1 αv 2 κ fu ' ψ H α v = (6) D dove D è la lunghezza della sezione normale del maschio, H è l altezza, t è lo spessore, p = P/(D t) è la compressione verticale media sulla sezione dovuta alla forza assiale P, f u è la resistenza a compressione della muratura, κ = 0.85 è il coefficiente che tiene conto della distribuzione degli sforzi di compressione nella zona compressa, ψ dipende dalle condizioni di vincolo. La stessa relazione puo essere utilizzata per ricavare il carico di overturning, ovvero di ribaltamento del maschio murario; in questo caso il coefficiente ψ vale 1, in quanto lo schiacciamento si verifica solo alla base dell elemento. Un altro possibile meccanismo di collasso è quello legato alla rottura per taglio, sia per scorrimento lungo i letti orizzontali di malta che per fessurazione diagonale. In questo caso la forza ultima resistente vale (Magenes 1997): 1.5 c + µ p c + µ p fbt Vd = D t min,, 1+ αv c 1 αv 2.3 (1 αv ) p dove c e µ rappresentano rispettivamente la coesione e il coefficiente d attrito relativi al giunto della muratura e f bt è la tensione di trazione del blocco lapideo. Per le fasce di piano l unico meccanismo possibile è quello di rottura per taglio diagonale, in quanto il meccanismo di rocking è generalmente inibito dall effetto di confinamento del solaio, mentre lo scorrimento viene limitato dall effetto di interlock del mattone. p f bt (5) (7) Figura 5. Modello usato per la rappresentazione del maschio murario.

5 a) shear-sliding b) rocking c) overturning d) shear Figura 6. Meccanismi di collasso del singolo pannello: a) shear-sliding, b) rocking e c) overturning per il maschio; d) meccanismo di shear per la fascia di piano. 2.3 Analisi con procedura a Macroelementi Le procedure a Macroelementi sono oggi all attenzione di diversi studiosi. Varie sono le vie seguite, ma lo scopo è quello di rappresentare la muratura come assemblaggio di interi pannelli murari dotati di opportune caratteristiche meccaniche e cinematiche. Con tali procedure è possibile modellare generiche pareti con aperture attraverso un numero limitato di incognite, descrivendo le caratteristiche meccaniche degli elementi con pochi parametri. La metodologia scelta in questo lavoro (Brencich 1999), rappresentata la parete come un assemblaggio di pannelli murari e cordoli di piano. I macroelementi sono degli elementi finiti a due nodi, con due variabili cinematiche interne, che sono in grado di rappresentare i tipici meccanismi di rottura per rotazione rigida (flessione), rottura diagonale e scorrimento (taglio) su superfici di discontinuità; i cordoli, invece, sono modellati con elementi presso-inflessi elasto-plastici. I meccanismi principali di deformazione anelastica della muratura possono essere ricondotti all apertura dei giunti di malta per flessione dei pannelli murari, allo scorrimento sui giunti di malta, che rappresentano superfici di discontinuità nel corpo murario e alla rottura diagonale, che viene rilevata quando snellezze contenute, condizioni di vincolo opportune e rilevanti carichi assiali inibiscono i meccanismi anelastici flessionali. L osservazione diretta delle pareti murarie danneggiate a seguito di eventi sismici evidenzia che l apertura dei giunti di malta si realizza quasi esclusivamente alle estremità di quelle porzioni di muratura comprese tra aperture adiacenti, ovvero alle estremità dei maschi murari. Le rotture per taglio, specie quelle diagonali, si evidenziano, invece nella parte centrale del pannello, dove è localizzata la componente prevalente della deformazione tangenziale, sia elastica che anelastica. Le deformazioni non lineari del pannello vengono definite imponendo una condizione di contatto elastico monolatero tra le e- stremità e il corpo centrale del pannello; il danneggiamento per taglio e il conseguente scorrimento con attrito sulle superfici di discontinuità è concentrato nella parte centrale. I cordoli di piano, realizzati con continuità sulla parete, si possono considerare per una parte contenuti interamente entro la muratura, mentre per la parte rimanente assolvono alla funzione di architrave sulle aperture nel tratto sopra finestra, in cui la deformazione flessionale non è vincolata e i danni prodotti dagli eventi sismic i possono condurre alla formazione di cerniere plastiche nelle sezioni di estremità. L elemento finito che consente la modellazione dei cordoli può essere dunque rappresentato mediante una trave elasto-plastica. 3 APPLICAZIONE AD UN CASO REALE DI MURATURA STORICA 3.1 Oggetto delle analisi Il confronto delle metodologie di analisi presentate nel paragrafo precedente avviene su una villa dislocata nella provincia di Salerno, il cui impianto primitivo risale alla metà del Settecento e

6 rappresenta tutt oggi un fulcro di importanza artistico ambientale. La villa nel corso dei secoli ha subito varie trasformazioni e sopraelevazioni; l aspetto attuale è caratterizzato da tre piani fuori terra in muratura portante non armata. Quasi tutti gli ambienti del piano terra sono coperti con volte a botte lunettate o con volte a crociera, mentre al primo e al secondo piano sono presenti solai laterocementizi collegati alle pareti per mezzo di cordoli in cemento armato. L edificio presenta uno sviluppo abbastanza regolare sia in pianta che in altezza. La parete principale, piatta e regolare, sarà l oggetto delle analisi (Figura 7); presenta un altezza complessiva di 12 m, quella di interpiano di 4 m, una lunghezza di m, uno spessore uniforme di 80 cm, ed è collegata ai tre impalcati tramite dei cordoli continui in cemento armato. La muratura è costituita da blocchi di tufo con giunti in malta bastarda di classe M3. In Tabella 1 sono riportate le caratteristiche meccaniche della muratura e dei cordoli utilizzate nelle elaborazioni. Quelle relative alla muratura in parte provengono da prove di laboratorio effettuate su specifiche murature in pietre di tufo da Tufitalia srl. In Tabella 2 sono indicati i carichi ai vari piani e le azioni sismiche equivalenti valutate secondo il D.M. 16 gennaio Le azioni orizzontali sono state applicate all interpiano secondo due schemi principali che prevedono: uno la distribuzione lungo i cordoli in c.a. (analisi FEM), e l altro le concentra sulla parete di estremità (analisi col POR, a Macroelementi e limite con lo schema a traliccio). Tabella 1. Caratteristiche meccaniche della muratura e dei cordoli. γ (kn/m 3 ) G (MPa) E (MPa) ν f c (MPa) f t (MPa) c (MPa) µ Muratura E (Mpa) ν f c (MPa) f t (MPa) Cordoli Tabella 2. Azioni agenti sulla parete. Livello Spessore (m) h interpiano (m) h totale (m) Peso muratura (kn) Sovraccarico (kn) Carico totale (kn) γ i F h (kn) F h = W C R ε β I γ i β = β 1 β 2 = 4, I = 1, R = 1, S = 6, C = ±0.0 Figura 7. Schematizzazione della parete Risultati ottenuti dalla modellazione FEM non lineare L analisi è stata fatta considerando come valore di deformazione ultima a compressione ε c =0.003, mentre per i parametri di rigidezza in condizione fessurata sono stati assunti i seguenti

7 valori: ε m =0.002 e α=0.5. I risultati ottenuti dall elaborazione sono riassunti nell andamento della deformata a collasso (Figura 8) e nel quadro di danneggiamento (Figura 9), in cui si evidenzia una vistosa differenza tra la stima di resistenza di prima rottura di picco e il valore ultimo asintotico. Figura 8. Quadro deformativo a collasso. Moltiplicatore di carico Limite elastico Punto critico Punto di collasso per schiacciamento Spostamenti in sommità (mm) Figura 9. Legame tra il moltiplicatore dei carichi e gli spostamenti misurati all estremità sotto vento. 3.3 Risultati ottenuti dallo schema a traliccio equivalente Lo schema della parete adottato nelle analisi è stato forzato ad uno modello semplificato: le a- perture sono state modellate con la medesima luce, in modo da poter schematizzare i montanti murari con schemi a traliccio uniformi, e la parte inferiore del muro è stata considerata rigida (Figura 10). F 3 F 2 F 1 Figura 10. Modello della parete impiegato nell analisi. In Figura 11, la parte in neretto indica l estensione dei maschi murari usate per la determinazione dei valori di collasso. Il criterio adottato è il seguente: per il pannello compreso tra due aperture, l altezza è stata calcolata come media tra le altezze delle aperture adiacenti; per il pannello posto alle estremità della parete, l altezza è stata ottenuta come media tra l altezza dell apertura adiacente e l altezza d interpiano.

8 Figura 11. Es tensione del maschi utilizzata nelle analisi. Il risultato ottenuto è conforme a quello atteso per una parete con un valore basso della snellezza globale, dove generalmente il collasso è di piano con rottura a taglio dei maschi murari. Pertanto, il meccanismo più probabile trovato è quello che interessa il collasso al secondo livello, e λ=2.1 è il corrispondente moltiplicatore di collasso (Figura 12). Il meccanismo che interessa il collasso al primo livello presenta un moltiplicatore leggermente maggiore, pari a λ=2.5 (Figura 13). Moltipl. di collasso λ = 2.1 Figura 12. Meccanismo di collasso più probabile con rottura per shear-sliding di tutti i maschi al secondo livello. Moltipl. di collasso λ = 2.5 Figura 13. Meccanismo di collasso con rottura per shear-sliding di tutti i maschi al primo livello. 3.4 Risultati ottenuti dalla modellazione a Macroelementi La risposta della parete, soggetta ad una storia di carico monotona secondo l algoritmo incrementale-iterativo di Newton-Raphson, è riportata in Figura 14. La curva in figura individua la risposta della parete con cordoli di rigidezza e resistenza intermedia, in cui sia i maschi sia i cordoli giungono a rottura (la rottura dei maschi è indicata con un pallino mentre per i cordoli con dei triangoli). Dall analisi dei risultati alfanumerici risulta che il collasso avviene per taglio dei maschi murari del piano debole in corrispondenza del secondo livello (Figura 15) e interessa anche alcuni cordoli di piano, in particolare quelli sotto vento, che si deformano flessiona lmente in fase precritica.

9 Taglio alla base (kn) Spostamenti in sommità (mm) Figura 14. Risposta del modello a Macroelementi D Figura 15. Rottura della parete CONFRONTI Il confronto dei risultati ha mostrato che esistono delle analogie tra i metodi di analisi impiegati, e in particolare ci consente di distinguere in due gruppi le varie metodologie: analisi estensionali (l analisi FEM non lineare), e funzionali (POR, macroelementi e traliccio equivalente). Queste analisi, pur modellando in modo diverso la struttura, trovano una convergenza verso un valore asintotico (Figura 16). La differenza riscontrata nei valori di picco è attribuibile al fatto che il modello FEM non lineare tiene in maggior conto, nella fase pre-critica, della deformabilità dei cordoli che danno un contributo in termini di resistenza ai maschi murari. Il modello a macroelementi, invece, lo considera in un secondo momento, in fase post-critica, facendo quindi lavorare unicamente i maschi a taglio e non fruttando contributo deformativo dei cordoli; in questo modo produce una dissipazione inferiore rispetto al caso FEM, e pertanto il valore resistente risulta più basso. Completamente diversa è la situazione per l analisi limite, dove si considera che gli elementi collassati siano ormai in fase plastica, e quindi il confronto può essere fatto solo sul valore asintotico. Dal confronto degli spostamenti di piano (Figura 17) si è dedotto che il modello FEM non lineare in fase elastica ha un comportamento a taglio, invece quello a macroelementi predilige un meccanismo di tipo flessionale. Dall analisi delle deformate ottenute con la modellazione FEM, sembra evidente che il comportamento della parete sia suddivisibile in due zone, a cavallo dell androne di ingresso, in cui quella a sinistra giunge a rottura per taglio, mentre in quella a destra prevale un comportamento flessionale, dovuto alla snellezza dei montanti, con conseguente schiacciamento dell estremità destra della parete. Il modello FEM e quello a macroelementi hanno evidenziato che il comportamento a rottura della parete è fortemente influenzato dalla rigidezza dei cordoli in cemento armato. Ci si poteva attendere che un aumento della rigidezza dei cordoli potesse incrementare la resistenza della parete ma i risultati ottenuti da nuove analisi, dove lo spessore dei cordoli è stato variato, mostrano

10 il contrario (Figura 18), il ché rappresenta un risultato importantissimo, in quanto l aumento della rigidezza non implica un miglioramento della capacità dissipativa della struttura. Sulla base dei dati ottenuti si riscontra che mentre il modello a macroelementi non risente tanto della variazione di rigidezza del cordolo, poiché ha un contributo secondario nel meccanismo di rottura, invece il modello non lineare agli elementi finiti mostra una rottura fragile -locale, per cordoli rigidi, mentre per cordoli deformabili si ottiene un andamento più duttile. In questo caso la rottura avviene distribuendo gli sforzi su tutta la parete, sfruttando così tutte le capacità dissipative della struttura, ottenendo un valore di resistenza residua maggiore di quello ottenuto con cordoli rigidi. Taglio alla base (kn) Macroelementi POR FEM f t =0.2 MPa FEM f t =0.002 MPa Traliccio Spostamenti in sommità (mm) Figura 16. Confronto tra i criteri di analisi. L analisi FEM è stata fatta con due diversi valori della resistenza a trazione della muratura f t Spostamenti (mm) FEM Macroelementi Spostamenti (mm) Figura 17. Confronto a rottura in termini di spostamenti di piano.

11 Taglio alla base (kn) Macroelementi b=400 mm Macroelementi b=800 mm FEM b=400 mm FEM b=800 mm Spostamenti in sommità (mm) Figura 18. Influenza della rigidezza del cordolo con resistenza a trazione della muratura f t = 0.2 MPa. 5 CONCLUSIONI I risultati evidenziano che la resistenza e il meccanismo di collasso sono influenzati dalla rig i- dezza e resistenza dei cordoli. I valori del taglio alla base ottenuti con le diverse analisi convergono asintoticamente verso limiti poco distanti, ma le analisi F.E. portano a stime di resistenze di prima rottura di picco consistentemente più alte del valore ultimo asintotico, ampiamente variabili a seconda della rigidezza e resistenza dei cordoli dei solai. Le analisi F.E., più onerose e spesso inadatte per operare su sistemi grandi e complessi, mostrano, con maggiore sensibilità rispetto a quelle funzionali, l incremento di duttilità connessa alla transizione tra meccanismo di collasso globale e locale che si verifica al crescere della rig i- dezza e resistenza dei cordoli. Riescono, inoltre, a evidenziare il contributo, spesso non adeguatamente colto dai metodi funzionali, ma determinante alla configurazione del meccanismo di collasso ed al valore della resistenza ultima, di fenomeni locali, come le rotture per schiacciamento agli spigoli estremi dei maschi murari. Le analisi F.E. possono, quindi costituire lo strumento di taratura necessario per modelli funzionali che meglio interpretano la realtà. RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI Aoki, T. et al Principle of Structural Restoration for Hagia Sophia Dome. Proceedings of STRE- MAH International Symposium, San Sebastian, June1997: Brencich, A. & Lagomarsino, S Un modello a macroelementi per l analisi ciclica di pareti murarie. In Atti del 8 Convegno Nazionale Ingegneria Sismica in Italia, Taormina. Brencich, A. & Penna, A Una procedura a macroelementi per l analisi sismica di pareti in muratura con orizzontamenti in cemento armato. In Atti del 9 Convegno Nazionale Ingegneria Sismica in Italia, Torino. Calvi, G.M. & Magenes, Gi. & Magenes, Gu. & Pavese, A Report 1.1 Design of the Experimental Test. Experimental and Numerical Investigation on a Brick Masonry Prototipe. CNR-GNDT, Dipartimento di Meccanica Strutturale dell Universita di Pavia. Hinton Finite Element Software for Plates and Shells. Pineridge Press. Kohama, Y. & Takada, T. & De Stefano, A. & Miyamura, A. & Aoki, T Limit analysis of masonry wall with openings by GA. Proc. Fifth International Conference on Computational Structures techonology, Leuven, Belgium, 6-8 Sept Kupfer Behavior of Concrete Under Biaxial Stresses. ACI Journal 66(8): Kupfer, Behavior of Concrete Under Biaxial Stresses. Journal of the Eng. Mech. Div., ASCE 99(No. EM4):

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