GEODESIA. 1. Il campo della gravità

Transcript

1 GEODESIA 1. Il campo della gravità Molti tipi di misure geodetiche e topografiche con lo scopo di determinare la posizione nello spazio di punti sulla superficie terrestre hanno come riferimento la verticale nel punto di stazione. Tale direzione, che è quella delle linee di forza del campo della gravità, è facilmente materializzabile, essendo quella assunta dal filo a piombo, cioè da un filo vincolato ad un sostegno ad una estremità e recante una massa all estremità opposta. Un primo esempio è la misura astronomica della latitudine, che è il complementare dell angolo fra la direzione della verticale e quella del polo celeste (ovvero il punto fisso attorno a cui avviene la rotazione apparente della volta celeste). Va poi ricordato che per le misure angolari l asse principale del teodolite è posto nella direzione della verticale, e che per la livellazione geometrica l asse di collimazione del livello è posto nel piano orizzontale, ovvero perpendicolarmente alla verticale. Il campo della gravità interviene quindi nella maggior parte delle misure, che non hanno quindi una natura puramente geometrica. Infatti, quando si tratta di definire le relazioni spaziali fra punti diversi, a cui corrispondono direzioni della verticale diverse, è necessario conoscere come la verticale varia al variare del punto. Diversa è la situazione quando il posizionamento si basa su segnali provenienti da satelliti artificiali; in tal caso infatti, per quanto il campo della gravità intervenga ancora nello studio delle orbite dei satelliti, hanno importanza le caratteristiche globali del campo e non il suo comportamento locale nei punti di cui si vuole determinare la posizione. Occorre quindi investigare brevemente le proprietà del campo gravitazionale g 0. In una prima grossolana approssimazione si può dire che esso è vicino a un campo centrale (quello generato da una massa puntiforme o a simmetria sferica, della forma g s = kmr/r 3, dove M è la massa, k la costante gravitazionale, r il vettore congiungente il centro di massa con il punto in cui si valuta il campo). Sulla superficie della terra il suo modulo è approssimativamente costante (dell ordine di 9.8 m/sec 2 ) e la sua direzione è approssimativamente radiale (verso il centro di massa della terra); le sue superfici equipotenziali sono approssimativamente sferiche. Un analisi più accurata mostra, come si vedrà in seguito con maggiori dettagli, che la superficie equipotenziale a livello degli oceani è ben approssimabile con un ellissoide biassiale prolato con schiacciamento di circa 1/300, corrispondente ad un differenza fra i semiassi dell ordine di 20 Km. È da ricordare che il potenziale gravitazionale V (definito da V = g 0 ) verifica l equazione di Poisson: 2 V = 4πkρ (1.1) ( 2 = ( 2 / x 2 ) + ( 2 / y 2 ) + ( 2 / z 2 ) operatore di Laplace; ρ densità puntuale); quindi all esterno della massa che lo genera il potenziale gravitazionale è una funzione armonica, ovvero verifica l equazione di Laplace: 2 V = 0. Va osservato che, essendo le misure eseguite sulla terra, che è in rotazione rispetto ad un riferimento inerziale, l accelerazione di gravità non è separabile da quella centrifuga, che è ortogonale all asse di rotazione e proporzionale alla distanza da esso, e perciò massima all equatore, dove ha anche la stessa direzione della gravità. Il modulo dell accelerazione centrifuga all equatore si calcola immediatamente dalla formula a = ω 2 r, dove ω sec 1 è la velocità angolare della rotazione terrestre e r 6378 Km è il raggio equatoriale; risulta a m/sec 2, ovvero circa 1/300 della gravità. D ora in poi per campo della gravità (indicato con g ) si intende il risultante della gravità e della accelerazione centrifuga; poichè entrambe sono conservative, si può parlare di potenziale della gravità (indicato con W, che è il risultante dei due: W = g. Poichè il potenziale centrifugo ha l espressione V c = (1/2)ω 2 (x 2 + y 2 ) e 2 V c = 2ω 2, si ha anche 2 W = 2ω 2. 1

2 2. Geoide ed ellissoide Misure accurate mostrano che sulla superficie della terra sia il modulo sia la direzione del campo della gravità hanno piccole variazioni irregolari, dovute ad una distribuzione irregolare delle masse; anche le superfici equipotenziali, che sono in ogni punto ortogonali alla direzione del campo, hanno forma irregolare. Non è quindi possibile stabilire una relazione semplice fra la posizione relativa di due punti e le accelerazioni gravitazionali in tali punti. Fra le infinite superfici equipotenziali del campo della gravità, corrispondenti ai diversi livelli del potenziale, viene scelta come riferimento una particolare approssimativamente coincidente con la superficie degli oceani, che viene detta geoide. In realta, anche mediando rispetto a variazioni rapide nel tempo (moti ondosi, maree), la superficie degli oceani non è esattamente equipotenziale, poichè sono presenti altri campi di forze (legati a rotazione terrestre, situazione climatica globale, temperatura) che determinano deviazioni stazionarie, evidenziate, ad esempio, dalla presenza di correnti oceaniche. Sui continenti il geoide è molto più regolare della superficie fisica della terra, nonstante le masse delle montagne influiscano sul suo andamento, e può essere separata da essa anche di qualche Km. Come si è già accennato, la superficie del geoide è ben approssimabile con un ellissoide biassiale: innanzitutto, scegliendo opportunamente i parametri geometrici dell ellissoide (semiasse maggiore a e schiacciamento f = (a b)/a, dove b è il semiasse minore) e definendo opportunamente la sua localizzazione (ad esempio, con il centro di simmetria coincidente con il centro di massa della terra e l asse di simmetria coincidente con l asse di rotazione della terra), si può fare in modo che lo scostamento fra ellissoide e geoide (detto ondulazione del geoide) non superi qualche decina di metri; inoltre la superficie del geoide è abbastanza regolare, tanto che la direzione della verticale in un punto del geoide, che è ortogonale al geoide stesso, si discosta dalla normale all ellissoide per quel punto di un angolo (detto deviazione della verticale) che in generale non supera i 20 arcsec ( 10 4 rad, corrispondente ad una variazione di ondulazione del geoide di circa 1 m ogni 10 Km. Più precisamente, in termini degli angoli Φ, Λ che individuano la direzione di g (latitudine e longitudine astronomica) e degli angoli φ, λ della normale all ellissoide (latitudine e longitudine geodetica) è possibile esprimere le componenti della deviazione della verticale lungo il meridiano e il parallelo: ξ = Φ φ η = (Λ λ) cos φ (2.1) 3. Campo normale. Anomalia di gravità L introduzione dell ellissoide è utile, oltre che per ragioni geometriche, anche per lo studio del campo della gravità. È infatti possibile definire un campo gravitazionale generato da una massa racchiusa entro l ellissoide, che abbia l ellissoide stesso come superficie equipotenziale (ellissoide di livello); inoltre, questa determinazione è univoca quando sia fissata la massa totale e, se si vuol tenere conto anche dell accelerazione centrifuga, la velocità angolare di rotazione. È quindi naturale fissare massa e velocità angolare uguali a quelle della terra; il campo ottenuto (detto campo normale e denotato con γ ) e il corrispondente potenziale (denotato con U ) differiscono poco dal campo e dal potenziale della gravità terrestre, e le piccole differenze si prestano bene per rappresentare le irregolarità del campo terrestre. Precisamente, i parametri adottati ufficialmente dall Assemblea IUGG di Canberra nel 1979 ( Sistema di riferimento geodetico 1980 ) sono a = m km = m 3 s 2 f 1 = ω = rad s 1 2

3 La differenza fra il potenziale della gravità W (P ) e il potenziale normale U(P ) è detta potenziale residuo e viene usualmente denotata T (P ). Si osservi che in generale il potenziale di un campo vettoriale è definito a meno di una costante additiva. Tuttavia, per quanto riguarda W e U, la costante è fissata se si richiede che la parte puramente gravitazionale (ottenuta sottraendo il termine centrifugo) tenda a 0 al tendere a infinito della distanza dall origine. Il potenziale residuo è la grandezza fondamentale alla base delle teorie analitiche del campo gravitazionale; in funzione di essa vengono espresse le diverse grandezze geodetiche. Se si sceglie l ellissoide di riferimento in modo che il potenziale normale sulla sua superficie sia uguale al potenziale della gravità sul geoide, allora, se P è un punto sul geoide e P 0 è il punto di incontro della normale all ellissoide per P e l ellissoide stesso, è valida la seguente formula: T (P ) = W (P ) U(P ) = ( U(P ) U(P 0 ) ) U n P P 0 = γ(p 0 )N (3.1) (formula di Bruns). Si stabilisce quindi una relazione di proporzionalità fra l ondulazione del geoide e il potenziale residuo. Proprio facendo uso di questa semplice relazione si giunge alla determinazione del geoide attraverso il calcolo del potenziale residuo. Partendo dalla definizione del potenziale residuo, si ricava immediatamente che la differenza fra i moduli della gravità effettiva e della gravità normale è data approssimativamente da g(p ) γ(p ) T n (3.2) dove n è la direzione normale all ellissoide. L approssimazione è dovuta al fatto che in realtà i vettori g e γ non hanno esattamente la stessa direzione. In realtà la differenza in (3.2) non è direttamente calcolabile, dato che in generale la posizione del punto P non è conosciuta. È quindi necessario calcolare la gravità normale in un punto le cui coordinate sono note, ad esempio nel punto P 0 sopra menzionato, che sta sull ellissoide. Corrispondentemente, si introduce la anomalia di gravità, data da g(p 0 ) g(p ) γ(p 0 ) = ( g(p ) γ(p ) ) + ( γ(p ) γ(p 0 ) ) T n + γ n N = T n + 1 γ γ n T (3.3) dove nell ultimo passaggio si è applicata la formula di Bruns. La (3.3) può essere semplificata introducendo la approssimazione sferica, per cui la direzione normale all ellissoide è sostituita da quella radiale, e il modulo della gravità normale è dato da γ = (km/r 2 ) ; si ottiene immediatamente γ 1 ( γ/ n) = (2/r), da cui g(p 0 ) = T r 2 r T (3.4) NOTA: usare l approssimazione sferica significa semplicemente adottare le formule approssimate viste sopra per g, che è una quantità piccola; da un punto di vista geometrico, la superficie di riferimento resta l ellissoide, e sui suoi punti vengono calcolate le quantità geodetiche. Partendo dalla (3.4) è possibile ricavare, mediante integrazione, un espressione esplicita per T di g : T (P ) = R 4π in funzione Σ 0 S(ψ P P ) g(p ) dσ P (3.5) 3

4 dove ψ P P è la distanza angolare fra il punto fisso P e il punto variabile P, S è una funzione (nucleo di Stokes) la cui espressione è nota; l integrazione è eseguita rispetto a tutte le direzioni della normale all ellissoide, al variare di P sull intero ellissoide ( dσ P = cos φ P dφ P dλ P ). È quindi possibile in linea di principio, conoscendo i valori dell anomalia di gravità su tutto l ellissoide, calcolare il potenziale residuo, e quindi, usando la formula di Bruns, l ondulazione del geoide. Nella pratica il calcolo del geoide è un operazione piuttosto complicata su cui non è possibile scendere in dettagli in questa sede. Ci si limita qui a due osservazioni: - la (3.5) richiede di conoscere le anomalie di gravità sull ellissoide, e quindi di misurare la gravità sul geoide (vedi (3.3)). In realtà, invece, le misure di gravità vengono eseguite sulla superficie della terra, che sui continenti è separata dal geoide da masse di terra emersa. La (3.5) non può essere quindi usata direttamente e richiede adeguate modifiche; - il contributo principale all integrale in (3.5) viene da regioni prossime al punto P. Quindi è possibile utilizzare misure accurate della gravità soltanto in un area limitata intorno a P, mentre all esterno di tale area è possibile, senza commettere errori rilevanti, usare valori approssimati dell anomalia di gravità, che possono essere ottenuti da modelli globali di geopotenziale ricavati prevalentemente da osservazioni da satellite. 4. Geodesia spaziale La geodesia moderna si basa in gran parte su dati acquisiti da satelliti artificiali. Ad esempio, lo studio delle orbite di un gran numero di satelliti ha fornito informazioni importanti sulla struttura del campo della gravità, che dipende dalla distribuzione delle masse nel corpo della terra. Ad esempio, lo studio delle orbite di un gran numero di satelliti ha fornito informazioni importanti sulla struttura del campo della gravità, che dipende dalla distribuzione delle masse nel corpo della terra. Se un irregolarità superficiale nella distribuzione di massa può essere evidenziata da misure locali di gravità eseguite sulla superficie, irregolarità più profonde hanno effetti su regioni molto estese, che possono essere ben evidenziati dall osservazione delle orbite dei satelliti. Grande importanza hanno avuto nell ultimo decennio i satelliti altimetrici, che sono in grado di misurare con grande precisione la loro altezza sulla superficie degli oceani, che coprono circa il 70 % della superficie terrestre; la conoscenza delle loro orbite fornisce quindi informazioni sulla forma della terra. I satelliti artificiali vengono poi usati per il posizionamento terrestre: viene misurata, con tecniche diverse, la distanza (range) (laser, GPS), o la variazione di distanza (range-rate) (Doppler, ora in disuso) fra il satellite o la costellazione di satelliti e la stazione. Se la posizione dei satelliti è nota, misure ripetute consentono di determinare univocamente la posizione della stazione. E quindi di fondamentale importanza la determinazione dell orbita del satellite (ovvero della sua posizione istante per istante), e quindi lo studio delle forze a cui è sottoposto Orbite dei satelliti artificiali - In un campo centrale, generato da una massa puntiforme o da una distribuzione di massa a simmetria sferica, le orbite sono piane ed ellittiche, con un fuoco nel centro di massa; il moto è regolato delle leggi di Keplero. Sono caratterizzate da 6 parametri (elementi kepleriani): - a (semiasse maggiore), e (eccentricità: e 2 = 1 (b 2 /a 2 ), b =semiasse minore) descrivono la geometria dell orbita; - i (inclinazione sul piano equatoriale), Ω (longitudine del nodo ascendente, cioè dell intersezione fra piano equatoriale e piano dell orbita, dal lato in cui il moto orbitale è diretto dall emisfero sud a quello nord) definiscono l orientazione del piano orbitale; - ω (angolo del pericentro - punto dell orbita più prossimo al centro di gravità - con la linea del nodo ascendente) definisce l orientazione dell ellisse nel piano orbitale - un parametro (ad es. t 0 = istante di passaggio al nodo) definisce la posizione dell oggetto in moto lungo 4

5 l orbita. I sei parametri, che sono delle costanti per un orbita esattamente kepleriana, sono in corrispondenza biunivoca con le condizioni iniziali del moto, cioè con i vettori posizione e velocità ad un dato istante. Quindi, anche quando l orbita non è esattamente kepleriana, è possibile definire istante per istante gli elementi kepleriani (quelli che competerebbero ad un orbita kepleriana con medesime condizioni iniziali in quell istante), che però non sono costanti. Essi variano lentamente per un orbita quasi kepleriana, secondo equazioni ben note (equazioni di Lagrange). Dato un modello di forze, utilizzando le equazioni di Lagrange è possibile studiare il moto orbitale. Viceversa, l osservazione del moto orbitale consente di trarre informazioni sul modello delle forze (perturbazioni gravitazionali e non, rispetto ad un campo centrale). Le perturbazioni che agiscono su un satellite artificiale sono: - le deviazioni del campo gravitazionale terrestre rispetto a un campo centrale, dovute allo schiacciamento polare e ad irregolarità della distribuzione di massa; - il campo gravitazionale della luna e del sole; - la pressione di radiazione della luce solare e di quella riflessa dalla terra; - l azione frenante dell atmosfera residua (rilevante solo a quote basse - poche centinaia di km); - altri effetti vari di minore rilievo. Il problema è trovare modelli adeguati per descrivere questi effetti. Per effetti grandi il modello deve essere accurato; per effetti piccoli bastano modelli approssimati. Gli effetti degli errori di modello possono essere periodici oppure secolari. Nel primo caso l orbita vera presenta deviazioni oscillanti intorno all orbita predetta, nel secondo gli errori si accumulano nel tempo, cioè l orbita predetta sulla base del modello si discosta sempre di più dall orbita vera. La ricostruzione dell orbita si basa su un procedimento di predizione-correzione (minimi quadrati): la posizione viene osservata in certi istanti e confrontata con i risultati ottenuti applicando un modello contenente parametri incogniti; i parametri vengono stimati in modo da minimizzare le differenze fra posizioni predette e osservate. 5. Sistemi di riferimento 5.1. Introduzione - Nel rilevamento di una rete topografica o geodetica, l insieme di misure di angoli e distanze eseguite, anche quando sono sufficienti per fissare rigidamente la struttura geometrica della rete, non bastano tuttavia per stabilire le posizioni dei vertici; in effetti, la rete può essere sottoposta a traslazioni e rotazioni, che non modificano le quantità misurate. I vincoli che vengono imposti per eliminare questi gradi di libertà e fare in modo che le posizioni siano determinate in modo univoco corrispondono alla fissazione di un sistema di riferimento. Generalmente viene stabilito un sistema di riferimento locale in cui viene inserita la rete rilevata, ma è quasi sempre necessario inquadrare il rilevamento in un sistema di riferimento precedentemente definito (ad esempio quello della cartografia). Per questa operazione è in generale necessario che fra i vertici della rete siano presenti punti noti nel sistema preesistente. Come è noto, un punto nello spazio, e quindi in particolare un punto sulla superficie terrestre, è individuato da una terna di coordinate in un opportuno sistema di riferimento. Quando un tale sistema sia fissato (ad esempio, stabilendo l origine e l orientazione di una terna di assi ortogonali e l unità di misura), diversi tipi di coordinate, trasformabili le une nelle altre da ben definite operazioni matematiche, possono essere utilizzati (ad esempio, coordinate cartesiane e coordinate polari); inoltre, è possibile definire trasformazioni matematiche fra coordinate relative a due sistemi di assi diversi, purchè per entrambi siano note origine, orientazione e unità di misura. Ogni volta che un punto viene individuato mediante coordinate (ad esempio, quando per un punto sulla 5

6 superficie terrestre vengono usate latitudine, longitudine e altezza sul livello del mare) è ovviamente necessario sapere in quale sistema di riferimento esse sono determinate. Questa affermazione è meno banale di quanto possa apparire, per diversi ordini di motivi. In primo luogo, quando si afferma che latitudine e longitudine sono riferite ad un sistema di assi con origine nel centro di massa della terra, asse z nella direzione dell asse di rotazione e asse x intersecante il meridiano di Greenwich, bisogna osservare che la posizione del centro di massa non è facilmente determinabile, e la direzione dell asse di rotazione nel corpo della terra è, sia pur di poco, variabile nel tempo. Incertezze su tali grandezze si riflettono evidentemente sulla precisione delle coordinate, e il dover tenere conto di una loro variabilità nel tempo comporterebbe rilevanti difficoltà pratiche. Anche per quanto riguarda l altezza sul livello del mare, è necessario che sia definita tramite operazioni di misura che ne garantiscano un sufficiente livello di precisione e stabilità. In secondo luogo, la posizione dei punti nella maggior parte dei casi viene determinata relativamente ad altri punti le cui coordinate sono supposte note. Queste operazioni di trasporto delle coordinate richiedono informazioni sulla geometria della superficie terrestre. Senza entrare in dettagli che saranno illustrati più avanti, basta osservare che la direzione della verticale, cioè del campo della gravità, utilizzata in tutte le misure terrestri, è variabile da punto a punto in maniera irregolare, e la conoscenza del suo andamento è essenziale per una determinazione precisa delle posizioni relative con misure terrestri. L acquisizione di una buona conoscenza dei sistemi di riferimento richiede quindi l uso di raffinati metodi geodetici. Ciò è tanto più vero quanto più alta è la precisione richiesta. Ai nostri giorni, facendo prevalentemente uso di tecniche che utilizzano satelliti artificiali, si punta a precisioni centimetriche, almeno nelle posizioni relative in regioni di notevole ampiezza (si pensi al territorio degli Stati Uniti, o dell Unione Europea). Nel seguito saranno descritti gli aspetti essenziali sia dell ambito concettuale, sia delle procedure operative necessarie per acquisire tale conoscenza Sistemi di riferimento astronomici - Storicamente le osservazioni astronomiche hanno avuto un ruolo fondamentale per il posizionamento, specialmente per la navigazione. L osservazione della rotazione apparente delle stelle consente di determinare la posizione dell asse di rotazione (polo) nella volta celeste. L angolo fra la verticale e la direzione dell asse di rotazione è la colatitudine, ossia il complementare della latitudine (fig.1); inoltre, la proiezione sul piano orizzontale della congiungente l osservatore con il polo celeste individua una direzione di riferimento (nord o sud) rispetto a cui viene definita la rotta. Più complicata è la determinazione della longitudine, definita come l angolo fra il piano contenente la verticale locale e parallelo all asse di rotazione e il piano parallelo anch esso all asse di rotazione e contenente la verticale all osservatorio di Greenwich; essa infatti richiede il confronto di osservazioni astronomiche nel punto con osservazioni fatte in un altro luogo al medesimo istante, e quindi comunicazioni istantanee, oppure precisi strumenti di misurazione del tempo che l osservatore porta con sè nei suoi spostamenti. Va rilevato che l osservatore ha interesse a determinare la posizione del punto sulla superficie terrestre, indipendentemente dai movimenti della terra, e quindi a stabilire un sistema di riferimento solidale con la terra; il fatto che utilizzi l osservazione di oggetti esterni alla terra, come le stelle, significa che occorre stabilire le relazioni fra tale sistema ed un sistema di riferimento solidale con le stelle. Queste relazioni hanno anche una rilevanza dinamica, dato che il sistema solidale con le stelle è con buona approssimazione inerziale, mentre i moti della terra generano forze apparenti nel sistema ad essa solidale. Vengono qui descritti sommariamente i principali componenti del moto della terra rispetto ad un sistema inerziale: oltre al moto orbitale intorno al sole ed alla rotazione diurna, si ha una precessione dell asse di rotazione intorno alla direzione normale all eclittica (che è il piano dell orbita intorno al sole), rispetto a cui è inclinato di circa 23.5, con una velocità angolare di circa 50 all anno; una nutazione, cioè una piccola rotazione dell asse intorno alla sua posizione media, con un ampiezza di e un periodo di circa 18.5 anni (fig.2). Si hanno inoltre spostamenti del polo rispetto alla superficie terrestre, con ampiezza dell ordine della decina di metri e andamento approssimativamente periodico con periodo di poco più di 400 giorni (fig.3). Tutti questi moti, che possono essere descritti con buona approssimazione partendo dalla teoria del moto del corpo rigido e modellando opportunamente la deformabilità della terra legata alla sua struttura 6

7 materiale, manifestano notevoli irregolarità, e devono essere sottoposti a continua osservazione se si vuole giungere alla definizione di un sistema riferimento di elevata precisione (compatibile con la precisione nel posizionamento ottenibile con gli strumenti oggi disponibili). Alla luce di queste considerazioni, si usa definire un sistema di riferimento inerziale legato alle stelle e un sistema di riferimento solidale con la terra la cui posizione rispetto al sistema inerziale è variabile nel tempo in virtù dei moti sopra descritti. Per una definizione ad elevata precisione del sistema inerziale è necessaria la conoscenza della posizione di un certo numero di corpi celesti e dei loro moti relativi apparenti. A tale scopo, sono disponibili cataloghi stellari basati su un numero molto elevato di osservazioni astronomiche svolte in un certo intervallo di tempo; una missione spaziale denominata HIPPARCOS è stata realizzata alcuni anni fa dall Agenzia Spaziale Europea con questo obiettivo. In realtà, proprio per il fatto che la presenza di moti relativi fra le stelle rende difficile la definizione di un sistema di riferimento basato sulla loro posizione ad elevatissimi livelli di precisione (l obiettivo è oggi il millesimo di arcsec), in tempi recenti si è scelto di adottare un sistema basato sulla posizione di sorgenti radio extragalattiche. Tale sistema è denominato Sistema Inerziale Convenzionale (CIS) Sistemi di riferimento terrestri - Un sistema di riferimento solidale con la terra non può usare come asse la direzione dell asse di rotazione, dato che questo non è fisso rispetto alla terra; è quindi necessario scegliere una direzione fissa convenzionale, prossima a quella dell asse di rotazione, i cui spostamenti, come si è visto, sono molto piccoli. In realtà si fa riferimento ad un certo numero di stazioni fiduciarie poste in diversi luoghi della superficie terrestre e dotate di sofisticate apparecchiature per un controllo continuo ad elevata precisione della loro posizione. Viene così definito un Sistema Terrestre Convenzionale (CTS). Senza entrare in dettagli, occorre osservare che le posizioni relative delle stazioni subiscono variazioni nel tempo, sia a causa di oscillazioni a breve periodo dovute a deformazioni mareali cui la terra è sottoposta, non essendo un corpo perfettamente rigido, sia per i moti delle placche tettoniche (deriva dei continenti). Tali moti sono molto piccoli, ma bisogna tenerne conto per assicurarsi la stabilità nel tempo del sistema di riferimento terrestre. Inoltre, i metodi moderni di posizionamento sfruttano la conoscenza delle orbite di particolari satelliti artificiali, la cui dinamica è studiata in un sistema di riferimento inerziale (oppure, se studiata in un sistema di riferimento terrestre, deve tener conto delle forze apparenti). Errori nella determinazione delle orbite portano come conseguenza a errori nel posizionamento. Si capisce quindi come, per valutare l affidabilità della posizione di un punto, sia necessaria una complessa analisi delle procedure che hanno portato alla sua determinazione. Tale analisi è particolarmente importante se si vogliono studiare le variazioni nel tempo della posizione, dovute ad esempio a deformazioni della crosta terrestre. In questo caso occorre confrontare determinazioni della posizione effettuate in epoche diverse, ed è quindi necessario tener conto delle possibili variazioni nel tempo del sistema di riferimento Sistemi di riferimento e sistemi di coordinate - Si è già osservato che, quando un sistema di riferimento sia stato individuato mediante una terna di assi, diversi tipi di coordinate, legati tra di loro da ben definite trasformazioni matematiche, possono essere utilizzati. Non è però possibile stabilire con una semplice formula la relazione tra la posizione di un punto nel CTS, espressa ad esempio in coordinate cartesiane, e la sua espressione in termini di latitudine e longitudine astronomica e altezza sul livello del mare (indicate rispettivamente con Φ, Λ, H ). Infatti le coordinate astronomiche sono basate sulla direzione della verticale, che varia in modo irregolare; la quota sul livello del mare, anche quando la sua definizione sia meglio precisata come altezza rispetto ad una ben precisa superficie equipotenziale del campo della gravità - il geoide -, è pur sempre riferita ad una superficie il cui andamento è irregolare. Se invece si considera come superficie di riferimento una figura geometrica descritta da un espressione matematica semplice, ad esempio un ellissoide di rotazione caratterizzato da ben definiti parametri geometrici (semiasse maggiore e schiacciamento polare) e di cui sia fissata la posizione del centro e la direzione dell asse di simmetria, la direzione della normale a tale ellissoide passante per un dato punto ad esso esterno e l altezza di tale punto sulla superficie dell ellissoide lungo la normale sono esprimibili con formule abbastanza semplici in termini delle coordinate cartesiane del punto. Più precisamente, in un sistema di assi con l origine nel centro dell ellissoide, l asse z nella direzione dell asse di simmetria e l asse x in una direzione fissata nel piano 7

8 equatoriale, si ha: x = (N(φ) + h) cos φ cos λ y = (N(φ) + h) cos φ sin λ z = (N(φ)(1 e 2 ) + h) sin φ (5.4.1) dove φ è l angolo della normale all ellissoide con la sua proiezione sul piano equatoriale; λ è l angolo della proiezione della normale sul piano equatoriale con l asse x; h è l altezza sull ellissoide (misurata lungo la normale); N(φ) = a(1 e 2 sin 2 φ) 1 2, essendo a il semiasse maggiore; e 2 = 1 (b 2 /a 2 ) ( b =semiasse minore)(fig.4). Spesso, in luogo del parametro e 2 sopra introdotto, si fa uso del parametro f = (a b)/a, detto schiacciamento. È immediato verificare che 1 e2 = (1 f) 2. Si sono visti i parametri che caratterizzano l ellissoide internazionale GRS80, oggi utilizzato come riferimento; va però ricordato che le coordinate ellissoidiche del sistema nazionale italiano sono riferite ad un ellissoide diverso, detto ellissoide di Hayford, adottato a livello internazionale nei decenni passati. L inversione della trasformazione (5.4.1) per esprimere φ, λ, h in termini di x, y, z è piuttosto laboriosa, salvo che per λ che è immediatamente esprimibile come λ = arctan(y/x) (a meno di multipli di π ; si ricordi che arctan ha valori fra π/2 e π/2, mentre la longitudine varia in un intervallo di ampiezza 2π ). Una possibile procedura (ma molte altre sono state proposte) consiste nello scrivere N(φ) + h = (x2 + y 2 ) 1/2 cos φ (1 e 2 )N(φ) + h = z sin φ (5.4.2) per ottenere, eliminando h, e 2 N(φ) sin φ (x 2 + y 2 ) 1/2 tan φ + z = 0 ovvero tan φ = z + e2 N(φ) sin φ (x 2 + y 2 ) 1/2 (5.4.3) che può essere risolta iterativamente in φ, partendo dal valore iniziale φ 0 con tan φ 0 = z/(x 2 + y 2 ) 1/2 ; si verifica (vedi fig.5) che la soluzione φ di (5.4.3) è unica in [0, π/2] e che φ > φ 0. h può poi essere calcolata usando una delle equazioni (5.4.2). Esiste anche una formula chiusa: φ = arctan z + e 2 b sin 3 θ (x 2 + y 2 ) 1/2 e 2 a cos 3 θ (5.4.4) dove e 2 = (a 2 b 2 )/b 2 ; θ = arctan[(z/(x 2 + y 2 ) 1/2 )(a/b)]. È utile esprimere la (5.4.1) in forma vettoriale. Indicato con r il vettore di componenti x, y, z, si definiscono i vettori cos φ cos λ e r = cos φ sin λ e λ = sin λ sin φ cos λ cos λ e φ = sin φ sin λ (5.4.5) sin φ 0 cos φ 8

9 che costituiscono una terna destrorsa di vettori ortonormali. Allora, indicato con r il vettore di componenti x, y, z, si ha r = (N(φ)(1 e 2 sin 2 φ) + h)e r e 2 N(φ) sin φ cos φe φ (5.4.6) L ellissoide così definito non è però dotato di realtà fisica e le coordinate φ, λ, h non sono quindi determinabili con misure. In sostanza, le coordinate astronomiche e la quota sul livello del mare sono fisicamente misurabili, ma non sono adatte a descrivere le posizioni relative di punti diversi, proprio a causa della loro variazione irregolare; d altra parte, le coordinate cartesiane non consentono di visualizzare facilmente la posizione di un punto sulla superficie terrestre (ad esempio, non è facile rendersi conto della quota di un punto leggendo le coordinate cartesiane). Le coordinate ellissoidiche (cioè gli angoli di direzione della normale e l altezza sopra una superficie ellissoidica data, prossima alla superficie terrestre, indicati come sopra con φ, λ, h e denominati coordinate geodetiche) rispondono meglio all obiettivo di visualizzazione intuitiva Considerazioni sulla determinazione dei sistemi di riferimento e sulle loro trasformazioni - I metodi moderni di posizionamento, basati sull osservazione di satelliti artificiali, consentono di determinare le coordinate (cartesiane o ellissoidiche) in un sistema di riferimento geocentrico, implicitamente definito dalle coordinate delle stazioni fiduciarie. Si noti che proprio la dinamica dei satelliti orbitanti intorno alla terra fa sì che la loro posizione sia descritta in modo naturale rispetto al centro di massa della terra. Al contrario, i metodi classici basati su reti geodetiche localizzate su un territorio di limitata estensione (ad esempio, reti nazionali), richiedono, per poter fare uso di coordinate ellissoidiche, che la posizione dell ellissoide sia definita relativamente ad un punto appartenente alla regione considerata, di cui quindi si conoscono sia le coordinate astronomiche e la quota sul livello del mare, sia le coordinate ellissoidiche. La procedura usualmente adottata è la seguente:. si fissa un punto P di riferimento sul territorio, di cui sono note latitudine e longitudine astronomiche e quota sul livello del mare;. si sceglie un punto Q sull ellissoide la cui latitudine ellissoidica (ovvero il complementare dell angolo della normale per Q con l asse di simmetria dell ellissoide) è uguale alla latitudine astronomica di P ;. si fa coincidere il punto Q con il punto P sul geoide ottenuto proiettando P lungo la direzione della verticale, e si richiede che in tale punto l ellissoide sia tangente al geoide. In questo modo al punto P vengono attribuite latitudine e longitudine astronomiche ed ellissoidiche coincidenti; inoltre, l altezza di P sul livello del mare è uguale all altezza sull ellissoide, ovvero l altezza del geoide sull ellissoide in P è nulla.. ruotando l ellissoide attorno alla normale per Q si fa coincidere l azimut astronomico in P di una direzione arbitraria con l azimut ellissoidico. In questo modo l asse di simmetria dell ellissoide è reso parallelo all asse terrestre convenzionale. A questo punto, a partire dalle coordinate geodetiche del punto P si possono determinare le coordinate cartesiane in un sistema di assi avente l origine nel centro dell ellissoide, l asse z lungo il suo asse di simmetria e l asse x fissato nel piano equatoriale; mediante reti geodetiche è possibile in linea di principio determinare nello stesso sistema di assi le coordinate cartesiane dei vettori congiungenti P con altri punti P i della superficie terrestre nella regione considerata, e quindi, in ultima analisi, le coordinate cartesiane e quelle geodetiche dei punti P i, riferite ovviamente all ellissoide posizionato nella maniera sopra descritta. Procedure di questo tipo sono state adottate in passato per la costruzione delle cartografie nazionali. In generale le coordinate geodetiche utilizzate per sistemi cartografici diversi fanno riferimento ad ellissoidi diversi, e le trasformazioni di coordinate fra sistemi diversi richiederebbero la conoscenza delle posizioni relative dei diversi ellissoidi (che, in teoria, sono semplicemente traslati l uno rispetto all altro, avendo gli assi z paralleli e gli assi x definiti secondo la stessa convenzione); queste però non sono in generale note. La cartografia nazionale italiana è basata sul sistema di riferimento ROMA40, legato all ellissoide inter- 9

10 nazionale (di Hayford) orientato (ossia tangente al geoide) in corrispondenza dell osservatorio di Monte Mario (a Roma). L ellissoide internazionale, adottato per convenzione nel 1924, ha parametri geometrici diversi da quelli sopra riportati per il GRS80, e precisamente a = m f 1 = 297 Molti paesi europei hanno adottato un sistema di riferimento, detto ED50 (ED=European Datum), legato anch esso ad un ellissoide internazionale, che però ha un orientamento medio europeo, ossia non esattamente coincidente con alcun orientamento dei vecchi sistemi di riferimento nazionali. La cartografia italiana riporta anche le coordinate geografiche ED50 e le coordinate cartografiche che ne derivano. Qualora siano disponibili le coordinate di un certo numero di punti in due diversi sistemi, è possibile stimare ai minimi quadrati i parametri della trasformazione, e quindi la posizione relativa dei due ellissoidi a cui i due sistemi sono riferiti. In generale, oltre ai tre parametri che definiscono una traslazione, si introducono tre parametri che descrivono una rotazione degli assi ed un parametro di scala, che si giustificano perchè nei diversi sistemi l orientazione dell ellissoide e la scala delle lunghezze sono definite sulla base di insiemi di misure, e a volte anche di tecniche, diverse; naturalmente, ci si aspetta che la rotazione sia molto piccola e che il fattore di scala sia molto vicino a 1 (fig.6). Si tratta quindi di 7 parametri; in linea di principio è quindi sufficiente conoscere nei due sistemi un numero di coordinate maggiore di 7, ad esempio le terne di coordinate di 3 punti. Dal punto di vista pratico, va osservato che in generale i punti le cui coordinate sono note nei due sistemi si trovano al confine fra le due regioni rilevate con riferimento ai due diversi ellissoidi, e coprono soltanto una piccola parte di tali regioni; ci si aspetta quindi che i parametri determinati abbiano una validità locale e non possano essere accettati come caratterizzanti la trasformazione tra i due sistemi di riferimento a livello globale. In tempi recenti, per il diffondersi del posizionamento GPS, ha acquisito rilevanza il sistema di riferimento legato al GPS, detto WGS84, che fa uso di un ellissoide geocentrico. La nuova rete geodetica italiana istituita dall Istituto Geografico Militare, detta IGM95, fa uso di coordinate WGS84; il riferimento assoluto è al Centro di Geodesia Spaziale di Matera, che dispone anche di una stazione SLR (Satellite Laser Ranging) e di una stazione VLBI (Very Long Baseline Interferometry, basata su osservazioni radioastronomiche). La cartografia ufficiale fa invece ancora uso del sistema nazionale di coordinate detto Roma40, che, come si è accennato, è riferito all ellissoide di Hayford orientato a Monte Mario. Quindi gli operatori che eseguono rilevamenti con il GPS e nello stesso tempo usano la cartografia devono conoscere i parametri di trasformazione. ESEMPIO: Trasporto di coordinate Sia P un punto sulla superficie terrestre di coordinate geodetiche (φ P, λ P, h P ) riferite ad un ellissoide geocentrico di parametri geometrici noti, con l asse di simmetria (asse z) in direzione polare, l asse x diretto verso il meridiano di Greenwich. È quindi posibile calcolare le coordinate cartesiane (x P, y P, z P ) di P rispetto a questo sistema di assi, usando la formula (5.4.1). Facendo stazione in P si collima il punto Q e si misurano la distanza d fra P e Q, l azimut α e l angolo zenitale ζ della direzione P Q (fig.7). Assumendo per semplicità che l asse dello strumento sia orientato nella direzione normale all ellissoide (ovvero trascurando la deviazione della verticale), e introducendo un sistema di assi con origine in P, l asse Z lungo la normale all ellissoide, l asse X verso Sud e l asse Y verso Est, le coordinate cartesiane di Q in questo sistema di assi sono X Q = d sin ζ cos α Y Q = d sin ζ sin α Z Q = d cos ζ (5.5.1) Per ottenere le coordinate cartesiane di Q nel sistema di assi xyz occorre applicare una roto-traslazione. 10

11 Ponendo r = (x y z) T, R = (X Y Z) T si ha r Q = r P + RR Q R Q = R 1 (r Q r P ) (5.5.2) dove R è una matrice di rotazione, per cui R 1 = R T. Più precisamente R 1 = R y ( π 2 φ P )R z (λ P ) = sin φ P 0 cos φ P cos φ P 0 sin φ P cos λ P sin λ P 0 sin λ P cos λ P 0 (5.5.3) R z (λ P ) porta l asse x nella direzione del meridiano passante per P, l asse y parallelo alla direzione Est per P, lascia l asse z invariato;. R y ((π/2) φ P ) lascia y invariato, porta z in direzione della normale all ellissoide per P, x nella direzione Sud per P. Da r Q si possono poi ottenere φ Q, λ Q, h Q applicando (5.4.3) o (5.4.4). NOTA: può essere conveniente portare l asse X verso Est e l asse Y verso Nord, cosa che può essere ottenuta con un ulteriore rotazione intorno a Z di π/2 in verso antiorario, la cui matrice è R z ( π 2 ) = NOTA: tenendo conto che l asse dello strumento in realtà è orientato secondo la direzione della verticale, occorre misurare gli angoli Φ P, Λ P (latitudine e longitudine astronomica) e introdurli nella rotazione. È però necessario conoscere le coordinate geodetiche φ P, λ P, h P per poter determinare le coordinate cartesiane Trasformazioni fra coordinate geodetiche riferite ad ellissoidi diversi. - Si è visto che ad un ellissoide di riferimento è associata una terna di assi a cui è riferito un sistema di coordinate cartesiane. Ad ellissoidi orientati localmente in modi diversi corrispondono quindi sistemi diversi di coordinate cartesiane, che si trasformano l uno nell altro per roto-traslazioni. Si osservi che la procedura di orientamento di un ellissoide precedentemente illustrata farebbe pensare che tutti gli ellissoidi orientati localmente nelle diverse regioni abbiano gli assi paralleli, e che sia quindi sufficiente una traslazione. Tuttavia, poichè l orientamento è eseguito sulla base di una serie di misure affette da errori, indipendenti da regione a regione, è opportuno introdurre anche una rotazione, i cui parametri devono essere molto piccoli. È inoltre opportuno introdurre anche un cambiamento di scala, il cui valore deve risultare molto vicino a 1, dovuto al fatto che le misure di lunghezze utilizzate nella definizione dei diversi sistemi di riferimento locali sono affette da errori indipendenti. Queste trasformazioni e le loro espressioni linearizzate, utilizzate quando i parametri delle trasformazioni sono piccoli, sono descritte dettagliatamente in Appendice. Si tratta ora trovare l espressione linearizzata della variazione delle coordinate geodetiche in funzione della variazione delle coordinate cartesiane. La (5.4.1) e la (5.4.6) hanno la forma generale r = F(Γ, b), dove Γ = φ ( ) λ a ; b = f h I parametri a e f sono contenuti implicitamente in N(φ), e f anche in e 2. Quindi (5.6.1) r = J Γ + D b (5.6.2) 11

12 ovvero Γ = J 1 ( r D b) (5.6.3) dove J = (x, y, z) (φ, λ, h) ; D = (x, y, z) (a, f) (5.6.4) Usando la (5.4.6) e tenendo conto che e r / φ = e φ ; e r / λ = e λ cos φ ; e φ / φ = e r ; e φ / λ = e λ sin φ si ottiene dove M(φ) = N(φ)(1 e 2 )/(1 e 2 sin 2 φ). J = ((M(φ) + h)e φ (N(φ) + h) cos φe λ e r ) (5.6.5) NOTA: conviene esprimere J come prodotto J = SC della matrice S = (e φ e λ e r ) con la matrice diagonale C = diag(m(φ) + h, (N(φ) + h) cos φ, 1). S è antiunitaria, cioè verifica S 1 = S T, ma det S = 1, poichè la terna e φ e λ e r è sinistrorsa. In questo modo si ha immediatamente J 1 = C 1 S T, dove C 1 = diag((m(φ) + h) 1, ((N(φ) + h) cos φ) 1, 1). La matrice S rappresenta una rotazione più una riflessione (operazioni che non modificano gli elementi di lunghezza); il significato della matrice C si può capire osservando che i suoi elementi rappresentano il rapporto fra le variazioni delle componenti del raggio vettore e le variazioni dei parametri. In particolare, ponendo h = 0 (quindi se il punto sta sull ellissoide) i primi due elementi, i cui parametri corrispondenti sono angoli rispettivamente lungo un meridiano e lungo un parallelo, sono i raggi di curvatura dei meridiani e dei paralleli. Quest ultimo è ottenuto moltiplicando per cos φ (che corrisponde ad una proiezione su un piano parallelo al piano xy) N(φ), che è il raggio di curvatura della sezione normale per il punto avente tangente parallela a e λ. Nell equazione (5.6.3) r può essere interpretato come l incremento del vettore le cui componenti sono le coordinate cartesiane di un punto per una trasformazione del sistema di assi. Quindi la (5.6.3), con r espresso dalla (5.A10) (vedi seguito), può essere utilizzata per determinare i parametri della trasformazione (roto-traslazione più cambiamento di scala) fra due sistemi di riferimento corrispondenti a due ellissoidi diversi e diversamente orientati, usando il metodo dei minimi quadrati, quando siano note le coordinate Γ di un numero sufficiente di punti in entrambi i sistemi. Va però osservato che nei sistemi nazionali le quote ellissoidiche h rispetto agli ellissoidi orientati localmente non sono in generale note, e si usano invece le quote ortometriche H ; inoltre, l ondulazione del geoide è calcolata rispetto ad un ellissoide geocentrico e non è quindi possibile il passaggio da H a h. APPENDICE: rotazioni Rotazione piana (fig.8) x B = x A cos α + y A sin α y B = x A sin α + y A cos α (5.A1) ovvero ( xb y B ) ( ) ( ) cos α sin α xa = sin α cos α y A (5.A2) 12

13 NOTA: La (5.A2) rappresenta una rotazione antioraria degli assi cartesiani o, equivalentemente, una rotazione oraria dei punti del piano intorno all origine, restando fissi gli assi. Per convincersene, basta osservare che il punto (cos α sin α) T viene trasformato nel punto (1 0) T. Le matrici di rotazione R definiscono trasformazioni lineari nello spazio. Esse sono matrici unitarie: R T R = RR T = I ; det R = 1. Matrici di rotazione nello spazio R x (α) = cos β 0 sin β 0 cos α sin α R y (β) = sin α cos α sin β 0 cos β cos γ sin γ 0 R z (γ) = sin γ cos γ (5.A3) NOTA: Le matrici della forma (5.A3) si trasformano l una nell altra per permutazioni cicliche simultanee delle righe e delle colonne. R x, R y, R z sono rotazioni rispettivamente intorno agli assi x, y, z. Una generica rotazione nello spazio può essere espressa come prodotto: R = R x R y R z. Infatti, fissata una posizione iniziale degli assi coordinati, si consideri la sfera unitaria con il centro nell origine degli assi, e si scelga su di essa un punto arbitrario P ed un altro punto Q tale che l angolo P OQ sia retto. È allora possibile ottenere la rotazione degli assi che porta l asse x a passare per P e l asse z per Q con la seguente procedura: - rotazione intorno a z fino a portare l asse x nel piano di z e P ; - rotazione intorno a y fino a far passare l asse x per P ; - rotazione intorno a x fino a far passare l asse z per Q. NOTA: gli angoli di rotazione non sono univocamente determinati: basti pensare, ad esempio, che per portare l asse x nel piano di z e P si possono eseguire diverse rotazioni intorno a z, differenti fra di loro per multipli di π. Inoltre, anche la scelta degli assi delle rotazioni e del loro ordine non è univoca: si pensi, ad esempio, agli angoli di Eulero usati in astronomia e in meccanica razionale. La scelta qui compiuta corrisponde alla prassi usuale in topografia. Se gli angoli sono piccoli, sono spesso adottate formule approssimate al I ordine rispetto agli angoli, ponendo sin θ θ, cos θ 1. Ad esempio R z (γ) = 1 γ 0 γ (5.A4) e formule simili per le rotazioni attorno agli altri assi. Sempre al I ordine, trascurando i prodotti di angoli piccoli, R = R x R y R z = I + R ; R = 0 γ β γ 0 α β α 0 (5.A5) È importante osservare che, mentre le rotazioni in generale non commutano, le rotazioni piccole al I ordine (cioè trascurando prodotti di angoli piccoli) commutano. Roto-traslazione: rotazione seguita da uno spostamento dell origine (fig.9): 13

14 r B = r 0 + Rr A (5.A6) NOTA: la trasformazione inversa è r A = R 1 (r B r 0 ) ovvero una traslazione seguita da una rotazione. L espressione (5.A7) è simile ad (5.A6), con R 1 di R e R 1 r 0 in luogo di r 0. In alcuni casi è utile introdurre anche un cambiamento di scala: (A7) in luogo r B = r 0 + arr A (5.A8) dove a è in generale un numero prossimo a 1 : a = 1 + ɛ. Quando i parametri della trasformazione sono piccoli, la (5.A8) al I ordine assume la forma r B = r 0 + (1 + ɛ)(i + R)r A r 0 + [(1 + ɛ)i + R]r A (5.A9) ovvero r r B r A = r 0 + (ɛi + R)r A (5.A10) L inversa della (5.A8) è r A = (ar) 1 (r B r 0 ) = (ar) 1 r B (ar) 1 r 0 (5.A11) Ora, (ar) 1 = (1 + ɛ) 1 (I + R) 1, e al primo ordine 1/a 1 ɛ ; (I + R) 1 I R (per quest ultima basta pensare che la trasformazione inversa di R in (5.A5) si ottiene sostituendo α, β, γ con α, β, γ ). Quindi (ar) 1 = (1 ɛ)(i R) (1 ɛ)i R (sempre al I ordine). Inoltre, se anche r 0 è piccolo, (ar) 1 r 0 r 0. Di conseguenza r A = [(1 ɛ)i R]r B r 0 (5.A12) che si può ottenere dalla (5.A9) semplicemente cambiando di segno tutti i parametri della trasformazione. È chiaro, per quanto visto, che questa semplice regola vale solamente al I ordine quando i parametri sono piccoli. 6. Determinazione di quantità geodetiche sulla superficie terrestre 6.1. Trasporto delle coordinate sull ellissoide - Si è visto come in linea di principio sia possibile calcolare le coordinate geodetiche di un punto sulla base di misure geodetiche 3-dimensionali. Nella pratica, la geodesia classica fa uso di formule puramente planimetiche che consentono di determinare le coordinate cartesiane di un punto in un sistema di assi locale o le coordinate geodetiche in funzione della lunghezza e dell azimut di una geodetica (vedi Appendice) che collega quel punto ad un punto noto Formule di Puiseux-Weingarten (al III ordine) - In un sistema di coordinate cartesiane con l origine in un punto P 0 dell ellissoide e con gli assi orientati rispettivamente nelle direzioni Est, Nord e Normale, le coordinate di un punto P sull ellissoide con distanza ellissoidica s da P 0 e con azimut α della geodetica P 0 P sono 14

15 X = s sin α(1 s2 + o(s 2 )) 6NR α Y = s cos α(1 s2 + o(s 2 )) 6MR α s Z = s( + o(s 2 )) 2R α (6.1.1) dove R α è il raggio di curvatura dell ellissoide in P 0 ad azimut α. NOTA: un errore nell azimut di 20 arcsec (10 4 rad) su un lato di 50 km porta ad un errore di 5 m in direzione circa ortogonale al lato. Si osservi che 5 m lungo un meridiano corrispondono ad un errore in latitudine di circa 0.15 arcsec. Approssimando l ellissoide con la sfera locale (campo geodetico), ponendo cioè N, M, R α R = (MN) 1/2 (vedi Appendice), si ottiene X = s sin α(1 s2 6R 2 ) Y = s cos α(1 s2 6R 2 ) Z = s2 2R (6.1.2) Gli errori che si commettono sono al massimo 27mm su 100km per X e Y, al massimo 1.3m su 100km per Z. NOTA: Le (6.1.2) possono essere ricavate direttamente. Infatti è facile vedere che X = R sin s R sin α Y = R sin s R cos α (6.1.3) Z = R(1 cos s R ) Sostituendo le espressioni approssimate sin x x (x 3 /6), 1 cos x x 2 /2 si ottengono le (6.1.2). In approssimazione piana (campo topografico) si ottiene X = s sin α Y = s cos α (6.1.4) con un errore massimo di 4mm su 10km (essendo s 2 /(6R 2 ) ). Per la coordinata Z l approssimazione piana non è ammissibile. Basta osservare che un punto sulla sfera locale a 10km di distanza ha Z 7.8m, cioè dista 7.8m dal piano tangente Trasporto di coordinate geografiche (lungo una geodetica) - Si parte dagli sviluppi φ = φ(s) = φ(0) + φ s s=0s + e analoghi per λ, α (dove α è l azimut, s la lunghezza dell arco di geodetica). Le uguaglianze 15