Sistemi di riferimento in moto relativo

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1 Capitolo 2 Sistemi di riferimento in moto relativo Consideriamo due sistemi di riferimento = Oê 1 ê 2 ê 3 = O ê 1ê 2ê 3 nello spazio euclideo E 3. Le terne di vettori {ê 1,ê 2,ê 3 } e {ê 1,ê 2,ê 3 } dei sistemi di riferimento formano due basi B,B dello spazio vettoriale V 3 associato ad E 3. Pertanto, dato un vettore u V 3, esistono uniche le rappresentazioni in tali basi Data una mappa u = u h ê h = u hê h. R t u(t) V 3, definiamo le derivate temporali di u nei sistemi di riferimento e come = u h ê h, = u hê h. 2.1 Velocità angolare e formule di Poisson Proposizione 7. Dati due sistemi di riferimento = Oê 1 ê 2 ê 3, = O ê 1ê 2ê 3, esiste un unica mappa R t ω(t) V 3, detta velocità angolare di rispetto a, tale che dê h = ω ê h, h = 1,2,3. (2.1) Le relazioni (2.1) si chiamano formule di Poisson. 27

2 28 CAPITOLO 2. SISTEMI DI RIFERIMENTO IN MOTO RELATIVO Dimostrazione. Consideriamo la matrice R SO(3) di cambiamento di base da B = {ê 1,ê 2,ê 3 } a B = {ê 1,ê 2,ê 3 }, con componenti R ji = ê i ê j, i,j = 1,2,3. Siano inoltre e h R 3 i vettori della base canonica, che rappresentano ê h nella base B ed e h R3 i vettori delle componenti di ê h in B. Valgono le relazioni e h = Re h, j = 1,2,3. Il vettore dê h è rappresentato da ė h R3 nella base B. Dalla relazione R T R = I si ottiene ė h = ṘRT Re h = ṘRT e h. La matrice ṘRT è antisimmetrica, come si vede derivando RR T = I rispetto a t. Data una matrice antisimmetrica A, esiste un unico vettore a R 3 tale che Au = a u, u R 3. La relazione tra le componenti di A e di a = (a 1,a 2,a 3 ) è la seguente: 0 a 3 a 2 A = a 3 0 a 1. a 2 a 1 0 Concludo che esiste un unico vettore ω R 3, associato alla matrice ṘRT, tale che ė h = ω e h, h = 1,2,3. Il vettore ω = 3 ω hê h V 3, rappresentato da ω in B, è la velocità angolare. Infatti se a,b rappresentano a, b in B, allora a b è rappresentato da a b: a b = a i ê i b j ê j = a i b j ê i ê j = i=1 j=1 (a i b j a j b i )ê i ê j = i,j=1 1 i<j 3 (a b) h ê h. (2.2) L unicità di ω si dimostra per assurdo. Se esistessero ω 1, ω 2 che soddisfano le (2.1), allora si avrebbe ( ω 1 ω 2 ) ê h = 0 per h = 1,2,3. Quindi ω 1 = ω 2. Esercizio 3. Per ogni a V 3 l applicazione lineare ha nucleo di dimensione di dispari. V 3 u a u

3 2.1. VELOCITÀ ANGOLARE E FORMULE DI POISSON 29 Suggerimento: scrivere la matrice corrispondente a questa applicazione in una base di cui a è un elemento. Proposizione 8. Una formula esplicita per la velocità angolare è data da ω = 1 ê h 2 dê h (2.3) Dimostrazione. Usando le formule di Poisson (2.1) si ha ê h dê h = ê h ( ω ê h) = [ ω ( ω ê h)ê h] = 2 ω. Esempio 1. Siano = Oê 1 ê 2 ê 3, = Oê 1ê 2ê 3 due sistemi di riferimento con la stessa origine O. Assumiamo che ruoti attorno all asse Oê 3 di in modo che i vettori ê 1 e ê 1 formino un angolo θ(t). Calcoliamo la velocità angolare di rispetto a. Abbiamo che ê 1 = cosθê 1 +sinθê 2, ê 2 = sinθê 1 +cosθê 2, ê 3 = ê 3. (2.4) Derivando le (2.4) rispetto a t ed applicando (2.3) si ottiene che ω = θê 3 Velocità e accelerazione relative a riferimenti diversi Proposizione 9. Data una mappa vettoriale differenziabile R t u(t) V 3, vale la relazione = + ω u. (2.5) Dimostrazione. Osserviamo innanzitutto che, poiché ê i = j R jiê j, u = u iê i = u i R ji ê j = ( ) u i R ji ê j, i i j j dove le somme su i e j si intendono da 1 a 3. Abbiamo quindi = d ( ) u ir ji ê j = ( ) u ir ji +u iṙji ê j = j i j i = ( ) u i R ji ê j + u i Ṙ ji ê j = + i j i j i = + u i ω ê i = + ω u. i i u i dê i =

4 30 CAPITOLO 2. SISTEMI DI RIFERIMENTO IN MOTO RELATIVO Osservazione 1. Dalla (2.5) segue che la derivata temporale di ω in ed in coincidono. Per questo motivo in seguito scriveremo anche ω al posto di d ω e. di d ω Se u, u rappresentano le coordinate del vettore u V 3 nelle basi B = {ê 1,ê 2,ê 3 }, B = {ê 1,ê 2,ê 3} rispettivamente, possiamo scrivere dove R SO(3), Re h = e h. u = R u +ω Ru, Composizione di velocità angolari Consideriamo tre sistemi di riferimento in E 3 : = Oê 1 ê 2 ê 3, = O ê 1ê 2ê 3, = O ê 1ê 2ê 3. Proposizione 10. Se ω è la velocità angolare di rispetto a e se ω è la velocità angolare di rispetto a, allora la velocità angolare ω di rispetto a è data dalla somma ω + ω. Dimostrazione. Usando la (2.5) e le formule di Poisson si ha, per h = 1,2,3, ω ê h = dê h = dê h + ω ê h = ( ω + ω ) ê h. Si conclude usando l unicità della velocità angolare. Equazione del moto in riferimenti diversi Scriviamo le formule che legano la velocità v e l accelerazione a di un punto materiale P in un sistema di riferimento = Oê 1 ê 2 ê 3 a quelle calcolate relativamente ad un altro riferimento = O ê 1ê 2ê 3, in moto con velocità angolare ω rispetto a, denotate con v, a rispettivamente. Proposizione 11. Valgono le relazioni dove v T = v O + ω (P O ), v = v + v T, (2.6) a = a + a T + a C, (2.7) a T = a O + ω ( ω (P O ))+ ω (P O ), a C = 2 ω v.

5 2.1. VELOCITÀ ANGOLARE E FORMULE DI POISSON 31 Dimostrazione. Per ricavare le formule precedenti scriviamo P O = (P O )+(O O). Derivando rispetto a t in e usando (2.5) si ha v = v O + d(p O ) = v O + d(p O ) + ω (P O ), da cui segue (2.6). Derivando ancora si ottiene 1 a = a O + d2 (P O ) 2 da cui segue (2.7). + ω v + ω (P O )+ ω ( ω (P O ))+ ω v, I termini a T e a C si chiamano rispettivamente accelerazione di trascinamento e accelerazione di Coriolis. Il termine ω ( ω (P O )) si chiama accelerazione centripeta. In coordinate nella base B abbiamo x = Rx +x O, ẋ = Rẋ +ẋ O +ω Rx, ẍ = Rẍ +ẍ O +ω (ω Rx )+ ω Rx +2ω Rẋ in cui x = (x 1,x 2,x 3 ) è il vettore delle coordinate di (P O ) in B. Se l equazione del moto di un punto materiale P di massa m in un riferimento Oê 1 ê 2 ê 3 si scrive m a = F(P O, v,t) allora, nel riferimento O ê 1ê 2ê 3 possiamo scrivere m a = F((P O )+(O O), v + v T,t) m a T m a C. In coordinate nella base B l ultima equazione diventa mrẍ = F(Rx +x O,Rẋ +ẋ O +ω Rx ) m(ẍ O +ω (ω Rx )+ ω Rx ) 2mω Rẋ. Esempio: deviazione dei gravi in caduta libera Si consideri un sistema di riferimento = Oxyz, avente per origine il centro della Terra. Studiamo il moto di un punto materiale P in un sistema di riferimento solidale alla Terra, assumendo che questa abbia forma sferica e che ruoti attorno 1 usiamo la relazione d ( u v) = d u v+ u d v, che segue dalla (2.2).

6 32 CAPITOLO 2. SISTEMI DI RIFERIMENTO IN MOTO RELATIVO all asse Oz con velocità angolare ω costante. Stiamo trascurando il moto di rivoluzione della Terra attorno al Sole: in prima approssimazione questo è lecito, poiché la forza di attrazione gravitazionale del Sole è bilanciata dalla forza centrifuga del moto di rivoluzione. Dato un sistema di riferimento = O ξηζ solidale alla Terra l accelerazione relativa è data da a = a a T a C dove a = g, a T = a O + ω ( ω (P O )), a C = 2 ω v, con g costante in. Inoltre a O = ω ( ω (O O)), (2.8) infatti O,O sono fissi in, per cui (2.8) segue applicando due volte la formula (2.5) a O O. Siccome P O è molto più piccolo di O O posso trascurare il termine ω ( ω (P O )) quindi Poniamo a = g ω ( ω (O O)) 2 ω v. g O = g ω ( ω (O O)), che è l accelerazione di gravità locale alla latitudine λ. Possiamo orientare il riferimento nel modo seguente: scelgo l asse O ζ lungo la direzione della gravità locale, l asse O ξ parallelo al piano del meridiano, verso l equatore, el asse O η in modo tale i versori di O ξηζ formino una terna levogira, vedi Figura 2.1. Approssimiamo Figura 2.1: Il riferimento O ξηζ in cui si studia il moto del grave.

7 2.1. VELOCITÀ ANGOLARE E FORMULE DI POISSON 33 la gravità locale con g, trascurando 2 il termine ω ( ω (O O)). Le equazioni del moto per il punto P in diventano quindi d 2 2(P O ) = g 2 ω v. (2.9) Indicando conλlalatitudine di O eusando lecoordinateξ,η,ζ,le(2.9)si scrivono ξ = 2ωsinλ η, η = 2ωsinλ ξ 2ωcosλ ζ, ζ = g +2ωcosλ η. (2.10) Considero per queste equazioni le condizioni iniziali ξ(0) = η(0) = ζ(0) = ξ(0) = η(0) = ζ(0) = 0. (2.11) La soluzione del problema di Cauchy lineare dato da (2.10), (2.11) si potrebbe scrivere esplicitamente. Comunque possiamo ottenere un risultato qualitativo facendo un ulteriore approssimazione. Integrando la prima e la terza equazione in (2.10) e sostituendo le risultanti espressioni di ξ, ζ nella seconda si ottiene η = 4ω 2 η +2gωtcosλ. Trascurando il termine con ω 2 e integrando si ottiene η(t) = 1 3 gωt3 cosλ. Questa formula ci dice che un grave in caduta libera sulla Terra è soggetto a deviazione verso Est. 2 Osserviamo che la norma della velocità angolare del moto di rotazione della Terra è ω = 2π s 1 e la misura del raggio equatoriale della Terra è R 6378 Km. Stimiamo la norma del termine trascurato con ω 2 R ms 2, che è più piccolo di due ordini di grandezza del valore della accelerazione di gravità g = 9.81 ms 2.