Calcolo delle probabilità e ragionamento bayesiano. Unit 5 Corso di Logica e Teoria dell Argomentazione

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1 Calcolo delle probabilità e ragionamento bayesiano Unit 5 Corso di Logica e Teoria dell Argomentazione

2 Sommario Nozioni probabilistiche Probabilità condizionata Ragionamento bayesiano Fallacie probabilistiche Conferma bayesiana Applicazioni a giochi e giochi equi

3 PROBLEMI

4 Problema 1 Da un paio di settimane ho iniziato a giocarmi il 24 in tutte le estrazioni. Tieni presente che non esce da 135 settimane: non può ritardare ancora molto. Com è l argomento? (Valido/Forte/Debole)

5 Problema 2 Lanciamo 6 volte un dado non truccato. sequenza 1 sequenza 2 Quale sequenza è più probabile? (seq 1 / seq 2 / equiprobabili)

6 Problema 3 La maggior parte degli extracomunitari è delinquente. Infatti la maggior parte dei reati è commessa da extracomunitari. Com è l argomento? (Valido/Forte/Debole)

7 Problema 4 Bill ha 34 anni. E intelligente ma senza immaginazione, ossessivo e senza vita sociale. A scuola era bravo in matematica ma non era portato negli studi umanistici e sociali. Quale delle seguenti è la più probabile? La seconda più probabile? (assegnare un ordine) a) Bill è un fisico che gioca a poker per hobby. b) Bill è un architetto. c) Bill è un ragioniere. d) Bill suona il jazz per hobby. e) Bill è un ragioniere che suona il jazz per hobby.

8 Problema 5 Abbiamo 3 scatole chiuse e non trasparenti, ciascuna contenente 2 palline: una ne contiene due d'oro, una due d'argento, e l'ultima una d'oro e una d'argento. Scegliamo una scatola a caso e prendiamo una pallina a caso da quella scatola. La pallina estratta è d oro. :. La probabilità che la stessa scatola contenga un altra pallina d oro è 1/2. Com è l argomento? (valido/forte/debole)

9 Problema 6 In un gioco a premi ci sono 3 scatole chiuse: 2 vuote e 1 contenente monete d oro. Scegliamo una scatola. Il conduttore del gioco, che sa cosa si nasconde dentro ciascuna scatola, apre una delle due rimaste mostrando che è vuota. Poi offre: Se vuoi, puoi cambiare scatola. :. La probabilità che le monete d oro siano nella mia scatola è del 50%. :. Con ogni scelta ho la stessa probabilità di vincere Com è l argomento? (valido/forte/debole)

10 FALLACIE PROBABILISTICHE

11 Ritardi e Legge dei grandi numeri Da un paio di settimane ho iniziato a giocarmi il 24 in tutte le estrazioni. Tieni presente che non esce da 135 settimane: non può ritardare ancora molto. Come avete risposto? Premesse implicite: a) i numeri sono equiprobabili; b) un numero in ritardo dovrà presto riallinearsi alle uscite degli altri numeri Legge dei grandi numeri (o legge empirica del caso): le frequenze di uscita dei numeri tendono al valore teorico se le estrazioni sono infinite (non con un numero molto grande!)

12 Guardate un po Numeri più frequenti Fonte: 3/1/2017 Numeri meno frequenti Numeri ritardatari

13 Com è l argomento? L argomento è debole: le probabilità non cambiano perché gli eventi sono indipendenti E una fallacia Montecarlo (o dello scommettitore): si commette quando dal verificarsi (o dal non verificarsi) di una serie di eventi di un tipo si inferisce come più probabile che si presentino eventi di tipo opposto e indipendenti È da tanto che x non si verifica :. x si verificherà presto Una variante meno diffusa è: È da tanto che x non si verifica :. x non si verificherà più

14 Esempi Il 29 è sempre uscito nelle ultime due settimane. Stavolta non uscirà. Fallacia Montecarlo: sono eventi indipendenti. Nell ultimo mese è piovuto tutte le domeniche. La prossima domenica non pioverà. Fallacia Montecarlo: si possono considerare eventi indipendenti.

15 Problema 2 Lanciamo 6 volte un dado non truccato. Quale sequenza è più probabile? sequenza 1 sequenza 2 Come avete riposto? Molti credono la 1 sia più probabile. Invece sono sequenze equiprobabili, come ogni altra sequenza di lunghezza 6! È una fallacia Montecarlo

16 Problema 3 La maggior parte degli extracomunitari è delinquente. Infatti la maggior parte dei reati è commessa da extracomunitari. Come avete risposto?

17 Osservazione In generale p(a B) e p(b A) (si dicono converse) sono distinte e non correlate Esempio: estrazione nel gioco del Lotto (numeri da 1 a 90). Consideriamo A= numero pari e B= numero <=10 p(a)=45/90=.5; p(b)=10/90=.11; p(a&b)=5/90=.055 p(a B)=.055/.11=.5 p(b A)=.055/.5=.11

18 Problema 3 (cont.) La maggior parte degli extracomunitari è delinquente. Infatti la maggior parte dei reati è commessa da extracomunitari. (premessa) La maggior parte dei reati commessi in Italia è commessa da extracomunitari. (conclusione) La maggior parte degli extracomunitari è delinquente. E= atto compiuto da extracomunitari, D= atto delinquenziale (premessa) p(e D) è superiore al 50% (conclusione) p(d E) è superiore al 50% È un argomento debole e fallace

19 Che fallacia è? È una fallacia della probabilità condizionale: si commette quando nell inferenza si scambia la probabilità condizionata pertinente con la sua conversa (cioè p(a B) al posto di p(b A), o viceversa)

20 Problema 4: chi è Bill? Bill ha 34 anni. E intelligente ma senza immaginazione, ossessivo e senza vita sociale. A scuola era bravo in matematica ma non era portato negli studi umanistici e sociali. Quale delle seguenti è la più probabile? La seconda più probabile? (assegnare un ordine) a) Bill è un fisico che gioca a poker per hobby. b) Bill è un architetto. c) Bill è un ragioniere. d) Bill suona il jazz per hobby. e) Bill è un ragioniere che suona il jazz per hobby. Come avete risposto?

21 Fallacia di congiunzione Bill è un ragioniere = R Bill suona il jazz per hobby = J Dunque p(r&j) p(r), p(r&j) p(j), Quando si conclude l opposto, assumendo che una congiunzione è più probabile di uno dei suoi congiunti, si commette una fallacia di congiunzione

22 Problema 5 (continua) Abbiamo 3 scatole chiuse e non trasparenti, ciascuna contenente 2 palline: una ne contiene due d'oro, una due d'argento, e l'ultima una d'oro e una d'argento. Scegliamo una scatola a caso e prendiamo una pallina a caso da quella scatola. La pallina estratta è d oro. :. La probabilità che la stessa scatola contenga un altra pallina d oro è 1/2. Cosa avete risposto?

23 Valutiamo l argomento In altri termini: se ho estratto una pallina d oro, la probabilità che la seconda pallina della stessa scatola sia d oro è il 67%. Dunque l argomento proposto è fallace.

24 Non vi ho convinto? A B C D E F Ho estratto una pallina d oro: A, B o C Se ho estratto A, la seconda è d oro Se ho estratto B, la seconda è d oro Se ho estratto C, la seconda non è d oro Dunque in 2 casi su 3 la seconda pallina è d oro (67%)

25 Problema analogo Scegliamo una scatola a caso, prendiamo una pallina a caso e questa risulta essere d'oro. Pescando un'altra pallina dalla stessa scatola, qual è la probabilità che sia ancora d'oro? Valutiamo l argomento: E stata estratta una pallina d oro. :. La probabilità che dalla stessa scatola si estragga un altra pallina d oro è 1/2. È fallace: la probabilità è 5/6=.83

26 Il Dilemma Monty Hall In un gioco a premi ci sono 3 scatole chiuse: 2 vuote e 1 contenente monete d oro. Scegliamo una scatola. Il conduttore del gioco, che sa cosa si nasconde dentro ciascuna scatola, apre una delle due rimaste mostrando che è vuota. Poi offre: Se vuoi, puoi cambiare scatola. :. La probabilità che le monete d oro siano nella mia scatola è del 50%. :. Con ogni scelta ho la stessa probabilità di vincere Cosa avete risposto?

27 Il Dilemma Monty Hall (cont.) S 1M = scatola 1 ha monete, S 1V = scatola 1 è vuota, Scelgo la scatola 1. Le probabilità iniziali sono Viene aperta la scatola 2 che è vuota. Per voi le probabilità da considerare adesso sono Dunque p(s 1M ) = 1 3 =.33 p(s 1V ) = 2 3 =.67 p(s 1M S 2V ) =1 2 =.5 p(s 1V S 2V ) =1 2 =.5 p(s 1M S 2V ) =.5 > p(s 1M ) =.33 Ma l apertura non è a caso: l azione del presentatore non deve alterare le probabilità iniziali, che rimangono p(s 1M S 2V ) =.33 p(s 1V S 2V ) =.67

28 Il Dilemma Monty Hall (cont.) Ma se le probabilità devono rimanere identiche, p(s 1M S 2V ) =.33 p(s 1V S 2V ) =.67 allora conviene sempre cambiare scatola L argomento è debole (possiamo considerarlo una fallacia dell evidenza soppressa)

29 Scelta Non vi ho convinto? Simuliamo Eliminazione Cambio

30 Ancora più chiaro? Abbiamo 1 milione di scatole. Una ha monete d oro, le altre sono tutte vuote. Scegliamo una scatola. Il conduttore apre scatole: sono tutte vuote. Oltre alla nostra, rimane una sola altra scatola e ci chiede "Vorresti scambiare la tua scatola con la mia?

31 Altro gioco Adesso siamo ad un gioco a premi con dieci scatole. Dentro una scatola ci sono monete d oro, le altre sono vuote. Prendiamo 2 scatole, su invito del conduttore. Il conduttore del gioco, che conosce il contenuto di ciascuna scatola, ne apre sette mostrando che sono vuote. Rimangono 3 scatole: 1 al conduttore, 2 a noi. Poi ci domanda: "Vorresti cambiare le tue due scatole con la scatola che rimane? Per prendere una decisione valutiamo: (P) Abbiamo due scatole sulle tre rimaste. :. La probabilità che le monete d oro siano nella mia scatola è del 67% circa (2 su 3). :. Non mi conviene cambiare

32 Fate il vostro gioco (cont.) È una variante del Monty Hall. Con le prime due scelte (supponiamo le scatole 1 e 2) abbiamo probabilità di vincere p(e 1M ve 2M )=.2 Dopo aver eliminato 7 scatole vuote (ad es. dalla 4 alla 10) abbiamo p(e 1M ve 2M E 4V &E 5V & &E 10V )=.67 Sembra che lo scambio sia sconveniente considerando le 3 scatole rimanenti, ma così stiamo eliminando informazioni fondamentali Invece conviene cambiare: aumentiamo la probabilità di vincere, passando dal 20% all 80%

33 Esempio di applicazione di Bayes Ricordate questo esempio? Il medico al paziente: Vediamo sospettavo che lei avesse contratto questa malattia e le avevo chiesto di effettuare il test diagnostico. Si tratta di una malattia che colpisce l 1% della popolazione. Questo test dà risultato positivo nel 90% dei malati e nel 5% dei non malati. A lei ha dato esito positivo. Dunque i miei sospetti erano fondati: lei ha contratto questa malattia. E un argomento fallace?

34 Applicazione di Bayes (cont.) Siano M= malato, P= positivo al test Voglio conoscere p(m P) Dunque l argomento è debole Si tratta di una fallacia della linea di base

35 CONFERMA BAYESIANA

36 Ipotesi ed evidenze Formuliamo un ipotesi A Quanto è probabile? Se non sappiamo nulla sul verificarsi di A, stiamo valutando la probabilità a priori di A, cioè p(a) Abbiamo un evidenza B Adesso quanto è probabile A? Stiamo valutando in che modo il verificarsi di B cambia la probabilità di A, dunque è una probabilità a posteriori di A: p(a B) B conferma l ipotesi A o la disconferma?

37 Conferma bayesiana Definizioni: B conferma A SSE p(a B)>p(A), B disconferma A SSE p(a B)<p(A), B è neutrale rispetto ad A SSE p(a B)=p(A) Il grado di conferma dell evidenza B all ipotesi A è dato da p(a B)-p(A).

38 Legami con Bayes B conferma A se e solo se B disconferma A se e solo se B è neutrale rispetto ad A se e solo se p(a B)>p(A) p(b A)>p(B) p(a B)<p(A) p(b A)<p(B) p(a B)=p(A) p(b A)=p(B)

39 Holmes e Barbaglio d argento Gara: Barbaglio d Argento è il favorito. La sera precedente il cavallo viene rapito. Iniziano le indagini. Il fantino viene ritrovato morto. Un ragazzo sconosciuto la sera precedente ha litigato col boss. Per la Polizia è lui il colpevole. Argomentazione della Polizia: Un cavallo è stato rapito e un fantino è stato ucciso. Uno sconosciuto aveva litigato la sera prima col boss. :. Il colpevole è il ragazzo sconosciuto. (si tratta di un inferenza alla migliore spiegazione)

40 Holmes e Barbaglio d argento (cont.) Iniziano le indagini di S.H. - C è qualche altro punto su cui lei ritiene opportuno attrarre la mia attenzione? - Sì, sullo strano incidente del cane, quella notte. - Ma, quella notte, il cane non ha fatto nulla. - Questo appunto è l incidente curioso. Argomentazione di Sherlock Holmes: Un cavallo è stato rapito e un fantino è stato ucciso. Uno sconosciuto aveva litigato la sera prima col boss. Il cane a guardia quella notte non ha abbaiato. :. Non è stato uno sconosciuto.

41 Holmes e Barbaglio d argento (cont.) H= c è stato uno sconosciuto (ipotesi) E= il cane non ha abbaiato (evidenza) Per S.H.: p(h E)<p(H) Dunque E disconferma l ipotesi H Invece p(h ~E)>p(H) Cioè ~E confermerebbe l ipotesi H. Conclusione. L evidenza E rende meno probabile H, dunque aumenta la probabilità di ~H.

42 Il nome della rosa Video Cimitero innevato. C è della terra rimossa vicino ad una croce. Frate Guglielmo: E morto qualcuno di recente? R= terra rimossa vicino alla croce, M= c è un morto Secondo Fr. Guglielmo p(m R)>p(M). R conferma M? Ora p(r M)>p(R) dunque R conferma M Invece p(~r M)<p(~R) dunque ~R disconfermerebbe M Perciò, con l evidenza R, la nostra credenza in M aumenta. Ma se fosse stato ~R, la credenza in M sarebbe diminuita (anche se di poco)

43 Modelli di conferma Modello fondamentale (o sillogismo euristico) (P1) H E (P2) E :. H è più credibile Se rimaniamo ancorati alla logica deduttiva questo schema sarebbe fallace, ma in un ottica induttiva si tratta di un argomento plausibile

44 Altri modelli Modello della conseguenza improbabile Modello della conseguenza probabile (P1) H E (P2) E è molto improbabile (per suo conto) (P3) E si è verificata :. H è molto più credibile (P1) H E (P2) E è molto probabile (per suo conto) (P3) E si è verificata :. H è poco più credibile

45 GIOCHI EQUI

46 A che gioco giochereste? Coppa del mondo ITALIA- BRASILE ITALIA 3.30 X 3.30 BRASILE 3.30

47 Proposta di gioco Valutiamo l argomento: (P1) Ho una probabilità bassa di vincere (P2) Il costo della puntata è relativamente basso rispetto alle mie disponibilità economiche (P3) Se indovino le somme che si vincono sono abbastanza alte :. Mi conviene giocare

48 Riviste specializzate Previsioni super studiate! Con LottoPiù si vince alla grande! Gli ambi secchi più e meno vincenti a maggio 3 numeri che stanno vincendo sempre di martedì Nuova eccezionale vincita Mediavideo pag

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51 29/12/2016 DicioIo miliardi e mezzo: è quanto hanno speso gli italiani nei giochi pubblici durante il 2016 [ ] Nel 2015 la spesa neia dei giocatori italiani aveva raggiunto quota 17,1 miliardi [ ] e dunque l'incremento di spesa è stato dell'8,3%. Considerando la popolazione residente (50,6 milioni), in media ogni italiano maggiorenne nel 2016 ha speso 365 euro in giochi, un euro al giorno. I 18 miliardi e mezzo, in sostanza, rappresentano la cifra realmente incassata da Stato (10 mld) e operatori (8,5 mld).

52 Gioco equo Il valore atteso di un gioco è la media tra uscite positive (vincenti) e negative (perdenti) moltiplicate per le loro probabilità Un gioco è equo se il valore atteso è zero, cioè se le somme che si vincono/perdono sono bilanciate rispetto alle probabilità di vincere/perdere. Se un gioco non è equo, può essere favorevole (valore atteso>0) o in perdita (valore atteso <0) Giocando all infinito, un gioco in perdita produce perdite sicure; invece, un gioco favorevole produce vincite sicure

53 Esempi G1) Lancio moneta equa: p(c)=.5, p(t)=.5 Indovinando si vince 1, altrimenti si perde 1 E(G1)= (-1)=0 :. il gioco è equo Vincita Perdita Somma +1-1 Probabilità.5.5 G2) Stesso gioco, ma indovinando si vince 1, altrimenti si perdono 2 E(G2)= (-2)=-.5 :. il gioco è in perdita Vincita Perdita Somma +1-2 Probabilità.5.5

54 Esempi G3) Lancio moneta non equa: p(c)=.8, p(t)=.2 La giocata costa 1. Se punto su T, quanto dovrei vincere per avere un gioco equo? Probabilità Imponiamo E(G3)=0.2 (x)+0.8 (-1)=0 da cui 0.2x=0.8 x=0.8/0.2=4 (Euro) Vincita Perdita Somma x -1

55 Il gioco del Lotto A tutto ciò, per vincite superiori a 500, va aggiunta una trattenuta diretta del 6% sulla parte eccedente gli 500.

56 SuperEnalotto Nel SuperEnalotto il montepremi cambia di volta in volta: è il % della raccolta Di cui il 20% ai 6, 20% ai 5+, 15% ai 5, 15% ai 4, 30% ai 3 ; in assenza di 6 o 5+ il montepremi relativo incrementa il montepremi successivo Esempio: immaginiamo banco e un solo giocatore (tutti giocatori sono in società). Il giocatore fa una serie di puntate su alcuni numeri per complessivi 100. Le sue vincite sono divise in questo modo Margine del banco in questo gioco collettivo: % premio vincita MONTEPR

57 SuperEnalotto con vincite medie (dati aggiornati al 31/12/2016) Conclusione. Su ogni singola giocata il banco ha un margine molto alto, che aumenta all aumentare del numero dei vincitori

58 Scommesse sportive Nelle scommesse sportive vengono indicate le somme lorde corrisposte Coppa del mondo ITALIA- BRASILE ITALIA 2.95 X 3.20 BRASILE 2.50 Il gioco è equo? Oppure, qual è il profitto del gestore? 1 X 2 Quota Per vincere 100 occorre giocare G 1 =100/V 1 Probabilità di uscita stimata P 1 =(G 1 x100)/(somma delle G) Vincita se il gioco fosse equo Margine del gestore M 1 =1-V 1 /E 1 V G P 32.24% 29.72% 38.04% E M 4.8% 4.8% 4.9%

59 Casinò - La roulette francese

60 E il Gratta e Vinci? Vediamo l Asso Pigliatutto Costo biglie9o: 3 Vincita possibile 200,000 Informazioni pubbliche: hip:// graiaevinci/classico/premi.html

61 Qualche news

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63 Asso Pigliatutto Primo lotto biglietti: Nr. 33,600,000 Massa premi: 67,344,000 Lo Stato incassa mln, ne distribuisce 67.3 mln Solo 1 biglietto su 3,68 è vincente In generale: 61.14% perdi 3 (oltre 20 mln di biglietti) 61.14% 17.96% torni in pari (oltre 6 mln di biglietti) 79.10% 16.71% vinci 5 (vincita netta di 2 ) 95.81% 3.12% vinci 10 (vincita netta 7 ) 98.93%.9% vinci 20 (vincita netta 17 ) 99.80%.13% vinci 30 (vincita netta 27 ) 99.93% vincite di 100, 200, 500, % vinci 10,000 (24 biglietti su 33,6 mln);.00001% vinci 200,000 (4 biglietti su 33,6 mln)

64 Conclusioni Asso Pigliatutto Il gioco è equo? vincita neia % Prob E(X)=(-3*.6114) + (0*.1796) + (2*.1671)... =-.996 Se consideriamo anche la tassazione (6% per vincite eccedenti i 500 ), il valore atteso diventa Dunque, anche se acquistassimo tutti i biglietti, per ogni biglietto avremmo una perdita di 1.006, ovvero per avere un gioco equo dovremmo pagare per ogni biglietto solo 1.994

65 Margine banco Lotto 37% 37% 62% 76% 86% Margine banco scom. sportive (medio) 5-10% Differenze Margine banco Asso pigliatutto (medio) 33.23% Margine banco SuperEnalotto (totale) 65,35% (individ.) anche >90% Margine banco Roulette 2.77% 2.85% 2.94% 3.03% 3.28% 3.84% 4.76% Conclusione. Tra quelli esaminati, il gioco che è meno in perdita è la Roulette francese, seguita dalle scommesse sportive, e in nessun caso il gioco è equo (vedi margine).

66 Dunque L argomentazione seguente è buona: Nei giochi d azzardo con il banco, tipo Gratta e Vinci, Lotto e SuperEnalotto, una parte della somma giocata è trattenuta dal banco stesso per costi di gestione e guadagno (erario e tutta la filiera dei giochi). Dunque non conviene giocare. Ma anche l argomentazione seguente è buona: La massa di giocatori che gioca al Gratta e Vinci, al Lotto e al SuperEnalotto, garantisce un gettito erariale significativo, con entrate annue intorno agli 8 mld di Euro negli ultimi anni. Dunque, se non ci fossero i giochi d azzardo di Stato e una massa così grande di giocatori, occorrerebbe o tagliare ulteriori spese o sostituire il gettito con altre forme, ad esempio con altre tasse ed imposte a carico della collettività.

67 Per casa Leggere Varzi, cap. 10 e par. 8.4 Dispense su conferma bayesiana e su gioco equo Esercizi sul Varzi E poi (non prima!), esercizi online