L equivalenza delle superfici piane

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1 LABORATORIO DI ALGORITMICA prof. Aldo Scimone L equivalenza delle superfici piane di Sortino Claudia e Paolo Bonanno Unità Didattica: OBIETTIVI: 1. Definire il concetto di area a partire dal concetto di equivalenza. 2. Definire il concetto di algoritmo come procedura risolutiva, ovvero di una sequenza finita e ordinata di azioni effettivamente eseguibili, che risolva una <<situazione problematica>>. 3. Far osservare all alunno che, spesso, l evidenza visiva non corrisponde alla verità dei fatti dimostrabili col rigore matematico (Identità di Cassini). PREREQUISITI: Proprietà dei parallelogrammi, dei triangoli e del cerchio. Concetto intuitivo di estensione di una superficie (es. a pesi uguali di superfici dello stesso materiale corrispondono estensioni superficiali uguali). Concetto intuitivo di equivalenza. CONTENUTI: I 4 postulati di equivalenza: 1. Due superfici uguali sono equivalenti 2. L equivalenza delle superfici piane gode delle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva. 3. Superfici somma o differenza di superfici uguali o equivalenti sono equivalenti. 4. Una superficie non può essere equivalente ad una sua parte.

2 Definizione di equiscomponibilità dei poligoni: Due poligoni si dicono equiscomposti o equiscomponibili quando possono essere divisi in uno stesso numero di poligoni rispettivamente uguali. Teoremi sui poligoni equivalenti. Esempio di equiscomponibilità: - Dimostrazione del teorema di Pitagora; - Paradosso sull identità di Cassini; Necessità e formalizzazione del concetto di ALGORITMO. Esempio di Algoritmo: - Per la risoluzione di un equazione di primo grado; - I numeri di Fibonacci; SVOLGIMENTO DI UNA DELLE ESERCITAZIONI PREVISTE NELL UNITA DIDATTICA: Dimostrazione del teorema di Pitagora Osserviamo come l equivalenza del quadrato costruito sull ipotenusa con la somma dei quadrati costruiti sui cateti può essere dimostrata, oltre che «per somma» di poligoni uguali, anche «per differenza». Fra le dimostrazioni di questo tipo, la più semplice è la seguente. Dato un triangolo T=ABC, rettangolo in A, si costruisce, come mostra la figura 1., il quadrato Q decomponibile in quattro triangoli T e nel quadrato Q 1 costruito sull ipotenusa BC del triangolo ABC.

3 Lo stesso quadrato Q può, poi, essere scomposto, come mostra la figura 2., in quattro triangoli T e nei due quadrati Q 2 e Q 3 costruiti sui cateti AB e AC. Fig.1 Fig.2 Si ha dunque Q 4T + Q 1, Q 4T + Q 2 + Q 3; 4T + Q 1 4T + Q 2 + Q 3; Q 1 Q 2 + Q 3.

4 Identità di Cassini L identità di Cassini è la base di un paradosso geometrico che fu uno dei rompicapo preferiti di Lewis Carrol : l idea è di prendere una scacchiera e di dividerla in quattro parti, come mostrato qui, quindi di ricomporre i pezzi in un rettangolo: Ecco che l area originale di 8x8 = 64 quadrati è stata risistemata in modo da ottenere 5x13 = 65 quadrati. A questo punto risulta interessante fare osservare ai ragazzi che una costruzione simile, seziona qualsiasi quadrato F n F n in quattro pezzi, utilizzando F n+1, F n, F n-1, e F n-2 come dimensioni, che nella nostra illustrazione diventano, rispettivamente, 13, 8, 5 e 3; il risultato è un rettangolo F n-1 F n+1, nel quale, vale l identità F n+1 F n-1 - F 2 n = (-1) n per n>0

5 (questo è uno dei più antichi teoremi sui numeri di Fibonacci, scoperto dall astronomo francese Jean Dominique Cassini nel 1680) un quadrato è stato quindi guadagnato o perso, a seconda che n sia pari o dispari. Naturalmente per far capire meglio ai ragazzi l identità di Cassini, bisogna spiegare loro e quindi definirgli i numeri di Fibonacci e far vedere loro come questi si ottengono in maniera iterativa.

6 Numeri di Fibonacci e concetto di Algoritmo Come sappiamo, i numeri di Fibonacci appartengono alla successione: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, e sono definiti dalle due formule generali: a 1 =a 2 =1 a n+1 =a n +a n-1 (n>2) Problema: Troviamo l algoritmo relativo al calcolo dei primi k termini della successione di Fibonacci. Svolgimento Individuiamo innanzitutto i dati del problema e il risultato richiesto: DATI: il valore di k (posto della successione di Fibonacci cui ci si vuole fermare). RISULTATO: i termini della successione di Fibonacci fino al posto k. Le istruzioni dell algoritmo risolvente il problema sono le seguenti: INIZIO ASSEGNA i valori iniziali di A, B e I AQUISISCI i valori di k; RIPETI ASSEGNA la formula generica del numero di Fibonacci SCRIVI il numero di Fibonacci trovato ASSEGNA all addendo precedente della nuova formula di Fibonacci quello successivo della formula precedente ASSEGNA all addendo successivo della nuova formula di Fibonacci il numero di Fibonacci trovato AUMENTA di 1 il contatore relativo al posto della successione FINCHE il posto della successione arriva a k FINE

7 Un tale esempio aiuta la comprensione della definizione di algoritmo: Definizione Si chiama algoritmo un insieme di istruzioni ( o regole) capace dei risolvere un determinato problema. Un algoritmo, per definirsi tale, deve soddisfare le cinque seguenti proprietà caratteristiche: 1. le istruzioni che compongono un algoritmo devono sempre essere in numero finito, ossia il procedimento deve concludersi dopo un numero finito di operazioni; 2. ogni istruzione deve essere definita univocamente, ossia non deve prestarsi ad alcuna interpretazione ambigua; 3. se vi sono dati di ingresso, deve essere specificato l insieme di appartenenza (ad esempio: numeri interi, numeri reali, set di caratteri, ecc.); 4. tutte le operazioni di un algoritmo devono potersi eseguire esattamente in un intervallo finito da una certa persona che utilizzi mezzi manuali (ad esempio, carta e penna se il problema è matematico); 5. un algoritmo deve sempre fornire almeno un risultato. Per la rappresentazione di un algoritmo certamente il più adoperato è il diagramma a blocchi detto anche flow-chart. Per l algoritmo in oggetto si è adoperata la struttura di selezione del tipo: ripeti / finché ingresso Istruzione falsa condizione vera uscita

8 Il relativo programma in linguaggio Pascal è il seguente: program FIBONACCI; var Nfibon, Aprec, Asucc, I : integer; begin Aprec:=0; Asucc:=1; I:=0; writeln( Dammi il posto della successione di Fibonacci a cui ti vuoi fermare ); read(k); repeat Nfibon:=Aprec+Asucc; writeln(nfibon); Aprec:=Asucc Asucc:=Nfibon; I:=I+1 Until I=k Writeln ( Premi INVIO per terminare l esecuzione del programma ); readln; end. COMPETENZE ACQUISITE Sapere distinguere il concetto di equivalenza dal concetto di uguaglianza. L alunno deve essere in grado di risolvere problemi specifici, formulare un ipotesi e testare l ipotesi mediante procedure appropriate. L alunno deve essere in grado di elaborare le conoscenze e di usarle in situazioni specifiche. L alunno deve essere in grado di interpretare i dati ed evidenziare le relazioni tra i dati.

9 METODOLOGIA DIDATTICA Durante le lezioni si alterneranno tecniche e metodologie tradizionali e non, quali l impostazione frontale, il più possibile dialogata, a metodologie didattiche attive quali i brainstorming, le discussioni guidate e il lavoro di gruppo nella risoluzione di una situazione problematica. Il lavoro di gruppo rappresenta un ottimo strumento che consente non soltanto, l emergere di aspetti emozionali ma facilita lo scambio di idee ed esperienze infondendo un maggior coinvolgimento e assunzione di impegno da parte degli allievi. Al fine di rendere la trattazione degli argomenti il più interessante e il più semplice possibile, senza trascurare la correttezza terminologica e logica degli argomenti proposti, riteniamo che sia più utile affrontare gli argomenti da un punto di vista intuitivo, utilizzando appropriati esempi e solo successivamente mediante formalizzazione matematica. È importante che inizialmente le proposte di lavoro siano tradotte in un linguaggio il più possibile vicino a quello degli alunni per poi, una volta catturata la loro attenzione, crescere nel formalismo matematico per arrivare alla formalizzazione del problema. Questo processo di crescita e maturazione avrà un maggiore successo se il tutto nasce e si sviluppa come una curiosità e un bisogno dell alunno di capire il perché delle cose. VERIFICHE Per la verifica finale e, quindi per la valutazione del processo di insegnamentoapprendimento il docente fa riferimento a delle schede di monitoraggio, da usare durante le attività svolte in classe e nelle quali, registrare di volta in volta, i risultati e i progressi del singolo alunno e dell intera classe. Le prove finali sono rappresentate da interrogazioni orali e da compiti scritti in cui compaiono oltre a degli esercizi o problemi (o situazioni problematiche da risolvere) anche dei test a risposta aperta ai quali l alunno potrà rispondere solo se avrà maturato i concetti e ne avrà fatto una rielaborazione personale.