RANDOM VIBRATIONS RANDOM VIBRATIONS

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1 RANDOM VIBRATIONS Diverse possono essere le situazioni operative in cui una struttura spaziale puo trovarsi sottoposta ad una forzante random in time. Ovvero in cui la forzante, rappresentata nel dominio del tempo, si presenta come una funzione non-deterministica. Da qui l esigenza di descrivere la risposta del sistema in modo statistico, e di conseguenza l analisi condotta va sotto il nome di Random Vibration Analysis. Una vibraizone random, pertanto, e tale da non consentire il calcolo di un suo valore ad un preciso istante di tempo. Esempi di tali vibrazioni sono quelle dovute ai motori a reazione, a flussi turbolenti, terremoto, moto su superfici irregolari e cosi via. In questi casi il moto puo essere descritto in termini statistici, facendo riferimento a funzioni del tipo densita di probabilita, ed a termini del tipo valore quadratico medio, rms. Con riferimento, per esempio, alla fase di lancio di un razzo vettore, la tipica generazione di onde di pressione relative a frequenze comprese tra 20 e e piu produce una sollecitazione random che associata alle altre forze presenti (transient, steady-state, shock) puo risultare critica per parti strutturali del booster o di sue componenti. Slide n.ro 1

2 RANDOM VIBRATIONS RANDOM VIBRATIONS (cont.) La sollecitazione acustica e presentata in termini di Sound Pressure Level (SPL), che e la radice quadratica media (root mean square, rms) della pressione in una certa banda in frequenza, ed e espressa in decibels [db]. La pressione rms P(f) ad una certa frequenza f e dove e la durata e e la time-history dell onda di pressione in una certa banda in frequenza, la cui frequenza centrale e. La e dapprima filtrata per eliminare tutte le componenti in frequenza fuori dalla banda di interesse, quindi, viene calcolato il suo valore rms. Il db e il logaritmo decimale del rapporto di due valori. L SPL, in db, e quindi cosi definito: dove E interessante osservare che in base a questa espressione un aumento di circa 6 db significa che il livello di pressione e raddoppiato: Slide n.ro 2

3 RANDOM VIBRATIONS (cont.) L SPL e solitamente riportato in grafici in cui sull asse delle x vi sono i centri di frequenza in terzi di ottava, in scala logaritmica, nell intervallo tra 20 e Un ottava e un intervallo in frequenza caratterizzato dal fatto che le frequenze inferiore e superiore dell intervallo sono in rapporto di 2 ( ). Un terzo di ottava e un intervallo in frequenza caratterizzato dal fatto che le frequenze inferiore e superiore dell intervallo sono in rapporto di ( ). Banda Nominale Frequenze di 1/3 Ottava (ANSI S ) Esatto Ottava Banda Nominale Esatto Ottava Slide n.ro 3

4 RANDOM VIBRATIONS - Densita di Potenza Spettrale (PSD) La caratterizzazione di una vibrazione random avviene, di solito, per il tramite della curva di densita di potenza spettrale (PSD, Power Spectral Density), definita come la risposta quadratica media di una variabile random, cui e applicato un filtro ideale a banda stretta, diviso per la larghezza di banda del filtro, al tendere di quest ultima a zero: Il termine power e piuttosto generico e puo essere riferito ad accelerazione, velocita, spostamento, deformazione, forza, etc. Nel caso di descrizione di carico random, la PSD e generalmente riferita ad accelerazioni, di conseguenza le sue unita sono [g 2 /Hz], dove g e l accelerazione di gravita a livello del mare. Tipico esempio di input in termini di PSD di accelerazione: Freq PSD [g 2 /Hz] Slide n.ro 4

5 RANDOM VIBRATIONS RANDOM VIBRATIONS - Riepilogo di Relazioni Applicabili Con riferimento ad un sistema a piu gradi di liberta, ipotizziamo che la forza random Pj(t) sia applicata al grado di liberta j ed abbia una densita spettrale Sp(ω). Lo spostamento xs(t) del grado di liberta s puo essere calcolato in termini della sua densita spettrale Sx(ω) (richiamando le relazioni introdotte nello studio delle vibrazioni random di un SDOF): da cui e possibile, per definizione, calcolare il valore quadratico medio della risposta: Hsj(ω) e la funzione complessa di risposta in frequenza che puo essere scritta come: smorzamento viscoso smorzamento d isteresi I risultati ottenuti con modello di smorzamento di isteresi possono essere trasformati in quelli ottenibili con modello di smorzamento viscoso, avendo cura di sostituire il termine con. Slide n.ro 5

6 RANDOM VIBRATIONS - Riepilogo di Relazioni Applicabili (cont.) L espressione di H sj (ω) puo essere simbolicamente scritta come: Quest ultima espressione non puo essere ulteriormente semplificata per la presenza, nello sviluppo dei quadrati, dei termini e con, a meno di non fare delle ipotesi semplificative legate alla piccolezza dello smorzamento, oppure a forme particolari di S p (ω), od ancora alla considerazione dei soli termini dominanti di H sj (ω), e cosi via. Con alcune (o tutte) queste ipotesi il calcolo dell integrale per giungere al valore quadratico medio della risposta puo semplificarsi e puo essere risolto analiticamente, altrimenti l approccio numerico torna di nuovo utile quale strumento per affrontare e giungere alla soluzione del problema. Slide n.ro 6

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