WallCAD Casi di prova per la validazione del software WallCAD+ versione 7.3

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1 WallCAD+ 7.3 Casi di prova per la validazione del software WallCAD+ versione 7.3 Concrete S.r.l. Dicembre 2009

3 Indice 1. ESEMPIO DI CALCOLO DEL PROGRAMMA WALLCAD DATI DI INPUT CALCOLO SPINTE VERIFICHE DI STABILITÀ LOCALE Verifica a ribaltamento Verifica allo scorrimento sul piano di posa Verifica al carico limite della fondazione VERIFICA DELLE ARMATURE Verifica a pressoflessione Verifica a taglio Verifiche del programma... 19

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5 1. Esempio di calcolo del programma WallCAD 1.1 DATI DI INPUT Viene proposto il calcolo di un semplice muro di sostegno in c.a., a fondazione diretta, condotto secondo il D.M. 19/01/2008 Norme Tecniche per le Costruzioni. In particolare vengono calcolate la spinte e le tensioni sviluppate sul terreno, quindi vengono sviluppate le verifiche di stabilità locale (traslazione, ribaltamento e carico limite); infine viene verificata una sezione in c.a. posta alla base del paramento. L esempio svolto è contenuto nel file Esempio di calcolo del programma WallCAD 7.wll. Si progetta un muro a mensola in c.a. in zona sismica, con profilo superiore del terreno e piano di posa della fondazione orizzontale. Sulla videata di input della geometria del manufatto si introducono i valori seguenti (in cm): H paramento = 350; S paramento = 30 B fondazione = 270; S fondazione = 40 Ms fondazione = 60; Md fondazione = 180

6 1 Esempio di calcolo del programma WallCAD WallCAD 7.3 Validazione Si considera un cls con resistenza Rck=300 e barre di armatura con resistenza fyk=4500, copriferro minimo 4 cm, peso specifico del c.a. pari a 2500 dan/m³. Per semplicità di calcolo si considera lo stesso terreno di reinterro e di fondazione, avente le seguenti caratteristiche: γ nat = 1800 dan/m³ ; γ sat = 2000 dan/m³ ϕ = 33, δ = 0, c = 0.0 dan/m² Per individuare i parametri sismici di progetto la microzonazione del territorio italiano richiede di sapere l'esatta localizzazione dell'opera, nonchè la vita di riferimento e lo stato limite considerato. Per questo esempio si sono caricati i parametri dall'archivio ISTAT per Roma, località Roma, vita nominale 50 anni, classe II, sisma da stato limite SLV. Il programma fornisce una Ag/g=0,1065 con Fo=2,64. Il programma di calcolo «Spettri NTC» scaricabile dal sito del consiglio superiore dei lavori pubblici ( fornisce, per lo stesso tempo di ritorno e con interpolazione sul reticolo, una Ag/g=0,106 con Fo=2,643. 6

7 WallCAD 7.3 Validazione 1.2 Calcolo spinte Accettando tali valori con un suolo di tipo B ne conseguono un coefficiente S s =1,2 e β m =0,24. Per semplicità si considera la risultante nello stesso punto della statica e si trascura l'effetto del sisma verticale (che la norma normalmente richiede). 1.2 CALCOLO SPINTE I coefficienti di spinta variano a seconda delle combinazioni di calcolo; in particolare dipendono dai diversi coefficienti di spinta sismica e dai coefficienti parziali di sicurezza sui materiali, applicati ai parametri caratteristici dei terreni. Le combinazioni critiche per le verifiche locali e strutturali sono risultate la EQU2 per il ribaltamento e la sismica SLV2 per tutto il resto, entrambe con i coefficienti parziali sui materiali del gruppo M2 (come prevedibile). Verifichiamo i valori di spinta trovati per la EQU2: φ k =33 (valore caratteristico) --> φ d =ArcTan(Tan(33 )/1.25)=27.45 Kh=Ag/g*Ss*St*1=0.1065*1.2=0.128 Kv=0 N.B. Si osservi che nelle combinazioni di tipo EQU non è possible applicare il coeff. riduttivo β m, trattandosi di equilibrio di corpo rigido. Il coeff. Kv è invece stato trascurato per semplicità di calcolo. Theta=ArcTan(kh/1+kv)=7.4 Adottando la teoria di Mononobe/Okabe per il calcolo delle spinte si ottengono i valori dei rispettivi coefficienti: 7

8 1 Esempio di calcolo del programma WallCAD WallCAD 7.3 Validazione K a = omiss = per le spinte attive K p = omiss = 2.49 per le spinte passive La pressione generata alla base del paramento vale: Pa=g*h*ka=0.0018*350*0.458=0.29 dan/cm 2 La risultante a tergo del muro, calcolata sull intera altezza vale: Ra=1/2*g*h 2 *ka=0.5*0.0018*390^2*0.458=63 dan (per cm di sviluppo del muro) applicata a quota h/3=390/3=130 cm Rp=1/2*g*h 2 *kp=0.5*0.0018*40^2*2.49=3.59 dan (per cm di sviluppo del muro) applicata a quota h/3=40/3=13.3 cm I pesi caratteristici del muro e del terreno di zavorra valgono: Gwk=0.0025*(30*350+40*270)=53.25 dan Gsk=0.0018*180*350=113.4 dan con baricentro a quota hw=30*350*215+40*270*20)/21300=116.1 cm hs=0.5*350+40=215 cm e risultante di inerzia Rwi=Gwk*Kh=6.816 dan Rsi=Gsk*Kh=14.52 dan N.B. La combinazione EQU 2 è sismica, per cui i moltiplicatori delle azioni sono, come indicato dalla normativa, unitari. La combinazione EQU 1 è invece statica e per questo motivo presenta un peso di progetto del muro minore (γ A =0.9). Tali valori coincidono con quelli indicati in relazione per questa combinazione: Combinazione EQU-2 Coefficienti di spinta sul filo mensola a monte N. tratto di calcolo coefficiente X 1 Y 1 X 2 Y 2 K a Coefficienti di spinta sul filo mensola a valle N. tratto di calcolo coefficiente X 1 Y 1 X 2 Y 2 K p Pressioni sul paramento a monte in combinazione EQU-2 N. tratto di calcolo terreno acqua X 1 Y 1 X 2 Y 2 Vx 1 Vy 1 Vx 2 Vy 2 Vx 1 Vy 1 Vx 2 Vy Combinazione di carico EQU-2 Descrizione x p y p F x F y cm cm dan/cm dan/cm Peso proprio del muro Peso proprio del terreno/acqua a monte Spinta del terreno a monte

9 WallCAD 7.3 Validazione 1.2 Calcolo spinte Spinta del terreno a valle Forza di inerzia dovuta al muro Forza di inerzia dovuta al terreno/acqua a monte Ripetiamo la verifica anche per la combinazione SIS2: φ d = (invariato) Kh=Ag/g*Ss*St*Bm=0.1065*1.2*1*0.24=0.031 Kv=0 Theta=ArcTan(kh/1+kv)=1.76 K a = omiss = per le spinte attive K p = omiss = 2.66 per le spinte passive N.B. Si osservi che il sisma ha l effetto di aumentare la spinta attiva e contestualmente di diminuire la resistenza passiva. Questo effetto è più marcato nella combinazione EQU 2, che ha un sisma privo di riduzioni. La pressione generata alla base del paramento vale: Pa=g*h*ka=0.0018*350*0.388=0.244 dan/cm 2 La risultante a tergo del muro, calcolata sull intera altezza vale: Ra=1/2*g*h 2 *ka=0.5*0.0018*390^2*0.388=53.11 dan (per cm di sviluppo del muro) applicata a quota h/3=390/3=130 cm Rp=1/2*g*h 2 *kp=0.5*0.0018*40^2*2.66=3.83 dan (per cm di sviluppo del muro) applicata a quota h/3=40/3=13.3 cm I pesi caratteristici del muro e del terreno di zavorra valgono: Gwk=0.0025*(30*350+40*270)=53.25 dan Gsk=0.0018*180*350=113.4 dan con baricentro a quota hw=30*350*215+40*270*20)/21300=116.1 cm hs=0.5*350+40=215 cm e risultante di inerzia Rwi=Gwk*Kh=1.65 dan Rsi=Gsk*Kh=3.52 dan Tali valori coincidono con quelli indicati in relazione per questa combinazione: Combinazione SIS-2 Coefficienti di spinta sul filo mensola a monte N. tratto di calcolo coefficiente X 1 Y 1 X 2 Y 2 K a Coefficienti di spinta sul filo mensola a valle N. tratto di calcolo coefficiente X 1 Y 1 X 2 Y 2 K p Pressioni sul paramento a monte in combinazione SIS-2 N. tratto di calcolo terreno acqua 9

10 1 Esempio di calcolo del programma WallCAD WallCAD 7.3 Validazione X 1 Y 1 X 2 Y 2 Vx 1 Vy 1 Vx 2 Vy 2 Vx 1 Vy 1 Vx 2 Vy Combinazione di carico SIS-2 Descrizione x p y p F x F y cm cm dan/cm dan/cm Peso proprio del muro Peso proprio del terreno/acqua a monte Spinta del terreno a monte Spinta del terreno a valle Forza di inerzia dovuta al muro Forza di inerzia dovuta al terreno/acqua a monte VERIFICHE DI STABILITÀ LOCALE Ai fini delle verifiche di stabilità si ritiene di adottare un coefficiente di attrito terrenofondazione di 0.5, minore del valore teorico del suolo (0.65), e di non considerare l effetto favorevole della spinta passiva del terreno a valle del manufatto (si pone per questo il coefficiente riduttivo della spinta passiva pari a 0.0); infine si fissa a 1000 cm la lunghezza di fondazione L. Tutte le altre opzioni geotecniche proposte dal programma vengono lasciate inalterate rispetto ai valori di default, anche perchè ininfluenti per la calcolazione in esame Verifica a ribaltamento La combinazione critica risulta essere la EQU2. Le spinte a tergo del muro in queste condizioni sono quelle già viste e verificate in precedenza: Combinazione di carico EQU-2 Descrizione x p y p F x F y cm cm dan/cm dan/cm Peso proprio del muro Peso proprio del terreno/acqua a monte Spinta del terreno a monte Spinta del terreno a valle Forza di inerzia dovuta al muro Forza di inerzia dovuta al terreno/acqua a monte Rispetto all estremità di valle si ottengono i seguenti momenti: M i = 62.5* * *215 = dancm (mom. instabilizzanti) M s = 53.25* *180 = dancm (mom. stabilizzanti) 10

11 WallCAD 7.3 Validazione 1.3 Verifiche di stabilità locale Ne consegue che la verifica di stabilità a rotazione, rispetto al punto estremo di valle, è soddisfatta essendo il coefficiente di sicurezza maggiore di 1: FS r = Rd / Ed = M s / M i = 2.16 (> 1 verificato) Con il programma WallCAD si sono ottenuti i risultati che seguono: 4.3 Verifica a ribaltamento Combinazione che ha prodotto il valore peggiore: EQU-2 Moltiplicatore spinta passiva per ribaltamento : 0 Momento ribaltante rispetto allo spigolo di valle : dan cm Momento stabilizzante rispetto a spigolo di valle : dan cm Coefficiente limite verifica al ribaltamento : 1 Coefficiente di sicurezza al ribaltamento : Verifica allo scorrimento sul piano di posa La combinazione critica risulta essere la SIS2. Le spinte a tergo del muro in queste condizioni sono quelle già viste e verificate in precedenza: Combinazione di carico SIS-2 Descrizione x p y p F x F y cm cm dan/cm dan/cm Peso proprio del muro Peso proprio del terreno/acqua a monte Spinta del terreno a monte Spinta del terreno a valle Forza di inerzia dovuta al muro Forza di inerzia dovuta al terreno/acqua a monte Si esegue la verifica su una superficie di scorrimento coincidente con la parte inferiore della fondazione; viene considerato un coefficiente di attrito μ = 0.5 per l attrito terreno-fondazione e viene trascurata la spinta passiva. Lo sforzo normale sul piano di posa vale: N = = dan Le forze stabilizzanti di progetto risultano quindi R d = μ / γ M (attrito) * N / γ R (scorrimento) = 0.5/1.25*166.65/1= 66.7 dan Le forze instabilizzanti valgono E d = * = dan Il coefficiente di sicurezza conseguente vale: FS s = R d / E d = (> 1 verificato) Con il programma WallCAD si sono ottenuti i risultati riportati di seguito: 4.2 Verifica a traslazione 11

12 1 Esempio di calcolo del programma WallCAD WallCAD 7.3 Validazione Combinazione che ha prodotto il valore peggiore: SIS-2 Moltiplicatore spinta passiva per traslazione : 0 Coefficiente di attrito caratteristico terreno-fondazione : 0.5 Sforzo normale sul piano di posa della fondazione : 167 dan Sforzo tangenziale positivo all'intradosso della fondazione : 0 dan Sforzo tangenziale negativo all'intradosso della fondazione : 58 dan Coefficiente limite verifica alla traslazione : 1 Coefficiente di sicurezza alla traslazione : Verifica al carico limite della fondazione La verifica al carico limite viene condotta sulla base della teoria di Brinch-Hansen, la cui formula generalizzata fornisce la capacità portante limite del terreno sui cui appoggia la fondazione. La portanza unitaria limite (come pressione) è espressa da questa equazione: q lim = 0.5 γ t B (N γ S γ I γ G γ ) + C t (N c S c I c D c G c ) + Q t (N q S q I q D q G q ) Il carico ammissibile (per unità di lunghezza) vale quindi Q lim = B q lim Nelle espressioni testè riportate ed in quelle seguenti si devono intendere: B = larghezza efficace della fondazione L = lunghezza efficace della fondazione Bf = larghezza geometrica della fondazione D = profondità minima del piano di posa della fondazione H = componente orizzontale del carico trasmesso sul piano di posa della fondazione V = componente verticale del carico trasmesso sul piano di posa della fondazione φ = angolo di attrito dello strato di fondazione c a = aderenza alla base della fondazione η = inclinazione del piano di posa della fondazione sull orizzontale (η = 0 se orizzontale) β = inclinazione del pendio fuori dalla fondazione La combinazione critica risulta essere la SIS2. Le spinte a tergo del muro in queste condizioni sono quelle già viste e verificate in precedenza: Combinazione di carico SIS-2 12 Descrizione x p y p F x F y cm cm dan/cm dan/cm Peso proprio del muro Peso proprio del terreno/acqua a monte Spinta del terreno a monte Spinta del terreno a valle Forza di inerzia dovuta al muro

13 WallCAD 7.3 Validazione 1.3 Verifiche di stabilità locale Forza di inerzia dovuta al terreno/acqua a monte Il carico applicato alla fondazione è contemporaneamente inclinato ed eccentrico; si trovano allora i 3 parametri di sollecitazione: V = = dan H = = dan Inclinazione = ArcTan(H/V) = Si calcola il momento agente rispetto al centro della fondazione, posto a x f = 135 cm dall estremità di valle (con i momenti orari positivi). M = G v (x g - x f ) - S a h a = = 53.25*( ) *( ) * * *215 = = dancm Ne consegue un eccentricità di carico ed una larghezza efficace pari a e = M / N = 26 cm B = Bf - 2e = 270-2*26 = 218 cm Gli altri termini sono dei coefficienti calcolati come segue: - fattori di capacità portante (φ d =27.45 ): N N q c γ = tg 2 45 o φ + e 2 ( N q ) ctgφ.5 ( N ) tgφ ( π tgϕ ) = = 1 = N = q 1 1 = fattori di forma (B=218 cm; L = 1000 cm): s q s c B = 1 + tgφ L = B N q = 1 + L N = c B sγ = = L - fattori di profondità (D = 40 cm; Bf=270 cm; k=d/bf= ): ( 1 sin ) 2 d q = 1+ 2 k tgφ φ = d c d γ = k = = 1 13

14 1 Esempio di calcolo del programma WallCAD WallCAD 7.3 Validazione dove: k = D B (se D 1 ); f B f D D k = arctg (se > 1) B f B f - fattori di inclinazione della risultante (H=58.23; V=166.65): i q 0.5 H = 1 V + B L ca ctgφ 5 = iq i c = iq = N 1 i i γ γ q 0.7 H = 1 V + B L ca ctgφ = 1 o o ( 0.7 η / 450 ) V + B L c a 5 H ctgφ 5 (se η=0) = (se η>0) - fattori di inclinazione della fondazione (η= 0 ): b q = e ( 2 η tgφ ) = 1 b c b γ o η = 1 = 1 o 147 = e ( 2.7 η tgφ ) = 1 - fattori di inclinazione del piano di campagna (β= 0 ): ( β ) 5 g q tg = = 1 o β g c = 1 o 147 = 1 g γ = g q Se lo sforzo orizzontale sul piano di posa della fondazione è rilevante non si utilizzano, a favore di sicurezza, i fattori s (di forma) contestualmente ai fattori i (di inclinazione del carico), come indicato talvolta in letteratura geotecnica (cfr. Fondazioni di J. Bowles). I coeff. S vengono quindi considerati unitari. Con tali coefficienti si ha: q t = *40 = dan/cm 2 q lim = 0.5 γ t B N γ I γ + q t N q I q D q = 0.5*0.0018*218*10* *13.86*0.3829* = Q lim = q B = dan/cm (carico limite per unità di lunghezza della trave) 14

15 WallCAD 7.3 Validazione 1.3 Verifiche di stabilità locale Di conseguenza il coefficiente di sicurezza vale R d = Q lim / γ cp = dan/cm E d = V = dan/cm FS cp = R d / E d = (> 1 verificato) Con il programma WallCAD si sono ottenuti i risultati riportati di seguito: 4.4 Verifica al carico limite Combinazione che ha prodotto il valore peggiore: SIS-2 Moltiplicatore spinta passiva per portanza terreno : 0 Inclinazione della risultante rispetto alla normale : 19.3 Base efficace : 218 cm Carico di progetto della fondazione : dan/cm Carico ultimo della fondazione : dan/cm Lunghezza Fondazione per verifica carico limite : 1000 cm Coefficiente limite verifica al carico limite : 1 Coefficiente di sicurezza al carico limite : 1.16 Tabella dei coefficienti di capacità portante Coefficienti Coesione Sovraccarico Attrito Coefficienti di capacità portante N c = 25 N q = 14 N g = 10 Coefficienti di forma s c = 1 s q = 1 s g = 1 Coefficienti di profondità d c = 1.06 d q = 1.04 d g = 1 Coefficienti di inclinazione del carico i c = 0.33 i q = 0.38 i g = 0.25 Coefficienti di inclinazione del piano di posa della fondazione b c = 1 b q = 1 b g = 1 Coefficienti di inclinazione del pendio g c = 1 g q = 1 g g = 1 15

16 1 Esempio di calcolo del programma WallCAD WallCAD 7.3 Validazione 1.4 VERIFICA DELLE ARMATURE Con la progettazione automatica si sono ottenute le armature riportate nell immagine che segue. Si è scelto di verificare la sezione del paramento a z = 40 cm (base del paramento) soggetta a pressoflessione. Interrogando la sezione con lo strumento Sonda si ottiene il report delle verifiche presenti a tale quota: 16

17 WallCAD 7.3 Validazione 1.4 Verifica delle armature La combinazione dimensionante è risultata anche in questo caso la SIS-2. In precedenza si era ricavata la pressione della terra in condizioni sismiche alla base del paramento, dalla quale ricaviamo la risultante: Rt = 0.244*350/2 = 42.7 dan/cm A questa spinta manca ancora l inerzia del paramento stesso: Gp = *30*350 = dan/cm Rip =26.25* = dan/cm I parametri di sollecitazione nella sezione considerata (L=100 cm) sono allora: N = 26.25*100 = 2625 dan T = ( )*100 = 4351 dan M = (42.7*350/ *350/2)*100 = dan*cm 17

18 1 Esempio di calcolo del programma WallCAD WallCAD 7.3 Validazione Verifica a pressoflessione La sezione di calcolo da 30x100 è armata dalla sola forchetta di ripresa (6fi16/30), in quanto i ferri del paramento alla quota di calcolo non sono ancora ancorati. L area di armatura presente, su entrambe i lati, è quindi: As = As = 2.01/30*100 = 6.7 cm 2 c = c = 4+1.6/2 = 4.8 cm d = = 25.2 cm Calcoliamo il momento ultimo Mu della sezione presso-inflessa in 3 diversi modi, di precisione crescente: 1) con un calcolo approssimato questo è pari a (valore minimo): Mu = fyd*as*0.9d = 4500/1.15*6.7*0.9*25.2 = dan*cm 2) con un calcolo manuale tabellare si ha invece: Traslo l effetto del carico assiale sull armatura tesa δ = c/d = 0.19 M* = M N*(h/2-c) = (15-4.8) = dan*cm Trovo le sollecitazioni adimensionalizzate μ* = M*/(b*d 2 *f cd ) = /(100*25.2^2*156) = υ = N/(b*d*f cd ) = -2625/(100*25.2*156) = La percentuale meccanica di armatura risulta ω = ω' = As*fyd/(b*d*f cd ) = 6.7*3913/(100*25.2^2*156) = Si entra nella tabella per il calcolo SLU di sezioni rettangolari, colonna per δ = 0.2, x/d (di primo tentativo in campo 2) = 0.2; dopo alcune iterazioni si trova: x/d = in campo 2 >>> α = 0.654; ka = 0.373; k =0.25; k=1 Il momento resistente risulta allora: μ = 0.85*0.162*0.654*( *0.162)-0.25*0.0667*(1-0.19) = Mu = μ b*d 2 *f cd = 0.071*100*25.2^2*156 = dan*cm 3) se eseguiamo il calcolo esatto con il programma di pressoflessione PresFle troviamo i seguenti risultati: Mu = dan*cm Nu = dan c.s. = (valore dato da / ) 18

19 WallCAD 7.3 Validazione 1.4 Verifica delle armature Verifica a taglio La sezione di calcolo non è espressamente armata a taglio, per cui viene verificata come al punto della norma, con le formule (4.1.13) e (4.1.14) V Sd = T = 4351 dan k = 1+(200/d) 1/2 = 1+(200/252) 1/2 = 1.89 ρ l = 6.7/(100*25.2) = (0.27%) f ck = 24.9 MPa σ cp = 26250/(1000*300) = N/mm 2 v min = 0.035*k 3/2 *f ck 1/2 = 0.035*1.89 3/2 *24.9 1/2 = N/mm 2 V min = (v min *σ cp ) b w *d = ( *0.0875) *1000*252 = N V Rd,c = (0.18*1.89*(100* *24.9) 1/3 / *0.0875)*1000*252 = N V Rd,c = max(v min, V Rd,c ) = dan Verifiche del programma Con il programma WallCAD si sono ottenuti i risultati riportati di seguito: Paramento (sezioni longitudinali attraversate da barre trasversali) X Y H A s C s A i C i v ml c res M d N d M u N u c.s. v res cm cm cm cm 2 cm cm 2 cm dan cm dan dan cm ok SIS ok X Y H c es M e N e σ f σ c v es c f M f N f Srm W k v f cm cm cm dan cm dan dan/cm 2 dan/cm 2 dan cm dan cm mm 19

20 1 Esempio di calcolo del programma WallCAD WallCAD 7.3 Validazione SLE ok SLE ok X Y H ct VSd VRdc VRdmax VRds vt cm cm cm dan dan dan dan SIS ok In particolare per la pressoflessione la relazione fornisce: Mu = dan*cm Nu = dan c.s. = 1.36 per il taglio: V Sd = 4359 dan V Rd,c = dan <c.v.d.> 20