Formulario di Onde. 2(1 + ν) 3(1 2ν) V V. O.2 Equazione delle onde (equazione di d Alembert) in tre dimensioni

Transcript

1 Formulario di Onde O.1 Proprietà elastiche dei solidi (per piccole deformazioni) Legge di Hooke: F = k l Energia potenziale elastica: U = 1 2 k( l)2 Carico specifico o sforzo: σ = F A, la forza F è applicata perpendicolarmente alla superficie A Allungamento lineare o deformazione specifica: ε = l l 0 Modulo di Young o modulo di elasticità: Y = σ ε = kl 0 A l = εl 0 = σ Y l 0 ( l = l 0 + l = l σ ) Y l 0 = lunghezza a riposo l = allungamento sotto l effetto di σ Un solido che, sottoposto alla forza F, subisce una deformazione longitudinale l, subisce anche una deformazione trasversale r tale che: r/r = ν( l/l), dove ν è il coefficiente di Poisson (0 < ν < 0.5, caratteristico di ogni materiale). Modulo di rigidità o di taglio: G = Deformazione per scorrimento: Y 2(1 + ν) σ = F A = Gθ F è applicata tangenzialmente alla superficie A θ = angolo di deformazione Deformazione (di una sbarra cilindrica) per torsione: M = kθ k = π 2 Gr4 l M = momento torcente θ = angolo di torsione r, l = raggio e lunghezza della sbarra Modulo di compressibilità isoterma: β = Compressione uniforme (a temperatura costante): Y 3(1 2ν) V V = p β O.2 Equazione delle onde (equazione di d Alembert) in tre dimensioni 2 ξ x ξ y ξ z 2 = 1 2 ξ v 2 t 2 v è la velocità di propagazione. Vale il principio di sovrapposizione: una qualsiasi combinazione lineare di soluzioni è, a sua volta, una soluzione dell equazione delle onde. Soluzione generale in una dimensione: ξ(x, t) = ξ 1 (x vt) + ξ 2 (x + vt) ξ 1 = onda progressiva ξ 2 = onda regressiva 1

2 O.3 Propagazione delle onde nei mezzi materiali Onde elastiche longitudinali in una sbarra solida sottile Y Y = Modulo di Young velocità di propagazione: v = ρ ρ = densità di massa Onde elastiche trasversali/torsionali in una sbarra solida velocità di propagazione: v = G ρ G = Modulo di rigidità ρ = densità di massa Onde elastiche in una corda tesa velocità di propagazione: v = Onde elastiche in una membrana tesa velocità di propagazione: v = ρ Σ ρ l = ensione ρ l = densità lineare di massa = ensione superficiale (forza per unità di lunghezza) ρ Σ = densità superficiale di massa Onde in un gas p 0 = pressione media = temperatura assoluta R = costante dei gas γ = costante adiabatica Modulo di compressibilità: Per un gas ideale (pv = nr): ρ 0 = densità di massa media V = volume A = massa molare n = numero di moli β = V dp dv = ρdp dρ Modulo di compressibilità { isoterma: β = p adiabatica: β S = γp β velocità di propagazione dell onda: v = Nelle situazioni più comuni la propagazione di un onda in un gas avviene in condizioni adiabatiche, quindi β β S : β S γp0 γr v = = = ρ 0 ρ 0 A ρ 0 Onde sulla superficie di un liquido velocità di propagazione: v = (gλ 2π + 2πτ ρλ ) tanh 2πh λ λ = lunghezza d onda ρ = densità del liquido h = profondità del liquido τ = tensione superficiale g = accelerazione di gravità 2

3 O.4 Onde armoniche Onda piana armonica progressiva ξ(x, t) = ξ 0 sin ( k(x vt) + φ ) = ξ 0 sin(kx ωt + φ) ξ 0 = ampiezza (costante) k = numero d onda [unità di mis.: rad/m] ω = pulsazione [unità di mis.: rad/s] kx ωt + φ = fase (φ = costante arbitraria) f = frequenza = 1 f = periodo ω = kv λ = 2π k = 2π ω ω = 2πf λ = v = v f v = λ = λf Altre espressioni equivalenti: [ ( x 2π ξ(x, t) = ξ 0 sin(kx ωt + φ) = ξ 0 sin = [ ] 2π ξ 0 sin (x vt) + φ = ξ 0 sin λ λ t [ 2π ) ] + φ = ] ( x v t ) + φ Le espressioni per un onda armonica regressiva si ottengono dalle precedenti con la sostituzione (x vt) (x + vt) Onda armonica piana in tre dimensioni ξ( r, t) = ξ 0 sin( k r ωt) k r = kx x + k y y + k z z λ = 2π k Potenza di un onda armonica In una corda tesa: spostamento: s = Asin(kx ωt) potenza istantanea ( = tensione) : densità lineare di energia meccanica: potenza media: P = s s x t = A2 ωk cos 2 (kx ωt) w l = du mecc dx = 1 2 ρ lω 2 A 2 P m = 1 2 ωka2 = 1 2 v2 ρ l ωka 2 = 1 2 ρ lω 2 A 2 v = w l v Intensità: I = P m = w l v [unità di mis.: W] In una sbarra solida o in un gas (Σ = sezione della sbarra o del tubo di gas) spostamento: s = Asin(kx ωt) potenza istantanea: P = ρω 2 A 2 vσ cos 2 (kx ωt) densità (volumica) di energia meccanica: w τ = 1 2 ρω2 A 2 potenza media: P m = 1 2 ρω2 A 2 vσ = w τ vσ Intensità: I = 1 ( ) dumecc = P m Σ dt Σ = w τv m Su una superficie (membrana elastica o superficie di un liquido) [unità di mis.: W m 2 ] potenza media: P m = w Σ vl (w Σ = densità superficiale di energia meccanica, l = sezione lineare dell onda) Intensità: I = 1 ( ) dumecc = P m W = w Σ v [unità di mis.: l dt l m ] m 3

4 Onda sonora in un gas Onda di spostamento: s = A sin(kx ωt) potenza media: Onda di pressione: p = β s x = ρ 0vωAsin ( p) max = ρ 0 vωa = 2πρ 0 fva Intensità: P m = 1 2 βωka2 Σ = 1 2 ρ 0ω 2 A 2 vσ = w τ vσ ( kx ωt π ) = ρ 0 vωacos(kx ωt) 2 I = w τ v = 1 2 ρ 0ω 2 A 2 v = ( p)2 max 2ρ 0 v livello sonoro: B = 10 log I I 0 = soglia di udibilità I 0 log = logaritmo decimale. Velocità del suono in aria (p = 1 atm, = 20 C): c s = 343 m/s Onde sferiche (armoniche) ξ(r, t) = ξ 0 r sin(kr ωt) Potenza media: P m = I(r)Σ(r) = 4πCξ 2 0 (onda progressiva) C = costante, dipende dalla natura dell onda Intensità: I(r) = P m Σ(r) = P m 4πr 2 = I 0 r 2 Onda sferica sonora: p = ρ 0vωA cos(kr ωt) I(r) = 1 r 2 ρω2a2 r 2 v I 0 = P m 4π Onde cilindriche (armoniche) ξ(r, t) = ξ 0 r sin(kr ωt) (onda progressiva) Potenza media: P m = I(r)Σ(r) = Cξ 2 0 2πh C = costante, dipende dalla natura dell onda Intensità: I(r) = P m Σ(r) = I 0 r O.5 Analisi di Fourier Funzione di una variabile f(u) periodica con periodo U: f(u + U) = f(u). f(u) = a 0 + m=1 ( ) a m cos(mwu) + b m sin(mwu) w = 2π U a 0 = 1 U U 0 f(u)du b m = 2 U Funzione non periodica: f(u) = a(w) = 1 π U 0 0 a m = 2 U U 0 f(u) sin(mwu)du f(u) cos(mwu)du [ ] a(w) cos(wu) + b(w) sin(wu) dw f(u)cos(wu)du b(w) = 1 π f(u) sin(wu)du 4

5 O.6 Battimenti: Sovrapposizione di due onde armoniche con diversa frequenza (stessa ampiezza) s 1 = Asin(ω 1 t) s 2 = Asin(ω 2 t) ( ) ( ) ω1 ω 2 ω1 + ω 2 s = s 1 + s 2 = 2Acos t sin t = 2A cos(ωt) sin(ωt) 2 2 Frequenza di battimento (modulazione di ampiezza percepita da un osservatore quando le frequenze sono molto simili tra loro): f b = f 1 f 2 = ω 1 ω 2 2π O.7 Effetto Doppler c s : velocità del suono nel mezzo v velocità del trasmettitore (sorgente), diretta verso destra v R velocità del ricevitore (osservatore), diretta verso destra Per v < c s, v R < c s : Se il ricevitore precede il trasmettitore: c s v R f R = f c s v v v R R Se il trasmettitore precede il ricevitore: c s + v R f R = f c s + v v R R v Per velocità dirette verso sinistra basta cambiare il segno nelle formule precedenti. Se le velocità v R e v non sono dirette lungo la congiungente trasmettitore-ricevitore, nelle formule precedenti bisogna usare le componenti delle velocità lungo la congiungente stessa. O.8 Onda d urto Per v > c s, angolo di semiapertura del cono sonico: numero di Mach = v c s sinθ = c s v O.9 Pacchetti d onda k x 2π ω t 2π f t 1 Si definisce la relazione di dispersione (relazione tra la frequenza angolare e la lunghezza d onda: ω(k) = v f (k)k Velocita di fase: v f = ω/k. Se v f è costante (cioè indipendente da k), il mezzo è non dispersivo: tutte le onde, indipendentemente da λ, hanno la stessa velocità di propagazione. Se v f dipende da k il mezzo è dispersivo. Il pacchetto si deforma e avanza con la velocità di gruppo: v g = dω dk = v f + k dv f dk = v f λ dv f dλ = v f + f dv f df In un mezzo non dispersivo v g = v f. O.10 Interferenza Nel punto P giungono due onde emesse (stessa frequenza e lunghezza d onda), rispettivamente, da una sorgente a distanza x 1 e da un altra a distanza x 2 da P, ξ 1 (P, t) = A 1 cos(ωt kx 1 φ 1 ) = A 1 cos(ωt + α 1 ) 5

6 ξ 2 (P, t) = A 2 cos(ωt kx 2 φ 2 ) = A 2 cos(ωt + α 2 ) ξ(p, t) = ξ 1 (P, t) + ξ 2 (P, t) = Acos(ωt + α) A = A A A 1A 2 cos(α 1 α 2 ) = A A A 1A 2 cosδ tan α = A 1 sin α 1 + A 2 sin α 2 A 1 cosα 1 + A 2 cosα 2 Interferenza costruttiva: δ = α 1 α 2 = 2nπ n = 0, ±1, ±2,... Interferenza distruttiva: δ = α 1 α 2 = (2n + 1)π n = 0, ±1, ±2,... Intensità: I(P) = I 1 + I I 1 I 2 cosδ Nel caso particolare di due onde di uguale ampiezza A 1 = A 2 = A 0 : A = 2A 0 cos δ 2 α = α 1 + α 2 2 I = 4I 0 cos 2 δ 2 O.11 Onde stazionarie Onde stazionarie unidimensionali s(x, t) = Asin kxcosωt Corda tesa di lunghezza L con gli estremi entrambi fissi, colonna di gas chiusa ad entrambe le estremità (o aperta ad entrambe le estremità): Serie armonica: f m = m v 2L = mf 1, λ m = 2L m, k m = m π m = 1, 2,... L Se la corda (o colonna di gas) ha gli estremi in x = 0 e x = L: posizione dei ventri: x = (2m + 1) λ 4 = (2m + 1) π 2k posizione dei nodi: x = m λ 2 = π m = 0, 1, 2,... m k Corda tesa di lunghezza L con un estremità libera ed una fissa, colonna di gas con un estremità chiusa ed una aperta: Serie armonica: f m = (2m + 1) v 4L = (2m + 1)f 1, λ m = 4L, m = 0, 1, 2,... 2m + 1 Onde stazionarie in due dimensioni Membrana rettangolare tesa, tensione (forza per unità di lunghezza, [N/m]), densità superficiale di massa σ. All equilibrio la membrana è ferma sul piano xy (z = 0), investita da un onda vibra in direzione z. La velocità di propagazione è v = /σ Onde stazionarie: z(x, y, t) = Asin(k x x)sin(k y y)sin(ωt) (L x e L y sono le lunghezze della membrana in direzione x e y) Vettori d onda: k nx,n y = kx 2 + ky 2 n 2 x = π L 2 + n2 y x L 2 = 2π y λ nx,n y Frequenze di vibrazione: f nx,n y = v 2π k n x,n y = v n 2 x 2 L 2 + n2 y x L 2 y π π k x = n x, k y = n y L x L y n x, n y = 1, 2,

7 Formulario di Fluidi F.1 Pressione p = F F = forza perpendicolare alla superficie S. S Lavoro della pressione: W = p dv V = Volume Equilibrio statico di un fluido: p = ρ f ρ = densità di massa del fluido f = forza sull unità di massa Se la forza è conservativa: f = U1 U 1 = en. pot. dell unità di massa F.2 Legge di Stevino Equilibrio in presenza della forza peso per un fluido incompressibile: p(h) = p 0 + ρgh dove: h =profondità (misurata dalla superficie, h crescente verso il basso) p 0 = pressione sulla superficie (pressione esterna) ρ = densità di massa del fluido, costante g = accelerazione di gravità, costante Pressione atmosferica isoterma (p/ρ =costante, g = costante): p(z) = p 0 e z/α α = p 0 gρ 0 z = altezza, crescente verso l alto p 0, ρ 0 = pressione e densità a z = 0 Unità di misura: 1 atm = Pa = 760 orr=760mmhg, 1 bar = 10 5 Pa F.3 Spinta di Archimede o spinta idrostatica F A = ρ fluido V corpo g F.4 Liquido in rotazione Superficie di equilibrio: Gradienti di pressione: z = ω2 2g r2 + h p z = ρg p r = ρω2 r ω = velocità angolare r = distanza dall asse di rotazione h = profondità del liquido a r = 0 F.5 Forza di attrito interno F = ηs dv dn η = viscosità [unità di mis.: 1 poise=0.1ms kg = 0.1 decapoise] S = superficie di contatto = gradiente di velocità in direzione ortogonale a S dv dn Fluido ideale: η = 0 F.6 Portata Portata in volume: Q = vs Portata in massa: Q m = ρvs Regime stazionario per un fluido ideale: Q = vs = costante v = velocità del fluido S = sezione del tubo di flusso 7

8 F.7 Legge di Bernoulli (fluido ideale, incompressibile) p ρv2 + ρgz = costante p, v = pressione e velocità del liquido ρ = densità del liquido (uniforme) z = altezza, crescente verso l alto F.8 Fluido reale (η 0) Moto laminare in regime stazionario: Profilo di velocità del fluido in un condotto cilindrico di lunghezza L e raggio R: v(r) = p 1 p 2 4ηL (R2 r 2 ) Legge di Hagen-Poiseuille: Q = πr4 8η Velocità media sulla sezione del condotto: Caduta di pressione per unità di lunghezza: p 1 p 2 L p 1 = pressione del fluido in entrata p 2 = pressione del fluido in uscita r = distanza dall asse del cilindro v m = Q πr 2 = R2 (p 1 p 2 ) 8ηL p L = p 1 p 2 = 8η L R 2 v m Moto vorticoso Numero di Reynolds: R = vdρ η ransizione da regime laminare a vorticoso: in generale dipende dalla geometria; per condutture cilindriche: R c 2000 Caduta di pressione per unità di lunghezza (conduttura cilindrica, regime turbolento): p L = k ρ 2R v2 m (k = coeff. di resistenza) Moto di un corpo in un fluido Resistenza del mezzo per un oggetto sferico (raggio R), in regime laminare: Legge di Stokes: Portanza: F = 2Aρv v F res = 6πηRv A = superficie alare (parallela al moto) v = velocità relativa media v + v = velocità del fluido sopra l ala v v = velocità del fluido sotto l ala F.9 Fenomeni di superficie (liquidi) ensione superficiale (energia per unità di superficie libera): τ, caratteristica del liquido [unità: N/m] Lavoro per modificare superficie libera di un liquido: dw = τds Pressione di una superficie sferica (raggio R): p τ = 2τ R Bolla di sapone: p = p int p est = 4τ R Altezza del liquido in un tubo capillare: h = 2τ cosα ρgr R = raggio del tubo α = angolo di contatto (α = 0 se il liquido bagna le pareti) 8

9 Formulario di ermodinamica Punto triplo dell acqua: triplo = K. Conversione tra gradi Celsius e gradi Kelvin (temperatura assoluta): t( C) = (K) Conversione tra Caloria e Joule: 1 cal = J.1 Calorimetria Capacità termica di un corpo: C = dq d Calore specifico: c m = C m = 1 dq m d Calore specifico molare: c = 1 dq n d (capacità termica dell unità di massa) (capacità termica di una mole di sostanza) m = massa che cambia fase Cambiamenti di fase: Q = mλ λ = calore latente NB: il simbolo d indica un differenziale non esatto, infatti la quantità di calore scambiato ed i calori specifici dipendono dal tipo di trasformazione..2 Conduzione del calore Legge di Fourier: Q = k d dx S t Passaggio di calore da un solido ad un fluido (Solido a temperatura, fluido a temperatura 0 ) Legge di Newton: Q = h( 0 )S t k = conducibilità termica d/dx = gradiente di temperatura S = superficie attraversata dal calore t = intervallo di tempo h = conducib. termica esterna S = superficie di contatto t = intervallo di tempo Irraggiamento Potere emissivo ε: energia emessa dall unità di superficie nell unità di tempo. e = emissività (0 < e < 1) Legge di Stefan-Boltzmann: ε = σe 4 (e = 1: superficie nera) σ = J/(m 2 sk 4 ) = temperatura assoluta.3 Dilatazione termica di solidi e liquidi Coefficiente di dilatazione lineare: λ = 1 l l l = λl l = l 0 ( 1 + λ( 0 ) ) Coefficiente di dilatazione volumica: α = 1 V V ( V = αv V = V α( 0 ) ) Per materiali isotropi: α = 3λ..4 I principio della ermodinamica In un sistema che compie una trasformazione vale la relazione seguente tra: variazione di energia interna U, calore scambiato Q e lavoro scambiato W: Q = U + W Q > 0 se ceduto dall esterno al sistema W > 0 se compiuto dal sistema sull esterno 9

10 .5 Energia interna U In una trasformazione A B: U non dipende dal tipo di trasformazione ma solo dagli stati A e B: U = U B U A (funzione di stato). In una trasformazione in cui il sistema torna nello stato iniziale: U = 0 rasformazione infinitesima: dq = du + dw rasformazione adiabatica: dq = 0, Q = 0, W = U rasformazione reversibile: in ogni stato intermedio il sistema è in equilibrio termico e meccanico con l esterno. rasformazione irreversibile: il sistema passa attraverso stati di non equilibrio..6 Gas ideali Numero di Avogadro: N A = molecole/mol Costante dei gas: R = J/mol K Costante di Boltzmann: k B = R N A = J/K p = pressione del gas V = volume = temperatura assoluta n = numero di moli N = numero di molecole m = massa di una molecola A = massa molare M = massa del gas ρ = densità del gas A = mn A N = nn A M = mn ρ = mn V = M V Equazione di stato dei gas ideali: pv = nr pv = Nk B pa = ρr Lavoro compiuto dal gas in una trasformazione p W = p est dv est =pressione esterna, cioè la forza per unità di superficie che si oppone dall esterno al gas Se la trasformazione è reversibile: p est = p(v ) = p gas nr W rev = p(v )dv = V dv Se la trasformazione è irreversibile ma la pressione esterna è nota e costante: W = p est V Calore specifico molare di un gas ideale volume costante (trasf. isocora): c V = 1 ( ) dq n d V pressione costante (trasf. isobara): c p = 1 ( ) dq = 1 n d p n ( ) dh d p gas ideali monoatomici: c V = 3 2 R = J mol K, c p = 5 2 R = J mol K Relazione di Mayer: gas ideali biatomici: c V = 5 2 R = J mol K, c p = 7 2 R = J mol K Costante adiabatica: R = c p c V γ = c p c V γ > 1 c V = R γ 1 10 c p = γr γ 1

11 gas ideali monoatomici: γ = 5 3 gas ideali biatomici: γ = 7 5 Coefficiente di compressibilità β: 1 β = 1 dv V dp Compressibilità isoterma di un gas ideale: β = p Compressibilità adiabatica di un gas ideale: β S = γp Energia interna di un gas ideale du = nc V d c V = 1 n du d U = nc V + cost. rasformazioni rasformazione adiabatica dallo stato A allo stato B: Q = 0 W = U = nc V = nc V ( B A ) = p AV A p B V B γ 1 rasformazione adiabatica reversibile: V γ 1 = cost. pv γ = cost. p 1 γ γ = cost. rasformazione isoterma dallo stato A allo stato B: A = B U = 0 Q = W p A V A = p B V B = nr rasformazione isoterma reversibile: W = B A pdv = nr log V B V A rasformazione isocora dallo stato A allo stato B: V A = V B W = 0 Q = U = nc V ( B A ) p A = p B = nr A B V rasformazione isobara dallo stato A allo stato B: p A = p B Q = nc p ( B A ) W = p A (V B V A ) = nr( B A ) U = Q W = nc V ( B A ) V A A = V B B = nr p Entalpia: H = U + pv dh = nc p d H = funzione di stato. rasformazione ciclica: U ciclo = 0 Rendimento di una macchina termica: Q ciclo = W ciclo Q ciclo = Q assorbito + Q ceduto = Q assorbito Q ceduto W ciclo = W compiuto + W subito = W compiuto W subito η = W ciclo Q assorb = Q ciclo Q assorb = 1 Q ced Q assorb 0 < η < 1 Efficienza (o coefficiente di prestazione) di un ciclo frigorifero: ξ = Q assorb W ciclo NB: l efficienza di un ciclo frigorifero è anche detta coefficiente frigogeno e indicata, oltre che con la lettera ξ, anche con ε o K. Ciclo di Carnot ABCDA ( 2 > 1 ): AB: espansione isoterma reversibile a = 2 : Q AB = W AB = nr 2 log VB V A = Q assorb 11

12 BC: espansione adiabatica reversibile: Q BC = 0, 2 V γ 1 B CD: compressione isoterma reversibile a = 1 : DA: compressione adiabatica reversibile: Q DA = 0, 2 V γ 1 A Rendimento: η Carnot = Efficienza a funzionamento inverso (frigorifero): ξ Carnot = = 1 V γ 1 C Q CD = W CD = nr 1 log VD V C = 1 V γ 1 D = Q ced eoria cinetica dei gas ideali pressione: p = Nm v 2 V 3 = 2 N 3 V E k Energia cinetica media di una molecola: E k = 1 2 m v2 = 3 2 k B Equipartizione dell energia: ogni grado di libertà ha energia media = 1 2 k B Legge di Dalton per le miscele di gas: p = i p i = R V i n i Distribuzione delle velocità di Maxwell N 0 = numero di molecole di gas, = temperatura assoluta Distribuzione di una componente della velocità: m 2 dn(v x ) = N 0 2πk B e mv x /2kB dv x Distribuzione del modulo della velocità: ( ) 3/2 m dn(v) = N 0 4πv 2 e mv2 /2k B dv 2πk B 2kB Velocità più probabile: v p = m Velocità media: v m = 2 8kB v p = π πm 3 Velocità quadratica media: v q = v 2 = 2 v 3kB p = m Libero cammino medio: (d = diametro delle molecole, n = N0 V = num. di molec. nell unità di volume) λ = 1 2π n d 2 = k B 2π p d 2 Viscosità: η = 1 3 nmv qλ =.7 Gas reali V 2 mv q 3 2πd 2 Equazione di stato dei gas reali (Van der Waals) ) (p + a n2 (V nb) = nr (p + a ν 2 ) (ν b) = R n = numero di moli a, b = parametri tipici del gas ν = V n = volume specifico molare c, p c, ν c = coordinate termodinamiche del punto critico p c ν c = 3 8 R c a = 3 ν 2 c p c b = ν c /3 Formula di Clapeyron : 12

13 (trasform. da stato 1 a stato 2, ν i = vol. spec. mol., λ = calore latente) d dp = (ν 2 ν 1 ) λ eoria cinetica dei gas reali a = αn 2 A, b = 4 2πN A r 3 dp d = λ (ν 2 ν 1 ) α = coeff. dipendente da forze intermolecolari r = raggio delle molecole Energia interna di un gas reale: du = nc V d + na V 2 dv U = nc V na V + cost..8 II principio della ermodinamica eorema di Carnot: data una macchina termica che lavora scambiando calore con due sorgenti termiche a temperatura 1 e 2 > 1 : η rev = η Carnot = η irrev < η Carnot eorema di Clausius: data una macchina termica che lavora scambiando calore con n sorgenti termiche (sia Q i il calore scambiato con l i-esima sorgente a temperatura i ): n Q i 0 (l uguaglianza vale per cicli reversibili) i i=1 Nel limite in cui il numero di sorgenti diventa infinito: dq = 0 (rev.) dq < 0 (irrev.).9 Entropia S S = funzione di stato. In una trasformazione dallo stato A allo stato B: S = S A S B = NB: qualunque sia la trasformazione tra lo stato A e lo stato B, l integrale nella formula precedente va calcolato lungo una trasformazione reversibile qualsiasi che lega i due stati. In una trasformazione adiabatica reversibile: S = 0 (per l universo od un sistema isolato). B In una trasformazione ciclica il sistema torna nello stato iniziale: l ambiente esterno può avere S (ciclo) amb = 0 (trasf. rev.) oppure S (ciclo) amb quindi S (ciclo) = universo S(ciclo) + S (ciclo) = S (ciclo) sist amb amb A dq = 0, mentre > 0 (trasf. irrev.), S (ciclo) sist { = 0 trasf. rev. > 0 trasf. irrev. Scambio di calore Q tra due sorgenti a temperature 1 e 2 > 1 : S 1 = Q 1 S 2 = Q 2 S universo = S 1 + S 2 > 0 Corpo di massa m e calore specifico c m a temperatura iniziale 1 messo a contatto con sorgente di calore a temperatura 2 : S corpo = mc m 2 Cambiamento di fase: 1 d = mc m log 2 1 S sorgente = mc m( 2 1 ) 2 S universo = S corpo + S sorgente > 0 S = mλ (λ = calore latente) 13

14 Entropia di un gas ideale: S = nc V log + nr log V + cost. Variazione di S in una trasformazione tra lo stato A e lo stato B (tutte le espressioni seguenti sono equivalenti): B ) ( dq S = S B S A = = nc V log B + nr log V B = nc V log BV γ 1 B A rev A V A A V γ 1 A In particolare, per una trasformazione = nc V log p B p A + nc p log V B V A = nc V log p BV γ B p A V γ A = nc p log B nr log p B = nc p log Bp (1 γ)/γ B A p A A p (1 γ)/γ A isoterma: isocora: isobara: S B S A = nr log V B V A = nr log p B p A S B S A = nc V log B A = nc V log p B p A S B S A = nc p log B A = nc p log V B V A Entropia di un gas reale: (b = parametro dell eq. di Van der Waals) S = nc V log + nr log(v b) + cost. Energia inutilizzabile E inut = min S universo min = emperatura minima delle sorgenti coinvolte nel processo Formula di Boltzmann S = k B log N + cost. N= numero di configurazioni del sistema.10 III principio della ermodinamica lim S rev = 0 S( = 0) = 0 0 Calore specifico molare (c X = c V o c p ): c X = 1 ( ) dq = 1 ( ) S n d X n log X lim c X() = Potenziali termodinamici Entalpia libera: G = U + pv S (equilibrio: G minima) Energia libera: F = U S (equilibrio: F minima) Entalpia: H = U + pv (equilibrio: H minima) 14