Progress along the lines of the Einstein classical program

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1 Andrea Carati Luigi Galgani Progress along the lines of the Einstein classical program An enquiry on the necessity of quantization in light of the modern theory of dynamical systems Anno Accademico

2 2 Andrea Carati e Luigi Galgani

3 Preface It is well known that, concerning quantum mechanics ( or QM), Einstein was always dissatisfied with its current interpretation, which he liked to qualify as orthodox". Indeed, along all of his life, starting from the first Solvay Conference of the year 1911, and especially after that of the year 1927 in which the interpretation was fixed, he continued to maintain that it should be possible to implement some kind of classical program", amounting to reproduce the predictions of QM through a theory having a realistic character. What should be meant by realistic" was not complelely clear. It is certain. however, that he would have agreed in qualifying as realistic a theory formulated in terms of orbits satisfying Newton s equations. Such a program was implemented quite recently, as will be illustrated in these notes, in a particular domain, that of the infrared spectra of ionic crystals. Indeed, the infrared spectrum of Lithium Fluoride was reproduced in purely classical terms, in good agreement with the quantum predictions and with experiments. True, this is not yet a spectrum which involves the motions of the electrons, as occurs in the paradigmatic case of the Hydrogen atom. But in any case it is a counterexample to the validity of the dogma no energy levels? no lines!", that in the words of Born reads: The existence of sharp spectral lines and the great stability of atoms are phenomena which from the classical standpoint are perfectly unintelligible" ( Atomic Physics, pag. 103). Thus, at least this counterexample shows that in the problem of the relations between Classical Physics and QM there is still much to be understood. And even more. Because, still in the case of ionic crystals, classical microscopic theory exhibited the existence of a topological phenomenon characterizing polaritons, which could not yet be proven in the frame of QM. Aim of the present notes is to retrace historically, through a study of the relevant original papers, the crucial critical points where classical physics was judged to fail, and the new mechanics was introduced, reconsidering such points in light of the progress made along the lines of the Einstein classical program. Three are the critical points considered. First of all the equipartition principle, which gave origin to the quantization of the harmonic oscillator, with Planck s law in the year Then the problem of the atomic spectra, which led to he revolution of the years And finally that of the quantum phenomena that came to light after the work of Bell of the year These thi

4 ii Andrea Carati e Luigi Galgani ree subjects, and the corresponding steps performed along the classical program, are discussed in the three parts in which the present notes are subdivided. The progress along the Einstein program was made possible by the new results that became available after the year 1954 in the theory of dynamical systems. A crucial point was realizing that in general one has coexistence of ordered and of chaotic motions. And, furthermore, that this occurs in macroscopic systems too, against the diffuse opinion ( actually, an unfounded prejudice) that chaotic motions only could occur in the latter systems. For example, just by defnition spectral lines do not even show up, in completely chaotic systems. Some symbolic value should perhaps be attributed to the fact that in the same year 1954 one had a turning point in this connection, both at a physical level with the Fermi, Pasta, Ulam (or FPU) work, and at a mathematical level with the Kolmogorov theorem on invariant tori. The second modern" result, also going back to the year 1954, concerns statistical mechanics, and amounts to the Green Kubo methods for Linear Response Theory. This plays a fundamental role, both for the problem of energy equipartition ( the specific heat problem), and for the microscopic definition ( and computation) of atomic spectra. Finally, the third element concerns classical matter radiation interaction. Here one meets with two modern" results. First of all, there is the Wheeler Feynman ( or WF) identity, which was enunciated already in the year 1945, but was proven later, in the year 2003 for a particular model, and in the year 2014 for the general case. The identity plays a fundamental role in eliminating the instability of the Rutherford atom ( falling of the electrons on the nuclei) for a macroscopic number of charges. Then, there is the recognition of the singular perturbation character of the Abraham Lorentz Dirac ( or ALD) equation, which is the one governing the microscopic classical dynamics of a charged particle. It is this singular character that produces the existence of qualitative properties of the type that became familiar after Bell, and are usually considered to be characterisitc of quantum theory, and so unconceivable or unintelligible outside of it. The general conclusion seems to be as follows. In the critical points where QM was introduced, one apparently meets with situations where it is extremely difficult to state which precisely are the predictions of classical physics. QM shows up as a kind of genial invention which goes around such problems, giving clear and appropriate predictions, which however might turn out ( and in some cases were shown) to be compatible with the predictions of classical physics. Perhaps, even the extreme Einstein dream might prove to be true, viz. that QM be nothing but the statement of a theorem within classical physics. Andrea Carati and Luigi Galgani Milano, luglio 2017

5 Progress along the Einstein programm: Preface iii PS. These pages grew up as notes for a course on the Foundations of Physics. The objective is a critical and historical study of the original papers that gave rise to QM, regarded as inspirations for present research in Physics. As the course is open to undergraduate students, the notes, of a quite provisional character, are kept as much as possible at an elementary level.

6 iv Andrea Carati e Luigi Galgani

7 Indice Parte Prima: Planck Einstein e Poincaré, Kubo e Fermi 1 Prefazione alla prima parte Fermi, Pasta ed Ulam (FPU), 1954: critica su basi dinamiche del principio di equipartizione Il lavoro FPU come lavoro di ricerca sulle relazioni tra MQ e fisica classica Il modello FPU, e i corrispondenti modi normali di oscillazione La scoperta di FPU: nonequipartizione dell energia a basse energie secondo la fisica classica, e il problema della caoticità dei moti Il contributo di Chirikov: la congettura sulla soglia di caoticità al limite termodinamico La stima della soglia di Chirikov, come problema aperto Boltzmann e la termodinamica statistica: la crisi del principio di equipartizione L importanza del principio di equipartizione per il programma riduzionista nelle scienze della natura Le teorie cinetiche e la scoperta di Clausius: l interpretazione meccanicistica della pressione e della temperatura Il procedimento statistico di Boltzmann e la distribuzione di Maxwell Boltzmann La distribuzione di Maxwell Boltzmann nel limite del continuo, e il teorema di equipartizione dell energia Boltzmann contro l equpartizione Planck e il corpo nero: 19 ottobre e 14 dicembre Il corpo nero come sistema termodinamico I lavori di Planck Deduzione di Planck della legge di Wien La comunicazione del 19 ottobre La comunicazione del 14 dicembre v

8 vi Andrea Carati e Luigi Galgani 3.6 La seconda teoria" di Planck del 1911, come estremo tentativo di eliminare la quantizzazione e salvare la continuità Einstein e i quanti, le fluttuazioni di energia, e le statistiche di Bose Einstein e di Fermi Dirac Introduzione Il lavoro del 1905, sui quanti del campo elettromagnetico Il lavoro del 1907 sui calori specifici Einstein e le fluttuazioni di energia, prima conferenza Solvay del 1911, La théorie du rayonnement et les quanta. Tutto va come se" il sistema fosse quantizzato Il lavoro sulle probabilità di transizione del Nuova deduzione della legge di Planck I lavori di Bose ed Einstein del Una anticipazione del classical program" in relazione al principio di equipartizione Poincaré 1912: sulla necessità della quantizzazione. La risposta (euristica) di Nernst, Introduzione L argomentazione semplificata: la quantizzazione del singolo oscillatore Il lavoro di Poincaré Osservazioni sulla necessità della quantizzazione Primi tentativi di sostituire la quantizzazione con l esistenza di una soglia di caoticità: Planck 1911, Einstein Stern 1913, Nernst I tempi di rilassamento in termodinamica e in meccanica statistica. Da Boltzmann e Gibbs a Kubo Introduzione Da Boltzmann a Gibbs. La formula di Einstein Boltzmann per il calore specifico Il processo di misurazione del calore specifico Realizzazione matematica: il modello microscopico Deduzione del secondo principio Calore specifico e dinamica. La formula alla Kubo e le correlazioni temporali. Generalizzazione della formula di Einstein Boltzmann Osservazioni conclusive Parte Seconda: Heisenberg, Born, Dirac e Schrödinger, Wheeler Feynman e Kubo 165 Prefazione alla seconda parte

9 Progress along the Einstein programm: Preface vii 7 Le righe spettrali del Fluoruro di Litio nell infrarosso L indice di rifrazione secondo la meccanica statistica classica Il modello di cristallo I risultati delle simulazioni La teoria classica della dispersione della luce La legge di Snell e l indice di rifrazione La teoria elettromagnetica della luce La teoria della dispersione di Drude Dopo Rutherford: Bohr, la vecchia meccanica quantistica e il principio di corrispondenza Un breve excursus storico. Da Bohr alla costruzione della MQ Il modello planetario dell atomo, il principio di Rydberg Ritz ed il modello di Bohr The old quantum mechanics : quantizzazione alla Bohr Sommerfeld ed il principio di corrispondenza di Bohr Il penultimo passo: The formal passage from classical mechanics to a quantum mechanics (Born, 1924) Heisenberg, 29 luglio La nuova cinematica di Heisenberg La regola di somma di Heisenberg come legge di quantizzazione per sistemi generici. Estensione di Born e Jordan alla familiare regola di quantizzazione [p, q] = i ħh Ruolo cinematico della legge di quantizzazione: determinazione degli autovalori delle osservabili, e delle loro rappresentazioni matriciali Ruolo dinamico della legge di quantizzazione: compatibilità ( formale) tra evoluzione di Heisenberg ed evoluzione classica Schrödinger, 27 gennaio Il colpo d ala di Schrödinger: la meccanica ondulatoria e il ruolo degli stati La deduzione dell equazione di Schrödinger, e la necessità di ambientarla in ambito complesso Ritorno alla idee centrale di de Broglie, come contaminazione della formula E = hν di Planck e della relazione massa energia di Einstein Ritorno alla idea centrale di Schrödinger. L idea della meccanica ondulatoria", e deduzione della formula per la velocità di fase Altri argomenti: NOTA PER GLI AUTORI

10 viii Andrea Carati e Luigi Galgani 12 Interazione classica tra radiazione e materia, parte I. L identità di Wheeler e Feynman e la causalità microscopica Le equazioni di Maxwell microscopiche, la soluzione di Hertz per il dipolo elettrico, la formula di Larmor per l energia irraggiata, e la forza di reazione di radiazione I calcoli per la soluzione di Hertz Modello unidimensionale di dielettrico. Modi normali non irraggianti, Orbite atomiche stabili. L identità di Wheeler e Feynman Una formulazione generale dell identitè di WF La teoria microscopica dei polaritoni Interazione classica tra radiazione e materia, parte II. La teoria microscopica di Green Kubo per lo spettro, Kramers Kronig e la causalità macroscopica Il passaggio dall elettromagnetismo microscopico all elettromagnetismo macroscopico Il teorema di Green Kubo per la polarizzazione Le relazioni di Kramers Kronig, e la f sum rule Lo spettro discreto nel caso classico Parte Terza: EPR, Bell e Dirac L elettrodinamica classica di Dirac, come teoria a parametri nascosti che viola la vital assumption di Bell La forza di reazione di radiazione", l equazione di Abraham Lorentz Dirac (ALD) e il suo carattere perturbativo Si apre il vaso di Pandora: il carattere di perturbazione singolare dell equazione di ALD La prescrizione nonrunaway di Dirac. Analogia con il problema della ricerca degli autovettori L effetto tunnel. Violazione della vital assumption di Bell Il problema della causalità. Analogia con quello della irreversibilità EPR, La formulazione ortodossa della meccanica quantistica, e il problema dei parametri nascosti Einstein, Podolski e Rosen (EPR) La risposta di Bohr. I commenti di Einstein e la sua profonda solitudine a Princeton The classical program, primo febbraio

11 Progress along the Einstein programm: Preface ix 16 BELL, Il contributo di Bell Un divertissement. L analogo delle disuguaglianza di Bell in un gioco del tipo gratta e vinci Problemi di carattere generale Il punto di vista di Accardi. Ruolo delle probabilità condizionate L esempio delle due fenditure come visto da Accardi Il problema delle due fenditure come discusso da Feynman, e la critica di Koopman