Introduzione alla Meccanica Statistica. Marco Guagnelli

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Alessia Roberto
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1 Introduzione alla Meccanica Statistica Marco Guagnelli

2 Copyright c Marco Guagnelli These notes have been composed using the memoir package Licensed under the Creative Commons Attribution-NonCommercial 3.0 Unported License (the License ). You may not use this file except in compliance with the License. You may obtain a copy of the License at http: //creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0. Unless required by applicable law or agreed to in writing, software distributed under the License is distributed on an AS IS BASIS, WITHOUT WARRANTIES OR CON- DITIONS OF ANY KIND, either express or implied. See the License for the specific language governing permissions and limitations under the License. Versione 2.2, Aprile 2017

3 Indice Indice 3 1 Ripasso di Termodinamica Definizioni Parametri termodinamici ed equilibrio Il gas ideale Il primo principio della termodinamica Espansione libera di un gas ideale Energia interna Calori specifici Trasformazioni adiabatiche Il secondo principio della termodinamica Il ciclo di Carnot L entropia termodinamica I potenziali termodinamici Le relazioni di Maxwell Il potenziale chimico Esercizi per il Capitolo Le basi statistiche della termodinamica Macrostato e microstati Primo contatto con la termodinamica Volume e pressione Il potenziale chimico Il gas ideale Particelle in una scatola Il calcolo di Ω Volume e superficie di una sfera in n dimensioni Continua il calcolo di Ω Entropia di mescolamento e paradosso di Gibbs La numerazione corretta dei microstati Esercizi per il Capitolo

4 3 Elementi di teoria degli ensembles Introduzione Spazio delle fasi di un sistema classico Il teorema di Liouville L ensemble microcanonico Il gas ideale L oscillatore armonico Un sistema di oscillatori armonici La regola generale Esercizi per il Capitolo L ensemble canonico Sistema all equilibrio con una riserva termica L ensemble canonico Il metodo del valore più probabile Il metodo di Darwin Fowler Significato fisico delle quantità statistiche Espressioni alternative per la funzione di partizione Il gas ideale classico Fluttuazioni dell energia Il teorema di equipartizione Sistema di oscillatori armonici La statistica del paramagnetismo Paramagnetismo classico Paramagnetismo quantistico La distribuzione di Maxwell delle velocità Velocità più probabile, velocità media Considerazioni cinetiche L effusione di un gas Potenziale esterno: un esempio Esercizi per il Capitolo L ensemble grancanonico Contatto con una riserva L ensemble grancanonico Significato fisico delle quantità statistiche Esempi Equilibrio solido vapore Fluttuazioni Ritorno sul potenziale esterno Esercizi per il Capitolo Sistemi interagenti: un introduzione Espansione in cluster di un gas classico

5 6.1.1 L equazione di van der Waals Costruzione della Statistica Quantistica La matrice densità Ensembles quantistici Microcanonico Canonico Grancanonico Esempi Elettrone in un campo magnetico Particella libera in una scatola Gas ideale quantistico La matrice densità canonica di un gas quantistico ideale Il potenziale statistico Gas ideali quantistici Gas ideale nel microcanonico quantistico Divisione in celle di energia Distribuzione di Bose Einstein Distribuzione di Fermi Dirac Distribuzione di Maxwell Boltzmann (caso classico) Il calcolo dell entropia Il calcolo di n i Quantità termodinamiche Gas ideali quantistici nel canonico e nel grancanonico Statistica dei numeri d occupazione Rivisitazione delle considerazioni cinetiche Sistemi ideali di Bose Einstein Equazioni fondamentali per un gas ideale di Bose Einstein Espansione del viriale Transizione di fase di Bose Einstein Termodinamica del gas ideale di Bose La pressione Il calore specifico Isoterme e adiabatiche La radiazione di corpo nero La teoria di Planck Il punto di vista di Bose Una visione globale è necessaria Il calore specifico dei solidi Il modello di Einstein Il modello di Debye

6 10 Sistemi ideali di Fermi Dirac Equazioni fondamentali per un gas ideale di Fermi Espansione del viriale Il limite di degenerazione Espansione a bassa temperatura Fenomeni magnetici in un gas di Fermi ideale Paramagnetismo di Pauli Diamagnetismo di Landau Il modello di Ising Il modello in una dimensione Espansione ad alta temperatura La matrice di trasferimento Approssimazione di campo medio Un modo alternativo Soluzioni dell equazione di campo medio Un modello esattamente risolubile A Appendice matemarica 189 A.1 Alcune funzioni e formule utili A.1.1 La funzione Γ A.1.2 La formula di Stirling A.1.3 Il teorema multinomiale

7 Prefazione Un po di saggezza è possibile, certo; ma in tutte le cose io ho trovato questa certezza beata: che esse, sui piedi del caso, preferiscono danzare. F. Nietzsche, Così parlò Zarathustra Queste dispense nascono dal corso di Meccanica Statistica che tengo dal 2010 presso il Dipartimento di Fisica dell Università di Pavia. In prima istanza nascono dal tentativo, fatto a mio stesso beneficio, di mettere ordine nel caos di appunti manoscritti, su fogli spesso volanti, posti in anfratti altamente casuali, ed erraticamente vaganti col tempo, nel mio ufficio. Ogni anno dunque, nell imminenza del corso, si ripropone la questione: Dove diavolo saranno gli appunti per il metodo di Darwin Fowler? (sostituire a Darwin Fowler un argomento a piacere e sommare su tutti i possibili argomenti del corso per ottenere il livello totale di frustrazione). Ho pensato che avrei speso meno tempo a cristallizzare in qualche forma digitale gli appunti stessi, per quindi ritrovarli velocemente da qualche parte sull hard disk del mio laptop, che a cercarli ogni volta, nel disperato tentativo di diminuire l entropia di cui riesco a circondarmi con enorme facilità. Spero comunque che questo piccolo sforzo sia utile anche agli studenti. Il corso ha un carattere introduttivo alla materia e si rivolge a studenti del terzo anno della Triennale e/o del primo anno della Specialistica, o Magistrale. Gli argomenti sono quelli che ci si può facilmente aspettare: statistica classica, e quindi teoria degli ensembles microcanonico, canonico, grancanonico; statistica quantistica, teoria dei gas ideali quantistici, termodinamica del corpo nero, calore specifico dei solidi, gas degenere di Fermi. Un capitolo è speso per la descrizione del modello di Ising e la sua soluzione in approssimazione di campo medio. Il corso presuppone la conoscenza, almeno a livello di corso di laurea in Fisica Triennale, della Termodinamica e della Meccanica Quantistica, oltre agli ovvi strumenti matematici necessari per qualsiasi corso di Fisica 7

8 INDICE Teorica a questo livello. Le dispense sono sostanzialmente una traduzione ragionata dei primi capitoli del Pathria, con alcune eccezioni. In ogni caso, più che plagiare brutalmente, ho cercato di dipanare la matassa del testo là dove mi sembrava più ingarbugliata. Il testo è corredato da numerosi esercizi, che fanno parte integrante del corso. Le soluzioni degli esercizi si trovano in un altro volume. La maggior parte degli esercizi sono risolti durante le lezioni; consiglio vivamente agli studenti di provare a risolvere gli esercizi che non sono stati svolti a lezione prima di consultare il volume delle soluzioni. Un lavoro del genere non può essere esente da lapsi calami, refusieveri e propri errori; ringrazio tutti gli studenti che me li hanno già segnalati e ringrazio in anticipo chiunque avrà la bonta di segnalarmeli. Ringrazio in particolare la dott.ssa Barbara De Palma per il suo prezioso aiuto. L eventuale lettore dovrebbe avere la pazienza di considerare queste note come un work in progress, e tenere a mente il noto aforisma di Benjamin Disraeli: The best way to become acquainted with a subject is to write a book about it. Pavia, Aprile 2017 Marco Guagnelli 8

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