Grafici 3D con Winplot

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1 Grafici 3D con Winplot Winplot è un ottimo programma freeware della Peanut Software per il disegno di grafici 2D e 3D. Queste note, attraverso semplici esempi, spiegano come usarlo mettendo in evidenza le sue molteplici potenzialità. Luglio 2007 Foxes Team 1

2 Indice Grafici 3D con Winplot...2 Funzioni esplicite...3 Assi e drawing box...3 Colore e superficie...5 Sezioni...8 Tabulazione...8 Livelli...9 Inserimento di testo...10 Funzioni parametriche...11 Lo strumento Slicer...12 Sezioni...12 Superfici di rivoluzione...12 Coordinate sferiche...15 Coordinate cilindriche...17 Reticoli cilindrici e cartesiani...18 Funzioni implicite...19 Curve di livello...19 Punti, segmenti e vettori...22 Testo agganciato...22 Lista...23 Curve...24 Curve discrete Curve continue...25 Meridiani...25 Moto lungo una curva...26 Animazione...26 Intersezioni...28 Tubi...31 Solidi per sezioni...33 Solidi di rivoluzione...35 Appendice...39 Mappa dei fonts...39 Funzioni e costanti...40 Foxes Team 1

3 Grafici 3D con Winplot Questo documento illustra la capacità di Winplot 1 di creare grafici 3D finalizzato allo studio delle superfici e delle curve matematiche nello spazio tridimesionale. Per iniziare un grafico 3D selezionare "3-dim" dal menu Window, opppure, più velocemente premendo F2. Verrà aperta una finestra, in tutto simile a quelle già viste per i grafici 2D, con lo stesso menu di base Se la finestra è diversa da quello vosualizzata significa che è disattivato l'opzione "Use defaults" del menu Window è disattivata. Suggeriamo di attivare sempre questa opzione e di gestire le specializzazioni (font, colore, sfondo, assi, griglie, ecc.) per mezzo di grafici-modelli costruiti ad hoc, così come è stato spiegato per i grafici 2D 1 Questo documento si riferisce alla versione di Winplot compilata il 11.May.2007 Foxes Team 2

4 Funzioni esplicite Sono definite da un equazione esplicita del tipo z = f ( x, y) Winplot può tracciare efficientemente queste funzioni dal Menu : Window / 3-Dim, Menu : Equa / Explicit Per default, la funzione impostata è: sin(xx+yy)/(xx+yy), ovvero: 2 2 sin( x + y ) z = 2 2 x + y Nel range -π x π, -π y π con 36 divisioni per ogni intervallo. Il range z min z z max viene calcolato automaticamente dal programma. I valori (x min, y min, z min, x max, y max, z max ) definiscono il parallelepipedo in cui viene disegnato il grafico (drawing box). Vedremo successivamente come cambiare le sue dimensioni. Il grafico a sinistra mostra la superficie della funzione f(x, y) Notare che la funzione non è definita nell'origine ma si può dimostrare che 2 sin( x + y lim x x + y y 0 2 ) = 1 Nonostante la singolarità in (0,0), Winplot crea il grafico corretto Il grafico puo essere ingrandito o ridotto semplicemente con i tasti "Pag " o "Pag ", o dal menu view/zoom, (ma i tasti sono molto più utili). Nel menu view/zoom si può impostare il fattore di ingrandimento o riduzione per mezzo del parametro "Factor..."; valori 1.1 o 1.2 funzionano bene. Il grafico puo essere ruotato in alto o in basso, a destra e sinistra semplicemente con i tasti freccia " " o " ", " " o " " o dal menu view/rotate. Sempre nel menu si può definire la velocità di rotazione con il parametero "Angle..."; valori usuali sono da 1 a 6. Adesso vediamo come aggiungere altri elementi grafici quali assi, drawing box, colori, ecc. Assi e drawing box. Dal menu View/Axes, selezionare "Axes" (Ctrl+A), "Shows Label", "Arrows" La lunghezza degli assi viene calcolata automaticamente e le etichette "x", "y", "z" sono poste alle estremità degli assi stessi. A seconda della rotazione, qualche volta, le etichette non sono ben visibili (come l'asse z del grafico a sinistra). In tal caso si può impostare la lunghezza degli assi dal menu View/Axes/Lock lengths... Foxes Team 3

5 Imposta la lunghezza dell'asse z da 1.3 a 2.5. Per ripristinare il calcolo automatico selezionare "unlock" La "scatola" del grafico puo essere attivata dal menu View/Box/Box (ctrl+b) View/Box/ View/Box/ Il comando "Hide segment" elimina le line nascoste, cioè quelle che sono coperte dalla superficie. Nota che questo comando elimina anche le linee degli assi Quando si vogliono contemporaneamente vedere gli assi e la scatola, un compromesso accettabile è quello di lasciare i segmenti nascosti dando meno contrasto alla scatola, ad esempio, scegliendo il colore grigio nel menu View/Box/Color... Il punto di osservazione del grafico (observer) sono le coordinate (x o, y o, z o ) in cui s'immagina posizionato l'occhio dell'osservatore. Per visualizzare/modificare le coordinate dell' osservate selezionare View/Observer/Coordinates... Muovendo il grafico con i tasti freccia, i tasti PagUp e PagDn, si può vedere che il punto di osservazione cambia conseguentemente. Selezionando "spherical" e "degrees" le coordinate sono trasformate in sferiche (ρ, θ, φ). Normalmente il punto di osservazione è calcolato da WinPlot per un buona visione e non c'è bisogno di modificarlo. Solo per particolari effetti il punto di osservazione può essere avvicinato o allontanato per mezzo dei tasti "Ins" e "Del". O Foxes Team 4

6 Nota. Giocando con il punto di osservazione è facile "perdersi". Per ripristinare un corretto punto di osservazione selezionare View/Observer/Isometric. Colore e superficie I grafici, appaiono come un reticolo di maglie rettangolari. Solitamente i grafici così ottenuti sono già sufficientemente buoni. Mediante alcuni parametri (non proprio immediati) è però possibile aggiungere le ombre, colorare la superficie, aggiungere il reticolo, colorare la superficie interna diversa da quella esterna, ecc. Vediamo come Aprire la finestra "Inventory" che contiene il catalogo delle funzioni e curve. Selezionare la funzione e poi il tasto "edit" "Spectrum": disegna la superficie continua Grid : visualizza la griglia sulla superficie continua Color A: sceglie il colore della superficie La funzione "spectrum" disegna la superficie continua ombreggiata con zone scure e chiare. Per una buona riuscita selezionare un colore (A) molto chiaro: ad esempio giallo. La possibilità di colorare differentemente la superficie interna da quella esterna è molto utile nei grafici in cui si osservano contemporaneamente le due facce della superficie. Foxes Team 5

7 Ad esempio tracciamo il grafico del paraboloide: 2 2 = x y per 1 x 1, 1 y 1 z + Attivare il Box, selezionare "hide segments" e scegliere il colore per la griglia. Il grafico apparirà come nella figura a sinistra. Adesso selezionare "Col 1" per il colore interno (esempio verde) e "Col 2" per il colore esterno (ad esempio giallo) ed attivare "Shade" (assicurarsi che l'opzione "Spectrum" sia deselezionata). A colpo d'occhio risulta più evidente il contrasto fra la faccia interna e quella esterna della superficie. Ovviamente questa distinzione non vale per quelle speciali superfici che hanno una sola faccia come, ad esempio, il nastro di Mobius, la cui equazione parametrica è la seguente. [ x = cos(t)-0.5u*cos(t)sin(t/2), y = sin(t)-0.5u*sin(t)sin(t/2), z = 0.5u*cos(t/2) ] 0 t 2π, -1 u 1 In questo caso, l'algoritmo inizia a colorare ogni piccolo rettangolo della griglia (che ha due superfici) con il colore blu da un lato e il colore giallo dall'altro. L'algoritmo termina quando tutti i rettangoli sono stati colorati ma, poiché in realtà la superficie è unica, ad un certo punto i rettangoli blu si incontrano necessariamente con quelli gialli. Il punto di contatto è evidenziato dal netto contrasto dei due colori. Foxes Team 6

8 La scatola del grafico, oltre a dare l'idea dello spazio tridimensionale occupato, serve anche per contenere la superficie entro limiti finiti. Questo viene utile quando si lavora con funzioni illimitate all'interno del range D (x min < x < x max, y min < y < y max ). Ad esempio si vuole tracciare il grafico della funzione 1 z = 2 2 x + y, 1 x 1, 1 y 1 La funzione non è definita nell'origine (0,0) ed è illimitata. Questo fatto comporta una difficoltà intrinseca nel calcolare le dimensioni della scatola di disegno. Probabilmente il grafico ottenuto assomiglierà a quello a sinistra. Le dimensioni del Box sono visibili con il tasto "Box" del pannello "Inventory" E' possibile limitare il lati della scatola di disegno inserendo 6 opportuni valori e selezionando "Lock position" Nel nostro caso è sufficiente inserire solo il vincolo 0 < z < 10 per avere un grafico accettabile Nota. L'opzione "Lock position" blocca tutte le 6 dimesioni impostate nel pannello "Dimension Box", relativamente alla funzione selezionata. Ricordarsi di rimuovere il lock quando si desideral fa ricalcolare automaticamene le dimensioni. L'opzione "cap extremes" determina l'aspetto della parte di superficie "bloccata" dal vincolo impostato. Il modo migliore per capire il funzionamento è osservare l'effetto che produce, come mostrano i grafici seguenti. Come si vede, la funzione "cap extremes" sostituisce la parte della superficie mancante con la faccia superiore della scatola (piano z = 10) Foxes Team 7

9 Sezioni Sezionare un superficie con piani longitudinali è utile per vedere l'interno del grafico. Questo può essere fatto sia impostando i vincoli nel box, sia impostando i vincoli nel dominio D (x min < x < x max, y min < y < y max ) Ad esempio, per rimuovere la parte anteriore del grafico basta impostare un range (-1 < y < 0.2) oppure impostare il vincolo y < 0.2 nel box. Le immagini seguenti mostrano il risultato delle due elaborazioni. Nota. Nella seconda immagine è stata deselezionata l'opzione "cap extremes" altrimenti la parte anteriore sarebbe stata coperta dalla faccia della scatola impedendo così la vista interna. Nota che, per entrambe le immagini sono stati impostati 3 differenti colori per: griglia, superficie interna ed esterna Tabulazione Per tutti i grafici definiti nel catalogo è possibile ottenere la tabella dei dati numerici calcolati. Per questo è sufficente premere il tasto "table" del pannello "Inventory", dopo aver selezionato la funzione voluta. In genere i dati sono organizzati in una matrice (n x m) di rige e colonne: la prima colonna contiene i valori della variabile x mentre la prima riga contiene i dati della variabile y. I dati interni corrispondono al valore della variabile z = f(x i, y j ) Foxes Team 8

10 I dati della finestra possono essere selezionati (ctrl+a), copiati (ctrl+c) e importati (ctrl+v) in un foglio elettronico come Excel o Calc per ulteriori elaborazioni. Il grafico a destra è stato realizzato, ad esempio, importando i dati in una matrice Excel, con il tipo di grafico "Superficie". Livelli E' possibile tracciare le curve di livello su una superficie tridimesionale. Dopo aver selezionato la funzione voluta, premere il tasto "levels" del pannello "Inventory". Il pannello sembra molto complicato ma, per fortuna, le funzionalità veramente necessarie sono poche. Il passo h e il numero dei livelli sono legati dalla formula: h = (z max -z min )/(n+1) quindi per avere un passo h=0.05 fra 0 z 1 si deve impostare n = 21 livelli Si deve inserire i valori low = 0 e high = 1 (ignorare curr) Premendo "auto" verrano calcolati le coordinate dei 21 livelli. Premendo "keep changes" i livelli saranno trasferiti sul grafico Premendo "see all" i livelli verrano visualizzati sul piano xy in un grafico 2D separato. Per cancellare i livelli, premere "del all" e poi ancora "keep changes". Per tracciare un solo livello, inserire il valore del livello nel campo "curr", premere "search curr" e poi ancora "keep changes". Attenzione che per fermare la ricerca, spesso, si deve premere il tasto "Q" (Quit) Il tasto "discard changes" è equivalente a "exit": chiude la finestra senza fare nessuna variazione al grafico NB. I livelli tracciati su un grafico 3D sono molto utili ma anche molto pesanti da punto di vista elaborativo e i movimenti del grafico risultano estremamanete più lenti. Quindi i livelli devono essere usati solo quando servono e comunque in numero limitato. Foxes Team 9

11 Inserimento di testo 2 2 ( x + y) Esempio. Creare il grafico della funzione z = y e per 2 x 2, 0 y 6, e tracciare alcune curve di livello. Scegliamo n = 21 curve fra 0< z < 1, per aver un passo h = 1/(21-1) = 0.05 Mediante i tasti "next level" and "see curr" è possibile visualizzare la singola traccia di livello. Winplot non aggiunge automaticamente le etichette ai livelli e quindi è consigliabile aggiungere almeno due marche di livello manualmente y Per inserire un semplice testo nei grafici, selezionare l'opzione "Text" dal menu "Btns". Questo comando attiva la funzionalità di editor direttamente dal tasto destro del mouse. E' possibile agganciare il testo alla figura o alla finestra e modificare gli attributi più importanti (font, colore, background, etc). Con un po' di pazienza si trova la combinazione giusta. Per muovere i testi basta semplicemente selezionarli con il tasto sinistro del mouse e trascinarli Foxes Team 10

12 Funzioni parametriche Le superfici generate dalle equazioni parametriche sono, in generale, molto più difficili da prevedere di quelle cartesiane esplicite ma permettono di creare dei grafici veramente sorprendenti, anche con espressioni analitiche realtivamente semplici. I parameteri t e v sono definiti in un dominio rettangolare D { t min t t max, u min u u max } x = f ( t, u) y = g( t, u) z = h( t, u) Una delle più belle superfici parametriche è 2 t x = sin u sin t (6 / 5) sicuramente la seguente 2 t 0 u π A prima vista risulta difficile immaginare che queste y = sin u cost (6 / 5) equazioni, apparentemente così semplici, modellano t π / 4 t 5π / 2 la superficie di una conchiglia (un nautilus per z = sin u cosu (6 / 5) l'esattezza). Vediamo il grafico generato da Winplot Dal menu Equa/Parametric... scriviamo le seguenti formule: x = 1.2^t*(sin(u)^2*sin(t)), y = 1.2^t*(sin(u)^2*cos(t)), z = 1.2^t*(sin(u)*cos(u)) Introduciamo il range t 7.85, 0 u Selezioniamo un colore chiaro (ad esempio giallo) ed attiviamo la funzione "spectrum" per creare gli effetti d'ombra. Altre viste suggestive si possono ottenere semplicemente per rotazione (tasti freccia). Foxes Team 11

13 Lo strumento Slicer. Nei grafici parametrici, le linee che formano la griglia corrispondono alle curve di livello per t e u costanti Wimplot offre una funzionalità eccellente, chiamata "slicer", per visualizzare e percorrere tutte le linee di livello del grafico in modo interattivo. Selezionando il menu One/Slicer... compare un pannelo di controllo dotato di barre scorrevoli che permettono di cambiare i valori dei parametri t e u in modo continuo. Nell figura sono evidenziate le line di livello per t =3.446 (circonferenza) e per u = (spirale). Si noti che l'intersezione delle curve di livello, perpendicolari fra loro, determinano qualunque punto della superficie. Un effetto ancora più spettacolare si ottiene attivando l'animazione tramite i tasti "autorev" o "autocyc" su i parametri "t" e "v". Sezioni Anche nei grafici parametrici è possibile sezionare la figura per mezzo del Box. Ad esempio, per "rimuovere" la parte superiore della conchiglia inserire il vincolo z < 0 Superfici di rivoluzione. Un particolare insieme di equazioni parametriche permettono di creare in modo facile ed efficiente tutte le superfici di rivoluzione. Ad esempio data una curva spaziale γ { x = f(u), y = g(u), z = h(u) }, la superficie di rivoluzione Γ generata intorno all'asse z ha equazioni parametriche x = f ( u) γ y = g( u) z = h( u) x = ρ( u)cost Γ y = ρ( u)sin t z = h( u) con ρ 2 ( u ) = f ( u) + g( u ) 2 Foxes Team 12

14 Nel caso che la curva sia piana e giaccia, ad esempio, sul piano x-z, le equazioni si semplificano in x = f ( u) γ y = 0 z = h( u) x = f ( u)cost Γ y = f ( u)sin t z = h( u) Ad esempio, si consideri la curva ellittica γ sul piano x-z di equazioni e la sua superficie di rivoluzione Γ attorno all'asse z: x = ( ) cosu γ y = 0 z = 0.3 sin u x = ( ) cosu cost Γ y = ( ) cosu sin t z = 0.3 sin u con 0 t 2π 0 u 2π Anche su questa superficie (un toro a sezione ellittica) è possibile effettuare delle sezioni. In questo caso risulta più semplice agire sui parametri "t" e "u" anziché sul box. Infatti i grafici seguenti sono stati ottenuti imponendo rispettivamente t 5 e u 1.5 Le formule parametriche sono in grado di modellare anche superfici aventi formule cartesiane molto complicate. Ad esempio la superficie: { x = u [4cost], y = u [4sint], z = 40-4u }, con -π t π, 0 u 10 e dove: [x] = floor(x), rappresenta la seguente piramide a base ottagonale irregolare. Per colorare la superficie esterna in modo differente da quella interna è stata usata la funzionalità "shade" Foxes Team 13

15 Con le superfici parametriche e le loro unioni si possono modellare una vasta di oggetti grafici x = cos(t); y = sin(t); z = u x = u; y = sin(t); z = cos(t) 0 < t < 2π, 0 < u < π x = max(min(sqr(2)*cos(t),1),-1); y = max(min(sqr(2)*sin(t),1),-1); z = u x = max(min(sqr(2)*cos(t),1),-1); y = u; z = max(min(sqr(2)*sin(t),1),-1) 0 < t < 2π, 0 < u < π x = int(u)*cos(t); y = int(u)*sin(t); z = u 0 < t < 2π, 0 < u < 2π x = int(u)*cos(t); y = int(u)*sin(t); z = 6-u 0 < t < 2π, 0 < u < 2π x = cos(t)*(cos(2t)^2+2)/3; y = sin(t)*(cos(2t)^2+2)/3; z = u/2, 0 < t < 2π, 0 < u < 2π x = 2cos(t); y = sin(t); z = u 0 < t < 2π, 0 < u < 2π Foxes Team 14

16 Coordinate sferiche Le coordinate sferiche permettono di definire superfici aventi simmetria centrale in modo molto compatto ed efficiente. Winplot consente di definire direttamente le equazioni in coordinate sferiche dal menu Equ/Spherical... r = f ( t, u) Le relazioni che legano le coordinate sferiche (r, t, u) alle coordinate cartesiane (x, y, z) sono x = r sin u cost y = r sin u sin t z = r cosu con 0 t 2π 0 u π r > 0 è il raggio vettore congiungente il punto all'origine. In coordinate sferiche, le superfici aventi una qualche simmetria radiale hanno equazioni molto semplici. La sfera unitaria, ad esempio, è caratterizzata dalla semplice equazione r = 1. Variando gli estremi dei parametri angolari "t" e "u" è possibile creare delle calotte e settori sferici 0 t 2π, π u 2π 0 t π, 0 u π/2 0 t π/2, 0 u π/2 Ovviamente è possibile effettuare sezioni orizzontali e verticali della sfera anche con il Box. Nel seguente esempio vengono definite 2 sfere concentriche di raggio 1 e 2. Ovviamente il grafico completo mostra solo la sfera esterna. Per vedere anche l'interno facciamo delle sezioni sulla sfera esterna -1 z 0-1 z 0-1 y 0 e -1 z 0 Foxes Team 15

17 La prima immagine della "scodella", è stata ottenuta disattivando l'opzione "caps extremes". Viceversa, le altre immagini del "nocciolo" sono state ottenute con l'opzione "caps extremes" attivata. Sebbene le coordinate sferiche siano vantaggiose nei casi evidenti di simmetria centrale, esse possono creare delle straodinarie superfici del tutto prive di simmetria centrale (ed anche imprevedibili. Pochi possono immaginare che le seguente semplici equazioni modellano delle... "conchiglie") r = 1/(1+t) r = 1/(t+1)+ sin(3u)/10 Le equazioni sferiche, quando non contengono la varibile "t", formano delle belle superfici di rivoluzione r = (cos 2 (4u)+2)/2 La sezione a sinistra è stata ottenuta imponendo π/2 < u < π per meglio evidenziare la superficie interna. Foxes Team 16

18 Coordinate cilindriche Le coordinate cilindriche permettono di definire superfici aventi simmetria rispetto all'asse z in modo molto compatto ed efficiente. Winplot consente di definire direttamente le equazioni in coordinate sferiche dal menu Equ/Cylindrical... z = f ( r, t) Le relazioni che legano le coordinate cilindriche (r, t, z) alle coordinate cartesiane (x, y, z) sono x = r cost y = r sin t z = z con 0 t 2π r > 0 è il raggio vettore congiungente il punto all'origine. In coordinate cilindriche, le superfici aventi una qualche simmetria assiale hanno equazioni molto semplici. Il cono di asse z, ad esempio, è caratterizzata dalla semplice equazione z = r e le superfici coniche si creano per semplice restrizione del dominio D { t min t t max, r min r r max } x z t r y 0< r< 1, 0 < t < 2π -1< r< 1, 0 < t < 2π 0< r< 1, 0 < t < 4 Superfici apparentemente molto complicate come quelle elicoidali, hanno, in coordinate cilindriche, equazioni estremamente semplici: z = t, con 0 < t < 2n π, dove n è il numero di avvolgimenti dell'elica z = t, 0< r< 1, 0 < t < 4π z = t, 0< r< 1, 0 < t < 8π z = t +r, 0< r< π, 0 < t < 2π Nonostante la semplicità formale dell'equazione, questo tipo di superficie è molto complesso e richiede un grande sforzo computazionale. Aumentando il numero dei pannelli (divisions) la precisione della figura migliora ma il tempo per il calcolo aumenta e i movimenti (zoom, rotate) diventano molto più lenti. Si deve trovare il giusto compromesso. Usualmente si sceglie un basso numero di divisioni radiali (10 20) e un alto numero di divisioni angolari (50 100) Foxes Team 17

19 Reticoli cilindrici e cartesiani La scelta fra sistema di coordinate cilindriche e cartesiane influisce nella semplificazione delle equazioni ed anche sull'aspetto finale del grafico. Infatti le superfici vengono disegnate "affettandole" attraverso superfici isolivello, che nel caso delle coordinate cartesiane sono piani perpendicolari agli assi x, y mentre in quelle cilindriche sono cilindri retti con l'asse su z e piani passanti per l'asse z stesso. Le curve che si ottengono dall'intersezione della superficie di cui si vuole il grafico con le superfici isolivello poste a distanza regolare forma il reticolo che dà l'aspetto finale del grafico Ovviamente la vista cambierà molto anche se si tratta della stessa superficie come mostra il seguente esempio Effetture il grafico della funzione 1 z = 3 x x + y 3, 3 y 3 Si tratta di un funzione esplicita il cui grafico può essere velocemente ottenuto dal menu Equa/Explicit...(vedi fugura a sinistra). Ma la stessa funzione può essere facilmente riscritta in coordinate cilindriche per mezzo delle trasformazioni polari. x = r cost 1 z 2 y = r sin t = 0 r 1+ r 3, 0 t 2π Inserendo queste equazioni dal menu Equa/Cylindrical... si ottiene il grafico a destra. x z y x z y Coordinate cartesiane Coordinate cilindriche NB. Per ottenere i grafici abbiamo attivato il box (View/Box...) con le opzioni: " View/Hide segments" e " View/Box/Cube". Lo "Slicer" (menu One\Slicer...") permette poi di evidenziare le curve isolivello di ogni reticolo. Quale rappresentazione è migliore? Impossibile dirlo. Entrambe realizzano un ottimo effetto tridimensionale. Entrambe hanno vantaggi e svantaggi ed ognuna mette in evidenza aspetti differenti della stessa superficie. La curvatura nel punto di massimo è resa molto bene nel grafico destro ma l'effetto di "stress" della superficie nell'intorno dell'origine è reso meglio nel grafico di sinistra. Di volta in volta, a seconda dei casi, si sceglie una rappresentazione in funzione di ciò che si vuole evidenziare Foxes Team 18

20 Funzioni implicite Le superfici generate dalle equazioni cartesiane implicite f ( x, y, z) = 0 definite in un dominio D { x min x x max, y min y y max z min z z max }, a dispetto della loro apparente semplicità sono tuttaltro che semplici da rendere in formato grafico. Diversamente dalle equazioni esplicite e parametriche, per quelle implicite non esistono algoritmi efficienti. Le superfici vengono ottenute attraverso le line di livello, cioè "affettando" il dominio con dei piani equidistanti e paralleli ai 3 piani cartesiani. Ad esempio, per creare le curve di livello parallele al piano "di terra" x-y occorre tagliare la figura con piani perpendicolari all'asse z, aventi equazioni z = k, con z min k z max Winplot consente di scegliere i piani taglio perpendicolari a x, y o z ottenendo curve di livello parallele a ogni piano cartesiano. Su ogni piano di taglio la funzione diviene f(x, y, k) = 0 con k costante Per calcolare tutti i punti xi, yi appartenenti ad un piano di taglio z = k, il programma risolve, con un processo iterativo, l'equazione implicita f(xi, yi, k) = 0. Il processo viene ripetuto per ogni piano, cioè per ogni curva di livello. Da quanto detto, appare evidente che l'elaborazione è estremamente lunga e Winplot non fa eccezione. Anche con un moderato numero di livelli, (ad esempio 37) il movimento del grafico sui normali PC è molto lento. Quindi le equazioni implicite sono da usarsi solamente quando non si conoscono le equivalenti equazioni esplicite cartesiane o parametriche Ad esempio si deve studiare la superficie descritta dalla seguente equazione 2( x + y ) + z = Separando la variabile z, si ha: z = 4 2( x + y ) Si osserva che affinché la parte destra sia positiva deve essere x < 2 1/4 1.2 e y < 2 1/4 1.2 ed inoltre z <2 Queste relazioni determinano il box di disegno del grafico. In Winplot, per inserire una funzione implicita, selezionare il menu Equ/Implicit... Digitare l'equazione completa 2(x^4+y^4)+z^2 = 4 Winplot propone le dimensioni del box che, in questo caso, sono sufficienti a contenere tutto il grafico. Accettare i valori e premere OK A questo punto, l'equazione compare nel pannello "inventory" ma il grafico non compare. Qualcosa di errato? No, semplicemente dobbiamo generare le curve di livello attraverso il tasto "levels" Curve di livello Winplot propone per default l'asse "z" e 37 livelli. Accettiamo e premiamo "auto". Il programma apre automaticamente una nuova finestra ed visualizza rapidamente e in sequenza tutte le curve di livello calcolate. Al termine chiudere la finestra (tanto non serve) con il comando "close" del suo menu. I dati delle curve di livello appaiono ora nella lista sottostante. Premere "keep changes" per trasferire nel grafico le curve di livello Foxes Team 19

21 NB. Le curve vengono tracciate lentamente, se il processo richiedesse troppo tempo, premere Q per interromperlo Presumibilmente il posizionamento del grafico è diventato ora molto lento. Per effettuare il movimento in modo più rapido conviene attivare la visualizzazione degli assi, nascondere momentaneamente il grafico con il tasto "graph" della finestra "inventory". Muovere ora gli assi (zoom e rotate) fino a portarli nella posizione e nella scala voluta. Riattivare il grafico premendo ancora il tasto "graph". NB. le curve di livello danno l'idea della superficie ma non si possono attivare gli effetti di colore e ombra (shade, spectrum, grid) come per le altre superfici. E' possibile variare solo il colore E' possibile vedere tutte le superficie di livello proiettate in un piano, perpendicolare all'asse z nel nostro caso. Per far questo aprire il pannello "levels" e premere il tasto "see all". Il grafico delle curve di livello può essere poi manipolato aggiungendo gli assi, griglie, testo, ecc. Le curve di livello possono essere generate per ogni asse e trasferite sul grafico, indipendentemente le une dalle altre. Per avere una buon effetto 3D le curve di livello per l'asse x e y si visualizzano insieme, mentre quelle per l'asse z si visualizzano da sole. Vediamo di creare le curve per x e y. Cancelliamo prima di tutto le curve dell'asse z con il tasto "del all". Selezioniamo l'opzione "x", scegliamo il colore, e premiamo il tasto "auto". Dopo avere chiuso la finestra dei livelli, premiamo il tasto "keep changes" per trasferire le curve sul grafico, che apparirà come a sinistra Ripetiamo il procedimento per l'asse "y". Il grafico finale aprirà come a destra Curve di livello rispetto all'asse x Curve di livello rispetto all'asse x e y Come si vede l'effetto 3D è ottimo anche con un moderato numero di curve di livello (37 x 37) Notare che, diversamente dalle equazioni parametriche, le curve di livello non sono, in generale, perpendicolari fra loro. Foxes Team 20

22 Anche con le curve di livello è possibile usare il box per effettuare delle sezioni. In generale risultano molto meno chiare delle altre ma possono essere talvolta utili. Nel nostro esempio basta imporre la condizione -2.2 < z < 0 per eliminare la parte inferire del grafico Foxes Team 21

23 Punti, segmenti e vettori Elementi semplici quali punti e segmenti, solitamente trascurati, possono essere vantaggiosamente aggiunti ad ogni grafico 2D o 3D per dare l'aspetto più curato e professionale.. Dal menu Equ/Point si possono inserire punti con diversi tipi di coordinate: rettangolari, sferiche, cilindriche I segmenti possono essere tracciati con una freccia ("arrow") ad un estremo per rappresentare i vettori. Interessante è la possibilità di tracciare automaticamente le linee di proiezione di ogni punto ("anchors"), tratteggiate o continue Selezionare "p1" per aggiungere una freccia nel primo estremo del segmento; "p2" nel secondo estremo o "both" ad entrambi. Se non si vuole le frecce selezionare "none". E' possibile variare il colore per mezzo del tasto "colors" e lo spessore delle line ("pen width") e la grandezza dei punti ("dot size"); per una buona riuscita estetica è consigliabile scegliere la grandezza dei punti doppia di quella delle linee. Il colore, ovviamente, è a piacere. La variabile "plot... pts" dei segmenti serve per dividere il segmento in parti uguali ma non ha effetto sul grafico. Le coordinate dei punti di divisione, sempre maggiori o uguali a 2, sono visibili per mezzo del comando di tabulazione ("tab" del pannello "inventory"). Testo agganciato I punti offrono un utile mezzo per "agganciare" del testo al grafico. Ad esempio vogliamo inserire il testo che indichi le coordinate del punto stesso chiamato ad esempio "P(1,1,1)". Attivare la modalità testo dal menu Btns\Text e cliccare con il tasto destro del mouse il grafico per aprire l'editor. Inserire il testo voluto, attivare l'opzione "others" e selezionare il punto (1,1,1) della lista a fianco. Chiudere il pannello e trascinare il testo con il mouse nella posizione voluta, solitamente vicino al punto a cui è agganciato. In tal modo, quando il grafico viene ruotato, il punto e quindi il testo agganciato, seguiranno rigidamente il movimento della figura. Ad un punto possono essere rigidamente agganciati quanti testi vogliamo, posizionati in tutte le parti del grafico. NB. Un testo agganciato segue anche il cambio di scala. Tuttavia, poiché il font è fisso, la dimensione del testo non segue il corrispondente cambio di scala. Può accadere quindi che il testo vada a nascondere una parte del grafico, per cui sarà necessario cambiare manualmente il font del testo. Foxes Team 22