INTRODUZIONE AI NUMERI IRRAZIONALI

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1 STORIA DELLA MATEMATICA LEZIONI DEL PROF. FRANCO GHIONE INTRODUZIONE AI NUMERI IRRAZIONALI A CURA DI STEFANO CAROSELLI

2 In questa tesina esporrò una lezione di circa due ore in cui si introducono i numeri irrazionali, partendo da riferimenti storici. La lezione è rivolta ad alunni di scuola superiore che abbiano già conoscenza dei numeri razionali, espressioni algebriche ed equazioni di primo grado, conoscano il teorema di Pitagora e le proprietà dei poligoni regolari, e sappiano trattare le dimostrazioni per assurdo; si suppone infine che già conoscano l'operazione di radice e la funzione geometrica di π: ad esempio un secondo liceo scientifico, o un primo liceo classico. L'introduzione dei numeri irrazionali è necessaria per la spiegazione dei radicali con le loro proprietà, e quindi delle equazioni di secondo grado. Il linguaggio usato è volutamente poco formale, si evita di usare termini strettamente matematici, preferendo termini di più facile comprensione, in quanto si suppone di esporla a studenti di scuola superiore. I. I numeri naturali, gli interi e i razionali L'invenzione dei numeri è una delle più importanti nella storia dell'uomo, forse più dell'invenzione della scrittura. Si pensa che ancor prima di scoprire il fuoco, l'uomo sapesse riconoscere somiglianze numeriche nella vita quotidiana; imparò a esprimere questa somiglianza con le dita delle mani, rapportando la quantità osservata con una determinata quantità di dita dritte; di conseguenza iniziò a classificare raggruppando di dieci in dieci, considerando il valore 10 come particolare rispetto agli altri. Con l'invenzione della scrittura l'uomo poté rappresentare graficamente questo legame, e al posto delle dita, iniziò ad usare delle incisioni sulla pietra. I numeri che rappresentava erano quelli che poteva riscontrare in natura, facendo un semplice processo di astrazione: i cosiddetti numeri naturali, ovvero 1, 2, 3, 4, 5,... Non si faceva uso dello zero, poiché ancora non si era capita la sua utilità: l'uomo rappresentava ciò che vedeva in natura, ed osservare una quantità nulla di oggetti voleva dire che non c'erano oggetti da rappresentare, quindi era inutile scrivere sulla pietra! Oggi conosciamo bene i numeri naturali e sappiamo che hanno molte proprietà, ad esempio: è un insieme infinito e ordinato; la somma e il prodotto di due numeri naturali è sempre un un numero naturale; la differenza e la divisione tra due numeri naturali non sempre è un numero naturale. L'invenzione di numeri negativi è probabilmente dovuta agli Indiani: le entrate monetarie (quantità positive) venivano segnate in nero, le uscite (quantità negative) in rosso; la quantità nulla era segnata con una piccola o, su influenza greca, e tale simbolo divenne poi lo zero. L'insieme di numeri positivi, negativi e lo zero forma l'insieme dei numeri interi: {..., -2, -1, 0, 1, 2, 3,... }, un insieme infinito e ordinato, in cui la somma, il prodotto e la differenza si possono fare senza problemi. Gli antichi egizi e i babilonesi avevano creato un sistema di numerazione molto articolato, in grado di rappresentare numeri molto grandi, e parti di un numero, ossia i numeri con la virgola; gli egizi rappresentavano un numero decimale finito o periodico come somma di numeri interi e di frazioni elementari, come ad esempio gli inversi dei numeri interi. Ad esempio : 0,4 = 2/5 = 1/3 + 1/5 In generale la quantità ottenuta dalla frazione tra due numeri interi non sempre è un numero intero, a volte è un numero decimale finito o illimitato periodico: l'insieme di questi numeri è detto 1

3 insieme dei numeri razionali, ed è costituito da tutti i numeri ottenibili come risultato di una divisione tra numeri interi. È un insieme molto grande, e ai tempi delle civiltà antiche si pensava che racchiudesse tutti i numeri esistenti, in quanto le quattro operazioni potevano essere svolte senza limitazioni all'interno dei numeri razionali 1. Una difficoltà incontrata all'epoca era il fatto che esistevano delle grandezze il cui valore non era facile esprimere come un numero razionale, ovvero come frazione tra due numeri interi; si iniziò quindi a pensare che esistessero numeri non razionali...vediamone alcuni esempi 2. II. Il problema di 2 Gli antichi greci conoscevano bene le potenze, soprattutto la seconda, vista geometricamente come l'area del quadrato in funzione del suo lato. Noi conosciamo bene il teorema di Pitagora, che utilizza appunto la nozione di quadrati, e si pensa che lo conoscessero persino le civiltà pre-elleniche, vissute molto prima di Pitagora!!! Il teorema dice che «il quadrato costruito sull'ipotenusa di un triangolo rettangolo è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui due cateti», ossia formalmente: a² = b² + c² L'operazione di elevamento a potenza è abbastanza semplice, e in genere all'epoca i numeri utilizzati erano relativamente piccoli (nelle applicazioni pratiche si poteva cambiare unità di misura, oppure approssimare i valori...) I pitagorici, i seguaci di Pitagora, applicando questo teorema spesso ottenevano risultati poco razionali, accorgendosi che l'operazione inversa, ossia l'estrazione a radice non era una operazione sempre definita sui numeri razionali: dato un numero, è possibile trovare il numero che elevato ad una determinata potenza mi ridia il numero di partenza? Ad esempio: dato un quadrato di area nota, è possibile trovare quanto misura il lato? Si capì che c'erano casi favorevoli (quadrati buoni) in cui si poteva trovare il lato, e casi sfavorevoli, in cui non si poteva. Un problema ancora più difficile era il seguente: dato il lato di un quadrato, è possibile trovare la sua diagonale? si può verificare facilmente usando il teorema di Pitagora che trovare questo rapporto equivale a trovare il lato di un quadrato di area 2. Il rapporto cercato è 2, e si osservò che questo problema d non aveva mai una buona soluzione, in quanto non si riuscivano a trovare due numeri razionali che potessero andar bene come lato e diagonale del quadrato. l Il pitagorico Ippaso di Metaponto, cercando di trovare due numeri interi che divisi dessero 2, arrivò invece a dimostrare che tale valore non fosse razionale; possiamo dire quindi che dimostrò questo risultato tramite un ragionamento per assurdo: 1. Per assurdo supponiamo che esistano due numeri razionali il cui rapporto sia 2; se tale frazione si può semplificare, riduciamo e otteniamo una frazione a / b, con MCD(a,b) = 1 2. Dalla relazione a / b = 2 otteniamo a² / b² = 2, ossia a² = 2b² 3. a² è pari, e quindi anche a è pari (se a fosse dispari, a² sarebbe dispari) 4. Possiamo scrivere a = 2k, e quindi a² = 4k² 5. Sostituendo: 4k² = 2b², ossia: b² = 2k² 6. Quindi anche b² è pari, e così anche b è pari 7. Ma allora siamo in contraddizione, in quanto MCD(a,b) 1!!! 1 l'unica eccezione era la divisione per zero: per molto tempo si trascurò il problema, in quanto di difficile soluzione, e solo con l'analisi matematica si poté affrontare questa anomalia 2 negli esempi non si è menzionato il numero di Nepero, in quanto richiede conoscenze più elevate, quali successioni e limiti 2

4 Pitagora era un filosofo-matematico che credeva nell'assolutezza dei numeri, e il motto della sua scuola era tutto è numero ; non poteva quindi accettare l'esistenza di numeri non razionali come 2. III. Il rapporto aureo Un altro esempio di valore irrazionale che in geometria ricorre è il rapporto aureo, studiato dallo stesso Pitagora in quanto numero esteticamente bello: il problema geometrico era quello di dividere un segmento AB in modo tale che il rapporto tra le due parti ottenute (AP e PB) fosse uguale al rapporto tra l'intero segmento e la parte maggiore. La parte maggiore AP fu in seguito definita da Keplero come sezione aurea di AB. A P B Il valore di tale rapporto non è un numero razionale, e possiamo verificarlo costruendo una semplice proporzione: se AB = x e AP = 1, otteniamo x : 1 = 1 : (x 1) per questo il segmento AP venne chiamato anche media ragione e PB estrema ragione; per la proprietà delle proporzioni diventa: x(x 1) = 1 ossia: x² x 1 = 0 senza risolvere l'equazione che è di secondo grado, osserviamo che il polinomio si annulla per un particolare valore: φ = (1 + 5)/2 φ è quindi il valore 3 di AB, e di conseguenza del rapporto aureo, avendo posto AP = 1. Osserviamo che compare una radice, di conseguenza questo numero non è razionale, per lo stesso motivo di 2. Si crede che a Pitagora piacesse così tanto questo numero, che ignorò la possibilità che non fosse razionale! IV. Pi greco Uno dei più famosi numeri non razionali scoperti è certamente pi greco, indicato con π; tale simbolo fu diffuso da Eulero, ad indicare la parola greca per perimetro; infatti π rappresenta il rapporto tra una circonferenza, ossia il perimetro, e il relativo diametro. Il primo famoso matematico a cimentarsi nello studio di questo numero fu Archimede e per questo motivo π è noto anche come costante di Archimede. Egli cercò di calcolare questo rapporto adottando un procedimento di approssimazioni successive: iniziò costruendo in un cerchio un esagono iscritto e un esagono circoscritto e calcolò il rapporto tra perimetro e diagonale dei due poligoni; quindi raddoppiò i lati e passò ai dodecagoni, rifacendo i calcoli; continuò fino ad ottenere due poligoni di 96 lati, e riuscì ad approssimare questo rapporto in: /71 < π < /70 In effetti il valore trovato da Archimede non è il valore preciso di π, ma solo una stima e, 3 il polinomio si annulla anche per x = 1 φ, ma è scartato in quanto negativo 3

5 sebbene fosse la stima più precisa del suo tempo, non era il valore giusto. Durante tutto il medioevo e il rinascimento si fecero approssimazioni sempre migliori di π, ma fu soltanto nel XVIII secolo grazie a Eulero e a Lambert, che si dimostrò che π non era affatto un numero razionale, e che il simbolo π rappresentava un numero con infinite cifre decimali aperiodiche, e che quindi non era il risultato di alcuna frazione. V. I numeri irrazionali Tutti i numeri a cui possiamo associare il significato di quantità, di valore, siano essi misurabili o meno, sono detti numeri reali; i numeri reali possono essere rappresentati come i punti di una retta: sono infiniti, orientati, e non c'è una distanza minima tra due di essi, ma sono infinitamente vicini. I numeri razionali sono particolari numeri reali, in quanto possiamo calcolarli o misurarli con precisione; i restanti numeri reali sono detti irrazionali, e comprendono un vasto insieme di numeri: ogni numero non esprimibile con una frazione è un numero irrazionale, e ne abbiamo appena visto alcuni esempi. I numeri irrazionali comprendono i radicali, ossia le radici che non si possono risolvere (come 2), e un gran numero di numeri particolari, come appunto π. All'interno dei numeri reali possiamo fare addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni, potenze senza problemi; possiamo fare anche le divisioni, a patto che il divisore non sia zero, e possiamo infine fare l'estrazione a radice, a condizione di non fare radici di esponente pari di numeri negativi. I numeri interi e i razionali si conoscono ormai da tempo, e nel XVI secolo furono formalizzate le definizioni e le loro proprietà; nel XVIII secolo si iniziò a teorizzare l'esistenza dei numeri non reali, ossia numeri che ammettono la radice pari di un numero negativo. Sebbene l'esistenza di numeri reali non razionali si pensasse già al tempo dei greci, uno studio organizzato sull'insieme dei numeri irrazionali fu fatto solo nel XIX secolo, quando ormai era palese che i numeri non razionali erano molti di più dei razionali. L'insieme dei numeri reali è così grande che i razionali sono solo una piccola parte di esso, di dimensioni quasi trascurabili. I reali possono esser divisi anche in algebrici e trascendenti. I reali algebrici sono tutti i numeri reali ottenibili come soluzioni di equazioni a coefficienti interi: di conseguenza i razionali fanno parte dei reali algebrici. I reali trascendenti sono tutti i numeri reali non algebrici. L'insieme degli irrazionali comprende tutti i trascendenti e una buona parte degli algebrici. 4