MIGLIORAMENTO DELLA SOLUZIONE DEL PROBLEMA DELLA CALIBRAZIONE DELLE RETI IDRICHE AL CRESCERE DEL NUMERO DI MISURATORI

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1 Quinto seminario su La diagnosi e la gestione dei sistemi idrici Roma giugno 2011 MIGLIORAMENTO DELLA SOLUZIONE DEL PROBLEMA DELLA CALIBRAZIONE DELLE RETI IDRICHE AL CRESCERE DEL NUMERO DI MISURATORI P. Veltri 1, A. Fiorini Morosini 1, M.C. Gigliotti 1, F. Costanzo 2 (1) Università della Calabria, Dipartimento di Difesa del Suolo Vincenzo Marone attilio.fiorinimorosini@unical.it (2) Università della Calabria, Dipartimento di Difesa del Suolo Vincenzo Marone - Dottorando con Borsa FSE SOMMARIO La calibrazione delle reti idriche in pressione consiste nel determinare il valore di quei parametri che nel problema di verifica costituiscono l input del problema, ossia scabrezza delle condotte e portata erogata ai nodi, utilizzando misure su campo di portata effettuate nelle condotte e di pressione ai nodi. Tra gli approcci classici alla calibrazione si ricordano i metodi euristici, espliciti e impliciti. Le prime tecniche di calibrazione risalgono a Walski (1983) e Bhave (1988), mentre negli ultimi anni particolare attenzione è stata rivolta ai metodi impliciti (Veltri et al., 1994), che tengono conto dei dati misurati tramite funzioni in cui compaiono come parametri gli scarti tra valori misurati e quelli ottenuti dall output dei modelli di simulazione. Tale approccio ha consentito di svincolarsi dalla scelta di un set di valori iniziali e ha indotto la ricerca verso tecniche che cercano la soluzione al problema di calibrazione con procedure basate sulla ricerca del minimo di una funzione obbiettivo. Tale tipo di approccio, a eccezione di alcuni casi, è stato per lo più riferito a reti teoriche. Nel presente lavoro ci si pone l obbiettivo di valutare come migliora la calibrazione delle scabrezze di una rete idrica all aumentare del numero di misure. Il calcolo viene effettuato utilizzando un modello di calibrazione (UNINET), messo a punto presso il Dipartimento di Difesa del Suolo dell Università della Calabria e basato su tecniche di natura statistica che verranno brevemente descritte. 1 L APPROCCIO STATISTICO-BAYESIANO PER LA CALIBRAZIONE DELLE RETI La metodologia di calibrazione utilizzata nel presente lavoro per stimare i parametri si basa su un approccio di tipo statistico-bayesiano: secondo tale approccio (Orlando, 2010; Veltri et al., 2010) la probabilità è definita come il grado di fiducia che si ha che un certo evento si verifichi; i parametri delle distribuzioni sono delle variabili casuali. Poiché la probabilità è soggettiva, è lecito fare delle assunzioni a priori sulla distribuzione di probabilità di un parametro. Le informazioni oggettive date dal verificarsi di un evento o quelle contenute nei dati di un campione estratto dalla popolazione sono utilizzate per modificare, applicando il teorema di Bayes, le assunzioni a priori, soggettive, rendendole oggettive. Indicando con H 0 l ipotesi e con E l evento, il teorema si può scrivere come segue: P( E H 0 ) P( H 0 ) P( H 0 E) = P( E) in cui: P(H 0 ) è la probabilità assunta a priori sull ipotesi, in base all esperienza personale (probabilità a priori) P(E H 0 ) è la probabilità condizionata del verificarsi dell evento E dato che l ipotesi H 0 sia vera (verosimiglianza) P(E) è la probabilità assoluta del verificarsi dell evento E, indipendentemente dal fatto che H 0 sia vera o meno (probabilità totale) P(H 0 E) è la probabilità che l ipotesi H 0 sia vera dato che si è verificato l evento E (probabilità a posteriori) P(H 0 E), probabilità a posteriori, corregge la P(H 0 ), assunta a priori, in base alle nuove informazioni rappresentate dal dato oggettivo che si è verificato l evento E. Quindi, con l approccio statistico-bayesiano, in cui i parametri del modello non vengono considerati

2 352 P. Veltri, A. Fiorini Morosini, M.C. Gigliotti, F. Costanzo come valori deterministici ma come variabili casuali, il problema consiste nel determinare la distribuzione di probabilità. 2 MODELLO DI SIMULAZIONE Sulla scorta di quanto sopra indicato, la calibrazione delle scabrezze è stata condotta utilizzando il modello UNINET (Orlando, 2010), modello di calibrazione (Figura 1) implementato presso il Dipartimento di Difesa del Suolo dell Università della Calabria. Esso consta di un algoritmo di ottimizzazione (SCEM-UA) e di un modello di simulazione della rete del tipo Pressure Driven Analysis, PDA, (Veltri et al., 2010;) denominato INetPDA; l algoritmo non necessità di una soluzione iniziale, considera i parametri da stimare come delle variabili casuali e determina infine la distribuzione di probabilità a posteriori, a mezzo dell inferenza bayesiana. I dati in input sono distinti in due gruppi, il primo utilizzato solo dal modulo SCEM-UA per il calcolo di ottimizzazione, il secondo utilizzato esclusivamente dal modello di simulazione INetPDA, per la verifica della rete. In particolare, nel primo gruppo sono comprese le misure disponibili di portata nelle condotte e di pressione ai nodi di erogazione, la distribuzione a priori assunta per i parametri incogniti e, infine, i parametri che adattano i criteri di ricerca dell algoritmo SCEM-UA al particolare problema. Il secondo gruppo di dati di input, utilizzato da INetPDA per ottenere i valori calcolati di portata in condotta e di pressione ai nodi, da confrontare con quelli misurati, prevede tutti dati necessari alla risoluzione del problema di verifica, ossia quote dei nodi di alimentazione, topologia rete e caratteristiche della rete e, infine, i dati relativi alla erogazione dei nodi, ossia la portata e il valore dell altezza piezometrica corrispondente a erogazione nulla e quella corrispondente alla erogazione massima. Figura 1 - Schema UNINET 3 TIPOLOGIA ED EFFICACIA DELLE MISURE Poiché ai fini della calibrazione si rende necessario effettuare misure di portata in condotta e di pressione ai nodi, occorre individuare i punti di misura più sensibili alla variazione delle grandezze di scabrezza e/o portata e tra questi scegliere i punti ottimali, riducendone il numero anche per problemi di ordine economico. Dal punto di vista operativo i dati sono selezionati in tre gradi di qualità: buoni, cattivi e inutili (Walski, 2000). A esempio, se la perdita di carico è così elevata da risultare superiore all eventuale errore di misura dello strumento il dato è buono, altrimenti è inutile. I dati cattivi, individuabili grazie all esperienza, sono dovuti a cattivo funzionamento dei dispositivi di misura, a negligenze oppure alla mancata individuazione di strozzature o altre incertezze sull effettivo sviluppo della rete (Veltri e Fiorini Morosini, 2005). Può essere utile valutare quale sia il numero di misure necessario per ottenere risultati calcolati dalla calibrazione più vicini ai valori reali della grandezza presa in considerazione (Ferreri e Gangitano, 2001). Nel presente lavoro la scelta dei lati e/o nodi da sottoporre a misura è stata effettuata in modo arbitrario. L applicazione è riferita a reti di letteratura. 4 DESCRIZIONE DELLE RETI DI LETTERATURA ANALIZZATE Per la valutazione del miglioramento della soluzione sono state analizzate la rete proposta da Walski

3 Calibrazione di reti idriche 353 (1983) e quella proposta da Greco e Di Cristo (1999), di seguito schematizzate e descritte. 4.1 Rete proposta da Walski Figura 2 - Rete proposta da Walski (1983) La rete è costituita da un nodo di alimentazione, nove condotte, sei nodi di erogazione, tre maglie chiuse elementari e un ramo aperto. La quota piezometrica del serbatoio di alimentazione è 60,90 m, la geometria della rete è descritta in figura 2 e i dati di input e i risultati del modello di verifica sono riportati nelle tabelle 1 e 2. Nella rete originaria la scabrezza viene espressa in termini del coefficiente C della formula di Hazen-Williams e, poiché in INetPDA è adottata la formula di Colebrook, si è proceduto a determinare il corrispondente ε di Colebrook. Numero Lunghezza Diametro Scabrezza ε Q Scabrezza C condotta (m) (mm) (mm) (l/s) 1 304,8 203,2 90 3,0 25, ,6 304, ,0 39, ,6 304, ,0 11, ,8 304, ,0 42, ,2 304, ,0 43, ,4 203, ,5 14, ,4 254, ,5 59, ,0 406, ,0 184, ,6 304, ,2 127,97 Tabella 1 Caratteristiche geometriche e portate circolanti della rete proposta da Walski (1983) Numero Nodo Portata erogata (l/s) H (m) 1 25,24 53, ,09 55, ,63 54, ,54 54, ,55 54, ,18 55,024 TOTALE 372,23 Tabella 2 - Portate erogate, quote piezometriche ai nodi della rete proposta da Walski (1983) 4.2 La rete proposta da Greco e Di Cristo La rete è costituita da quattro maglie chiuse elementari, due nodi di alimentazione, undici nodi di erogazione e sedici condotte. La quota piezometrica al nodo di alimentazione numero 12 è di 123 m, quella al nodo di alimentazione numero 13 invece è di 112 m. 5

4 354 P. Veltri, A. Fiorini Morosini, M.C. Gigliotti, F. Costanzo Figura 3 - Rete proposta da Greco e Di Cristo (1999) Nella tabella 3 sono riportati i valori della lunghezza, del diametro e della scabrezza delle condotte della rete e inoltre le portate circolanti derivanti dalla verifica della rete. Come nel caso precedente, nella rete originaria la scabrezza viene espressa in termini del coefficiente C della formula di Hazen-Williams e, poiché in INetPDA è adottata la formula di Colebrook, si è proceduto a determinare il corrispondente ε di Colebrook. Numero Lunghezza Diametro q Scabrezza C Scabrezza ε (mm) condotta (m) (mm) (l/s) ,0 176, ,4 42, ,2 22, ,1 12, ,2 4, ,0 78, ,1 2, ,5 20, ,5 49, ,0 118, ,6 61, ,0 36, ,0 10, ,5 11, ,5 16, ,2 4,00 Tabella 3 Caratteristiche geometriche e portate circolanti della rete proposta da Greco e Di Cristo (1999) Nella tabella 4 sono indicati i valori delle portate erogate ai nodi e il carico ai nodi della rete tenendo conto che la quota geometrica di tutti i nodi è zero. 5 CALIBRAZIONE DELLE SCABREZZE Ipotizzando di conoscere un certo numero di misure, via via crescente, è possibile determinare il valore della scabrezza calibrata e quindi di determinare il valore dello scarto relativo µ E, definito come la misura dello scarto tra la grandezza calcolata e quella reale.!!!!!!! =!!!!! Si è indicata con!! la scabrezza calcolata da calibrazione con UNINET, con!! la scabrezza reale e con! il numero di lati della rete. I risultati ottenuti per ciascuna rete possono essere diagrammati

5 Calibrazione di reti idriche 355 valutando l andamento del parametro µ E in funzione del numero di misure di pressione o portata. Numero nodo Portata erogata H (l/s) (m) , , , , , , , , , ,7 TOTALE 295 Tabella 4 - Portate erogate e valori del carico ai nodi della rete proposta da Greco e Di Cristo (1999) 5.1 Rete proposta da Walski Con riferimento alla rete di Walski si sono effettuate elaborazioni assumendo note le misure di pressione in alcuni nodi e di portata in alcuni lati. Lo schema delle misure ipotizzate note è indicato nella tabella 5. misura nodi Somm µ Ei µ Emin µ Emax µ Emedio pressione 6 1,970 0,052 0,455 0,219 6, 4 2,720 0,247 0,554 0,302 6, 4, 1 1,770 0,034 0,278 0,197 6, 4, 1, 3 2,290 0,049 0,420 0,255 6, 4, 1, 3, 2 1,620 0,015 0,286 0,180 Tabella 5 - Sommatoria, valori minimo, massimo e medio del parametro µe ipotizzando note misure di pressione ai nodi L andamento di µ E è riportato nella figura 4. Figura 4 Andamento del parametro µe relativo alla rete proposta da Walski, ipotizzando di avere a disposizione misure di pressione ai nodi Il valore di µ E, come risulta evidente dalla tabella 5 e dalla figura 4, non varia molto con il crescere del numero dei misuratori in rete: infatti, quello che si ottiene ipotizzando di disporre di cinque misure di pressione è circa simile al valore di µ E ottenuto con 3 misure note, nonché già con una sola misura di pressione. Ciò appare evidente dalla figura 5 a) e 5 b), in cui sono messi a confronto i valori delle scabrezze reali e quelle calibrate ipotizzando nota una sola misura (fig. 5 a) o cinque misure (fig. 5 b) di

6 356 P. Veltri, A. Fiorini Morosini, M.C. Gigliotti, F. Costanzo pressione. Figura 5 Confronto tra le scabrezze reali e quelle calibrate con a) una misura di pressione ad un nodo, b) cinque valori di pressione ai nodi della rete proposta da Walski Nel caso siano invece note misure di portata, si ottengono i risultati illustrati in tabella 6 e figura 6. misura lati µ Ei somm µ Emin µ Emax µ Emedio portata 4 2,900 0,087 0,928 0,322 4, 8 9,980 0,395 2,900 1,109 4, 8, 9 1,220 0,034 0,512 0,135 3, 4, 8, 9 0,520 0,009 0,391 0,058 3, 4, 7, 8, 9 1,800 0,149 0,522 0,200 Tabella 6 - Sommatoria, valori minimo, massimo e medio del parametro µe ipotizzando note misure di portata nei lati Figura 6 Andamento del parametro µe relativo alla rete proposta da Walski, ipotizzando di avere a disposizione misure di portata in condotta Anche in tal caso il valore di µ E non varia di molto al variare del numero di misure in rete, tranne nel caso in cui si ipotizza di disporre di due misure di portata, come evidente in figura 6, perciò potrebbero già essere sufficienti tre misure di portata in rete. Infatti, il confronto tra i valori reali e quelli calcolati di scabrezza supponendo nota una sola misura, o quattro misure di portata è illustrato in figura 7 a) e 7 b). Dal confronto tra scabrezze reali e calibrate di figura 7, si nota che la maggiore differenza è relativa alla condotta 1, ramo della rete non ad anello.

7 Calibrazione di reti idriche 357 Figura 7 Confronto tra le scabrezze reali e quelle calibrate a) con una misura di portata in un lato della rete, b) con quattro misure di portata, nella rete proposta da Walski 5.2 Rete proposta da Greco e Di Cristo Con riferimento alla rete di Greco e Di Cristo, si sono effettuate elaborazioni assumendo ancora note le misure di pressione in alcuni nodi e di portata in alcuni lati, si è pervenuto ai risultati illustrati nella tabella 7. misura Nodi µ Eisomm µ Emin µ Emax µ Emedio pressione 1,9 14,52 0,006 4,078 0,908 1, 4, 9 15,54 0,027 3,874 0,971 1, 4, 8, 9 12,05 0,007 2,853 0,753 1, 2, 4, 8, 9 15,37 0,001 5,824 0,961 1, 2, 4, 7, 8, 9 9,21 0,020 3,781 0,576 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9 8,62 0,017 3,546 0,539 Tabella 7 - Sommatoria, valori minimo, massimo e medio del parametro µe ipotizzando note misure di pressione ai nodi L andamento di µ E è riportato nella figura 8. Figura 8 Andamento del parametro µe relativo alla rete proposta da Greco e Di Cristo, ipotizzando di avere a disposizione misure di pressione ai nodi Il modello UNINET non dà soluzione quando si suppone nota la sola misura di pressione nel nodo 1 o 9. In questa simulazione il parametro µ E mostra un andamento irregolare al crescere del numero dei misuratori in rete, però buoni risultati si ottengono anche con solo quattro misure di pressione, come illustrato in figura 9 e come verificabile anche con il confronto dei risultati ottenuti con sette misure.

8 358 P. Veltri, A. Fiorini Morosini, M.C. Gigliotti, F. Costanzo Figura 9 Confronto tra le scabrezze reali e quelle calibrate, a) con quattro misure di pressione ai nodi, b) con quattro misure di pressione ai nodi nella rete proposta da Greco e Di Cristo Nel caso siano invece note misure di portata si ottengono i risultati illustrati in tabella 8. misura lati µ E µ Emin µ εmax µ Emedio portata 6, 11 18,27 0,0804 4,3418 1,1419 6, 7, 11 14,41 0,0358 5,2263 0,9006 6, 7, 11, 16 17,28 0,0451 3,117 1,0797 2, 6, 7, 11, 16 14,71 0,0518 4,1192 0,9196 2, 6, 7, 9, 11, 16 Non converge 2, 6, 7, 9, 11, 13, 16 12,44 0,1175 4,2972 0,7772 Tabella 8 - Sommatoria, valori minimo, massimo e medio del parametro µe ipotizzando note misure di portata in condotta L andamento di µ E è riportato nella figura 10. Figura 10 Andamento del parametro µe relativo alla rete proposta da Greco e Di Cristo, ipotizzando di avere a disposizione misure di portata in condotta Anche in questo caso, va evidenziato che il modello UNINET non dà soluzione quando si suppone nota la sola misura di portata nel lato 6 o 11. In tal caso il valore di µ E non varia di molto al variare del numero di misure in rete, come evidente in figura 11, perciò potrebbero già essere sufficienti cinque o addirittura tre misure di portata in rete. Il confronto tra i valori di scabrezza reali e calcolati è riportato supponendo note tre (Fig. 11 a)) o sette (Fig. 11 b)) misure di portata.

9 Calibrazione di reti idriche 359 Figura 11 Confronto tra le scabrezze reali e quelle calibrate a) con tre misure di portata nei lati, b) con sette misure di portata nei lati della rete proposta da Greco e Di Cristo 6 CONCLUSIONI Obiettivo del presente lavoro è stato quello di valutare il miglioramento della soluzione del problema di calibrazione, ossia ottenere valori calcolati di scabrezza più vicini possibile a quelli reali, aumentando il numero di misure nella rete. Le reti analizzate sono due: la rete proposta da Walski e la rete proposta da Greco e Di Cristo; i nodi e i lati da sottoporre a misura sono stati scelti in modo arbitrario. In ambedue le reti la calibrazione delle scabrezze è stata verificata a mezzo del modello di simulazione UNINET, ipotizzando di disporre sia di misure di pressione ai nodi, sia di misure di portata in condotta. In particolare, con riferimento alla rete proposta da Walski, il valore dello scarto relativo non varia molto al crescere del numero dei misuratori in rete; infatti, quello che si ottiene ipotizzando note cinque misure di pressione è circa simile a quanto si ricava con tre misure note, nonché già con una sola misura di pressione. Da sottolineare come, sempre relativamente alla rete proposta da Walski, la maggiore differenza tra le scabrezze reali e quelle calibrate è relativa alla condotta 1 che è un ramo della rete non ad anello. Invece, con riferimento alla rete proposta da Greco e Di Cristo, il parametro scarto relativo mostra un andamento irregolare al crescere del numero dei misuratori in rete però buoni risultati si ottengono anche con un numero di misure pari a 3. Si evidenzia che il modello UNINET, relativamente alla calibrazione della rete proposta da Greco e Di Cristo, non dà soluzione quando si suppone nota una sola misura di pressione o di portata. Dai risultati ottenuti, quindi dall andamento del parametro scarto relativo, è possibile dedurre che, generalmente, al crescere delle misure in rete si ottengono calibrazioni migliori anche se tecnicamente è possibile conseguire risultati accettabili anche con un numero di misure ridotto. Ringraziamenti. La presente pubblicazione è cofinanziato con il sostegno della Commissione Europea, Fondo Sociale Europeo e della Regione Calabria. Gli autori sono i soli responsabili di questa pubblicazione e la Commissione Europea e la Regione Calabria declinano ogni responsabilità sull uso che potrà essere fatto delle informazioni in essa contenute. BIBLIOGRAFIA Bhave P.R., Calibrating Water Distribution Network Models, Journal of Environmental Engineering, vol. 114, n 1, Ferreri G. B., Gangitano L. Efficacia del tipo e del numero di misuratori sulla calibrazione dellescabrezze di reti distributrici in pressione, L Acqua, Marzo Greco M., Di Cristo C.: Calibration for Hydraulic Network Simulation; International Water Resources Engineering Conference, A.S.C.E., Seattle, Orlando F. Simulazione delle reti idriche in pressione a fini gestionali,tesi dottorato di ricerca in ingegneria idraulica per l Ambiente e il Territorio, Novembre, Veltri P., Maiolo M., Fiorini Morosini A., Una procedura per la calibrazione dei modelli di reti di distribuzione

10 360 P. Veltri, A. Fiorini Morosini, M.C. Gigliotti, F. Costanzo idrica, XXIV Convegno di Idraulica e Costruzioni idrauliche, Napoli, settembre, Veltri P., Fiorini Morosini A., Esperienze di calibrazione su reti idriche reali e teoriche, Secondo Seminario su: La ricerca delle perdite e la gestione delle reti di acquedotto, Perugia 22 settembre Veltri P., Fiorini Morosini A.,Orlando F., La calibrazione delle scabrezze delle reti idriche: un approccio di tipo probabilistico basato su un modello PDA di risoluzione della rete, La Ricerca delle perdite e la gestione delle reti di acquedotto. IV seminario (Aversa (CE) 18-19/9/2009. A cura di B. Brunone, M. Di Natale, M. Ferrante. C. Gisonni e S. Meniconi. L Acqua supplemento 2/2010 Marzo Aprile (ISSN ), 2010 Walski T. M. Technique for Calibrating Network Models, Journal of Water Resource Planning and Management, ASCE, vol. 109, Walski T. M. Model calibration data: The Good, The Bad, and The Useless; Journal of AWWA, vol. 92, 2000.