Biostatistica Laurea Magistrale in Biologia

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1 Biostatistica Laurea Magistrale in Biologia Risultati dell esame del 14 novembre 2016 Matricola Voto insufficiente insufficiente Per rifiutare il voto mandare una all indirizzo Lunedì 21 novembre alle ore 12 presso l ufficio del docente (U7, 2 piano, ufficio 2069) sarà possibile chiedere chiarimenti sugli esiti del compito. La registrazione del voto sul sito della segreteria studenti sarà fatta martedì 22 novembre; non è richiesta la presenza dello studente. Nelle pagine seguenti sono riportate le soluzioni degli esercizi proposti nella prova di esame.

2 Esercizio 1 Se ogni evento si verifica indipendentemente da tutti gli altri eventi e con la stessa probabilità, quale distribuzione di probabilità ci si attende per ciascuna delle seguenti situazioni? Situazione Poisson Binomiale il numero di facce pari che si presentano in 10 lanci di un dado il numero di soggetti ipertesi in un campione di 100 pazienti di un medico di base il numero annuo di attacchi all uomo da parte di elefanti nel Parco nazionale del Serengeti in Tanzania il numero giornaliero di reclami ricevuti da uno sportello il numero di castagni in un ettaro di un bosco 1

3 Esercizio 2 Stimare l anno di nascita di un cadavere è un compito difficile. Recentemente è stato proposto un metodo basato sulla radioattività dello smalto dentario. La proporzione del radioisotopo carbonio-14 ( 14 C) nell atmosfera aumentò drasticamente nel periodo dei test nucleari tra il 1955 e il Dato che lo smalto dentario non si rigenera, la misurazione del contenuto di 14 C di un dente indica quanto il dente si è sviluppato e quindi permette di stimare l anno di nascita del soggetto a cui appartiene. Le previsioni su questo metodo sembrano piuttosto accurate (Spalding et al, 2005), come è mostrato nel diagramma seguente Questo diagramma contiene una linea singola e due coppie di linee. La linea singola a tratto continuo è la retta di regressione dei minimi quadrati, che predice l anno di nascita reale a partire dall anno stimato dalla radioattività dei denti. Una delle due coppie di linee rappresenta le bande di confidenza al 95% e l altra l intervallo di predizione al 95%. Quale coppia di linee rappresenta l intervallo di predizione? A Tratteggio corto B Tratteggio lungo Che cosa indica l intervallo di predizione? L intervallo di predizione al 95% indica l intervallo di valori in cui, con una probabilità del 95%, andrà a cadere una nuova osservazione (in questo caso l anno di nascita effettivo) sulla base del valore previsto dalla retta di regressione (quindi sulla base dell anno di nascita stimato utilizzando la misurazione del contenuto di 14 C di un dente). Ad esempio, se l anno di nascita stimato per un individuo con il metodo del contenuto di 14 C è 1980, mi aspetto con una probabilità del 95% che il vero anno di nascita sia compreso tra il 1975 e il Che cosa indica l intervallo di confidenza? La banda di confidenza (o intervallo di confidenza) al 95% indica l area in cui, con una probabilità del 95%, si troverà la vera retta di regressione che descrive la relazione lineare nella popolazione da cui è stato estratto il campione. 2

4 Esercizio 3 Un ricercatore ha misurato la distanza tra il canino e l ultimo molare nell arcata superiore di 35 mascelle di lupo. Di seguito sono riportati i valori (espressi in cm) relativi alle distanze tra denti dei 35 lupi. Si assume che questa variabile abbia una distribuzione normale: 10.2, 10.4, 9.9, 10.7, 10.3, 9.7, 10.3, 10.7, 10.1, 10.6, 10.3, 10.0, 10.2, 10.1, 10.3, 9.9, 9.7, 10.6, 10.4, 10.1, 10.6, 10.3, 10.3, 10.5, 10.2, 10.2, 10.5, 10.1, 11.2, 10.5, 10.3, 10.0, 10.3, 10.7, 11.1 Il ricercatore ha trovato che la media è 10.3, mentre l intervallo di confidenza al 95% della media è 10.2 cm 10.4 cm. Sulla base dell intervallo di confidenza al 95% della media campionaria, posso dire che il 95% delle osservazioni del mio campione ha valori della distanza tra canino e ultimo molare che variano da 10.2 a A B Vero Falso Nell insieme dei dati prima presentati, ogni misura era in realtà la media di due misure, una relativa all arcata sinistra e l altra relativa all arcata destra della mascella superiore di un singolo lupo. Quindi, in totale, erano state effettuate 70 misure. Potremmo usare n=70 come denominatore per il calcolo dell errore standard quando calcoliamo gli intervalli di confidenza della media? Motivare la risposta. No, perché sottostimeremmo l errore standard e quindi daremmo degli intervalli di confidenza più stretti rispetto a quelli corretti. Il numero di osservazioni indipendenti è 35, quindi è corretto utilizzare nel calcolo dell errore standard N=35. 3

5 Esercizio 4 In uno studio epidemiologico è stata esaminata la relazione tra attività fisica e il rischio d infarto. Sono state monitorate in tutto 2534 donne, 1634 classificate come attive fisicamente e 900 non attive, per un periodo di 10 anni, ed è stato confrontato il numero di donne che hanno sviluppato la patologia nei due gruppi. Tutte le donne erano appena entrate in menopausa all'inizio dell'osservazione. Alla fine del periodo considerato, 157 donne attive e 101 donne non attive avevano avuto l evento d interesse. i) quale test statistico è opportuno utilizzare per valutare differenze nel rischio di infarto nei due gruppi? A Test t per dati indipendenti B Test t per dati appaiati C Test chi-quadrato per il confronto tra proporzioni ii) Quale sarebbe l'ipotesi nulla? Quale l'ipotesi alternativa? H 0 : proporzione di eventi nel gruppo di donne attive = proporzione di eventi nel gruppo di donne non attive H 1 : proporzione di eventi nel gruppo di donne attive proporzione di eventi nel gruppo di donne non attive iii) il p-value associato alla corretta ipotesi nulla richiesta al punto ii) è Questo implica che l attività fisica non ha alcun effetto sul rischio di infarto? Perché? No, non possiamo affermare questo. Il risultato ci dice semplicemente che non abbiamo sufficienti evidenze per rifiutare l ipotesi nulla. In realtà si osserva una maggiore incidenza di eventi tra le donne inattive (101/900=11.2%) rispetto alle attive (157/1634=9.6%). La differenza potrebbe essere dovuta al caso (ipotesi che, dal punto di vista statistico, non possiamo rifiutare), oppure, trattandosi di uno studio osservazionale, il confronto dell incidenza di eventi tra attive e non attive potrebbe risultare distorto dall effetto di altre variabili (ad esempio il fumo, l alimentazione, fattori ormonali) associate sia all esposizione di interesse (attività fisica) che all evento (infarto). 4

6 Esercizio 5 In un ospedale ci sono stati 932 nati in 20 settimane consecutive. Di questi nati, 216 sono venuti alla luce nel fine settimana. In base a questi dati, si vuole valutare se i tassi di natalità siano diversi nei weekend rispetto ai giorni feriali. A. Enunciare l ipotesi nulla e l ipotesi alternativa per il test H 0 : la proporzione di eventi osservati nei weekend (216/932) è statisticamente uguale alla proporzione di giorni del weekend sul totale dei giorni della settimana (2/7) H 1 : la proporzione di eventi osservati nei weekend (216/932) è statisticamente differente alla proporzione di giorni del weekend sul totale dei giorni della settimana (2/7) B. Quale metodo statistico si potrebbe utilizzare per la verifica delle ipotesi? Per verificare l ipotesi nulla è possibile utilizzare la statistica chi-quadrato della bontà di adattamento, che confronta le frequenze osservate con le frequenze attese sotto l ipotesi nulla. Nel caso specifico: Freq osservate nel fine settimana (O 1 ) = 216 Freq osservate negli altri giorni (O 2 ) = =716 Freq attese nel fine settimana (E 1 )=2/7*932=266.3 Freq attese nel fine settimana (E 2 )= =665.7 Χ 2 = Σ [ (O i - E i ) 2 / E i ]= [ (O 1 - E 1 ) 2 / E 1 ]+ [ (O 2 - E 2 ) 2 / E 2 ] La statistica Χ 2, sotto l ipotesi nulla, si distribuisce in questo caso come una chi-quadrato con 1 grado di libertà. 5

7 Esercizio 6 Si ritiene che la crescita dei vertebrati sia unidirezionale, cioè che le loro dimensioni aumentino oppure rimangano costanti nel corso di tutta la loro vita. Le iguane marine delle Galapagos rappresentano un caso anomalo, poiché potrebbero rimpicciolirsi nei periodi in cui il cibo scarseggia. Durante questi periodi, fino al 90% della popolazione delle iguane può morire di fame. È ragionevole ritenere che la lunghezza delle iguane sia cambiata in media durante questo periodo? L'istogramma rappresenta la variazione della lunghezza corporea di 64 iguane sopravvissute al periodo di scarsità del cibo negli anni , mentre la figura a destra mostra i risultati dell'analisi condotta con JMP. (i) Per ognuno dei p-value riportati dall'output, specificare l'ipotesi nulla H 0 e l'ipotesi alternativa H 1 a cui si riferiscono: Prob > t H 0 : µ diff = 0 vs. H 1 : µ diff 0 Prob > t H 0 : µ diff = 0 vs. H 1 : µ diff > 0 Prob < t H 0 : µ diff = 0 vs. H 1 : µ diff < 0 (ii) Si supponga di essere interessati al seguente sistema di ipotesi H 0 : µ diff = 0 vs. H 1 : µ diff 0. Dopo aver considerato il p-value opportuno, e tollerando un errore di primo tipo del 5%, quale affermazione è corretta? A B C La lunghezza corporea media dopo il periodo di scarsità di cibo è risultata statisticamente differente dalla lunghezza corporea prima di tale periodo. La lunghezza corporea media dopo il periodo di scarsità di cibo non è risultata statisticamente differente dalla lunghezza corporea prima di tale periodo. La lunghezza corporea delle iguane dopo il periodo di scarsità di cibo è risultata pari a 0. 6

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