Elettromagnetismo. Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano. Lezione n

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1 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano Lezione n Corrente elettrica Equazione di continuità Legge di ohm Modello della conduzione elettrica Anno Accademico 2017/2018

2 Corrente elettrica Cominciamo a studiare situazioni in cui le cariche sono in movimento Per il momento ci limiteremo a movimenti "relativamente lenti" Velocità piccole rispetto alla velocità della luce Prima di iniziare a formulare le differenze nelle forze fra le cariche introduciamo una serie di nuovi concetti necessari per descrivere le cariche in movimento Un moto ordinato di portatori di carica costituisce una corrente elettrica L'espressione "portatori di carica" è da intendere in un senso molto generale Possono essere elettroni o ioni Può essere materia "carica", ad esempio goccioline d'acqua nell'atmosfera In un filo di materiale conduttore la corrente elettrica è definita come la quantità di carica che attraversa la sezione del filo nell'unità di tempo La corrente ha un segno: positiva se le cariche positive seguono la freccia Supponendo che in un tempo Δt la carica ΔQ nel cilindretto blu attraversi la sezione del filo S (gialla) Nel Sistema Internazionale l'unità di misura della corrente è l'ampere (A) Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 336

3 Correnti elettrica È importante il flusso netto di carica Definiamo il senso positivo della corrente La carica rossa (positiva) contribuisce con segno + La carica blu (negativa) contribuisce con segno + Analogamente un atomo o molecola neutri non contribuiscono alla corrente nonostante trasportino carica La carica rossa (positiva) contribuisce con segno + La carica blu (negativa) contribuisce con segno La corrente non deve necessariamente essere definita all'interno di un filo conduttore Per una definizione più generale occorre la densità di corrente Abbiamo già utilizzato questo concetto discutendo il flusso (diapositiva ) Avevamo discusso il flusso di materia Avevamo definito il vettore densità di corrente J = ρ v Avevamo visto che la quantità di materia che attraversa un superficie S nell'unità di tempo era data da Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 337

4 Densità di corrente Consideriamo una situazione in cui le cariche siano tutte dello stesso segno, uguali e che si muovono tutte con la stessa velocità u La densità delle cariche è n (numero per unità di volume) La corrente elettrica è definita come la quantità di carica che attraversa la superficie S nella unità di tempo La carica che attraversa la superficie è quella contenuta nel prisma obliquo definito dalla superficie S e dal lato di lunghezza u Δt Il volume del prisma è Possiamo riscriverlo utilizzando i vettori velocità e normale alla superficie Abbiamo pertanto Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 338

5 Densità di corrente Naturalmente la situazione in cui tutte le velocità sono uguali è un caso molto particolare Nel caso generale avremo n 1 particelle con velocità u 1 che contribuiscono n k particelle con velocità u k che contribuiscono La corrente totale è la somma delle correnti Definiamo il vettore densità di corrente Le sue dimensioni sono: [ J ] = Q L 2 T 1 (C m 2 s 1 ) Utilizzando il vettore J la corrente è Specializziamo J al caso in cui i portatori di carica siano elettroni: q k = e Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 339

6 Densità di corrente Definiamo infine La densità totale di elettroni, indipendente dalla velocità La velocità media degli elettroni Otteniamo la seguente espressione per la densità di corrente Notiamo che en e rappresentata la densità di carica ρ e degli elettroni Utilizzando ρ e Avevamo già incontrato una formula simile quando abbiamo definito la densità di corrente per il flusso di fluido Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 340

7 Densità di corrente Quando parliamo di conduttori o di sistemi macroscopici allora anche le grandezze che abbiamo definito e utilizzato vanno intese in senso macroscopico Sono delle medie su volumi dv infinitesimi su scala macroscopica Volumi grandi su scala microscopica In questo caso interpretiamo la formula n e è la densità media degli elettroni nel volume dv è la velocità media degli elettroni nel volume dv Sia la velocità media che la densità media possono essere funzione della posizione e del tempo In questo caso anche J è una funzione della posizione e del tempo J(r,t) La corrente attraverso una superficie arbitraria (eventualmente ideale, all'interno di un conduttore) è data da (attenzione ai segni) Se J non dipende dal tempo si parla di correnti stazionarie (steady) Le cariche si muovono ma le proprietà del flusso non variano nel tempo Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 341

8 Conservazione della carica Supponiamo adesso di avere una superficie chiusa S che delimita un volume V In una regione in cui è presente una densità di corrente J Calcoliamo il flusso di J L'integrale rappresenta la quantità di carica che fluisce nell'unità di tempo attraverso la superficie La normale è verso l'esterno La carica è all'interno Se dq/dt 0 significa che la carica si accumula o fuoriesce dal volume attraversando la superficie In una situazione stazionaria la derivata è nulla Dal teorema della divergenza, facendo tendere a zero il volume chiuso da S Divergenza nulla significa che la carica né si crea né si distrugge dentro V Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 342

9 Conservazione della carica Consideriamo adesso un caso non necessariamente stazionario Dentro il volume V delimitato da S ci sarà una densità di carica ρ(r,t) La carica all'interno sarà data dall'integrale di volume Nel caso non stazionario Q V (t) può variare nel tempo Inoltre Per finire abbiamo visto che Da cui discende l'importantissima equazione di continuità È una legge di conservazione locale Sia in forma differenziale che integrale Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 343

10 Conduzione elettrica Fino ad ora abbiamo considerato un dato di fatto il movimento dei portatori di carica In realtà è necessaria una forza perché si muovano Ad esempio la forza di gravità o gradienti di pressione nell'atmosfera fanno muovere gocce d'acqua cariche Un altro esempio piò essere la cinghia del generatore Van de Graaff Le studieremo in seguito: forze elettromotrici Per il momento consideriamo la forza più ovvia per mettere in moto cariche elettriche: un campo elettrico Sottolineiamo che si tratta ancora di campi elettrostatici e quindi di campi conservativi In presenza di un campo elettrico E Le cariche positive si muovono nella direzione del campo Le cariche negative si muovono nella direzione opposta La densità di corrente dipende dal campo elettrico Per un gran numero di sostanze la relazione fra J ed E è molto semplice La costante σ è la conduttività Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 344

11 Conduzione elettrica Pertanto se consideriamo un filo conduttore All'interno del conduttore è presente un campo elettrico che mette in moto le cariche A questo punto occorre porsi una domanda Come mai c'è un campo elettrico all'interno del conduttore La risposta risiede nel fatto che la condizione non è statica In particolare deve esistere un meccanismo che agli estremi del filo Rimuove la carica che arriva per effetto della conduzione Fornisce nuova carica per alimentare la conduzione Ancora una volta, una forza elettromotrice di natura non elettrostatica In caso contrario si arriverebbe ad una condizione di accumulo di carica agli estremi Positiva in alto, negativa in basso Apparirebbe un campo elettrico che si opporrebbe al movimento fino ad arrestarlo Si giungerebbe ad un equilibrio con campo elettrico nullo Stazionario non significa statico Tuttavia il campo elettrico che stiamo considerando è elettrostatico Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 345

12 Legge di Ohm Le dimensioni della conduttività sono [ σ ] = Q 2 M 1 L 3 T (C Kg 1 m 3 s) Una unità che si adopera di solito è (ohm-m) 1 Come nel caso della densità di polarizzazione la relazione fra J e E può essere più complicata Può essere non lineare: la conduttività può dipendere dal campo σ(e) Il mezzo può essere non isotropo Considereremo solo mezzi lineari e isotropi per i quali vale La legge enunciata prende il nome di legge di Ohm I materiali per i quali vale (lineari, isotropi) sono detti "ohmici" Nelle applicazione tecnologiche non risulta comodo utilizzare la densità di corrente e il campo elettrico Si preferisce utilizzare correnti e differenze di potenziale (tensioni) Ad esempio nei circuiti elettronici Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 346

13 Legge di Ohm Per passare alla corrente e alla tensione occorre calcolare L'integrale di J su una superficie L'integrale di E lungo una linea Consideriamo ad esempio un conduttore La differenza di potenziale fra i suoi estremi La corrente che fluisce nel conduttore Si definisce la resistenza del conduttore Si usa spesso la resistività La resistività si misura in ohm-m La resistenza in ohm (Ω) Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 347

14 Legge di Ohm Nel ricavare le formule della pagina precedente si sono fatte alcune assunzioni La densità di corrente J è uniforme sulla sezione S del conduttore Se J variasse sulla sezione (es. J 1 e J 2 ) il campo elettrico sarebbe differente lungo le due linee e non potremmo definire un'unica differenza di potenziale Analogamente abbiamo supposto che J fosse uniforme lungo la lunghezza del conduttore In realtà si potrebbero avere condizioni come quelle indicate nelle figure La formula per la resistenza dipende da questi dettagli Funziona se questi dettagli sono trascurabili Infine vale la pena sottolineare che ipotizziamo anche che esista una netta separazione fra il mezzo conduttore e l'ambiente circostante Significa che possiamo applicare le considerazioni fatte anche a conduttori (resistenze) di forme arbitrarie Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 348

15 Legge di Ohm Abbiamo sempre supposto che σ sia costante e che il mezzo fosse omogeneo, caratterizzato da un'unica conduttività In una condizione di stazionarietà questo implica che non ci sono densità di carica nel materiale Infatti, in condizioni stazionarie Dato che J = σe Viceversa se σ variasse si potrebbero avere densità di carica Ad esempio consideriamo due conduttori di conduttività diversa σ 1 > σ 2 NB: in queste slides σ è la conduttività In condizioni stazionarie J deve essere lo stesso in entrambi i mezzi In caso contrario ci sarebbe accumulo di carica sull'interfaccia Significa che i campi elettrici E 1 e E 2 sono diversi: E 1 < E 2 Il campo ha una discontinuità sull'interfaccia Sull'interfaccia ci deve essere una densità di carica Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 349

16 Velocità di deriva Nella diapositiva abbiamo definito la densità di corrente come La velocità è definita come il valor medio delle velocità degli elettroni Non abbiamo discusso le caratteristiche di questa velocità Stimiamo il valore della velocità di deriva con un esempio Un filo di rame lungo 1 Km è collegato ad un generatore di tensione di 6 V Calcolare la velocità di deriva in queste condizioni Quanto tempo impiega un elettrone per percorrere tutto il filo? Dati: ρ = Ω m n e = m 3 e = C Determiniamo J Utilizzando la definizione di J determiniamo Introduciamo i valori numerici Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 350

17 Velocità di deriva Rendiamoci conto di cosa vuol dire questo ordine di grandezza Per percorre il filo lungo 1 Km occorre un tempo Un po' più di un anno!! La termodinamica ci dice che gli atomi e le molecole della materia a temperatura T non sono fermi Hanno un moto caotico Ad esempio in un gas o nel caso degli elettroni in un conduttore Il moto è caratterizzato da un'energia cinetica media dell'ordine di k B T k B = JK 1 costante di Boltzman T temperatura assoluta in gradi Kelvin 300 K la temperatura ambiente Le velocità delle molecole corrispondenti a questa energia sono dell'ordine di 10 5 m/s Vediamo pertanto che la velocità di deriva è molto più piccola della velocità istantanea degli elettroni Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 351

18 Modello della conduzione Abbiamo già visto che per avere conduzione è necessario avere cariche elettriche libere nella materia Ioni, vale a dire atomi o molecole che hanno perso almeno un elettrone Elettroni liberi Normalmente il numero di ioni/elettroni è molto piccolo Nell'acqua pura la molecola H 2 O si dissocia in H + OH In condizioni normali ci sono circa ioni/cm 3 ph = 7 pari a 10 7 moli/litro = moli/cm 3 e 1 mole = Gli ioni/elettroni presenti nell'acqua pura sono responsabili della conduttività dell'acqua Per l'acqua pura la conduttività è σ = (ohm-m) 1 Sciogliere un sale nell'acqua aumenta il numero di ioni Ad esempio aggiungendo NaCl si arriva a circa ioni/cm 3 (Na + Cl ) In un conduttore come il rame ci sono circa e/cm 3 ( vedi diapositiva ) In un gas ci sono pochissimi ioni, virtualmente zero Una piccola concentrazione di ioni è dovuta alla radioattività naturale Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 352

19 Modello della conduzione Consideriamo adesso un gas che contiene ioni liberi di massa m Supponiamo che la densità sia dell'ordine di atomi/m 3 Gli ioni si muovono liberamente all'interno della sostanza Nelle condizioni di densità date la distanza media fra due molecole è dell'ordine di 10 8 m pari a un centinaio di raggi molecolari (10 10 m) Nel loro moto caotico urtano con le molecole Sono troppo pochi per urtare fra di loro Chiamiamo l k la distanza percorsa fra l'urto k e k+1 Naturalmente sono tutti diversi Si definisce libero cammino medio λ Il libero cammino medio dipende dalla natura del gas e dalle sue condizioni termodinamiche (temperatura, densità ) Il libero cammino medio di uno ione può essere dell'ordine di 10 7 m Molto maggiore della distanza media fra molecole Abbiamo definito il libero cammino medio seguendo il moto di un singolo ione Avremmo potuto definire una media a un dato istante su tutti gli ioni Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 353