Lezioni del Corso PROPULSIONE SPAZIALE aa Marcello Onofri VARIABILI TERMODINAMICHE ED EQUAZIONI DI CONSERVAZIONE

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1 Lezioni del Corso PROPULSIONE SPAZIALE aa Lez. 05 Marcello Onofri VARIABILI TERMODINAMICHE ED EQUAZIONI DI CONSERVAZIONE

2 NOTA: Le variabili termodinamiche d interesse propulsivo da Liepmann H.W.-Roshko A.: «Elements of Gasdynamics», Wiley, 1957 Equazioni citate nel testo a) 1 Principio Termodinamica: de = dq + dw (eq. 1.5) b) Dalla a) per unità di massa, nel caso di flussi reversibili e lavoro compiuto dal solo flusso in un condotto si ottiene: Tds = dh 1/r dp (eq. 1.43) c) o anche la forma equivalente de = Tds pdv Questa usando h = e + pv diviene Tds = dh Vdp

3 NOTA: Le variabili termodinamiche d interesse propulsivo da Liepmann H.W.-Roshko A.: «Elements of Gasdynamics», Wiley, 1957

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16 EQUAZIONI DI CONSERVAZIONE (1) Per una qualsiasi grandezza trasportabile g (scalare, vettore, tensore ), in moto con velocità u, vale la seguente legge di conservazione: (Teorema del trasporto di Reynolds) alla quale può essere applicato il teorema di GAUSS: V g dv t A g u i n i da 0 1. CONSERVAZIONE DELLA MASSA Massa per unità di volume = ρ

17 EQUAZIONI DI CONSERVAZIONE (2) 2. CONSERVAZIONE DELLA QUANTITA DI MOTO : variazione qdm in V = forze agenti su V scritte nelle 3 componenti vettoriali i e proiettate nelle direzioni nj normali localmente alla superficie A 1 MEMBRO: 2 MEMBRO: Sommando: =0 (Vedi eq. Continuità massa)

18 EQUAZIONI DI CONSERVAZIONE (3) 3. CONSERVAZIONE DELL ENERGIA Variazione energia sistema = calore scambiato + Lavoro scambiato Avendo posto : si ha: 1 membro, LHS: Essendo: =0 dalla equazione per la Continuità della Massa = r 2 membro, RHS V Q x pu u k x k ik i x i jk j x k r f j u j dv

19 (1) EQUAZIONI DI CONSERVAZIONE (3) 3. CONSERVAZIONE DELL ENERGIA 2 membro, LHS Sommando i due membri ed avendo posto si ha: V Q x pu u k x k ik i x i jk j x k r f j u j dv (1) De Dt D Dt u 2 2 Q pu jku j i x k r x k r i r x k f i u i k Il termine u jk j x è nullo nel caso in cui il flusso sia in condizioni di equilibrio o in assenza di flussi di quantità di moto all interno della corrente. In questi casi, supponendo inoltre il flusso stazionario, adiabatico ed in assenza di forze di massa vedremo che la (1) può prendere la forma: CIOE : D/Dt (h+u 2 / 2) = 0 L Entalpia totale H è conservata lungo una linea di corrente

20 : EQUAZIONI DI CONSERVAZIONE (3) 3. CONSERVAZIONE DELL ENERGIA Volendo scrivere la (1) in termini di variabile h, si può sviluppare le derivate del termine pu i xi pu upx pux x r ru ur 0 t x x (continuità della massa) (2)

21 De Dt EQUAZIONI DI CONSERVAZIONE (3) Sintetizzando, l,eq dell energia può assumere differenti forme: (1) k D Dt u 2 2 Q pu jku j i x k r Il termine u jk j è nullo nel caso in cui il flusso sia in condizioni di equilibrio o in assenza x di flussi di quantità di moto all interno della corrente. Dalla (1) si può ricavare la: x k r i r x k f i u i (2) In questi casi, supponendo inoltre il flusso stazionario, adiabatico ed in assenza di forze di massa (1) può prendere la forma: D/DT (h+u 2 / 2) = 0 CIOE : L Entalpia totale H è conservata lungo una linea di corrente

22 : EQUAZIONI DI CONSERVAZIONE (3) 3. CONSERVAZIONE DELL ENERGIA Volendo riscrivere la (1) in termini di variabile e esplicitando i termini dell energia cinetica, si può considerare che (3a) Sostituendo si ha: (Momentum * u) (3b) E dopo aver annullato termini uguali e contrari nel segno: (3) sommando ad entrambi i membri 1 Dp r Dt si ha: (4)

23 : EQUAZIONI DI CONSERVAZIONE (3) 3. CONSERVAZIONE DELL ENERGIA Il lavoro compiuto dal tensore degli sforzi è : Il primo termine a secondo membro che costituisce il lavoro fatto delle forze di pressione e degli sforzi di taglio, rappresenta una funzione dissipazione. Osservando che nell equazione (3a) il termine è esprimibile come se ne ricava che questo lavoro produce variazioni dell energia interna e ( vedi eq.(3)). Il secondo termine a secondo membro, tramite l equazione della conservazione della quantità di moto ( momentum ) ( 3b), può essere visto come responsabile delle variazioni dell energia cinetica (assumendo f i =0). Esso indica in particolare le variazioni di energia cinetica del flusso dovute alle differenze di pressione e sforzi tangenziali che tendono a far variare il volume di controllo. La differenza tra le equazioni 1 e 2 e 3 e 4 sta nella esplicitazione o meno del termine relativo all energia cinetica. Quando questo non è trascurabile e compare esplicitamente a primo membro dovranno essere parimenti presenti i termini che producono questo effetto.

24 Definizioni di base. RICHIAMI DI TERMOCHIMICA Una molecola di un composto chimico è costituita da uno o più atomi di più elementi (tipo H 2 O, CO, CO 2, etc.). Quantità molari: una mole di materia contiene un numero di molecole (elementi o composti) pari a quello contenuto in 12 g dell isotopo C 12, cioè N A molecole (N A numero di Avogadro = ). Peso molecolare: massa di una molecola di materia (Kg/mole). Si ottiene come somma dei pesi atomici degli atomi che compongono la molecola, o si può calcolare come rapporto tra peso di una mole /N A. Concentrazioni: numero di moli per unità di volume. Un gas si dice perfetto se è termicamente ( pv=rt) e caloricamente perfetto (c p =cost e c V =cost). E infine possibile passare da grandezze specifiche (definite per unità di massa) a grandezze definite su base molare (indicata col simbolo tilde). Indicando con ~ M il peso molecolare si avrà in particolare: ~ ~ ~ S SM ~ ~ c~ h hm c M p p.

25 RICHIAMI DI TERMOCHIMICA Una miscela è una sostanza nella quale sono presenti insieme più specie chimiche A i. CONSEGUENZE sulle variabili di stato che definiscono il sistema. Esse si distinguono in: variabili estensive: sono dipendenti dalle dimensioni del sistema (come volume, numero di moli, energia interna) e sono additive. variabili intensive: sono indipendenti dalle dimensioni del sistema (come temperatura e pressione) e non sono additive. Indicate con n i il numero di moli di ciascun composto chimico A i, la generica proprietà estensiva G della miscela (ad esempio E, H, S o V) sarà valutata mediante la dove G è riferita all intero sistema, mentre g i ad una mole dell i-esimo composto, e infine n i è il numero di moli. Differente è invece la caratterizzazione delle proprietà intensive, cioè di grandezze come la temperatura e la pressione, che non dipendono dal numero di moli n i, ma hanno un unico valore nell intero sistema.

26 RICHIAMI DI TERMOCHIMICA VARIABILI INTENSIVE: Pressione Nel caso di gas perfetto il riempimento di un volume V e l adeguamento della pressione sono processi che avvengono indipendentemente dalla presenza di un qualsiasi altro gas perfetto presente nello stesso volume V. Quindi per una miscela di gas perfetti per ogni i-esima componente di gas presente nel volume V si può identificare una pressione parziale p i, la quale soddisfa l equazione di stato dei gas perfetti La pressione assoluta dell intera miscela è quindi data dalla somma delle pressioni parziali (legge di Dalton) Questo non significa che la pressione sia una grandezza estensiva. (es. Considerare la somma di due eguali volumi V contenenti due gas diversi, A e B, alla stessa temperatura T e pressione P).

27 RICHIAMI DI TERMOCHIMICA: E ed H In generale, l energia interna E e l entalpia H dipendono sia dalla temperatura che da un altra grandezza termodinamica. Essendo funzioni di stato si può scrivere E= E(T,V) Ovvero: E de V T E dv T Cioè de è un differenziale esatto. Parallelamente, per l Entalpia definita come H= E + pv si ha: dh H T p dt V H p Si può dimostrare che per un gas termicamente perfetto E (e di conseguenza anche H) dipendono dalla sola temperatura. Cioè: dt T dp de= c v dt e dh= c p dt L approssimazione di gas termicamente perfetto è accettabile per temperature elevate rispetto alla temperatura critica e pressioni basse rispetto alla pressione critica.

28 RICHIAMI DI TERMOCHIMICA PROPELLENTI CRIOGENICI CONDIZIONI CRITICHE - Temperatura al di sopra della quale il gas non può essere liquefatto, qualunque sia la pressione considerata. - Pressione minima applicabile per liquefare un gas alla temperatura critica.