La moltiplicazione con dei «calcolatori» antichi

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1 La moltiplicazione con dei «calcolatori» antichi Secondo incontro aprile

2 I Bastoncini di Nepero Una calcolatrice del XVI secolo aprile

3 NEPERO (John Napier) Barone di Merchiston Nacque nel castello di Merchiston nei pressi di Edimburgo (Scozia) nel, si dedicò inizialmente agli studi teologici partecipando attivamente alla lotta fra protestantesimo e cattolicesimo in difesa della Chiesa Anglicana. Abbandonati gli studi di teologia si dedicò esclusivamente agli studi matematici e di strumenti bellici. Il suo nome è legato all'invenzione dei logaritmi. Morì a Edimburgo nell'aprile del. aprile

4 John Napier (-) Nella sua opera:"rabdologiae" (Edimburgo ) Liber primus afferma: Eseguire dei calcoli è operazione difficile e lenta e spesso la noia che ne deriva è la causa principale della disaffezione che la maggioranza della gente prova nei confronti della matematica. Ho cercato sempre - usando tutti i mezzi che avevo a disposizione e con le forze che il mio intelletto mi ha dato - di rendere più agevole e spedito questo processo. aprile

5 I Bastoncini F 9 Sono costituiti da moduli verticali nei quali vengono riportate le tabelline dei numeri da a 9. Ogni risultato viene scritto in un quadrato diviso a metà dalla diagonale principale; si scrive una sola cifra per ogni parte. Questi sono i regoli mobili. Oltre a questi bastoncini se ne prepara un altro che chiameremo regolo fisso ; esso è costituito dalla sequenza di cifre da a 9. 9 aprile

6 F 9 Regolo fisso Regoli mobili aprile

7 Funzionamento Con i bastoncini di Nepero si possono effettuare moltiplicazioni fra un qualunque numero e un elemento del regolo fisso (numeri da a 9). Si scelgono i regoli mobili con cui comporre il numero da moltiplicare e si raggruppano assieme; alla loro sinistra si avvicina il regolo fisso e su di esso si individua il fattore da moltiplicare. aprile

8 9 F 9 Esempio: Se vogliamo effettuare la moltiplicazione x riuniremo i regoli mobili e fisso come nello schema. aprile

9 9 F 9 x Si va a leggere la combinazione di cifre sul gruppo di regoli mobili in corrispondenza del sul regolo fisso. aprile 9

10 F 9 x Le cifre della combinazione vengono addizionate in diagonale e, da destra verso sinistra compongono il risultato finale Eventuali riporti vanno considerati. x = + + aprile SEQUENZA

11 9 9 F 9 9 x In questa operazione bisogna considerare due riporti.. Quanto fa? 9 x = aprile

12 Se il moltiplicatore ha più di una cifra (es: x 9), allineiamo i bastoncini (, e ) con l indice e facciamo la somma dei singoli risultati ricordandoci di spostare il parziale x (decine) di un posto e quello x (centinaia) di due. Eseguiamo la somma dei prodotti parziali. aprile

13 Regoli di Genaille - Lucas (9) Telaio Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile

14 Esempio: x. Formiamo, con i regoli necessari, il moltiplicando (). aggiungiamo a sinistra un regolo dello zero; vedremo poi a cosa serve.. Guardiamo solo quella striscia orizzontale che è indicata dal sul telaio (moltiplicatore). Adesso basta seguire le frecce rosse e leggere il risultato! Adesso è chiaro a cosa serve il regolo dello zero che abbiamo aggiunto a sinistra. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile

15 Un altro esempio Facciamo le stesse cose di prima, anche se il regolo dello zero, quello aggiunto a sinistra, questa volta non ha dato una cifra significativa. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile

16 Moltiplicatore con più di una cifra Basta leggere i prodotti parziali e addizionarli x 9 Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile

17 Perché funzionano x = Cominciamo da destra: moltiplicare per. Il risultato è x = ovvero scrivo e riporto. Notare che il riporto è indicato dalla freccia che ci rimanda alla quinta riga della prossima colonna. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile

18 Dopo di che, passiamo a fare x che fa ; ma siccome ne riportavamo, il tutto fa. Però non dobbiamo fare nessun calcolo: basta andare dove ci ha indirizzato la freccia della colonna precedente. Questo significa scrivo e riporto. aprile

19 Scoperto il trucco, è facile continuare da soli: OSSERVAZIONE: quando moltiplichiamo per,come nell esempio, non possiamo mai avere un riporto maggiore di. In generale, quando moltiplichiamo per n, si ha che riporto n- come si vede guardando attentamente a come sono fatti i nostri regoli. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 9

20 un percorso non sempre facile aprile

21 ) Come particolare applicazione del concetto di operazione Deve associare a due numeri naturali uno ed un solo numero naturale ) Come operatore Deve porre in relazione un numero naturale con uno ed uno solo numero naturale aprile

22 La divisione come operazione rimanda agli aspetti quantitativi implicati dalla individuazione di una partizione di un insieme finito in sottoinsiemi tra loro equipotenti, ossia alla identificazione di sottoinsiemi dell insieme dato, tali da avere uguale cardinalità, da essere a due a due disgiunti e da dare tramite la loro unione l insieme dato. La divisione come operatore è, invece, l inversa della moltiplicazione come operatore. Affinché questa affermazione abbia significato è necessario che l operatore moltiplicativo sia invertibile, ossia associ ad ogni numero naturale a uno ed un solo numero naturale b, e, viceversa, che ogni numero naturale b sia il corrispondente di uno ed un solo numero naturale a. aprile

23 Si consideri, per esempio, l operatore, rappresentato mediante il diagramma a frecce da: N x 9 N Si intuisce che ad ogni numero naturale viene associato uno ed un solo numero naturale, il cosiddetto triplo: da ogni numero naturale nell insieme di sinistra parte una ed una sola freccia; non è però vero il viceversa, che ogni numero naturale è il corrispondente di uno ed un solo numero naturale: nell insieme di destra ci sono numeri naturali ai quali non arriva alcuna freccia. aprile

24 Se come secondo insieme si considera non l intero insieme N, ma il suo sottoinsieme T costituito da tutti e soli i multipli di, l operatore è invertibile e ha come inverso l operatore : N : 9 T aprile

25 OPERATORE x N x N 9 Esso non è invertibile sia perché tutti i numeri diversi da nell insieme a destra non sono corrispondenti di alcun numero naturale (non arriva ad essi alcuna freccia), sia perché il numero è il corrispondente di più (tutti) i numeri naturali (vi arrivano infinite frecce). Segue, allora, che l operatore : non ha senso. aprile

26 OPERATORE :n A partire dal sottoinsieme dei multipli di n, con n numero naturale diverso da, è definito l operatore : n e si ha: b :n a se e solo se a xn b ossia, scrivendo in modo lineare: b : n = a equivale a a n = b Esempio : = perché = dunque ( : ) e sono due scritture diverse dello stesso numero. aprile

27 RIASSUMENDO La divisione come operazione e come operatore è interna all insieme N dei numeri naturali, ma non è ovunque definita; infatti, è definita solo sulle coppie ordinate di numeri naturali di cui il primo è multiplo del secondo, che è diverso da ed è detto divisore del primo. In questo modo è caratterizzata la divisione cosiddetta esatta, il cui risultato è denominato quoto (poco usato) o quoziente esatto. aprile

28 RIFLETTIAMO La divisione non è sempre esatta e il quoziente non è, da solo, il risultato dell applicazione dell operatore all operando. Il vero risultato è la coppia (quoziente, resto), il resto potendo essere nullo. Ne consegue che la divisione come regola operatoria non è esattamente l inversa della moltiplicazione [ ] (Vergnaud G. 9, L enfant, la mathématique et la réalité, Berne, Ed. Peter Lang) La divisione con resto cui fa riferimento Vergnaud non è un operazione in senso stretto, in quanto associa ad una coppia di numeri naturali non un solo numero, ma ancora una coppia; si tratta, dunque, di una generica funzione definita tra coppie di numeri naturali da NxN* a NxN: aprile

29 da NxN* a NxN: (a,b) divisione (q,r) dove q, quoziente intero, è il massimo numero naturale per cui il prodotto per b non supera a b q a < b (q+) che equivale a b q < a < b (q+) oppure b q = a < b (q+) e r, resto, è la differenza tra a e tale prodotto r = a b q In tal modo il resto è un numero naturale minore di b: r < b. aprile 9

30 ESEMPIO Si consideri la coppia (, ); per individuare la coppia che è associata a quella data tramite la divisione con resto si cercano due multipli consecutivi di tra i quali è compreso : < o meglio 9 < ; poi si calcola il resto come differenza tra e il multiplo minore: In sintesi: perché =. divisione (,) (9,) x9 < < x e = x9 Questa divisione è detta anche divisione euclidea in quanto è già presente negli Elementi di Euclide; si parla pure di quoziente euclideo per indicare il quoziente intero. aprile

31 RILESSIONE Le usuali scritture ottenute con lo stesso simbolo della divisione esatta non sono corrette in quanto non è vero che il primo e il secondo membro sono scritture diverse dello stesso numero e non viene rispettata la simmetria dell uguaglianza. : = 9 : = 9; con resto : = 9 Se la formalizzazione viene fatta in analogia con le altre operazioni, la scrittura corretta è: : = (9,) In generale, se si utilizza il simbolo : proprio della divisione esatta anche per la divisione con resto è necessario adottare la formalizzazione a : b = (q, r) dove a = b q + r e r < b aprile

32 Quando si vuole indicare solo il quoziente intero, trascurando il resto, è in uso adoperare il simbolo. ESEMPIO È corretta la scrittura = 9 la quale indica che il quoziente intero (la parte intera del risultato) tra e è 9. Il quoziente intero è una approssimazione per difetto del risultato. Questa caratteristica diviene importante quando i numeri della divisione indicano grandezze o quantità: i quozienti vanno sempre interpretati, in quanto non è detto che una divisione eseguibile, in modo esatto o con resto, tra numeri abbia senso nel contesto. aprile

33 Tutti in gita I bambini e le maestre della ^A e della ^B sono in gita al parco "Natura in festa": si tratta di un bellissimo parco ai piedi di una maestosa montagna. C'è anche la possibilità di salire ad un rifugio sulla cima della montagna, senza faticare troppo; infatti una funivia collega il parco al rifugio. La funivia a pieno carico può trasportare ad ogni viaggio persone. In coda ad attendere ci sono solo i bambini e le maestre delle quarte: in tutto persone. Quanti viaggi della funivia servono per portare tutti al rifugio? aprile

34 Tutti in gita Strategie risolutive adottate Schematizzare con il disegno Schematizzare con il disegno e calcolo Calcolo aprile

35 Schematizzare con il disegno Classe IV primaria Per portare tutti al rifugio deve fare viaggi da e da. Errore nelle classi quarte: % aprile

36 Schematizzare con il disegno Classe IV primaria Per portare tutti al rifugio servono viaggi aprile

37 Classe IV primaria Schematizzare con il disegno e calcolare Per portare tutti al rifugio servono giri. aprile

38 Calcolare Classe IV primaria aprile

39 Schematizzare con il disegno e calcolare Classe V primaria Errore nelle classi quinte: % aprile 9

40 Calcolare Classe V primaria : = r La funivia farà viaggi : = La funivia farà viaggi : =, Per portare tutti al rifugio servono viaggi aprile

41 Calcolare Classe I secondaria di primo grado viaggio persone viaggio persone viaggio persone persone + + = viaggi Errore nelle prime: % aprile

42 Calcolare Classe I secondaria di primo grado aprile

43 Riflettiamo Per la tecnica di calcolo associata alla divisione è fondamentale il concetto di divisione con resto, dato che, anche qualora la divisione fosse esatta, nelle sottoprocedure in cui si struttura l algoritmo è prevista la determinazione di resti parziali. Quanto sino ad ora detto a proposito della divisione è giustificato dal particolare insieme di numeri con cui si lavora, ossia i numeri naturali. La distinzione tra divisione esatta e divisione con resto rimane significativa per i numeri interi relativi e per quelli con la virgola, con un numero prefissato di cifre decimali, mentre non ha senso nell insieme dei numeri razionali e in quello dei numeri reali, dove la divisione è formalmente definita come l operazione inversa della moltiplicazione e ammette sempre un risultato esatto, indipendentemente dalla possibilità o opportunità o meno di determinarlo. (Vergnaud G. (9), L enfant, la mathématique et la réalité, Berne, Ed. Peter Lang) aprile

44 È frequente leggere nei testi in commercio, dell esistenza di due tipi di divisione: divisione di distribuzione, divisione di contenenza. Esempio. Si hanno biglie da suddividere tra alcuni bambini: se si danno biglie ad ogni bambino, quanti bambini si accontentano?. Si hanno biglie da distribuire in parti uguali fra bambini. Quante biglie spettano a ciascun bambino? La formalizzazione di entrambe i problemi è la divisione: : = il cui risultato consente di rispondere che:. Si possono accontentare bambini.. Ciascun bambino riceve biglie aprile

45 Schematizziamo le due situazioni:. oggetti gruppi (g) quanti oggetti (o) equo-numerosi per gruppo? (o/g) o/g aprile

46 . oggetti oggetti per gruppo quanti gruppi? (o) (o/g) (g) g aprile

47 Nota bene Nel caso primo le caramelle di ogni gruppo vengono distribuite Nel caso secondo le caramelle di ogni gruppo vengono lasciate raggruppate. L'aver raggruppato, nella prima colonna dei due schemi "a a " i oggetti in ambedue i casi, vuol mettere in evidenza la struttura comune ai due problemi (quella che il bambino dovrebbe cogliere) che altro non è se non la struttura della divisione. Come sopra detto: il fatto che, nel primo caso, gli oggetti di ciascun gruppo sono distribuiti, mentre nel secondo restano raggruppati riguarda il problema non l operazione. Perciò possiamo parlare, se lo crediamo opportuno o utile, di problemi di ripartizione e di problemi di contenenza. aprile