INTRODUZIONE terreni rocce

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1 INTRODUZIONE INTRODUZIONE La Geotecnica è una disciplina che tratta la meccanica dei terreni e delle rocce, e le sue applicazioni nell ambito dei problemi di ingegneria civile e ambientale (fondazioni, opere di sostegno, stabilità dei pendii, miglioramento e rinforzo dei terreni, etc..). Poiché ogni opera di ingegneria civile è fondata e/o è realizzata con il terreno, la progettazione geotecnica esiste da quando esiste l ingegneria civile. Tuttavia fino a non molti decenni fa le regole di progettazione geotecnica sono state sostanzialmente empiriche, basate sull osservazione dei fenomeni naturali e del comportamento delle opere costruite. Oggi non sarebbe più possibile progettare su base empirica, per molti motivi, fra cui: - riduzione dei tempi di esecuzione (il comportamento del terreno è fortemente influenzato dalla velocità di applicazione dei carichi); - necessità di operare in contesti ambientali diversi, spesso residuali e non conosciuti, - minore tolleranza di effetti indesiderati, come i cedimenti assoluti e differenziali. La meccanica dei terreni si differenzia dalla meccanica dei solidi e dalla meccanica dei fluidi poiché studia il comportamenti di mezzi plurifase particellari. Il relativamente tardo sviluppo della meccanica dei terreni moderna (prima metà del XX secolo) è dovuto alle difficoltà di modellare il comportamento di materiali costituiti da tre fasi (solida liquida - gassosa) che interagiscono fra loro, ed alla grande variabilità dei materiali compresi sotto il termine terreno. Variabilità stratigrafica, poiché il volume di terreno interessato da un problema geotecnico può comprendere materiali differenti, variabilità intrinseca ad ogni terreno, dipendenza del comportamento dei terreni dalla storia tensionale, deformativa e dal tempo. Un altra difficoltà specifica dell ingegneria geotecnica consiste nell acquisizione di dati sperimentali quantitativamente significativi e qualitativamente affidabili. Per risolvere i problemi di ingegneria geotecnica si ricorre spesso ad una tecnica non rigorosa ma ingegneristicamente efficace che consiste nel considerare separatamente i diversi aspetti del problema, e nell affrontare ciascuno di essi con modelli parziali, capaci di dare una risposta affidabile solo limitatamente ad un aspetto. Ad esempio il problema delle fondazioni superficiali viene affrontato modellando il terreno come un continuo elastico per determinare la diffusione delle tensioni, come un mezzo rigido perfettamente plastico per determinare il carico limite di rottura, come un mezzo elasto-plastico-viscoso per il calcolo delle deformazioni e del loro decorso nel tempo, etc.. In termini ingegneristici, i materiali naturali che costituiscono la parte più superficiale della crosta terrestre possono essere suddivisi in due grandi categorie: i terreni e le rocce. I terreni (o rocce sciolte) sono aggregati di particelle, o granuli, di minerali e materiali organici, generalmente sciolti o con deboli legami di cementazione o di adesione che possono essere distrutti con semplice agitazione meccanica o in acqua. Risultano quindi caratterizzati da valori limitati della resistenza meccanica. Le rocce (lapidee) sono aggregati naturali di minerali tra i quali si esercitano forze attrattive e di adesione di notevole entità che conferiscono all insieme valori elevati della resistenza meccanica. J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

2 INTRODUZIONE Per queste ultime, la disaggregazione, se si eccettua il caso di alcune rocce solubili, non può essere ottenuta neppure dopo la permanenza in acqua. Questa distinzione è convenzionale: in altre discipline scientifiche i termini terreno e roccia assumono significati diversi; inoltre esistono materiali naturali, di transizione, con caratteristiche tali da non poter essere facilmente inseriti in nessuna delle due categorie. Nel seguito, ci occuperemo in particolare di terreni o rocce sciolte, cioè di materiali che possono essere schematizzati come mezzi polifase, costituiti da uno scheletro solido, formato dall insieme di tutti i granuli, o meglio, di tutte le particelle, da una fase liquida (generalmente acqua) e da una fase gassosa (generalmente aria e/o vapor d acqua). Se ci riferiamo ai terreni naturali, ai nostri climi e alle profondità che in genere interessano l ingegneria civile, non commettiamo un grosso errore se consideriamo in prima approssimazione le terre come mezzi a due fasi, essendo quasi tutti i vuoti tra granulo e granulo riempiti d acqua. Il termine granulo per alcuni tipi di terreno, come ad esempio una ghiaia o una sabbia, non dà problemi di comprensione; per altri, ad esempio per un terreno argilloso, può essere molto meno comprensibile, nel senso che il granulo non è neppure visibile a occhio nudo ed è una struttura molto più complessa di quella di un granulo di sabbia J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

3 Capitolo ORIGINE E STRUTTURA DEI TERRENI. Origine dei terreni CAPITOLO ORIGINE E STRUTTURA DEI TERRENI I terreni derivano dai processi di alterazione fisica e chimica delle rocce. I processi di alterazione di natura fisica o meccanica producono una disgregazione delle rocce in frammenti di dimensioni ridotte. Questi processi sono legati a fenomeni di erosione delle acque, all azione di agenti atmosferici (gelo, variazioni termiche), all azione delle piante, degli animali, dell uomo. I processi di alterazione di natura chimica o organica decompongono invece i minerali che costituiscono le rocce in particelle di natura colloidale, che costituiscono poi la frazione prevalente dei materiali fini. Questi processi sono legati a fenomeni di ossidazione, riduzione ed altre reazioni chimiche generate dagli acidi presenti nell acqua o prodotti dai batteri. I frammenti di roccia (cioè le particelle, i granuli) derivanti da questi processi di alterazione vengono poi trasportati (più o meno lontano) e successivamente depositati dal vento, dall acqua e dai ghiacciai; durante la fase di trasporto possono subire ulteriori processi di disgregazione meccanica o di alterazione chimica. Nella figura. è riportata una rappresentazione semplificata del ciclo di formazione delle rocce e dei terreni. Se durante le fasi di formazione, trasporto e deposizione intervengono solo processi fisici, le particelle di terreno avranno la stessa composizione delle rocce di origine; se si hanno anche trasformazioni chimiche si formano altri materiali. L esempio più importante in ambito geotecnico sono i minerali argillosi, tra i quali i più noti sono caolinite, illite e montmorillonite. Le dimensioni delle particelle, che costituiscono il risultato finale di tutti questi fenomeni, sono molto varie, comprendendo frammenti di roccia, minerali e frammenti di minerali. Figura. - Rappresentazione semplificata del ciclo di formazione delle rocce e dei terreni 3 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

4 Capitolo ORIGINE E STRUTTURA DEI TERRENI. Struttura dei terreni Anche il risultato finale dell aggregazione delle particelle, che costituisce la struttura del terreno, può essere molto vario ed influenzarne marcatamente il comportamento. In particolare, i caratteri strutturali del terreno possono essere evidenziati a diverse scale, ossia in termini di: microstruttura macrostruttura megastruttura Quando si parla di caratteri microstrutturali ci si riferisce alla forma e alle dimensioni dei grani e ai legami esistenti tra le particelle; i caratteri macrostrutturali sono invece quelli osservabili su una porzione di terreno di dimensioni limitate (ad esempio un campione di laboratorio) e sono costituiti da fessure, intercalazioni, inclusioni di materiale organico, ecc..; i caratteri megastrutturali sono infine quelli evidenziabili a grande scala, come ad esempio giunti, discontinuità, faglie. Per ora ci limiteremo ad analizzare l influenza dei caratteri microstrutturali sul comportamento dei terreni. In particolare, se pensiamo al terreno come ad un aggregato di particelle solide e acqua interstiziale, possiamo facilmente immaginare che in questa miscela esistano due tipi di interazione: un interazione di tipo meccanico, dovuta alle forze di massa o di volume un interazione di tipo chimico, dovuta alle forze di superficie Sulla superficie esterna di ogni granulo esistono infatti delle cariche elettriche che lo portano ad interagire con gli altri granuli e con l acqua interstiziale. Quindi, se la superficie esterna è piccola in relazione alla massa, anche le azioni superficiali sono modeste e quindi prevalgono le interazioni di tipo meccanico (in tal caso si parla di granuli inerti ), se la superficie è grande anche le azioni superficiali, e quindi le interazioni di tipo chimico, possono diventare importanti, addirittura più importanti di quelle di volume (in questo caso si parla di granuli attivi ). Di conseguenza, l elemento distintivo tra la prevalenza delle forze di volume o delle forze di superficie è legato essenzialmente alla geometria dei granuli, ovvero alla superficie riferita all unità di massa, che si definisce superficie specifica: S S S sp = = (Eq..) M ρ V dove S è la superficie del granulo, M la massa, V il volume e ρ la densità. Se, ad esempio, prendiamo un grammo di sabbia e sviluppiamo tutte le superfici esterne dei grani in esso contenuti, otteniamo che il valore della superficie specifica è dell ordine di m ; se invece prendiamo un grammo di argilla molto attiva vediamo che la somma delle aree laterali di tutti gli elementi solidi che questo contiene può essere dell ordine di 800m. È da notare che la superficie specifica di un certo materiale dipende dalla forma e dalle dimensioni delle particelle, come è possibile dedurre dalla definizione (.). In particolare, nell ipotesi di forma sferica, alla quale si avvicinano ad esempio i grani di una sabbia: S = πd, V = πd 3 /6, quindi S sp = 6/ρD. Nell ipotesi di parallelepipedo appiattito, forma simile a quella delle particelle di argilla, di dimensioni BxLxh: S = LB + Bh + Lh, V = BLh; quindi S = + + e se sp ρ h B L 4 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

5 Capitolo ORIGINE E STRUTTURA DEI TERRENI Valori tipici della dimensione media e della superficie specifica di sabbie e argille sono riportati in tabella. La conseguenza di quanto detto sopra è che nei materiali come le sabbie l interazione tra i granuli è esclusivamente di tipo meccanico, mentre nelle argille le azioni sono quasi e- sclusivamente di tipo chimico-fisico. Tabella. Dimensione media e superficie specifica di sabbie e argille Dimensione media [mm] Superficie specifica [m /g] SABBIE (forma sub-sferica) mm 0-4 MINERALI ARGILLOSI (forma lamellare): MONTMORILLONITE 0-6 fino a 840 ILLITE ( )x CAOLINITE (0. 4) x Dunque, una prima distinzione tra i vari tipi di terreno può essere fatta in base alle dimensioni e alla forma delle particelle che li costituiscono, perché questo è un elemento che ne differenzia notevolmente il comportamento. Dimensioni e forma delle particelle dipendono dai minerali costituenti. Si distinguono così, in primo luogo, i terreni a grana grossa (ghiaie e sabbie) e forma sub-sferica, o comunque compatta, dai terreni a grana fine (limi e argille) e forma appiattita o lamellare, nei quali i singoli grani non sono visibili a occhio nudo. I terreni naturali consistono generalmente in una miscela di più tipi di terreno appartenenti alle due categorie suddette, a cui può aggiungersi talvolta del materiale organico. Analizzando un poco più in dettaglio le caratteristiche delle due grandi categorie di terreni che abbiamo appena definito, si può affermare che i terreni a grana grossa sono generalmente costituiti da frammenti di roccia o, nel caso delle particelle più piccole, da singoli minerali o da frammenti di minerali (ovviamente minerali sufficientemente resistenti e stabili dal punto di vista chimico, come ad esempio quarzo, feldspati, mica, ecc..). I materiali meno resistenti danno origine a terreni con grani più arrotondati, quelli più resistenti a granuli più irregolari. Il comportamento dei terreni a grana grossa dipende soprattutto: dalle dimensioni dalla forma (angolare, sub-angolare, subarrotondata, arrotondata) (figura.) ANGOLARE SUBANGOLARE dalla distribuzione granulometrica (figura.3) dallo stato di addensamento dei granuli (figura.4). Nel caso dei terreni a grana fine, le informazioni relative alla distribuzione e alle caratteristiche granulometriche sono meno significati- ARROTONDATA SUBARROTONDATA Figura. Forma delle particelle l altezza h è molto minore delle altre due dimensioni, S sp. In conclusione, la S sp aumenta al diminuire delle dimensioni e dell appiattimento delle particelle ρh 5 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

6 Capitolo ORIGINE E STRUTTURA DEI TERRENI SABBIA BENE ASSORTITA SABBIA POCO ASSORTITA ve. I terreni a grana fine sono aggregati di particelle colloidali di forma lamellare, che risultano dalla combinazione di molecole (o unità elementari). Le unità elementari sono rappresentate da tetraedri (con atomo di silicio al centro e ossigeno ai vertici) o ottaedri (con atomi di alluminio o magnesio al centro e Figura.3 Tipo di assortimento di una sabbia ossidrili ai vertici) (Figura.5) che si SABBIA SCIOLTA SABBIA DENSA combinano tra loro per formare reticoli piani (pacchetti elementari). Successive combinazioni diverse di pacchetti elementari danno origine alle particelle di argilla. A seconda della loro composizione i pacchetti possono stabilire legami più o Figura.4 Stati di addensamento di una sabbia meno forti tra loro e in relazione a questo le particelle di argilla possono avere uno spessore più o meno elevato e i terreni possono presentare un comportamento meccanico molto diverso tra loro. Ad esempio la caolinite ha uno spessore tipico di circa µm, ha legami piuttosto forti ed è quindi un argilla stabile, con comportamento meccanico buono; la montmorillonite, invece, che ha uno spessore di pochi nm (nm = 0 Armstrong = 0-3 µm), ha deboli legami tra i pacchetti elementari ed un comportamento meccanico scadente e sensibile al disturbo perché i legami tendono a spezzarsi (dal punto di vista ingegneristico avere a che fare con questo tipo di materiali è un problema, perché sono molto deformabili e tendono a rigonfiare in presenza di acqua). Il comportamento dei minerali argillosi è fortemente condizionato dalla loro interazione con il fluido interstiziale, che in genere è acqua. Le unità fondamentali, tetraedri e ottaedri a) b) e = ossigeno a) b) e = silicio e = ossidrili = alluminio, magnesio Figura.5 Struttura delle particelle colloidali: unità elementari tetraedriche e ottaedriche (a) e loro combinazione in pacchetti elementari (b). 6 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

7 Capitolo ORIGINE E STRUTTURA DEI TERRENI che costituiscono i minerali argillosi, pur essendo complessivamente neutri, hanno carica positiva all interno e negativa sulla superficie esterna. Questa caratteristica le porta a stabilire legami molto forti con le molecole d acqua che, essendo dipolari (poiché, com è noto, i due atomi di idrogeno, che hanno carica positiva, non sono disposti simmetricamente rispetto all atomo di ossigeno, carico negativamente), sono attratte elettricamente verso la superficie delle particelle di argilla. Acqua adsorbita Cristallo di m ontmorillonite (00xnm) Figura.6 Spessore dell acqua adsorbita per differenti minerali argillosi L acqua che si trova immediatamente a contatto con le particelle diventa perciò parte integrante della loro struttura ed è definita acqua adsorbita (Figura.6). Allontanandosi dalla superficie delle particelle i legami diventano via via più deboli, finché l acqua assume le caratteristiche di acqua libera o acqua interstiziale (Figura.7). È da notare che lo spessore di acqua adsorbita è approssimativamente lo stesso per tutti i minerali argillosi, ma a causa delle differenti dimensioni delle particelle, il comportamento meccanico dell insieme risulta molto diverso. H + H + O - Cristallo di caolinite (000x00nm) PARTICELLA molecole d acqua Distanza dalla superficie della particella (in micron) acqua adsorbita acqua pellicolare acqua di ritenzione ANDAMENTO DELLA FORZA DI ATTRAZIONE TRA PARTICELLA E E MOLECOLE D ACQUA acqua gravifica Figura.7 Schema dell interazione tra particelle d argilla e molecole d acqua Anche tenendo conto della presenza dell acqua adsorbita, le particelle di argilla risultano cariche negativamente in superficie e tendono a manifestare forze di repulsione, alle quali si sommano forze di tipo attrattivo (Van der Walls), legate alla struttura atomica del mate- 7 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

8 Capitolo ORIGINE E STRUTTURA DEI TERRENI riale. Questo fa sì che l ambiente circostante riesca a condizionare la forma e la geometria strutturale delle argille: in particolare, se le particelle sono circondate da un fluido con e- levata concentrazione di ioni positivi (p. es. in ambiente marino), le cariche negative superficiali esterne tenderanno a neutralizzarsi e quindi l effetto di repulsione sarà minore e le particelle tenderanno ad aggregarsi in strutture più chiuse; al contrario, in un ambiente povero di ioni positivi (p. es. in acqua dolce) tenderanno a prevalere le forze di repulsione e si avranno strutture più aperte (o disperse). A conclusione di quanto sopra detto, va anche evidenziato che, mentre nei terreni a grana grossa i grani sono necessariamente a contatto tra loro e formano un vero e proprio scheletro solido, nei terreni a grana fine le particelle possono anche essere non in diretto contatto tra loro, pur conservando il materiale caratteristiche di continuità..3 Relazioni tra le fasi e proprietà indici Un terreno è, come già detto, un sistema multifase, costituito da uno scheletro formato da particelle solide e da una serie di vuoti, che possono essere a loro volta riempiti di liquido (generalmente acqua) e/o gas (generalmente aria e vapor d acqua) (Figura.8a). Facendo riferimento ad un certo volume di terreno e immaginando per comodità di esposizione di separare le tre fasi (Figura.8b), e indicati con: Vs = volume del solido (inclusa l H O adsorbita) V W = volume dell acqua (libera) V G = volume del gas V V = volume dei vuoti (V W +V G ) V = volume totale (V S +V W +V G ) P W = peso dell acqua P S = peso del solido P = peso totale (P W +P S ) si possono stabilire delle relazioni quantitative tra pesi e volumi. a) b) P P W P S Gas Acqua Particelle solide V G V W V S V V V Figura.8 Rappresentazione del terreno come materiale multifase (a) e relazione tra le fasi (b) In particolare si definiscono: V. porosità: n (%) = v 00 (Eq..) V (n=0% solido continuo, n =00% non vi è materia solida) 8 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

9 Capitolo ORIGINE E STRUTTURA DEI TERRENI. indice dei vuoti: 3. volume specifico: V Vs V v = (Eq..4) v e = (Eq..3) Tra le tre grandezze sopra definite, è più comodo utilizzare v ed e rispetto ad n perché, per i primi due, al variare del volume dei vuoti, varia solo il numeratore del rapporto. Comunque n, e e v esprimono lo stesso concetto e sono biunivocamente legate tra loro: (n /00) v = + e; e = (n /00) Vw 4. grado di saturazione: Sr (%) = 00 (Eq..5) Vv (S r =0% terreno asciutto, S r =00% terreno saturo) P 5. contenuto d acqua: w (%) = w 00 (Eq..6) P 6. peso specifico dei costituenti solidi: 7. peso di volume: γ = d 8. peso di volume del terreno secco: V P ( ovvero per Sr = 0) V P γ sat = 9. peso di volume saturo: V V s s P s γ s = (Eq..7) Vs P γ = (Eq..8) V P s ( per Sr = 00 %) (Eq..9) (Eq..0) 0. peso di volume immerso: γ = γ sat γ w (Eq..) dove γ w è il peso specifico dell acqua (9.8 kn/m 3 ). Il peso di volume γ può assumere valori compresi tra γ d, peso di volume secco (per S r = 0%) e γ sat, peso di volume saturo (per S r =00%). Spesso si utilizza la grandezza adimensionale G s = γ s /γ w (gravità specifica), che rappresenta il peso specifico dei costituenti solidi normalizzato rispetto al peso specifico dell acqua. Si osservi che mentre le grandezze n (porosità) ed S r (grado di saturazione) hanno, espresse in %, un campo di esistenza compreso tra 0 e 00, il contenuto d acqua, w, può assumere valori anche superiori a 00%. e max e. densità relativa: D r (%) = 00 (Eq..) e max e min dove e è l indice dei vuoti allo stato naturale, e max ed e min sono rispettivamente gli indici dei vuoti corrispondenti al minimo e al massimo stato di addensamento convenzionali, determinati sperimentalmente mediante una procedura standard. 9 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

10 Capitolo ORIGINE E STRUTTURA DEI TERRENI La densità relativa rappresenta un parametro importante per i terreni a grana grossa in quanto permette di definirne lo stato di addensamento; può variare tra 0 e 00%, e la differenza che compare al denominatore è una caratteristica del terreno, mentre il numeratore dipende dallo stato in cui il terreno si trova. Con un mezzo ideale costituito da particelle sferiche di ugual diametro si ha un assetto che corrisponde al massimo indice dei vuoti (reticolo cubico, Figura.9a) e un assetto che corrisponde al minimo (reticolo tetraedrico, Figura.9b). Nel caso di reticolo cubico si ha n 46%, nel caso di reticolo tetraedrico si a) b) ha n 6%. Ovviamente per un terreno reale, in cui Figura.9 Reticolo cubico (a) e tetraedrico (b) le particelle hanno forma irregolare e dimensioni variabili, la porosità massima può essere maggiore del 46%, e la porosità minima può essere inferiore al 6%. I valori tipici di alcune delle proprietà sopra definite sono riportati nelle tabelle. e.3. Tabella.. Valori tipici di alcuni parametri del terreno n (%) e γ d (kn/m3) γ (kn/m3) GHIAIA SABBIA LIMO ARGILLA TORBA Tabella.3. Valori tipici del peso specifico dei costituenti solidi di alcuni materiali γ s (kn/m3) SABBIA QUARZOSA 6 LIMI ARGILLE BENTONITE 3.3. Determinazione del contenuto d acqua La determinazione sperimentale di w è piuttosto semplice ed è basata su misure di peso. Operativamente, si mette una certa quantità di terreno, di cui si vuole determinare il contenuto in acqua, w, in un recipiente di peso noto (pari a T) e si pesa il tutto (P ). Per ottenere l evaporazione di tutta l acqua libera, si pone poi il contenitore con il terreno in forno a essiccare (a 05 per giorni a seconda della quantità e del tipo di materiale) e si ripesa nuovamente (P ). A questo punto si può ricavare w. La differenza tra le due pesate (P -P ) rappresenta il peso dell acqua, P W, mentre il peso del solido è dato dalla differenza tra P e T, ossia: Pw P P w = 00 = 00 P P T s 0 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

11 Capitolo ORIGINE E STRUTTURA DEI TERRENI Valori tipici di w variano tra il 0% al 30% (massimo) per un terreno sabbioso, tra il 0% e il 5% per argille molto dure, tra il 70% e l 80% per argille molli, anche se, teoricamente, come già osservato, può assumere valori superiori al 00%. Tra le proprietà sopra definite, quelle che risultano indipendenti dalla storia tensionale e dalle condizioni ambientali che caratterizzano il terreno allo stato naturale, vengono dette proprietà indici. Tra le proprietà indici possono essere annoverate anche la granulometria e i limiti di Atterberg, che verranno definite nei paragrafi seguenti..4 Composizione granulometrica Il comportamento dei terreni a grana grossa è, come già osservato, marcatamente influenzato dalle dimensioni dei grani e dalla distribuzione percentuale di tali dimensioni, ovvero dalla granulometria. Per ottenere queste informazioni si ricorre alla cosiddetta analisi granulometrica, che consiste nella determinazione della distribuzione percentuale del diametro dei granuli presenti nel terreno. L analisi granulometrica viene eseguita mediante due tecniche:. setacciatura per la frazione grossolana (diametro dei grani maggiore di mm). sedimentazione per la frazione fine (diametro dei grani minore di mm) La setacciatura viene eseguita utilizzando una serie di setacci (a maglia quadrata) e/o crivelli (con fori circolari) con aperture di diverse dimensioni (la scelta delle dimensioni delle maglie va fatta in relazione al tipo di terreno da analizzare). I setacci vengono disposti uno sull altro, con apertura delle maglie decrescente verso il basso. Una buona curva granulometrica può essere ottenuta scegliendo opportunamente la successione dei setacci: ad esempio ogni setaccio potrebbe avere apertura delle maglie pari a circa la metà di quello sovrastante (esistono anche indicazioni di varie associazioni tecnico-scientifiche, ad es. dell Associazione Geotecnica Italiana). Tabella.4 Sigla ASTM e diametri equivalenti dei setacci impiegati per l analisi granulometrica Apertura delle maglie, D [mm] N. ASTM Nella Tabella.4 sono riportate le sigle ASTM (American Society Standard Material) e l apertura delle maglie corrispondente (diametri equivalenti) per i setacci che vengono normalmente impiegati nella setacciatura. Il setaccio più fine che viene generalmente usato nell analisi granulometrica ha un apertura delle maglie di mm (setaccio n. 00 ASTM); al di sotto dell ultimo setaccio viene generalmente posto un raccoglitore. Il materiale viene prima essiccato, pestato in un mortaio, pesato e disposto sul setaccio superiore. Tutta la pila viene poi fatta vibrare (con agitazione manuale o meccanica), in modo da favorire il passaggio del materiale dalle maglie dei vari setacci. Per i terreni più fini si ricorre anche all uso di acqua (in tal caso si parla di setacciatura per via umida). J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

12 Capitolo ORIGINE E STRUTTURA DEI TERRENI Alla fine dell agitazione, da ciascun setaccio sarà passato il materiale con diametro inferiore a quello dell apertura delle relative maglie. La percentuale di passante al setaccio i- esimo, P di, può essere determinata pesando la quantità di materiale depositata su ciascun setaccio al di sopra di quello considerato, P k (con k =,...i), mediante la formula che segue: i PT Pk k= Pdi = 00 PT dove P T è il peso totale del campione di materiale esaminato. I risultati dell analisi granulometrica vengono riportati in un diagramma semilogaritmico (per permettere una buona rappresentazione anche quando l intervallo di variazione dei diametri è molto esteso), con il diametro (equivalente), D, dei setacci in ascissa e la percentuale di passante in ordinata (curva granulometrica) (Figura.0). Figura.0 Curve granulometriche tipiche per i terreni Per i diametri minori di mm, cioè per il materiale raccolto sul fondo, si ricorre all analisi per sedimentazione. Si tratta di una procedura basata sulla misura della densità di una sospensione, ottenuta miscelando il materiale all acqua con l aggiunta di sostanze disperdenti per favorire la separazione delle particelle, la cui interpretazione viene fatta impiegando la legge di Stokes, che lega la velocità di sedimentazione di una particella in sospensione al diametro della particella e alla densità della miscela. Eseguendo misure di densità a diversi intervalli di tempo e conoscendo il peso specifico dei grani è possibile ricavare il diametro e la percentuale in peso delle particelle rimaste in sospensione e quindi aventi diametro inferiore a quelle sedimentate. Utilizzando questi dati è così possibile completare la curva granulometrica. In pratica quella che si ottiene è una curva cumulativa. La forma della curva è indicativa della distribuzione granulometrica: più la curva è distesa, più la granulometria è assortita. L andamento della curva viene descritto sinteticamente mediante due parametri (che, come vedremo più avanti, vengono impiegati per classificare i terreni). Indicando con D x il diametro corrispondente all x % di materiale passante (Figura.0), si definiscono: J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

13 Capitolo ORIGINE E STRUTTURA DEI TERRENI D60 coefficiente di uniformità: U = (Eq..3) D0 (U, più è basso più il terreno è uniforme, Figura.0) D30 coefficiente di curvatura: C = (Eq..4) D60 D0 (C esterno all intervallo 3 indica mancanza di diametri di certe dimensioni ovvero bruschi cambiamenti di pendenza della curva granulometrica, Figura.0).5 Limiti di Atterberg (o limiti di consistenza) Come già osservato, il comportamento dei terreni a grana fine è marcatamente influenzato dall interazione delle particelle di argilla con il fluido interstiziale (acqua), strettamente legata alla loro composizione mineralogica. Così, per questo tipo di terreni, è importante non solo conoscere la quantità di acqua contenuta allo stato naturale, ma anche confrontare questo valore con quelli corrispondenti ai limiti di separazione tra stati fisici particolari (in modo analogo a quanto si fa confrontando l indice dei vuoti naturale con e max ed e min per i terreni a grana grossa). Nei terreni argillosi si osserva infatti una variazione dello stato fisico, al variare del contenuto d acqua. In particolare, se il contenuto d acqua di una sospensione argillosa densa è ridotto gradualmente, la miscela acqua-argilla passa dallo stato liquido, ad uno stato plastico (dove il materiale acquisisce sufficiente rigidezza da deformarsi in maniera continua), ad uno stato semisolido (in cui il materiale comincia a presentare fessurazioni) e infine ad uno stato solido (in cui il terreno non subisce ulteriori diminuzioni di volume al diminuire del contenuto d acqua). Poiché il contenuto d acqua corrispondente al passaggio da uno stato all altro varia da un tipo di argilla da un altro, la conoscenza di questi valori può essere utile nella classificazione ed identificazione dei terreni a grana fine. Tuttavia il passaggio da uno stato all altro non è istantaneo, ma avviene gradualmente all interno di un range di valori del contenuto d acqua. Sono stati perciò stabiliti dei criteri convenzionali (Atterberg, 9) per individuare le condizioni di passaggio tra i vari stati di consistenza. I contenuti d acqua corrispondenti alle condizioni di passaggio, convenzionali, tra i vari stati, sono definiti limiti di Atterberg e variano, in generale, da un tipo di argilla ad un altro. Lo schema relativo ai 4 possibili stati fisici e i corrispondenti limiti di Atterberg sono riportati in Figura. Si individuano, in particolare, il limite liquido (o di liquidità), w L, nel passaggio tra lo stato liquido e lo stato plastico, il limite plastico (o di plasticità), w p, tra lo stato plastico e lo stato semisolido (o solido con ritiro), il limite di ritiro, tra lo stato semisolido e lo stato solido (o solido senza ritiro), w s. Ciascuno dei 3 limiti può essere determinato in laboratorio mediante un opportuna procedura standardizzata. DIMINUZIONE DEL w CONTENUTO D ACQUA LIQUIDO PLASTICO SEMISOLIDO SOLIDO Figura. Stati fisici del terreno e limiti di Atterberg 3 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006) miscela fluida terra-acqua LIMITE LIQUIDO, w L LIMITE PLASTICO, w P LIMITE DI RITIRO, w S terreno secco

14 Capitolo ORIGINE E STRUTTURA DEI TERRENI.5. Determinazione del limite liquido Il limite liquido, w L, si determina in laboratorio con il cucchiaio di Casagrande (Figura.a). Un prefissato volume di terreno, prelevato dal passante al setaccio n. 40 (0.4 mm), viene mescolato con acqua distillata fino ad ottenere una pastella omogenea. a) Cucchiaio b) w L 0 mm Base Utensile mm 8 mm All inizio Al termine Numero di colpi Figura. Cucchiaio di Casagrande (a) e procedura sperimentale per la determinazione del limite liquido (b). L impasto viene successivamente disposto nel cucchiaio, spianandone la superficie e praticando poi nella zona centrale, con un apposita spatola, un solco di mm di larghezza e 8 mm di altezza. Con un dispositivo a manovella, il cucchiaio viene quindi lasciato cadere ripetutamente, a intervalli di tempo regolari, da un altezza prefissata su una base di materiale standardizzato e vengono contati i colpi necessari a far richiudere il solco per una lunghezza di 3 mm. Viene poi prelevato un po di materiale dal cucchiaio e determinato su questo il valore del contenuto d acqua. La procedura viene ripetuta più volte variando la quantità di acqua nell impasto, in modo da ottenere una serie di coppie (4 o 5) di valori, numero di colpi-contenuto d acqua. I valori del contenuto dacqua in funzione del numero di colpi vengono poi riportati in un diagramma semilogaritmico, figura.b, e interpolati linearmente: il contenuto d acqua corrispondente a 5 colpi rappresenta convenzionalmente il limite liquido, w L..5. Determinazione del limite plastico Il limite plastico, w p, è il contenuto d acqua in corrispondenza del quale il terreno inizia a perdere il suo comportamento plastico. Si determina in laboratorio impastando una certa quantità di terreno passante al setaccio n. 40 (0.4 mm) con acqua distillata e formando manualmente dei bastoncini di 3. mm (/8 in.) di diametro. Quando questi cilindretti, che vengono fatti rotolare continuamente su una lastra di materiale poroso (in modo da perdere progressivamente acqua), iniziano a fessurarsi (Figura.3), si determina il contenuto d acqua e questo rappresenta il limite plastico, w P. Generalmente si fanno 3 determinazioni e si assume come w P il valor medio mm Figura.3 Determinazione sperimentale del limite plastico 4 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

15 Capitolo ORIGINE E STRUTTURA DEI TERRENI.5.3 Determinazione del limite di ritiro volume w S Figura.4 Determinazione sperimentale del limite di ritiro Il limite di ritiro, w S, che ha un interesse molto limitato per le applicazioni in ingegneria civile e non viene di norma determinato, è il contenuto d acqua al di sotto del quale una ulteriore perdita di acqua da parte del terreno non comporta nessuna variazione di volume; pertanto, a differenza degli altri due limiti, non è un valore convenzionale, legato alla procedura di determinazione, ma ha un preciso significato fisico. Si determina in laboratorio su un provino indisturbato che viene essiccato per passi successivi, misurando ad ogni passaggio il volume e il contenuto d acqua. I valori del volume vengono riportati in un grafico in funzione del contenuto d acqua (Figura.4) e w S è definito come il contenuto d acqua corrispondente al punto di intersezione tra le tangenti alla parte iniziale e finale della curva ottenuta interpolando i punti sperimentali..6 Indici di consistenza contenuto d acqua Si definisce indice di plasticità, I P, l ampiezza dell intervallo di contenuto d acqua in cui il terreno rimane allo stato plastico, ovvero: I P (%) = w L -w P (Eq..5) Tale indice dipende dalla percentuale e dal tipo di argilla e dalla natura dei cationi adsorbiti. Per ogni materiale, l indice di plasticità cresce linearmente in funzione della percentuale di argilla presente, con pendenza diversa in relazione al tipo di minerali argillosi presenti (Figura.5). La pendenza di questa retta è definita indice di attività: IP Ia = (Eq..6) CF I dove CF = % in peso con diametro d < P I a = mm. Sulla base dei valori assunti da questo indice i terreni possono essere classificati inattivi, normalmente attivi, attivi. Considerando oltre ai limiti di consistenza, anche il contenuto naturale d acqua, si possono Attivi Normalmente I a = 0.75 attivi definire l indice di liquidità: Inattivi w w P I L = (Eq..7) I P CF e l indice di consistenza Figura.5 Indice di attività delle argille w L w IC = = I L (Eq..8) I P L indice di consistenza, oltre ad indicare lo stato fisico in cui si trova il terreno, fornisce informazioni qualitative sulle sue caratteristiche meccaniche; all aumentare di I C aumenta la resistenza al taglio del terreno e si riduce la sua compressibilità (da notare anche 5 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

16 Capitolo ORIGINE E STRUTTURA DEI TERRENI l analogia tra I C per terreni a grana fine e D r per i terreni a grana grossa). Una suddivisione dei terreni basata sui valori dell indice di plasticità e dell indice di consistenza è riportata nelle Tabelle.5 e.6 rispettivamente, mentre nella Tabella.7 sono riportati i valori tipici di w L, w P e I P dei principali minerali argillosi. Tabella.5 - Suddivisione dei terreni basata sui valori dell indice di plasticità TERRENO I P NON PLASTICO 0-5 POCO PLASTICO 5-5 PLASTICO 5-40 MOLTO PLASTICO > 40 CONSISTENZA Tabella.6 - Suddivisione dei terreni basata sui valori dell indice di consistenza FLUIDA < 0 FLUIDO-PLASTICA MOLLE-PLASTICA PLASTICA SOLIDO-PLASTICA SEMISOLIDA (W > WS) O SOLIDA (W < WS) > I C Tabella.7 - Valori tipici di W L, W P e I P dei principali minerali argillosi MINERALE ARGILLOSO w L (%) w P (%) I P (%) MONTMORILLONITE ILLITE CAOLINITE Sistemi di classificazione I sistemi di classificazione sono una sorta di linguaggio di comunicazione convenzionale per identificare attraverso un nome (o una sigla) il tipo di materiale, in modo da fornirne indirettamente, almeno a livello qualitativo, delle indicazioni sul comportamento. In pratica, individuano alcuni parametri significativi e distintivi dei vari tipi di terreno in modo da poterli raggruppare in classi e stabilire così dei criteri universali, convenzionali, di riconoscimento. Data l estrema variabilità dei terreni naturali e le diverse possibili finalità ingegneristiche, non è pensabile di poter creare un unico sistema di classificazione. Per questo motivo, si sono sviluppati nel tempo diversi sistemi di classificazione, che possono essere utilizzati per scopi e finalità diversi. Tuttavia, alcuni aspetti fondamentali accomunano i diversi sistemi di classificazione nella scelta delle proprietà di riferimento. In particolare tali proprietà: - devono essere significative e facilmente misurabili mediante procedure standardizzate; - non devono essere riferite ad uno stato particolare, ossia devono essere indipendenti dalla storia del materiale, dalle condizioni di sollecitazione o da altre condizioni al contorno. Per quanto visto fino ad ora, i parametri che possiedono queste caratteristiche sono quelli precedentemente definiti proprietà indici, e riguardano la composizione granulometrica e 6 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

17 Capitolo ORIGINE E STRUTTURA DEI TERRENI la composizione mineralogica. I sistemi di classificazione più vecchi sono basati unicamente sulla granulometria e perciò sono significativi solo per i materiali a grana grossa (ghiaie e sabbie). Tra questi, i più comunemente usati sono riportati in Tabella.8. Tabella.8. Alcuni sistemi di classificazione basati sulla granulometria SISTEMA Ghiaia Sabbia Limo Argilla MIT AASHO AGI mm mm mm Essendo i terreni una miscela di grani di diverse dimensioni, una volta determinate le frazioni in peso relative a ciascuna classe, il materiale può essere identificato utilizzando i termini delle varie classi come sostantivi o aggettivi, nel modo seguente: I termine: nome della frazione granulometrica prevalente II termine: nomi delle eventuali frazioni maggiori del 5%, precedute dal prefisso con III termine: nomi delle eventuali frazioni comprese tra il 5% e il 5%, con il suffisso oso IV termine: nomi delle eventuali frazioni minori del 5%, con il suffisso oso, precedute dal prefisso debolmente. Se ad esempio da un analisi granulometrica risulta che un terreno è costituito dal 60% di limo, dal 30% di sabbia e dal 0% di argilla, esso verrà denominato limo con sabbia debolmente argilloso. Una classificazione che tiene conto solo della granulometria non è tuttavia sufficiente nel caso di limi e argille, il cui comportamento è legato soprattutto alla composizione mineralogica. Per questo tipo di terreni si può ricorrere ad esempio al sistema di classificazione proposto da Casagrande (948). Tale sistema è basato sui limiti di Atterberg ed è riassunto in un diagramma (noto come carta di plasticità di Casagrande ) (Figura.6) nel quale si individuano sei zone, e quindi sei classi di terreno, in funzione del limite liquido (riportato in ascissa) e dell indice di plasticità (riportato in ordinata). La suddivisione è rappresentata dalla retta A di equazione: I P = 0.73 (w L -0) (Eq..9) e da due linee verticali in corrispondenza di w L = 30 e w L = 50. Le classi che si trovano sopra la retta A includono le argille inorganiche, quelle sotto la retta A i limi e i terreni organici (a titolo informativo va detto che la presenza di materiale organico in un terreno può essere rilevata attraverso la determinazione del limite liquido prima e dopo l essiccamento. L essiccamento provoca infatti nei materiali organici dei processi irreversibili con riduzione di w L ; se tale riduzione è maggiore del 75%, il materiale viene ritenuto organico). Esistono poi sistemi che, facendo riferimento sia alla caratteristiche granulometriche sia a quelle mineralogiche, possono essere utilizzati per la classificazione di qualunque tipo di terreno. In particolare, i due sistemi più comunemente utilizzati e che verranno brevemente descritti nel seguito sono il sistema USCS e il sistema HRB (AASHTO, CNR_UNI 0006). 7 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

18 Capitolo ORIGINE E STRUTTURA DEI TERRENI Indice di plasticità, PI (%) w = 30 % L w = 50 % L Limite di liquidità, w (%) L.7. Sistema USCS Il sistema USCS (Unified Soil Classification System), sviluppato originariamente da Casagrande e successivamente modificato negli USA, è il sistema più utilizzato per classificare i terreni di fondazione. Secondo tale sistema, i terreni vengono suddivisi in cinque gruppi principali, due a grana grossa (con percentuale passante al setaccio 00 minore del 50%), ghiaie (simbolo G) e sabbie (simbolo S), tre a grana fine (con percentuale passante al setaccio 00 maggiore del 50%), limi (simbolo M), argille (simbolo C) e terreni organici (simbolo O). Ciascun gruppo è a sua volta suddiviso in sottogruppi, in relazione ad alcune proprietà indici, secondo quanto indicato nello schema di Figura.7. In particolare i terreni a grana grossa vengono classificati sulla base dei risultati dell analisi granulometrica in ghiaie (G) e sabbie (S) a seconda che la percentuale passante al setaccio N.4 sia rispettivamente minore o maggiore del 50%. Quindi viene analizzata la componente fine del materiale (passante al setaccio N.00): ) se essa risulta minore del 5% allora si considera solo l assortimento del materiale sulla base dei valori del coefficiente di u- niformità, U, e di curvatura, C (se U>4 e <C<3, per le ghiaie o U>6 e <C<3, per le sabbie, 5 6 L PI = 0.73 (w - 0) LINEA A Limi inorganici di bassa compressibilità Limi inorganici di media compressibilità e limi organici Limi inorganici di alta compressibilità e argille organiche Argille inorganiche di bassa plasticità Argille inorganiche di media plasticità Argille inorganiche di alta plasticità Figura.6 Carta di plasticità di Casagrande Figura.7 Sistema di classificazione USCS allora il materiale si considera ben gradato e come secondo simbolo si adotta W, altrimenti si considera poco gradato e si adotta il simbolo P); ) se essa risulta maggiore del % allora viene classificata, dopo averne misurato i limiti di Atterberg (sul passante al setaccio N. 40), con riferimento ad una carta di plasticità derivata da quella di Casagrande con alcune modifiche (Figura.8), come limo (M) o argilla (C), che verrà utilizzato come secondo simbolo; 3) se essa è compresa tra il 5 e il % allora verrà classificata sia la granulometria della frazione grossolana (ben assortita, W, o poco assortita, P) secondo il criterio mostrato al punto ) sia la componente fine (M o C) secondo il criterio indicato al punto ), ottenendo così un doppio simbolo (ad es. SW-SM). 8 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

19 Capitolo ORIGINE E STRUTTURA DEI TERRENI I terreni a grana fine vengono classificati per mezzo della carta di plasticità di Casagrande modificata di Figura Sistema HRB Proposto dalla Highway Research Board (94) e successivamente revisionato dalla American Association of State Highway and Trasportation Office (e riportato con qualche modifica anche nelle norme CNR-UNI) è un sistema di classificazione che viene utilizzato principalmente nel campo delle costruzioni stradali, o comunque per terreni utilizzati come materiali da costruzione. Figura.8 Carta di plasticità (Casagrande modificata) In base alla granulometria e alle caratteristiche di plasticità, i terreni vengono suddivisi in otto gruppi, indicati con le sigle da A- ad A-8, alcuni dei quali (A-, A- e A-7) suddivisi a loro volta in sottogruppi secondo lo schema riportato in Figura.9. I materiali granulari sono inclusi nelle classi da A- ad A-3 (con percentuale passante al setaccio 00 minore o uguale al 35%), i limi e le argille nelle classi da A-4 ad A-7 (con percentuale passante al setaccio 00 maggiore del 35%), mentre la classe A-8 comprende i terreni altamente organici. Per i terreni granulari si considera nell ordine: la percentuale passante al setaccio N.0 la percentuale passante al setaccio N.40 la percentuale passante al setaccio N.00 e quando disponibili si considerano anche i valori del limite liquido e dell indice di plasticità determinati sul passante al setaccio N.40. Per i limi e le argille la classificazione viene fatta solo sulla base dei valori misurati del limite liquido e dell indice di plasticità. Il sistema prevede che, per i terreni che contengono un alta percentuale di materiale fine, venga anche valutato un indice sintetico, detto indice di gruppo, definito come: I = 0. a ac bd, dove: a = percentuale passante al setaccio 00 maggiore del 35% e minore del 75%, espressa come numero intero compreso tra 0 e 40 b = percentuale passante al setaccio 00 maggiore del 5% e minore del 55%, espressa come numero intero compreso tra 0 e 40 c = valore del limite liquido maggiore di 40 e minore di 60, espresso come numero intero compreso tra 0 e 0 d = valore dell indice di plasticità maggiore di 0 e minore di 30, espresso come numero intero compreso tra 0 e 0 Valori minori dei limiti inferiori significano a, b, c, o d uguali a zero; valori maggiori dei limiti superiori significano a o b uguali a 40, c o d uguali a 0. Quando un terreno rientra in più categorie viene attribuito a quella corrispondente ai limiti più restrittivi. 9 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

20 Capitolo ORIGINE E STRUTTURA DEI TERRENI Materiali granulari Limi-Argille Classificazione generale: (passante al setaccio N.00 35%) (passante al setaccio N.00 35%) Classificazione di gruppo: A- A- A-3 A-4 A-5 A-6 A-7 A--a A--b A--4 A--5 A--6 A--7 A-7-5* A-7-6 Analisi granulometrica: % passante al setaccio: - N.0 (mm) 50 - N.40 (0. mm) N.00 (0.074 mm) Limiti di Atterberg determinati sul passante al setaccio N.40 (0.4 mm): - w L (%) - I p (%) Indice di gruppo (I): Materiale costituente: Non plastico Ghiaia (pietrame) con sabbia Ghiaia e sabbia Sabbia Limi Argille limosa o argillosa Materiale come sottofondo: Da eccellente a buono Da buono a scarso *Note: Se I P w L 30 A-7-5; Se I P w L 30 A-7-6 Figura.9 Sistema di classificazione HRB 0 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

21 Capitolo COSTIPAMENTO CAPITOLO COSTIPAMENTO In alcune applicazioni ingegneristiche, può manifestarsi talvolta la necessità di migliorare le caratteristiche del terreno, sia nelle sue condizioni naturali in sito, sia quando esso è impiegato come materiale da costruzione (p. esempio per dighe, rilevati, terrapieni, ecc..). Le tecniche di miglioramento del terreno possono essere di vario tipo, in particolare esistono: - tecniche di tipo meccanico; - tecniche di tipo chimico; - tecniche basate sull induzione di fenomeni di natura termica o elettrica (che vengono utilizzate soprattutto in maniera provvisoria). Altri metodi consistono nell eliminare o ridurre la presenza dell acqua (drenaggi); altri ancora nel sovraccaricare temporaneamente il terreno prima della realizzazione dell opera in modo da esaurire preliminarmente un aliquota dei cedimenti (precarico). Tra i metodi di tipo meccanico riveste particolare importanza il costipamento che consiste nell aumentare artificialmente la densità del terreno, impiegato come materiale per la costruzione di rilevati stradali e ferroviari, argini, dighe in terra, ecc.., attraverso l applicazione di energia meccanica. L obiettivo del costipamento è il miglioramento delle caratteristiche meccaniche del terreno, che comporta, in generale, i seguenti vantaggi:. riduzione della compressibilità (e quindi dei cedimenti). incremento della resistenza (e quindi della stabilità e della capacità portante) 3. riduzione degli effetti che possono essere prodotti dal gelo, da fenomeni di imbibizione o di ritiro (legati alla quantità di vuoti presenti). Il primo ad occuparsi di questo fenomeno è stato l ingegnere americano Proctor (930), il quale ha evidenziato che il valore della densità secca alla fine del costipamento, ρ d = γ d /g, è funzione di tre variabili: il contenuto d acqua, w l energia di costipamento il tipo di terreno (granulometria, composizione mineralogica, ecc.). In sito possono essere usate diverse tecniche di costipamento, in relazione alla natura del terreno da porre in opera ed eventualmente alla tipologia dei mezzi di cantiere disponibili; in laboratorio queste possono essere riprodotte attraverso differenti tipi di prova nelle quali il terreno viene disposto in un recipiente metallico di forma cilindrica, a strati successivi, che vengono via via compattati. In particolare, esistono quattro differenti tecniche di costipamento e quindi di tipi di prova:. prove statiche, in cui il terreno è sottoposto ad una pressione costante per un certo periodo di tempo mediante un pistone con area uguale a quella del recipiente;. prove kneading (to knead = massaggiare), nelle quali il terreno è sottoposto a intervalli regolari ad una compressione mediante un pistone che trasmette una pressione nota; 3. prove per vibrazione, in cui il recipiente in cui è contenuto il terreno viene fatto vibrare con appositi macchinari. J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

22 Capitolo COSTIPAMENTO 4. prove dinamiche o di urto, nelle quali il terreno è compattato con un pestello meccanico a caduta libera; Le prime due tecniche vengono impiegate per terreni prevalentemente fini, le altre due per terreni prevalentemente a grana grossa. Tra le quattro sopra menzionate, le più usate sono quelle dell ultimo tipo, di cui fanno parte le prove Proctor.. Prove Proctor L attrezzatura per le prove Proctor è costituita da un cilindro metallico di dimensioni standard dotato di un collare rimovibile e da un pestello di diametro pari alla metà di quello del cilindro e di peso prefissato (Figura.). In relazione alle caratteristiche dell apparecchiatura e alle modalità di esecuzione, le prove Proctor si distinguono in standard e modificata (Tabella.). L energia di costipamento della prova modificata, che viene eseguita soprattutto per terreni di sottofondo e materiali per pavimentazioni stradali e aeroportuali, è superiore a quella della standard. La prova Proctor viene eseguita disponendo a strati una certa quantità di terreno, preventivamente essiccata o bagnata, nel cilindro e compattandola con il pestello per un numero prefissato di colpi (5), assestati in una posizione prestabilita. Guida Pestello Collare rimovibile Cilindro metallico Figura. Attrezzatura utilizzata per le prove Proctor J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

23 Capitolo COSTIPAMENTO L operazione viene ripetuta per un certo numero di strati (3 per la standard e 5 per la modificata) fino a riempire il cilindro poco al di sopra dell attaccatura col collare (Figura.). Successivamente viene rimosso il collare, livellato il terreno in sommità, pesato il tutto e determinato il contenuto d acqua, prelevando una porzione di terreno dal cilindro. Mediante il peso, P, e il volume, V, (noti) si ricava il peso di volume, γ, e, avendo determinato w, si può ricavare il peso di volume del secco, γ d, ovvero la densità secca (ρ d = γ d /g, essendo g l accelerazione di gravità) Si ha infatti: P PS + PW PS PW PS γ = = = + = γ d + w γ d = γ d ( + w) (Eq..) V V V V PS Quindi: γ γ d = (Eq..) + w Tabella. Caratteristiche dell apparecchiatura e modalità di esecuzione della prova Proctor standard e modificata Tipo di prova Standard AASHO Modificata AASHO Dimensioni del cilindro Ø H V [cm] [cm] [cm 3 ] Dimensioni del pestello Ø Peso [mm] [kg] Numero degli strati Numero colpi per strato Altezza caduta pestello [cm] Energia di costipamento [kg cm/cm 3 ] Teoria del costipamento Analizzando i risultati ottenuti in laboratorio mediante l esecuzione di prove Proctor è possibile descrivere il comportamento del terreno sottoposto a costipamento. 3 Supponiamo di eseguire la prova γ d [kn/m ] Proctor (quindi di impiegare la stessa tecnica di compattazione e la stessa quantità di energia) su alcuni campioni dello stesso terreno (5 o 6) aventi diversi contenuti d acqua. Se, per ciascun campione, riportiamo in un gra- Maximum fico (Figura.) il valore del peso di volume del secco (o, indifferentemente, della densità secca) ottenuto al termine della prova in funzione del contenuto d acqua corrispondente, e uniamo i vari punti, otteniamo una curva, detta curva di costipamento Optimum che presenta un tipico andamento a w [%] campana. Il valore del contenuto Figura. Curva di costipamento d acqua corrispondente al valore massimo del peso di volume del secco Saturazione 00% 90% J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007) 3

24 Capitolo COSTIPAMENTO (detto maximum ) è indicato come contenuto d acqua optimum o optimum Proctor. Va sottolineato che il valore massimo del peso di volume del secco è relativo ad un valore di energia prefissato e ad una particolare tecnica di compattazione. Quindi, per un dato terreno, l optimum, il maximum e l andamento della curva dipendono dall energia spesa e dal metodo di costipamento. I valori tipici del maximum variano intorno a 6 0 kn/m 3, mentre il massimo range di variazione è compreso tra 3 e 3 kn/m 3 ; valori tipici dell optimum variano intorno al 0% 0%, mentre il massimo range di variazione per l optimum è compreso tra il 5% e il 40%. Per valori bassi del contenuto d acqua, la resistenza del terreno è alta così che, a parità di energia di compattazione impiegata, risulterà più difficile ridurre i vuoti e quindi raggiungere elevati valori della densità secca; incrementando il contenuto d acqua, la resistenza del terreno tende a diminuire, facilitando la rimozione dei vuoti, ed aumenta così il valore di densità secca raggiungibile fino al maximum ottenuto in corrispondenza del valore di optimum del contenuto d acqua; per valori superiori all optimum, avendo raggiunto un elevato grado di saturazione, le deformazioni avvengono pressoché a volume costante (l acqua non riesce a filtrare verso l esterno) e non consentono ulteriori riduzioni dell indice dei vuoti, per cui si riduce anche il valore della densità secca ottenuto. Se per uno stesso tipo di terreno si utilizza la stessa tecnica di costipamento (p. es. quella della prova Proctor) variando l energia (il numero di colpi), si ottiene una famiglia di curve con andamento simile. Al crescere dell energia aumenta la densità secca massima e diminuisce il contenuto d acqua optimum. Con contenuti d acqua superiori all optimum le diverse curve tendono a confondersi in un unica linea (Figura.3). Questo significa che per contenuti d acqua inferiori all optimum un aumento dell energia di costipamento risulta più efficace in quanto riesce ad incrementare la densità secca (cosa che può non accadere per contenuti d acqua superiori all optimum). La linea in cui si confondono i tratti terminali di tutte le curve risulta approssimativamente parallela alla curva di saturazione, che può essere determinata calcolando il valore del peso di volume del secco corrispondente al contenuto d acqua in condizioni di saturazione. Tale valore dipende solo dal peso di volume del solido γ s. Infatti: PS PS / VS γ S γ S γ d = = = = V V / V VS V S V + + e (Eq..3) V V S S 3 γ d [kn/m ] J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007) 4 Energia crescente Saturazione 00% 90% Linea dei punti di optimum w [%] Figura.3 Andamento della curva di costipamento al variare dell energia di costipamento

25 3 Capitolo COSTIPAMENTO se il terreno è saturo: VV VW PS PW e = = = w γ S VS VS PS PW γ W (Eq..4) quindi: γ S γ d = γ S + w γ (Eq..5) W per S r < 00% invece: e V V P P V W S W = = = w γ S (Eq..6) VS SrVS PS PW Sr γ W quindi: γ S S r γ d = γ S S + w r γ densità secca, [Mg/m ] ρd W 3 4. Sabbia ben assortita con ghiaia e limo. Miscela di ghiaia, sabbia, limo e argilla 3. Argilla sabbiosa 4. Sabbia fine uniforme 5. Argilla molto plastica 5 linea di saturazione contenuto d acqua, w [%] Figura.4 Curva ottenute per differenti tipi di terreno a parità di energia di costipamento J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007) 5 (Eq..7) Anche la linea congiungente i vari punti corrispondenti all optimum per un dato terreno risulta all incirca parallela alla curva di saturazione; cioè per un dato terreno il massimo effetto di costipamento si ha per un certo grado di saturazione. A parità di energia di costipamento, le curve che si ottengono per differenti tipi di terreno sono molto diverse tra loro. In particolare si può osservare che (Figura.4): - la variazione del contenuto d acqua influenza la densità secca più per certi tipi di terreno e meno per altri; - terreni in cui prevale la frazione fine raggiungono valori di densità secca più bassi; - le sabbie ben assortite presentano valori della densità secca più elevati di quelle più uniformi e gli effetti del costipamento sono molto più marcati; - per i terreni argillosi il maximum decresce all aumentare della plasticità.

26 Capitolo COSTIPAMENTO.3 Costipamento in sito Per il costipamento dei terreni in sito possono essere impiegate attrezzature diverse in relazione alle caratteristiche e al tipo di terreno e all energia richiesta per il costipamento. Le tecniche impiegate possono trasmettere al terreno azioni meccaniche di tipo statico, di compressione e di taglio, o di tipo dinamico, di urto o vibrazione. In base al prevalere di uno dei due tipi di azioni le attrezzature per il costipamento si suddividono in due classi costituite rispettivamente dai mezzi prevalentemente statici e prevalentemente dinamici. In particolare, per il costipamento dei terreni a grana fine risultano efficaci solo le attrezzature della prima classe, mentre per il costipamento dei terreni granulari sono efficaci soprattutto quelle del secondo tipo. Nei mezzi prevalentemente statici sono compresi i rulli lisci, i rulli Figura.5 Rullo compressore usato per terreni a grana fine o carrelli gommati e i rulli a punte (Figura.5). I rulli lisci statici compattano per compressione e la loro azione è limitata alla parte più superficiale di terreno; hanno un peso generalmente compreso tra le e le 0t e trasmettono pressioni dell ordine di kg/cm su una striscia di un centimetro di generatrice. I rulli gommati sono costituiti da un cassone trasportato da un certo numero di ruote gommate; compattano sia con azione di compressione che di taglio per mezzo dei pneumatici. Rispetto ai rulli lisci agiscono più in profondità. I rulli a punte sono dotate di protrusioni di varia forma (es. rulli a piè di pecora ) o di segmenti mobili che esercitano nel terreno un azione di punzonamento e di taglio. La loro azione è limitata alla parte più superficiale di terreno. Nella classe dei mezzi prevalentemente dinamici sono compresi i rulli lisci vibranti (Figura.6), le piastre vibranti e le piastre battenti. I rulli vibranti sono analoghi a quelli lisci, ma sono dotati di pesi eccentrici che generano forze verticali di tipo sinusoidale che Figura.6 Rullo compressore (vibratore) usato per terreni granulari 6 mettono in vibrazione il terreno; in genere sono J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

27 Capitolo COSTIPAMENTO poco efficaci in superficie, per cui nella fase finale vengono utilizzati senza vibrazione per costipare lo strato più superficiale di terreno. Le piastre vibranti sono formate da una piastra di acciaio sulla quale è posto un motore e una serie di masse eccentriche che generano un moto sinusoidale verticale in grado di sollevare, spostare e far ricadere la piastra. Le piastre battenti consistono in una massa che viene ritmicamente sollevata e lasciata ricadere sul terreno; vengono usate soprattutto per costipare aree di dimensioni ridotte quando non possono essere utilizzati altre tecniche di costipamento. In sito il costipamento viene eseguito disponendo il terreno a strati successivi di qualche decina di centimetri; la scelta dello spessore e della quantità di energia (numero di passaggi con i rulli o di battute con le piastre) dipende dalle caratteristiche del materiale da compattare. Per i materiali a grana fine (A-4, A-5, A-6, A-7 della classificazione HRB) e per i materiali a grana grossa con percentuale elevata di fine (A-) tale scelta è molto legata al valore del contenuto d acqua; per i materiali a grana grossa (A-, A-3) la compattazione è generalmente poco condizionata dal contenuto d acqua. In genere i risultati ottenuti dal costipamento in sito vengono controllati e confrontati con quelli delle prove Proctor (standard o modificata) eseguite in laboratorio. La densità secca (o il peso di volume del secco) ottenuta dal costipamento in sito deve essere generalmente una percentuale prefissata (almeno l 85% 90%) di quella ottenuta in laboratorio. Per determinare la densità secca (o il peso di volume del secco) in sito, il procedimento è articolato nelle seguenti fasi: a). viene scavata una porzione di terreno e determinato il peso P e il contenuto d acqua w; sabbia di caratteristiche note. viene misurato il volume di terreno scavato, V; piastra con foro valvola 3. viene determinato il peso di cono volume totale (γ = P/V). Il peso di volume del secco può essere ricavato mediante la relazione (.) e confrontato con il valore di γ dmax ottenuto b) con la prova Proctor. Il punto è quello che presenta le maggiori difficoltà. A questo scopo i metodi più usati (Figura.7) sono: - il metodo della sabbia tarata (figura.7a), in cui lo scavo viene riempito con una sabbia di caratteristiche note, il cui volume viene determinato per lettura sul recipiente che contiene la sabbia e per pesata; 7 Foglio di polietilene per terreni granulari Figura.7 Metodi per la determinazione della densità in sito J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

28 Capitolo COSTIPAMENTO - il metodo dell olio o dell acqua (figura.7b) in cui il foro viene accuratamente rivestito con una membrana di polietilene e successivamente riempito con acqua o olio. In alternativa a questi metodi può essere utilizzato anche quello del nucleodensimetro, che consente una misura della densità e del contenuto d acqua con procedimento non distruttivo ed è basato sulla misura dell assorbimento di radiazioni nucleari. J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007) 8

29 Capitolo 4 IDRAULICA DEI TERRENI CAPITOLO 4 IDRAULICA DEI TERRENI Nell affrontare la maggior parte dei problemi dell Ingegneria Geotecnica non si può prescindere dalla presenza dell acqua nel terreno. L acqua che viene direttamente a contatto con la superficie del terreno, o raccolta da fiumi e laghi, tende ad infiltrarsi nel sottosuolo per effetto della gravità e, se si eccettua una percentuale trascurabile che si accumula all interno di cavità sotterranee, la maggior parte di essa va a riempire, parzialmente o completamente, i vuoti presenti nel terreno e le fessure degli ammassi rocciosi. In particolare, nel caso di depositi di terreno, si possono distinguere, al variare della profondità, zone a differente grado di saturazione e in cui l acqua presente nei vuoti si trova in condizioni diverse. Partendo dalla superficie del piano campagna e procedendo verso il basso, si possono generalmente individuare (Figura 4.). un primo strato superficiale di suolo vegetale, detto di evapotraspirazione, dove l acqua di infiltrazione viene parzialmente ritenuta, ma in prevalenza assorbita dalle radici della vegetazione; un secondo strato, detto di ritenzione, in cui l acqua presente è costituita principalmente da una parte significativa dell acqua di infiltrazione che rimane aderente ai grani ed è praticamente immobile ed è detta acqua di ritenzione, che comprende l acqua adsorbita e l acqua pellicolare (Figura.7). un terzo strato, denominato strato della frangia capillare, caratterizzato prevalentemente dalla presenza di acqua capillare, quella che, per effetto delle tensioni superficiali, rimane sospesa all interno dei vuoti, vincendo la forza di gravità. Al di sotto di queste tre zone, che insieme costituiscono la cosiddetta zona vadosa, si trova la zona di falda (o acquifero). Zona di evapotraspirazione Zona vadosa Zona di ritenzione Frangia capillare Acqua sospesa Zona di falda Falda Acqua di falda Figura 4. Zone a differente grado di saturazione in un deposito di terreno 43 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

30 Capitolo 4 IDRAULICA DEI TERRENI Il grado di saturazione delle diverse zone dipende principalmente dalle caratteristiche granulometriche e fisiche del deposito, da fattori climatici e ambientali. Fatta eccezione per alcune categorie molto particolari di materiali, i vuoti presenti nel terreno sono comunicanti tra loro e costituiscono un reticolo continuo, cosicché, generalmente, la zona di falda è completamente satura; la zona vadosa è satura in prossimità della falda per spessori variabili da pochi centimetri per le ghiaie a decine di metri per le argille e generalmente ha un grado di saturazione decrescente salendo verso il piano campagna. La pressione dell acqua nella zona vadosa è inferiore a quella atmosferica (per cui la pressione interstiziale risulta negativa avendo assunto convenzionalmente, come ricordato nel capitolo 3, la pressione atmosferica uguale a zero). Inoltre, in relazione alla loro permeabilità i diversi tipi di terreno possono consentire più o meno agevolmente il flusso dell acqua, perciò la presenza di strati a differente permeabilità può determinare nel sottosuolo la presenza di diversi tipi di falda. In particolare, si possono individuare (Figura 4.) le tre condizioni di: falda freatica falda sospesa falda artesiana Infiltrazione Livello piezometrico Falda sospesa Falda freatica Terreno con permeabilità molto bassa Acquifero confinato (falda artesiana) Figura 4. Differenti tipi di falda in un deposito di terreno J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006) 44 Roccia La falda freatica è delimitata inferiormente da uno strato che non permette il flusso dell acqua (o comunque in quantità e velocità trascurabili) ed è delimitata superiormente da una superficie, detta superficie freatica, in corrispondenza della quale l acqua si trova a pressione atmosferica, come si trovasse in un serbatoio aperto. Immaginando di inserire un tubo verticale aperto alle estremità (piezometro) all interno di una falda freatica, ovvero di perforare un pozzo, si osserva che il livello statico raggiunto dall acqua nel tubo (detto livello piezometrico) è uguale a quello della superficie freatica.

31 Capitolo 4 IDRAULICA DEI TERRENI Analoghe considerazioni possono essere fatte riguardo alla falda sospesa, che rispetto alla precedente, risulta delimitata inferiormente da uno strato di estensione molto più limitata. Si ha una falda artesiana quando l acqua di una falda freatica viene incanalata tra due strati impermeabili. In questo caso l acqua racchiusa nello strato permeabile (che ne permette agevolmente il flusso) si comporta come se si trovasse entro una tubazione in pressione, ossia ha una pressione maggiore di quella atmosferica. Immaginando di inserire un piezometro fino a raggiungere la falda artesiana, si osserva un livello piezometrico maggiore di quello della superficie che delimita superiormente la falda. In generale, l acqua presente nel terreno può trovarsi in condizioni di quiete o di moto, sia allo stato naturale sia in seguito a perturbazioni del suo stato di equilibrio. Nel caso in cui si trovi in condizioni di moto, il flusso può essere stazionario (o permanente) oppure non stazionario (o vario), a seconda che i parametri del moto risultino costanti o variabili nel tempo. Nel moto stazionario la quantità di acqua che entra in un elemento di terreno è pari alla quantità di acqua che esce dallo stesso elemento (filtrazione in regime permanente). Nel moto vario la quantità di acqua entrante in un elemento di terreno è diversa da quella u- scente (filtrazione in regime vario). Se il terreno è saturo, la differenza tra le due quantità può produrre (fenomeno della consolidazione). Il vettore che caratterizza il moto dell acqua può essere scomposto in una o più direzioni nello spazio, definendo condizioni di flusso mono-, bi-, o tri-dimensionali; generalmente, nella maggior parte dei casi pratici, si fa riferimento ai primi due tipi. 4. Carico totale e piezometrico: il gradiente idraulico I moti di filtrazione di un fluido avvengono tra due punti a diversa energia (da quello a energia maggiore a quello a energia minore). In ciascun punto, l energia è data dalla somma dell energia cinetica (legata alla velocità del fluido) e dell energia potenziale (legata alla posizione del punto nel campo gravitazionale e alla pressione del fluido). Nello studio dei moti di filtrazione è conveniente esprimere l energia, potenziale e cinetica, in termini di carico, o altezza, che corrisponde all energia per unità di peso del liquido. In particolare, si definiscono: altezza geometrica, z, la distanza verticale del punto considerato da un piano orizzontale di riferimento arbitrario (z = 0) altezza di pressione, u/γ w, l altezza di risalita dell acqua rispetto al punto considerato, per effetto della sua pressione, u altezza di velocità, v /g, l energia dovuta alla velocità, v, delle particelle del fluido (essendo g l accelerazione di gravità). La somma dei tre termini: u v H = z + + γ w g è denominata carico effettivo (o totale) o altezza totale, mentre il binomio: u h = z + γ w è detto carico piezometrico. (Eq. 4.) (Eq. 4.) J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006) 45

32 Capitolo 4 IDRAULICA DEI TERRENI u γ z w L Piezometri A piano di riferimento Figura 4.3 Perdita di carico in condizioni di flusso monodimensionale in un campione di terreno h carico totale per fluido ideale u γ w z In virtù del teorema di Bernoulli, si ha che per un fluido perfetto, incomprimibile, in moto permanente, soggetto solo all azione di gravità, il carico totale è costante lungo una data traiettoria (Figura 4.3). Se, con riferimento allo schema di Figura 4.3 viene inserito un campione di terreno, dotato di sufficiente permeabilità, all interno del tubo di flusso nella zona controllata dai due piezometri, si osserva che in essi l acqua risale a quote diverse; ciò significa che tra i due punti di osservazione si è avuta una perdita di carico nel termine h = z + u/γ w. Potendo ritenere trascurabili le perdite di carico dovute al flusso dell acqua in assenza di terreno e osservando che per il principio di conservazione della massa la velocità media nelle varie sezioni della condotta deve essere costante, la differenza di altezza d acqua nei due piezometri, h, è perciò una misura della perdita di energia totale dovuta al flusso dell acqua nel terreno, ossia dell energia spesa dall acqua per vincere la resistenza al moto opposta dal terreno compreso tra i due punti considerati. Inoltre, poiché nei terreni la velocità di flusso, e quindi l altezza di velocità, è generalmente trascurabile, il carico piezometrico può essere ritenuto rappresentativo dell energia totale nel punto considerato. Con riferimento ai simboli di Figura 4.3, si definisce gradiente idraulico il rapporto: h i = L che rappresenta la perdita di carico per unità di lunghezza del percorso. (Eq. 4.3) 4. Legge di Darcy Poiché il moto di filtrazione fra due generici punti è governato solo dalla differenza di carico, può essere utile identificare un legame tra le caratteristiche del moto (in particolare la velocità), le proprietà del terreno e la perdita di carico. Darcy, studiando il flusso monodimensionale dell acqua attraverso strati orizzontali di sabbia (in condizioni di moto laminare), osservò che la portata per unità di superficie è direttamente proporzionale alla perdita di carico e inversamente proporzionale alla lunghezza del percorso considerato. In sostanza, con riferimento alla Figura 4.3, tra la portata per unità di superficie, Q/A, che può essere definita velocità apparente (nominale) di filtrazione, v, la perdita di carico, h, e la lunghezza L, vale la relazione: Q h = v = k = k i A L nota come Legge di Darcy, nella quale k è detto coefficiente di permeabilità. (Eq. 4.4) J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006) 46

33 Capitolo 4 IDRAULICA DEI TERRENI In termini vettoriali, in condizioni di flusso bi-, e tri-dimensionali: r r r v = k h = k div h h = carico idraulico (Eq. 4.5) Considerando che la permeabilità è in generale una caratteristica anisotropa per i terreni naturali, la (4.5) diventa: h vx = k x = k x ix x h v y = k y = k y i y (Eq. 4.6) y v z = k z h = k z z i z Nelle relazioni precedenti, v è una velocità apparente, perché la velocità reale, v r, dell acqua nei pori è maggiore, in quanto, come evidenzia la Figura 4.4a, l area della sezione attraversata effettivamente dall acqua (area dei vuoti, A v ) è minore dell area della sezione A; quindi se Q è la portata misurata, essa può essere espressa come v A v Q = v A = v r A v da cui, osservando che = = n, segue: v A v = n v r. r (Eq. 4.7) È opportuno inoltre osservare che anche il percorso di filtrazione finora considerato, pari alla lunghezza L del campione (Figura 4.3), è in realtà apparente, essendo quello reale sicuramente maggiore, come mostrato in Figura 4.4b. a) b) Porzione di tubo di flusso idealizzato Figura 4.4 Velocità (a) e percorso di filtrazione (b) reali ed apparenti J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006) 47

34 Capitolo 4 IDRAULICA DEI TERRENI 4.3 Coefficiente di permeabilità Il coefficiente di permeabilità ha le dimensioni di una velocità; esso è legato alla resistenza viscosa e frizionale alla filtrazione di un fluido in un mezzo poroso e dipende dalle proprietà del fluido (densità e viscosità) e dalle caratteristiche del mezzo poroso (permeabilità intrinseca). Limitandoci a considerare come fluido intestiziale l acqua, e poiché la densità e la viscosità di un fluido sono legate principalmente alla temperatura, che nel terreno, salvo gli strati più superficiali o alcune situazioni particolari, varia abbastanza poco, si assume il coefficiente di permeabilità dipendente solo dalle caratteristiche del terreno. Il campo di variazione del coefficiente di permeabilità dei terreni è enormemente grande, come mostra la Tabella 4.. TIPO DI TERRENO Tabella 4.. Valori tipici del coefficiente di permeabilità dei terreni J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006) 48 k (m/s) Ghiaia pulita Sabbia pulita, sabbia e ghiaia Sabbia molto fine Limo e sabbia argillosa Limo Argilla omogenea sotto falda < 0-9 Argilla sovraconsolidata fessurata Roccia non fessurata Per i terreni a grana grossa, le cui particelle sono approssimativamente di forma subsferica, il coefficiente di permeabilità è influenzato prevalentemente dalla granulometria e dall indice dei vuoti, che determinano la dimensione dei canali di flusso (diminuisce all aumentare del contenuto di fine e al diminuire dell indice dei vuoti). Per i terreni a grana fine sono invece fondamentali la composizione mineralogica e la struttura, perché questi parametri determinano il tipo di interazione elettrochimica che si stabilisce tra particelle di terreno e molecole d acqua (ad esempio la permeabilità della caolinite è circa 00 volte maggiore di quella della montmorillonite). Anche il grado di saturazione influenza sensibilmente la permeabilità; in particolare, sebbene non si possa stabilire una relazione univoca tra le due grandezze, si può osservare che la permeabilità cresce al crescere del grado di saturazione (Figura 4.5). Coefficiente di permeabilità [mm/s] Grado di saturazione [%] Figura 4.5 Variazione del coefficiente di permeabilità col grado di saturazione per una sabbia A grande scala la permeabilità di un deposito dipende anche dalle caratteristiche macrostrutturali del terreno (discontinuità, fessurazioni), come evidenziato in Tabella 4. dal confronto tra i valori tipici di k di argille omogenee intatte e argille fessurate.

35 Capitolo 4 IDRAULICA DEI TERRENI 4.3. Permeabilità di depositi stratificati Consideriamo un deposito di terreno costituito da n strati orizzontali saturi (Figura 4.6) e indichiamo con: k h, k h,......k hn k v, k v,......k vn H, H,..... H n H = ΣH i k H k V i coefficienti di permeabilità in direzione orizzontale dei vari strati i coefficienti di permeabilità in direzione verticale dei vari strati gli spessori corrispondenti lo spessore totale del deposito il coefficiente di permeabilità medio in direzione orizzontale il coefficiente di permeabilità medio in direzione verticale a) q H k h, H q k h, H q k n, H n k v k, v H, H k v k, v H, H q q n Nel caso in cui il deposito sia interessato da un moto di filtrazione orizzontale (Figura 4.6a), cioè parallelo all andamento degli strati (filtrazione in parallelo), si ha che il gradiente idraulico, i, è lo stesso per tutti gli strati. Se si assume valida la legge di Darcy (4.4), la velocità di filtrazione per ogni strato, v i, è proporzionale al rispettivo coefficiente di permeabilità, ossia: H v = k h i, v = k h i, v n = k hn i b) k vn k, v H, n H n q mentre la portata di filtrazione per ogni strato è pari al prodotto della velocità di filtrazione per il corrispondente spessore: Figura 4.6: Filtrazione parallela (a) e perpendicolare (b) ai piani di stratificazione q = v H, q = v H, q n = v n H n La portata di filtrazione totale, Q, data dalla somma delle portate dei singoli strati, è data anche dal prodotto della velocità media, v, per lo spessore totale del deposito: Q = Σq i = v H (Eq. 4.8) dove, in accordo con la legge di Darcy, la velocità media di filtrazione, v, è il prodotto del coefficiente di permeabilità medio, k H, per il gradiente idraulico, i, ovvero v = k H i. J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006) 49

36 Capitolo 4 IDRAULICA DEI TERRENI Sostituendo questa espressione nell equazione (4.8) ed esplicitando i vari termini si ottiene infine l espressione del coefficiente di permeabilità medio in direzione orizzontale: v q i vi H i k hi H i k H = = = = (Eq. 4.9) i H i H i H Se il moto di filtrazione avviene in direzione verticale (Figura 4.6b), ovvero ortogonale all andamento degli strati si parla di filtrazione in serie. In questo caso, per il principio di conservazione della massa, se il fluido è incompressibile, la portata che attraversa ciascuno strato è la stessa, quindi, essendo uguale anche l area attraversata, è la stessa la velocità di filtrazione, v = k v i = k v i =..... = k vn i n In accordo con la legge di Darcy (4.4), la velocità di filtrazione v può essere espressa come il prodotto del coefficiente di permeabilità medio in direzione verticale, k V, per il gradiente idraulico medio, i m, dato dalla perdita di carico totale (h) diviso il percorso di filtrazione (H): v = k V i m = k V (h / H) (Eq. 4.0) Ma la perdita di carico totale, h, è la somma delle perdite di carico in ciascuno strato (pari al prodotto del gradiente idraulico per il relativo spessore) ovvero, esplicitando il gradiente idraulico di ciascuno strato: v H i h = h i = H i ii = H i = v (Eq. 4.) k k v i vi Sostituendo questa espressione nell equazione (4.0) si ottiene infine l espressione del coefficiente di permeabilità medio in direzione verticale: k V = H H k i vi (Eq. 4.) In presenza di terreni stratificati, il valore medio del coefficiente di permeabilità è fortemente condizionato dalla direzione del moto di filtrazione. Per filtrazione verticale (o più esattamente ortogonale alla giacitura degli strati) il valore medio è molto prossimo al valore minore, ovvero al coefficiente di permeabilità degli strati a grana fine, mentre per filtrazione orizzontale (o più esattamente parallela alla giacitura degli strati) il valore medio è molto prossimo al valore maggiore, ovvero al coefficiente di permeabilità degli strati a grana grossa. z y dy dx dz Figura 4.7: Flusso attraverso un elemento di terreno x 4.4 Equazione generale del flusso in un mezzo poroso Si consideri un elemento infinitesimo di terreno di dimensioni dx dy dz (Figura 4.7), attraversato da un flusso d acqua. Assumiamo per ipotesi che il fluido ed i grani di terreno siano incomprimibili, e che pertanto i rispettivi pesi specifici siano costanti nel tempo (γ w =cost, γ s =cost). Indicando con v x la componente nella direzione 50 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

37 Capitolo 4 IDRAULICA DEI TERRENI J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006) 5 dell asse x del vettore v r, velocità apparente di filtrazione, la portata in peso d acqua entrante nell elemento in direzione x, q ex, e quella uscente, q ux, nella stessa direzione saranno rispettivamente: dz dy dx x v v q dz dy v q x x w ux x w ex + = γ = γ (Eq. 4.3) Analoghe espressioni valgono per le direzioni y e z. Indicando con P w il peso dell acqua contenuta nell elemento di terreno, per la condizione di continuità la differenza tra la portata in peso d acqua entrante e quella uscente dall elemento di terreno sarà pari alla variazione del peso di acqua nell unità di tempo. In formula: ( ) ( ) t P q q q q q q w uz uy ux ez ey ex = (Eq. 4.4) E combinando le l Eq. 4.3 e 4.4: t P dz dy dx z v y v x v w z y x w = + + γ (Eq. 4.5) Introducendo la legge di Darcy (Eq. 4.6) nell Eq. 4.5 si ottiene: t P dz dy dx z h z k z h k y h y k y h k x h x k x h k w z z y y x x w = γ (Eq. 4.6) Se la permeabilità è costante lungo ciascuna delle tre direzioni, ovvero se è: 0 z k y k x k z y x = = = (Eq. 4.7) L Eq. 4.6 si semplifica nel modo seguente: t P dz dy dx z h k y h k x h k w z y x w = + + γ (Eq. 4.8) Per definizione di: contenuto in acqua, w = P w /P s, indice dei vuoti, e = V v /V s, e grado di saturazione, S r = V w /V v, si può scrivere: r s w r v w w w s w S e V S V V P w P = γ = γ = γ = (Eq. 4.9)

38 Capitolo 4 IDRAULICA DEI TERRENI J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006) 5 La derivata dell Eq. 4.9 rispetto al tempo è : + γ = t e S t S e V t P r r s w w (Eq. 4.0) poiché il volume totale dell elemento di terreno è V = dx dy dz, per definizione di indice dei vuoti, e = (V-V s )/V s, e quindi V s = V/(+e) = dx dy dz /(+e), si può anche scrivere: dz dy dx t e S t S e e) ( t P r r w w + + γ = (Eq. 4.) Sostituendo l Eq. 4. nell Eq. 4.8, si ottiene l equazione generale di flusso: + + = + + t e S t S e e z h k y h k x h k r r z y x (Eq. 4.) la quale si semplifica nei vari problemi di flusso secondo il seguente schema: Filtrazione permanente e = costante S r = costante Consolidazione o rigonfiamento e = variabile S r = costante= Drenaggio o imbibizione e = costante S r = variabile Deformabilità per non saturazione e = variabile S r = variabile Ulteriori semplificazioni si hanno nel caso di isotropia completa (k x = k y = k z = k), e nel caso di flusso mono-direzionale o bi-direzionale Filtrazione permanente in un mezzo omogeneo, isotropo e incompressibile Nel caso di filtrazione permanente (e = cost, S r = cost.) in un mezzo omogeneo, idraulicamente isotropo (k x = k y = k z = k) e incompressibile (γ w =cost, γ s =cost), l equazione generale del flusso si semplifica nell equazione di Laplace: 0 z h y h x h = + + (Eq. 4.3) Nel caso bidimensionale di moto piano lequazione di Laplace diviene: 0 z h x h = + (Eq. 4.4) V s e γ w sono indipendenti dal tempo.

39 Capitolo 4 IDRAULICA DEI TERRENI La soluzione analitica dell equazione di Laplace è sempre molto difficile. Attualmente si ricorre a soluzioni numeriche con i metodi delle differenze finite o degli elementi finiti, o alle più tradizionali e storiche soluzioni grafiche. Infatti, l equazione di Laplace bidimensionale può essere rappresentata graficamente da due complessi di curve (le linee di flusso e le linee equipotenziali) che si tagliano ad angolo retto (rete di filtrazione): Le linee di flusso sono i percorsi dei filetti liquidi nella sezione trasversale. Esistono infinite linee di flusso ma per disegnare la rete di filtrazione se ne sceglie un numero limitato. Lo spazio tra due linee di flusso successive viene chiamato canale di flusso. In ogni canale di flusso scorre una portata costante d acqua q. Le linee equipotenziali sono le linee di eguale energia potenziale, ovvero di eguale carico idraulico. Anche di linee equipotenziali ne esistono infinite, ma per disegnare la rete di filtrazione se ne sceglie un numero limitato. Quando l acqua filtra attraverso i pori del terreno dissipa energia per attrito, e la distanza fra due linee equipotenziali successive indica in quanto spazio si è dissipata una quantità costante h del carico idraulico. Le particelle dacqua scorrono lungo Linee di flusso le linee di flusso in direzione sempre perpendicolare alle linee equipotenziali. Pertanto le linee di flusso e le linee equipotenziali si intersecano ad angolo retto. Lo spazio (l area) delimitata da due linee di flusso successive e da due linee equipotenziali suc- Campo Linee equipotenziali cessive è detta campo. Il campo è la maglia della rete di filtrazione (figura 4.8). È conveniente costruire la rete di filtrazione (ovvero scegliere quali linee di flusso e quali linee equipotenziali Figura 4.8. Definizione della rete di filtrazione rappresentare) in modo tale che: i canali di flusso abbiano eguale portata q, la perdita di carico fra due linee equipotenziali successive h sia costante, i campi siano approssimativamente quadrati, ovvero che abbiano eguali dimensioni medie (graficamente significa che è possibile disegnare un cerchio interno al campo tangente a tutti e quattro i lati curvilinei). Noto il carico idraulico totale dissipato, h, e scelto il numero N dei dislivelli di carico i- h draulico tra due linee equipotenziali successive h =, dalla condizione che i campi N siano approssimativamente quadrati, a b, essendo a la distanza media fra le linee di flusso e b la distanza media fra le linee equipotenziali del campo, si ottiene il numero N di canali di flusso. Il gradiente idraulico in un campo è: h i = (Eq. 4.5) b h q h- h b a h Canale di flusso In passato si ricorreva spesso a modelli idraulici e a modelli elettrici basati sull analogia fra le leggi dell idraulica dei terreni e le leggi dell elettrotecnica. 53 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

40 Capitolo 4 IDRAULICA DEI TERRENI la velocità di filtrazione è: h k h v = k i = k = (Eq. 4.6) b N b la portata di filtrazione, per ogni canale di flusso, è: k h a k h q = v a = (Eq. 4.7) N b N e la portata totale è: N Q = N q = k h (Eq. 4.8) N Le condizioni al contorno, che permettono di tracciare alcune linee equipotenziali e di flusso, sono date da: le superfici impermeabili sono linee di flusso (ad esempio la superficie di uno strato di argilla, o la superficie verticale di un diaframma impermeabile, etc..), le superfici a contatto con l acqua libera sono linee equipotenziali, poiché in tutti i loro punti vale la relazione: h = z + u/γ w = cost Esempio di rete idrodinamica (caso di moto di filtrazione confinato) A titolo di esempio si consideri il problema rappresentato in Figura 4.9a, dove un diaframma è stato infisso, per una lunghezza L = 6.0 m, in uno strato di terreno, di spessore H = 8.6 m e coefficiente di permeabilità k = m/s, delimitato inferiormente da uno strato di terreno impermeabile. L altezza di falda, rispetto al piano di campagna, è, a monte del diaframma, H w, di 4.5 m, mentre a valle, H w, è stata ridotta, mediante pompaggio, a 0.5 m. Il primo passo per la costruzione della rete idrodinamica consiste nel definire le condizioni al contorno: le superfici AB e CD che delimitano il piano di campagna, sono, in quanto a contatto con l acqua libera, equipotenziali; le superfici BE e CE che rappresentano rispettivamente il lato a monte ed il lato a valle del diaframma e la superficie FG, che delimita lo strato di terreno impermeabile, sono linee di flusso, in quanto impermeabili. Poiché le condizioni al contorno della regione interessata dal flusso sono note a priori, si parla di moto confinato. In genere si assume come quota di riferimento per il calcolo del carico piezometrico il livello di falda a valle, da cui risulta che il carico piezometrico è h = 0 in corrispondenza della superficie equipotenziale CD (la quota geometrica è -0.5 m e l altezza di pressione è 0.5 m), ed è h = 4 m per la superficie AB (la quota geometrica è -0.5 m e l altezza di pressione è 4.5 m). Le linee di flusso saranno tutte comprese tra la superficie FG e la superficie BEC e possono essere tracciate seguendo la procedura suggerita da Casagrande, che consiste nei seguenti passi: ) si traccia una prima linea di flusso di tentativo (HJ) da un punto della superficie equipotenziale a monte AB, vicino al diaframma, ad un punto della superficie equipoten- J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006) 54

41 Capitolo 4 IDRAULICA DEI TERRENI ziale a valle CD (Figura 4.9b); tale linea dovrà essere perpendicolare ad entrambe le superfici equipotenziali e passare attorno al punto E; Diaframma ) si disegnano le linee e- quipotenziali di tentativo tra le linee di flusso BEC e HJ, in moda da formare dei campi approssimativamente quadrati (Figura 4.8); qualora non si riesca ad ottenere un numero intero di quadrangoli tra BH e CJ la linea di flusso HJ può essere leggermente spostata; 3) viene traccia la seconda linea di flusso di tentativo KL a partire da un punto della superficie equipotenziale AB più lontano dal diaframma rispetto al punto H, e prolungate le linee equipotenziali precedentemente disegnate, sempre in modo da individuare dei quadrangoli curvilinei; 4) si ripete la procedura descritta al punto 3) fino a raggiungere la linea di flusso di confine FG; 5) al primo tentativo generalmente l ultima linea di flusso tracciata interseca la superficie impermeabile FG e per eliminare tale incoerenza si itera la procedura descritta ai punti precedenti fino a che l ultima linea di flusso tracciata ricada sopra la superficie FG (riducendo la dimensione dei quadrangoli), come mostrato in Figura 4.9c. A F H = 4.5 m H = 0.5 m w w A B C D h = 4.0 m h = 0. 0 m L = 6.0 m H = 8.6 m F Tubo piezometrico H = 4.5 m w K H B Le aree comprese tra l ultima linea di flusso tracciata e la superficie impermeabile FG non sono quadrate (canale di flusso non completo) ma il rapporto tra la lunghezza e la larghezza deve essere all incirca lo stesso per tutte le aree. J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006) u p γ w 0 55 P 0 E (a) E C (b) h p = 3.3 m a J L H = 0.5 m W 4 G n = 0 d m Piano di riferimento (c) Figura 4.9 Costruzione di una rete idrodinamica: a) sezione; b) tentativo di prova; c) rete finale 3 D G Piano di riferimento

42 Capitolo 4 IDRAULICA DEI TERRENI Per tracciare correttamente una rete idrodinamica con questa procedura è opportuno utilizzare un numero limitato di linee di flusso (generalmente 4 o 5 canali di flusso). Nell esempio riportato il numero di canali di flusso che è stato ottenuto è N = 4.3 e il numero di campi delimitati dalle linee equipotenziali, N, è, con un rapporto N /N = 0.36 e una perdita di carico tra due linee equipotenziali successive pari a: h = (h h )/N = 0.33 m. Numerate le linee equipotenziali da valle verso monte con l indice n d (che varia tra 0 e ), il carico piezometrico corrispondente a ciascuna linee è pari a n d h. La portata di filtrazione per ogni canale di flusso è (Eq. 4.7): q = k h = (m 3 /s)/m e la portata di filtrazione per unità di lunghezza del diaframma è pari a (Eq. 4.8): q = N q = (m 3 /s)/m. Con riferimento ad un generico punto P (Figura 4.9c), appartenente alla superficie equipotenziale indicata con n d = 0 e ad una distanza a dal livello di falda a valle del diaframma, il corrispondente valore del carico piezometrico è h p = n d h = = 3.3 m = z p + u p /γ w = -a + u p /γ w da cui si ricava il valore della pressione interstiziale: u p = γ w (h p (-a)) = γ w (h p +a) Il gradiente idraulico nel campo è dato da (Eq.4.5): i = h/ b = 0.33/ b dove b è la distanza media tra due linee equipotenziali. Ovviamente tale valore, e con esso la velocità di filtrazione, varia tra un massimo corrispondente al campo di dimensione minima ed un minimo corrispondente al campo di dimensione massima Filtrazione al confine tra terreni a differente permeabilità Quando il flusso d acqua attraversa la superficie di separazione tra terreni a differente permeabilità, come avviene ad esempio nelle dighe in terra zonate, le linee di flusso deflettono, la larghezza dei tubi di flusso e la distanza fra le linee equipotenziali variano, e i campi, inizialmente quadrati, divengono rettangolari. Infatti la portata di ogni tubo di h flusso, q = k i a = k a, deve restare costante. Se passando da un terreno ad un b a altro il coefficiente di permeabilità k diminuisce, il rapporto deve aumentare, ovvero b deve crescere la larghezza del canale di flusso e diminuire la distanza fra due linee equipotenziali, e viceversa. La legge con cui si modificano le dimensioni dei campi è indicata In Figura 4.0. J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006) 56

43 Capitolo 4 IDRAULICA DEI TERRENI a a b k b k k <k α c d α β k >k c a/ b = c/ d = tanα/tanβ = k /k β d Figura 4.0: Filtrazione tra terreni a differente permeabilità Moto non confinato Se tutte le condizioni al contorno in cui avviene il moto di filtrazione non sono note a priori, si parla di moto di filtrazione non confinato. In tal caso il problema è molto più complesso in quanto è necessario procedere contemporaneamente alla determinazione delle condizioni al contorno mancanti e alla risoluzione dell equazione di Laplace. Situazioni di questo tipo si verificano ad esempio nello studio dei moti di filtrazione all interno di argini fluviali o dei corpi di dighe in terra; in questi casi la superficie che delimita superiormente l acqua in moto di filtrazione è a pressione atmosferica (coincide con la superficie freatica), la sua localizzazione non è nota e può essere determinata con costruzioni grafiche Terreni anisotropi Quanto detto finora si riferisce a terreni con eguale coefficiente di permeabilità in tutte le direzioni (isotropi dal punto di vista della permeabilità). Spesso i terreni naturali ed anche i terreni messi in opera con costipamento sono anisotropi, ovvero hanno coefficiente di permeabilità diverso in direzione orizzontale e in direzione verticale. Per utilizzare le regole di costruzione grafica del reticolo idrodinamico sopra esposte occorre disegnare la sezione della struttura interessata dal moto di filtrazione in una scala orizzontale alterata, k v moltiplicando le distanze orizzontali per la quantità:. Poiché in genere è kh > k v tale k h trasformazione produce una riduzione delle dimensioni orizzontali. Ad esempio, per k h =9k v, tutte le dimensioni orizzontali devono essere divise per 3. Una volta disegnata la rete idrodinamica, per calcolare la distribuzione delle pressioni interstiziali occorre riportare il disegno in scala naturale, ottenendo dei campi non più quadrati. 3 Si veda ad esempio la costruzione descritta al capitolo 9 nella sintesi del testo Soil Mechanics & Foundations di Muni Budhu accessibile dai computers del laboratorio didattico dati territoriali. J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006) 57

44 Capitolo 4 IDRAULICA DEI TERRENI 4.5 Determinazione della permeabilità mediante correlazioni Per i terreni a grana grossa vengono talvolta impiegate relazioni empiriche che legano k ad alcuni parametri relativamente semplici da determinare. Esistono ad esempio grafici che legano il coefficiente di permeabilità al D 50, alla densità relativa, D r, e al coefficiente di uniformità, U, (Figura 4.) oppure formule, valide per sabbie sciolte, uniformi (U 5), che forniscono k in funzione di qualche diametro significativo presente nella distribuzione granulometrica. Tra queste, una delle più usate è la formula di Hazen 4 : k = C (D 0 ) (Eq. 4.9) dove C è una costante compresa tra 00 e 50 se k è espresso in cm/s e D 0 in cm. Figura 4. Correlazione tra il coefficiente di permeabilità, k, la densità relativa, D r e il coefficiente di uniformità, U (Prugh, 959) La misura sperimentale della permeabilità di un terreno può essere invece effettuata sia in laboratorio che in sito; tuttavia, essendo la permeabilità un parametro fortemente influenzato anche dai caratteri macrostrutturali, per i terreni naturali le misure in sito risultano generalmente più significative e quindi preferibili, a meno che non si riesca a riprodurre fedelmente in laboratorio le condizioni esistenti in sito, mentre per i terreni utilizzati come materiale da costruzione sono significative anche le prove di laboratorio. Inoltre, ogni metodo di misura ha un campo di applicazione ottimale all interno di un certo range di variazione della permeabilità; di conseguenza il metodo di misura più oppor- 4 Si può giustificare l equazione (4.9) osservando che la permeabilità di un terreno è influenzata maggiormente dalla frazione fine, che tende a riempire i vuoti, e quindi dal D 0. J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006) 58

45 Capitolo 4 IDRAULICA DEI TERRENI tuno deve essere scelto in relazione al tipo di terreno, come è evidenziato nella Tabella 4.. Tabella 4. Condizioni di drenaggio, tipi di terreno e metodi per la determinazione della permeabilità k (m/s) GRADO DI PERMEABILITÀ alto medio basso DRENAGGIO buono povero TIPO DI TERRENO MISURA DIRETTA DI K STIMA INDIRETTA DI K ghiaia pulita sabbia pulita e miscele di sabbia e ghiaia pulita J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006) 59 sabbia fine, limi organici e inorganici, miscele di sabbia, limo e argilla, depositi di argilla stratificati terreni impermeabili modificati dagli effetti della vegetazione e del tempo Prova in foro di sondaggio (misura locale; delicata esecuzione) Prova di pompaggio (delicata esecuzione; significativa) Permeametro a carico costante (facile esecuzione) Facile esecuzione significativa Determinazione dalla curva granulometrica (solo per sabbie e ghiaie pulite) molto basso impermeabile praticamente impermeabile terreni impermeabili argille omogenee sotto la zona alterata dagli agenti atmosferici Permeametro a carico variabile delicata esecuzione: non significativa 4.6 Determinazione della permeabilità in laboratorio delicata esecuzione: molto poco significativa Piezometro Pressiometro Piezocono (misura locale; delicata esecuzione) Determinazione dai risultati della prova edometrica Per la misura del coefficiente di permeabilità in laboratorio vengono generalmente usati tre metodi: a) il permeametro a carico costante, per k > 0-5 m/s b) il permeametro a carico variabile, per 0-8 < k < 0-5 m/s c) i risultati della prova edometrica (che verrà descritta dettagliatamente nel Capitolo 7), per k < 0-8 m/s

46 Capitolo 4 IDRAULICA DEI TERRENI 4.6. Permeametro a carico costante La prova con permeametro a carico costante è eseguita generalmente su campioni di terreno a grana grossa (ghiaie e sabbie pulite), compattati a diversi valori di densità relativa, in modo da ottenere una relazione tra la permeabilità e l indice dei vuoti del terreno esaminato. La permeabilità in sito viene poi stimata a partire dal valore dell indice dei vuoti ritenuto più rappresentativo del terreno naturale. Lo schema del permeametro a carico costante è quello indicato in Figura 4.. L A Figura 4. Permeametro a carico costante h Per l esecuzione della prova viene immessa acqua nel recipiente che contiene il terreno, mantenendo costante (realizzando degli sfioratori) la differenza di carico, h, esistente tra le estremità del campione, ossia il livello dell acqua nei due recipienti. La quantità di acqua raccolta in un certo intervallo di tempo, t, è pari a C = Q t, essendo Q la portata immessa. Poiché il moto è stazionario, con velocità pari a v, risulta C = v A t. Supponendo inoltre valida la legge di Darcy (4.4) e che la perdita di carico si realizzi interamente all interno del campione di terreno, si ha: h C = k i A t = k A t (Eq. 4.30) L dove A è l area della sezione trasversale del campione. Dall equazione (4.30) si ricava il valore di: C k = C L h A t (Eq. 4.3) Generalmente si effettuano più determinazioni considerando differenze di carico h e intervalli di tempo t differenti per poi adottare un valore medio Permeametro a carico variabile Se la permeabilità del terreno è presumibilmente inferiore a 0-5 m/s, la portata e quindi la quantità di acqua raccolta (almeno in tempi ragionevolmente brevi) è piccola ed è difficile misurarla accuratamente con una prova a carico costante. Si eseguono in questo caso prove con permeametro a carico variabile, in cui la quantità di acqua che fluisce attraverso il campione è determinata attraverso la misura della riduzione dell altezza di carico, h, in un tubo di piccolo diametro collegato al recipiente che contiene il campione (Figura 4.3). Trascurando la compressibilità dell acqua, si suppone che, per il principio di conservazione della massa, la quantità di acqua che scorre nel tubicino sia pari a quella che attraversa il campione. Se il livello dell acqua si abbassa di una quantità dh nel tempo dt, la quantità di acqua che scorre nel tubicino nel tempo dt è pari a -a dh (il segno meno perché il livello dell acqua diminuisce), uguale a quella che attraversa il campione v A dt. Supponendo valida la leg- J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006) 60

47 Capitolo 4 IDRAULICA DEI TERRENI ge di Darcy (4.4) e che la perdita di carico si realizzi interamente all interno del campione di terreno, si ha: k i A dt = -a dh ovvero h k A dt = a dh. L h 0 h h Separando le variabili e integrando si ottiene: L A a a h h o A dh = k h L t t o dt ho A a ln = k ( t t h L o ) da cui: Figura 4.3 Permeametro a carico variabile a L ho a L ho k = ln =.3 log0 (Eq. 4.3) A ( t to ) h A ( t to ) h Per quanto riguarda la determinazione di k a partire dai risultati della prova edometrica si rimanda al Capitolo 7, in cui viene descritta la prova e definito il coefficiente di permeabilità in funzione di uno dei parametri che si determinano mediante tale prova. 4.7 Determinazione della permeabilità in sito Per la misura del coefficiente di permeabilità in sito si può ricorrere a tre tipi di prove: a) prove in pozzetto superficiale b) prove in foro di sondaggio c) prove di emungimento 4.7. Prove in pozzetto superficiale Si tratta di prove speditive, di facile esecuzione, che, per contro, hanno un campo di utilizzo limitato, in quanto forniscono misure del coefficiente di permeabilità limitate agli strati più superficiali e si eseguono in genere su terreni che costituiscono opere di terra durante la loro costruzione, aventi permeabilità maggiori di 0-6 m/s, e posti sopra falda. Il pozzetto è uno scavo di forma circolare o quadrata. La dimensione della sezione in pianta è legata al diametro massimo presente nella granulometria; in particolare il diametro, d, (o il lato, b) del pozzetto deve risultare maggiore di 0 5 volte il diametro massimo presente nella granulometria. La distanza del fondo del pozzetto dalla falda, H, deve essere pari ad almeno 7 volte l altezza media (h m o h) dell acqua nel pozzetto durante la prova, che a sua volta deve risultare maggiore di d/4, per pozzetto circolare (o b/4, per pozzetto a base quadrata). J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006) 6

48 Capitolo 4 IDRAULICA DEI TERRENI Lo schema della prova è rappresentato in Figura 4.4. Esistono due tipi di prova: - a carico costante - a carico variabile Nel primo caso viene immessa nel pozzetto una portata d acqua costante q, tale che a regime il livello d acqua sia costante; nel secondo caso, dopo avere riempito il pozzetto, viene registrato l abbassamento del livello dell acqua nel tempo. In relazione alla forma del pozzetto e al tipo di prova, vengono impiegate formule semiempiriche, valide nell ipotesi di terreno omogeneo e isotropo, con k > 0-6 m/s. h > d/4 m d > 0-5 diametro massimo dei granuli H > 7 h m Figura 4.4 Schema della prova in pozzetto superficiale In particolare, nel caso di pozzetto circolare valgono le seguenti relazioni: q k = per prova a carico costante (Eq. 4.33) d h m π d h h k = per prova a carico variabile (Eq. 4.34) 3 t t h m mentre nel caso di pozzetto a base quadrata: q k = per prova a carico costante b hm (Eq. 4.35) b hm + h h k = b per prova a carico variabile (Eq. 4.36) t t h m b Nelle Equazioni da (4.33) a (4.36), h e h sono le altezze dell acqua nel pozzetto rispettivamente agli istanti t e t, e h m = (h + h )/ è l altezza media. J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006) 6

49 Capitolo 4 IDRAULICA DEI TERRENI 4.7. Prove in foro di sondaggio Le prove in foro di sondaggio possono essere eseguite a varie profondità durante la perforazione, oppure a fine foro, sul tratto terminale e forniscono generalmente un valore puntuale della permeabilità, limitatamente alla verticale esplorata e alle profondità considerate. Le pareti del foro devono essere rivestite con una tubazione fino alla profondità a cui si vuole effettuare la misura di permeabilità (Figura 4.5a). Nei terreni che tendono a franare o a rifluire il tratto di prova viene riempito di materiale filtrante e isolato mediante un tampone impermeabile (Figura 4.5b). Il filtro deve avere una granulometria opportuna, in modo da non influenzare il flusso all interno del materiale di cui si vuole determinare la permeabilità. a) b) Tubazione interna Rivestimento esterno Q Q h h h h h h Tubo di rivestimento Tampone impermeabile L L Filtro D Figura 4.5 Schema della prova di immissione in foro di sondaggio, a carico variabile o costante, senza filtro (a) e con filtro (b) D In particolare, deve risultare: F 60 /F 0 (materiale uniforme) e 4D 5 F 5 4D 85 dove F x sono i diametri del filtro e D x quelli del terreno indagato. Le prove in foro di sondaggio si suddividono in: prove a carico costante di immissione (sopra o sotto falda) 63 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

50 Capitolo 4 IDRAULICA DEI TERRENI prove a carico variabile di emungimento (solo sotto falda) di risalita (solo sotto falda) di abbassamento (sopra o sotto falda) Prove a carico costante Nelle prove a carico costante viene misurata, a regime, la portata, emunta o immessa, Q, necessaria a mantenere costante il livello dell acqua nel foro. Il coefficiente di permeabilità viene ricavato mediante la seguente relazione: Q k = [m/s] (Eq. 4.37) F h dove Q [m 3 /s] è la portata, h [m] il livello dell acqua nel foro (rispetto alla base del foro se la prova è eseguita sopra falda, oppure rispetto al livello di falda se la prova è eseguita sotto falda) ed F [m] un fattore di forma, dipendente dalla forma e dalla geometria della sezione filtrante ed è riportato in Tabella 4.3 in relazione alle geometrie rappresentate in Figura 4.6. Tabella 4.3 Espressioni del coefficiente di forma F per differenti geometrie della sezione filtrante (per lo schema geometrico vedi Figura 4.6) Geometria della sezione Coefficiente di forma F. Filtro sferico in terreno uniforme π D. Filtro emisferico al tetto di uno strato confinato π D 3. Fondo filtrante piano al tetto di uno strato confinato D 4. Fondo filtrante piano in terreno uniforme.75d D 5. Tubo parzialmente riempito al tetto di uno strato 8 L k confinato h + π D k v.75d 6. Tubo parzialmente riempito in terreno uniforme L k h + π D k v 3π L 7. Filtro cilindrico al tetto di uno strato confinato 3L 3L ln + + D D 3π L 8. Filtro cilindrico in terreno uniforme L L ln D D π L 9. Filtro cilindrico attraversante uno strato confinato r0 ln r J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006) 64

51 r0 Capitolo 4 IDRAULICA DEI TERRENI 3 D D D D/ D D D L k v L k v k k D D D L L L Figura 4.6 Geometrie del fattore di forma per il calcolo del fattore di forma F Prove a carico variabile Le prove di risalita a carico variabile vengono effettuate prelevando acqua dal foro in modo da abbassarne il livello di una quantità nota e misurando la velocità di risalita; nelle prove di abbassamento viene immessa acqua nel foro in modo da alzarne il livello di una quantità nota e viene misurata la velocità di abbassamento. Il coefficiente di permeabilità viene ricavato mediante la seguente relazione: J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006) 65

52 Capitolo 4 IDRAULICA DEI TERRENI k = [m/s] F A ln h h ( t t ) (Eq. 4.38) dove A [m ] è l area di base del foro, h e h sono le altezze agli istanti t e t rispetto al livello della falda o a fondo foro (se si tratta di prove di abbassamento condotte sopra il livello di falda), F [m] è il fattore di forma precedentemente definito (Tabella 4.3). Una stima più attendibile del valore del coefficiente di permeabilità può essere eseguita determinando la media geometrica dei valori ricavati con prove di risalita (k r ) e di abbassamento (k a ), ovvero k = k r ka. Infatti, durante le prove di abbassamento, la frazione più fine del materiale tende ad essere spinta verso il fondo del foro e la spinta idrodinamica tende a comprimere il terreno, facendone diminuire la permeabilità; al contrario, durante le prove di risalita, la frazione più fine del materiale tende ad essere asportata dall acqua e la spinta idrodinamica tende a decomprimere il terreno, facendone aumentare la permeabilità. Se la permeabilità orizzontale del terreno è diversa da quella verticale (a causa dell orientamento dei grani nella fase di deposizione il coefficiente di permeabilità orizzontale, k H, risulta generalmente maggiore, anche di un ordine di grandezza, del coefficiente di permeabilità verticale, k V ), il coefficiente k ottenuto da prove in foro di sondaggio tende a rappresentare il coefficiente di permeabilità verticale, k V, tanto più è ridotta la lunghezza del tratto filtrante L (Figura 4.6-8) rispetto al diametro del foro, D, fino alla situazione limite di sezione piana, L=0 (Figura 4.6-4). Mentre per valori di L/D sufficientemente grandi (L/D.) si assume che il coefficiente di permeabilità misurato sia quello orizzontale, k H. Per situazioni intermedie (0 L/D.) si assume che venga misurato un coefficiente di permeabilità medio k = k k Prove di pompaggio Le prove di pompaggio vengono eseguite in terreni con permeabilità medio-alta, al di sotto del livello di falda. Consistono nell abbassare il livello della falda all interno di un pozzo, opportunamente realizzato, e nel rilevare in corrispondenza di un certo numero di verticali, strumentate con piezometri, l abbassamento una volta raggiunto un regime di flusso stazionario (Figura 4.7). Nella fase di emungimento la velocità di abbassamento del livello diminuisce all aumentare del volume di terreno interessato dal flusso, fino ad un valore prossimo alla stabilizzazione (regime pseudo-stazionario) se la falda non è alimentata e si stabilizza se la falda è alimentata. Il raggio di influenza è tanto maggiore quanto maggiore è la permeabilità. Per una corretta interpretazione della prova è necessario conoscere con buona approssimazione la stratigrafia, l estensione dell acquifero e le condizioni iniziali della falda, che quindi vanno preventivamente ricavati mediante apposite indagini in sito. Il pozzo principale, che viene utilizzato per l emungimento, ha un diametro D compreso generalmente tra i 00 e i 400 mm; intorno ad esso, nella zona di depressione della falda (a causa dell andamento caratteristico della superficie piezometrica si parla anche di cono di depressione ) vengono disposti una serie di piezometri il cui numero dipende dalla eterogeneità del terreno. J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006) 66 medio H V

53 Capitolo 4 IDRAULICA DEI TERRENI a) b) Q Pozzo Piezometri di controllo s s Livello piezometrico iniziale h r h h r b Acquifero confinato Linee di flusso Pompa sommersa Superfici equipotenziali c) Q Pozzo Piezometri di controllo s s Livello piezometrico iniziale h r r Acquifero non confinato h h Linee di flusso Pompa sommersa Superfici equipotenziali Figura 4.7 Disposizione in pianta del pozzo e dei piezometri (a) e schema della prova di pompaggio in acquifero confinato (b) e non confinato (c) Per la realizzazione del pozzo viene disposto all interno del foro un tubo finestrato, con area delle aperture maggiore del 0% dell area laterale. Nel tratto di terreno da investigare, l intercapedine tra tubo e terreno è riempita con un filtro di ghiaietto e sabbia con una opportuna granulometria; nel tratto sovrastante, per evitare l infiltrazione di acque ester- J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006) 67

54 Capitolo 4 IDRAULICA DEI TERRENI ne, l intercapedine è riempita con materiale impermeabilizzante (generalmente argilla o bentonite). Il tipo di piezometri viene scelto in relazione al tipo di terreno; devono essere in numero non inferiore a tre, disposti secondo allineamenti passanti per il pozzo (almeno due allineamenti di cui uno parallelo alla direzione di moto della falda) come mostrato in Figura 4.7a. La distanza tra i piezometri aumenta con legge esponenziale: il primo di ogni allineamento viene posto a qualche metro dal pozzo, l ultimo al limite della zona di influenza (50 00 m a seconda della permeabilità del deposito). Come già detto, la prova viene eseguita prelevando acqua dal pozzo mediante un sistema di pompaggio e misurando il livello piezometrico nel pozzo e nei piezometri fino a che non si raggiunge una stabilizzazione. Le letture vengono eseguite a intervalli di tempo via via crescenti ( min. nelle prime due ore, 5 min. nelle 4 ore successive, 0 5 min. per il resto della prova, che dura mediamente 4 36 ore e anche di più per terreni a bassa permeabilità). Le prove di emungimento vengono interpretate tenendo presente che: - nel caso di acquifero confinato (falda artesiana) le linee di flusso sono orizzontali e le superfici equipotenziali sono cilindri concentrici rispetto al pozzo (Figura 4.7b); - nel caso di acquifero non confinato (falda freatica) le linee di flusso (e le superfici e- quipotenziali) sono curve. In questo caso deve essere posta particolare attenzione alla profondità di installazione dei piezometri, poiché l altezza di risalita dell acqua (o comunque la pressione misurata) corrisponde alla pressione interstiziale della superficie equipotenziale passante per il punto di misura. (Figura 4.7c). Soluzioni semplificate forniscono l espressione del coefficiente di permeabilità rispettivamente per il caso di acquifero confinato (Figura 4.7b) e non confinato (Figura 4.7c): r ln( ) Q r k = (Eq. 4.39) π b ( h h ) r ln( ) Q r k = π ( h h ) (Eq. 4.40) Il valore della permeabilità ricavato con questo tipo di prova è un valore medio relativo al volume di terreno interessato dal cono di depressione. 4.8 Pressioni di filtrazione e gradiente idraulico critico Allo scopo di osservare come si modifica il regime delle pressioni (totali, efficaci e interstiziali) in un punto del terreno, passando da una condizione in cui il fluido presente nel terreno è in quiete (regime idrostatico), ad una in cui avviene un moto di filtrazione (supponiamo in regime stazionario), consideriamo uno schema costituito da due recipienti comunicanti, di cui uno contenente solo acqua (serbatoio) e l altro contenente un campione di sabbia saturo completamente immerso, di altezza h, con livello dell acqua sovrastante la superficie superiore del campione di una lunghezza h (Figura 4.8). J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006) 68

55 Capitolo 4 IDRAULICA DEI TERRENI a) b) h h h h A O P A O P z z z u γ h w γ (h + h ) w γ w u h γ h w γ z i w γ (h + h - h) w γ w γ w B B In relazione alla posizione relativa del livello dell acqua nei due recipienti si possono distinguere tre casi: a) assenza di filtrazione. Se l acqua si trova allo stesso livello nei due recipienti (Figura 4.8a) non c è differenza di carico (ossia di energia) tra due punti, A e B, appartenenti alla due superfici libere, per cui l acqua è in quiete. La pressione verticale totale nel generico punto P, a profondità z dall estremità superiore del campione, O, sarà data da: σ z = γ sat z + γ w h (Eq. 4.4) z b) e la pressione dell acqua (pressione interstiziale): c) A u h B u = γ w (h +z) (Eq. 4.4) O P z h h z γ h w γ z i w γ (h + h + h) w γw γ w c) per cui la pressione verticale efficace vale: σ z = σ z u = γ sat z + γ w h - γ w (h +z) = γ z (Eq. 4.43) essendo γ = γ sat -γ w Figura 4.8 Esempio di assenza di filtrazione (a), filtrazione discendente (b) e ascendente (c) in un campione di sabbia saturo d) filtrazione discendente. Se il livello dell acqua nel serbatoio è mantenuto più basso di quello nel recipiente che contiene il campione, di una altezza h, si ha una differenza di carico costante che provoca un moto di filtrazione dal recipiente che contiene il campione verso il serbatoio (da un punto a energia maggiore, A, a un punto a energia minore, B). La pressione verticale totale nel punto P a profondità z dall estremità superiore del campione, O, sarà data anche in questo caso da (Figura 4.8b): σ z = γ sat z + γ w h (Eq. 4.44) J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006) 69

56 Capitolo 4 IDRAULICA DEI TERRENI La pressione dell acqua nel punto O, all estremità superiore del campione, per z=0, è governata dalla quota del pelo libero nel recipiente e vale u z=0 = γ w h, mentre all estremità inferiore, per z=h, è governata dalla quota del pelo libero nel serbatoio e vale u z=h = γ w (h +h -h). La pressione dell acqua all interno del campione varia linearmente con la profondità e, nel punto P, alla generica profondità z, vale u = γ w (h +z) γ w (h/h )z. Il rapporto h/h è, per definizione, il gradiente idraulico, per cui si può scrivere che nel punto P a profondità z la pressione interstiziale vale: u = γ w (h +z) γ w i z e la pressione efficace: σ z = σ z u = γ sat z + γ w h γ w (h +z) +γ w i z = (γ sat γ w ) z γ w i z = γ z + γ w i z Ovvero, rispetto al caso precedente di assenza di filtrazione, la filtrazione verticale discendente ha prodotto una riduzione della pressione interstiziale, γ w i z, ed un eguale aumento di pressione efficace. Il termine γ w i z è la pressione di filtrazione. Allo stesso risultato si perviene ragionando in termini di carico piezometrico come descritto nel seguito. Supponendo che la perdita di carico, h, tra i punti A e B appartenenti alle due superfici libere, avvenga interamente nel campione, e che vari linearmente al suo interno, la h perdita di carico nel tratto OP è pari a z = i z. h u u h Quindi h 0 h P = h ( z + ) = (z + h) = z, da cui: γ w γ w h h u = (z + h) γ w z γ w = (z + h) γ w i z γ w (Eq. 4.45) h La pressione efficace vale in questo caso: σ z = σ z u = γ sat z + γ w h - (z + h ) γ w + i z γ w = γ z + i z γ w (Eq. 4.46) e) filtrazione ascendente. Se il livello dell acqua nel serbatoio è mantenuto più alto di quello nel recipiente che contiene il campione, di una quantità h, si ha una differenza di carico costante che provoca un moto di filtrazione dal serbatoio verso il recipiente che contiene il campione (Figura 4.8c). La pressione totale nel punto P, a profondità z dall estremità superiore del campione, O, sarà data anche in questo caso da: σ z = γ sat z + γ w h (Eq. 4.47) La pressione dell acqua nel punto O, all estremità superiore del campione, per z=0, è governata dalla quota del pelo libero nel recipiente e vale u z=0 = γ w h, mentre all estremità inferiore, per z=h, è governata dalla quota del pelo libero nel serbatoio e vale u z=h = γ w (h +h +h). La pressione dell acqua all interno del campione varia linearmente con la profondità e, nel punto P, alla generica profondità z, vale u = γ w (h +z) +γ w (h/h )z. Il rapporto h/h è, per definizione, il gradiente idraulico, per cui si può scrivere che nel punto P a profondità z la pressione interstiziale vale: u = γ w (h +z) +γ w i z 70 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

57 Capitolo 4 IDRAULICA DEI TERRENI e la pressione efficace: σ z = σ z u = γ sat z + γ w h γ w (h +z) - γ w i z = (γ sat γ w ) z γ w i z = γ z - γ w i z Ovvero, rispetto al caso precedente di assenza di filtrazione, la filtrazione verticale ascendente ha prodotto una aumento della pressione interstiziale, γ w i z, ed un eguale riduzione di pressione efficace. Il termine γ w i z è la pressione di filtrazione. Allo stesso risultato si perviene ragionando in termini di carico piezometrico come descritto nel seguito. Supponendo che la perdita di carico h, tra i punti B e A appartenenti alle due superfici libere, avvenga interamente nel campione, e che vari linearmente al suo interno, nel h tratto PO, la perdita di carico è pari a z = i z. h Quindi u h P h 0 u = ( z + γ h w ) h u = γ w (z + h ) = h h z, da cui: = (z + h) γ w + z γ w = (z + h) γ w + i z γ w (Eq. 4.48) h La pressione efficace vale in questo caso: σ z = σ z u = γ sat z + γ w h - (z + h ) γ w - i z γ w = γ z - i z γ w (Eq. 4.49) Le osservazioni precedenti evidenziano che in presenza di filtrazione, in un punto a profondità z, la pressione dell acqua varia di una quantità pari i z γ w, che rappresenta la componente idrodinamica della pressione interstiziale (pressione di filtrazione). Di conseguenza la pressione efficace varia della stessa quantità; nel caso di filtrazione discendente la pressione efficace aumenta, mentre nel caso di filtrazione ascendente la pressione efficace diminuisce rispetto al casi di assenza di filtrazione. In particolare, la pressione effettiva in presenza di filtrazione ascendente è data da σ z = γ z - i z γ w e si annulla quando il gradiente idraulico è pari a i c = γ /γ w (Eq. 4.50) detto gradiente idraulico critico. In questa condizione, se il terreno è privo legami coesivi, si annullano le forze intergranulari, si annulla la resistenza del terreno e le particelle solide possono essere trasportate dall acqua in movimento, dando origine ad un fenomeno progressivo di erosione che conduce al collasso della struttura del terreno. Tale fenomeno è noto come instabilità idrodinamica (o sifonamento) ed è quello che può manifestarsi ad esempio nel caso di uno scavo sorretto da un diaframma. (Figura 4.9). È da notare che essendo γ γ w, il valore di i c è prossimo all unità. Si definisce fattore di sicurezza nei confronti del sifonamento il rapporto tra il gradiente idraulico critico e quello che si ha in esercizio (definito gradiente di efflusso, i E ), ossia: FS = i c /i E (Eq. 4.5) J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006) 7

58 Capitolo 4 IDRAULICA DEI TERRENI p.c. Essendo il sifonamento un fenomeno improvviso, senza segni premonitori, ed essendo difficile tener conto di fattori quali A l eterogeneità e l anisotropia del terreno, si adottano valori alti di FS (generalmente si H impone FS > 4). B p.c. Nel caso di un diaframma infisso ad una profondità D in un mezzo omogeneo, il gradiente di efflusso può essere valutato in prima approssimazione dividendo la perdita D di carico per la lunghezza delle linea di flusso più corta, rappresentata dal percorso di una particella d acqua in aderenza al diaframma, Figura 4.9 Scavo sorretto da un diaframma indicato con A-B in Figura 4.9, ovvero, trascurando lo spessore del diaframma ed indicando con H la differenza di carico esistente tra due punti A e B appartenenti alle due superfici libere, si può porre: i E = H/(H+D) (Eq. 4.5) Per determinare un valore del gradiente di efflusso più aderente alla realtà si può ricorrere a diagrammi disponibili in letteratura per vari casi pratici ricorrenti (Figura 4.0). a) b) Gradiente di efflusso ie α 0.53 h/d h/d Figura 4.0 Gradiente di efflusso, i E, nel caso di uno scavo in un mezzo di spessore infinito (a), nel caso di uno scavo nastriforme in un mezzo di spessore infinito (b), nel caso di uno scavo in un mezzo di spessore limitato (c) A titolo di esempio, con lo schema di Figura 4.0, per h/d = e d/d = si ha i e La stima, approssimata per eccesso, ottenuta dall Equazione (4.5) è: h h / D i e = = = = 0.66 d + D d / D + + c) Gradiente di efflusso ie b/d J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006) 7

59 Capitolo 4 IDRAULICA DEI TERRENI Un fenomeno analogo al sifonamento, dovuto alle pressioni di filtrazione al piede di un diaframma, è quello del sollevamento del fondo scavo. Terzaghi ha osservato che il fenomeno di instabilità si estende a tutta la profondità D di infissione per una larghezza pari a D/ e che l andamento delle sovrapressioni interstiziali (ovvero delle pressioni interstiziali in eccesso rispetto alla pressione idrostatica di valle) è quello riportato in Figura 4.. In prima approssimazione, cautelativamente, si assume che il valore della sovrapressione al piede del diaframma sia costante per una larghezza D/ e pari ad γ w H c, dove H c si ricava dall Eq.(4.5): i e = H/(H+D) =H c /D e quindi: H c = (H D)/(H+D). p.c. La forza totale di filtrazione che tende a sollevare il cuneo è data da S w = H c γ w D/; quando questa uguaglia il peso efficace del cuneo (peso totale del cuneo meno spinta di Archimede), dato da W = γ D D/, si raggiungono le condizioni limite di instabilità. Il fattore di sicurezza nei confronti del sollevamento del fondo scavo è definito come rapporto tra il peso efficace del cuneo e la forza di filtrazione che tende a sollevarlo, ossia: (è da osservare che in pratica il rapporto H c /D rappresenta il gradiente di efflusso nel trat- W γ D D / γ D FS = = = (Eq. 4.53) Sw γ w H c D / γ w H c to infisso, e che quindi l Eq corrisponde all Eq. 4.5). Talvolta, nel caso di terreno omogeneo, viene assunto cautelativamente H c = H/, invece che H c = HD/(H+D), come risulterebbe, sempre in maniera approssimata, dallo schema di Figura 4.. Per incrementare il valore di FS si possono adottare le seguenti soluzioni: - aumentare la profondità di infissione in modo da ridurre il gradiente di efflusso; - disporre sul fondo dello scavo in adiacenza al diaframma un filtro costituito da materiale di grossa pezzatura in modo da incrementare le tensioni efficaci. In questo caso γ D / + W FS = (Eq. 4.54) γ w H c D / dove W è il peso del filtro; - inserire dei dreni in modo da ridurre le sovrapressioni. Se lo scavo è realizzato in un terreno a grana fine, sovrastante uno strato a permeabilità molto più elevata, nel tempo che intercorre tra la realizzazione dello scavo e l instaurarsi del moto di filtrazione, occorre ragionare in termini di pressioni totali: se la forza risultante delle pressioni idrostatiche iniziali alla base del cuneo supera il peso totale del cuneo J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006) 73 H D γ w H c A Figura 4. Distribuzione delle sovrapressioni al piede di un diaframma in un mezzo di spessore infinito E D/ D H c p.c

60 Capitolo 4 IDRAULICA DEI TERRENI può verificarsi il sollevamento. In questo caso il fattore di sicurezza è definito mediante il rapporto tra la pressione verticale totale e la pressione interstiziale all intradosso dello strato di argilla a valle (Figura 4.): γ D FS = (Eq. 4.55) γ w H w Sabbia p.c. H w D Argilla NC γ w H w Sabbia Figura 4. - Scavo realizzato in un terreno a grana fine, sovrastante uno strato a permeabilità molto più elevata 4.9 Considerazioni conclusive Per affrontare e risolvere i problemi di ingegneria geotecnica si utilizzano modelli semplificati del sottosuolo, costituiti da strati di terreno omogenei, con superfici di confine ben definite, cui vengono attribuite proprietà geotecniche medie o caratteristiche. La geometria e le proprietà fisiche, idrauliche e meccaniche dei diversi strati di terreno sono stimate in base ai risultati di indagini geotecniche in sito e di laboratorio. Come vedremo nei capitoli successivi, le indagini geotecniche hanno limiti e incertezze, dovuti alla rappresentatività del campione statistico, alla variabilità intrinseca delle proprietà dei terreni, alla impossibilità di riprodurre in laboratorio le reali condizioni in sito, alle incertezze nelle procedure di trasformazione dei risultati sperimentali in proprietà geotecniche, etc.. Pertanto il modello di sottosuolo utilizzato per il calcolo è solo uno schema semplificato della realtà fisica, sia per quanto riguarda la geometria sia per quanto riguarda le proprietà geotecniche attribuite ai singoli strati. Le incertezze del modello hanno effetti molto diversi a seconda del problema geotecnico. In alcuni di essi, anche scarti considerevoli dei valori reali di una proprietà geotecnica dal valore medio stimato ed assunto per il calcolo, hanno modesti effetti sul risultato (ad e- sempio, la stima della capacità portante e dei cedimenti di una fondazione, o anche la stima della spinta del terreno su un opera di sostegno). Ma nei problemi di idraulica del terreno, ove è necessario considerare la filtrazione dell acqua e la distribuzione delle pressioni interstiziali nello spazio e nel tempo, anche dettagli geologici minimi, apparentemente insignificanti e di difficile individuazione con le usuali tecniche di indagine, possono avere un influenza decisiva, per cui l uso di un modello semplificato di sottosuolo, che trascuri tali dettagli, può condurre a risultati decisamente errati. Si consideri, ad esempio, una palancola a sostegno di uno scavo in un deposito di sabbia, in cui sia presente un sottile strato di argilla. In assenza di falda, e quindi di filtrazione, la presenza dello straterello argilloso e molto poco permeabile, ha un influenza trascurabile J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006) 74

61 Capitolo 4 IDRAULICA DEI TERRENI sulla pressione mutua terreno-struttura, e quindi sulla stabilità e sulle deformazioni del sistema geotecnico. Al contrario, in presenza di falda, se il livello argilloso è al di sopra dell estremità inferiore della palancola ed è continuo, esso intercetta quasi completamente la filtrazione ed altera profondamente la distribuzione delle pressioni interstiziali. Se tuttavia il livello di argilla non è continuo, ma corrisponde ad una piccola lente, la rete di filtrazione ne risulta modificata solo localmente. Una verticale di indagine geotecnica (ad esempio un sondaggio o una prova penetrometrica) eseguita per la progettazione della struttura, può non avere rilevato la presenza del sottile livello argilloso, oppure può averla rilevata ma senza poterne accertare l estensione e la continuità. In definitiva, l intensità e la distribuzione delle pressioni interstiziali in presenza di filtrazione sono stimate mediante la rete idrodinamica, la cui determinazione è molto incerta e raramente rispecchia le reali condizioni idrauliche del terreno. Per cui l analisi teorica del comportamento atteso del modello geotecnico, pur necessaria, deve essere convalidata da misure sperimentali durante la costruzione e in corso d opera, ed eventualmente variata se le misure sperimentali non confermano le previsioni. J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006) 75

62 Capitolo 5 MODELLI REOLOGICI CAPITOLO 5 MODELLI REOLOGICI La reologia è la scienza che studia l andamento delle deformazioni nella materia sotto l effetto dell applicazione di un sistema di sollecitazioni. Uno degli obiettivi principali di questa disciplina è quello di caratterizzare il comportamento meccanico dei materiali mediante la definizione di modelli matematici che stabiliscano dei legami tra tensioni, deformazioni e tempo (detti legami costitutivi). Anche nella meccanica dei terreni si ricorre generalmente all impiego di modelli, ovvero di schemi più o meno semplificati, per l interpretazione di fenomeni fisici complessi e per la previsione del comportamento dei vari mezzi in seguito all applicazione di un sistema di sollecitazioni. Un aspetto importante da sottolineare è che un modello reologico non è legato solo al tipo di materiale, ma anche e soprattutto al fenomeno fisico che lo interessa; per questo motivo la scelta del tipo di modello è strettamente dipendente oltre che dal tipo di materiale, da quello dell applicazione ingegneristica considerata. Tra i modelli classici, quelli di maggiore interesse nell ambito della meccanica dei terreni sono: - il modello elastico - il modello plastico - il modello viscoso che possono essere assunti singolarmente o in combinazione tra loro. Nella descrizione dei modelli reologici, riportata nei paragrafi seguenti, verranno adottati schemi monodimensionali e simboli convenzionali, per renderne più immediata la comprensione a livello qualitativo. Passando dagli schemi monodimensionali al mezzo continuo, al concetto di forza si sostituisce quello di tensione e al concetto di spostamento quello di deformazione. 5. Modello elastico Il comportamento di un corpo è definito elastico se le deformazioni prodotte da un sistema di sollecitazioni scompaiono una volta rimosse tali sollecitazioni. La relazione sforzideformazioni è biunivoca e indipendente dal tempo: una stessa sollecitazione produce sempre la stessa deformazione anche se applicata ripetutamente. Il simbolo comunemente usato per rappresentare l elasticità di un mezzo è una molla, e lo schema monodimensionale semplificato è quello rappresentato in Figura 5. (schema di Hooke). Se si immagina di applicare una forza F all estremità libera del carrello e di registrarne lo spostamento s (Figura 5.), la relazione tra F ed s è del tipo: K F F = f(s) (Eq. 5.) ed è rappresentata in Figura 5.. J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006) 76 O s A Figura Schema di Hooke per un mezzo elastico

63 Capitolo 5 MODELLI REOLOGICI Se f(s) è una funzione lineare (linea (a) di Figura 5.), ovvero: F (b) F = f(s) F = K s (Eq. 5.) F = K s con K = costante, si parla di comportamento elastico-lineare, con K (a) K costante elastica del mezzo. Se dipende dal livello di sforzo (o di deformazione) raggiunto (curva (b) di Figura 5.), si parla di legame elastico non lineare. La funzione che rappresenta un legame elastico non lineare può essere approssimata con una funzione lineare a tratti, su intervalli s Figura 5.. Comportamento elastico lineare (a) e non lineare (b) opportunamente piccoli del- lo spostamento. Le principali applicazioni geotecniche per le quali viene spesso assunta l ipotesi di comportamento elastico del terreno sono: il calcolo delle deformazioni nei terreni sovraconsolidati; l analisi della diffusione delle tensioni nel terreno; il calcolo delle strutture di fondazione. 5. Modello plastico Figura 5.3 Schema di Coulomb per un mezzo plastico Il comportamento di un corpo è definito plastico se, raggiunta una determinata soglia di sollecitazione, si manifestano deformazioni permanenti (ossia che si conservano anche una volta rimosse le sollecitazioni) e indipendenti dalla durata delle sollecitazioni applicate. La relazione sforzi-deformazioni è quindi indipendente dal tempo e non biunivoca: ad uno stesso valore della deformazione, s, possono corrispondere valori diversi della sollecitazione, F. La plasticità di un mezzo può essere rappresentata mediante un pattino ad attrito, secondo lo schema monodimensionale semplificato rappresentato in Figura 5.3 (schema di Coulomb). Se si immagina di applicare una forza F all estremità libera del carrello collegato al pattino, si osserva che non si hanno spostamenti fino a che la sollecitazione non raggiunge un valore limite F *. In corrispondenza di tale valore lo spostamento plastico può avvenire a forza applicata costante (mezzo plastico perfetto) (linea (a) di Figura 5.4) oppure progredire con aumento della forza applicata (linea (b) di Figura 5.4) o diminuzione della forza applicata (linea (c) di Figura 5.4). In questi casi si parla, rispettivamente, di mezzo incrudente positivamente o negativamente. Annullando la forza F non si ha alcun recupero dello spostamento accumulato come è possibile osservare in Figura 5.5; incre- J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006) 77 O s A F

64 Capitolo 5 MODELLI REOLOGICI mentando nuovamente la forza F il pattino rimarrà fermo nella posizione assunta sotto il carico precedente, fino a che l intensità della forza applicata non raggiunge il nuovo valore limite F *, che sarà uguale al precedente per mezzo plastico perfetto, maggiore per mezzo incrudente positivamente, minore per mezzo incrudente negativamente. F F* H H > 0 H = 0 (b) (a) F F* A B H H < 0 (c) s O p s C s Figura 5.4 Andamento tensioni-deformazioni per un mezzo plastico perfetto (a), incrudente positivamente (b) e negativamente (c). Figura 5.5 Deformazione permanente per un mezzo plastico. La relazione tra lo spostamento plastico, ds p, e l aliquota di forza che eccede F *, df *, è del tipo: p * ds = df (Eq. 5.3) H dove H, detto coefficiente di incrudimento, sarà uguale a zero per mezzo plastico perfetto, positivo per mezzo incrudente positivamente, negativo per mezzo incrudente negativamente. Nelle applicazioni geotecniche l ipotesi di comportamento plastico è assunta nella trattazione dei problemi di stabilità, per i quali si fa riferimento alle condizioni di equilibrio limite (capacità portante delle fondazioni, stabilità dei pendii, delle opere di sostegno, ecc..) 5.3 Modello viscoso Il mezzo viscoso è caratterizzato da deformazioni permanenti che si sviluppano con una velocità legata alla sollecitazione applicata. La velocità di deformazione si annulla all annullarsi della sollecitazione. Il simbolo con cui si rappresenta la viscosità di un mezzo è lo smorzatore viscoso (o ammortizzatore idraulico) costituito da un pistone forato che scorre in un cilindro pieno di liquido. Lo schema monodimensionale semplificato del modello è rappresentato in Figura 5.6 (schema di Newton). Se si immagina di applicare una forza F all estremità libera del carrello e di registrarne lo ds spostamento s, si osserva una relazione tra F e la velocità di spostamento s =, ossia dt (linea (a) di Figura 5.7): F = f(s) (Eq. 5.4) J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006) 78

65 Capitolo 5 MODELLI REOLOGICI η F F (a) (b) F = f(s) η F = η s O s A Figura 5.6 Schema di Newton per un mezzo viscoso s Figura 5.7 Comportamento di un mezzo viscoso (a) e di un mezzo viscoso perfetto (b) Se f(s) è una funzione lineare (linea (b) di Figura 5.7), ovvero: F = η s (Eq. 5.5) con η = costante, si parla di mezzo viscoso perfetto o newtoniano, con η viscosità del mezzo. 5.4 Modelli reologici complessi I modelli semplici descritti nei precedenti paragrafi possono essere combinati tra loro per ottenere in alcuni casi modelli più adatti a schematizzare il comportamento del terreno. La combinazione può essere fatta in serie o in parallelo. Nel primo caso lo spostamento risultante è la somma dei singoli spostamenti e la forza è la stessa per tutti i componenti; nel secondo caso la forza è la somma delle forze nei singoli componenti mentre lo spostamento è lo stesso. Tra le possibili combinazioni verranno esaminate nel seguito: il modello elasto-viscoso in parallelo (modello di Kelvin Terzaghi) il modello elasto-plastico incrudente 5.4. Modello elasto-viscoso in parallelo (modello di Kelvin Terzaghi) Lo schema monodimensionale semplificato che rappresenta questo modello è riportato in Figura 5.8. Se F e rappresenta la forza che agisce sulla molla, F v quella agente sullo smorzatore, s e ed s v i rispettivi spostamenti, si ha: F = F e + F v s = s e = s v (Eq. 5.6) (Eq. 5.7) J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006) 79

66 Capitolo 5 MODELLI REOLOGICI K F Sostituendo ad F e e F v le rispettive espressioni in funzione s ed ṡ si ottiene: F = Ks + ηs (Eq. 5.8) η O Figura 5.8 Schema semplificato del modello di Kelvin- Terzaghi s A Integrando l equazione precedente nell ipotesi che lo spostamento iniziale sia nullo (s(0) = 0) e che venga applicata istantaneamente una forza F = F o, si ha: s( t ) = Fo K ( e tk t T η e ) = s ( e rit ) (Eq. 5.9) dove T rit = η/k è detto tempo di ritardo. Lo spostamento progredisce nel tempo in funzione delle caratteristiche elastiche e viscose del mezzo tendendo asintoticamente allo spostamento s e che compete alla componente e- lastica (curva OAC in Figura 5.9). s La derivata dell Eq. 5.9 è: e t s T e s( t ) = e rit s T Trit A C e per t = 0 risulta: e s s ( t = 0 ) =. T F 0 F O T rit Figura 5.9 Andamento nel tempo degli spostamenti nel modello di Kelvin-Terzaghi 5.4. Modello elasto-plastico incrudente t t rit Quindi T rit rappresenta l ascissa corrispondente al punto di intersezione tra s = s e e la tangente nell origine (indicato con T in Figura 5.9). Se all istante t la forza viene rimossa, il ritorno nella posizione originaria è ritardato dalla presenza dello smorzatore (curva AB in Figura 5.9). Il modello di Kelvin-Terzaghi è utilizzato nell interpretazione della teoria della consolidazione edometrica. Lo schema monodimensionale di questo modello è rappresentato da una molla ed un pattino ad attrito in serie (Figura 5.0). In questo caso, se si immagina di applicare una forza al carrello lo spostamento sarà inizialmente pari a quello elastico della molla. Raggiunto il valore di soglia della forza, F * (rappresentato dal punto A in Figura 5.), i- nizierà a muoversi anche il pattino e l incremento di spostamento ds del carrello, conse- B J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006) 80

67 Capitolo 5 MODELLI REOLOGICI guente ad un incremento di forza df * (rappresentato in Figura 5. dal tratto AB), sarà dato da: ds = ds e + ds p = λ df* (Eq. 5.0) essendo ds e e ds p gli incrementi di spostamento che competono rispettivamente alla molla e al pattino. Essendo ds e = k df *, con k pari all inverso della costante elastica del mezzo, K, si avrà: ds p =ds ds e = (λ k)df * (Eq. 5.) Il coefficiente di incrudimento del mezzo sarà dato da: H = df * /ds p = /(λ-k) (Eq. 5.) Con un modello elasto-plastico incrudente si interpreta la compressibilità edometrica dei terreni sovraconsolidati. K F O A s Figura 5.0 Schema semplificato del modello elasto-plastico incrudente F df* ds ds p ds e B λ F* A k O s p C s Figura 5. Comportamento di un mezzo elasto-plastico incrudente s e s J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006) 8

68 Capitolo 6 DIFFUSIONE DELLE TENSIONI CAPITOLO 6 PRESSIONI DI CONTATTO E DIFFUSIONE DELLE TENSIONI IN UN SEMISPAZIO ELASTICO 6. Pressioni di contatto Una fondazione superficiale trasmette al terreno il carico proveniente dalla struttura in e- levazione. Le pressioni mutue all intradosso della fondazione sono dette pressioni di contatto. La distribuzione delle pressioni di contatto dipende dall entità e distribuzione del carico all estradosso della fondazione, dalla rigidezza della struttura di fondazione e dalla rigidezza del terreno di fondazione. In Figura 6. sono qualitativamente rappresentati gli effetti della rigidezza della struttura di fondazione e della rigidezza del terreno di appoggio sulla distribuzione della pressione di contatto per fondazioni soggette ad un carico uniforme. schema p a) fondazioni flessibili p b) fondazioni rigide c) fondazioni semi-rigide p su argilla p p Wmin W max p W q min q max q max p W min Wmax q min su sabbia p p W min W max p W q max p Wmin Wmax q min q max Figura 6.: Pressioni di contatto e cedimenti per fondazioni superficiali su terreno omogeneo soggette a carico verticale uniforme Se la fondazione è priva di rigidezza, ovvero non resistente a flessione, la distribuzione delle pressioni di contatto è necessariamente eguale alla distribuzione del carico applicato, e la sua deformata si adatta ai cedimenti del terreno. Se il terreno di appoggio ha eguale rigidezza sotto ogni punto della fondazione (argilla), il cedimento è massimo in mezzeria e minimo al bordo, ovvero la deformata ha concavità verso l alto. Se invece il terreno di appoggio ha rigidezza crescente con la pressione di confinamento (sabbia), il cedimento è minimo in mezzeria e massimo al bordo, ovvero la deformata ha concavità verso il basso (Figura 6.a). Lo schema di fondazione priva di rigidezza si applica, ad esempio, alle fondazioni dei rilevati. Se la fondazione ha rigidezza infinita, ovvero è indeformabile e di infinita resistenza a flessione, per effetto di un carico a risultante verticale centrata, subisce una traslazione verticale rigida (cedimenti uniformi). La distribuzione delle pressioni di contatto è sim- J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006) 8

69 Capitolo 6 DIFFUSIONE DELLE TENSIONI metrica per equilibrio e dipende dalla rigidezza del terreno di appoggio. Se il terreno di appoggio ha eguale rigidezza sotto ogni punto della fondazione (argilla), le pressioni di contatto sono massime al bordo e minime in mezzeria. Viceversa se terreno di appoggio ha rigidezza crescente con la pressione di confinamento (sabbia), le pressioni di contatto sono massime al centro e minime al bordo (Figura 6.b). Lo schema di fondazione infinitamente rigida si applica, ad esempio, a plinti in calcestruzzo, alti e poco armati. Se la fondazione ha rigidezza finita, il suo comportamento è intermedio fra i due sopradescritti, ovvero ha una deformata curvilinea ma meno pronunciata di quella della fondazione priva di rigidezza, con concavità verso l alto o verso il basso a seconda del tipo di terreno di appoggio (Figura 6.c). Lo schema di fondazione di rigidezza finita si applica, ad esempio, alle platee di fondazione. Se il carico proveniente dalla struttura in elevazione (e applicato all estradosso della struttura di fondazione) non è uniforme ma ha comunque risultante verticale centrata, la distribuzione delle pressioni di contatto è: - per fondazioni flessibili, eguale alla distribuzione del carico applicato, - per fondazioni di rigidezza infinita, eguale alla distribuzione per carico uniforme di pari risultante, - per fondazioni di rigidezza finita, intermedia ai due casi precedenti. 6. Diffusione delle tensioni nel terreno La realizzazione di un opera di ingegneria geotecnica produce un alterazione dello stato di tensione naturale nel terreno, e quindi deformazioni e cedimenti. Per stimare i cedimenti è necessario conoscere: a) lo stato tensionale iniziale nel sottosuolo, b) l incremento delle tensioni prodotto dalla realizzazione dell opera, e c) la relazione fra incrementi di tensione e incrementi di deformazione (legge costitutiva). Lo stato tensionale iniziale nel sottosuolo corrisponde alle tensioni geostatiche, di cui abbiamo discusso nel Capitolo 3. Per la stima, approssimata, dell incremento delle tensioni verticali nel sottosuolo, da cui principalmente dipendono i cedimenti in superficie, si fa spesso riferimento al modello di semispazio omogeneo, isotropo, elastico lineare e senza peso che, pur avendo un comportamento per molti aspetti diverso da quello dei terreni reali, fornisce soluzioni sufficientemente accurate ai fini progettuali. In particolare, le principali differenze tra il modello del continuo elastico e i terreni reali, sono:. raramente i depositi di terreno reale sono costituiti da un unico strato di grande spessore, più spesso sono stratificati, e ogni strato ha differente rigidezza, e/o è presente un substrato roccioso (bedrock) di rigidezza molto superiore a quella degli strati sovrastanti ;. anche nel caso di terreno omogeneo, la rigidezza dei terreni reali non è costante ma cresce con la profondità 3 ; Ai soli fini del calcolo strutturale delle fondazioni, per la stima della distribuzione delle pressioni di contatto, si fa spesso riferimento al modello di Winkler, argomento che esula dal presente corso. Esistono soluzioni elastiche che considerano il terreno stratificato e/o il bedrock. La presenza di un bedrock porta a valori della tensione verticale indotta superiori a quelli del semispazio omogeneo. 3 Esistono soluzioni elastiche che considerano il modulo di Young linearmente crescente con la profondità. Tali soluzioni portano a valori della tensione verticale indotta superiori a quelli del semispazio omogeneo. J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006) 83

70 Capitolo 6 DIFFUSIONE DELLE TENSIONI σ 3. i terreni reali non sono isotropi. Il rapporto tra i moduli di deformazione in direzione verticale ed orizzontale, E v /E h, è di norma maggiore di uno per terreni normalmente consolidati e debolmente sovraconsolidati, mentre è minore di uno per terreni fortemente sovraconsolidati; 4. l ipotesi di elasticità lineare può essere accolta solo per argille sovraconsolidate e sabbie addensate limitatamente a valori molto bassi di tensione, ma non è accettabile per tutti gli altri casi 4. La non corrispondenza fra le ipotesi del modello e la realtà fisica, porta a risultati generalmente inaccettabili in termini di deformazioni calcolate, ma accettabili limitatamente alla stima delle tensioni verticali. Pertanto, con una procedura teoricamente non corretta ma praticamente efficace e molto comune in ingegneria geotecnica, si utilizzano modelli diversi (leggi costitutive diverse) per risolvere aspetti diversi dello stesso problema. Ad esempio, per una stessa fondazione superficiale, si utilizza il modello rigidoperfettamente plastico per il calcolo della capacità portante, il modello continuo elastico lineare per la stima delle tensioni verticali indotte in condizioni di esercizio, il modello edometrico per il calcolo dei cedimenti e del decorso dei cedimenti nel tempo, il modello di Winkler per il calcolo delle sollecitazioni nella struttura di fondazione, etc Tensioni indotte da un carico verticale concentrato in superficie (problema di Boussinesq) Il matematico francese Boussinesq, nel 885, fornì la P soluzione analitica del problema capostipite di tutte le successive soluzioni elastiche: tensioni e deformazioni indotte da una forza applicata ortogonalmente sulla superficie r di un semispazio ideale, continuo, omogeneo, isotropo, elastico lineare e privo di peso. Con riferimento allo schema di Figura 6. le tensioni ψ indotte in un generico punto di tale semispazio, valgono (in coordinate cilindriche) 5 : z R 3 3 P z σ z = 5 π R Eq. (6.) P 3 r z ( ν) R σ r = + 3 σ π R R ( R + z) θ Eq.(6.) r ( ν) P z R ( ) σ θ = π R R R + z Eq. (6.3) σ z Figura 6.: Carico concentrato, problema di Boussinesq 3 P z r τ rz = Eq. (6.4) 5 π R dove R = r +z 4 Per carichi concentrati l ipotesi di elasticità lineare conduce a valori infiniti della tensione in corrispondenza del carico. Non esiste un materiale reale capace di resistere a tensioni infinite. (E d altra parte anche i carichi concentrati sono solo un astrazione matematica). 5 Con riferimento ad un caso reale, quindi ad un terreno dotato di peso, le tensioni ottenute dalla soluzione di Boussinesq (e per i casi di seguito considerati) vanno sommate alle tensioni geostatiche preesistenti. J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006) 84

71 Capitolo 6 DIFFUSIONE DELLE TENSIONI Si osservi che l Eq. 6., che permette di calcolare la tensione verticale indotta, non contiene il coefficiente di Poisson, ν. La distribuzione delle tensioni verticali su un piano orizzontale alla profondità z dal p.c. è una superficie di rivoluzione avente forma di una campana, simile alla curva gaussiana, il cui volume è pari al carico applicato in superficie. Al crescere di z la campana è sempre più estesa e schiacciata. A profondità z=0, la campana degenera in una tensione infinita su un area infinitesima, ovvero nel carico applicato P. A titolo di esempio in Figura 6.3 sono rappresentate le distribuzioni di tensione verticale indotte da un carico concentrato P=00kN alle profondità z = m, 5m e 0m. La distribuzione delle tensioni verticali al variare della profondità z per un assegnato valore della distanza orizzontale r dall asse di applicazione della forza P, è indicata in Figura 6.4. Per r=0, ovvero in corrispondenza del carico applicato, la tensione a profondità z=0 è infinita per poi decrescere monotonicamente al crescere di z. Per r>0, la pressione verticale vale 0 alla profondità z=0, poi cresce con z fino ad un valore massimo per poi decrescere tendendo al valore zero. A titolo di esempio in Figura 6.4 sono rappresentate le distribuzioni di tensione verticale indotte da un carico concentrato P = 00kN alle distanze r = 0m, m e 5m. 8 Z = m Z = 5m Z = 0m σ z (kpa) σ z (kpa) 4 z (m) r (m) 5 0 r = 0m r = m r = 5m Figura Distribuzioni di tensione verticale indotte in un semispazio alla Boussinesq da un carico P=00kN alle profondità z = m, 5m e 0m Figura Distribuzioni di tensione verticale indotte in un semispazio alla Boussinesq da un carico P = 00kN alle distanze r = 0m, m e 5m Poiché per l ipotesi di elasticità lineare è valido il principio di sovrapposizione degli effetti, la soluzione di Boussinesq è stata integrata per ottenere le soluzioni elastiche relative a differenti condizioni di carico applicato in superficie. Le più frequentemente usate nella pratica professionale sono le seguenti. 6.. Tensioni indotte da un carico verticale distribuito su una linea retta in superficie Con riferimento allo schema di Figura 6.5, le tensioni indotte da un carico verticale distribuito su una linea retta in superficie sono fornite dalle equazioni (6.5), (6.6), (6.7) e (6.8) (in coordinate cartesiane ed assumendo l asse y orientato secondo la direzione della linea di carico): J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006) 85

72 Capitolo 6 DIFFUSIONE DELLE TENSIONI z R x σy σ z z σx Figura Carico distribuito su una linea retta q B P x x 3 P z σ z = π 4 R (Eq. 6.5) P z x σ x = π 4 R (Eq. 6.6) P z σ y = ν π R (Eq. 6.7) P x z τ xy = π 4 R (Eq. 6.8) dove P è il carico per unità di lunghezza, e R = x +z Tensioni indotte da una pressione verticale uniforme su una striscia indefinita Con riferimento allo schema di Figura 6.6, le tensioni indotte da una pressione verticale uniforme su una striscia indefinita sono fornite dalle equazioni (6.9), (6.0), (6.) e (6.) (in coordinate cartesiane ed assumendo l asse y orientato secondo la direzione della striscia di carico). q σ z = [ α + senα cos( α + β) ] π (Eq. 6.9) q σ x = [ α senα cos( α + β) ] π (Eq. 6.0) q σ y = ν α π (Eq. 6.) q τ xy = senα sen( α + β ) π (Eq. 6.) α β σx dove q è il carico per unità di superficie, α e β sono espressi in radianti, β è negativo per punti sotto l area caricata Tensioni indotte da una pressione verticale triangolare una striscia indefinita σ Con riferimento allo schema di Figura 6.7, le z y σ tensioni indotte da una pressione verticale triangolare su una striscia indefinita sono fornite dalle z Figura 6.6: Pressione uniforme su striscia indefinita equazioni (6.3), (6.4) e (6.5) (in coordinate cartesiane ed assumendo l asse y orientato secondo la direzione della striscia di carico): 6 Si osservi come le tensioni, per evidenti ragioni di simmetria, siano indipendenti da y. J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006) 86

73 Capitolo 6 DIFFUSIONE DELLE TENSIONI q x σ z = α senβ π B (Eq. 6.3) σ q x z R = α + sen β π x ln B B R (Eq. 6.4) q z τ xz = + cos β α π B (Eq. 6.5) dove q è il valore massimo del carico per unità di superficie, α e β sono espressi in radianti, β è negativo per punti sotto l area caricata. B 6..5 Tensione verticale indotta da una pressione verticale trapezia su una striscia indefinita Il caso della pressione verticale trapezia, di uso molto frequente poiché corrisponde al carico trasmesso da rilevati stradali, può essere risolto per sovrapposizione di effetti utilizzando le equazioni delle strisce di carico rettangolare e triangolare. Se interessa conoscere la tensione verticale in asse al rilevato, con riferimento allo schema ed ai simboli di Figura 6.8, può essere utilizzata, più semplicemente, la seguente equazione: q x R R β α σx z σ y σ z Figura Pressione triangolare su striscia indefinita q a a ( x 0) = a arctan a arctan ( ) σ z = Eq. (6.6) a a π z z a q a x z Figura 6.8: Pressione trapezia su striscia indefinita 87 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

74 Capitolo 6 DIFFUSIONE DELLE TENSIONI 6..6 Tensione verticale indotta da una pressione uniforme su una superficie circolare Con riferimento allo schema di carico di Figura 6.9, le tensioni verticali indotte in asse all area caricata possono essere calcolate con la seguente equazione: σ z( r= 0) = q (Eq. 6.7) 3 R + z mentre per la stima il delle tensioni indotte in corrispondenza di altre verticali si può fare riferimento alla Tabella 6. ed alle curve rappresentate in Figura 6.0. R q r 0 σ z /q 0 0,5 0,5 0,75 Figura Pressione uniforme su area circolare z z/r Osservando la Figura 6.0 si può notare che alla profondità z = 0 in corrispondenza delle verticali interne all area caricata (r < R)la pressione di contatto è pari alla pressione q agente sull area circolare (fondazione flessibile), in corrispondenza delle verticali e- sterne (r > R) la pressione di contatto è zero, e che in corrispondenza delle verticali sul bordo (r = R) la pressione di contatto è pari alla metà della pressione q Tensioni indotte da una pressione uniforme su una superficie rettangolare La soluzione relativa al caso di un area rettangolare uniformemente caricata è molto importante, non solo perché molte fondazioni hanno forma rettangolare, ma anche perché, sfruttando il principio di sovrapposizione degli effetti, permette di calcolare lo stato tensionale indotto da una pressione uniforme agente su un area scomponibile in rettangoli. Con riferimento allo schema di Figura 6., le tensioni indotte dal carico in un punto sulla verticale per uno spigolo O dell area caricata, posto: J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006) 88 r/r=0 r/r=0,5 r/r= r/r= Figura Variazione della tensione verticale indotta da una pressione su area circolare per differenti verticali

75 Capitolo 6 DIFFUSIONE DELLE TENSIONI Tabella 6.: Variazione della tensione verticale indotta da una pressione su area circolare per differenti verticali (dati relativi alla Figura 6.0) q B x r/r 0 0,5 z/r σ z / q 0,000,000 0,500 0,000 0, 0,999 0,995 0,48 0,000 0, 0,99 0,977 0,464 0,00 0,3 0,976 0,94 0,447 0,003 0,4 0,948 0,894 0,430 0,006 0,5 0,90 0,840 0,4 0,00 0,6 0,863 0,780 0,395 0,06 0,7 0,8 0,78 0,378 0,0 0,8 0,758 0,664 0,36 0,08 0,9 0,700 0,6 0,346 0,035 0,646 0,565 0,39 0,04, 0,546 0,480 0,98 0,05,4 0,46 0,408 0,68 0,06,6 0,390 0,35 0,4 0,067,8 0,33 0,303 0,7 0,07 0,84 0,6 0,95 0,073, 0,45 0,8 0,76 0,073,4 0,3 0,0 0,58 0,073,6 0,86 0,78 0,4 0,07,8 0,64 0,58 0,3 0, ,46 0,4 0,9 0, ,086 0,08 0,077 0,05 5 0,057 0,054 0,05 0,04 y L σ z R y z σ z Figura 6.- Pressione uniforme su un area rettangolare R 3 σ x B R x R R R 3 = = = valgono: 0,5 ( L + z ) 0,5 ( B + z ) ( L + B + z ) 0, 5 q L B L B z = arctan + π z R 3 R 3 R q L B L B z = arctan π z R 3 R R 3 q L B L B z = arctan π z R 3 R R 3 q B B z = π R R R 3 + R σ z σ σ τ x y zx Eq. (6.8) Eq. (6.9) Eq. (6.0) Eq. (6.) J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006) 89

76 Capitolo 6 DIFFUSIONE DELLE TENSIONI Volendo conoscere lo stato tensionale in un punto del semispazio alla profondità z, sulla verticale di un punto M non coincidente con lo spigolo O del rettangolo, si procede per sovrapposizione di effetti di aree di carico rettangolari, nel modo seguente (Figura 6.): a) M interno ad ABCD; le tensioni risultano dalla somma delle tensioni indotte in M dalle 4 aree (), (), (3) e (4), ciascuna con vertice in M: σ = σ + σ + σ + σ Eq. (6.) zm(abcd) zm(aamc) zm(abbm) zm(bddm) zm(dccm) b) M esterno ad ABCD; le tensioni risultano dalla somma algebrica delle tensioni indotte da rettangoli opportunamente scelti, sempre con vertice in M: σ = σ σ σ + σ Eq. (6.3) zm(abcd) zm(abmc) zm(bbmd) zm(cdmc) zm(ddmd) caso a) caso b) A A B A B B C M B 3 4 C D D C D D C D M Figura 6. - Esempi di sovrapposizione di aree di carico rettangolari Può essere talvolta utile valutare anche i cedimenti elastici. L equazione per il calcolo del cedimento in corrispondenza dello spigolo O dell area flessibile di carico uniforme q, di forma rettangolare BxL su un semispazio continuo, elastico lineare, omogeneo e isotropo, avente modulo di Young E, e coefficiente di Poisson ν, è la seguente: posto ξ = L/B ( ) q B ν ( ) + + ξ w = ln ξ + + ξ + ξ ln Eq. (6.4) π E ξ L Eq. 6.4 permette di calcolare il cedimento elastico in qualunque punto della superficie, per sovrapposizione degli effetti, con procedura analoga a quella sopra descritta per il calcolo delle tensioni verticali. J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006) 90

77 Capitolo 7 COMPRESSIBILITÀ E CONSOLIDAZIONE EDOMETRICA CAPITOLO 7 COMPRESSIBILITÀ E CONSOLIDAZIONE EDOMETRICA La risultante delle deformazioni verticali che si manifestano in un terreno è comunemente indicata con il termine cedimento e di tale grandezza, nella pratica ingegneristica, interessa di solito conoscere sia l entità sia l evoluzione nel tempo. I principali meccanismi che contribuiscono allo sviluppo dei cedimenti sono: compressione e inflessione delle particelle di terreno per incremento delle tensioni di contatto (tale fenomeno produce deformazioni in gran parte reversibili, ovvero elastiche); scorrimento relativo dei grani indotto dalle forze di taglio intergranulari (tale fenomeno produce deformazioni in gran parte irreversibili, ovvero plastiche); frantumazione dei grani in presenza di elevati livelli tensionali (le conseguenti deformazioni sono irreversibili); variazione della distanza tra le particelle dei minerali argillosi, dovuta a fenomeni di interazione elettrochimica (le conseguenti deformazioni sono in parte reversibili e in parte irreversibili in relazione alle caratteristiche del legame di interazione); compressione e deformazione dello strato di acqua adsorbita (le conseguenti deformazioni sono in gran parte reversibili, ovvero elastiche); In definitiva, le deformazioni (e quindi i cedimenti) conseguono direttamente alla:. compressione delle particelle solide (incluso lo strato di acqua adsorbita);. compressione dell aria e/o dell acqua all interno dei vuoti; 3. espulsione dell aria e/o dell acqua dai vuoti. Per i valori di pressione che interessano nella maggior parte dei casi pratici, la deformabilità delle particelle solide è trascurabile. Inoltre, se il terreno è saturo, come spesso accade per i terreni a grana fine, anche la compressibilità del fluido interstiziale (acqua e/o miscela aria-acqua) può essere trascurata, essendo trascurabile la quantità di aria presente e l acqua praticamente incompressibile. Pertanto, il cedimento nei terreni è dovuto prevalentemente al terzo termine ed in particolare all espulsione dell acqua dai vuoti. Via via che l acqua viene espulsa dai pori, le particelle di terreno si assestano in una configurazione più stabile e con meno vuoti, con conseguente diminuzione di volume. Il processo di espulsione dell acqua dai vuoti è un fenomeno dipendente dal tempo (ovvero dal coefficiente di permeabilità del terreno), l entità della variazione di volume è legata alla rigidezza dello scheletro solido. Si distinguono quindi i due concetti di compressibilità e consolidazione. Compressibilità è la risposta in termini di variazione di volume di un terreno sottoposto ad un incremento dello stato tensionale (efficace, in base al principio delle pressioni efficaci). È necessario studiare la compressibilità di un terreno per stimare le deformazioni volumetriche ed i conseguenti cedimenti. I cedimenti possono essere anche dovuti a costipamento, ovvero all espulsione di aria da un terreno non saturo come conseguenza dell applicazione di energia di costipamento (vedi capitolo ), a deformazioni di taglio a volume costante, che si verificano nei terreni saturi e poco permeabili in condizioni non drenate all atto stesso di applicazione dell incremento delle tensioni, o a deformazioni volumetriche a pressione efficace costante, ovvero a creep (viscosità). 9 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

78 Capitolo 7 COMPRESSIBILITÀ E CONSOLIDAZIONE EDOMETRICA Consolidazione è la legge di variazione di volume del terreno nel tempo. È necessario studiare la consolidazione per stimare il decorso delle deformazioni volumetriche e dei conseguenti cedimenti, nel tempo. Sebbene in linea di principio si possano applicare i concetti di compressibilità e di consolidazione sia a terreni granulari che a terreni a grana fine, in pratica interessano soprattutto questi ultimi, e particolarmente le argille, perché di norma responsabili di cedimenti maggiori e di tempi di consolidazione molto più lunghi. 7. Compressibilità edometrica La compressibilità di un terreno viene spesso valutata in condizioni di carico assiale uniformemente distribuito e di assenza di deformazioni laterali; tali condizioni sono dette edometriche (dal nome della prova utilizzata per riprodurle, che verrà descritta nel seguito). Le condizioni edometriche si realizzano ad esempio nel caso della formazione di un deposito di terreno per sedimentazione lacustre (v. anche Capitolo 3 Tensioni geostatiche), il cui schema è riportato nella Figura 7.a. Il terreno è immerso e quindi è saturo (tutti i vuoti sono pieni d acqua); inoltre, essendo il deposito infinitamente esteso in direzione orizzontale, per simmetria non sono possibili deformazioni orizzontali. In corrispondenza di un generico punto P (Figura 7.a), la pressione efficace verticale (ed anche quella orizzontale) cresce gradualmente via via che avviene la sedimentazione e che il punto considerato, viene a trovarsi a profondità maggiori. Per effetto dell incremento di tensioni efficaci, il terreno subisce deformazioni volumetriche, ε V, le quali, non essendo possibili deformazioni orizzontali, sono eguali alle deformazioni verticali (assiali), ε a, ovvero: V H ε v = = = ε a (Eq. 7.) V0 H 0 essendo V 0 e H 0 il volume e l altezza iniziale di un elemento di volume nell intorno del punto P considerato, V e H le relative variazioni di volume e di altezza. In Ingegneria Geotecnica, per tradizione, si fa più spesso riferimento alle variazioni di indice dei vuoti piuttosto che alle variazioni di volume. Dalla definizione di deformazione volumetrica e ricordando la definizione di indice dei Vv vuoti ( e = ), si desume comunque la relazione: Vs V e H = = (Eq. 7.) V0 + e0 H0 avendo indicato con e 0 l indice dei vuoti iniziale dell elemento di terreno considerato. Rappresentando in un diagramma l indice dei vuoti del terreno in funzione della pressione verticale efficace, riportata in scala logaritmica, nel caso in cui il deposito sia soggetto a più cicli di carico e scarico, ad esempio sedimentazione (A-B), seguita da erosione (B-C), di nuovo sedimentazione (C-D), fino a superare lo strato eroso, poi di nuovo erosione (D- E), si ottiene l andamento qualitativo rappresentato nel grafico di Figura 7.b. In particolare, trascurando il piccolo ciclo di isteresi formato dai tratti BC (scarico) e CB (ricarico), si può osservare che: J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006) 9

79 Capitolo 7 COMPRESSIBILITÀ E CONSOLIDAZIONE EDOMETRICA a) b) e A (D) (E) (B) (C) (A) C E B D P σ c σ v (log) Figura 7. - Sedimentazione in ambiente lacustre con più cicli di carico e scarico (a) e variazione dell indice dei vuoti con la pressione verticale efficace (b): A B: compressione vergine, B C: decompressione, C B: ricompressione, B D: compressione vergine, D E: decompressione. - nelle fasi di primo carico (compressione vergine, tratti AB e BD) il comportamento deformativo del terreno è elasto-plastico, poiché nella successiva fase di scarico una sola parte delle variazioni di indice dei vuoti (e quindi delle deformazioni) viene recuperata; - i tratti di primo carico appartengono alla stessa retta; - nelle fasi di scarico e ricarico (tratti BC, CB e DE) il comportamento deformativo è e- lastico ma non elastico-lineare (il grafico di Figura 7.b è in scala semilogaritmica); - sia in fase di carico vergine che in fase di scarico e ricarico, essendo la relazione e-σ v rappresentata da una retta in scala semilogaritmica, per ottenere un assegnato decremento dell indice dei vuoti, e, occorre applicare un incremento di tensione verticale efficace σ v tanto maggiore quanto più alto è il valore di tensione iniziale, ovvero la rigidezza del terreno cresce progressivamente con la tensione applicata. La massima pressione verticale efficace sopportata dall elemento di terreno considerato è detta pressione di consolidazione (o di preconsolidazione), σ c (ad esempio, nel caso di Figura 7. la pressione di consolidazione è rappresentata dall ascissa del punto D del grafico. Quando l elemento di terreno si trovava in un punto appartenente alla retta ABD, era soggetto ad una pressione verticale efficace che non aveva mai subito nel corso della sua storia precedente, ovvero era soggetto alla pressione di consolidazione; nei tratti BC e DE invece era soggetto ad una pressione verticale efficace minore di quella di consolidazione. Un terreno il cui punto rappresentativo si trova sulla curva edometrica di carico vergine (ABD) si dice normalmente consolidato (o normalconsolidato) (NC), mentre un terreno il cui punto rappresentativo si trova su una delle curve edometriche di scarico-ricarico (BC, CB, DE) si dice sovraconsolidato (OC). Il rapporto tra la pressione di consolidazione, σ c, e la pressione verticale efficace agente, σ vo, è detto, come già anticipato nel Capitolo 3, grado di sovraconsolidazione: σ OCR = c. σ vo In conclusione, si può affermare che in condizioni edometriche (e non solo, come vedremo più avanti) il comportamento del terreno segue, con buona approssimazione, un modello elastico non lineare plastico ad incrudimento positivo (vedi Capitolo 5). 93 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

80 Capitolo 7 COMPRESSIBILITÀ E CONSOLIDAZIONE EDOMETRICA La pressione di consolidazione rappresenta la soglia elastica (o di snervamento) del materiale. Per valori di tensione inferiori alla pressione di consolidazione (terreno OC) il comportamento è elastico non lineare. Se un terreno NC viene compresso la pressione di consolidazione, ovvero la soglia elastica aumenta di valore (incrudimento positivo). La compressibilità dei terreni viene studiata in laboratorio mediante la prova edometrica, i cui risultati sono comunemente utilizzati per calcolare le deformazioni (e i cedimenti) conseguenti all applicazione di carichi verticali in terreni a grana fine, come verrà illustrato più in dettaglio nei paragrafi seguenti e nel Capitolo 6 (cedimenti di fondazioni superficiali). 7. Determinazione sperimentale della compressibilità edometrica Per studiare in laboratorio la compressibilità (e, come vedremo in seguito anche la consolidazione) nelle condizioni di carico verticale infinitamente esteso, strati orizzontali, filtrazione e deformazioni solo verticali (quali quelle presenti ad esempio durante il processo di formazione di un deposito per sedimentazione), viene impiegata una prova di compressione a espansione laterale impedita, detta prova edometrica. La prova viene di norma eseguita su provini di terreno a grana fine (argille e limi) indisturbati (ovvero ricavati in modo da alterare il meno possibile la struttura naturale del terreno in sito. Vedi anche Capitolo ). I provini, di forma cilindrica e rapporto diametro/altezza (D/H 0 ) compreso tra,5 e 4 (molto spesso D=6cm, H 0 =cm), durante la prova sono lateralmente confinati da un anello metallico, di rigidezza tale da potersi considerare indeformabile. L assenza di deformazioni radiali (che nello schema di formazione di un deposito descritto precedentemente consegue alle condizioni di estensione infinita e stratificazione orizzontale) è garantita dal vincolo meccanico costituito dall anello. La forma schiacciata del provino è motivata dalle necessità di ridurre al minimo le tensioni tangenziali indesiderate di attrito e di aderenza con la parete dell anello (che a tal fine viene lubrificata), e di contenere i tempi di consolidazione. Sulle basi inferiore e superiore del provino vengono disposti un disco di carta da filtro e uno di pietra porosa, per favorire il drenaggio. Linsieme provino-anello rigidopietre porose è posto in un contenitore (cella edometrica) pieno dacqua, in modo da garantire la totale saturazione del provino durante la prova (Figura 7.). Le modalità standard di esecuzione della prova prevedono l applicazione del carico verticale N per successivi incrementi, ciascuno dei quali è mantenuto il tempo necessario per consentire l esaurirsi del cedimento di consolidazione primaria (in genere 4h). Quindi, diversamente dallo schema di formazione del deposito per sedimentazione, caratterizzato da un incremento graduale e continuo della pressione verticale (totale ed efficace), nella prova edometrica standard la tensione verticale totale è applicata per gradini, con discontinuità. Durante la permanenza di ciascun gradino di carico, viene misurata la variazione di altezza del provino, H, nel tempo (tale informazione consente di studiare l evoluzione nel tempo dei cedimenti, ovvero il processo di consolidazione, come verrà illustrato nel Paragrafo 7.7). Noto il valore di H è possibile calcolare le deformazioni as- La consolidazione primaria è distinta dalla consolidazione secondaria dovuta a fenomeni viscosi (Par. 7.9). 94 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

81 Capitolo 7 COMPRESSIBILITÀ E CONSOLIDAZIONE EDOMETRICA siali (e volumetriche), H e = ( + e0 ). H 0 H ε =, e le variazioni di indice dei vuoti (Eq. 7.), a H 0 N Anello edometrico Capitello Cella edometrica H 0 D Pietre porose Figura 7. Cella edometrica I valori della deformazione assiale e/o dell indice dei vuoti corrispondenti al termine del processo di consolidazione primaria per ciascun gradino di carico 3 (o più spesso, per comodità ma commettendo un errore, corrispondenti al termine delle 4h di permanenza del carico di ogni gradino), vengono diagrammati in funzione della corrispondente N 4 N pressione verticale media efficace, σ v = =. Collegando fra loro i punti A π D sperimentali si disegnano le curve di compressibilità edometrica. Nel grafico in scala semilogaritmica della Figura 7.3, è rappresentato l andamento dell indice dei vuoti (asse delle ordinate a sinistra) e della deforma- 5 zione assiale (asse delle ordinate a destra) in 6 funzione della pressione verticale media effi cace, ottenuto sperimentalmente da una prova edometrica standard condotta su un Tensione efficace verticale, σ provino indisturbato v (Mpa) (log) [MPa] di argilla 4 (le due curve Figura 7.3 Esempio di risultati di prova edometrica indice dei vuoti, e 3 Le altezze del provino corrispondenti all inizio e alla fine del processo di consolidazione primaria, per ciascun gradino di carico, si determinano mediante opportune procedure descritte nei Paragrafi 7.7. e Si osservi che i punti sperimentali hanno passo costante in ascissa. Essendo la scala delle ascisse logaritmica, ciò significa che gli incrementi di carico sono applicati con progressione geometrica. Nella fase di 95 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

82 Capitolo 7 COMPRESSIBILITÀ E CONSOLIDAZIONE EDOMETRICA sono omologhe, in quanto le variabili ε a e e sono proporzionali). Nel grafico si individuano tre tratti per la fase di carico: un tratto iniziale a debole pendenza (punti -) un tratto intermedio a pendenza crescente (punti -5) un tratto finale a pendenza maggiore e quasi costante (punti 5-8). La curva di scarico (punti 9-) ha pendenza minore e quasi costante. Il grafico può essere interpretato, alla luce di quanto detto al paragrafo precedente, tenendo conto della storia tensionale e deformativa subita dal provino di terreno. Il provino, quando si trovava in sito, era soggetto alla pressione litostatica. Durante il campionamento, l estrazione, il trasporto, l estrusione dal campionatore, ha subito una serie di disturbi (inevitabili) ed una decompressione fino a pressione atmosferica in condizioni di espansione libera 5. A causa della decompressione il provino si è espanso e, a parità di contenuto in acqua, è diminuito il grado di saturazione e si sono generate pressioni neutre negative (vedi Capitolo 9). Poi è stato fustellato con l anello metallico della prova edometrica 6 e inserito nella cella riempita d acqua, dove assorbendo acqua in condizioni di espansione laterale impedita ha in parte rigonfiato. Infine è iniziata la fase di carico. Il tratto iniziale della curva di Figura 7.3 (punti -) corrisponde perciò ad un ricompressione in condizioni edometriche che tuttavia segue ad uno scarico (non rappresentato nel grafico) non e- dometrico. Perciò il primo tratto non è rettilineo, e comunque non ha pendenza eguale a quella del ramo di scarico. Il secondo tratto della curva (punti -5) è marcatamente curvilineo e comprende il valore e C r A σ c C c C s σ v (log) Figura Schematizzazione della curva di compressione edometrica della pressione di consolidazione in sito, la cui determinazione sperimentale viene di norma eseguita con la costruzione grafica di Casagrande, descritta nel seguito. Il terzo tratto della curva di carico (punti 5-8) corrisponde ad una compressione edometrica vergine o di primo carico. Il grafico di Figura 7.3 viene utilizzato per stimare i parametri di compressibilità. A tal fine, la curva sperimentale di compressione edometrica e-σ v, in scala semilogaritmica (Figura 7.3), viene approssimata, per le applicazioni pratiche, con tratti rettilinei a scarico il numero di punti sperimentali è minore (in genere la metà). Il primo gradino di carico è generalmente pari a 5 kpa, l ultimo gradino deve essere tale da superare abbondantemente la pressione di preconsolidazione (6 8 σ c ) 5 Poiché il disturbo da campionamento è inevitabile, specie per i terreni normalmente consolidati, nessuna prova di laboratorio può riprodurre esattamente le condizioni in sito. 6 Per ridurre il disturbo prodotto dal fustellamento l anello ha un bordo tagliente con parete interna verticale (vedi Figura 7.4). 96 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

83 Capitolo 7 COMPRESSIBILITÀ E CONSOLIDAZIONE EDOMETRICA differente pendenza 7 (Figura 7.4); il tratto di ginocchio a pendenza crescente è sostituito con un punto angolare (punto A), corrispondente alla pressione di consolidazione, σ c. La pendenza del tratto iniziale è detta indice di ricompressione, C r, e non è molto significativo per i motivi sopradetti. La pendenza del tratto successivo al ginocchio, ovvero alla pressione di consolidazione, è detta indice di compressione, C c. La pendenza nel tratto di scarico tensionale è detta indice di rigonfiamento, C s 8. Valori tipici di C c sono compresi tra 0. e 0.8; C s è dell ordine di /5 /0 del valore di C c. Per una stima approssimata dell indice di compressione per argille N.C. si può ricorrere alla seguente relazione: C c = 0,009 (w L 0) (Eq. 7.3) Per determinare la pressione di preconsolidazione sono state proposte varie procedure, tra cui la più comunemente utilizzata è quella di Casagrande, che prevede i seguenti passi (Figura 7.5):. si determina il punto di massima curvatura (M) del grafico semilogaritmico e- σ v. si tracciano per M la retta tangente alla curva (t), la retta o- rizzontale (o), e la retta bisettrice (b) dellangolo formato da t ed o 3. lintersezione di b con la retta corrispondente al tratto terminale della curva di primo carico individua la pressione di preconsolidazione. e σ p,min σ (log) v Considerate le difficoltà spesso esistenti nellindividuare il punto di massima curvatura, è utile confrontare sempre il valore di σc ottenuto, con i suoi possibili limiti inferiore e superiore: il primo è rappresentato dall ascissa del punto di intersezione tra la retta di ricompressione e quella di compressione vergine (punto S); il secondo dall ascissa del punto R a partire dal quale la relazione e-logσ diventa una retta. Confrontando il valore della σ c, determinato sperimentalmente, con la tensione verticale efficace σ v0 (calcolata) esistente in sito alla quota di prelievo del campione, si determina il grado di sovraconsolidazione OCR del deposito in esame (nel punto di prelievo del campione). σ c σ p,max Figura 7.5 Determinazione della pressione di preconsolidazione σ c con il metodo di Casagrande S M R t o b 7 Le pendenze nei diversi tratti sono date dal rapporto adimensionale e. log 0 σ v 8 Sarebbe buona norma fare eseguire in laboratorio un intero ciclo di scarico-ricarico e determinare l indice di rigonfiamento come pendenza dell asse del ciclo di isteresi. 97 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

84 Capitolo 7 COMPRESSIBILITÀ E CONSOLIDAZIONE EDOMETRICA Indice dei vuoti, e 0.4 e 0 e0 Provino ricostituito Provino disturbato Provino indisturbato σ v0 (= σ c) Curva di compressione in sito log σ Figura 7.6 Effetto del disturbo sulla curva di compressibilità edometrica La qualità del campione costituisce il requisito più importante per una affidabile determinazione delle pendenze e della σ c. Il disturbo tende infatti a distruggere in parte o in tutto la struttura del terreno e le informazioni in essa contenute (in particolare la memoria dello stato tensionale), rendendo meno pronunciato il passaggio dal tratto di ricompressione a quello di compressione, e alterando le pendenze rispetto alla curva in sito. Per migliorare l interpretazione della prova si può ricorrere alle costruzioni di Schmertmann (955). In Figura 7.6 sono mostrate le curve di compressione edometrica di tre provini della stessa argilla con differente grado di disturbo e la curva di compressione in sito. È stato osservato che, indipendentemente dal grado di disturbo le tre curve convergono in un punto che corrisponde ad un indice dei vuoti pari al 40% del valore iniziale. È pertanto ragionevole assumere che anche la curva che si riferisce alle condizioni in sito passi da quel punto. Schmertmann (955) ha proposto di definire la curva di compressione in sito nel modo seguente: per terreno NC (Figura 7.7):. si determina l indice dei vuoti naturale del provino in sito, e 0, (in base al contenuto naturale in acqua, w n, ed al peso specifico dei costituenti solidi, γ s,) e si prolunga la curva sperimentale di compressione fino ad un valore dell indice dei vuoti pari al 40% del valore naturale (punto B);. si stima la pressione verticale efficace geostatica alla profondità di estrazione del campione, σ v0, che per terreno NC coincide con la pressione di consolidazione, σ c ; 3. si disegna il punto A di coordinate (σ v0, e 0 ); 4. si traccia la retta AB che corrisponde alla migliore stima della curva di compressibilità in sito. per terreno OC (Figura 7.8):. si esegue un programma di carico della prova edometrica comprendente un ciclo completo di scarico-ricarico a partire da una pressione superiore alla pressione di consolidazione (presunta) 9, e si determina l indice di rigonfiamento C s come pendenza dell asse del ciclo di isteresi, CD;. si determina l indice dei vuoti naturale del provino in sito, e 0, e si prolunga la curva sperimentale di compressione fino ad un valore dell indice dei vuoti pari al 40% del valore naturale (punto B); 9 Se il terreno è fortemente sovraconsolidato e durante la prova edometrica non è superata la pressione di consolidazione, si ottiene una curva priva di tratti rettilinei che spesso viene male interpretata ed attribuita a disturbo o a errore di sperimentazione. 98 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

85 Capitolo 7 COMPRESSIBILITÀ E CONSOLIDAZIONE EDOMETRICA 3. si stima la pressione verticale efficace geostatica alla profondità di estrazione del campione, σ v0 ; 4. si disegna il punto A di coordinate (σ v0, e 0 ); 5. si stima la pressione di consolidazione, σ c, con il metodo di Casagrande; 6. si traccia dal punto A una retta di pendenza C s fino al punto E avente ascissa σ c (A- E); 7. si traccia la retta EB; 8. la spezzata AEB corrisponde alla migliore stima della curva di compressibilità in sito. Indice dei vuoti, e e0 0.4 e 0 Curva sperimentale A σ v0 (= σ c) Curva in sito corretta B log σ Figura 7.7: Costruzione di Schmertmann per terreno NC I valori sperimentali della deformazione assiale, ε a, e dell indice dei vuoti, e, ottenuti al termine del processo di consolidazione primaria per ciascun gradino di carico, possono essere rappresentati anche in grafici in scala naturale (e non semilogaritmica). Nella Figura 7.9 sono rappresentati i punti e le curve corrispondenti alla prova di Figura 7.3 (ovviamente anche in questo caso le due curve sono omologhe). La rappresentazione in scala naturale Indice dei vuoti, e [-] e0 Indice dei vuoti, e 0.4 e 0 A D E C Curva sperimentale (fase di ricarico) σ σ v0 c Curva in sito corretta e B log σ Figura 7.8: Costruzione di Schmertmann per terreno OC Tensione efficace verticale, σ v (MPa) rende ancor più evidente la non linearità e l aumento di rigidezza al crescere della tensione applicata. 5 6 Figura 7.9: Risultati della prova di Figura 7.5 rappresentati in scala naturale J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006) 99

86 Capitolo 7 COMPRESSIBILITÀ E CONSOLIDAZIONE EDOMETRICA Dalla curva (σ v ε a ) di Figura 7.9 si definiscono i seguenti parametri di compressibilità che, a differenza di C c e di C s, sono dipendenti dal campo di tensione cui si riferiscono: il coefficiente di compressibilità di volume: εa m v = [F - L ] (Eq. 7.4) σ v e, il suo reciproco, il modulo edometrico: σ v M = = [F L - ] (Eq. 7.5) m v ε a Dalla curva (σ v e) di Figura 7.9 si definisce: il coefficiente di compressibilità: e a v = [F - L ] (Eq. 7.6) σ v e valgono le relazioni: a v m v = = (Eq. 7.7) + e M M o ( + e ) 0 =,3 σ v (Eq. 7.8) Cc Valori orientativi di M, in funzione di I C, per terreni coesivi sono riportati in Tabella 7.. Tabella 7. - Valori orientativi di M per terreni coesivi (nel campo dei valori di σ v più frequenti per i problemi di ingegneria geotecnica) Ic 0-0,5 0,5-0,75 0,75- > M (MPa) 0, Calcolo del cedimento totale di consolidazione primaria Utilizzando i parametri appena definiti e determinabili mediante la prova edometrica è possibile calcolare il cedimento di uno strato di terreno al quale è applicato un carico uniformemente distribuito σ v, nel caso in cui possa ritenersi soddisfatta l ipotesi di deformazione monodimensionale. In pratica il comportamento dello strato viene assimilato a quello di un provino sottoposto ad una prova edometrica (Figura 7.0), assumendo che i parametri di compressibilità dello strato siano uguali a quelli determinati per il provino. Ricordando che in condizioni edometriche: H e = (Eq. 7.9) H + o e o Il cedimento H sarà dato da : H o H = e (Eq. 7.0) + eo dove H o è l altezza iniziale dello strato, e o è l indice dei vuoti iniziale e e la variazione dell indice dei vuoti, conseguente all applicazione del carico, che può essere ricavata dai risultati della prova edometrica. 00 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

87 Capitolo 7 COMPRESSIBILITÀ E CONSOLIDAZIONE EDOMETRICA e σ σ v0 c σ + σ v0 v C r H σ v e C c (σ, e ) v0 0 H 0 0 σ (log) v Figura 7.0 Schema per il calcolo del cedimento di consolidazione primaria di uno strato di terreno coesivo Facendo riferimento al grafico e-logσ v si può infatti osservare che nel caso più generale di terreno sovraconsolidato (assumendo C r = C s ): σc σ vo + σ v e = Cs log + C c log (Eq. 7.) σ vo σc da cui consegue: H o σc σ vo + σ v H = [Cs log + Cc log ] (Eq. 7.) + e σ σ o vo c Se il carico applicato è tale da non far superare la σ c, si ha invece: σ vo + σ v e = C s log (Eq. 7.3) σ vo e quindi: H o σ vo + σ v H = [Cs log ] (Eq. 7.4) + eo σ vo Se il terreno invece è normalconsolidato: σ vo + σ v e = C c log (Eq. 7.5) σ vo e quindi H o σ vo + σ v H = [Cc log ] (Eq. 7.6) + eo σ vo In alternativa ai parametri C c e C s, si può fare riferimento al coefficiente di compressibilità di volume m v, o al modulo edometrico M, o al coefficiente di compressibilità a v : σ v H o H = H o σ v m v = H o = σ v a v (Eq. 7.7) M + e0 tenendo conto del fatto che tali parametri dipendono dal livello di tensione e quindi vanno scelti opportunamente in funzione dellintervallo tensionale significativo per il problema in esame. J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

88 Capitolo 7 COMPRESSIBILITÀ E CONSOLIDAZIONE EDOMETRICA Nella pratica, soprattutto in presenza di strati di elevato spessore e non omogenei, è opportuno per una stima migliore del cedimento, suddividere lo strato in più sottostrati, e- ventualmente differenziando i parametri di compressibilità del terreno (laddove siano disponibili un certo numero di prove edometriche eseguite su provini estratti a differenti profondità). Il cedimento complessivo dello strato risulta essere così espresso: n H oi σci σ voi + σ vi H = [Csi log + Cci log ] (Eq. 7.8) i= + eoi σ voi σci oppure: n n H oi H = (H oi σ vi m vi ) = ( σ vi a vi ) (Eq. 7.9) i= i= + eoi dove le pressioni ed i parametri di compressibilità sono riferiti alla mezzeria di ciascuno degli n sottotrati, di spessore H 0i. Nell ipotesi di carico, q, applicato in superficie, uniformemente distribuito ed infinitamente esteso, il conseguente incremento della tensione verticale totale, σ v, che compare nelle Eq , è costante sia in direzione orizzontale che al variare della profondità ed è pari al carico applicato ( σ v = q). Nel caso in cui il carico sia distribuito su una superficie di dimensioni limitate (rispetto allo spessore dello strato) il valore di σ v si riduce al crescere della profondità e varia in direzione orizzontale; tale incremento può essere determinato con riferimento alla teoria dell elasticità (vedi Capitolo 6) in funzione della geometria della superficie di carico. In prima approssimazione, nel caso di carico q uniformemente distribuito su un area rettangolare, il valore di σ v può essere stimato al variare della profondità z, ipotizzando che il carico si diffonda con un rapporto : (Figura 7.). Alla profondità z risulta, quindi: q L B σ (z) = (Eq. 7.0) v ( L + z) ( B + z) Nelle Eq. 7.7 e 7.8 il valore dell incremento di pressione verticale, σ vi, è riferito alla mezzeria di ciascun sottostrato. Impronta di carico B L L z z z/ 0 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006) L + z Figura 7. Schema semplificato per il calcolo della diffusione delle tensioni z/ σvi

89 Capitolo 7 COMPRESSIBILITÀ E CONSOLIDAZIONE EDOMETRICA 7.4 Consolidazione Come già evidenziato nei paragrafi precedenti, l applicazione di un sistema di sollecitazioni induce nel terreno un sistema di distorsioni (cambiamenti di forma) e/o di deformazioni (variazioni di volume). Essendo i terreni mezzi particellari costituiti da grani solidi e vuoti, con i grani solidi praticamente incompressibili, ogni variazione di volume di un elemento di terreno corrisponde ad una variazione del volume dei vuoti. Inoltre, se il terreno è saturo, ovvero se tutti i vuoti sono riempiti d acqua, essendo l acqua praticamente incompressibile, una variazione di volume comporta un moto di filtrazione dell acqua interstiziale: in allontanamento dall elemento di terreno se il volume si riduce, in entrata nell elemento se il volume aumenta. Il processo di espulsione dell acqua dai pori avviene quando, per effetto del carico applicato, si genera, all interno u + 0 Figura 7. Campo di sovrappressioni generato in un terreno a grana fine in seguito all applicazione di un carico 03 di un certo volume di terreno, un campo di sovrapressioni neutre, u, variabile da punto a punto. La conseguente differenza di carico idraulico, rispetto alle condizioni di equilibrio, provoca l instaurarsi di un flusso dell acqua in regime transitorio dai punti a energia maggiore verso i punti a energia minore, e in particolare verso l esterno della zona interessata dall incremento delle pressioni interstiziali (Figura 7.). Come già osservato nell introduzione di questo Capitolo, via via che l acqua viene espulsa dai pori, le particelle di terreno si deformano e si assestano in una configurazione più stabile e con meno vuoti, con conseguente diminuzione di volume. La velocità di questo processo dipende dalla permeabilità del terreno. L entità della variazione di volume, dipende dalla rigidezza dello scheletro solido, cioè dalla struttura del terreno. Escludendo le sollecitazioni di natura dinamica e riferendosi quindi solo al caso di carichi statici o quasi statici, nei terreni a grana grossa (ghiaie e sabbie), a causa della loro elevata permeabilità (k > 0-6 m/s), l espulsione dell acqua è praticamente istantanea e quindi anche la deformazione volumetrica. Nel caso dei terreni a grana fine (limi e argille), invece, a causa della loro scarsa permeabilità (k <0-6 m/s) l espulsione dell acqua dai pori con dissipazione delle sovrapressioni neutre, e quindi la deformazione volumetrica, risulta differita nel tempo. Questo fenomeno, caratterizzato da un legame tensioni-deformazionitempo, viene indicato con il termine consolidazione. 7.5 Consolidazione edometrica u u 0 Si consideri un deposito di terreno sabbioso, saturo e sotto falda, infinitamente esteso e delimitato superiormente da una superficie piana. Ad una certa profondità sia presente uno strato orizzontale di argilla di spessore costante H e infinitamente esteso. J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

90 Capitolo 7 COMPRESSIBILITÀ E CONSOLIDAZIONE EDOMETRICA Supponiamo che su tutta la superficie del p deposito venga istantaneamente applicata una pressione verticale uniforme p (Figura 7.3). In ogni punto del semispazio si produce istantaneamente un incremento H di tensione verticale totale σ v = p. Per ragioni di simmetria non possono esservi deformazioni orizzontali. Nella sabbia, molto permeabile, si manifestano (quasi) immediatamente deformazioni verticali (e volumetriche), con il Figura Schema di carico edometrico relativo cedimento del piano campagna: l incremento di tensione totale determina (quasi immediatamente) un eguale incremento della tensione efficace (sopportata dallo scheletro solido), mentre l acqua in eccesso filtra rapidamente in direzione verticale e la pressione interstiziale (praticamente) non varia. I grani si deformano e si addensano con riduzione dei vuoti, e quindi di volume. Si dice che la sabbia costituisce un sistema aperto. Nell argilla, poco permeabile, la filtrazione avviene molto più lentamente e tutto il fenomeno, sopra descritto per la sabbia, è molto rallentato. La teoria della consolidazione edometrica 0 (ovvero monodimensionale) di Terzaghi affronta il problema della determinazione dei modi e dei tempi in cui si svolge tale fenomeno. Per introdurre la teoria della consolidazione monodimensionale è utile riferirsi allo schema meccanico rappresentato in Figura 7.4: un cilindro indeformabile pieno di acqua contenente un pistone a tenuta idraulica collegato ad una molla a comportamento elastico lineare. Si assume che l acqua sia incomprimibile. Il pistone è attraversato da un condotto che termina in una valvola che, se aperta, lascia filtrare una portata d acqua limitata. Un manometro misura la pressione dell acqua all interno del cilindro. La valvola è inizialmente aperta e la pressione idrostatica dell acqua è assunta come zero di riferimento. Al tempo t=t la valvola viene chiusa e contemporaneamente è applicata una forza verticale Q sul pistone. Poiché l acqua non può filtrare, il pistone non ha cedimenti, la molla non si comprime e quindi non sostiene alcun carico. Il carico applicato Q è equilibrato da un incremento della pressione dell acqua, che viene registrata dal manometro, pari a u w (t ) = Q/A, essendo A la sezione retta del cilindro. Al tempo t=t la valvola viene aperta e l acqua, per effetto della pressione, inizia a filtrare verso l esterno nei limiti consentiti dalle caratteristiche della valvola. Alla progressiva diminuzione di volume occupato dall acqua corrisponde un progressivo cedimento del pistone e quindi un progressivo accorciamento della molla l(t). Tale accorciamento è proporzionale alla forza sostenuta dalla molla. Al generico istante t i >t la forza Q è equilibrata in parte dalla reazione della molla, Q M, e in parte dalla sovrapressioni residua dell acqua, Q W : Q = Q (t) + Q (t) = K l(t) + u (t) A (Eq. 7.) M W p w σv v = = p p in cui si è indicato con K la costante elastica della molla. Il manometro registra una progressiva diminuzione della pressione dell acqua nel tempo. 0 Si osservi che la prova edometrica riproduce quasi esattamente le condizioni di carico e di vincolo descritte e rappresentate in Figura J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

91 Capitolo 7 COMPRESSIBILITÀ E CONSOLIDAZIONE EDOMETRICA Valvola Chiuso Aperto Pressione Q Q (t ) W Q (t ) M i i t 0 t t t 3 t 4 t 5 t 6 t 7 Sovraccarico 0 t 0 t t t 3 t 4 t 5 t 6 t 7 Tempo Figura 7.4 Modello meccanico di elasticità ritardata Al tempo t=t 7 il processo si esaurisce. La molla sostiene per intero il carico Q, la sovrapressione dell acqua si è interamente dissipata. Quanto appena descritto rappresenta in maniera semplificata ciò che accade in un terreno coesivo durante il processo di consolidazione edometrica: inizialmente il sovraccarico applicato è sopportato quasi esclusivamente dall acqua interstiziale. Gradualmente l acqua viene espulsa dai pori, con filtrazione verticale, e il carico viene trasferito allo scheletro solido che si comprime, con conseguente aumento delle pressioni effettive. Alla fine del processo di consolidazione tutte le sovrapressioni neutre si sono dissipate e il sovraccarico totale applicato è interamente sopportato dallo scheletro solido (cioè interamente equilibrato da un incremento delle pressioni verticali efficaci). Un altro, più completo modello meccanico, utile a introdurre la teoria della consolidazione edometrica è quello proposto da Terzaghi e rappresentato in Figura 7.5. Esso consiste in un recipiente cilindrico contenente una serie di pistoni forati, eguali fra loro, separati da molle di eguale rigidezza, e riempito d acqua. Ciascuna zona di interpiano in cui risulta suddiviso il recipiente tramite i pistoni è collegata ad un tubo aperto per la misura del carico piezometrico. Applicando un incremento di pressione σ (rispetto alla pressione esistente in condizioni di equilibrio) si osserva che questo è istantaneamente sopportato dall acqua. L altezza di risalita dell acqua in tutti i piezometri nell istante di applicazione del carico (t=0) è data da σ/γ w. La differenza di carico idraulico innesca una filtrazione 05 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

92 Capitolo 7 COMPRESSIBILITÀ E CONSOLIDAZIONE EDOMETRICA verticale ascendente verso la superficie a pressione atmosferica. Col passare del tempo la pressione dell acqua nelle varie zone si riduce gradualmente, ed entrano in compressione le molle, a partire dalla parte più alta del recipiente. Al generico istante di tempo t in un dato interpiano, la pressione dell acqua e l altezza d interpiano saranno inferiori rispetto a quelle dell interpiano sottostante. Il processo continua finché, dopo un tempo relativamente lungo, la sovrapressione dell acqua in tutte le zone si sarà interamente dissipata e la distanza di interpiano sarà eguale (la pressione neutra assume il valore esistente prima dell applicazione del sovraccarico in condizioni di equilibrio, i dischi si saranno avvicinati della quantità corrispondente alla pressione sopportata dalle molle). Con riferimento allo schema di Figura 7.5 si osservi che l area del rettangolo ABCD è proporzionale al carico totale applicato Q= σ A r (essendo A r l area della sezione retta del recipiente) e che ad un generico istante di tempo (ad esempio t=t ) l area ABCE è proporzionale alla quota parte di Q sostenuta dalle molle, mentre l area AED è proporzionale alla quota parte di Q sostenuta dall acqua. L isocrona AE riferita all asse AD rappresenta la distribuzione delle sovrapressioni neutre con la profondità, e riferita all asse BC la distribuzione delle tensioni verticali sulle molle. Se le molle sono ad elasticità lineare, e quindi vi è proporzionalità tra tensioni e deformazioni, l area ABCD è proporzionale al cedimento finale, l area ABCE è proporzionale al cedimento avvenuto al tempo t=t, l isocrona AE riferita all asse BC rappresenta la distribuzione delle deformazioni verticali al tempo t=t. Negli schemi sopra descritti, le molle rappresentano lo scheletro solido, l acqua nel cilindro rappresenta l acqua che riempie i pori, i fori sui pistoni rappresentano la permeabilità del terreno. 7.6 Teoria della consolidazione edometrica B A Figura Modello meccanico di Terzaghi C E D La teoria della consolidazione edometrica di Terzaghi si basa sulle seguenti ipotesi semplificative:. consolidazione monodimensionale, cioè filtrazione e cedimenti in una sola direzione (verticale);. incompressibilità dell acqua (ρ w = cost.) e delle particelle solide (ρ s = cost.); 3. validità della legge di Darcy; 4. terreno saturo, omogeneo, isotropo, con legame sforzi deformazioni elastico lineare, a permeabilità costante nel tempo e nello spazio; 5. validità del principio delle tensioni efficaci. La teoria è sviluppata a partire dall equazione generale di flusso (Capitolo 4, Eq. 4.), che nelle ipotesi suddette diviene: 06 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006) σ γ w u γ w σ/γ w

93 Capitolo 7 COMPRESSIBILITÀ E CONSOLIDAZIONE EDOMETRICA h k z e = (Eq. 7.) + e t o e e σ v Posto = e ricordando la definizione del coefficiente di compressibilità: t σ v t e av = (Eq. 7.3) σ v si ha, essendo per ipotesi di elasticità lineare a v = cost: k( + eo ) h σ v = (Eq. 7.4) av z t Se poi il carico piezometrico h viene espresso come somma dell altezza geometrica, z, e dell altezza di pressione, u/γ w, e la pressione a sua volta viene espressa come somma del termine dovuto alla pressione dei pori in regime stazionario, u p (in condizioni di equilibrio prima dell applicazione del sovraccarico) e di quello dovuto all eccesso di pressione dei pori conseguente all applicazione del sovraccarico, u e, si può scrivere, con riferimento allo schema di Figura 7.6: ( u p + ue ) h = z + (Eq. 7.5 γ w e osservando che la distribuzione delle pressioni in regime stazionario, u p è lineare con la profondità z, per cui la derivata seconda di u p rispetto alla profondità è zero, si ha: h ue = (Eq. 7.6) z γ z w Essendo per il principio delle pressioni efficaci (Capitolo 3, Eq. 3.3): σ v σ v ue = t t t (Eq. 7.7) p Sabbia Argilla 0 z w isocrona all istante t = 0 H z z w Profondità u(z) p u(z,t) u(z,t) e isocrona ad un generico istante t Sabbia Z + H w Pressione dei pori u 0 u(z,t)=u (z) + u (z,t) p e Figura 7.6. Distribuzione delle pressioni neutre con la profondità durante il processo di consolidazione in condizioni edometriche 07 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

94 Capitolo 7 COMPRESSIBILITÀ E CONSOLIDAZIONE EDOMETRICA e supponendo che il sovraccarico applicato, σ v, sia costante nel tempo si ha: σ v ue = t t L equazione di continuità si riduce quindi alla seguente espressione: k( + eo ) ue ue = γ a z t w v (Eq. 7.8) (Eq. 7.9) Il termine: k( + eo ) k = γ a γ m w v w v = c v [L /T] (Eq. 7.30) è chiamato coefficiente di consolidazione verticale e può essere determinato elaborando i risultati della prova edometrica secondo le procedure che verranno descritte nel Paragrafo 7.8. Utilizzando l Eq.7.30, dopo avere ricavato dalla prova edometrica anche il coefficiente di compressibilità di volume, m v (Paragrafo 7.), è possibile ottenere una stima del coefficiente di permeabilità k del terreno. Ovviamente, potendo determinare tanti valori di c v e di m v, quanti sono i gradini di carico applicati al provino, si possono ottenere altrettanti valori del coefficiente di permeabilità. In genere si assume come valore più rappresentativo per il terreno in sito quello corrispondente al gradino di carico entro cui ricade la tensione litostatica valutata alla profondità di estrazione del provino. Con la definizione di c v (Eq. 7.30), l equazione differenziale della consolidazione monodimensionale di Terzaghi diventa: ue ue cv = (Eq. 7.3) z t dove u e = u e (z, t) rappresenta, come già detto, il valore dell eccesso di pressione neutra nel punto a quota z, e al tempo t dall istante di applicazione del carico. Vengono definite le due variabili adimensionali: z Z = (Eq. 7.3) H cv t Tv = (chiamato fattore di tempo) (Eq. 7.33) H con H altezza di drenaggio, pari cioè al massimo percorso che una particella d acqua deve compiere per uscire dallo strato (nel caso di strato doppiamente drenato è pari alla metà dell altezza dello strato, nel caso di strato da un lato solo è pari allo spessore dell intero strato). L equazione (7.35) può essere così riscritta: ue ue = (Eq. 7.34) Z T v La soluzione dell equazione 7.34 dipende dalle condizioni iniziali e dalle condizioni al contorno (due condizioni per z e una per t), in particolare dalle condizioni di drenaggio (da un solo lato o da entrambi i lati) e dalla distribuzione iniziale della sovrapressione u e 08 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

95 Capitolo 7 COMPRESSIBILITÀ E CONSOLIDAZIONE EDOMETRICA con la profondità z (isocrona iniziale), che nel caso di consolidazione determinata da un carico infinitamente esteso applicato in superficie è uniforme. Sotto le ipotesi edometriche (Figura 7.6) di: e isocrona iniziale costante con la profondità (per t=0 u e = u o, z) superfici superiore e inferiore perfettamente drenanti (per z=0 e z=h u e = 0, t 0) la soluzione risulta esprimibile in serie di Taylor come: u ( Z,T v ) m= o M T = (sin MZ ) e v (Eq. 7.35) m= 0 u M dove: M = π ( m + ). Tale soluzione, che permette (per ogni z e t) di calcolare u e (z, t) noto c v, si trova usualmente diagrammata in termini di grado di consolidazione U z, definito come rapporto tra la sovrapressione dissipata al tempo t e la sovrapressione iniziale u o, cioè: uo ue( z,t ) ue( z,t ) U z = = (Eq. 7.36) uo uo in funzione del fattore di tempo T v (noto una volta noto c v ). Un diagramma tipico U z = f(z,t v ) è riportato in Figura 7.7. Da tale soluzione si può osservare che: subito dopo l applicazione del carico si ha un gradiente idraulico elevato alle estremità che si riduce progressivamente verso l interno dello strato (e nel tempo); in mezzeria il gradiente dell eccesso di pressione è sempre nullo, cioè non vi è alcun flusso attraverso il piano orizzontale a metà dello strato. A(T ) v A = Area totale del grafico t Grado di consolidazione medio U (T ) = A(T )/A m v v t Z= z/h Grado di consolidazione, U z Figura 7.7 Grado di consolidazione U z in funzione del fattore di tempo, Tv, e di z/h (Taylor, 948) 09 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

96 Capitolo 7 COMPRESSIBILITÀ E CONSOLIDAZIONE EDOMETRICA In base a quest ultima osservazione si ha che il piano di mezzeria può essere considerato impermeabile e pertanto la soluzione può essere estesa anche al caso in cui si abbia uno strato drenato solo ad una estremità, come nel modello meccanico di Figura 7.5, ponendo attenzione alla definizione di altezza di drenaggio che in questo caso è pari all altezza dello strato. La soluzione dell equazione della consolidazione monodimensionale fornisce il decorso nel tempo delle sovrapressioni interstiziali, ma può essere utilizzata anche per la previsione del decorso dei cedimenti nel tempo dell intero strato. Infatti nella maggior parte dei casi pratici non interessa conoscere il valore del grado di consolidazione U z in un dato punto dello strato di terreno, ma piuttosto il valore del grado di consolidazione medio dell intero strato raggiunto dopo un certo periodo di tempo dall applicazione del carico. Il grado di consolidazione medio dell intero strato in termini di sovrapressione interstiziali, corrispondente ad un certo fattore di tempo, T v, ossia ad un certo istante, t, è dato da: U = H [ uo ue( z,t )] 0 H 0 u o dz dz ed è questa l informazione che generalmente interessa nei casi pratici (interessa conoscere l aliquota del cedimento totale che si è realizzata dopo un certo tempo dall applicazione del carico). Si può osservare che nei grafici U z -T v, il valore di U m corrispondente ad un certo tempo adimensionalizzato T v, rappresenta il rapporto tra l area, A(t), compresa tra la linea U z =0 e la relativa curva di T v e l area totale del grafico, A t, (quella compresa tra le linee U z =0 e U z =). Ad esempio in Figura 7.7 il rapporto tra l area tratteggiata e l area totale del grafico rappresenta il grado di consolidazione medio corrispondente ad un fattore di tempo T v = Le soluzioni del grado di consolidazione medio U m in funzione del fattore di tempo T v si trovano diagrammate o tabulate per diversi andamenti dell isocrona iniziale (costante, triangolare, etc.). In tabella 7. e in Figura 7.8 sono riportate le soluzioni relative al caso di isocrona iniziale costante con la profondità (con ascissa in scala lineare e logaritmica). 0 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006) (Eq. 7.37) Osservando che durante il processo di consolidazione le pressioni efficaci variano della stessa quantità delle pressioni interstiziali, con segno opposto, e che, per l ipotesi di elasticità lineare, la deformazione verticale è direttamente proporzionale alla pressioni verticale efficace: u0 ue( t ) σ ( t ) M ε( t ) ε( t ) = = = (Eq. 7.38) u σ M ε ε 0 v f f si ha che il grado di consolidazione medio in termini di sovrapressione interstiziali, U, (rapporto tra la sovrapressione dissipata al tempo t e la sovrapressione totale iniziale) coincide con il grado di consolidazione medio in termini di cedimento, U m, definito come rapporto tra il cedimento al tempo t, s(t), che per definizione è l integrale delle deformazioni verticali al tempo t, e il cedimento finale totale, s f : U H ε (t) dz s(t) = s f ε dz 0 m = = H 0 f U (Eq. 7.39)

97 Capitolo 7 COMPRESSIBILITÀ E CONSOLIDAZIONE EDOMETRICA Tabella 7.. Valori tabulati della soluzione dell equazione U m = f(t v ) per il caso di isocrona i- niziale costante con la profondità U m T v Grado di consolidazione medio, Um [%] Fattore di tempo, T v Grado di consolidazione medio, Um [%] Fattore di tempo, T v Figura Diagrammi della soluzione dell equazione U m = f(t v ) per il caso di isocrona iniziale costante con la profondità, con ascissa in scala lineare (a) e logaritmica (b) Esistono anche espressioni analitiche che forniscono una stima approssimata della soluzione per il caso di isocrona iniziale costante con la profondità, ad esempio: U 3 6 Tv 0.5 U m 6 3 m = ; T 3 v = (Brinch-Hansen) 6 (Eq. 7.40) Tv U m Tv π U m = ; Tv = U m per U m 60% π 4 (Terzaghi) (Eq. 7.4) T = log( 00 U (%)) per U > 60% v U m 4 Tv π = 4 Tv + π ; T v m = π U 4 m 5.6 [ U ] m m (Sivaram & Swamee) (Eq. 7.4) Se fossero verificate le ipotesi della teoria della consolidazione, le curve sperimentali in prova edometrica cedimento tempo, per qualunque terreno e per qualunque carico applicato, dovrebbero essere eguali, a meno di fattori di scala, alle curve teoriche adimensionali U m = f(t v ). Infatti U s( t ) cv t m = è proporzionale al cedimento s(t) e Tv = è proporzionale al tempo t. I fattori di scala sono caratteristici dei diversi terreni e devono esse- s H f re determinati sperimentalmente. In particolare occorre determinare il cedimento di consolidazione edometrica finale, s f, la lunghezza del percorso di drenaggio H, e il coefficiente di consolidazione, c v. In realtà le ipotesi alla base della teoria non sono ben verificate per i terreni reali, come discuteremo in seguito, ma l accordo fra le curve adimensionali teoriche e quelle sperimentali è accettabile per gradi di consolidazione non superiori al 60%. J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

98 Capitolo 7 COMPRESSIBILITÀ E CONSOLIDAZIONE EDOMETRICA A questo punto è opportuno conoscere come si può determinare il coefficiente di consolidazione, c v, (parte essenziale del fattore di scala) l unico parametro che nella soluzione dell equazione della consolidazione tiene conto delle proprietà del terreno. Per la sua determinazione si utilizzano i risultati della prova edometrica. 7.7 Determinazione sperimentale del coefficiente di consolidazione verticale Come abbiamo visto al paragrafo 7. la prova edometrica standard è eseguita applicando incrementi successivi di carico, mantenuti costanti fino all esaurimento del fenomeno di consolidazione (e oltre). Durante tale periodo si rilevano i cedimenti del provino nel tempo. I valori osservati dell altezza del provino sono generalmente diagrammati secondo due modalità: - in funzione del logaritmo del tempo, - in funzione della radice quadrata del tempo. Gli andamenti tipici dei grafici che si ottengono nei due casi sono rappresentati nelle Figure 7.9a e 7.9b. H H i H H i H f H f H 90 a) b) t = 0 Figura 7.9 Andamento dell altezza del provino (H) durante la consolidazione edometrica in funzione del logaritmo del tempo (a) e della radice quadrata del tempo (b) Dai diagrammi così ottenuti è possibile determinare, relativamente a ciascuno dei gradini di carico applicati, il coefficiente di consolidazione, c v, mediante una delle due procedure di seguito descritte Metodo di Casagrande Si applica al grafico tempo (log)-altezza del provino (Figura 7.9a), nel quale si assume di poter distinguere un primo tratto, AB, corrispondente al processo di consolidazione e- Normalmente vengono prese misure di abbassamento a intervalli di tempo via via crescenti (0, 0, 30,,, 5, 0 etc..) J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

99 Capitolo 7 COMPRESSIBILITÀ E CONSOLIDAZIONE EDOMETRICA dometrica primaria, e un secondo tratto lineare, BD, corrispondente alle deformazioni viscose (la consolidazione secondaria di cui parleremo in seguito). Ovviamente tale suddivisione è del tutto arbitraria, in quanto un aliquota del cedimento viscoso si sovrappone al cedimento di consolidazione primaria nel tratto iniziale della curva, mentre nel tratto finale, oltre al cedimento di consolidazione secondaria sarà presente anche una componente (seppure trascurabile) del cedimento di consolidazione primaria. Come già detto, per poter interpretare il fenomeno reale mediante il modello teorico di Terzaghi, occorre sovrapporre e far coincidere la curva teorica adimensionale U m =f(tv) con la curva sperimentale, allo scopo di determinare i fattori di scala. Il primo passo del metodo consiste nell individuare, mediante una procedura convenzionale, le altezze del provino corrispondenti all istante iniziale e alla fine del processo di consolidazione primaria. L origine (zero corretto) delle deformazioni può essere ricavata osservando che la relazione tra grado di consolidazione medio, U m, e fattore di tempo, T v, (e quindi la relazione tra cedimenti e tempo), per valori di U m < 60% (Eq. 7.45), è con buona approssimazione una parabola ad asse orizzontale. Il tempo risulta cioè proporzionale al quadrato del cedimento, ossia, considerati due istanti, t e t, e i relativi cedimenti, S(t ) e S(t ) (tali che U m <60%), vale la relazione: S( t t ) = (Eq. 7.43) S( t ) t Di conseguenza, scelto un tempo t sufficientemente piccolo e assunto t = 4t, risulta dalla (7.45) che S(t ) = S(t ); quindi, con riferimento alla Figura 7.9a, se il segmento PR misura il cedimento all istante t (dove P, che rappresenta l origine delle deformazioni, è incognito), il segmento PT, che misura il cedimento all istante t, dovrà essere il doppio di PR. Di conseguenza ribaltando il segmento RT rispetto al punto R si trova il punto P e quindi, sull asse delle ordinate, l altezza H i, corrispondente all inizio della consolidazione primaria (U m = 0%). L altezza del provino al termine del processo di consolidazione primaria (U m = 00%), H f, è invece ottenuto, sempre con riferimento alla Figura 7.9a, dall intersezione della retta CD, relativa al tratto finale della curva, con la retta EB tangente alla curva nel punto di flesso F. Mediante la relazione: H 50 = (H i + H f )/ (Eq. 7.44) si determina quindi l altezza corrispondente alla metà del processo di consolidazione, ovvero l altezza media di drenaggio H 50. Dalle tabelle (o tramite le relazioni) che forniscono U m in funzione di T v, si ricava poi il fattore di tempo adimensionale che corrisponde ad un grado di consolidazione medio del 50% (ad esempio dalla relazione di Terzaghi si ottiene T v = 0.97). Sostituendo i valori sopra determinati nella definizione del fattore di tempo T v (Eq. 7.33), è possibile infine ricavare il coefficiente di consolidazione verticale, c v, tramite la seguente relazione: La procedura è necessaria perché l asse delle ascisse è in scala logaritmica e quindi non contiene il tempo t=0. Inoltre per i primi gradini di carico si possono avere abbassamenti per assestamento della piastra di carico e, se il provino non è completamente saturo, una deformazione istantanea per compressione ed espulsione delle bolle d aria eventualmente presenti all interno del provino. 3 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

100 Capitolo 7 COMPRESSIBILITÀ E CONSOLIDAZIONE EDOMETRICA c v H = (Eq. 7.45) t Metodo di Taylor Il metodo di Taylor viene applicato facendo riferimento al diagramma t-altezza del provino (Figura 7.9b), in cui si nota che i punti sperimentali nel tratto iniziale della curva si allineano approssimativamente lungo una retta (essendo, come già osservato, il tempo proporzionale al quadrato del cedimento per valori di U m < 60%). L autore della procedura ha inoltre evidenziato che lascissa, t 90, corrispondente al 90% del cedimento di consolidazione primaria, Η 90, è pari a.5 volte il valore dell ascissa corrispondente alla stessa ordinata sulla retta interpolante i dati sperimentali. Quindi, una volta diagrammati gli spostamenti in funzione di t e tracciata la retta interpolante i punti iniziali (corrispondenti a U m < 60%), si disegna la retta con ascisse incrementate del 5% rispetto a quella interpolante; dallintersezione di quest ultima con la curva sperimentale, punto C, si ricava t 90, ossia la radice del tempo corrispondente al 90% della consolidazione primaria e, proiettato sull asse delle ordinate, l altezza H 90 corrispondente. In questo caso, l altezza di inizio consolidazione H i è determinata prolungando la retta interpolante fino ad incontrare l asse delle ordinate, punto O, e l altezza corrispondente alla fine del processo di consolidazione è data da: 9 H f = Hi + ( H f H i ) (Eq.7.46) 0 L altezza media di drenaggio, H 50, è determinata anche in questo caso a partire dall altezza corrispondente alla metà del processo di consolidazione (Eq. 7.44). Dalle tabelle (o tramite le relazioni) che forniscono U m in funzione di T v, si ricava poi il fattore di tempo adimensionale che corrisponde ad un grado di consolidazione medio del 90% (ad esempio dalla relazione di Terzaghi si ottiene T v = 0.848). Sostituendo i valori sopra determinati nella definizione del fattore di tempo T v (Eq. 7.33), è possibile infine ricavare il coefficiente di consolidazione verticale, c v, tramite la seguente relazione: c v H = (Eq. 7.47) t Validità e limiti della teoria della consolidazione edometrica La teoria della consolidazione edometrica si basa sullo schema di carico e di vincolo (condizioni al contorno) rappresentato in Figura 7.3 (strati orizzontali, carico applicato uniforme e infinitamente esteso) che comporta l assenza di deformazioni orizzontali e il flusso solo verticale dell acqua. Le condizioni al contorno della prova edometrica riproducono fedelmente tale schema, che ha il vantaggio della semplicità essendo monodimensionale. Talvolta lo schema corrisponde bene alle condizioni stratigrafiche e geotecniche del deposito ed alla causa perturbatrice (ad esempio un abbassamento uniforme del livello piezometrico, oppure un riporto strutturale di spessore costante o, più in generale, un manu- 4 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

101 Capitolo 7 COMPRESSIBILITÀ E CONSOLIDAZIONE EDOMETRICA fatto che trasmette al terreno un carico uniformemente distribuito di estensione molto maggiore dello spessore dello strato compressibile), ma altre volte no. Se ad esempio l area di carico è di dimensioni piccole rispetto allo spessore dello strato compressibile, l incremento di tensione verticale non può essere assunto costante con la profondità (vedi Capitolo 6), le deformazioni di taglio non sono zero e quindi si hanno cedimenti istantanei anche a deformazione volumetrica nulla, la filtrazione avviene anche in direzione orizzontale, etc. Ma anche quando lo schema stratigrafico e geotecnico corrisponde bene alle condizioni al contorno ed il fenomeno è unidirezionale, la soluzione di Terzaghi è solo approssimata poiché non sono verificate alcune ipotesi base. In particolare: il legame tensioni deformazioni è marcatamente non lineare, come messo in evidenza dai grafici delle Figure 7.3, 7.9, etc. ; la permeabilità del terreno varia nel tempo, durante il processo di consolidazione, perché diminuisce l indice dei vuoti; è trascurata la componente viscosa delle deformazioni. Per potere comunque utilizzare la soluzione di Terzaghi, si ipotizza che il terreno abbia un comportamento lineare e permeabilità costante nell ambito di ogni gradino di carico, e che le deformazioni viscose abbiano inizio solo quando la consolidazione edometrica è in gran parte esaurita. Per ogni gradino di carico, sfruttando solo la parte iniziale della curva sperimentale allo scopo di escludere le deformazioni viscose, si possono determinare i corrispondenti valori di c v, a v, e k, e utilizzare nelle applicazioni i valori di tali proprietà determinati per la pressione iniziale e l incremento di pressione più prossimi a quelli reali. Se le ipotesi di Terzaghi fossero verificate, si otterrebbero gli stessi valori di c v, a v, e k per tutti i gradini di carico, poiché tali grandezze sarebbero indipendenti dalla pressione. 7.9 Consolidazione secondaria La curva teorica della consolidazione edometrica di Terzaghi prevede, nella parte terminale, un asintoto orizzontale. Le curve sperimentali s(t) mostrano invece un asintoto inclinato. Tale differenza, più o meno marcata a seconda del tipo di terreno, è dovuta alle deformazioni viscose dello scheletro solido. Deformazioni che avvengono anche a pressione efficace costante, e quindi anche (ma non solo) a consolidazione primaria esaurita. La pendenza dell asintoto inclinato nel piano semilogaritmico e-logt, è detto indice di compressione secondaria: e Cα = (Eq. 7.48) log t Valori di riferimento dell indice di compressione secondaria, per alcuni tipi di terreno, sono riportati in Tabella 7.3: Tabella Valori indicativi del rapporto C α /C c Terreno C α /C c Argille tenere organiche 0,05 ± 0,0 Argille tenere inorganiche 0,04 ± 0,0 Sabbie da 0,05 a 0,03 5 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

102 Capitolo 7 COMPRESSIBILITÀ E CONSOLIDAZIONE EDOMETRICA Come osservato nel Paragrafo 7. le curve di compressibilità edometrica nei piani e- logσ v, e-σ v, e ε a -σ v si ottengono in genere collegando i punti sperimentali ricavati dalle misure effettuate al termine del periodo di applicazione di ciascun incremento di carico (di solito 4h). Sarebbe quindi più corretto depurare gli abbassamenti misurati dalla componente viscosa, in sostanza utilizzando come altezza finale del provino l altezza H f corrispondente al 00% di consolidazione edometrica. L errore che si commette non è comunque particolarmente rilevante. 6 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

103 Capitolo 8 ANCORA SULLA CONSOLIDAZIONE 8. Introduzione CAPITOLO 8 ANCORA SULLA CONSOLIDAZIONE Nel capitolo 7 è stata illustrata la teoria della consolidazione monodimensionale di Terzaghi, che permette di stimare il tempo necessario alla dissipazione delle sovrapressioni neutre, e quindi al verificarsi dei cedimenti di consolidazione, nell ipotesi di strati orizzontali di terreno saturo e omogeneo, e di incremento della pressione verticale totale i- stantaneo, uniforme e infinitamente esteso. Tali condizioni di carico si verificano in pratica quando lo spessore dello strato che consolida è piccolo rispetto all estensione dell area di carico, come ad esempio in seguito alla messa in opera di un riporto strutturale di altezza costante e grandi dimensioni planimetriche, oppure in seguito ad un abbassamento generalizzato e uniforme del livello di falda. Consolidazione monodimensionale vuol dire filtrazione e deformazioni solo in direzione verticale, e quindi assenza di cedimenti in condizioni non drenate, ovvero all istante di applicazione del carico. In questo capitolo ci proponiamo di considerare condizioni di carico più generali e realistiche e le tecniche utilizzate, nella pratica professionale, per accelerare il processo di consolidazione. Se il carico applicato è distribuito su una striscia di larghezza B e di lunghezza indefinita, lo stato di deformazione è piano, la filtrazione avviene in due dimensioni, il bacino dei cedimenti è cilindrico, sono possibili deformazioni di taglio e quindi vi sono cedimenti anche a volume costante, in condizioni non drenate. Se il carico applicato è distribuito su un area di dimensioni ridotte e confrontabili, ad esempio un area circolare, quadrata o rettangolare, lo stato di deformazione, la filtrazione e il bacino dei cedimenti sono tridimensionali, sono possibili deformazioni di taglio e quindi vi sono cedimenti anche a volume costante, in condizioni non drenate. La durata del processo di consolidazione dipende quindi anche dalla forma e dalle dimensioni dell area di carico. A titolo di esempio, in Figura 8. sono messe a confronto le curve che indicano il tempo necessario perché si realizzi l 80% della consolidazione per tre differenti condizioni di carico e quindi di drenaggio (area di carico infinita filtrazione monodimensionale, striscia di carico filtrazione bidimensionale, area di carico circolare filtrazione tridimensionale) e per differenti dimensioni dell area di carico, al variare dello spessore dello strato che consolida (per c v = m /anno). La stima dei tempi di consolidazione mediante la teoria monodimensionale di Terzaghi è non solo quasi sempre in eccesso, poiché sono trascurati gli effetti della forma e delle dimensioni dell area di carico, ma è anche molto incerta, molto più incerta, ad esempio, di quanto non sia la stima dell entità del cedimento di consolidazione edometrica. Se infatti lo strato di argilla che consolida è intercalato da sottili livelli continui di sabbia, la cui presenza può sfuggire all indagine geotecnica, il cedimento è sostanzialmente invariato, ma i tempi di consolidazione possono essere fortemente ridotti. Viceversa se una sottile e piccola lente di sabbia è intercettata nell indagine geotecnica e falsamente interpretata come un livello continuo e drenante, la stima del tempo di consolidazione può risultare errata per difetto. Quando è possibile e giustificato dall importanza dell opera da realizzare, è utile monitorare i cedimenti reali nel tempo, durante e subito dopo la costruzione, allo scopo di identi- 7 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

104 Capitolo 8 ANCORA SULLA CONSOLIDAZIONE ficare e tarare con le misure sperimentali eseguite in vera grandezza un modello geotecnico interpretativo del fenomeno in atto, da utilizzare per la previsione del comportamento futuro. Carico infinitamente esteso Striscia di carico Area di carico circolare B D Spessore dello strato di terreno (m) -D -D Drenaggio e deformazione in questa direzione Tempo di consolidazione (anni) 3-D Figura 8.. Effetto sui tempi di consolidazione della forma e delle dimensioni dell area di carico (U m = 80%; c v = m /anno) 8. Consolidazione durante la costruzione La teoria della consolidazione di Terzaghi assume che il carico totale σ sia applicato i- stantaneamente (al tempo t = 0) e mantenuto costante nel tempo fino all esaurirsi della consolidazione. In realtà il carico viene applicato gradualmente, in modo anche discontinuo e talvolta non monotòno, durante le varie fasi di costruzione. Una soluzione sufficientemente accurata può ottenersi assumendo che l intero carico sia istantaneamente applicato al tempo corrispondente alla metà del periodo di costruzione, ma se quest ultimo è molto lungo (dell ordine di anni) può essere utile prevedere il decorso dei cedimenti nel tempo durante e dopo il periodo di costruzione. Per tenere conto dell applicazione non istantanea del carico e della consolidazione durante la costruzione si può utilizzare un semplice metodo grafico empirico. Si suppone che il carico totale sia applicato in modo linearmente variabile nel tempo. In generale potrà esservi una prima fase di lavoro che prevede uno scavo di sbancamento, e quindi una riduzione delle tensioni, seguita dalla costruzione e quindi da un incremento delle tensioni fino al valore massimo, al termine del periodo di costruzione, che poi si mantiene costante (Figura 8.). Durante la fase di scavo possono avvenire dei rigonfiamenti, che potrebbero anche essere stimati ma che di norma hanno poco interesse poiché lo scavo sarà portato fino alla pro- 8 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

105 Capitolo 8 ANCORA SULLA CONSOLIDAZIONE fondità di progetto. In genere si assume che il processo di consolidazione abbia inizio al tempo t, che corrisponde al ripristino dello stato tensionale iniziale, quando cioè il carico totale applicato compensa il peso del terreno scavato. Sbancamento Carico t Cedimento Costruzione O t / / t C A t t E curva istantanea t D B Esercizio tempo curva corretta Il procedimento grafico per tracciare la curva corretta tempo cedimenti è il seguente (Figura 8.):. si disegna la curva istantanea tempo cedimenti a partire dal tempo t = t, assunto come origine dei tempi, come se il carico totale σ fosse stato applicato per intero e in modo istantaneo;. si assume che al tempo t, ovvero al termine del periodo di costruzione, il cedimento per consolidazione (punto B) sia pari al valore che sulla curva istantanea corrisponde al tempo t=t / (punto A), e si trasla della quantità t / la porzione della curva istantanea relativa a valori di t maggiori di t /. In sostanza si fa l ipotesi che per tempi superiori a t, ovvero dopo la fine della costruzione, il decorso dei cedimenti nel tempo corrisponda a quello che si sarebbe avuto per un applicazione istantanea e totale del carico al tempo t /; 3. per determinare la prima parte della curva corretta si procede come segue: a) si sceglie un generico istante di tempo t < t ; b) si determina il cedimento sulla curva istantanea per il tempo t/ (punto C); c) si disegna una retta orizzontale da C fino al punto D, corrispondente al tempo t ; d) si uniscono con una retta i punti O (origine degli assi) e D; e) si assume che il punto E appartenente alla retta OD, con ascissa t, sia un punto della curva corretta tempo cedimenti; f) si ripete la costruzione per diversi valori di t, e si collegano i punti E ottenuti con una curva. 8.3 Accelerazione del processo di consolidazione mediante precarico Quando il tempo stimato di consolidazione è giudicato troppo lungo, è possibile ridurlo applicando un sovraccarico aggiuntivo temporaneo (precarico). Poiché il sovraccarico è spesso realizzato con un riporto di terreno, la tecnica del precarico è molto utilizzata per σ tempo Figura 8.. Costruzione grafica della curva corretta di consolidazione 9 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

106 Capitolo 8 ANCORA SULLA CONSOLIDAZIONE le opere in terra e nei lavori stradali. Il principio di funzionamento del precarico è mostrato in Figura 8.3. Supponiamo di poterci riferire a condizioni edometriche p p (strato orizzontale normalmente consolidato di spessore s p f H 0, carico uniforme applicato istantaneamente, filtrazione t s t t monodimensionale con altezza di drenaggio H, coefficien- s s A te di consolidazione verticale s f c v ). s fs s Figura 8.3: Accelerazione del processo di consolidazione mediante precarico La curva tempo cedimenti indicata con la lettera A è ottenuta calcolando il cedimento edometrico finale s f dovuto al solo carico finale di progetto p f con l equazione: C C σ v0 + p f s = f H 0 log + (Eq. 8.) e0 σ v0 e applicando la teoria della consolidazione di Terzaghi, ovvero le equazioni: t s(t) = U m (Tv ) s f e Tv = c v (Eq. 8.) H La curva A rappresenta il decorso dei cedimenti nel tempo in assenza di precarico. Supponiamo che alla consegna dell opera, o comunque dopo un assegnato tempo t, si debba essere già manifestato il cedimento s f (o una gran parte di esso). Per accelerare il processo di consolidazione si può decidere di applicare un sovraccarico temporaneo di intensità p s per un periodo di tempo t s. Molto spesso t s (ovviamente minore di t ) è condizionato dai tempi necessari per le lavorazioni, e quindi è un dato di progetto, mentre l incognita è l intensità del precarico p s. Introducendo nell equazione: c v t Tv = (Eq. 8.3) H il tempo t s, si determina il valore del fattore di tempo T v e quindi il corrispondente valore del grado di consolidazione medio U m al tempo t s, che è pari sia al rapporto s s /s f che al rapporto s f /s fs. Noto il valore di U m è pertanto possibile calcolare il cedimento finale di consolidazione edometrica s fs che si avrebbe sotto il carico applicato di intensità (p f + p s ): s fs = s f /U m (Eq. 8.4) Di norma il contratto d appalto fissa i termini di consegna dell opera da realizzare. Supponiamo ad esempio che si debba consegnare un rilevato stradale, finito, entro una certa data. La pavimentazione deve essere realizzata a cedimenti assoluti e differenziali esauriti, pena la formazione di avvallamenti e la continua rottura del manto stradale durante l esercizio. 0 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

107 Capitolo 8 ANCORA SULLA CONSOLIDAZIONE Applicando in modo inverso l equazione per in calcolo del cedimento edometrico si determina l intensità del carico (p f + p s ) (e quindi l intensità di p s ) che, mantenuto in essere per un tempo t s, produce il cedimento s f : sfs ( + e0 ) H0 Cc ( pf + ps ) = σ v0 0 (Eq. 8.5) Dopo tale tempo, eliminando il precarico, non si registreranno ulteriori cedimenti, in quanto il cedimento avvenuto s f corrisponde al cedimento edometrico finale del carico finale permanente p f. La tecnica del precarico può essere utilizzata anche per sovraconsolidare il terreno di fondazione, se il tempo di permanenza è tale da produrre cedimenti maggiori di s f, e quindi per migliorarne la resistenza e la rigidezza. 8.4 Accelerazione del processo di consolidazione mediante dreni verticali Un altra tecnica per accelerare il processo di consolidazione consiste nell inserire nel terreno dreni verticali disposti ai vertici di una maglia regolare, quadrata o triangolare, di lato inferiore alla massima lunghezza di drenaggio H. Come abbiamo visto nel Capitolo 7, il tempo necessario perché avvenga la consolidazione edometrica è proporzionale al quadrato della massima lunghezza di drenaggio: Tv t = H (Eq. 8.6) c v Inserendo dreni verticali nel terreno si permette all acqua di filtrare anche in direzione o- rizzontale fino al dreno più vicino, ovvero si riduce la lunghezza del percorso di drenaggio, si sfrutta la maggiore permeabilità del terreno in direzione orizzontale, si fa avvenire un processo di consolidazione tridimensionale, ottenendo in tal modo una molto più rapida dissipazione delle sovrapressioni neutre e quindi una forte accelerazione dei tempi di consolidazione (Figura 8.4). In passato i dreni rilevato strato drenante verticali erano realizzati con pali di sabbia, infissi o trivellati, di diametro d w = mm e interasse,5 6,0m, argilla molle dreni verticali talvolta rivestiti con una calza di juta o di geosintetico. Oggi più sabbia frequentemente si utilizzano dreni Figura 8.4: Schema di impiego dei dreni verticali prefabbricati di J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

108 Capitolo 8 ANCORA SULLA CONSOLIDAZIONE tipo diverso (di cartone, con anima in plastica e guaina di cartone, di geotessile, di corda), messi in opera a percussione o per infissione lenta di un mandrino. I dreni prefabbricati hanno sezione lamellare (larghezza a=60 00mm, spessore b= 5mm), e se ne calcola il diametro equivalente con l equazione: ( a + b) d w = (Eq. 8.7) π Per il dimensionamento del sistema di dreni verticali occorre considerare la consolidazione radiale. Con riferimento allo schema di Figura 8.5, si considera un cilindro di terreno con superficie esterna impermeabile e un dreno centrale. Le ipotesi sono le stesse della teoria della consolidazione edometrica di Terzaghi, a parte la direzione del flusso:. terreno omogeneo, d e. parametri di compressibilità e di permeabilità costanti r e durante il processo di consolidazione, d w 3. deformazioni solo verticali e filtrazione solo radiale, 4. deformazioni piccole rispetto all altezza del cilindro che drena. L equazione della consolidazione radiale (che corrisponde all Eq della consolidazione edometrica) è la seguente: r u e u e u e c h + = r r r (Eq. 8.8) t in cui c h k m γ = h (Eq. 8.9) v w è il coefficiente di consolidazione per flusso in direzione orizzontale (in genere c h > c v a causa dell anisotropia della permeabilità e della struttura stratificata in direzione orizzontale dei terreni naturali, ma spesso sia per la Figura 8.5: Schema di consolidazione radiale c h, sia perché il disturbo dovuto alla messa in opera dei maggiore difficoltà di determinazione sperimentale di dreni prefabbricati riduce la permeabilità orizzontale e quindi c h, si assume c h = c v ). Analogamente a quanto già visto per la consolidazione edometrica, anche per la consolidazione radiale si definisce il fattore di tempo adimensionale: c h t Tr = (Eq. 8.0) d e e il grado di consolidazione radiale medio, U r, che rappresenta il rapporto tra il cedimento di consolidazione radiale al tempo t e il cedimento di consolidazione totale, e che può essere calcolato con la seguente equazione approssimata (Figura 8.6): J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

109 Capitolo 8 ANCORA SULLA CONSOLIDAZIONE s(t) 8 Tr U r (%) = 00 = exp 00 s f F (Eq. 8.) F = ln(n) 0,75 d e in cui n = è il rapporto tra il diametro del cilindro, d e, e il diametro del dreno, d w. d w Il diametro equivalente del cilindro di terreno che drena, d e, è assunto pari al diametro del cerchio di area eguale all area di influenza del dreno, per cui: per disposizione a quinconce, con maglia triangolare equilatera di lato s (Figura 8.7a): 6 d e = s,05 s (Eq. 8.) π 3 per disposizione a maglia quadrata di lato s (Figura 8.7b): 4 d e = s,3 s (Eq. 8.3) π Il grado di consolidazione medio complessivo, U, in un processo combinato di consolidazione verticale e radiale, si determina con la seguente equazione (Carrillo, 94): U(%) = 00 ( 00 U v ) (00 U r ) (Eq. 8.4) 00 in cui si sono indicati con U v (%) e con U r (%) rispettivamente i gradi di consolidazione medi dei processi di filtrazione verticale e radiale. L eq. 8.4 si applica per un dato valore del tempo t, cui corrispondono due differenti valori di T v e di T r, e quindi due differenti valori di U v e di U r. Molto spesso le due tecniche per accelerare il processo di consolidazione sopradescritte (precarico e dreni verticali) vengono utilizzate simultaneamente. fattore di tempo, T r grado di consolidazione medio, U r (%) n=5 n=0 80 n=40 n=00 00 a) b) Figura 8.6: Grado di consolidazione medio, U r, in funzione del fattore di tempo, T r, per consolidazione radiale Figura 8.7: Disposizione di dreni a quinconce con maglia triangolare equilatera (a) e a maglia quadrata (b) 3 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

110 Capitolo 9 RESISTENZA AL TAGLIO DEI TERRENI 9. Introduzione CAPITOLO 9 RESISTENZA AL TAGLIO DEI TERRENI Per le verifiche di resistenza delle opere geotecniche è necessario valutare quali sono gli stati di tensione massimi sopportabili dal terreno in condizioni di incipiente rottura. La resistenza al taglio di un terreno in una direzione è la massima tensione tangenziale, τ f, che può essere applicata alla struttura del terreno, in quella direzione, prima che si verifichi la rottura, ovvero quella condizione in cui le deformazioni sono inaccettabilmente elevate. La rottura può essere improvvisa e definitiva, con perdita totale di resistenza (come avviene generalmente per gli ammassi rocciosi), oppure può avere luogo dopo grandi deformazioni plastiche, senza completa perdita di resistenza, come si verifica spesso nei terreni. Nella Meccanica dei Terreni si parla di resistenza al taglio, perché in tali materiali, a causa della loro natura particellare, le deformazioni (e la rottura) avvengono principalmente per scorrimento relativo fra i grani. In linea teorica, se per l analisi delle condizioni di equilibrio e di rottura dei terreni si utilizzasse un modello discreto, costituito da un insieme di particelle a contatto, si dovrebbero valutare le azioni mutue intergranulari (normali e tangenziali alle superfici di contatto) e confrontarle con i valori limite di equilibrio. Tale approccio, allo stato attuale e per i terreni reali, non è praticabile. Per la soluzione dei problemi di meccanica del terreno è tuttavia possibile, in virtù del principio delle tensioni efficaci, riferirsi al terreno saturo (mezzo particellare con gli spazi fra le particelle riempiti da acqua) come alla sovrapposizione nello stesso spazio di due mezzi continui: un continuo solido corrispondente alle particelle di terreno, ed un continuo fluido, corrispondente all acqua che occupa i vuoti interparticellari. In tal modo è possibile applicare anche ai terreni i ben più familiari concetti della meccanica dei mezzi continui solidi e della meccanica dei mezzi continui fluidi. Le tensioni che interessano il continuo solido sono le tensioni efficaci, definite dalla differenza tra le tensioni totali e le pressioni interstiziali: σ = σ u (Eq. 9.) A queste, in base al principio delle tensioni efficaci, è legata la resistenza al taglio dei terreni. 9. Richiami sulla rappresentazione di un sistema piano di tensioni Se per un punto O all interno di un corpo si considerano tutti i possibili elementi superficiali infinitesimi diversamente orientati, ossia appartenenti alla stella di piani che ha centro in O, le tensioni su di essi (cioè la tensione risultante e le componenti normale σ e tangenziale τ allelemento superficiale considerato) variano generalmente da elemento a elemento. In particolare è possibile dimostrare che esistono tre piani, fra loro ortogonali, su cui agiscono esclusivamente tensioni normali. Questi tre piani sono detti principali, e le tensioni che agiscono su di essi sono dette tensioni principali. Generalmente, la tensione 4 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

111 Capitolo 9 RESISTENZA AL TAGLIO DEI TERRENI principale maggiore (che agisce sul piano principale maggiore π ) è indicata con σ, la tensione principale intermedia (che agisce sul piano principale intermedio π ) è indicata con σ, la tensione principale minore (che agisce sul piano principale minore π 3 ) è indicata con σ 3 (Figura 9.). In particolari condizioni di simmetria due, o anche tutte e tre, le tensioni principali possono assumere lo stesso valore. Il caso in cui le tre tensioni principali hanno eguale valore è detto di tensione isotropa: in condizioni di tensione isotropa tutti i piani della stella sono principali e la tensione (isotropa) è eguale in tutte le direzioni. Quando due delle tre tensioni principali sono uguali lo stato tensionale si definisce assial-simmetrico e tutti i piani della stella appartenenti al fascio che ha per asse la direzione della tensione principale diversa dalle altre due, sono piani principali (e le relative tensioni sono uguali). Poiché spesso gli stati tensionali critici per i terreni interessano piani normali al piano principale intermedio, ovvero piani appartenenti al fascio avente per asse la direzione della tensione principale intermedia σ (Figura 9.), è possibile ignorare il valore e gli effetti della tensione principale intermedia σ e riferirsi ad un sistema piano di tensioni. Osserviamo adesso come variano le tensioni sui piani del fascio avente per asse la direzione della tensione principale intermedia, al variare dell inclinazione del piano. In Figura 9.a sono disegnate le tracce dei due piani principali maggiore π e minore π 3, e di un generico piano π del fascio avente inclinazione θ rispetto alla direzione del piano principale maggiore. Si consideri l equilibrio di un elemento prismatico di spessore unitario (problema piano) e forma triangolare, con i lati di dimensioni infinitesime (per rimanere nell intorno del punto considerato), paralleli ai due piani principali e al piano π. (Figura 9.b). Le condizioni di equilibrio alla traslazione in direzione orizzontale e verticale: σ 3 dl sinθ σ θ dl sinθ τ θ dl cosθ = 0 σ dl cosθ σ θ dl cosθ + τ θ dl sinθ = 0 impongono che le tensioni tangenziale τ θ e normale σ θ sul piano π valgano: σ σ 3 τθ = sin θ σ = σ + σ σ cos θ 3 ( ) θ 3 σ 3 σ Figura 9. Tensioni e piani principali per il punto O 5 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006) π π π 3 O σ σ σ (Eq. 9.) σ 3

112 Capitolo 9 RESISTENZA AL TAGLIO DEI TERRENI a) σ b) σ σ 3 O θ Piano π σ Piano principale maggiore, π 3 σ θ θ dl τ θ Piano principale minore π 3 Figura 9. - Tensioni indotte dalle due tensioni principali, σ e σ 3, su un piano inclinato di θ rispetto a π. a) In un sistema di assi cartesiani Y ortogonali di centro O e assi X e Y (Figura 9.3), sul quale vengono riportate lungo l asse X le tensioni normali, σ, e lungo l asse Y le D τ tensioni tangenziali, τ (piano di θ θ θ Mohr), le equazioni (9.) rappresentano un cerchio di raggio R = O A C B X E (σ σ 3 )/ e centro C[(σ + σ 3 σ σ 3 )/; 0], detto cerchio di Mohr, θ σ che è il luogo delle condizioni di tensione di tutti i piani del fascio. Per disegnare il cerchio, con riferimento alla Figura 9.3a, occorre b) Y prima posizionare i punti A e B Tensione sul piano sull asse X, in modo tale che i orizzontale segmenti OA ed OB siano proporzionali, nella scala prescelta, P D Tensione sul piano inclinato di α α rispetto all orizzontale polo rispettivamente alle tensioni E O A C B X principali minore, σ 3, e maggiore, σ, e poi tracciare il cerchio di σ3 diametro AB. Tale cerchio è il luogo degli stati di tensione di σ tutti i piani del fascio. Sul cerchio di Mohr è utile definire il concetto di polo o origine dei piani, Figura 9.3 Cerchio di Mohr (a) e polo (b) come il punto tale che qualunque retta uscente da esso interseca il cerchio in un punto le cui coordinate rappresentano lo stato tensionale agente sul piano che ha per traccia la retta considerata. 6 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

113 Capitolo 9 RESISTENZA AL TAGLIO DEI TERRENI Ad esempio se il piano principale maggiore (su cui agisce la σ ) è perpendicolare all asse Y, il polo è rappresentato dal punto A(σ 3,0), cioè un piano del fascio inclinato di un angolo θ rispetto al piano principale maggiore interseca il cerchio in un punto D, le cui coordinate rappresentano le tensioni normale e tangenziale sul piano considerato. Viceversa, se il piano principale minore (su cui agisce la σ 3 ) è perpendicolare all asse Y, il polo è rappresentato dal punto B(σ,0). Se per individuare l orientazione dei piani del fascio assumiamo come riferimento i piani verticale ed orizzontale, non necessariamente coincidenti con i piani principali, il polo, P, è individuato dall intersezione col cerchio di Mohr della retta orizzontale condotta dal punto, D, che ha per coordinate la tensione normale e tangenziale sul piano orizzontale; un generico piano del fascio inclinato di un angolo α rispetto all orizzontale (Figura 9.3b), interseca il cerchio di Mohr in un punto, E, le cui coordinate rappresentano le tensioni normale e tangenziale sul piano considerato. Con riferimento alla Figura 9.3a, si può dimostrare che le equazioni (9.) rappresentano quello che è stato definito come cerchio di Mohr: σ σ 3 tensione tangenziale: τ θ = DE = DC sin θ = sin θ σ θ = OE = OA + AE = σ 3 + AD cosθ = σ 3 + AB cos θ = tensione normale: = σ + σ σ cos 3 ( ) θ 9.3 Criterio di rottura di Mohr-Coulomb In base al principio delle tensioni efficaci Ogni effetto misurabile di una variazione dello stato di tensione, come la compressione, la distorsione e la variazione di resistenza al taglio è attribuibile esclusivamente a variazioni delle tensioni efficaci. Dunque la resistenza del terreno, che a causa della natura particellare del mezzo, è una resistenza al taglio, deve essere espressa da una relazione (criterio di rottura) del tipo: τ f ( σ ) (Eq. 9.3) f = Il più semplice ed utilizzato criterio di rottura per i terreni, è il criterio di Mohr-Coulomb: τ f = c + ( σ u) tanφ = c + σ n, f tanφ per σ > 0 (Eq. 9.4) in base al quale la tensione tangenziale limite di rottura in un generico punto P di una superficie di scorrimento potenziale interna al terreno è dato dalla somma di due termini: il primo, detto coesione c, è indipendente dalla tensione efficace normale alla superficie agente in quel punto, ed il secondo è ad essa proporzionale attraverso un coefficiente d attrito tanφ. L angolo φ è detto angolo di resistenza al taglio. Nel piano di Mohr l equazione (9.4) rappresenta una retta (Figura 9.4), detta retta inviluppo di rottura, che separa gli stati tensionali possibili da quelli privi di significato fisico in quanto incompatibili con la resistenza del materiale. Nel piano τ σ, lo stato di tensione (che per semplicità di esposizione considereremo piano) nel punto P, corrispondente alla rottura, sarà rappresentato da un cerchio di Mohr tangente all inviluppo di rottura (Figura 9.4). Un cerchio di Mohr tutto al di sotto della retta inviluppo di rottura indica invece che la condizione di rottura non è raggiunta su nessuno dei piani passanti per il punto considerato, mentre non sono fisicamente possibili le situazioni in cui il cerchio di Mohr interseca l inviluppo di rottura. Si osservi che in base alle proprietà dei cerchi di Mohr risulta nota la rotazione del piano di rottura per P (ovvero del piano su cui agiscono 7 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006) 3

114 Capitolo 9 RESISTENZA AL TAGLIO DEI TERRENI τ f c τ traccia del piano di rottura θf F O σ A 3,f C B σ n,f D σ,f θ = π/4+ϕ / Figura 9.4 Criterio di rottura di Mohr-Coulomb f ϕ inviluppo di rottura σ la tensione efficace normale σ n,f e la tensione tangenziale τ f ) rispetto ai piani principali per P (ovvero rispetto a quei piani su cui agiscono solo tensioni normali e le tensioni tangenziali sono zero). In particolare l angolo fra il piano di rottura ed il piano su cui agisce la tensione principale maggiore σ,f è pari a (π/4 + φ /). Infatti, con riferimento alla Figura 9.4, si considerino i valori degli angoli del triangolo FDC: DFC = φ, FDC = π/, FCD = π θ f Poiché la somma degli angoli di un triangolo è π, ne risulta: θ f = φ / + π/ Osservazioni sull inviluppo di rottura In relazione a quanto esposto nei paragrafi precedenti è opportuno evidenziare che: - il criterio di rottura di Mohr- Coulomb non dipende dalla tensione principale intermedia; si osservi infatti la Figura 9.5 che rappresenta lo stato tensionale in un punto in condizioni di rottura. Essa dipende dai valori di σ,f e di σ 3,f, che definiscono dimensioni e posizione del cerchio di Mohr tangente alla retta di inviluppo di rottura, ed è indipendente dal valore di σ,f. Si osservi inoltre che la tensione τf non è il valore massimo della tensione tangenziale nel punto P, la quale è invece pari al raggio del cerchio di Mohr: τ max ( σ σ 3 ) pari al valore medio delle tensioni principali maggiore e minore: σ = ( σ + σ ) c =, è associata ad una tensione normale che è m 3 ed agisce su un piano ruotato di π/4 rispetto al piano su cui agisce la tensione principale maggiore σ,f e quindi di φ / rispetto al piano di rottura. 8 3,f,f J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006) τ σ σ σ,f Figura 9.5 Il criterio di rottura di Mohr-Coulomb non dipende dalla tensione principale intermedia, σ C ϕ B σ

115 Capitolo 9 RESISTENZA AL TAGLIO DEI TERRENI - i parametri di resistenza al taglio c e φ non sono caratteristiche fisiche del terreno, ma sono funzione di molti fattori, fra cui: storia tensionale, indice dei vuoti, livello di tensione e di deformazione, tipo di struttura, composizione granulometrica, temperatura etc.. - l inviluppo a rottura può presentare c = 0; - l inviluppo di rottura reale non è necessariamente una retta; spesso tale approssimazione è accettabile solo in un campo limitato di tensioni. Pertanto nella sperimentazione di laboratorio occorre indagare sul campo di tensioni prossimo allo stato tensionale in sito. Occorre poi considerare una importantissima conseguenza della seguente asserzione del principio delle tensioni efficaci: la variazione di resistenza al taglio è attribuibile esclusivamente a variazioni delle tensioni efficaci. Quando in un terreno interviene una alterazione delle tensioni totali, a causa di carichi, positivi o negativi, applicati in superficie o in profondità, risultano conseguentemente alterate le pressioni interstiziali e le tensioni efficaci, ed ha inizio un processo di filtrazione in regime transitorio (consolidazione). Nei terreni a grana grossa, molto permeabili, tale processo è pressoché istantaneo (sistema aperto), cosicché alle variazioni di tensione totale corrispondono immediatamente analoghe variazioni di tensione efficace mentre le tensioni interstiziali rimangono inalterate (condizioni drenate). Dunque, noto lo stato tensionale iniziale, è sufficiente conoscere entità e distribuzione degli incrementi di tensione (totale = efficace) indotti dal carico applicato per poter valutare la resistenza al taglio disponibile in ogni punto dell ammasso (naturalmente se sono noti i parametri di resistenza al taglio). Invece nei terreni a grana fine, poco permeabili, non sono generalmente note né l entità né l evoluzione nel tempo delle variazioni di pressione interstiziale e di tensione efficace conseguenti ad una variazione di tensione totale prodotta dai carichi applicati. Possiamo solo dire che, se il terreno è saturo, all istante di applicazione del carico le deformazioni volumetriche sono nulle (sistema chiuso, condizioni non drenate o a breve termine), mentre possono esserci deformazioni di taglio. Solo dopo che si sarà esaurito il processo di consolidazione e le sovrapressioni interstiziali si saranno dissipate, le tensioni efficaci e quindi la resistenza al taglio si saranno stabilizzate sul valore finale (condizioni drenate o a lungo termine). Conseguentemente, mentre per i terreni a grana grossa la resistenza al taglio, e quindi le condizioni di stabilità, non variano nel tempo dall applicazione del carico, ciò avviene per i terreni a grana fine. In particolare se durante il processo di consolidazione le tensioni efficaci crescono, anche la resistenza al taglio progressivamente cresce e le condizioni di stabilità più critiche sono a breve termine. Se invece durante il processo di consolidazione le tensioni efficaci decrescono anche la resistenza al taglio progressivamente decresce e le condizioni di stabilità più critiche sono a lungo termine. Per tale motivo, ad esempio, se un rilevato è stabile subito dopo la costruzione lo sarà anche in futuro, ma se la parete di uno scavo è stabile subito dopo la sua esecuzione non è affatto detto che lo sarà anche dopo un certo tempo. In alcuni casi semplici tali variazioni sono note. Abbiamo visto ad esempio che in condizioni di carico e- dometrico (compressione con espansione laterale impedita) all istante di applicazione dell incremento di tensione verticale totale corrisponde, nei terreni saturi, un eguale incremento di pressione neutra, mentre la tensione efficace rimane invariata e non si manifesta alcuna deformazione (né volumetrica né di taglio). 9 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

116 Capitolo 9 RESISTENZA AL TAGLIO DEI TERRENI 9.4 Coefficienti di Skempton Si consideri un elemento di terreno poco permeabile, saturo e sotto falda all interno di un deposito omogeneo con superficie del piano campagna orizzontale. Per simmetria cilindrica le tensioni geostatiche verticale e orizzontali sono tensioni principali e le tensioni principali orizzontali sono tra loro uguali (stato tensionale assial-simmetrico). Si supponga che la tensione verticale corrisponda alla tensione principale maggiore σ e quelle o- rizzontali alla tensione principale minore σ 3. Per definizione in un tubo piezometrico posto alla profondità dell elemento l acqua risalirebbe fino alla profondità del livello di falda (Figura 9.6a). Supponiamo che un carico, applicato in modo istantaneo in superficie, produca istantaneamente, nell elemento di terreno considerato, un incremento assial simmetrico dello stato tensionale totale, ovvero un incremento σ della tensione principale maggiore (verticale), un incremento σ 3 della tensione principale minore (orizzontale) e, di conseguenza, un incremento u della pressione interstiziale, testimoniato da un innalzamento del livello dell acqua nel piezometro della quantità u/γ w (Figura 9.6b). Possiamo pensare di scomporre l incremento dello stato tensionale totale in due parti (Figura 9.6c): - una prima parte di incremento delle tensioni isotropo, ovvero agente in modo eguale in tutte le direzioni, di intensità σ 3 ; - e una seconda parte di incremento deviatorico, ovvero agente solo in direzione verticale, di intensità ( σ σ 3 ). Indichiamo con u b l incremento di pressione interstiziale causato dall incremento di tensione totale isotropa σ 3, e con u a l incremento di pressione interstiziale causato dall incremento di tensione totale deviatorica ( σ - σ 3 ). Naturalmente dovrà essere: u = u b + u a (Eq. 9.5) Indichiamo con B il rapporto fra l incremento di pressione interstiziale u b e l incremento di tensione totale isotropa σ 3 che ne è stata causa: u B = b (Eq. 9.6) σ 3 a) Analogamente indichiamo con Ā il rapporto fra l incremento di pressione interstiziale u a e l incremento di tensione totale isotropa ( σ - σ 3 ) che ne è stata causa: u A = a ( σ ) (Eq. 9.7) 3 σ b) c) u/ γ w u / γ b w u/ γ a w σ u/γ w σ = σ 3 + σ σ 3 σ 3 σ 3 σ 3 0 Figura a) Stato iniziale; b) incremento istantaneo dello stato di tensione; c) scomposizione 30 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

117 Capitolo 9 RESISTENZA AL TAGLIO DEI TERRENI Ne risulta che l incremento di pressione interstiziale u può essere calcolato, noti i parametri B ed Ā, con la relazione: u = B σ + A σ (Eq. 9.8) ( ) 3 σ 3 ovvero, avendo posto A = Ā/B, con la relazione: u = B [ σ + A ( σ )] (Eq. 9.9) 3 σ 3 I parametri B, A (e Ā) sono detti parametri delle pressioni interstiziali o coefficienti di Skempton e possono essere determinati in laboratorio con prove triassiali consolidate non drenate (Paragrafo 9.7.). 9.4 Il coefficiente B Se l elemento di terreno è saturo (S r =), assumendo trascurabile la compressibilità dell acqua, l applicazione di un incremento di tensione totale isotropa σ in condizioni non drenate non produce alcuna deformazione (né volumetrica né di distorsione) e quindi, in base al principio delle tensioni efficaci, non produce neppure variazioni di tensione efficace ( σ = 0). Pertanto, per un terreno saturo, risulta: σ = σ + u = u, ovvero B = u/ σ = Se invece l elemento di terreno fosse del tutto privo di acqua interstiziale (S r = 0), l applicazione di un incremento di tensione totale isotropa σ produrrebbe.0 una deformazione volumetrica (isotropa se lo scheletro solido è isotropo) e un 0.8 eguale incremento di tensione efficace ( σ = σ). 0.6 Pertanto, per un terreno secco, risulta: σ = σ + u = σ, u =0 ovvero B = u/ σ = Nei casi intermedi, ovvero per terreni parzialmente saturi, risulta: σ = σ + u, σ > 0, u > 0, ovvero 0 < B = u/ σ <. Il parametro B dipende dal grado di saturazione dei terreno, con una legge non lineare e variabile da terreno a terreno, qualitativamente rappresentata in Figura Il coefficiente A Coefficiente B di Skempton Se l elemento di terreno è saturo, come abbiamo visto risulta B =, per cui i parametri A e Ā=A B coincidono. Per un dato terreno, il loro valore non è unico, come per il parametro B, ma dipende dallo stato tensionale iniziale e dall incremento di tensione deviatorica Grado di saturazione, S r Figura 9.7 Tipica variazione del coefficiente B di Skempton con il grado di saturazione S r 3 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

118 Capitolo 9 RESISTENZA AL TAGLIO DEI TERRENI Il valore assunto dal parametro A in condizioni di rottura è indicato con A f, che pertanto rappresenta il rapporto tra l incremento di pressione interstiziale in condizioni non drenate a rottura, u f, e il corrispondente valore dell incremento di tensione deviatorica totale ( σ σ 3 ) f. Il valore di A f dipende da numerosi fattori, il principale dei quali è la storia tensionale, ovvero il grado di sovraconsolidazione OCR. Per le argille normalmente consolidate (OCR = ) A f ha valori usualmente compresi tra 0,5 e, mentre per le argille fortemente sovraconsolidate (OCR > 4) A f assume valori negativi. In Figura 9.8 è mostrata una tipica variazione di A f con OCR per un argilla. È importante notare il significato fisico di A, e riflettere sulle sue conseguenze nel comportamento meccanico delle opere geotecniche: un valore positivo di A significa che la pressione interstiziale nel terreno cresce con la tensione deviatorica totale, mentre al contrario se A è negativo la pressione interstiziale decresce. Occorre tuttavia sottolineare il fatto che i valori di A f, generalmente riportati in letteratura e nei rapporti geotecnici di laboratorio, non possono essere utilizzati per valutare gli incrementi di pressione interstiziale in condizioni di esercizio, poiché si riferiscono a condizioni di tensione differenti. Coefficiente A di Skempton f Grado di sovraconsolidazione, OCR Figura 9.8 Tipica variazione del coefficiente A f di Skempton con il grado di sovraconsolidazione OCR 9.5 Apparecchiature e prove di laboratorio per la determinazione della resistenza al taglio La resistenza al taglio dei terreni può essere determinata (o stimata) con prove di laboratorio e con prove in sito. Le due categorie di prove sono fra loro complementari, nel senso che presentano vantaggi e limiti di tipo opposto, come già è stato detto a proposito della determinazione sperimentale del coefficiente di permeabilità, e come sarà meglio chiarito in seguito quando si tratteranno le prove in sito. L analisi dei risultati delle prove di laboratorio si presta bene allo studio delle leggi costitutive, poiché le condizioni geometriche, di vincolo e di drenaggio dei provini sono ben definite, il percorso di carico e/o di deformazione è imposto e controllato, il terreno su cui si esegue la prova è identificato e classificato. I principali limiti delle prove di laboratorio sono invece da ricercarsi nella incerta rappresentatività del comportamento in sito, sia per il ridottissimo volume di terreno sottoposto a prova sia perché durante le operazioni di campionamento, trasporto, estrusione e preparazione dei provini si produce inevitabilmente un disturbo tale che essi non sono mai nelle stesse condizioni in cui si trovavano in sito. 3 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

119 Capitolo 9 RESISTENZA AL TAGLIO DEI TERRENI Esistono molte apparecchiature e prove di laboratorio per la determinazione della resistenza al taglio dei terreni. In questa sede esamineremo soltanto le più semplici e diffuse: la prova di taglio diretto e le prove triassiali standard. 9.6 La prova di taglio diretto La prova di taglio diretto è la più antica, la più intuitiva e la più semplice fra le prove di laboratorio per la determinazione della resistenza al taglio dei terreni. Essa può essere e- seguita su campioni ricostituiti di materiali sabbiosi e su campioni indisturbati o ricostituiti di terreni a grana fine. Una rappresentazione schematica della cella dell apparecchiatura è mostrata in Figura 9.9. La prova si esegue su almeno tre provini, che in genere hanno sezione quadrata di lato mm e altezza 0 40 mm. La dimensione massima dei grani di terreno deve essere almeno 6 volte inferiore all altezza del provino, per cui sono escluse le ghiaie e i ciottoli, salvo che non si disponga di apparecchiature speciali, molto grandi. Figura 9.9 Cella per la prova di taglio diretto Il provino è inserito in un telaio metallico a sezione quadrata diviso in due parti da un piano orizzontale in corrispondenza della semialtezza, ed è verticalmente compreso tra due piastre metalliche nervate e forate, oltre ciascuna delle quali vi è una carta filtro ed una piastra di pietra porosa molto permeabile. Attraverso una piastra di carico è possibile distribuire uniformemente sulla testa del provino una forza verticale di compressione. Il tutto è posto in una scatola piena d acqua che può essere fatta scorrere a velocità prefissata su un apposita rotaia. La metà superiore del telaio metallico è impedita di traslare da un contrasto collegato ad un anello dinamometrico (per la misura delle forze orizzontali T applicate), cosicché il movimento della scatola produce la rottura per taglio del provino nel piano orizzontale medio. La prova si esegue in due fasi. Nella prima fase viene applicata in modo istantaneo e mantenuta costante nel tempo una forza verticale N che dà inizio ad un processo di consolidazione edometrica. Durante la prima fase si misurano gli abbassamenti nel tempo del provino, controllando in tal modo il processo di consolidazione e quindi il raggiungimento della pressione verticale efficace media σ N n =, essendo A la sezione orizzontale del provino. La durata della A prima fase dipende dalla permeabilità del terreno e dall altezza del provino. Nella seconda fase si fa avvenire lo scorrimento orizzontale relativo, δ, a velocità costante fra le due parti del telaio producendo il taglio del provino nel piano orizzontale medio. Durante la fase di taglio si controlla lo spostamento orizzontale relativo e si misurano la forza orizzontale T(δ), che si sviluppa per reazione allo scorrimento, e le variazioni di al- 33 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

120 Capitolo 9 RESISTENZA AL TAGLIO DEI TERRENI tezza del provino. La velocità di scorrimento deve essere sufficientemente bassa da non indurre sovrapressioni interstiziali. A tal fine la velocità può essere scelta in modo inversamente proporzionale al tempo di consolidazione della prima fase. A titolo puramente indicativo, le velocità di scorrimento sono dell ordine di 0 - mm/s per terreni sabbiosi e di 0-4 mm/s per i terreni a grana fine. La prova va continuata fino alla chiara individuazione della forza resistente di picco T f (Figura 9.0.a) o fino ad uno spostamento pari al 0% del lato del provino, quando non si possa individuare chiaramente un valore di picco della resistenza. a) b) τ τ ϕ τ τ 3f f σ 3n τ f σ σ n n Spostamento, δ c σ σ σ n n 3n Figura Determinazione della resistenza a rottura, τ f (a) e dei parametri di resistenza al taglio (b) da prova di taglio diretto. La tensione efficace normale a rottura σ n,f = σ n e la tensione tangenziale media a rottura T f sul piano orizzontale, τ f =, 3 sono le coordinate di un punto del piano di Mohr appartenente alla linea inviluppo degli stati di tensione a rottura. A Ripetendo la prova con differenti valori di N (almeno tre) si ottengono i punti sperimentali che permettono di tracciare la retta di equazione: τ f = c + σ tanφ (Eq. 9.0) e quindi di determinare i parametri di resistenza al taglio c e φ (Figura 9.0b). I valori di N, e quindi di pressione verticale, devono essere scelti tenendo conto della tensione verticale efficace geostatica. I principali limiti della prova di taglio diretto sono: - l area A del provino varia (diminuisce) durante la fase di taglio, - la pressione interstiziale non può essere controllata, - non sono determinabili i parametri di deformabilità, - la superficie di taglio è predeterminata e, se il provino non è omogeneo, può non essere la superficie di resistenza minima. σ 3 In realtà l area su cui distribuisce la forza resistente di picco T f a rottura sarà inferiore a quella iniziale A per effetto dello scorrimento relativo delle due parti del provino. 34 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

121 Capitolo 9 RESISTENZA AL TAGLIO DEI TERRENI Se la prova è condotta a velocità troppo elevate per consentire il drenaggio si ottiene una sovrastima di c e una sottostima di φ. L esecuzione di prove di taglio diretto rapide non drenate è fortemente sconsigliata, poiché la rapidità della prova non è comunque sufficiente a garantire l assenza di drenaggio ed i risultati non sono interpretabili né in termini di tensioni efficaci né in termini di tensioni totali. 9.7 L apparecchio e le prove triassiali standard Le prove triassiali standard sono eseguite, con modalità diverse, su campioni ricostituiti di materiali sabbiosi e su campioni indisturbati o ricostituiti di terreni a grana fine per determinarne le caratteristiche di resistenza al taglio e di rigidezza. Nel seguito si considereranno solamente le prove di compressione su terreni saturi. Differenti modalità di prova (ad esempio per estensione) o prove su terreni non saturi sono possibili ma richiedono apparecchiature più complesse e, allo stato attuale, non sono di routine. In Figura 9. è rappresentato lo schema di un apparecchio per prove triassiali standard. I provini di terreno hanno forma cilindrica con rapporto altezza/diametro generalmente compreso tra e.5. Il diametro è di norma 35 o 50mm. Poiché il diametro deve essere almeno 0 volte maggiore della dimensione massima dei grani, prove triassiali su terreni contenenti ghiaie o ciottoli non sono possibili salvo disporre di apparecchiature speciali di grandi dimensioni. Lo stato tensionale a cui è Figura 9. Cella per prove triassiali di tipo standard soggetto un provino durante una prova triassiale è di tipo assial-simmetrico e rimane tale durante tutte le fasi della prova, quindi le tensioni principali agiscono sempre lungo le direzioni assiale e radiali del provino. Il provino, la cui preparazione richiede procedure diverse a seconda della natura del terreno, è appoggiato su un basamento metallico all interno di una cella di perspex. Tra il basamento e il provino è posto un disco di materiale poroso molto permeabile, protetto da un disco di carta filtro che evita l intasamento dei pori. Anche superiormente al provino è posto un disco di carta filtro ed una pietra porosa, sopra la quale è appoggiata una piastra circolare di carico. La superficie laterale del provino è rivestita con una membrana di lattice di gomma, molto flessibile ed impermeabile, stretta con guarnizioni di gomma (Oring) al basamento inferiore ed alla piastra di carico superiore. Talvolta tra la superficie laterale del provino e la membrana di lattice di gomma sono poste strisce verticali di carta filtro. La cella di perspex è riempita d acqua che può essere messa in pressione esercitando così uno stato di compressione isotropa sul provino. 35 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

122 Capitolo 9 RESISTENZA AL TAGLIO DEI TERRENI Il provino risulta idraulicamente isolato dall acqua interna alla cella di perspex, ma in collegamento idraulico con l esterno, poiché sia il basamento che la piastra di carico sono attraversati da condotti collegati con sottili e flessibili tubi di drenaggio. La carta filtro disposta sulla superficie laterale del provino ha la funzione di facilitare il flusso dell acqua dal provino all esterno. I tubi di drenaggio possono essere anche utilizzati per mettere in pressione l acqua contenuta nel provino (contropressione interstiziale o back pressure), o possono essere chiusi e collegati a strumenti di misura della pressione dell acqua. Il tetto della cella è attraversato da un asta verticale scorrevole (pistone di carico, Figura 9.) che può trasmettere un carico assiale al provino attraverso la piastra di carico. In definitiva con l apparecchio triassiale standard è possibile: o esercitare una pressione totale isotropa sul provino mediante l acqua contenuta nella cella; o fare avvenire e controllare la consolidazione isotropa del provino misurandone le variazioni di volume, corrispondenti alla quantità di acqua espulsa o assorbita attraverso i tubi di drenaggio; o deformare assialmente il provino a velocità costante fino ed oltre la rottura misurando la forza assiale di reazione corrispondente; o misurare il volume di acqua espulso o assorbito dal provino durante la compressione assiale a drenaggi aperti; o controllare le deformazioni assiali del provino, determinate dalla velocità di avanzamento prescelta della pressa, durante la compressione assiale; o misurare la pressione dell acqua nei condotti di drenaggio (che si suppone eguale alla pressione interstiziale uniforme nei pori del provino) quando la compressione, isotropa o assiale, avviene a drenaggi chiusi, o mettere in pressione l acqua nei condotti di drenaggio, e quindi creare una eguale pressione interstiziale nel provino. Nell interpretare i risultati delle prove si ipotizza un comportamento deformativo isotropo del terreno. Le prove triassiali standard sono condotte secondo tre modalità: o prova triassiale consolidata isotropicamente drenata (TxCID), o prova triassiale consolidata isotropicamente non drenata (TxCIU), o prova triassiale non consolidata non drenata (TxUU). Per ciascuno dei tre tipi di prova il provino è inizialmente saturato mediante la contemporanea applicazione di una tensione isotropa di cella e di una poco minore contropressione dell acqua interstiziale 4. In tal modo le bolle d aria eventualmente presenti nel provino tendono a sciogliersi nell acqua interstiziale. La verifica dell avvenuta saturazione viene fatta mediante la misura del coefficiente B di Skempton: a drenaggi chiusi si incrementa la pressione di cella di una quantità σ e si misura il conseguente aumento di pressione interstiziale, u. Se il rapporto u/ σ, ovvero 4 Teoricamente la pressione di cella e la back pressure dovrebbero essere eguali, in modo da non produrre variazioni di tensione efficace. In pratica si applica una pressione di cella lievemente maggiore della contropressione interstiziale per evitare che si accumuli acqua fra la membrana e la superficie laterale del provino. 36 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

123 Capitolo 9 RESISTENZA AL TAGLIO DEI TERRENI il coefficiente B, risulta pari ad, il provino è saturo (in pratica si ritiene sufficiente B > 0.95), se invece risulta B < 0.95 il provino non è saturo. Pertanto, per favorire la saturazione, si incrementano della stessa quantità i valori di pressione di cella e di contropressione interstiziale (in modo da mantenere costante la pressione efficace di consolidazione), e si ripete la verifica dell avvenuta saturazione eseguendo una nuova misura di B Prova triassiale consolidata isotropicamente drenata (TxCID) Dopo avere eseguito la saturazione, la prova si svolge in due fasi. Nella prima fase il provino saturo è sottoposto a compressione isotropa mediante un incremento della pressione di cella, a drenaggi aperti fino alla completa consolidazione. La pressione di consolidazione, σ c, è pari alla differenza fra pressione di cella (totale), σ c, e contropressione interstiziale, u 0. Il processo di consolidazione è controllato attraverso la misura nel tempo del volume di acqua espulso e raccolto in una buretta graduata, che viene diagrammato in funzione del tempo (Figura 9.). Nella seconda fase, ancora a drenaggi aperti, si fa avanzare il pistone a velocità costante e sufficientemente bassa da non produrre sovrapressioni interstiziali all interno del provino. La velocità può essere scelta in modo inversamente proporzionale al tempo di consolidazione della prima fase. Durante la seconda fase è controllata la variazione nel tempo dell altezza del provino, e sono misurate: - la forza assiale esercitata dal pistone - la variazione di volume del provino. Tali misure permettono di calcolare, fino ed oltre la rottura del provino: - la deformazione assiale media, ε a, - la deformazione volumetrica media, ε v, (e quindi anche la deformazione radiale media, ε r = (ε v ε a ) /, - la tensione assiale media, σ a, (e Figura 9. Variazione di volume di un provino che consolida in cella triassiale, in funzione del tempo quindi anche di tensione deviatorica media, σ a σ r = σ a σ r, essendo σ r la pressione radiale che rimane costante durante la prova). I risultati della prova sono di norma rappresentati in grafici ε a - (σ a σ r ), e ε a ε v (Figura 9.3). Poiché durante la fase di compressione assiale la pressione di cella σ c e la pressione interstiziale u 0 rimangono costanti (e quindi anche la pressione radiale totale σ r = σ c ) e poiché non si sviluppano sovrappressioni interstiziali, essendo la prova drenata, allora rimane costante anche la pressione radiale efficace, σ r, che corrisponde alla tensione efficace principale minore (σ r = σ 3 ), mentre cresce la tensione efficace assiale media, σ a, che corrisponde alla tensione efficace principale maggiore (σ a = σ ). 37 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

124 Capitolo 9 RESISTENZA AL TAGLIO DEI TERRENI a) σ σ (σ a σ r ) a r 3f σ 3c (σ σ ) a r (σ σ ) a r f f σ σ c c b) ε a ε v Figura Risultati di prove TxCID: a) diagrammi ε a (σ a σ r ); b) diagrammi ε a - ε v È dunque possibile seguire l evoluzione nel tempo del cerchio di Mohr corrispondente allo stato tensionale del provino fino ed oltre la rottura (Figura 9.4). τ ϕ O σ σ = f σ = σ σ r c 3f f σ Figura Evoluzione dei cerchi di Mohr durante la prova TxCID La prova deve essere eseguita su almeno tre provini a differenti pressioni di consolidazione. 38 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

125 Capitolo 9 RESISTENZA AL TAGLIO DEI TERRENI I cerchi di Mohr a rottura dei tre provini sono tangenti alla retta di equazione: τ f = c + ( σ u) tanφ = c + σ tanφ (Eq. 9.) che rappresenta, per il campo di tensioni indagato, la resistenza al taglio del terreno (Figura 9.5). τ ϕ c O σ f σ Figura 9.5 Determinazione dei parametri di resistenza al taglio da prove triassiali TxCID e TxCIU L esecuzione della prova TxCID richiede un tempo tanto maggiore quanto minore è la permeabilità del terreno, ed è pertanto generalmente riservata a terreni sabbiosi o comunque abbastanza permeabili Prova triassiale consolidata isotropicamente non drenata (TxCIU) Anche questa prova, una volta eseguita la saturazione, si svolge in due fasi, la prima delle quali è identica a quella della prova TxCID. Al termine della prima fase, e quindi a consolidazione avvenuta (ad una pressione di consolidazione, σ c, pari alla differenza fra la pressione di cella, σ c, e la contropressione interstiziale, u 0 ), vengono chiusi i drenaggi isolando idraulicamente il provino che, essendo saturo, non subirà ulteriori variazioni di volume. Nella seconda fase, a drenaggi chiusi e collegati a trasduttori che misurano la pressione dell acqua nei condotti di drenaggio e quindi nei pori del provino, si fa avanzare il pistone a velocità costante, anche relativamente elevata. Durante la seconda fase è controllata la variazione nel tempo dell altezza del provino, e sono misurate: - la forza assiale esercitata dal pistone, - la variazione di pressione interstiziale all interno del provino. Tali misure permettono di calcolare, al variare del tempo fino ed oltre la rottura del provino: - la deformazione assiale media, ε a, - la tensione assiale media, σ a, (e quindi anche la tensione deviatorica media, σ a σ r = σ a σ r, essendo σ r la pressione radiale), - il coefficiente A di Skempton. I risultati della prova sono di norma rappresentati in grafici ε a - (σ a σ r ), e ε a ε v (Figura 9.6). 39 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

126 Capitolo 9 RESISTENZA AL TAGLIO DEI TERRENI a) σ σ (σ a σ r ) a r 3f σ 3c (σ σ ) a r (σ σ ) a r f f σ σ c c b) ε a u Figura Risultati di prove TxCIU: a) diagrammi ε a (σ a σ r ); b) diagrammi ε a - u In questo tipo di prova, durante la fase di compressione assiale la pressione di cella σ c rimane costante (e quindi anche la pressione radiale totale σ r = σ c ), mentre la pressione interstiziale u, inizialmente pari a u 0, varia. Di conseguenza variano sia la tensione efficace assiale media, σ a = σ a u, che corrisponde alla tensione efficace principale maggiore (σ a = σ ), sia la pressione radiale efficace, σ r = σ c u, che corrisponde alla tensione efficace principale minore (σ r = σ 3 ), ed è possibile seguire l evoluzione nel tempo del cerchio di Mohr corrispondente allo stato tensionale del provino fino ed oltre la rottura, sia in termini di tensioni totali che in termini di tensioni efficaci. Infatti, se si rappresentano i cerchi a rottura sul piano di Mohr in termini di tensioni totali e si traslano di una quantità pari alla pressione interstiziale misurata a rottura, u f, si ottengono i cerchi corrispondenti in termini di tensioni efficaci (Figura 9.7). La prova viene eseguita su almeno tre provini a differenti pressioni di consolidazione. La retta inviluppo dei cerchi di Mohr a rottura dei tre provini, in termini di tensioni efficaci, che consente di ricavare i parametri c e φ, ha equazione (9.) e rappresenta, per il campo di tensioni indagato, la resistenza al taglio del terreno (Figura 9.5). 40 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

127 Capitolo 9 RESISTENZA AL TAGLIO DEI TERRENI Se la prova è interpretata in termini di ten- τ sioni totali, il valore a rottura dello sforzo di Cerchio di Mohr in tensioni efficaci σ taglio, σ 3 Cerchio di Mohr in tensioni totali, f cu rappresenta la resistenza al taglio non σ σ,σ f σ σ drenata c u (Figura 3f σ3f σ f f 9.7). u Poiché i tre provini f vengono consolidati sotto tre diversi valori Figura Evoluzione dei cerchi di Mohr durante la prova TxCIU di pressione, σ c, risultano diversi tra loro anche i valori di c u. Se il terreno è normalmente consolidato si ha c = 0 in termini di tensioni efficaci, mentre in termini di tensioni totali il rapporto c u c è costante. σ Per un dato terreno e a parità di pressioni di consolidazione, i risultati delle prove TxCIU, interpretati in termini di tensioni efficaci, sono sostanzialmente analoghi ai risultati delle prove TxCID. Pertanto esse sono generalmente riservate a terreni argillosi o comunque poco permeabili, per i quali l esecuzione di prove TxCID richiederebbe tempi molto lunghi Prova triassiale non consolidata non drenata (TxUU) È consigliabile che anche questa prova sia eseguita previa saturazione dei provini, sebbene spesso ciò non avvenga. Anch essa si svolge in due fasi. Nella prima fase, dopo avere chiuso i drenaggi, il provino è sottoposto a compressione i- sotropa portando in pressione il fluido di cella al valore assegnato di pressione totale σ c. Se il provino è saturo, e quindi il coefficiente B di Skempton è pari ad, il volume del provino non varia e l incremento della pressione di cella (totale) comporta un uguale aumento della pressione interstiziale, mentre le tensioni efficaci non subiscono variazioni e quindi non varia la pressione efficace, σ c. Nella seconda fase, a drenaggi ancora chiusi, si fa avanzare la pressa su cui si trova la cella triassiale a velocità costante, anche piuttosto elevata. Durante la seconda fase è controllata la variazione nel tempo dell altezza del provino, ed è misurata la forza assiale esercitata sul provino, mentre di norma non è misurato l incremento di pressione interstiziale. Tali misure permettono di calcolare, al variare del tempo, fino ed oltre la rottura del provino: - la deformazione assiale media, ε a, - la tensione assiale media, σ a, (e quindi anche la tensione deviatorica media, σ a σ r = σ a σ r, essendo σ r la pressione radiale). 4 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

128 Capitolo 9 RESISTENZA AL TAGLIO DEI TERRENI La prova viene eseguita su almeno tre provini a differenti pressioni totali di cella. Poiché la pressione efficace di consolidazione dei tre provini è la stessa, i cerchi di Mohr a rottura dei tre provini nel piano delle tensioni totali avranno lo stesso diametro e quindi saranno inviluppati da una retta orizzontale di equazione (Figura 9.8): c u τ Cerchi di Mohr in tensioni efficaci σ f σ σ σ σ 3f u f f Cerchi di Mohr in tensioni totali 3f f σ,σ Figura 9.8 Risultati di prove TxUU su provini saturati e a differenti pressioni totali di cella (σ c ) i τ = c u (Eq. 9.) Se si misurasse la pressione interstiziale a rottura per i tre provini e si traslassero i cerchi di Mohr di una quantità pari alla pressione interstiziale misurata a rottura per ciascuno di essi, si otterrebbero cerchi coincidenti in termini di tensioni efficaci. Le prove TxUU sono di norma eseguite su provini ricavati da campioni indisturbati di terreno a grana fine, e la resistenza al taglio in condizione non drenate, c u, che si ricava dalle prove è dipendente, a parità di terreno, dalla pressione efficace di consolidazione in sito. Occorre tuttavia tenere presente che durante le operazioni di prelievo, trasporto, estrazione dalla fustella, formazione dei provini, il terreno subisce comunque un disturbo ineliminabile. In particolare, anche se il campione fosse prelevato con la massima cura, non è fisicamente possibile ripristinare in laboratorio contemporaneamente lo stato tensionale e deformativo del campione in sito. Si consideri infatti lo stato di tensione di un elemento di argilla satura in sito, le tensioni geostatiche, nelle solite ipotesi assialsimmetriche, sono: σ σ v0 h0 = σ = σ v0 h0 + u 0 + u 0 = K 0 σ v0 + u 0 (Eq. 9.3) Dopo lestrazione, a pressione atmosferica, le tensioni totali si annullano. Ciò equivale ad applicare incrementi di tensione totale eguali e contrari alle tensioni totali preesistenti, ovvero: σ v = ( σ v0 + u0 ) (Eq. 9.4) σ = ( σ + u ) = ( K σ + u ) h h0 0 0 v0 0 La pressione interstiziale diviene negativa (ovvero inferiore alla pressione atmosferica), e assume il valore: u = u0 + u < 0 (Eq. 9.5) 4 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

129 Capitolo 9 RESISTENZA AL TAGLIO DEI TERRENI La variazione di pressione interstiziale u può essere stimata con la relazione di Skempton (954): [ σ + A ( σ σ )] u = B (Eq. 9.6) h v h Se largilla è satura B =, dunque risulta: u = σ h + A ( σ v σ h ) = ( K 0 σ v0 + u 0 ) + A [ ( σ v0 + u 0 ) + ( K 0 σ v0 + u0 )]= v0 [ K0 ( A ) + A] u0 = σ (Eq. 9.7) Dunque la pressione interstiziale u dopo l estrazione vale: [ K ( A) + ] 0 u = u σ A (Eq. 9.8) 0 + u = v0 0 < Il valore del parametro A (che varia con la deformazione) è quello che corrisponde al termine del processo di estrazione ed è differente dal valore a rottura A f. Dopo lestrazione lo stato tensionale del campione è molto variato: - le pressioni totali sono nulle, - le pressioni efficaci sono isotrope e pari a: [ K ( A A] σ v = σ h = u = σ v0 0 ) + (Eq. 9.9) Poiché la tensione geostatica efficace media vale: ( + K ) 0 σ m = σ v0 (Eq. 9.0) 3 eguagliando le equazioni (9.9) e (9.0) si verifica che la pressione isotropa efficace in prova TxUU corrisponde alla tensione geostatica efficace media in sito, e quindi che la resistenza al taglio non drenata di prova corrisponde con buona approssimazione alla resistenza al taglio non drenata in sito, per A = /3. Nel campione di argilla estruso la tensione interstiziale negativa (suzione) produce un gradiente idraulico dallesterno verso il centro, e una filtrazione che altera il contenuto in acqua locale. La parte interna del campione può avere contenuto in acqua anche del 4% superiore alla parte più superficiale. In un terreno saturo contenuto in acqua e indice dei vuoti sono proporzionali, dunque non è fisicamente possibile ripristinare in laboratorio contemporaneamente lo stato tensionale e deformativo del campione in sito. Se i provini di terreno sono sottoposti a prova TxUU senza averli preventivamente saturati, l applicazione della pressione di cella, anche se a drenaggi chiusi, determina un incremento delle pressioni efficaci (essendo B<), una riduzione di volume, poiché l aria contenuta nei vuoti è molto compressibile, e un aumento del grado di saturazione. L inviluppo a rottura, in termini di tensioni totali, risulterà curvilineo per basse pressioni di confinamento e orizzontale per le pressioni più elevate, per le quali il terreno risulterà saturo (Figura 9.9). 43 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

130 Capitolo 9 RESISTENZA AL TAGLIO DEI TERRENI τ Figura Risultato di prove TxUU su provini non saturati Prova di compressione semplice o prove di compressione con espansione laterale libera (ELL). La prova di compressione con espansione laterale libera può essere eseguita solo su terreni a grana fine. I provini hanno la forma e le dimensioni dei provini per le prove triassiali. La prova consiste nel produrre la rottura del provino per compressione assiale mediante un pistone fatto avanzare a velocità costante e piuttosto elevata. Il provino non è avvolto da membrana e non è compresso in direzione radiale. Durante l esecuzione della prova si controlla nel tempo la variazione di altezza del provino e si misura la forza assiale esercitata dal pistone. Il cerchio di Mohr a rottura c = q / σ nel piano delle tensioni totali è tangente all origine degli assi, in quanto la tensione totale principale minore è nulla (ovvero è la pressione atmosferica) (Figura 9.0). Sebbene non vi sia alcuna barriera fisica (membrana) che impedisca il drenaggio, l elevata velocità di deformazione e la ridotta permeabilità del terreno fanno sì che le condizioni di prova siano praticamente non drenate, per cui il risultato che si ottiene è lo stesso che si avrebbe con una prova TxUU su un provino non saturato e a pressione di cella pari a zero. La pressione assiale totale media a rottura è indicata con q u, e nell ipotesi di terreno saturo, e quindi di inviluppo a rottura in termini di tensioni totali rettilineo e orizzontale, risulta: q u u = O u c u τ q u σ f Figura 9.0 Cerchio di Mohr a rottura per prova di compressione con espansione laterale libera σ (Eq. 9.) 44 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

131 Capitolo 9 RESISTENZA AL TAGLIO DEI TERRENI I principali vantaggi della prova consistono nella sua rapidità e semplicità di esecuzione, e quindi nel suo basso costo. 9.8 Resistenza al taglio di terreni a grana grossa I terreni a grana grossa saturi non cementati non hanno coesione per cui sono spesso indicati col termine terreni incoerenti. Le sabbie parzialmente sature possono presentare una debole coesione apparente (che consente di costruire i castelli di sabbia). Le sabbie e le ghiaie cementate hanno coesione. Con le usuali tecniche di campionamento non è quasi mai possibile prelevare nei terreni a grana grossa non cementati, campioni idonei alla preparazione di provini indisturbati per prove meccaniche di laboratorio. Pertanto i risultati delle prove di laboratorio, anche se condotte su provini di sabbia ricostituiti alla stessa densità del terreno in sito, non sono rappresentativi del comportamento meccanico del terreno naturale in sito. Di norma si ritiene più affidabile stimare la resistenza al taglio di sabbie e ghiaie in sito sulla base dei risultati di prove in sito. Le prove di laboratorio sono tuttavia utili sia per determinare la resistenza al taglio di terreni sabbiosi da impiegare come materiale da costruzione, sia per lo studio delle leggi costitutive. Durante una prova di resistenza meccanica di laboratorio (ad esempio di taglio diretto o triassiale drenata), il comportamento di due provini della stessa sabbia ma con differente indice dei vuoti (ovvero con differente densità relativa) può essere sensibilmente diverso. In Figura 9. sono qualitativamente mostrati i diversi comportamenti di un provino di sabbia sciolta e di un provino della stessa sabbia ma più addensato, sottoposti ad una prova triassiale drenata alla stessa pressione di confinamento. Il provino di sabbia sciolta presenta al crescere della deformazione assiale ε a : - un graduale aumento della resistenza mobilizzata (σ -σ 3 ) fino a stabilizzarsi su un valore massimo che rimane pressoché costante anche per grandi deformazioni, - una progressiva e graduale diminuzione del volume (e quindi dell indice dei vuoti) con tendenza a stabilizzarsi su un valore minimo, cui corrisponde un indice dei vuoti critico, e crit, che rimane pressoché costante anche per grandi deformazioni. σ σ a) b) Figura 9. Comportamento meccanico di due provini della stessa sabbia diversamente addensati in prova TxCID per eguale pressione efficace di confinamento 45 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006) e 3 e crit Sabbia sciolta Sabbia densa Sabbia sciolta Sabbia densa ε ε a a

132 Capitolo 9 RESISTENZA AL TAGLIO DEI TERRENI Il provino di sabbia densa, invece, presenta al crescere della deformazione assiale ε a : - una curva di resistenza con un massimo accentuato, corrispondente alla condizione di rottura, e un valore residuo, per grandi deformazioni, pressoché eguale al valore di resistenza mostrato dal provino di sabbia sciolta, - una iniziale, piccola diminuzione di volume (e quindi di indice dei vuoti), seguita da un inversione di tendenza per cui l indice dei vuoti supera il valore iniziale e tende allo stesso valore di indice dei vuoti critico, e crit. In sostanza, il provino di sabbia densa, rispetto a quello di sabbia sciolta: - è più rigido, - ha una maggiore resistenza di picco, - ha eguale resistenza residua, - aumenta di volume per grandi deformazioni, mentre il provino di sabbia sciolta diminuisce di volume, - ha lo stesso indice dei vuoti critico, ovvero la stessa densità relativa per grandi deformazioni. Un modello semplice e intuitivo che può giustificare il diverso comportamento deformativo volumetrico è il seguente. Consideriamo un insieme di sfere eguali e a N contatto. La disposizione che corrisponde al massimo indice dei vuoti è quella in cui i - V/V centri delle sfere sono i nodi di un reticolo T cubico. La disposizione che corrisponde al minimo indice dei vuoti è quella in cui i T centri delle sfere sono i nodi di un reticolo tetraedrico. Nel primo caso lo scorrimento fra due parti dell insieme implica una diminuzione di volume, nel secondo caso un N aumento, come si può osservare dalla Figura 9.. tamento deformativo volumetrico dei mezzi Figura 9. - Modello per spiegare il compor- Il valore dell indice dei vuoti critico, che discrimina fra comportamento deformativo granulari volumetrico dilatante e contrattivo, non è però una caratteristica del materiale ma dipende dalla pressione efficace di confinamento, per cui un provino di sabbia di una data densità relativa può avere comportamento dilatante a bassa pressione efficace di confinamento e contrattivo ad alta pressione efficace di confinamento. Per una sabbia che presenta un massimo nelle curve tensioni deformazioni si possono definire due diverse rette di inviluppo della resistenza, ovvero due angoli di resistenza al taglio: l angolo di resistenza al taglio di picco (a rottura), ϕ P, e l angolo di resistenza al taglio residuo (per grandi deformazioni), ϕ 5 R (Figura 9.3). A seconda del problema geotecnico in studio, l ingegnere dovrà scegliere di utilizzare l uno o l altro valore. 5 L angolo di resistenza residuo può essere determinato in laboratorio con prove di taglio diretto con più cicli di carico e scarico, poiché la semplice corsa della scatola di taglio non è sufficiente a produrre grandi spostamenti. 46 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

133 Capitolo 9 RESISTENZA AL TAGLIO DEI TERRENI Figura 9.3 Resistenza al taglio di picco e residua di una sabbia densa I principali fattori che influenzano, in misura quantitativamente diversa, l angolo di resistenza al taglio di picco dei terreni sabbiosi sono: - la densità, - la forma e la rugosità dei grani, - la dimensione media dei grani, - la distribuzione granulometrica. Orientativamente il peso relativo dei fattori sopraelencati sul valore dell angolo di resistenza di picco di un terreno incoerente è indicato in Tabella 9.. Tabella 9.: Peso relativo dei fattori che influenzano il valore dell angolo di resistenza al taglio di picco ϕ di un terreno a grana grossa ϕ = 36 + φ + φ + φ 3 + φ 4 Densità φ sciolta media densa Forma e rugosità dei grani φ spigolo vivi media arrotondati molto arrotondati Dimensione dei grani φ 3 sabbia ghiaia fine ghiaia grossa Distribuzione granulometrica φ 4 uniforme media distesa Resistenza al taglio di terreni a grana fine I terreni a grana fine (limi e argille) saturi e normalmente consolidati, alle profondità di interesse per le opere di ingegneria geotecnica, presentano di norma indice di consistenza, 47 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

134 Capitolo 9 RESISTENZA AL TAGLIO DEI TERRENI I c < 0.5 e coesione efficace c = 0. La curva tensioni-deformazioni presenta un andamento monotono con un graduale aumento della resistenza mobilizzata fino a stabilizzarsi su un valore massimo che rimane pressoché costante anche per grandi deformazioni, analogo a quello mostrato in Figura 9.3, dove il valore massimo della resistenza raggiunto cresce al crescere della pressione efficace di confinamento. L angolo di resistenza al taglio ϕ è inferiore a quello dei terreni a grana grossa e dipende dai minerali argillosi costituenti e quindi dal contenuto in argilla, CF, e dall indice di plasticità, I P (Figura 9.4). Figura 9.4 Dipendenza dell angolo di resistenza al taglio delle argille dall indice di plasticità I terreni a grana fine sovraconsolidati presentano di norma indice di consistenza, I c > 0,5, coesione efficace c > 0. La curva tensioni-deformazioni presenta un massimo accentuato, corrispondente alla condizione di rottura, e un valore residuo, per grandi deformazioni. A parità di pressione efficace di confinamento la resistenza al taglio di picco dei terreni a grana fine cresce con il grado di sovraconsolidazione; a parità del grado di sovraconsolidazione e per lo stesso tipo di terreno, la resistenza al taglio di picco cresce al crescere della pressione efficace di confinamento, mentre il picco nella curva sforzi-deformazioni risulta sempre meno accentuato fino ad ottenere un andamento monotono, tipico di terreni normalconsolidati. L angolo di resistenza al taglio residuo è indipendente dalla storia dello stato tensionale, e quindi dal grado di sovraconsolidazione, OCR. 48 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

135 Capitolo 0 TERRENI NON SATURI 0. Richiami CAPITOLO 0 TERRENI NON SATURI Nel Capitolo abbiamo visto che: - I terreni sono mezzi particellari costituiti da una fase solida (le particelle minerali), da una fase liquida (generalmente acqua, ma talvolta anche altri liquidi) e da una fase gassosa (generalmente aria e vapor d acqua ma talvolta anche altri gas). - Le molecole d acqua possono essere libere di muoversi nei vuoti interparticellari (acqua interstiziale) oppure essere aderenti alla superficie delle particelle solide di terreno a causa di legami elettrochimici (acqua adsorbita). - In un deposito di terreno naturale, sede di falda freatica, si riconoscono zone a differente grado di saturazione. In particolare, procedendo dal piano campagna verso il basso, si distingue la zona vadosa, sopra falda, che a sua volta si suddivide in zona di evapotraspirazione, zona di ritenzione e frangia capillare, e la zona sotto falda. Se i vuoti nel terreno sono fra loro comunicanti (come avviene quasi sempre), il terreno nella zona sotto falda è saturo d acqua, mentre quello nella zona vadosa può essere saturo, parzialmente saturo o secco. - La pressione dell acqua sotto la falda freatica è superiore alla pressione atmosferica, mentre sopra il livello di falda è inferiore alla pressione atmosferica. 0. Capillarità Se l acqua nel terreno fosse soggetta alla sola forza di gravità, il terreno soprastante il livello di falda sarebbe completamente asciutto, salvo per l acqua adsorbita e per l acqua di percolazione delle precipitazioni atmosferiche, mentre in realtà esso è saturo fino ad una certa altezza al di sopra del livello di falda e parzialmente saturo nel tratto superiore. Per comprendere le cause di tale fenomeno è utile introdurre il concetto di capillarità. Se si immerge l estremità di un tubo di vetro di piccolo diametro nell acqua, si può osservare che l acqua risale nel tubo fino ad un altezza che dipende dal diametro del tubo, e che la superficie di separazione fra l acqua e l aria nel tubo è concava (Figura 0.). Figura 0.: Risalita capillare in un tubo di vetro 49 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

136 Capitolo 0 TERRENI NON SATURI La superficie di separazione aria-acqua, a causa di forze di attrazione molecolare, si comporta come una membrana elastica in uno stato uniforme di tensione, soggetta a differenti pressioni dalla parte del liquido e dalla parte del gas. La colonna d acqua di altezza h c, detta altezza di risalita capillare, è come sostenuta dalla membrana (menisco) tesa sulla parete del tubo capillare. Indicando con T [FL - ] il valore della tensione superficiale della membrana, con α l angolo di contatto del menisco con la parete verticale del tubo, e con r il raggio del tubo capillare, per l equilibrio in direzione verticale, si ha: T h c = cosα (Eq. 0.) r γ w Figura 0.: Compressione indotta dalla tensione superficiale La pressione dell acqua nei punti e (Figura 0.) è pari alla pressione atmosferica, convenzionalmente assunta pari a zero, mentre nel tubo capillare la pressione dell acqua è negativa (ovvero inferiore alla pressione atmosferica), varia linearmente con l altezza e nel punto 3 assume il valore minimo u w = - h c γ w. La forma concava del menisco, ovvero della superficie di separazione acqua-aria, è dovuta al fatto che la pressione atmosferica dell aria, u a, è superiore alla pressione dell acqua, u w, e quindi gonfia la membrana La componente verticale T cosα della tensione superficiale determina uno stato di compressione assiale nel tubo di vetro, la componente radiale T senα determina uno stato di compressione circonferenziale (Figura 0.). Con riferimento alla Figura 0.3 il caso (a) mostra la risalita capillare all interno di un tubo di vetro pulito. L altezza h c relativa al caso (a) può non essere raggiunta a causa della limitata altezza del tubo capillare, come mostrato nel caso (b). Se il tubo di vetro non ha diametro costante ma presenta delle sbulbature, l altezza di risalita capillare è diversa a seconda che il processo sia di imbibizione o di essiccamento. Nel caso (c) si vede come la presenza di un bulbo di raggio maggiore di quello del tubo capillare (r > r) limiti l altezza di risalita h c ; al contrario nel caso (d) il processo di svuotamento è controllato dal raggio r del tubo e non da quello r del bulbo. 50 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

137 Capitolo 0 TERRENI NON SATURI Essiccamento Imbibizione Figura Effetti dell altezza e del raggio sulla risalita capillare Nei terreni avviene un fenomeno analogo. I vuoti costituiscono un sistema continuo di canali tortuosi e a sezione variabile lungo i quali l acqua risale dal livello di falda fino ad altezze diverse, cosicché il terreno risulta saturo fino ad una certa altezza e parzialmente saturo nel tratto superiore. La tortuosità, la rugosità e la dimensione delle pareti dei canali nel terreno dipendono dalla natura, dalla forma, dalle dimensioni, dalla distribuzione granulometrica e dallo stato di addensamento delle particelle solide di terreno. Questi stessi fattori, e in modo diverso a seconda che il processo sia di imbibizione o di essiccamento, determinano l altezza di risalita capillare nel terreno. Il caso (e) di Figura 0.3 mostra le condizioni di un terreno imbibito per risalita capillare. Un espressione empirica approssimata dell altezza di risalita capillare h c (in cm) nei terreni è la seguente: h c C = e S D 0 (Eq. 0.) in cui e è l indice dei vuoti, D 0 è il diametro efficace (in cm) e C S è una costante empirica dipendente dalla forma dei grani e dalle impurità delle superfici, il cui valore è compreso tra 0. e 0.5 cm. Valori indicativi dell altezza di risalita capillare sono riportati in Tabella 0.. Tabella 0.: Valori indicativi dell altezza di risalita capillare Terreno D 0 (mm) h c (m) Ghiaia 0,8 0,05 0, 0,80 Sabbia 0,03,60 0,0,40 Limo 0,006 3,60 Argilla 0,00 >0,0 5 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

138 Capitolo 0 TERRENI NON SATURI In un terreno parzialmente saturo sono possibili tre differenti condizioni di saturazione: a) condizione di saturazione a isole d aria, caratteristica di gradi di saturazione elevati (S r > 85%), in cui la fase gassosa non è continua ma è presente in forma di bolle d aria; b) condizione di saturazione a pendolo, caratteristica di gradi di saturazione molto bassi, in cui la fase liquida non è continua ma è presente solo nei menischi in corrispondenza dei contatti interparticellari; in tale condizione l acqua nelle zone di contatto fra i grani forma menischi in modo analogo a quanto avviene in un tubo capillare, producendo uno stato di compressione fra i grani (Figura 0.). c) condizione di saturazione mista, caratteristica di gradi di saturazione intermedi, in cui coesistono, in zone diverse del terreno, le due condizioni di saturazione precedenti. 0.3 Suzione I mezzi fluidi, acqua e aria, essendo privi di resistenza al taglio, sono caratterizzati da uno stato di tensione sferico. Come già detto, in un terreno parzialmente saturo, a causa della tensione superficiale, la pressione dell acqua nei pori (u w ) risulta sempre inferiore alla pressione dell aria nei pori (u a ). La differenza tra la pressione dell aria, che in condizioni naturali è pari alla pressione atmosferica, e la pressione dell acqua nei pori è detta suzione di matrice: s = (u a u w ) (Eq. 0.3) dove: u w < u a < 0, da cui s > 0 e posto u a = 0, risulta s = u w Un terreno non saturo posto a contatto con acqua libera e pura a pressione atmosferica tende a richiamare acqua per effetto della suzione totale, ψ. La suzione totale, ψ, ha due componenti: la prima componente è la suzione di matrice, s, di cui si è già detto, associata al fenomeno della capillarità, la seconda componente è la suzione osmotica, π, dovuta alla presenza di sali disciolti nell acqua interstiziale e quindi alla differenza di potenziale elettro-chimico tra l acqua interstiziale e l acqua libera: ψ = s + π (Eq. 0.4) In definitiva (Figura 0.4): - la suzione totale, ψ, è la pressione negativa (ovvero inferiore alla pressione atmosferica) cui deve essere soggetta l acqua pura in modo da essere in equilibrio, attraverso una membrana semipermeabile (permeabile cioè alle sole molecole d acqua ma non ai sali) con l acqua interstiziale; - la suzione di matrice, s, è la pressione negativa cui deve essere soggetta una soluzione acquosa identica in composizione all acqua interstiziale, in modo da essere in equilibrio, attraverso una membrana permeabile con l acqua interstiziale; - la suzione osmotica, π, è la pressione negativa cui deve essere soggetta l acqua pura in modo da essere in equilibrio, attraverso una membrana semipermeabile con una soluzione acquosa identica in composizione all acqua interstiziale. 5 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

139 Capitolo 0 TERRENI NON SATURI Flusso per suzione totale, Ψ Membrana semipermeabile Flusso per suzione di matrice, S Membrana semipermeabile Flusso per suzione osmotica, Π Membrana semipermeabile Acqua pura Acqua = + con sali Acqua pura Terreno insaturo, acqua con sali Terreno insaturo, acqua con sali Figura 0.4 Componenti della suzione totale Acqua con sali La suzione osmotica è presente sia nei terreni saturi che nei terreni parzialmente saturi, e varia con il contenuto salino dell acqua, ad esempio come conseguenza di una contaminazione chimica, producendo effetti in termini di deformazioni volumetriche e di variazioni di resistenza al taglio Tuttavia la maggior parte dei problemi di ingegneria geotecnica che coinvolgono terreni non saturi sono riferibili a variazioni della suzione di matrice, come ad esempio gli effetti della pioggia sulla stabilità dei pendii o sui cedimenti delle fondazioni superficiali. In Figura 0.5 sono messe a confronto le variazioni di suzione totale, ψ, suzione di matrice, s, e suzione osmotica, π, con il contenuto in acqua, w, di un argilla: si osserva che π rimane pressoché costante al variare di w, e quindi per un assegnata variazione di contenuto in acqua w si ha ψ s. 0.4 Misura della suzione Per la misura della suzione di matrice in sito si utilizzano i tensiometri. Il tensiometro è composto da un tubo avente ad una estremità una punta in materiale ceramico poroso, ed all altra un serbatoio sigillato contenente acqua. La punta del tensiometro è infissa nel terreno (Figura 0.6). L acqua contenuta nel tubo, per effetto della suzione, filtra attraverso la ceramica porosa e determina una depressione nel serbatoio dell acqua, rilevabile con un manometro. La pressione di equilibrio del sistema corrisponde alla suzione nel terreno. Suzione (kpa) Suzione totale Suzione di matrice Suzione osmotica Suzione di matrice + osmotica Contenuto d acqua, w (%) Figura Misure della suzione totale, osmotica e di matrice su un argilla compatta 53 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

140 Capitolo 0 TERRENI NON SATURI Figura 0.6 Modalità di installazione di un tensiometro: per profondità fino a.5 m (A) e maggiori di.5 m (B) Il metodo è semplice, ma il campo di misura della suzione è limitato a circa kpa dalla possibilità di cavitazione dell acqua nel tensiometro. Esistono diverse tecniche di misura della pressione negativa dell acqua (manometri acqua-mercurio, trasduttori elettrici di pressione, etc..), poiché in generale gli strumenti di maggiore sensibilità hanno tempi di risposta più lunghi. 0.5 Curve di ritenzione La curva di ritenzione idrica (SWRC = Soil Water Retention Curve) definisce la relazione fra la suzione di matrice e una misura della quantità di acqua presente nel terreno, che può essere opportunamente scelta fra: Pw - il contenuto d acqua in peso: w (%) = 00 Ps Vw - il contenuto d acqua in volume: θ = = Sr n V Vw - il grado di saturazione: S r (%) = 00 Vv La curva di ritenzione idrica è generalmente rappresentata in un piano semilogaritmico, avente in ascissa il valore della suzione e in ordinata il valore della variabile di misura della quantità d acqua nel terreno. La forma tipica di una SWRT è rappresentata in Figura 0.7. Al crescere della suzione si individuano tre differenti parti della curva. Nella prima parte (boundary effect zone), per i valori più bassi di suzione, il terreno è saturo e un aumento di suzione non produce diminuzioni significative del grado di saturazione. La prima parte ha termine per quel valore della suzione che corrisponde alla formazione delle prime bolle d aria nei pori più grandi del terreno. Tale valore, detto di entrata dell aria (air-entry value), è indicato con il simbolo (u a u w ) b, o anche ψ b. Nella seconda parte, detta di transizione (transition zone), al crescere della suzione la quantità d acqua nel terreno si riduce sensibilmente e la fase liquida diviene discontinua. Nella terza parte infine, detta residua di non saturazione (residual zone of unsaturation), a grandi incrementi di suzione corrispondono piccole riduzioni della quantità d acqua nel 54 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

141 Capitolo 0 TERRENI NON SATURI r terreno. Il valore della suzione corrispondente al passaggio dalla seconda alla terza parte della curva, ovvero alla quantità d acqua residua, è indicato con il simbolo ψ r. Grado di saturazione, S (%) Particelle Valore di entrata dell aria Acqua Aria Aria ψ b ψ r Suzione (kpa) Figura 0.7 Curva di ritenzione idrica e differenti fasi di desaturazione È stato osservato che, indipendentemente dall ampiezza delle tre zone, tutti i terreni tendono ad un grado di saturazione zero per valore di suzione pari a circa 0 6 kpa (Figura 0.8). Grado di saturazione, S (%) r Suzione (kpa) Figura 0.8 Curve di ritenzione idrica per 4 differenti tipi di terreno 55 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

142 Capitolo 0 TERRENI NON SATURI La forma della curva di ritenzione dipende dalla dimensione dei pori e quindi dalla composizione granulometrica e dallo stato di addensamento del terreno. I terreni a grana grossa (sabbie e ghiaie), che hanno pori interconnessi e di grandi dimensioni, sono caratterizzati da bassi valori di ψ b e ψ r, e da una curva ripida nella zona di transizione. I terreni a grana fine (argille), le cui particelle hanno elevata superficie specifica e quindi forti legami elettro-chimici con le molecole d acqua, sono caratterizzati da alti valore della suzione di entrata dell aria, ψ b, e da una minore pendenza della curva di ritenzione nella zona di transizione. Inoltre, per i terreni argillosi, spesso non è definibile la quantità d acqua residua, e quindi il valore di ψ r. Per la formulazione matematica delle curve di ritenzione idrica è spesso utilizzato il contenuto in acqua volumetrico normalizzato: θ θ r Θ = (Eq. 0.5) θ s θ r in cui θ s è il contenuto in acqua volumetrico corrispondente al terreno saturo, e θ r è il contenuto in acqua volumetrico residuo. Se si assume θ r = 0, risulta Θ = S r. Fra le numerose equazioni proposte per la modellazione delle curve di ritenzione idrica, le due seguenti richiedono la definizione di un solo parametro: a) Equazione di Brooks e Corey (964): α ψ Θ = ψ per ψ b ψ b (Eq. 0.6) Θ = per ψ < ψ b il parametro α è un indice di distribuzione della dimensione dei pori con valori generalmente compresi tra 0, e. b) Equazione di Van Genuchten semplificata (978): ψ Θ = + b ψ m m in cui il parametro m ha valori generalmente compresi tra 0,6 e 0,75. (Eq. 0.7) Durante un processo di riduzione del contenuto in acqua dalle condizioni sature, e quindi di aumento della suzione, il terreno segue una curva di ritenzione, detta curva principale di essiccamento (main drying), diversa rispetto alla curva di ritenzione che il terreno segue nel processo inverso di aumento del contenuto in acqua, e quindi di riduzione della suzione. Quest ultima curva, detta curva principale di imbibizione (main wetting), non raggiunge la completa saturazione del terreno, perché una certa quantità di aria (residual air content) rimane comunque intrappolata nei vuoti del terreno (Figura 0.9). Le due curve principali delimitano i possibili stati del terreno. I percorsi da una all altra delle curve principali (scanning curves) sono pressoché reversibili. 56 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

143 r Capitolo 0 TERRENI NON SATURI Grado di saturazione, S (%) Curva principale di imbibizione Valore di entrata dell aria Contenuto d aria residuo Curva principale di essiccamento Suzione (kpa) Figura 0.9 Curve principali di essiccamento e di imbibizione per un argilla in termini di grado di saturazione 0.6 Flusso dell acqua nei terreni non saturi Come abbiamo già visto nel Capitolo 3, il flusso dell acqua nei terreni (saturi e non saturi) è determinato dalla differenza di altezza idraulica, o altezza totale h: u w v h = z + + (Eq. 0.8) γ w g in cui z è l altezza geometrica, u w /γ w è l altezza di pressione, e v /g è l altezza di velocità (di norma trascurabile). Con riferimento alla Figura 0.0 l altezza totale del punto A è maggiore dell altezza totale del punto B, e quindi l acqua si muoverà da A verso B in ragione del gradiente idraulico fra i due punti. p.c. A Tensiometro u / γ w w ( < 0) B Piezometro u / γ w w ( > 0) h B z A h A z B z = 0 Figura Gradiente di carico in un terreno non saturo 57 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

144 Capitolo 0 TERRENI NON SATURI Nei terreni non saturi, come nei terreni saturi, vale la legge di Darcy, ma il coefficiente di permeabilità è fortemente dipendente dalla suzione: v = k( ψ ) i (Eq. 0.9) k( ψ ) = k s k r ( ψ ) in cui: k s è il coefficiente di permeabilità (all acqua) del terreno saturo, e k r (ψ) è la conducibilità idraulica relativa, adimensionale, con valori compresi tra 0 e. Alcune delle equazioni proposte per descrivere analiticamente la variazione della conducibilità idraulica relativa con la suzione o con il contenuto volumetrico in acqua sono le seguenti: a) modello esponenziale (Gardner, 958) k r ( ψ ) = exp( a ψ ) (Eq. 0.0) in cui a è un coefficiente con valori compresi tra 0,00cm - (terreni a grana fine) e 0,05cm - (terreni a grana grossa); b) modello di Gardner (958) k ( ψ ) = (Eq. 0.) r + a ( ψ ) n c) modello di Davidson et al. (969) k ( ψ ) = exp[ β ( θ θ )] (Eq. 0.) r s d) modello di Mualem (976) e Van Genuchten (978) k r ( Θ) = Θ 0,5 Θ m m (Eq. 0.3) Nelle Figure 0.a e 0.b sono rappresentate le curve sperimentali di variazione del contenuto volumetrico in acqua e del coefficiente di permeabilità con la suzione per tre differenti terreni. a) b) Figura 0. - Curve sperimentali di variazione del contenuto volumetrico in acqua (a) e del coefficiente di permeabilità (b) con la suzione per tre differenti terreni. 58 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

145 Capitolo 0 TERRENI NON SATURI 0.7 Resistenza al taglio di terreni non saturi Vi sono due differenti approcci per stimare la resistenza al taglio di un terreno non saturo. Il primo utilizza la definizione di tensione efficace per terreni non saturi, σ, originariamente proposta da Bishop (959): σ = ( σ ua ) + χ ( ua uw ) (Eq. 0.4) in cui: u a pressione dell aria nei pori, u w pressione dell acqua nei pori, (u a u w ) suzione di matrice, χ parametro che assume il valore per terreno saturo e il valore 0 per terreno secco. Secondo tale approccio, la resistenza al taglio di terreni non saturi può essere determinata, come per i terreni saturi, sulla base di due parametri di resistenza al taglio efficace, c e φ, e di una unica variabile di tensione, σ, nel modo seguente: τ f = c + [( σ u a ) + χ ( u a u w )] tanφ (Eq. 0.5) Il parametro χ è stimato con l equazione (Khalili e Khabbaz, 998): = u u u u χ per ( a w ) ( a w ) b 0,55 ( u ) a uw per χ = ( u a u w ) > ( u a u ) (Eq. 0.6) w b ( ua uw ) b in cui (u a u w ) b corrisponde al valore della suzione di matrice per il quale si iniziano a formare bolle d aria nel terreno (air entry value). Un diverso approccio è quello di Fredlund e Rahardjo (993), secondo il quale la resistenza al taglio dei terreni non saturi è funzione di tre parametri di resistenza e di due variabili di tensione, nel modo seguente: b τ f = c + ( σ u a ) tanφ + ( u a u w ) tanφ (Eq. 0.7) in cui φ b è l angolo di resistenza al taglio per variazione di suzione di matrice, (u a u w ), inferiore all angolo di resistenza al taglio, φ, associato alla variazione di tensione normale netta (σ u a ). La resistenza la taglio non varia linearmente con la suzione, ovvero l angolo φ b non è costante ma decresce al crescere della suzione. La determinazione sperimentale dell (Eq. 0.7) richiede l esecuzione di prove di laboratorio sofisticate, costose, inusuali e molto lunghe, specie per terreni a grana fine il cui coefficiente di permeabilità è molto basso. Inoltre la variabilità di tanφ b con la suzione richiede che le prove siano eseguite nel campo di tensione atteso in sito. Pertanto, per evitare la determinazione sperimentale diretta, sono state proposte relazioni empiriche per la stima indiretta di tanφ b. Öberg e Sällfors proposero di stimare il valore di tanφ b per limi e sabbie insature nel modo seguente: b tanφ = S tanφ (Eq. 0.8) r Vanapalli et al. proposero di stimare il valore di tanφ b con la seguente relazione: tanφ b = tanφ Θ (Eq. 0.9) L equazione (0.7) rappresenta un piano tangente ai cerchi di Mohr a rottura (Figura 0.). 59 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

146 Capitolo 0 TERRENI NON SATURI τ b φ a w Suzione di matrice, (u -u ) φ b φ b (u -u ) tg a w f φ c φ c σ-u a Figura 0. Criterio di rottura di Mohr-Coulomb generalizzato per i terreni non saturi L intersezione del piano di inviluppo a rottura con il piano (u a u w ) τ, è una curva rappresentata in Figura 0.3 (la curva e una retta se si assume tanφ b = cost) e di equazione: b c = c + ( u a u w ) tanφ (Eq. 0.0) τ c = c + (u -u ) tg a w f φ b b φ c 3 b c (u -u ) tg a w f φ c c (u -u ) a w f (u -u ) a w f (u -u ) a w f 3 Suzione di matrice, (u -u ) a w Figura 0.3 Intersezione del piano di inviluppo a rottura con il piano (u a u w ) τ 60 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

147 Capitolo STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO CAPITOLO STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO. Percorsi tensionali (stress paths).. Percorsi tensionali efficaci (ESP) e totali (TSP) nei piani s -t e s-t Lo stato tensionale in un punto di un mezzo continuo solido in condizioni assialsimmetriche, come è stato mostrato nel Capitolo 9, è rappresentato nel piano di Mohr (σ, τ) da un cerchio avente il centro sull asse delle ascisse (Figura.a). Se si considera un sistema piano di assi cartesiani in cui l asse delle ascisse è il parametro di tensione: ( σ + ) σ s = 3 e l asse delle ordinate è il parametro di tensione: ( σ ) (Eq..) σ t = 3 (Eq..) al cerchio nel piano di Mohr corrisponde biunivocamente un punto A nel nuovo sistema di riferimento (Figura.b). Sovrapponendo i due sistemi di riferimento il punto A coincide con il vertice del cerchio di Mohr. Il vantaggio di tale rappresentazione consiste nel fatto che è possibile, mediante una linea continua nel piano s-t, rappresentare una successione continua di stati tensionali, ovvero un percorso tensionale. Il vertice del cerchio di Mohr sta al percorso tensionale come un fotogramma sta ad un filmato. Nel caso dei terreni i percorsi tensionali possono essere definiti con riferimento sia alle tensioni totali (TSP = Total Stess Path) sia alle tensioni efficaci (ESP = Effective Stress Path). Applicando il principio delle tensioni efficaci si ha: s = s + u; t = t (Eq..3) a) b) τ t Percorso tensionale A A (σ -σ 3 )/ σ 3 O σ 3 σ σ O s (σ +σ 3 )/ Figura.: Corrispondenza fra i cerchi di Mohr e i punti nel piano s-t 6 (σ +σ 3 )/ J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

148 Capitolo STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO Utilizzando i percorsi tensionali è possibile descrivere la successione continua nel tempo degli stati tensionali totali ed efficaci di un provino di terreno durante l esecuzione delle prove geotecniche assialsimmetriche standard di laboratorio che sono state descritte nei capitoli precedenti. In particolare, nei piani t-s e t-s sovrapposti: a) I percorsi tensionali totale (TSP) ed efficace (ESP) di compressione e consolidazione isotropa (prima fase delle prove triassiali TxCID e TxCIU) sono rappresentati da segmenti rettilinei sull asse delle ascisse (t = 0). Per semplicità di esposizione si suppone che gli stati tensionali iniziali totale ed efficace, rispettivamente rappresentati dai punti A e A, siano isotropi e che la pressione interstiziale iniziale sia zero, cosicché i punti A ed A risultano coincidenti. Nel piano delle tensioni totali il segmento AB è percorso in modo istantaneo t all atto di applicazione dell incremento di pressione isotropa di cella (Figura.). Nel piano delle tensioni efficaci il segmento A B è percorso nel tempo T c necessario affinché avvenga la consolidazione. Al tempo T = T c la distanza BB indica il valore della contropressione interstiziale BP (Back Pressure). b) I percorsi tensionali efficace t (ESP) e totale (TSP) di un provino di terreno B B (T = T ) α k 0 = arctg[(-k 0 )/(+K 0 )] c normalmente consolidato sottoposto a prova di V u(t) V t = ( -k0) p compressione e A A 45 (T = 0) TSP (T = 0) C consolidazione edometrica a incrementi di carico ( +k ) p ( -k ) 0 p s = 0 s - s = s,s 0 sono mostrati in s 0= p Figura.3. I punti A e A, coincidenti, indicano gli stati tensionali, rispetti- Figura.3 Percorsi tensionali nei piani s-t e s -t per compressione edometrica vamente totale ed efficace, prima dell applicazione dell incremento di carico, p. I punti B e B, coincidenti, indicano gli stati tensionali, rispettivamente totale ed efficace, al termine del 6 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007) A A B B B.P. s,s Figura. Percorsi tensionali nei piani s-t e s -t per compressione isotropa ESP TSP

149 Capitolo STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO processo di consolidazione. Sia i punti A e A che i punti B e B appartengono alla retta K 0, passante per l origine degli assi ed avente equazione: ( K 0 ) t = s (Eq..4) ( + K 0 ) Nel piano delle tensioni efficaci il segmento A B è percorso nel tempo T = T c necessario affinché avvenga la consolidazione. Nel piano delle tensioni totali il segmento AC è percorso istantaneamente all atto dell applicazione dell incremento di carico (T = 0), mentre il segmento CB è percorso nel tempo T = T c necessario affinché avvenga la consolidazione. Ad un generico istante di tempo durante il processo di consolidazione i punti rappresentativi dello stato tensionale efficace e totale sono rappresentati da due punti, V e V, con la stessa ordinata, rispettivamente sul segmento A B e CB, e la loro distanza rappresenta il valore della pressione interstiziale. c) I percorsi tensionali efficace (ESP) t e totale (TSP) di un provino di terreno nella fase di compressione di C C una prova triassiale consolidata isotropicamente e drenata (TxCID) sono mostrati in Figura.4. Durante la prova in condizioni drenate non insorgono sovrapressioni interstiziali e i percorsi ESP e TSP risultano 45 coincidenti (o traslati di una quantità pari alla contropressione intersti- B B s,s B.P. ziale applicata), rettilinei ed inclinati di 45 rispetto all asse orizzontale Figura.4 Percorsi tensionali nei piani s-t e s. s -t per compressione drenata d) I percorsi tensionali efficace (ESP) e totale (TSP) di un provino di terreno nella fase di compressione di una prova triassiale consolidata isotropicamente non drenata (TxCIU) sono mostrati in Figura.5. Durante la prova in condizioni non drenate insorgono sovrapressioni interstiziali positive o negative in dipendenza del rapporto di sovraconsolidazione e del livello di deformazione. Il percorso TSP è rettilineo e inclinato di 45 rispetto all asse orizzontale s. Il percorso ESP è invece curvilineo. Nelle Figure.5a e b sono qualitativamente mostrati i percorsi tensionali TSP ed ESP per provini di argilla con differente rapporto di sovraconsolidazione. La distanza dei punti B e B corrispondenti agli stati di tensione isotropa iniziale rispettivamente totale ed efficace rappresenta la contropressione interstiziale BP. Per un provino normalmente consolidato (Figura.5a) la pressione interstiziale cresce durante la compressione ed il percorso ESP si allontana curvando progressivamente verso sinistra dal segmento rettilineo e inclinato a 45 parallelo al percorso TSP (sovrappressione interstiziale sempre positiva e crescente). ESP TSP 63 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

150 Capitolo STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO a) t b) t C C C C ESP B u B TSP 45 B.P. s,s Figura.5 Percorsi tensionali nei piani s-t e s -t per compressione non drenata: a) terreno normalmente consolidato; b) terreno fortemente sovraconsolidato. Per un provino fortemente sovraconsolidato (Figura.5b) la pressione interstiziale durante la compressione inizialmente cresce e poi decresce, fino a valori inferiori a quello iniziale, il percorso ESP curvilineo si svolge inizialmente a sinistra e poi a destra del segmento rettilineo e inclinato a 45 parallelo al percorso TSP... Percorsi tensionali efficaci (ESP) e totali (TSP) nei piani p -q e p-q I percorsi tensionali che utilizzano i parametri di tensione s, s e t sopra introdotti hanno il vantaggio di essere immediatamente comprensibili, poiché è facile collegare ad un generico punto del percorso tensionale il corrispondente cerchio di Mohr e, anche mentalmente, visualizzarlo. Tuttavia i parametri s, s e t non hanno un preciso significato fisico. Esistono altri modi, meno intuitivi ma più corretti, per rappresentare i percorsi tensionali assialsimmetrici. In particolare nel seguito saranno utilizzati i parametri invarianti di tensione: σ + σ 3 tensione media totale: p = (Eq..5) 3 σ + tensione media efficace: p = σ 3 = p u (Eq..6) 3 tensione deviatorica: q = q = σ σ = σ σ (Eq..7) 3 I parametri s, s e t ed i parametri p, p e q sono legati dalle seguenti relazioni biunivoche: t p = s 3 (Eq..8) t p = s 3 (Eq..9) q = t (Eq..0) 3 B ESP B u TSP B.P. 45 s,s Per stati tensionali tridimensionali i parametri di tensione p, e q hanno la forma: p = 3 q = ( σ + σ + σ ) [( σ σ ) + ( σ σ ) + ( σ σ ) ] 0, J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

151 Capitolo STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO q s = p + 6 q s = p + 6 q t = (Eq..) (Eq..) (Eq..3) per cui tutto quanto è stato detto con riferimento ai piani s-t ed s -t può essere trasferito e tradotto nei corrispondenti piani p-q e p -q. In generale (Figura.6) a incrementi delle tensioni principali maggiore e minore rispettivamente pari a σ e a σ = σ 3 : τ, t nel piano s-t corrisponde un segmento di percorso tensionale di lunghezza: α s-t t σ + σ 3 L s t = (Eq..4) O σ, s σ3 σ e pendenza: s σ σ 3 tanα s t = (Eq..5) Figura.6 Percorsi tensionali nei piani s-t e σ-τ σ + σ 3 mentre nel piano p-q corrisponde un segmento di percorso tensionale di lunghezza: L p q = 0 σ + 3 σ 3 4 σ σ 3 (Eq..6) 3 e pendenza: 3 ( σ σ 3) tanα p q = (Eq..7) σ + σ 3 e quindi in particolare: per compressione isotropa ( σ = σ 3 = σ): nel piano s - t : L = σ tanα s-t = 0 (Eq..8) nel piano p - q : s t L = σ tanα p-q = 0 (Eq..9) p q per compressione monoassiale ( σ = σ, σ 3 = 0): σ nel piano s - t : L s t = tanα s-t = (Eq..0) nel piano p - q : 0 L p q = σ tanα p-q = 3 (Eq..) 3 L s-t 65 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

152 Capitolo STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO. Stato critico.. Introduzione Nei capitoli precedenti sono stati affrontati separatamente, con modelli semplici e schemi elementari diversi, i problemi relativi alla deformabilità ed alla resistenza dei terreni. In questo capitolo, dopo avere esposto la teoria dello Stato Critico come quadro interpretativo generale del comportamento dei terreni saturi, si introdurrà un modello matematico un poco più complesso ma più generale (il modello Cam Clay Modificato) per la previsione quantitativa di tale comportamento. I parametri di tale modello possono essere ricavati dai risultati delle prove geotecniche standard di laboratorio, già esposti e commentati nei capitoli precedenti. Tali risultati verranno pertanto richiamati ed inquadrati in un ottica unitaria. Le prove geotecniche standard di laboratorio per la determinazione del comportamento meccanico dei terreni sono le prove triassiali e le prove di compressione edometrica, entrambe assialsimmetriche. Salvo indicazione contraria, nel seguito assumeremo che la tensione assiale σ a corrisponda alla tensione principale maggiore σ, e che la tensione radiale σ r corrisponda alle tensioni principali intermedia e minore, eguali fra loro, σ = σ 3. Nel seguito, per descrivere lo stato di tensione ed i percorsi tensionali si utilizzeranno i parametri p, p e q. Per descrivere lo stato di deformazione, di un provino cilindrico di altezza iniziale H 0, diametro iniziale D 0 e volume iniziale V 0, si utilizzeranno i parametri: H deformazione assiale: ε a = ε = (Eq..) H 0 D deformazione radiale: ε r = ε 3 = (Eq..3) D0 V deformazione volumetrica: ε v = ε a + ε r = ε + ε 3 = (Eq..4) V0 deformazione deviatorica o distorsione: ε s = ( ε a ε r ) = ( ε ε 3 ) (Eq..5) 3 3 La deformazione deviatorica è definita nel modo sopra scritto affinché valga la relazione: σ dε + σ dε + σ 3 dε 3 = p dε v + q dε s (Eq..6) Come parametro indicativo dello stato di addensamento del terreno verrà utilizzato il volume specifico, v, che è per definizione il rapporto tra il volume totale di un elemento di terreno, V, e il volume occupato dalle particelle solide, V S. Risulta pertanto per definizione: V v = VS = ( + e ) (Eq..7) e de dv dε v = = + e0 v0 (Eq..8) 66 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

153 Capitolo STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO Analizziamo i risultati delle prove geotecniche standard su provini di argilla ricostituiti in laboratorio, già esposti e commentati nel Capitolo 9, rappresentando i percorsi di carico in uno spazio tridimensionale definito dalla terna di assi cartesiani ortogonali p -q-v... Compressione isotropa drenata (prima fase delle prove triassiali standard), linea di consolidazione normale (NCL) e linee di scarico-ricarico (URL) Il percorso efficace di carico si svolge interamente sul piano p -v (ovvero sul piano q = 0). La curva sperimentale, che potremmo ottenere per punti incrementando (o riducendo) gradualmente la pressione di cella e attendendo per ogni gradino di carico l esaurirsi del processo di consolidazione isotropa, è qualitativamente indicata in Figura.7. La stessa curva, rappresentata in un piano semilogaritmico (Figura.8a), può essere schematizzata con segmenti rettilinei (Figura.8b). La principale ipotesi semplificativa adottata nel passaggio dalla curva sperimentale a quella schematica consiste nell avere sostituito al piccolo ciclo di isteresi sperimentale del percorso di scarico-ricarico il suo asse, ovvero nell avere assunto un comportamento deformativo volumetrico elastico (variazioni di volume interamente reversibili). La retta ABD è detta linea di consolidazione normale (NCL), ed ha equazione: v = Ν λ ln( p) q = 0 Il parametro Ν è il valore dell ordinata (volume specifico) del punto sulla NCL che ha per ascissa p = (e quindi ln(p ) = 0) e dipende dal sistema di unità di misura adottato. Il parametro λ è la pendenza della NCL ed è adimensionale. La retta BCB è una delle infinite, possibili linee di scarico e ricarico (URL), ed ha equazione: v = vκ κ ln( p) (Eq..30) q = 0 Il parametro v κ è il valore dell ordinata (volume specifico) del punto su quella specifica linea di scarico-ricarico che ha per ascissa p = (e quindi ln(p ) = 0), dipende dal sistema di unità di misura adottato ed è biunivocamente riferito all ascissa del punto B (Figura.8b), definita pressione di consolidazione, p c, dalle seguenti relazioni, ottenute imponendo l appartenenza del punto B sia alla NCL che alla linea di scarico-ricarico: ( λ ) ln( p ) vκ = Ν κ (Eq..3) p c Ν v = exp κ λ κ c 67 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007) q v A A C C B B p Figura.7 - Percorso di carico di compressione (e decompressione) isotropa drenata nei piani p -q e p -v D D p (Eq..9)

154 Capitolo STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO a) v A b) v N A C B vκ -λ C -κ B D D ln p p c p (ln) Figura.8 - Curva sperimentale (a) e curva schematizzata (b) del percorso di carico di compressione (e decompressione) isotropa drenata nel piano semilogaritmico ln p -v Il parametro κ è la pendenza della linea di scarico-ricarico isotropo ed è adimensionale. Un provino, al cui stato tensionale, p 0, corrisponda un punto su una linea di scaricoricarico, è isotropicamente sovraconsolidato (OC). Il rapporto di sovraconsolidazione isotropa è: pc R0 = (Eq..33) p0 R 0 non è eguale al rapporto di sovraconsolidazione edometrica, OCR, ma è ad esso legato dalla relazione: NC + K 0 R0 = OCR OC (Eq..34) + K 0 Il risultato sperimentale di un percorso di carico isotropo in condizioni drenate con più cicli di scarico-ricarico a pressione di consolidazione crescente può essere schematicamente rappresentato come in Figura.9: i segmenti corrispondenti a ciascun ciclo di scarico-ricarico, rettilinei nel piano semilogaritmico, hanno la stessa pendenza κ e, naturalmente, diversi valori di v κ e di p c. In definitiva, rammentando gli schemi dei modelli reologici e- lementari presentati nel Capitolo 5, si può affermare che i risultati sperimentali sopra descritti possono essere ben riprodotti da un modello elastico non lineare v N -λ v κ C -κ B v κ v κ 3 68 C C 3 A -κ p c -κ B B 3 p c p c3 p (ln) Figura.9 - Schematizzazione di un percorso di carico isotropo drenato con più cicli di scarico-ricarico a pressione di consolidazione crescente J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

155 Capitolo STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO plastico a incrudimento positivo. Infatti: a) il comportamento deformativo è (quasi) elastico, ovvero il percorso è reversibile, lungo le linee di scarico-ricarico; b) lungo tali linee il comportamento è non lineare, in quanto il percorso è rettilineo nel piano semilogaritmico (e quindi curvilineo nel piano naturale); c) il comportamento è elasto-plastico lungo la linea di consolidazione normale (NCL); d) la pressione media efficace di consolidazione isotropa, p c, è la soglia di tensione oltre la quale si manifestano deformazioni plastiche (irreversibili), ovvero è la tensione di snervamento; e) l incrudimento è positivo poiché la deformazione plastica avviene a pressione di consolidazione crescente...3 Pressione efficace media equivalente, p e La pressione efficace media equivalente di un elemento di terreno A caratterizzato dai parametri p A, q A e v A è la pressione p ea del punto sulla linea di consolidazione normale (NCL) avente volume specifico v A (Figura.0). La pressione efficace media equivalente vale dunque: N va p ea = exp (Eq..35) λ a) b) v q N -λ NCL q A A v A A p p A ea p (ln) v A p p A ea p v NCL Figura.0 - Definizione di pressione efficace equivalente nel piano lnp -v e nello spazio p -v-q La pressione efficace equivalente non varia nei percorsi tensionali non drenati, che avvengono a volume costante, mentre varia nei percorsi tensionali drenati, durante i quali si hanno deformazioni volumetriche...4 Compressione con espansione laterale impedita (compressione edometrica), linea di consolidazione edometrica (linea K 0 ) e linee di scarico-ricarico edometriche Dalle condizioni al contorno della prova edometrica (compressione assialsimmetrica con espansione laterale impedita) si desume: 69 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

156 Capitolo STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO ε = ε = 0; σ 3 v = σ 3 = K0 σ σ p = 3 ε = ε ( + K ); q = σ ( K ) 0 0 (Eq..36) Se il terreno normalmente consolidato, K 0 è costante e il percorso tensionale nel piano p - q è rettilineo, passa per l origine degli assi, ed ha equazione, (linea K 0 ) (Figura. a): 3 ( K 0 ) q = p (Eq..37) + K ( ) 0 In Figura. b è mostrato l andamento della linea K 0 al variare di K 0 da cui si può osservare che non potendo essere K 0 < 0 (altrimenti si avrebbe una tensione σ 3 < 0 e quindi di trazione), dalla Eq..37 la retta che delimita gli stati tensionali possibili per il terreno sul piano p -q ha equazione: q = 3 p. a) q Linea K 0 b) q K = < K < 0 3 ( K0 ) ( + K ) 0 p (Compressione isotropa) K = 0 p Nel piano p -v il percorso tensionale è del tutto simile a quello della compressione isotropa e, analogamente ad esso, può essere schematizzato nel piano semilogaritmico con tratti rettilinei definiti dalle seguenti equazioni (Figura.): per la linea di compressione edometrica vergine: v = N 0 λ ln p (Eq..38) per le linee di scarico-ricarico edometriche: v = vk κ ln (Eq..39) Si osserva che la proiezione della linea K 0 sul piano ln p -v è parallela alla linea di consolidazione isotropa normale (NCL), e che le proiezioni sul piano lnp -v delle linee di scarico-ricarico in condizioni edometriche sono parallele alle linee di scarico-ricarico in condizioni di carico isotropo. 70 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007) K > 0 Figura. - Traccia della linea K 0 nel piano p -q per un terreno normalmente consolidato 0 p

157 Capitolo STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO v N N 0 v K0 Il parametro v K0 è biunivocamente riferito alla pressione di consolidazione edometrica p c,edo (ascissa del punto B di Figura.), dalle seguenti relazioni ottenute imponendo l appartenenza del punto B sia alla linea K 0 che alla linea di scarico-ricarico in condizioni edometriche: Nel Capitolo 7 abbiamo visto come i risultati della prova edometrica siano abitualmente rappresentati nel piano log σ v -e, e che in tale piano la pendenza della linea di compressione edometrica vergine sia l indice di compressione C c e la pendenza delle linee di scarico sia l indice di rigonfiamento C s. Valgono dunque le relazioni: C = λ ln0 =, 303 λ (Eq..4a) c e (solo approssimativamente poiché durante lo scarico varia OCR e dunque varia K 0 ): C = κ ln0 =, 303 κ (Eq..4b) s A -λ C -κ B D p c,edo Linea NCL Linea K 0 p (ln) Figura. - Traccia della linea K 0 nel piano lnp -v per un terreno N.C. e di una linea di scarico-ricarico in condizioni edometriche ( λ ) ( ) = Ν 0 κ ln K p 0 c, edo A differenza della linea di consolidazione normale (NCL) che si sviluppa sul piano q = 0, la linea K 0 si sviluppa nello spazio a tre dimensioni p -q-v (Figura.3). q v (Eq..40) Ν 0 v K 0 p c, edo = exp (Eq..4) λ κ Linea K 0 Linea NCL p 3 ( K0 ) ( + K ) 0 v Figura.3 - Rappresentazione delle linee NCL e K 0 nello spazio p -q-v 7 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

158 Capitolo STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO..5 Compressione triassiale drenata di argilla N.C. (prova TxCID) e linea di stato critico (CSL) Il percorso tensionale efficace di un provino di argilla N.C. in una prova di compressione triassiale drenata standard consiste di due fasi: la prima di compressione isotropa lungo la linea NCL, fino alla pressione di consolidazione isotropa p c, la seconda di compressione assiale in condizioni drenate a pressione di confinamento costante. In quest ultima fase, al crescere della deformazione assiale ε a (la prova è condotta a deformazione assiale controllata) la tensione deviatorica q cresce progressivamente fino ad un valore massimo q f poi si mantiene circa costante. La curva sperimentale ε a q è ben rappresentata da una relazione iperbolica del tipo: ε a q = (Eq..43) a + b ε a Il volume decresce progressivamente fino ad un valore minimo, poi si mantiene circa costante (Figura.4). Il percorso tensionale corrispondente alla fase di compressione assiale, AB, ha come proiezione sul piano p -q un segmento rettilineo con pendenza 3:, dal punto A di coordinate (p c - 0) al punto B, corrispondente alla condizione di rottura, di coordinate (p f - q f ), e nel piano p -v ha origine nel punto A sulla linea NCL e termina nel punto B sottostante la linea NCL. Infatti durante la fase di compressione risulta che σ 3 = σ r =σ c = cost e quindi q = (σ σ 3 ) = σ e p = (σ + σ 3 )/3 = σ /3 e quindi: q σ = = 3 (Eq..44) p σ / 3 a) q b) B q f q B A B ε a c) v 3 A p c p f p ε v A B p Figura.4 - Percorsi tensionali di compressione drenata su un provino di argilla N.C. 7 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

159 Capitolo STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO Se tre provini della stessa argilla isotropicamente consolidati a pressioni diverse sono portati a rottura in condizioni drenate si ottengono i risultati mostrati in Figura.5. Si osserva in particolare che: o le tre curve ε a q hanno la stessa forma e, normalizzate rispetto alla pressione di consolidazione p c, sono (quasi) coincidenti; o la deformazione volumetrica durante la compressione assiale varia in modo pressoché eguale per i tre provini, indipendentemente dalla pressione di consolidazione; o i punti B rappresentativi dello stato finale dei tre provini giacciono su una linea, detta di Stato Critico (CSL), la cui equazione è: q f = M p f (Eq..45) v = Γ λ ln p f f a) q b) q f3 B 3 q B 3 CSL M q f B B q f B B A = A = A 3 ε a B = B = B 3 c) v NCL CSL A A 3 A p c p c p c3 p ε v A A A 3 v f B v f v f3 p f B p f p f3 B 3 p Figura.5 - Risultati di prove TxCID su provini della stessa argilla N.C. consolidati a pressioni diverse La relazione q f = M p f equivale al criterio di rottura di Mohr-Coulomb per terreni N.C. che, nel Capitolo 8, avevamo scritto nella forma: τ σ tanφ (Eq..46) f = n L angolo di resistenza al taglio da considerare è quello che corrisponde alla condizione di stato critico, φ cs, ovvero alla condizione in cui, al crescere della deformazione assiale rimangono costanti tensione deviatorica, q f, e deformazione volumetrica, ε v. 73 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

160 Capitolo STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007) 74 Il parametro M è funzione dell angolo di resistenza al taglio allo stato critico, φ cs, e delle modalità di prova. Infatti se il provino è portato a rottura per compressione assiale a tensione efficace di confinamento costante, ovvero con le modalità standard descritte nel Capitolo 8, la tensione principale maggiore è la tensione assiale, mentre le tensioni principali intermedia e minore coincidono entrambe con la tensione radiale: 3 r a σ σ σ σ σ = = = (Eq..47) quindi: ( ) ( ) f r a f 3 f f r a f 3 f 3 3 p q + = + = = = σ σ σ σ σ σ σ σ (Eq..48) e ricordando che è: 3 cs cs f sen sen φ φ σ σ + = (Eq..49) si ha: ( ) ( ) ( ) ( ) = = + = + = = = sen sen sen sen 3 / / 3 3 p q M M cs cs cs cs f r a f r a f r a f r a f f c φ φ φ φ σ σ σ σ σ σ σ σ ( ) ( ) cs cs f cs cs cs cs sen 3 sen 6 sen sen sen sen 3 φ φ φ φ φ φ = = (Eq..50) c c cs M M sen + = 6 3 φ (Eq..5) Se invece il provino è portato a rottura per estensione assiale, ovvero aumentando la tensione efficace di confinamento a tensione efficace assiale costante, la tensione principale minore è la tensione assiale e le tensioni principali intermedia e maggiore, coincidenti, sono la tensione radiale: 3 a r σ σ σ σ σ = = = (Eq..5) quindi: ( ) ( ) f a r f f f a r f f p q + = + = = = σ σ σ σ σ σ σ σ (Eq..53) ( ) ( ) cs cs f r a f a r f f e sen sen p q M M φ φ σ σ σ σ + = + = = = (Eq..54)

161 Capitolo STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO sen 3 M = 6 e φ cs (Eq..55) M e Una conseguenza importante è che, mentre l angolo di resistenza al taglio allo stato critico φ cs è lo stesso per compressione e per estensione, la pendenza M della linea di stato critico nel piano p -q non è la stessa. In particolare, poiché M e < M c, per lo stesso terreno e a parità di pressione efficace media, la tensione deviatorica a rottura in estensione è minore che in compressione (Figura.6). I punti B corrispondenti alla condizione di stato critico giacciono su una linea la cui proiezione sul piano p -v è una curva che, rappresentata nel piano semilogaritmico, diviene una retta parallela alla linea NCL. In Figura.7 sono rappresentate le linee NCL e CSL. q M e CSL M c (a) CSL (b) Figura.6 Linea di stato critico nel piano p - q in caso di rottura per compressione assiale e di rottura per estensione assiale q p CSL NCL p M v Figura.7 Rappresentazione delle linee NCL e CSL (indicata convenzionalmente con una doppia linea) nello spazio p -q-v 75 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

162 Capitolo STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO Il percorso tensionale nello spazio p -q-v durante la fase di compressione drenata si svolge su un piano, detto piano drenato, rappresentato in Figura.8. q p B 3 CSL B Piano drenato A NCL A v Figura.8 - Piano drenato e percorso tensionale efficace di una prova TxCID nello spazio p -q-v..6 Compressione triassiale non drenata di argilla N.C. (prova TxCIU) e superficie di Roscoe La prova di compressione triassiale consolidata non drenata standard consiste di due fasi: la prima di compressione e di consolidazione isotropa, la seconda di compressione assiale in condizioni non drenate a pressione di confinamento costante. In quest ultima fase, al crescere della deformazione assiale ε a (la prova è condotta a deformazione assiale controllata) il volume del provino (saturo) non varia, la tensione deviatorica q e la pressione interstiziale crescono progressivamente fino alla condizione di stato critico. In Figura.9 sono rappresentati i risultati di una prova TxCIU su un provino di argilla satura N.C. portato a rottura in presenza di una contro pressione interstiziale iniziale (BP = u 0 ). In Figura.0 sono mostrati i risultati che si possono ottenere da una serie di tre prove TxCIU su provini della stessa argilla satura N.C. consolidati a pressioni diverse. 76 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

163 Capitolo STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO u f a) q b) q B B q f u f u 0 B ESP TSP A ε a c) v A p c p f u 0 A 3 p p c f p,p B u B A NCL Figura.9 - Percorsi tensionali di compressione non drenata su un provino di argilla satura N.C. p a) q b) q CSL M u f3 q f3 B 3 B 3 B 3 q f q f B B B B u f B B ESP 3 TSP 3 u f A = A = A 3 u f B ε a c) v A A A A A 3 A 3 p,p u f B u f3 B 3 u v 0 v 0 B A B A A 3 v 0 3 B 3 NCL p f p f CSL p f3 p Figura.0 - Risultati di prove TxCIU su provini della stessa argilla satura N.C. consolidati a pressioni diverse 77 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

164 Capitolo STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO Dall esame delle Figure.9 e.0 si desume che: o la tensione deviatorica q cresce progressivamente con la deformazione assiale ε a fino ad un valore massimo q f e poi si mantiene circa costante, o la deformazione avviene a volume costante (ε v = 0) e con progressivo incremento della pressione interstiziale ( u) fino ad un valore massimo, u f, crescente con la pressione di consolidazione, o i percorsi tensionali totali (TSP) sono rettilinei ed hanno pendenza 3:, o i percorsi tensionali efficaci (ESP) sono curvilinei ed hanno la stessa forma, o la distanza tra ESP e TSP rappresenta la pressione interstiziale u, o i punti rappresentativi dello stato tensionale efficace iniziale (A ) sono sulla linea di consolidazione normale (NCL), o i punti rappresentativi della condizione di rottura (B ) sono sulla linea di stato critico (CSL). Il percorso tensionale nello spazio p -q-v durante la fase di compressione non drenata si svolge su un piano parallelo al piano p -q, detto piano non drenato, rappresentato in Figura.. q B Piano non drenato CSL ESP p B A A NCL v Figura. - Piano non drenato e percorso tensionale efficace di una prova TxCIU In una prova triassiale non drenata su un provino saturo non si hanno variazioni di volume. Pertanto il volume specifico iniziale v 0 è anche il volume specifico a rottura: v = v = Γ λ ln (Eq..56) 0 f p f ovvero: Γ v0 p f = exp (Eq..57) λ 78 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

165 Capitolo STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO e Γ v0 q f = Μ p f = Μ exp (Eq..58) λ La resistenza al taglio in condizioni non drenate dei terreni a grana fine, c u, che, come abbiamo visto nel Capitolo 9, viene utilizzata per le verifiche di stabilità in termini di tensioni totali è pari alla metà della tensione deviatorica a rottura, dunque: q f Μ Γ v0 cu = = exp (Eq..59) λ Per un dato terreno i parametri Μ, Γ e λ sono costanti, quindi c u dipende soltanto dal volume specifico v 0. Per un terreno saturo è: v = + e = + G w (Eq..60) s dunque la resistenza al taglio in condizioni non drenate, c u, di una stessa argilla satura dipende unicamente dal suo contenuto in acqua w. Tutti i percorsi tensionali efficaci, di prove drenate e non drenate, che dalla linea di consolidazione normale (NCL) pervengono alla linea di stato critico (CSL) giacciono su una superficie nello spazio p -q-v, detta Superficie di Roscoe, che limita il dominio degli stati tensionali possibili (Figura.). q Superficie di Roscoe CSL p NCL v Figura. - Superficie di Roscoe 79 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

166 Capitolo STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO Tale affermazione può essere visualizzata normalizzando i percorsi tensionali drenati e non drenati dalla NCL alla CSL di provini saturi normalconsolidati rispetto alla pressione efficace equivalente, che rimane costante nei percorsi non drenati, ed è invece variabile in quelli drenati. In tal modo nel piano p /p e -q/p e tutti i percorsi coincidono in un unica curva che rappresenta la Superficie di Roscoe normalizzata (Figura.3). q/p e CSL Superficie di Roscoe normalizzata NCL Figura.3 - Superficie di Roscoe normalizzata p/p e..7 Compressione triassiale drenata di argilla O.C. (prova TxCID) e condizione di rottura Se un provino di argilla satura è isotropicamente consolidato, ad una pressione efficace p c, e poi isotropicamente decompresso in condizioni drenate, fino ad una pressione efficace p 0 in modo da divenire fortemente sovraconsolidato, ed è infine sottoposto a compressione drenata, esso mostra un comportamento tensionale e deformativo durante la fase di compressione del tipo di quello descritto in Figura.4. Si può osservare che la condizione di rottura non coincide con la condizione di stato critico. Infatti la curva ε a -q presenta un massimo (q f ) a rottura (punto B), poi decresce fino a stabilizzarsi su un valore minore (q cs ) che corrisponde allo stato critico (punto C). Il volume del provino prima diminuisce, poi aumenta, supera il valore iniziale e infine tende a stabilizzarsi. dε v La curva ε a -ε v presenta tangente orizzontale = 0 nei punti C e D che corrispondono al valore q = q cs, e un flesso nel punto B che corrisponde a q = q f. dε a dε v dε a max La proiezione del percorso tensionale efficace (ABC) nel piano p -q ha pendenza 3:. Nel tratto AB fino alla rottura il percorso è ascendente, nel tratto BC è discendente. 80 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

167 Capitolo STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO a) q q f B b) q q f ESP B q cs D C q cs C = D c) A C ε a d) v A p 0 3 p f p A D B ε a v C v B A D A C D B p 0 p f p c p ε v Figura.4 - Comportamento di un provino di argilla satura fortemente sovraconsolidato in prova TxCID Nel piano p -v il punto A rappresentativo dello stato iniziale si trova su una curva di scarico-ricarico. La proiezione del percorso tensionale efficace (ABC) nel piano p -v ha tangente orizzontale nei punti C e D. Se tre provini della stessa argilla satura con differenti rapporti di sovraconsolidazione isotropa sono portati a rottura in condizioni drenate si ottengono i risultati mostrati in Figura.5. Si osserva in particolare che: o se il punto rappresentativo dello stato iniziale del provino nel piano p-v è sotto la CSL (punto A ), esso è fortemente sovraconsolidato (provino n. ), o un provino fortemente sovraconsolidato ha un deviatore a rottura (q f ) molto maggiore del deviatore allo stato critico (q cs ), e manifesta un comportamento dilatante (aumento di volume), o se il punto rappresentativo dello stato iniziale del provino nel piano p-v è sotto la NCL ma sopra la CSL, esso è debolmente sovraconsolidato (provino n. ), o un provino debolmente sovraconsolidato ha un deviatore a rottura (q f ) poco maggiore o eguale al deviatore allo stato critico (qcs), e manifesta un comportamento contraente (diminuzione di volume), o se il punto rappresentativo dello stato iniziale del provino nel piano p-v è sulla NCL, esso è normalmente consolidato (provino n. 3), o un provino normalmente consolidato ha un deviatore a rottura (qf) eguale al deviatore allo stato critico (qcs), e manifesta un comportamento contraente (diminuzione di volume), 8 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

168 Capitolo STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO o o i punti rappresentativi delle condizioni di rottura (B) di provini con eguale pressione di preconsolidazione (punti A sulla stessa linea di scaricoricarico) giacciono su una retta (linea inviluppo a rottura) distinta dalla CSL relativamente ai provini sovraconsolidati (punti B e B ), e sulla CSL per il provino normalconsolidato (punto B 3 ), i punti rappresentativi delle condizioni ultime (C) giacciono sulla CSL, La linea inviluppo a rottura, per i terreni sovraconsolidati, ha equazione: q = q + m p (Eq..6) f f Tale retta, che rappresenta il luogo dei punti di rottura per le argille sovraconsolidate, corrisponde nello spazio p -q-v ad una superficie piana detta Superficie di Hvorslev. Nel Capitolo 9 abbiamo visto che l inviluppo a rottura in termini di tensioni efficaci per un argilla sovraconsolidata ha equazione: f che può essere scritta anche nella forma: ( σ + σ ) 3 f ( σ σ 3 ) = c cot gφ senφ f + (Eq..63) essendo (Figura.6): OO = O C tgφ = ( OO + OC ) tgφ ed: OO = c cot gφ ed OC = n ( σ + ) σ 3 f a) b) Figura.6 Criterio di rottura di Mohr-Coulomb 8 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007) q q v Linea di inviluppo a rottura A A C p 0 B C A B D A m D B p 0 URL B CSL p c A 3 A 3 B 3 NCL B 3 CSL Figura.5 - Risultati di prove TxCID su provini della stessa argilla con differenti rapporti di sovraconsolidazione isotropa e linee di inviluppo a rottura τ = c + σ tanφ (Eq..6) c O τ c ctg φ φ O σ 3 ( σ + σ )/ 3 R C σ M σ p p inviluppo di rottura

169 Capitolo STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO Dalla Eq..6, essendo q f = (σ σ 3 ) f e p f = (σ + σ 3 ) f /3, si ottiene sostituendo: ( σ σ ) ( σ + σ ) 3 f 3 = q + m f 3 da cui, svolgendo i calcoli, si ottiene: 3 + m 3q σ = σ f 3 + (Eq..63a) f 3 m 3 m Dalla Eq..63 invece si ricava: ( σ σ ) = ( σ + σ ) senφ + c cos 3 f 3 φ f e quindi: + sinφ cosφ σ = σ 3 + c f (Eq..63b) f sinφ sinφ Eguagliando la (.63a) e la (.63b) si ottiene: 3 + m + sinφ = 3 m sinφ e 3q c cosφ = 3 m sinφ (Eq..63c) (Eq..63d) Dalla (.63c) si può ricavare m: 6 sinφ m = (Eq..63e) 3 sinφ ed andando a sostituire nella (.63d) si ricava q: 6c cosφ q = (Eq..63f) 3 sinφ da cui si ottengono le corrispondenze: 6 c cosφ q = 3 senφ (Eq..64) 6 senφ m = 3 senφ Imponendo la condizione che i terreni non possano sostenere tensioni di trazione ( σ 0) si ha che per σ 3 = 0, q = σ σ 3 = σ e p = (σ + σ 3 )/3 = σ /3, cioè q = 3 p. Si deduce che la linea inviluppo a rottura, come mostrato anche in Figura. b, è limitata a sinistra dalla retta di equazione: q = 3 p (Eq..65) 3 83 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

170 Capitolo STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO..8 Compressione triassiale non drenata di argilla O.C. (prova TxCIU) e superficie di Hvorslev Se un provino di argilla satura è isotropicamente consolidato, poi isotropicamente decompresso in condizioni drenate in modo da divenire fortemente sovraconsolidato, e infine sottoposto a compressione non drenata, mostra un comportamento tensionale e deformativo durante la fase di compressione del tipo di quello descritto in Figura.7. Si osserva che la curva ε a -q è monotona (non presenta un picco), l incremento di pressione interstiziale u è inizialmente positivo, poi diviene negativo (comportamento duale della curva ε a -ε v della prova TxCID). a) q b) q u f u 0 u f q cs q cs B - B TSP u u 0 c) A ε a d) v ESP + A p 0 u A p 0 3 p,p - NCL + ε a ESP v 0 A B URL u p 0 p f Figura.7 - Comportamento di un provino di argilla satura fortemente sovraconsolidato in prova TxCIU Se tre provini della stessa argilla satura con differenti rapporti di sovraconsolidazione isotropa sono portati a rottura in condizioni non drenate si ottengono i risultati mostrati in Figura.8. In Figura.9 sono messi a confronto i percorsi tensionali efficaci di due provini della stessa argilla egualmente sovraconsolidati e sottoposti a rottura in condizioni drenate e non drenate. Si può osservare che la tensione deviatorica a rottura per il provino non drenato è nettamente maggiore. In Figura.30 sono invece messi a confronto i percorsi tensionali efficaci di tre provini della stessa argilla con differente rapporto di sovra consolidazione isotropa ed eguale volume specifico iniziale portati a rottura in condizioni non drenate. Si può osservare che i percorsi si svolgono sullo stesso piano v = cost e pervengono allo stesso punto della linea di stato critico. 84 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007) p c p

171 CSL Capitolo STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO a) q Linea di inviluppo a rottura B B 3 CSL M B m b) q v NCL A A A 3 p,p URL B A B p 0 B 3 A A 3 p OCR = p /p = 6 c 0 OCR = p /p =.5 c 0 OCR 3 = p 0 p c Figura.8 - Risultati di prove TxCIU su provini della stessa argilla con differenti rapporti di sovraconsolidazione isotropa e linee di inviluppo a rottura a) b) q q q csu q fu q q f cs A E F B C D ε a c) v m A p 0 CSL M B C E D F p,p C D B J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007) v 0 A p 0 C E F URL NCL CSL Figura.9 - Confronto fra i percorsi tensionali efficaci di due provini della stessa argilla e- gualmente sovraconsolidati e sottoposti a rottura in condizioni drenate (TxCID) e non drenate (TxCIU) 85 p c p

172 NCL CSL Capitolo STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO a) q C B M CSL b) v A A A 3 p A A 3 A C B Figura.30 - Percorsi tensionali efficaci di tre provini della stessa argilla con differente rapporto di sovra consolidazione isotropa ed eguale volume specifico iniziale portati a rottura in condizioni non drenate In Figura.3a sono rappresentate nello spazio p -q-v le tre superfici (di Roscoe, di Hvorslev e il piano limite di rottura per trazione) che assieme formano la Superficie di Stato, la quale delimita il volume degli stati di tensione possibili. Anche per la superficie di Hvorslev e per il piano limite di trazione, come per la superficie di Roscoe, si può dare una rappresentazione normalizzata nel piano p /p e -q/p e (Figura.3b). In particolare la superficie di Hvorslev normalizzata è una retta di equazione: q p = g + h (Eq..66) pe p e ovvero: q = g pe + h p (Eq..67) Essendo, per definizione: N v p e = exp (Eq..68) λ ed imponendo la condizione di appartenenza della CSL alla superficie di Hvorslev: q = M p CSL (Eq..69) v = Γ λ ln p si ottiene, per sostituzione, il valore della costante g: Γ N g = ( M h) exp (Eq..70) λ e quindi l espressione analitica della superficie di Hvorslev: Γ v q = ( M h) exp + h p (Eq..7) λ 86 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007) p

173 Capitolo STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO q Superficie di Roscoe CSL p Superficie di Hvorslev NCL Piano limite di trazione v b) q/p e Superficie di Hvorslev CSL Superficie di Roscoe h g Piano limite di trazione NCL p/p e Figura.3 - Rappresentazione assonometria (a) e normalizzata (b) della Superficie di Stato Dall esame dell Eq. (.7) si desume che la resistenza al taglio di un argilla sovraconsolidata satura è somma di due termini i quali, oltre ad essere funzione delle costanti materiali (Μ, h, Γ, λ) sono: o il termine, h p, proporzionale alla pressione efficace media e corrispondente alla resistenza per attrito; Γ v o il termine, ( M h) exp, dipendente dal volume specifico (ovvero dall indice λ dei vuoti, ovvero dal contenuto in acqua) e corrispondente alla resistenza per coesione. 87 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

174 Capitolo STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO.3 MODELLO CAM CLAY MODIFICATO (CCM).3. Parete elastica (o Dominio elastico) Si definisce parete elastica (o dominio elastico) nello spazio p -q-v una superficie cilindrica avente come direttrice una linea di scarico-ricarico e come generatrice una retta parallela allasse q, limitata dalla superficie di stato (Figura.3). Un punto appartenente ad una parete elastica può muoversi liberamente su di essa provocando solo deformazioni elastiche. Un punto appartenente ad una parete elastica può spostarsi su unaltra parete elastica solo raggiungendo prima la superficie limite e muovendosi anche su di essa. Nel percorso sulla superficie limite si producono deformazioni plastiche (Figura.33). Superficie di Roscoe CSL q CSL q p Superficie di Hvorslev p C B URL Parete elastica B A C NCL NCL v Figura.3 - Parete elastica Figura.33 - Percorso da una parete e- lastica ad un altra parete elastica Alla luce di quanto detto, tenuto conto che il percorso tensionale efficace (ESP) di una prova di compressione triassiale non drenata (TxCIU) si svolge interamente sul piano non drenato (v = cost), nel caso di provino isotropicamente sovraconsolidato, il cui punto rappresentativo iniziale è quindi situato su una linea di scarico-ricarico appartenente ad una parete elastica, la parte iniziale (elastica) del percorso è il segmento intersezione fra il piano non drenato e la parete elastica (Figura.34). Tale segmento nel piano p -q è verticale, e quindi, non variando p, non variano i parametri elastici (K, G) ed il comportamento è elastico lineare. Analogamente, tenuto conto che il percorso tensionale efficace (ESP) di una prova di compressione triassiale drenata (TxCID) si svolge interamente sul piano drenato q ( 3 p = ), nel caso di provino isotropicamente sovraconsolidato, il cui punto rappresentativo iniziale è quindi situato su una linea di scarico-ricarico appartenente ad una parete e- 88 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007) v

175 Capitolo STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO lastica, la parte iniziale (elastica) del percorso è il segmento intersezione fra il piano drenato e la parete elastica (Figura.35). Tale segmento nel piano p -q ha pendenza 3:, e quindi, variando p variano i parametri elastici (K, G) ed il comportamento è elastico non lineare. q q Piano non drenato p CSL p C 3 CSL Piano drenato B C B A A Parete elastica NCL v Parete elastica URL Figura.34 - Percorso tensionale efficace in prova TxCIU di un provino di argilla isotropicamente sovraconsolidato (AB = percorso elastico; BC = percorso elasto-plastico) NCL v URL Figura.35 - Percorso tensionale efficace in prova TxCID di un provino di argilla isotropicamente sovraconsolidato (AB = percorso elastico; BC = percorso elasto-plastico).3. Curva di plasticizzazione Nello spazio delle tensioni esiste una curva, detta di curva di plasticizzazione (yield curve), che separa gli stati di tensione che producono risposte elastiche dagli stati di tensione che producono risposte plastiche. Evidenze sperimentali indicano che per i terreni la forma della curva di plasticizzazione nello spazio delle tensioni p -q è approssimativamente ellittica. Nel modello CCM tale curva è rappresentata da un ellisse F di equazione: q M F = c ( p ) p p + = 0 (Eq..7) L asse maggiore dell ellisse corrisponde alla pressione di preconsolidazione p c, l asse minore vale p c M (Figura.36). q A - Stato di tensione elastico B - Inizio della plasticizzazione C - Stato elasto-plastico 89 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007) p / c A B C M c Curva di plasticizzazione espansa Curva di plasticizzazione iniziale Figura.36 - Curva di plasticizzazione iniziale e sua espansione in un percorso di carico per compressione p c p

176 Capitolo STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO Considereremo nel seguito la curva di plasticizzazione per compressione, e quindi M = M c, ma analoghi concetti valgono anche per estensione, nel qual caso l asse minore dell ellisse è più piccolo (essendo M e < M c ). Se lo stato di tensione di un elemento di terreno è rappresentato da un punto interno alla curva di plasticizzazione iniziale (ad es. punto A di Figura.36) la risposta del terreno è elastica. Se lo stato di tensione è rappresentato da un punto sulla curva di plasticizzazione iniziale (ad es. punto B) ogni incremento di tensione che comporti un movimento verso l esterno della curva è accompagnato da deformazioni elasto-plastiche e da un espansione della superficie di plasticizzazione cosicché il punto rappresentativo dello stato di tensione permane sulla curva di plasticizzazione (punto C). Se il percorso dal punto C si muove verso l interno vi saranno deformazioni elastiche, poiché la curva di plasticizzazione si è espansa e la regione elastica è divenuta più grande. Alla luce dei concetti espressi sul percorso tensionale efficace di un provino di argilla isotropicamente sovraconsolidato (che è inizialmente elastico e che quindi nel tratto iniziale si svolge sulla parete elastica associata alla pressione di preconsolidazione), nonché sulla forma ellittica della curva di plasticizzazione, tali percorsi nelle prove di compressione triassiale standard, secondo il modello Cam Clay Modificato (MCC), sono quelli schematicamente rappresentati nelle Figure.37,.38,.39 e.40. Se il punto di intersezione tra il percorso tensionale efficace e la curva di plasticizzazione iniziale ha ascissa maggiore di p c / (ovvero è nella metà destra dell ellisse) si ha, durante la fase di compressione assiale, un espansione dell ellisse, se invece il punto di intersezione ha ascissa minore di p c / (ovvero è nella metà sinistra dell ellisse) si ha una contrazione dell ellisse. a) CSL b) q q q f B C 3 F ESP q f B C F c) v A D E p A ε d) v NCL CSL v f A B D C F p 0 p c p f E p A B C F ε Figura.37 - Risultati previsti dal modello CCM di una prova TxCID su un provino di argilla debolmente sovraconsolidato 90 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

177 Capitolo STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO a) q CSL b) q q f c) q f v F C B A u 0 3 D TSP E F C B p,p ε A d) u NCL CSL v A = v f F C A B D E B C F p f p 0 p c p Figura.38 - Risultati previsti dal modello CCM di una prova TxCIU su un provino di argilla debolmente sovraconsolidato a) q CSL b) q A ε q f C ESP C c) q cs v B A F 3 NCL CSL D B F p A ε d) ε v F A B C D B C p 0 p / c p c p A ε Figura.39 - Risultati previsti dal modello CCM di una prova TxCID su un provino di argilla fortemente sovraconsolidato 9 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007) F

178 Capitolo STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO Con riferimento alla Figura.40, ovvero al comportamento previsto dal modello per una compressione non drenata di un provino di argilla satura fortemente sovraconsolidato, si osserva che il percorso tensionale efficace fino al raggiungimento della curva di plasticizzazione, ovvero fino al valore di picco q f della tensione deviatorica è verticale (elasticolineare). Dunque sostituendo nell equazione di F a p il valore di pressione media efficace iniziale p 0 si ha: 0 0 = f ( p ) p p + 0 q e risolvendo per q f : (Eq..73) c M = M p R = c per R (Eq..74) qf 0 0 u 0 > a) q CSL b) q ESP C u f B F u cs c) q f qc s v C A u0 NCL CSL B F 3 TSP D C B F p,p ε A d) u A C B F D u cs C p 0 p / c p c p A B ε u f F Figura.40 - Risultati previsti dal modello CCM di una prova TxCIU su un provino di argilla fortemente sovraconsolidato 9 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

179 Capitolo STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO.3.3 Il calcolo delle deformazioni Le deformazioni volumetriche L incremento di deformazione volumetrica totale dε v può in generale essere scomposto in due parti: la prima elastica (reversibile) dε e v e la seconda plastica (irreversibile) dε p v : e p dε = dε + dε (Eq..75) v v v Consideriamo un provino di terreno isotropicamente consolidato in cella triassiale ad una pressione efficace media p c e quindi decompresso isotropicamente fino alla pressione media efficace p 0, come rappresentato dal percorso tensionale ODA in Figura.4. Esso risulterà sovraconsolidato con rapporto di sovraconsolidazione isotropa: pc R0 = (Eq..76) p 0 La curva di plasticizzazione iniziale è l ellisse che ha per asse maggiore il segmento OD. Il provino venga poi sottoposto a compressione assiale drenata (TxCID). Il suo ESP inizia nel punto A ed è rettilineo con pendenza 3:. q,ε a) s p dε p Fino a quando il percorso tensionale non raggiunge il punto dε s CSL F B, e quindi è interno alla curva di plasticizzazione iniziale, il B C p comportamento è elastico. Dal ESP dε v punto B il terreno inizia ad avere deformazioni elasto- A D E 3 plastiche. O p,ε p p v v 0 c Consideriamo l incremento di NCL b) tensione corrispondente al tratto BC dell ESP. Esso produce un espansione della superficie CSL di plasticizzazione come mostrato nella Figura.4a. A La variazione (negativa) di volume specifico totale del provino F E per tale incremento di ten- sione vale, con riferimento alla Figura.4b, vale: p Figura.4 - Determinazione delle deformazioni plastiche v = ( v v ) = ( v v ) + ( v v ) + ( v v ) (Eq..77) C B C E E D in cui p v = E C ve κ ln (Eq..78) pc D B B C D 93 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

180 Capitolo STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO p v = D E vd λ ln p E (Eq..79) p v = B D vb κ ln p D (Eq..80) La pressione p E è la pressione efficace media di consolidazione della superficie di plasticizzazione espansa. Per passare dall incremento di volume specifico all incremento di deformazione volumetrica si utilizza la relazione: ε v = - v/v 0. L incremento di deformazione volumetrica elastica può essere calcolato con la relazione: p dε e v = K (Eq..8) Poiché le costanti elastiche (modulo di deformazione cubica K, modulo di Young, E, e modulo di taglio, G) non sono costanti ma proporzionali alla pressione media efficace p, il valore di K da utilizzare è quello che corrisponde al valore medio di p nell intervallo p, ed è dato dall equazione: p m v0 K = κ (Eq..8) La parte plastica dell incremento di deformazione volumetrica si può infine ottenere per differenza: p dε e = dε dε (Eq..83) v v v In condizioni non drenate, essendo zero la deformazione volumetrica totale, risulterà: e p dε = dε (Eq..84) v v Le deformazioni deviatoriche Per determinare le deformazioni deviatoriche si fa l ipotesi che, per un generico incremento di tensione (dp, dq), l incremento di deformazione plastica dε sia un vettore con p direzione normale alla curva del potenziale plastico, e che quest ultima coincida con la curva di plasticizzazione F (ipotesi di normalità legge di flusso associata) (Figura.4). Per determinare la direzione normale alla curva di plasticizzazione si differenzia l equazione della curva di plasticizzazione F (Eq..7) rispetto alle variabili p e q: dq df = p dp pc dp + q = 0 (Eq..85) M da cui, si ricava la direzione tangente alla curva: dq ( pc p ) M = (Eq..86) dp q e quindi la direzione normale alla curva: dp q = (Eq..87) dq p p M ( ) c p L incremento di deformazione plastica totale dε ha due componenti: l incremento di deformazione volumetrica plastica dε di cui abbiamo detto come calcolare il valore, e p v 94 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

181 Capitolo STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO p l incremento di deformazione deviatorica plastica dε s. Il rapporto fra la componente deviatorica e la componente volumetrica è la direzione del vettore incremento di deformazione plastica totale, ovvero la direzione normale alla curva di plasticizzazione, dunque: p dp dε S q = = p dq dε v M ( p pc ) da cui p q p dε s = dε v (Eq..88) M ( p pc ) La componente elastica dell incremento di deformazione deviatorica può essere calcolata con la teoria dell elasticità: dq dε e s = (Eq..89) 3 G Per quanto già detto il valore di G da utilizzare è quello che corrisponde al valore medio di p ed è dato dall equazione: 3 pm v0 ( ν ) G = (Eq..90) κ ( + ν ) 95 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

182 Capitolo INDAGINI IN SITO CAPITOLO INDAGINI IN SITO. Programmazione delle indagini Ogni opera di ingegneria civile interagisce con una parte del sottosuolo, detta volume significativo. Il comportamento dell opera dipende, oltre che dai carichi applicati, dalla geometria e dalle proprietà fisico-meccaniche dell opera e dalle caratteristiche del sottosuolo all interno del volume significativo. La geometria e le proprietà fisico meccaniche dell opera sono generalmente dati del problema, noti con buona approssimazione e modificabili in fase di progetto. Ad esempio si può variare lo spessore di un solaio, o la classe di un calcestruzzo, o la pendenza dei fianchi di un rilevato. Le caratteristiche del volume significativo di sottosuolo sono invece quasi sempre immodificabili e sono tutte da determinare. Lo scopo delle indagini in sito è identificare le condizioni stratigrafiche e di falda all interno del volume significativo di sottosuolo, e di caratterizzare, congiuntamente con le indagini di laboratorio, il comportamento meccanico delle diverse formazioni presenti. Nella programmazione e interpretazione delle indagini in sito sono di valido aiuto le conoscenze di geologia, ma ancora più importanti, anzi essenziali, sono le conoscenze ingegneristiche dell opera da realizzare. Infatti la progettazione geotecnica passa attraverso la definizione di un modello geotecnico, ovvero di uno schema semplificato della realtà fisica, che concili quanto più possibile variabilità e complessità naturale con procedure e metodi di calcolo che conducano ad una soluzione quantitativa affidabile, anche se non esatta, del problema ingegneristico. Le indagini geotecniche in sito e di laboratorio hanno vantaggi e limiti opposti, e non sono pertanto alternative ma complementari. Le indagini in sito sono insostituibili per il riconoscimento stratigrafico, interessano volumi di terreno molto maggiori, molte di esse consentono di determinare profili pressoché continui con la profondità delle grandezze misurate, sono più rapide ed economiche, sono quasi l unico mezzo per caratterizzare dal punto di vista meccanico i terreni incoerenti, il cui campionamento indisturbato è molto difficile ed economicamente oneroso. Di contro le condizioni al contorno sono difficilmente individuabili e incerte, la modellazione della prova è spesso incerta e schematica per cui l interpretazione è talvolta affidata a relazioni empiriche o semi-empiriche. Per ottenere dai valori delle grandezze misurate con prove in sito i valori numerici dei parametri geotecnici utili nella progettazione, si utilizzano correlazioni, che a seconda della prova possono essere: - correlazioni primarie, con cui il parametro geotecnico è ottenuto dal risultato della prova utilizzando una solida base teorica con poche ipotesi da verificare (ad es. la stima di G 0 da misure di V S ); - correlazioni secondarie, con cui il parametro geotecnico è ottenuto dal risultato della prova utilizzando una base teorica, ma con approssimazioni e ipotesi sostanziali, e in genere con parametri intermedi (ad es. la stima di c u da q c ); - correlazioni empiriche, con cui il parametro geotecnico è ottenuto dal risultato della prova senza giustificazione teorica (ad es. la stima di q lim di fondazioni su sabbia da N SPT ). 96 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

183 Capitolo INDAGINI IN SITO Al contrario le prove di laboratorio hanno condizioni al contorno (di carico, di vincolo, di drenaggio), ben definite e controllabili, ed i risultati possono essere interpretati con modelli matematici appropriati, ma i campioni possono non essere rappresentativi delle reali condizioni in sito, sia a causa della variabilità intrinseca del terreno naturale, sia per l inevitabile disturbo di campionamento. Le indagini geotecniche vanno condotte su quella parte di sottosuolo che verrà influenzata dalla costruzione dell opera o che ne influenzerà il comportamento (ovvero sul volume significativo). A titolo indicativo, nella Figura., tratta dalle Raccomandazioni sulla programmazione ed esecuzione delle indagini geotecniche dell Associazione Geotecnica Italiana (AGI, 977), è rappresentata l estensione del volume significativo per le più frequenti opere geotecniche nel caso di terreno omogeneo. Il grado di approfondimento dell indagine geotecnica nel volume significativo del sottosuolo dipende dalla fase di progettazione (di fattibilità, definitiva o esecutiva), dalla complessità delle condizioni stratigrafiche e geotecniche, e dall importanza dell opera. Secondo l Eurocodice per l ingegneria geotecnica (EC7) le opere da realizzare possono essere classificate in tre categorie geotecniche (GC) di importanza crescente (Tabella.), cui ovviamente corrispondono gradi di approfondimento crescenti dell indagine geotecnica. GC GC GC3 Tabella. - Categorie geotecniche secondo l Eurocodice EC7 Strutture semplici caratterizzate da rischi molto limitati Esempi: - fabbricati di piccole dimensioni con carichi massimi alla base dei pilastri di 5,5kN o distribuiti alla base di murature di 0kN/m, - muri di sostegno o scavi sbatacchiati di altezza non superiore a m, scavi di piccole dimensioni per drenaggi o posa di fognature, etc.. Tutti i tipi di strutture e fondazioni convenzionali che non presentano particolari rischi. Esempi: - fondazioni superficiali, - fondazioni a platea, - pali, - opere di sostegno delle terre o delle acque, - scavi, - pile di ponti, - rilevati e opere in terra, - ancoraggi e sistemi di tiranti, - gallerie in rocce dure, non fratturate e non soggette a carichi idraulici elevati Strutture di grandi dimensioni, strutture che presentano rischi elevati, strutture che interessano terreni difficili o soggette a particolari condizioni di carico, strutture in zone altamente sismiche Per le opere di categoria GC che ricadono in zone note, con terreni di fondazione relativamente omogenei e di buone caratteristiche geotecniche, ove già esistono strutture analoghe che hanno dato buona prova di sé, etc.., l indagine può essere limitata alla raccolta delle informazioni esistenti, e la relazione geotecnica (sempre necessaria) può giustificare le scelte progettuali su base comparativa, per esperienza e similitudine. Al contrario per opere di categoria GC3 occorre un piano di indagine molto approfondito e dettagliato, curato da specialisti del settore, che si estenda nel tempo (prima, durante e 97 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

184 Capitolo INDAGINI IN SITO dopo la realizzazione dell opera), comprendente prove speciali, da affidare a ditte o enti altamente qualificati, mirate all analisi dei problemi specifici e particolari dell opera in progetto. Figura. - Indicazioni sul volume significativo del sottosuolo a seconda del tipo e delle dimensioni del manufatto, nel caso di terreno omogeneo In questa sede ci limitiamo a considerare le indagini geotecniche per opere di categoria GC. Per identificare le condizioni stratigrafiche del sottosuolo all interno del volume significativo, possono essere eseguite prove geofisiche (la cui trattazione è argomento di altri cor- 98 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

185 Capitolo INDAGINI IN SITO si), scavi, trincee, sondaggi e prove continue (o quasi) lungo verticali di esplorazione (ad esempio prove CPT, DMT etc..). Scavi e trincee di esplorazione hanno il vantaggio di mettere in luce ampie sezioni verticali del sottosuolo, e quindi consentono una descrizione di dettaglio della successione stratigrafica ed il prelievo di campioni anche di grandi dimensioni con minimo disturbo. Il loro maggiore limite consiste nella modesta profondità di indagine. I sondaggi stratigrafici e geotecnici consentono di verificare direttamente la successione stratigrafica lungo una verticale di esplorazione, di prelevare campioni per le analisi di laboratorio, e di eseguire prove meccaniche e idrauliche a fondo foro, durante la perforazione. Le prove continue (o quasi) lungo verticali di esplorazione consentono di identificare la successione stratigrafica e di stimare alcune proprietà geotecniche in modo indiretto mediante correlazioni con le grandezze misurate. Dunque, nella maggior parte dei casi, le informazioni raccolte con le indagini geotecniche sulla successione stratigrafica e sulle proprietà meccaniche e idrauliche dei terreni presenti nel sottosuolo si riferiscono a verticali di esplorazione. Poiché lo scopo delle indagini è definire le caratteristiche del sottosuolo all interno del volume significativo, il numero, la profondità, e la disposizione planimetrica delle verticali di esplorazione devono essere stabiliti in base alla forma e all estensione del volume significativo, ed al grado di dettaglio richiesto.ad esempio, se l indagine è finalizzata alla costruzione di un edificio con dimensioni in pianta paragonabili, lo spessore e la profondità degli strati nel volume significativo possono essere stimati con un minimo di tre verticali di esplorazione, facendo l ipotesi che le superfici di separazione fra gli strati siano piane e contengano i punti di separazione individuati nelle tre verticali. Almeno una delle tre verticali di esplorazione dovrebbe essere un sondaggio. La densità e la qualità dell indagine devono tener conto, oltre che della categoria geotecnica dell opera in progetto, della complessità e variabilità del terreno di fondazione e del rapporto costi/benefici. Un indagine estesa e approfondita, che consenta di definire un modello geotecnico affidabile, può giustificare scelte di progetto più coraggiose ed e- Costi Costo dellindagine Costo di costruzione Costo totale Approfondimento dellindagine geotecnica Figura. - Scelta del livello di approfondimento dell indagine geotecnica su base economica Minimo costo totale Livello di approfondimento ottimo 99 conomiche. Viceversa se i dati di progetto sono poco affidabili o incerti, anche le soluzioni tendono ad essere più prudenti e conservative, e quindi più costose. Il concetto di livello di approfondimento ottimo della indagine geotecnica è schematicamente illustrato in Figura.. In Tabella. sono orientativamente indicati numero minimo e distanza fra verticali di esplorazione per differenti tipologie di opere. J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

186 Capitolo INDAGINI IN SITO Tipo di opera Tabella. - Ampiezza orientativa dell indagine geotecnica Distanza fra i sondaggi (m) Stratificazione Uniforme Media Caotica Numero minimo di verticali di esplorazione Edificio di piani Edificio a molti piani Pile e spalle di ponti, torri - 30 per ciascuna fondazione Strade Gallerie: progetto di massima progetto esecutivo I mezzi di indagine in sito per la caratterizzazione del volume significativo di sottosuolo, sono molti e di diversa complessità. In questa sede illustreremo soltanto i mezzi di indagine più diffusi in Italia, comunemente impiegati per la progettazione di opere di categoria GC. Essi sono: le perforazioni di sondaggio, le prove SPT (Standard Penetration Test), le prove penetrometriche statiche (CPT), le prove con piezocono (CPTU), le prove dilatometriche (DMT).. Perforazioni di sondaggio Per sondaggio stratigrafico si intende una perforazione del terreno, in genere in direzione verticale, che consente di riconoscere la successione stratigrafica, mediante l esame visivo e l esecuzione di alcune prove di riconoscimento sul materiale estratto. Se la perforazione permette, oltre al riconoscimento stratigrafico, anche il prelievo di campioni indisturbati di terreno e l esecuzione di prove in foro per la determinazione delle proprietà geotecniche dei terreni in sede, il sondaggio è detto geotecnico. Durante la perforazione è possibile installare apparecchi di misura quali piezometri, assestimetri, inclinometri, etc.. Con le perforazioni di sondaggio è possibile attraversare qualunque tipo di terreno, anche a grande profondità e sotto falda, ed eseguire indagini anche sotto il fondo di fiumi o del mare. Esistono diverse tecniche di perforazione: a percussione, a rotazione, con trivelle ad elica. Le caratteristiche dell attrezzatura e il campo ottimale di applicazione per ciascuna tecnica sono riassunte nella Tabella.3. Se lo scopo della perforazione è solo quello di raggiungere una data profondità, ad esempio per installare uno strumento di misura, e non interessa il riconoscimento stratigrafico o il prelievo di campioni rappresentativi, il sondaggio è detto a distruzione. 00 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006) - - -

187 Capitolo INDAGINI IN SITO Tabella.3 - Tecniche di perforazione Metodo di perforazione Percussione Trivella Rotazione Utensile di perforazione Diametro usuale (mm) Profondità usuale (m) Idoneità per tipo di terreno Sonda a valvola Ghiaia, sabbia, limo Scalpello Spirale a vite senza fine Manuale Meccanica Manuale 0 Meccanica 40 Tubo carotiere semplice Tubo carotiere doppio Scalpelli a distruzione, triconi, etc.. attrezzatura rotary Praticamente illimitata Tutti i terreni fino a rocce di media resistenza Sopra falda: da coesivi a poco coesivi Sotto falda: coesivi Tutti i terreni escluse terre a grana grossa Non idoneità per tipo di terreno Terre coesive tenere o molto consistenti Rocce con resistenza alta o molto alta Terre a grana grossa, roccia Terre a grana grossa (ghiaie, ciottoli, etc..) Qualità dei campioni ottenibili direttamente con gli usuali attrezzi di perforazione Disturbati, dilavati Fortemente disturbati, dilavati e frantumati Disturbati, a volte dilavati sotto falda Generalmente discreta Generalmente buona Non si ottengono campioni ma piccoli frammenti di materiale Classe di qualità corrispondente Q (Q) Q Q (Q-Q3) A secco Q (Q3) Con circolazione di acqua o fango Q (Q) Q (Q3-Q4) 0 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

188 Capitolo INDAGINI IN SITO Se invece si vuole identificare in dettaglio la successione stratigrafica occorre eseguire una perforazione di sondaggio a carotaggio continuo (Figura.3). Le carote estratte nel corso del sondaggio sono sistemate in apposite cassette catalogatrici (in legno, metallo o plastica), munite di scomparti divisori e coperchio apribile a cerniera. Le cassette devono essere conservate, per tutto il tempo necessario, al riparo dagli agenti atmosferici. La tecnica di perforazione attualmente più utilizzata per i sondaggi a carotaggio continuo è a rotazione. Il terreno è perforato da un utensile spinto e fatto ruotare mediante una batteria di aste. L utensile di perforazione è un tubo d acciaio (carotiere) munito all estremità di una corona tagliente Figura.3 Sondaggio a carotaggio continuo di materiale adeguato. Per evitare che il terreno campionato venga a contatto con la parte rotante e sia almeno parzialmente protetto dal dilavamento del fluido di circolazione, il cui impiego si rende talvolta necessario per l esecuzione del foro, possono utilizzarsi carotieri a parete doppia, di cui solo quella esterna ruota. Il diametro dei fori di sondaggio è in genere compreso tra 75 e 50mm. Per assicurare la stabilità della parete e del fondo del foro, ove necessario, si utilizza una batteria di tubi di rivestimento oppure un fluido costituito in genere da una miscela di acqua con una percentuale del 3 5% di bentonite (fango bentonitico). La bentonite è un argilla di origine vulcanica molto plastica (I P = 50 00). Il fango bentonitico è caratterizzato da un peso di volume di poco superiore a quello dell acqua e da tixotropia, ovvero da una viscosità molto elevata in stato di quiete e molto minore in stato di moto. Tali caratteristiche rendono il fango bentonitico particolarmente adatto non solo a sostenere le pareti e il fondo degli scavi durante l esecuzione, ad esempio, di pali trivellati e di diaframmi ma anche a svolgere una funzione di trasporto del materiale scavato. Mantenendo il livello del fango superiore a quello della falda si impedisce l entrata dell acqua nel foro e se ne assicura la stabilità. Tuttavia sulla superficie del foro viene a formarsi una pellicola impermeabile che non consente l esecuzione di prove di permeabilità e di misure piezometriche. I risultati di una perforazione di sondaggio vengono riportati in una scheda stratigrafica ove, oltre ai dati generali relativi al cantiere e alle attrezzature impiegate, è rappresentata graficamente la successione degli strati con la descrizione di ciascuno di essi, la profondità della falda, la profondità dei campioni estratti, la profondità ed i risultati delle prove e- seguite nel corso della perforazione, etc.. Un esempio di scheda stratigrafica è riportato in Figura.4. 0 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

189 Capitolo INDAGINI IN SITO Figura.4 - Esempio di scheda stratigrafica 03 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

190 Capitolo INDAGINI IN SITO I campioni estratti durante la perforazione possono avere diverso grado di disturbo in funzione sia della tecnica e degli strumenti utilizzati per il prelievo, sia della natura del terreno stesso. In particolare con gli usuali mezzi e tecniche di prelievo non è possibile estrarre campioni indisturbati di terreno incoerente. Le principali cause di disturbo derivano dall esecuzione del sondaggio (disturbo prodotto dalla sonda o dall attrezzo di perforazione), dall infissione ed estrazione del campionatore, e dalla variazione dello stato tensionale. Nei provini sottoposti a prove di laboratorio, ulteriori cause di disturbo derivano dal trasporto e dalla non perfetta conservazione del campione, dalle operazioni di estrusione del campione dalla fustella, dalla cavitazione e ridistribuzione del contenuto in acqua, dalle operazioni di formazione del provino (ad e- sempio al tornio) e dal montaggio nell apparecchiatura di prova. Per i campioni di terreno si distinguono 5 classi di qualità, crescente da Q a Q5 (Tabella.4), ottenibili con campionatori e terreni di tipo diverso (Tabella.5). I campioni rimaneggiati (di qualità Q e Q) sono ottenibili con i normali utensili di perforazione. I campioni a disturbo limitato o indisturbati (Q4 e Q5) sono ottenibili con utensili appropriati, scelti in relazione alle esigenze del problema ed alle caratteristiche del terreno. Tabella.4: Classi di qualità dei campioni Caratteristiche geotecniche determinabili Grado di qualità Q Q Q3 Q4 Q5 a) profilo stratigrafico X X X X X b) composizione granulometrica X X X X c) contenuto d acqua naturale X X X d) peso di volume X X e) caratteristiche meccaniche (resistenza, deformabilità, etc..) campioni disturbati o rimaneggiati disturbo limitato X indisturbati Tabella.5: Classi di qualità dei campioni ottenibili con campionatori di tipo diverso A) Campionatore pesante infisso a percussione B) Campionatore a parete sottile infisso a percussione C) Campionatore a parete sottile infisso a pressione D) Campionatore a pistone infisso a pressione E) Campionatore a rotazione a doppia parete con scarpa avanzata Tipo di terreno Tipo di campionatore A B C D E a) coesivi poco consistenti Q3 Q4 Q5 b) coesivi moderatamente consistenti o consistenti Q3 (4) Q4 Q5 Q5 c) coesivi molto consistenti Q (3) Q3 (4) Q5 Q5 d) sabbie fini al di sopra della falda Q Q3 Q3 Q3 (4) e) sabbie fini in falda Q Q Q Q (3) N.B. Si indicano tra parentesi le classi di qualità Q raggiungibili con campionamento molto accurato. Per tale motivo i campioni prelevati da fronti di scavo possono presentare un minore grado di disturbo 04 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

191 Capitolo INDAGINI IN SITO I campionatori più utilizzati per il prelievo di campioni di buona qualità sono i campionatori a parete sottile e a pistone infissi a pressione e il campionatore a rotazione a doppia parete con scarpa avanzata. Il tubo infisso nel terreno per il prelievo, ha lunghezza minima di 600mm e diametro minimo 00mm, è impiegato anche come contenitore e pertanto deve essere di acciaio di buona qualità, inossidabile oppure zincato, o cadmiato o termoplastificato..3 Prova penetrometrica dinamica S.P.T. La prova penetrometrica dinamica S.P.T. (Standard Penetration Test), ideata negli Stati uniti nel 97, è la prova in sito più diffusa ed utilizzata in tutto il mondo, sia per la semplicità operativa e il basso costo, sia per la vasta letteratura tecnica esistente sull interpretazione dei risultati. La prova consente di determinare la resistenza che un terreno offre alla penetrazione dinamica di un campionatore infisso a partire dal fondo di un foro di sondaggio o di un foro appositamente eseguito con diametro compreso tra 60 e 00mm, e subordinatamente di prelevare piccoli campioni disturbati del terreno stesso (utilizzati ad esempio per prove di classificazione). La prova S.P.T. consiste nel far cadere ripetutamente un maglio, del peso di 63,5 kgf, da un altezza di 760 mm, su una testa di battuta fissata alla sommità di una batteria di aste alla cui estremità inferiore è avvitato un campionatore di dimensioni standardizzate (Figure.5 e.6), registrando durante la penetrazione: - il numero di colpi di maglio N necessario a produrre l infissione per i primi 5cm (tratto di avviamento) inclusa l eventuale penetrazione quasi statica per gravità, - il numero di colpi di maglio N necessario a produrre l infissione per altri 5cm, - il numero di colpi di maglio N 3 necessario a produrre l infissione per ulteriori 5cm. Figura.5: Schema della prova S.P.T. Complessivamente, durante la prova, il campionatore sarà infisso di 5+5+5=45cm. Il diametro del foro dovrebbe essere preferibilmente compreso tra 65 e 5mm. Per diametri maggiori è opportuno moltiplicare il valore misurato dell indice N SPT per un fattore di correzione pari a,05 per diametro di perforazione di 50mm e pari a,5 per diametro di perforazione di 00mm. 05 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

192 Capitolo INDAGINI IN SITO Si assume quale resistenza alla penetrazione il parametro: N SPT = N + N 3 (Eq..) Se con N =50 l avanzamento è minore di 5cm l infissione è sospesa e la prova è conclusa annotando la relativa penetrazione (ad es. N =50/3cm). Se con N + N 3 =00 non si raggiunge l avanzamento di 30cm l infissione è sospesa e la prova è conclusa annotando la relativa penetrazione. Figura.6: Campionatore per la prova S.P.T. (ASTM D586-84) Se la prova è eseguita in terreni molto compatti o ghiaiosi, la scarpa del campionatore SPT può essere sostituita con una punta conica (diametro esterno 5mm, apertura 60 ). Se la prove è eseguita sotto falda, il livello di acqua o di fango nel foro deve essere mantenuto più alto di quello della falda freatica nel terreno per evitare un flusso d acqua dall esterno verso l interno del foro. I risultati della prova S.P.T. sono utilizzati soprattutto per la stima indiretta, mediante correlazioni empiriche, della densità relativa e della resistenza al taglio delle sabbie. Meno significative e più incerte sono le correlazioni per la stima della resistenza al taglio non drenata dei terreni a grana fine 3. Dato il carattere empirico dei metodi di interpretazione dei risultati della prova S.P.T. è assolutamente necessario seguire in modo scrupoloso la procedura di riferimento per l esecuzione della prova emessa dall Associazione Internazionale di Ingegneria Geotecnica (ISSMFE, 988). I risultati della prova sono infatti influenzati dalle caratteristiche del campionatore, dalle dimensioni delle aste, dal sistema di battitura, dalla tecnica di perforazione e dalle dimensioni del foro..3. Terreni sabbiosi Stima della densità relativa I metodi di stima della densità relativa attualmente più utilizzati sono: 3 Un importante campo di impiego della prova S.P.T. è la stima della resistenza alla liquefazione dei depositi di terreno incoerente sotto falda in condizioni sismiche. L argomento è trattato nel corso di Ingegneria geotecnica sismica. 06 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

193 Capitolo INDAGINI IN SITO - la correlazione di Gibbs e Holtz (957), valida per sabbie quarzose NC non cementate, graficamente rappresentata in Figura.7, che corrisponde all equazione: σ v0 N SPT = D R p (Eq..) a in cui p a è la pressione atmosferica (p a =00 se σ v0 è espresso in kpa, p a = se σ v0 è espresso in kgf/cm ), - la correlazione di Bazaara (967), più adatta a sabbie sovraconsolidate o costipate in cantiere, graficamente rappresentata in Figura.8, che corrisponde all equazione: { σ σ v0 NSPT = 0 4, + v0 D R p per 0, 73 a p a (Eq..3) σ σ v0 v0 N SPT = 0 3,4,04 + D R p per > 0, 73 a p a Figura.7 - Stima di D R da N SPT secondo Gibbs e Holtz (957) Figura.8 - Stima di D R da N SPT secondo Bazaara (967) - la correlazione di Marcuson e Bieganousky (977): D R (%) 0,5 σ v0 =, + 0,75 NSPT OCR U p (Eq..4) a in cui OCR è il grado di sovraconsolidazione e U è il coefficiente di uniformità della sabbia - la correlazione di Skempton (986): 07 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

194 Capitolo INDAGINI IN SITO N cor D = R 60 N cor = C N N SPT per sabbie fini C N = σ v0 + (Eq..5) p a 3 per sabbie grosse C N = σ v0 + p a in cui N cor è il valore corretto dell indice N SPT per tener conto della pressione litostatica efficace. Stima dell angolo di resistenza al taglio L angolo di resistenza al taglio di picco può essere stimato a partire dal valore della densità relativa con le correlazioni proposte da Schmertmann (977) per differenti granulometrie, graficamente rappresentate in Figura.9. Correlazioni dirette tra φ e N SPT, che evitano le approssimazioni dovute al doppio passaggio, sono (fra le tante): - la correlazione di Peck, Hanson e Thornburn (974), approssimabile con la seguente equazione (Wolff, 989): () = 7, + 0,3 N 0,00054 ϕ (Eq..6) cor N cor - la correlazione di Schmertmann (975) graficamente rappresentata in Figura.0, che corrisponde all equazione (Kulhawy e Mayne, 980): N Figura.9 - Stima di φ da D R per differenti granulometrie secondo Schmertmann (978) 0,34 SPT ϕ = arctan (Eq..7) σ v0, + 0,3 p a - la correlazione di Hatanaka e Uchida (996) graficamente rappresentata in Figura., che corrisponde all equazione: ϕ () = 0 N cor + 0 (Eq..8) 08 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

195 Capitolo INDAGINI IN SITO L esistenza stessa di molte correlazioni è un chiaro segno delle incertezze e delle approssimazioni insite nelle procedure empiriche di stima, evidenziate nel grafico di Figura.. Per tale motivo può essere opportuno confrontare i valori stimati con le diverse correlazioni, ed utilizzare come valore di progetto dell angolo di resistenza al taglio di picco di uno strato di sabbia, la media delle stime, escludendo eventuali valori anomali. Si tenga presente che, poiché il terreno non è omogeneo, i valori di N SPT ottenuti nella stessa formazione possono essere anche sensibilmente diversi fra loro, e che la presenza di ciottoli e ghiaia può determinare valori di N SPT erratici e inaffidabili. N SPT Tensione geostatica efficace, σ vo (kpa) Figura.0 - Stima di φ da N SPT secondo Schmertmann (975) Figura.: Correlazione fra N SPT e c u per argille non sensitive secondo Stroud (974) Figura. - Stima di φ da N SPT secondo Hatanaka e Uchida (996).3. Terreni a grana fine Stima della resistenza al taglio non drenata La resistenza al taglio non drenata di un argilla non sensitiva può essere approssimativamente stimata dai risultati di prove S.P.T. con la correlazione di Stroud (974): c u = f N (Eq..9) SPT in cui f è un coefficiente funzione dell indice di plasticità. f ha valori compresi tra 3,5 e 6,5 kpa, e mediamente vale 4,4 kpa, come mostrato in Figura., dove è possibile rilevare la dispersione dei dati sperimentali su cui si basa la correlazione. Un altra correlazione per la stima di c u da N SPT è la seguente (Hara et al., 97): 09 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

196 Capitolo INDAGINI IN SITO c 0, 7 ( kpa) 9 = (Eq..0) u N SPT È stata anche proposta una correlazione per la stima del grado di sovraconsolidazione dell argilla da prova S.P.T. (Mayne e Kemper, 988): 0,689 N SPT OCR = 0,93 σ v0 (Eq..) con σ v0 espresso in MPa..4 Prova penetrometrica statica C.P.T. La prova penetrometrica statica C.P.T. (Cone Penetration Test) è un mezzo di indagine molto diffuso in Italia poiché, ad un costo modesto, permette l identificazione della successione stratigrafica lungo una verticale, e la stima di molti parametri geotecnici sia in terreni a grana fine che in terreni a grana grossa (ghiaie escluse). La prova è autoperforante, ovvero non richiede l esecuzione di un foro di sondaggio, e consiste nell infissione a pressione nel terreno, a partire dal p.c. ed alla velocità costante di 0 mm/sec (con una tolleranza di ±5mm/sec), di una punta conica avente diametro 35,7 mm e angolo di apertura 60, collegata al dispositivo di spinta mediante una batteria di tubi. Il contrasto necessario ad infiggere il penetrometro è di norma Figura.3: Penetrometro statico installato su camion 0 ottenuto col peso dell autocarro, eventualmente zavorrato, su cui è installata l attrezzatura (Figura.3) 4. Il penetrometro statico, ideato in Svezia nel 97 (anche se comunemente chiamato penetrometro olandese), ha subito nel tempo modifiche e miglioramenti. Attualmente ne esistono due tipi, con caratteristiche geometriche e procedure di prova normate a livello internazionale (ISSMFE, 989): a) il penetrometro meccanico con manicotto d attrito, e b) il penetrometro elettrico. Nei penetrometri meccanici con manicotto d attrito la punta conica è solidale con una batteria di aste coassiali ad una tubazione di rivestimento. La parte finale, ovvero più prossima alla punta, della tubazione di rivestimento è mobile, e costituisce il manicotto di attrito. 4 Talvolta il contrasto è realizzato con un telaio ancorato al terreno con delle grosse viti. J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

197 Capitolo INDAGINI IN SITO Figura.4: Punta di un penetrometro meccanico con manicotto d attrito (punta Begemann) (a) e posizioni assunte durante l infissione (b) In Figura.4 sono rappresentate la punta di un penetrometro meccanico con manicotto d attrito e le posizioni che assume durante l infissione. ) Inizialmente, esercitando una forza F sulle aste interne collegate alla punta, si fa avanzare a velocità costante la sola punta per una lunghezza di 40 mm. L area della punta è: A p = (π 3,57 )/4 = 0 cm e la pressione media alla punta durante l avanzamento (resistenza di punta) vale: q c = F /A p. ) Al termine della corsa di 40mm, viene agganciato il manicotto d attrito, che ha una superficie laterale: A s = 50 cm e si continua a far avanzare la punta a velocità costante per altri 40 mm (che nella penetrazione si trascina dietro il manicotto). Se si indica con F la forza necessaria a fare avanzare il penetrometro in questa seconda fase, e se si fa l ipotesi che la resistenza di punta non sia variata rispetto al tratto precedente, è possibile calcolare la tensione tangenziale media lungo la superficie del manicotto (resistenza laterale locale) con la relazione: f s = (F -F )/A s. 3) In una terza fase la spinta viene applicata alle aste esterne che, a punta ferma, raggiungono prima il manicotto e poi la punta, e infine fanno avanzare l intero sistema. J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

198 Capitolo INDAGINI IN SITO Figura.5: Esempio di rappresentazione dei risultati di una prova CPT Le operazioni sopradescritte sono ripetute ogni 0cm. I risultati della prova sono rappresentati in grafici (e tabelle) aventi in ordinata la profondità e in ascissa le misure di q c e di f s ogni 0cm (Figura.5). Il penetrometro meccanico è uno strumento semplice e robusto, che può operare in un campo di terreni che va dalle argille alle sabbie grosse, fino a profondità dell ordine di 40m e oltre. I suoi principali limiti derivano dal fatto che le resistenze alla penetrazione sono dedotte da misure di forza eseguite in superficie, e quindi sono affette da errori dovuti al peso proprio e alla deformabilità delle a- ste, ed agli attriti tra le varie parti dell attrezzatura. Inoltre la profondità delle misure è desunta dalla lunghezza delle aste e quindi soggetta ad errori derivanti dalla deviazione dalla verticale (Figura.6). Infine le misure di resistenza alla punta, q c, e di attrito laterale locale, f s, non sono indipendenti fra loro e si riferiscono a profondità leggermente diverse, per cui la presenza di terreni fittamente stratificati può condurre a errori di stima. Il penetrometro elettrico è la naturale evoluzione del penetrometro meccanico (Figura.7). Figura.6: Effetto della deviazione dalla verticale sul profilo della resistenza di punta di un penetrometro meccanico Figura.7: Punta del penetrometro elettrico J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

199 Capitolo INDAGINI IN SITO Nel penetrometro elettrico le misure di pressione alla punta e di tensione laterale locale sono eseguite localmente ed in modo fra loro indipendente con trasduttori elettrici che inviano un segnale alla centralina posta in superficie. Un inclinometro alloggiato nelle aste permette di misurare la deviazione dalla verticale e di correggerne gli errori conseguenti. La frequenza delle misure può essere anche molto ridotta, tipicamente ogni -5cm, e i dati sono direttamente acquisiti in forma numerica e rappresentati graficamente anche durante l esecuzione della prova. I limiti del penetrometro a punta elettrica risiedono nel maggiore costo dello strumento, e negli errori derivanti dalle componenti elettroniche (non linearità e isteresi delle celle di pressione, sensibilità alle variazioni di temperatura, calibrazione)..5 Interpretazione dei risultati di prove C.P.T L analisi dei risultati di prove C.P.T. consente in primo luogo il riconoscimento litologico dei terreni attraversati e la ricostruzione della successione stratigrafica. Questa prima fase interpretativa è essenziale e necessaria per ogni ulteriore interpretazione geotecnica. Infatti durante la prova vengono misurate le resistenze di punta e di attrito laterale opposte dal terreno nelle condizioni di rottura determinate dalla penetrazione dello strumento con una velocità imposta e costante di cm/sec. A seconda della permeabilità del terreno attraversato la rottura avviene in condizioni drenate o non drenate. Pertanto il modello interpretativo del fenomeno della rottura è condizionato dal tipo di terreno cui si riferiscono i dati di resistenza misurati..5. Riconoscimento stratigrafico La resistenza penetrometrica di punta offerta da un terreno sabbioso è, di norma, nettamente superiore alla resistenza offerta da terreni argillosi di media e bassa consistenza. Pertanto molte volte il solo esame del profilo di q c può dare una prima idea della successione stratigrafica 5. Tuttavia le migliori correlazioni proposte per l individuazione della natura del terreno attraversato fanno uso, oltre che della resistenza di punta, q c, anche della resistenza d attrito laterale, f s. In particolare la carta di classificazione più accreditata per il penetrometro statico meccanico è quella di Schmertmann (978), rappresentata in Figura.8, che ha in ascissa il rapporto adimensionale: f s R f = 00 (Eq..) q c detto rapporto d attrito o di frizione o delle resistenze, in scala naturale, ed in ordinata la resistenza di punta q c [FL - ] in scala logaritmica Per il penetrometro elettrico si può fare riferimento alla carta di Robertson (990), rappresentata in Figura.9, che ha in ascissa il rapporto d attrito normalizzato: fs F = 00 (Eq..3) q σ c v0 5 In effetti i penetrometri statici di prima generazione, ormai non più in uso, non avevano il manicotto d attrito e veniva misurata solo la resistenza di punta. 3 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

200 Capitolo INDAGINI IN SITO e in ordinata la resistenza di punta normalizzata: q c σ v0 Q = (Eq..4) σ v0 entrambe le variabili in scala logaritmica. Figura.8: Carta di classificazione per il penetrometro statico meccanico (Schmertmann, 978) I campi in cui è diviso il grafico di Figura.9 sono contraddistinti da numeri cui corrispondono i seguenti tipi di terreno:. Terreno sensitivo a grana fine.. Terreno organico, torba. 3. Argille. Da argille ad argille limose. 4. Limi. Da limi argillosi a argille limose. 5. Sabbie. Da sabbie limose a limi sabbiosi. 6. Sabbie. Da sabbie pulite a sabbie limose. 7. Da sabbie ghiaiose a sabbie. 8. Da sabbie molto dense a sabbie argillose fortemente sovraconsolidate o cementate. 9. Materiali fini granulari molto duri, fortemente sovraconsolidati o cementati. È opportuno che l interpretazione stratigrafica delle prove CPT sia avvalorata dal confronto con profili stratigrafici direttamente ottenuti mediante sondaggi eseguiti nell area di indagine. 4 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

201 Capitolo INDAGINI IN SITO Figura.9: Carta di classificazione per il penetrometro statico elettrico (Robertson, 990).5. Interpretazione di prove CPT in terreni sabbiosi L avanzamento del penetrometro statico in terreni sabbiosi avviene generalmente 6 in condizioni drenate, ed è quindi possibile interpretarne i risultati in termini di tensioni efficaci. Per la stima dei parametri geotecnici dei terreni sabbiosi si utilizza comunemente la densità relativa, come parametro intermedio, sebbene sia stato dimostrato che anche la compressibilità della sabbia (che dipende dalla mineralogia) e lo stato di tensione in sito (che dipende dalla profondità, dal rapporto di sovraconsolidazione e dall età del deposito) siano fattori molto influenti sulla resistenza penetrometrica di punta. Le correlazioni fra resistenza penetrometrica e densità relativa dei terreni sabbiosi sono state studiate con prove di laboratorio in camera di calibrazione 7. Una delle correlazioni più note e utilizzate, valida per sabbie silicee, non cementate, di recente deposizione, normalmente consolidate, è la seguente: D r log q c = 5 ( ) 0, σ v0 (Eq..5) 6 In sabbie fini e/o limose molto addensate possono talora crearsi sovrapressioni interstiziali negative per effetto della dilatanza 7 La camera di calibrazione è un apparecchiatura di laboratorio molto costosa e sofisticata che consiste in una cella triassiale di grandi dimensioni, in cui è possibile eseguire prove geotecniche in sito di vario tipo, con strumenti in vera grandezza e in condizioni al contorno controllate. 5 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

202 Capitolo INDAGINI IN SITO con q c e σ v0 espressi in t/m ( t/m 0 kpa). L equazione.5 (Jamiolkowski et al., 985) è rappresentata in Figura.0, ove è evidenziata l influenza della compressibilità, che può condurre ad un errore di +/-% sulla stima della densità relativa. Figura.0 - Stima della densità relativa con l Eq..4 Un altra correlazione, più generale, è la seguente (Baldi et al., 986): q ( ) c Dr = ln C (Eq..6) C C0 σ in cui C 0, C e C sono costanti, q c è la resistenza penetrometrica di punta (espressa in kpa), e σ (espressa anch essa in kpa) è la tensione efficace (verticale o media) alla profondità della misura. In particolare per sabbie silicee moderatamente compressibili, normalmente consolidate, di recente deposizione e non cementate, per le quali di assume K 0 =0,45, le costanti valgono: C 0 =57 C =0,55 C =,4 e la tensione efficace di riferimento è quella verticale (σ = σ v0 ). Per sabbie sovraconsolidate, per le quali occorre stimare preventivamente K 0, le costanti valgono: C 0 =8 C =0,55 C =,6 e la tensione efficace di riferimento è quella media (σ = σ m = (σ v0 + σ h0 )/3). Le due relazioni derivate dall Eq..6 sono graficamente rappresentate nelle Figure. e.. Figura. - Stima della densità relativa con l Eq..6 (terreni NC) 6 Figura. - Stima della densità relativa con l Eq..6 (terreni OC) J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

203 Capitolo INDAGINI IN SITO Dopo avere stimato la densità relativa della sabbia, D r, l angolo di resistenza al taglio di picco, φ, può essere stimato con le correlazioni proposte da Schmertmann (977) per differenti granulometrie, graficamente rappresentate in Figura.7. Una correlazione diretta tra q c, σ v0 e l angolo di resistenza al taglio di picco, φ, valida per sabbie quarzose non cementate è mostrata in Figura.3 (Robertson e Campanella, 983), ed è ben rappresentata dall equazione: ϕ q arctan 0, + 0,38 log c σ v0 (Eq..7) = Tensione geostatica efficace, σ vo (kpa) Resistenza alla punta, qc (MPa) Poiché la prova CPT misura la resistenza a rottura del terreno, le correlazioni per la stima della rigidezza del terreno a bassi livelli di deformazione dai risultati di tale tipo di prova hanno necessariamente carattere empirico. Una semplice correlazione fra la resistenza penetrometrica di punta, q c, ed il modulo di Young secante, drenato, per un livello di sforzo mobilitato pari al 5% di quello a rottura, ovvero per condizioni di e- sercizio con coefficiente di sicurezza rispetto alla rottura pari a 4, valida per sabbie quarzose NC non cementate, è la seguente (Robertson e Campanella, 983): E Figura.3 - Correlazione diretta tra q c, σ v0 e φ (Robertson e Campanella, 983) 5 = q c (Eq..8).5.3 Interpretazione di prove CPT in terreni a grana fine L avanzamento del penetrometro statico in terreni a grana fine saturi avviene in condizioni non drenate. Una stima della resistenza al taglio non drenata, c u, della pressione di consolidazione, σ c, e del grado di sovraconsolidazione, OCR, di terreni argillosi può essere eseguita con le seguenti equazioni (Mayne e Kemper, 988): qc σ v0 cu = (Eq..9) N K N K = 5 per penetrometro elettrico N K = 0 per penetrometro meccanico in cui σ v0 è la tensione geostatica verticale totale alla profondità della misura di q c. 7 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

204 Capitolo INDAGINI IN SITO ( q ) 0, 96 σ =, 43 (Eq..0) c 0 c in cui σ c e q c sono espressi in MPa.,0 q 0 = 0,37 c σ v OCR (Eq..) σ v0 in cui σ v0 è la tensione geostatica verticale efficace alla profondità della misura di q c. Il modulo edometrico, M, ovvero il modulo di deformazione in condizioni di espansione laterale impedita, può essere approssimativamente stimato con la relazione (Sanglerat, 97): M = α q c (Eq..) in cui α è un coefficiente i cui valori sono indicati in Tabella.6 Tabella.6: Stima del modulo edometrico di terreni a grana fine da prova CPT M,3 ( + e) σ v = = = α mv Cc q c < 0,7 MPa 3 < α < 8 Argille di bassa plasticità (CL) 0,7 < q c <,0 MPa < α < 5 q c >,0 MPa < α <,5 Limi di bassa plasticità (ML) q c <,0 MPa 3 < α < 6 q c >,0 MPa < α < 3 Argille e limi di elevata plasticità (CH, MH) q c <,0 MPa < α < 6 Limi organici (OL) q c <, MPa < α < 8 q c < 0,7 MPa Torbe e argille organiche (P t, OH) 50 < w * < 00,5 < α < 4 00 < w < 00 < α <,5 w > 00 0,4 < α < *w = contenuto in acqua (%) q c.6 Prova con piezocono (C.P.T.U.) Il piezocono è un penetrometro statico a punta elettrica dotato di un elemento poroso di ceramica fine o di acciaio, detto filtro, di norma posizionato alla base della punta conica, che permette di misurare e registrare oltre ai parametri di resistenza alla penetrazione, q c ed f s, anche la pressione interstiziale, u 8, sia durante l avanzamento che a penetrometro fermo (Figura.4). La misura corretta della pressione u è condizionata dalla completa saturazione del filtro. 8 La pressione interstiziale misurata con il piezocono si indica con il simbolo u, u o u 3 a seconda della posizione del filtro. Se il filtro è posizionato alla base del cono, come è più frequente, la pressione interstiziale è indicata con il simbolo u. 8 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

205 Capitolo INDAGINI IN SITO La possibilità di misurare la pressione interstiziale ha considerevolmente aumentato la capacità interpretativa della prova nei terreni saturi sotto falda. Infatti durante la penetrazione alla velocità di cm/sec, nei terreni sabbiosi e permeabili la rottura avviene in condizioni drenate, senza sensibili variazioni della pressione interstiziale, e quindi la pressione misurata dal piezometro coincide con quella in sito (u = u 0 ), mentre nei terreni a grana fine e poco permeabili, si generano sovrapressioni interstiziali, u, e quindi viene misurata la pressione u = u 0 + u Poiché inoltre la sensibilità dello strumento alla variazione delle pressioni interstiziali è molto alta in quanto non risente di effetti di scala, è possibile identificare anche sottili livelli di terreno a permeabilità differente, la cui presenza può essere decisiva nella stima dei tempi di consolidazione. In Figura.5 sono rappresentati i Figura.4 Punta di un piezocono profili delle misure eseguite durante una prova con piezocono. Per l interpretazione della prova occorre utilizzare la resistenza di punta corretta, q t, che tiene conto della differenza tra l area della punta, A c, e l area della parte del cono che agisce direttamente sulla cella di carico, A n. Il valore di q t è dato dall equazione: q t = q c + u ( a) (Eq..3) con a = A n /A c. Il valore del rapporto delle aree, a, si determina sperimentalmente per ogni piezocono ed è in genere compreso tra 0,55 e 0,9. Si definisce rapporto delle pressioni interstiziali il parametro: B q = q t u σ v0 in cui σ v0 rappresenta la tensione verticale totale presente in sito. (Eq..4) Per l identificazione litologica ed il riconoscimento stratigrafico dai risultati di prove con piezocono può essere utilizzato il grafico di Figura.6 (Robertson, 990), nel quale i numeri dei campi corrispondono alle descrizioni di Figura.9. 9 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

206 Capitolo INDAGINI IN SITO Figura.5 Esempio di profili registrati con piezocono Figura.6 Carta di classificazione di Robertson per piezocono 0 Il piezocono permette l esecuzione di prove di dissipazione e quindi la stima delle caratteristiche di permeabilità e di consolidazione del terreno. Infatti, se durante la penetrazione in un terreno a grana fine saturo e sotto falda, la punta viene arrestata ad una data profondità, si può registrare la dissipazione della sovrapressione interstiziale nel tempo. Per l interpretazione della prova di dissipazione con piezocono sono state suggerite diverse procedure. La più utilizzata è la seguente (Baligh e Levadoux, 980):. Si traccia il grafico sperimentale della sovrapressione interstiziale, normalizzata rispetto al suo valore iniziale, ( u(t)/ u 0 ), in funzione del logaritmo del tempo;. Si sovrappone la curva sperimentale con la curva teorica, in cui il rapporto di dissipazione, ( u(t)/ u 0 ), è posto in funzione di un fattore di tempo adimensionale, J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

207 Capitolo INDAGINI IN SITO t T = c h, ove c h è il coefficiente di consolidazione orizzontale, t il tempo ed R R il raggio delle aste del piezocono. La curva ( u(t)/ u 0 ) - T dipende dal tipo di piezocono e dalla posizione del filtro. Per il piezocono con angolo di apertura 60 e filtro alla base del cono le coordinate di alcuni punti della curva teorica sono le seguenti: u(t)/ u 0 0,80 0,60 0,50 0,40 0,0 T 0,44,90 3,65 6,50 7,0 3. Se le curve sperimentale e teorica sono sovrapponibili, a conferma dell applicabilità del metodo, si ricava il tempo corrispondente al grado di dissipazione del 50%, t 50, e si stima il valore del coefficiente di consolidazione orizzontale in condizioni di scarico-ricarico, ovvero per terreno sovraconsolidato, con l equazione: R c h (OC) = 3,65 Eq. (.5) t Se il terreno è normalmente consolidato il coefficiente di consolidazione orizzontale può essere stimato con l equazione: C r c h (NC) = c h (OC) Eq. (.6) Cc in cui C r e C c sono rispettivamente gli indici di ricompressione e di compressione vergine. In assenza di dati sperimentali si assume C r /C c = 0,4..7 Prova dilatometrica D.M.T. Figura.7 Dilatometro di Marchetti Il dilatometro piatto o dilatometro di Marchetti (Figura.7) è uno strumento di indagine geotecnica relativamente recente, ideato in Italia negli anni 80, che ha avuto un grande successo internazionale ed è attualmente utilizzato in tutto il mondo. I motivi di tale successo risiedono nel fatto che la prova è semplice ed economica, ma permette di stimare, mediante correlazioni empiriche, la litologia attraversata e numerose proprietà geotecniche di resistenza e di deformabilità. La prova consiste nell infissione a pressione nel terreno, ottenuta utilizzando la stessa procedura e lo stesso J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

208 Capitolo INDAGINI IN SITO dispositivo di spinta del penetrometro statico, di un sistema di aste che termina in una lama d acciaio di forma e dimensioni standardizzate, al cui centro è posizionata una membrana piana di forma circolare. Ogni 0 cm di penetrazione lo strumento è arrestato per la determinazione degli indici della prova. Essa consiste nell immissione, attraverso un cavo pneumatico interno alle a- ste, di un gas in pressione che determina l espansione della membrana. Si registrano due valori di pressione: la pressione p 0, che corrisponde all inizio dell espansione della membrana contro il terreno, e la pressione p che corrisponde ad uno spostamento del centro della membrana di,mm. I due valori di pressione misurati, p 0 e p, unitamente ai valori di tensione verticale efficace, σ v0, e di pressione interstiziale in sito, u 0, alla profondità della prova, consentono di calcolare i seguenti parametri: p p0 Indice del materiale I D = Eq. (.7) p u Indice di tensione orizzontale K D 0 0 p u = Eq. (.8) 0 0 σ v0 E D = 0 Eq. (.9) La classificazione del terreno, la consistenza dei terreni a grana fine e la densità dei terreni a grana grossa, si ottengono dal grafico di Figura.8, nel quale è riportato in ascissa l indice del materiale e in ordinata il modulo edometrico. Le correlazioni empiriche proposte da Marchetti per la stima delle proprietà geotecniche sono le seguenti: Modulo dilatometrico 34,7 ( p p ) Coefficiente di spinta a riposo, K 0 per I D <, 0,47 K D K 0, DMT = 0,6 (Eq..30),5 Grado di sovraconsolidazione, OCR per I D <, OCR =,5 K, (Eq..3) DMT ( ) 56 0 D Resistenza al taglio non drenata, c u per I D <, c =, σ 0, K, (Eq..3) ( ) 5 u, 0 vo 5 DMT D Angolo di resistenza al taglio, φ per I D >,8 ϕ = 8 + 4,6 log K, log K (Eq..33) DMT D D J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

209 Capitolo INDAGINI IN SITO Figura.8 Carta per il riconoscimento stratigrafico e la classificazione dei terreni con il dilatometro di Marchetti Modulo edometrico, M M = R E (Eq..34) DMT M D I D 0,6 RM = 0,4 +,36 log K D I D 3 RM = 0,5 + log K D 0,6 < 3 R = R +,5 R log K < D 0 0 M 0 = D I M M ( M ) D R 0,4 + 0,5 ( I 0,6) se D > 0 RM = 0,3 +,8 log K se R < 0, 85 si assume R = 0, 85 K D M In Figura.9 è mostrato un esempio dei profili dilatometrici interpretati. M 3 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

210 Capitolo INDAGINI IN SITO Figura.9: Esempio di profili dilatometrici interpretati Figura.30: Esempio di curva di dissipazione con dilatometro Marchetti Con il dilatometro di Marchetti è anche possibile eseguire prove di dissipazione (DMTA) che consentono una stima dei coefficienti di consolidazione orizzontale e di permeabilità orizzontale. Le prove di dissipazione si eseguono a punta dilatometrica ferma, e consistono nella registrazione delle curve di decadimento nel tempo della pressione esercitata dal terreno sulla membrana. Un e- sempio di curva di dissipazione è mostrato in Figura.30. Il tempo corrispondente al punto di flesso della curva è indicato con il simbolo T flex. Il coefficiente di consolidazione orizzontale è stimato con l equazione: 7cm ch, DMTA (Eq..35) T flex Il coefficiente di permeabilità orizzontale è stimato con l equazione: ch γ w k h, M h K M DMT M 0 (Eq..36) h 4 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

211 Capitolo 3 SPINTA DELLE TERRE CAPITOLO 3 SPINTA DELLE TERRE La determinazione della spinta esercitata dal terreno contro un opera di sostegno è un problema classico di ingegneria geotecnica che, ancora oggi, nonostante l enorme ampliamento delle conoscenze, viene affrontato utilizzando due teorie storiche, opportunamente modificate e integrate alla luce del principio delle tensioni efficaci: la teoria di Rankine (857) e la teoria di Coulomb (776). Entrambi i metodi assumono superfici di scorrimento piane, ma per effetto dell attrito fra la parete e il terreno, le reali superfici di scorrimento sono in parte curvilinee, ed risultati che si ottengono applicando i metodi classici, specie per le condizioni di spinta passiva (resistente) sono spesso non cautelativi. È pertanto opportuno riferirsi, almeno per il calcolo della spinta passiva, al metodo di Caquot e Kérisel (948) che è il più noto e applicato metodo fra quelli che assumono superfici di scorrimento curvilinee. 3. Teoria di Rankine (857) Si consideri un generico punto A alla profondità Z in un deposito di terreno incoerente (c = 0), omogeneo e asciutto (o comunque sopra falda), avente peso di volume γ costante con la profondità, e delimitato superiormente da una superficie piana e orizzontale (Figura 3.). Per ragioni di simmetria lo stato tensionale (geostatico) è assialsimmetrico. La pressione interstiziale è zero (terreno asciutto), per cui le tensioni totali ed efficaci coincidono. σ = K σ h0 0 v0 σ = γ Z A Figura 3. Tensioni geostatiche in un deposito di terreno omogeneo, incoerente, delimitato da una superificie piana e orizzontale v0 Z Nel punto A: - la tensione verticale σ v0 è staticamente determinata dalla condizione di equilibrio alla traslazione in direzione verticale, e vale: σ v0 = γz; - la tensione orizzontale σ h0 è eguale in tutte le direzioni, non è staticamente determinata, e vale: σ h0 = K 0 σ v0. 5 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

212 Capitolo 3 SPINTA DELLE TERRE Il coefficiente di spinta a riposo, K 0, può essere misurato sperimentalmente o più spesso stimato con formule empiriche. Poiché di norma K 0 è minore di, la tensione verticale σ v0 corrisponde alla tensione principale maggiore σ, mentre la tensione orizzontale σ h0 corrisponde alla tensione principale minore σ 3. Per simmetria assiale la tensione principale intermedia σ è eguale alla tensione principale minore σ 3. Sia la tensione verticale σ v0 che la tensione orizzontale σ h0 valgono zero in superficie (Z=0) e variano linearmente con la profondità Z, rispettivamente con gradiente γ e con gradiente K 0 γ. Assumiamo che il terreno abbia resistenza al taglio definita dal criterio di rottura di Mohr- Coulomb: τ = σ tan φ (Eq. 3.) τ σ h0 σ v0 φ Cerchio O Figura 3. Stato tensionale geostatico nel punto A σ In Figura 3. è rappresentato nel piano di Mohr il cerchio corrispondente allo stato tensionale geostatico nel punto A e la retta inviluppo a rottura. Supponiamo ora di inserire, a sinistra e a destra del punto A, due pareti verticali ideali, cioè tali da non modificare lo stato tensionale nel terreno (Figura 3.3). Alla generica profondità z, sui due lati di ciascuna parete, si esercita la tensione orizzontale efficace σ h0 = K 0 γ z. La spinta orizzontale S 0 (risultante delle tensioni orizzontali efficaci) presente sui due lati di ciascuna parete, dal piano di campagna fino ad una generica profondità H, vale: S H 0 = h0 dz = γ H K 0 0 σ (Eq. 3.) Per la stima del coefficiente di spinta a riposo, K0, sono state proposte diverse equazioni empiriche, come già visto nel Capitolo 3, le più note e utilizzate delle quali sono: per terreni NC: K 0 (NC) ( senφ ) 0, 5 e per terreni OC: K 0 (OC) K 0 (NC) OCR Per avere un idea anche quantitativa dei valori di K 0 si consideri che per φ =30, applicando le equazioni sopra scritte si stima: per OCR = (terreno normalmente consolidato) K 0 0,50 per OCR = (terreno debolmente sovraconsolidato) K 0 0,7 per OCR = 4 (terreno mediamente sovraconsolidato) K 0,00 per OCR = 0 (terreno fortemente sovraconsolidato) K 0,58 ovvero, in un terreno NC la tensione geostatica orizzontale σ h0 è circa la metà di quella verticale, per OCR = 4 lo stato tensionale geostatico è isotropo, mentre per OCR > 4 la tensione geostatica orizzontale σ h0 diviene tensione principale maggiore. 6 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

213 Capitolo 3 SPINTA DELLE TERRE La profondità Z 0 della retta di applicazione di S 0, vale: H σ h0 z dz 0 (Eq. 3.3) Z0 = = H S0 3 che corrisponde alla profondità del baricentro dell area triangolare del diagramma di pressione orizzontale di altezza H e base K 0 γ H. Supponiamo ora di allontanare gradualmente le due pareti (Figura 3.4). Nel punto A permangono condizioni di simmetria, per cui le tensioni verticale ed orizzontali sono ancora principali. La tensione verticale σ v0 = γz non varia, mentre la tensione orizzontale efficace si riduce progressivamente. A σ h0 σ h0 S 0 Z = /3 H 0 H σ ha σ A v0 K 0 γ H K 0γ H Figura 3.3 Spinta a riposo Figura 3.4 Condizione di spinta attiva Il cerchio di Mohr, rappresentativo dello stato tensionale in A, si modifica di conseguenza: la tensione principale maggiore σ = σ v0 rimane costante, mentre la tensione principale minore σ 3 si riduce progressivamente dal valore iniziale σ h0 al valore minimo compatibile con l equilibrio, σ ha, detta tensione limite attiva, che corrisponde alla tensione principale minore del cerchio di Mohr tangente alla retta di inviluppo a rottura (Figura 3.5). Il raggio del cerchio di Mohr dello stato di tensione limite attiva è R = ½ (σ v0 -σ ha ), ed il centro è ad una distanza dall origine OC = ½ (σ v0 +σ ha ). Considerando il triangolo rettangolo OFC (Figura 3.5), si ha: τ τ f F π/4+ ϕ / Cerchio A Cerchio O φ R = FC = OC senφ ( σ σ ) = ( σ + σ ) senφ v0 ha v0 ha O σ σ R C ha h0 σ v0 Figura 3.5 Stato tensionale attivo (limite inferiore) σ 7 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

214 Capitolo 3 SPINTA DELLE TERRE σ ha ( + senφ ) = σ v0 ( senφ ) senφ π φ σ ha = σ v0 = tan σ v0 + senφ 4 Il rapporto: senφ π φ K A = = tan (Eq. 3.4) + senφ 4 è detto coefficiente di spinta attiva. Dunque si può scrivere: σ ha = KA σvo (Eq. 3.5) La tensione tangenziale critica, il cui valore τ f è l ordinata del punto F di tangenza del cerchio di Mohr con la retta di inviluppo a rottura, agisce su un piano che forma un angolo di + con la direzione orizzontale (Figura 3.5).In condizioni di rottura per rag- π φ 4 giungimento dello stato di equilibrio limite inferiore (spinta attiva), il terreno inizia a scorrere lungo questi piani (Figura 3.6). π/4+ φ / σ v0 π/4+ φ / Z A τ f A σ σ ha f Figura 3.6 Piani di scorrimento nella condizione di spinta attiva La spinta orizzontale S A presente sui lati interni di ciascuna parete ideale, dal piano di campagna fino ad una generica profondità H (Figura 3.7), vale: S A H = σ ha dz = γ H 0 K A (Eq. 3.6) A S A σ ha Z = /3 H A H Poiché anche in questo caso il diagramma di pressione orizzontale è triangolare, la profondità Z A della retta di applicazione di S A vale: Figura 3.7 Diagramma delle tensioni efficaci orizzontali in condizione di spinta attiva 8 K A γ H J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

215 Capitolo 3 SPINTA DELLE TERRE Z = H = 3 A Z 0 (Eq. 3.7) Se si suppone ora di avvicinare le due pareti verticali ideali, alla destra ed alla sinistra del punto A, la tensione verticale efficace non subisce variazioni mentre quella orizzontale progressivamente cresce fino al valore massimo compatibile con il criterio di rottura di Mohr-Coulomb (Figura 3.8). In tali condizioni la tensione verticale efficace, corrisponde alla tensione principale minore, σ v0 = σ 3, e quella orizzontale, detta tensione limite passiva, σ hp, alla tensione principale maggiore, σ hp = σ (Figura 3.9). σ hp σ A v0 Procedendo in modo analogo a quanto già fatto per la condizione di spinta attiva, si ottiene: Figura 3.8 Condizione di spinta passiva + senφ σ hp = σ v0 = K P σ vo (Eq. 3.8) senφ Il rapporto: è detto coefficiente di spinta passiva. + senφ π φ K P = = tan + = (Eq. 3.9) senφ 4 K A Le tensioni tangenziali critiche agiscono su piani che formano un ango- φ τ π/4- φ / π φ τf F lo di con la direzione orizzontale (Figura 3.9). In condizioni Cerchio O Cerchio P 4 di rottura per raggiungimento dello stato di equilibrio limite superiore O σ σ C C (spinta passiva), il terreno inizia a h0 v0 σ hp σ scorrere lungo questi piani (Figura Figura 3.9 Stato tensionale passivo (limite superiore) 3.0). La spinta orizzontale S P presente sui lati interni di ciascuna parete ideale dal piano di campagna fino ad una generica profondità H (Figura 3.), vale: S P H = σ hp dz = γ H K P (Eq. 3.0) 0 9 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006) R

216 Capitolo 3 SPINTA DELLE TERRE σ v0 π/4 - φ / π/4 - φ / Z σ hp A τ f A σ f Figura 3.0 Piani di scorrimento nella condizione di spinta passiva σ hp Z = /3 H P S P A H K P γ H Figura 3. Diagramma delle tensioni efficaci orizzontali in condizione di spinta passiva Poiché anche in questo caso il diagramma di pressione orizzontale è triangolare la profondità Z P della retta di applicazione di S P, vale: Z P = H = Z 0 (Eq. 3.) 3 I coefficienti di spinta attiva, K A, e passiva, K P, rappresentano i valori limite, rispettivamente inferiore e superiore, del rapporto tra le tensioni efficaci orizzontale e verticale: σ h K A K P (Eq. 3.) σ v0 In particolare il valore del coefficiente di spinta a riposo, K 0, è compreso tra il valore di K A e quello di K P. Utilizzando per la stima di K0 le equazioni empiriche viste in precedenza si può constatare che i valori di K 0 sono molto più prossimi al limite inferiore K A che al limite superiore K P. A titolo di esempio per φ = 30 si stima: K A = 0,333; K 0 = 0,5; K P = 3 30 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

217 Capitolo 3 SPINTA DELLE TERRE 3.. Osservazioni sperimentali sull effetto del movimento della parete sul diagramma di pressione orizzontale La distribuzione delle pressioni orizzontali dipende dal movimento della parete. In Figura 3. sono qualitativamente mostrati i diagrammi di pressione orizzontale contro una parete rigida in funzione del movimento della parete. Inoltre, è stato sperimentalmente osservato (Tabella 3. e Figura 3.3) che le deformazioni di espansione necessarie per far decadere la pressione orizzontale dal valore σ h0, che corrisponde allo stato indeformato, al valore limite inferiore σ ha, sono piccole, e comunque molto inferiori alle deformazioni di compressione necessarie per far elevare la pressione orizzontale dal valore σ h0, al valore limite superiore σ hp. Pertanto è buona norma riferirsi all angolo di resistenza al taglio di picco per il calcolo della spinta attiva, ed all angolo di resistenza al taglio a volume costante (ovvero per grandi deformazioni) per il calcolo della spinta passiva. 3.. Effetto dell inclinazione della superficie del deposito K K K Passiva Pressione orizzontale Attiva Rotazione rispetto alla testa p a K 0 Passiva Se il deposito di terreno incoerente (c = 0), omogeneo e asciutto, avente peso di volume γ costante con la profondità, è delimitato superiormente da una superficie piana, inclinata di un angolo β < φ rispetto all orizzontale, le tensioni principali non corrispondono più alle tensioni verticale ed orizzontali. Si consideri un concio di terreno di larghezza b e altezza Z, delimitato inferiormente da una superficie parallela al piano campagna e lateralmente da due superfici ideali verticali (Figura 3.4). Per ragioni di simmetria, le risultanti delle tensioni che agiscono sulle due superfici laterali sono due forze S, eguali ed opposte, aventi la stessa retta d azione inclinata dell angolo β sull orizzontale. K Pressione orizzontale Attiva Rotazione rispetto al piede p a K 0 Passiva K Pressione orizzontale Attiva Traslazione uniforme p a K 0 Figura 3. Diagrammi di pressione orizzontale contro una parete rigida. Dipendenza dai movimenti della parete K 3 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

218 Capitolo 3 SPINTA DELLE TERRE Tabella 3.: Entità delle rotazioni della parete per raggiungere la rottura (con riferimento ai simboli di Figura 3.3) Terreno Rotazione Y / H Decompressione (Stato attivo) Compressione (Stato passivo) Incoerente denso 0,00 0,00 Incoerente sciolto 0,004 0,060 Coesivo consistente 0,00 0,00 Coesivo molle 0,00 0,040 Consideriamo l equilibrio del concio: - le forze S si elidono l una con l altra e non intervengono nelle equazioni di equilibrio; - il concio ha peso W = γ Z b; la forza W è verticale; - la base del concio ha lunghezza l = b/cosβ; - la risultante delle tensioni normali alla base del concio vale: N = W cosβ ; - la risultante delle tensioni tangenziali alla base del concio vale: T = W sen β; - la tensione normale alla base del concio vale: σ n =N/l = γ Z cos β; - la tensione tangenziale alla base del concio vale: τ =T/l = γ Z sen β cos β. Rapporto tra pressione orizzontale e verticale, K K a Stato attivo Sabbia sciolta Sabbia compatta Sabbia densa K 0 Rotazione del muro, Y/H K p Sabbia densa Sabbia sciolta Stato passivo Figura 3.3 Effetti del movimento della parete sulla pressione orizzontale esercitata da sabbia Nel piano di Mohr il punto Q di coordinate σ n τ rappresenta la tensione agente sul piano di base del concio, alla profondità Z inclinato dell angolo β rispetto all orizzontale. Il punto Q appartiene ad una retta di equazione τ = σ tan β (Figura 3.5). b β τ S W S Z φ Q β N T τ = γ Z senβcosβ O σ = γ Z cos β n σ l Figura 3.4 Condizione di equilibrio in un semispazio omogeneo, incoerente e a- sciutto delimitato da una superficie piana e inclinata Figura 3.5 Stato di tensione sul piano alla base del concio 3 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

219 Capitolo 3 SPINTA DELLE TERRE Il segmento OQ = γz cos β = σ v0 rappresenta la tensione verticale sul piano alla base del concio. Tutti i cerchi di Mohr passanti per il punto Q e sottostanti alla retta di inviluppo a rottura di equazione τ = σ tanφ rappresentano stati di tensione alla profondità Z compatibili con l equilibrio. Lo stato di tensione limite inferiore (attivo) e lo stato di tensione limite superiore (passivo) alla profondità Z sono rappresentati dai cerchi A e P di Figura 3.6. τ φ Cerchio P Cerchio A P β E Q A B O C σ Figura 3.6 Stati di tensione limite in un deposito di terreno incoerente in pendio I segmenti OA e OP (essendo A e P il polo dei relativi cerchi) sono rispettivamente il valore minimo, in condizioni di spinta attiva, ed il valore massimo, in condizioni di spinta passiva, della tensione, inclinata dell angolo β sull orizzontale, agente sulla superficie verticale alla profondità Z (il piano verticale non è principale, su di esso insistono una tensione normale ed una tensione tangenziale). Le spinte attiva, S A, e passiva, S P, sono le forze limite di equilibrio agenti su una parete verticale e inclinate dell angolo β rispetto all orizzontale, corrispondenti alle rispettive a- ree dei diagrammi di pressione. Si consideri il cerchio A: σ a = OA = OB AB OQ = γ Z cos β = OB + BQ = OB + AB OB AB σ a = γ Z cos β OB + AB OB = OC cos β AC = EC = R = OC senφ BC = OC senβ ( OC senφ ) ( OC senβ ) = OC senφ senβ AB = AC BC = OC cos β OC senφ senβ β σ cos γ Z cos β a = = OC cos β OC senφ senβ + cos β + cos β cos β cosφ = γ Z cos β cos β cos β cosφ + 33 cosφ + cos β γ Z cos β = cosφ + cos β J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

220 Capitolo 3 SPINTA DELLE TERRE Da cui: σ = K σ (Eq. 3.3) a A v0 essendo: cos β cos β cosφ K A = cos β + cos β cosφ (Eq. 3.4) La spinta attiva, dal piano di campagna fino alla profondità Z, è data da: Z SA = γ cos β K A (Eq. 3.5) Analogamente, considerando il cerchio P, si ottiene: σ p = K P σ v0 essendo: (Eq. 3.6) cos β + cos β cosφ K P = cos β cos β cosφ (Eq. 3.7) La spinta passiva dal piano di campagna fino alla profondità Z risulta: Z SP = γ cos β K P (Eq. 3.8) Per la condizione di spinta a riposo, staticamente indeterminata, si assume in genere: = K ( + senβ) = ( senφ) ( + sen ) (Eq. 3.9) K 0,i 0 β 3..3 Effetto della coesione τ O c tan ϕ c F R σ C σ 3 σ + σ 3 Figura 3.7 Stato tensionale di equilibrio limite per un terreno dotato di coesione e di attrito φ σ Se il deposito di terreno asciutto, omogeneo e delimitato da una superficie orizzontale è dotato anche di coesione oltre che di attrito, ovvero ha resistenza al taglio definita dal criterio di rottura di Mohr-Coulomb: τ = c +σ tan φ (Eq. 3.0) la relazioni che legano le tensioni principali per uno stato tensionale di equilibrio limite sono le seguenti (Figura 3.7): π φ π φ σ = tan σ c tan + (Eq. 3.) 4 4 π φ π φ σ = tan 3 σ c tan (Eq. 3.) 4 4 Pertanto, in condizioni di spinta attiva, quando la tensione orizzontale corrisponde alla tensione principale minore e la tensione verticale a quella maggiore, si ha: 34 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

221 Capitolo 3 SPINTA DELLE TERRE π φ π φ σ h,a = γ Z tan c tan = γ Z K A c K A (Eq. 3.3) 4 4 Poiché il terreno non ha resistenza a trazione, l equazione soprascritta è valida per Z > Z c, essendo Z c la profondità critica per la quale risulta σ ha = 0: c Zc = (Eq. 3.4) γ K A mentre per Z < Z c si assume σ h = 0. Per il calcolo della spinta attiva e della profondità di applicazione si fa riferimento al diagramma di Figura In condizioni di spinta passiva, quando la tensione orizzontale corrisponde alla tensione principale maggiore e la tensione verticale a quella minore, si ha: π φ π φ σ h,p = γ Z tan + + c tan + = γ Z K P + c K P (Eq. 3.5) 4 4 Per il calcolo della spinta passiva e della profondità di applicazione si fa riferimento al diagramma di Figura 3.9: S ( Z) = S + S = c K Z + γ Z K (Eq. 3.6) P Z( S P S ) = P, P, P, Z + SP, S ( Z) P 3 P Z P (Eq. 3.7) c K a c K p Z /3 (Z - Z ) C c Z = C γ K a γ w Ζ c S W Z Z/ S P, /3 Z S A S P, σ (Z) ha σ (Z) hp Figura 3.8 Diagramma di spinta attiva in un terreno dotato di coesione e attrito Figura 3.9 Diagramma di spinta passiva in un terreno dotato di coesione e attrito 3 Nella fascia di spessore Z c il terreno sarà interessato da fessure verticali di trazione che possono riempirsi di acqua, ad esempio per la pioggia. Si tiene conto di tale possibilità considerando, per il calcolo della spinta, anche un triangolo di pressione idrostatica di altezza Z c e base γ w Z c. 35 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

222 Capitolo 3 SPINTA DELLE TERRE Nel caso in cui, in presenza di un terreno coesivo, si faccia riferimento a condizioni non drenate (come quelle che possono verificarsi immediatamente dopo l esecuzione di uno scavo o la costruzione di un opera di sostegno), per determinare la spinta attiva e passiva bisogna applicare il criterio di rottura di Mohr-Coulomb (Eq. 3.0) in termini di tensioni totali (ϕ = 0, c = c u ) e la tensione limite attiva e passiva diventano rispettivamente (Figura 3.0): = σ c c u τ σ f σ σ σ ϕ = 0 h,a v0 h,p Figura 3.0 Stati pensionali limite attivo e passivo per un terreno coesivo in condizioni non drenate σ (Eq. 3.8) ha v0 u σ σ = σ + c (Eq. 3.9) hp v0 u 3..4 Terreni stratificati Se il deposito di terreno è costituito da strati orizzontali omogenei, la spinta totale esercitata sulla parete verticale è la somma dei contribuiti di ciascuno strato. Il generico strato i- esimo, di spessore H i, fra le profondità Z i- e Z i, costituto da un terreno avente peso di volume γ i e resistenza al taglio: τ = ci + σ tan φi, eserciterà contro la parete verticale ideale una spinta S i pari all area del diagramma delle pressioni orizzontali nel tratto di sua competenza, applicata alla quota del baricentro di tale area (Figura 3.). σ ha σ hp H H i- σ (Z ) ha i- σ (Z ) hp i- H i i S A,i S P,,i i+ σ (Z ) ha i σ (Z ) hp i Z Figura 3. Spinta attiva e passiva in un terreno a strati orizzontali omogenei 36 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006) Z

223 Capitolo 3 SPINTA DELLE TERRE La tensione verticale agente al tetto dello strato i-esimo, alla profondità Z i-, vale: i i j= σ ( Z ) = γ H (Eq. 3.30) v0 La tensione verticale agente alla base dello strato i-esimo, alla profondità Z i, vale: Il diagramma delle pressioni orizzontali in condizioni di spinta attiva è un trapezio avente: altezza H i, base minore σ Z ) = σ (Z ) K c K 0 ha ( i v0 i A,i i A, i, e base maggiore σ ha ( Zi ) = σ v0 (Zi ) K A,i ci K A, i 0 Poiché il terreno non ha resistenza a trazione: - se i valori di σ ha (Z i- ) e di σ ha (Z i ), calcolati con le formule precedenti, risultano entrambi minori di zero lo strato non esercita alcuna spinta, - se il valore di σ ha (Z i- ), calcolato con la formula precedente, risulta minore di zero per il calcolo della spinta si considera il diagramma di pressione positiva triangolare 4 (ovvero si assume σ ha (Z i- ) = 0). Il diagramma delle pressioni orizzontali in condizioni di spinta passiva è un trapezio a- vente: altezza H i, base minore σ ( Z ) = σ (Z ) K + c K e base maggiore j j σ ( Z ) = σ (Z ) + γ H (Eq. 3.3) v0 i v0 i σ i hp hp i i v0 i P,i i P, i, ( Z ) = σ (Z ) K + c i v0 i P,i i K P, i 3. Teoria di Coulomb (776) Molto prima di Rankine, il problema della determinazione della spinta esercitata dal terreno su un opera di sostegno era stato affrontato dall ingegnere militare francese Coulomb con un metodo basato sull equilibrio delle forze in gioco. Si consideri una parete di altezza H che sostenga un terrapieno di sabbia omogenea e a- sciutta. Per semplicità di esposizione assumiamo, per il momento, le seguenti ipotesi:. assenza di attrito tra parete e terreno,. parete del muro verticale, 3. superficie del terrapieno orizzontale, 4. terreno omogeneo, incoerente e asciutto, con peso di volume γ e resistenza al taglio: τ = σ tanφ 5. superficie di scorrimento piana. 4 In entrambi i casi, nelle zone non compresse in direzione orizzontale si dovrà tenere conto della spinta e- sercitata dall acqua di percolazione. 37 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

224 Capitolo 3 SPINTA DELLE TERRE Per determinare il valore della spinta attiva, P A, limite inferiore dell equilibrio, supponiamo di traslare gradualmente la parete verso l esterno fino a produrre la rottura del terreno. La rottura si manifesta, nell ipotesi di Coulomb, con il distacco di un cuneo di terreno ABC che scorre verso l esterno e verso il basso su una superficie di rottura piana e inclinata di un angolo η sull orizzontale, incognito (Figura 3.). Il cuneo ABC trasla nella posizione A B C. In condizioni di equilibrio limite le forze che agiscono sul cuneo, rappresentate nel poligono delle forze di Figura 3.3, sono: - il peso proprio W = γ H cot η, che agisce in direzione verticale, - la risultante R delle tensioni normali e tangenziali sulla superficie di scorrimento, che è inclinata di un angolo φ rispetto alla normale alla superficie AC, con componente tangente diretta verso l alto, ovvero tale da opporsi al movimento incipiente del cuneo, - e la spinta attiva P A, che agisce in direzione orizzontale per l ipotesi di assenza di attrito tra parete e terreno. H tan η B C P A B C H P A W R η φ W A A η φ R Figura 3. Cuneo di spinta attiva di Coulomb Figura 3.3 Poligono delle forze relativo al cuneo di spinta attiva di Coulomb Per l equilibrio è: PA = W tan( η φ) = γ H cot η tan( η φ ) = f ( η) (Eq. 3.3) Per determinare il valore di η che corrisponde alla condizione di equilibrio limite attivo, η crit, e quindi P A, occorre fare la ricerca di massimo 5 della funzione f(η), che può essere P condotta per via grafica o numerica, imponendo la condizione: A = 0. η 5 Si tratta di una ricerca di massimo (e non di minimo) della funzione f(η), poiché si ricerca il valore di η corrispondente al cuneo critico, ovvero al cuneo che richiede il valore più alto di P A per l equilibrio limite inferiore. Se si immagina, partendo ad esempio dalla condizione a riposo, di ridurre progressivamente la forza P, quando si perviene al valore P A si manifesta la rottura con la formazione del cuneo inclinato dell angolo η crit sull orizzontale. 38 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

225 Capitolo 3 SPINTA DELLE TERRE Così facendo si ricava il valore critico dell angolo η, che risulta: π φ η crit = + (Eq. 3.33) 4 Sostituendo il valore critico di η nell equazione di P A si ottiene infine: π φ PA = γ H tan = γ H K A (Eq. 3.34) 4 L espressione trovata coincide con quella di Rankine. Analogamente, per determinare il valore della spinta passiva, P P, limite superiore dell equilibrio, supponiamo di traslare gradualmente la parete verso l interno fino a produrre la rottura del terreno. La rottura si manifesta, nell ipotesi di Coulomb, con il distacco di un cuneo di terreno ABC che scorre verso l interno e verso l alto su una superficie di rottura piana e inclinata di un angolo η sull orizzontale, incognito (Figura 3.4). Il cuneo ABC trasla nella posizione A B C. In condizioni di equilibrio limite le forze che agiscono sul cuneo, rappresentate nel poligono delle forze di Figura 3.5, sono: H B P P B H tan η W C C W η+φ R A A η φ R P P Figura 3.4 Cuneo di spinta passiva Coulomb 39 Figura 3.5 Poligono delle forze relativo al cuneo di spinta passiva di Coulomb - il peso proprio W = γ H cot η, che agisce in direzione verticale, - la risultante R delle tensioni normali e tangenziali sulla superficie di scorrimento, che è inclinata di un angolo φ rispetto alla normale alla superficie AC, con componente tangente diretta verso il basso, ovvero tale da opporsi al movimento incipiente del cuneo, - e la spinta attiva P P, che agisce in direzione orizzontale per l ipotesi di assenza di attrito tra parete e terreno. Per l equilibrio è: PP = W tan( η + φ) = γ H cot η tan( η + φ ) = f ( η) (Eq. 3.35) J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

226 Capitolo 3 SPINTA DELLE TERRE Per determinare il valore di η che corrisponde alla condizione di equilibrio limite passivo, η crit, e quindi P p, occorre fare la ricerca di minimo della funzione f(η), che può essere P condotta per via grafica o numerica, imponendo la condizione: P = 0. η Così facendo si ricava il valore critico dell angolo η, che risulta: π φ η crit = (Eq. 3.36) 4 Sostituendo il valore critico di η nell equazione di P P si ottiene infine: π φ PP = γ H tan + = γ H K P (Eq. 3.37) 4 L espressione trovata coincide con quella di Rankine. Le ipotesi semplificative inizialmente introdotte, eccetto l ipotesi di superficie di scorrimento piana, possono essere rimosse, a costo di una soluzione analitica più complessa o a costo di rinunciare alla soluzione analitica per una soluzione grafica o numerica. Si considerino, ad esempio gli schemi delle Figure 3.6 e 3.7, che rappresentano i cunei di spinta attiva e passiva nelle seguenti ipotesi: - parete di altezza H inclinata di un angolo λ sulla verticale, H - terrapieno omogeneo e incoerente delimitato da una superficie inclinata di un angolo β sull orizzontale, - presenza di attrito tra parete e terreno, con coefficiente d attrito tanδ, - superficie di scorrimento piana. λ δ φ P A W η Figura 3.6 Cuneo di spinta attiva di Coulomb (terrapieno e parete inclinati,presenza di attrito tra terreno e muro, terreno incoerente) R β β H P P δ λ W φ R η Figura 3.7 Cuneo di spinta passiva di Coulomb (terrapieno e parete inclinati, presenza di attrito tra terreno e muro, terreno incoerente) 40 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

227 Capitolo 3 SPINTA DELLE TERRE Sviluppando il calcolo analitico, con riferimento ai simboli delle figure, si ottiene per la condizione di spinta attiva: PA = γ H K A (Eq. 3.38) cos ( φ λ) K A = sen ( ) ( δ + φ ) sen( φ β ) (Eq. 3.39) cos λ cos λ + δ + cos( λ + δ ) cos( λ β ) e per la condizione di spinta passiva: PP = γ H K P (Eq. 3.40) cos ( φ + λ) K P = sen ( ) ( δ + φ ) sen( φ + β ) cos λ cos λ δ cos( λ δ ) cos( λ β ) (Eq. 3.4) In Figura 3.8 è schematicamente rappresentato il caso per la condizione di spinta attiva nell ipotesi, ancor più generale, di : - parete non verticale, - terreno dotato di coesione e di attrito (τ = c + σ tanφ ), - superficie del terrapieno inclinata, - resistenza per adesione ed attrito all interfaccia parete-terreno (τ = c a + σ tanδ), - fessure di trazione nella fascia superiore di terreno (per la condizione di spinta attiva) 6. La soluzione può essere ricercata per via grafica, con la costruzione di Culmann rappresentata in Figura 3.9, o numerica. β P A D Z c A E R W C a F W C δ P A B η φ R C = c BC C A= c abc C C a Figura 3.8 Cuneo di spinta attiva di Coulomb (terrapieno e parete inclinati,presenza di attrito tra terreno e muro, terreno coesivo)e poligono delle forze 6 Come già detto, nelle fessure di trazione può infiltrarsi acqua di percolazione, per cui è opportuno considerare anche la conseguente spinta idrostatica aggiuntiva. 4 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

228 Capitolo 3 SPINTA DELLE TERRE Z c C Linea di Culmann C a φ C C Poligono delle forze (su una sezione) Figura 3.9 Costruzione di Culmann Diagramma delle forze Per lo spessore della zona di trazione si assume: Z c ca c + c = γ K A La teoria di Coulomb è più versatile della teoria di Rankine, poiché permette di risolvere condizioni geometriche e di carico generali ed è alla base del più diffuso metodo pseudostatico di calcolo della spinta in condizioni sismiche. 3.3 Teoria di Caquot e Kérisel (Eq. 3.4) Sia la teoria di Rankine che quella di Coulomb ipotizzano superfici di scorrimento piane. Tale ipotesi non è verificata a causa dell interazione fra la parete dell opera di sostegno ed il terreno. In Figura 3.30 sono mostrati gli effetti dell attrito parete-terreno sulla forma della superficie di scorrimento, per i casi di: a) A A C π/4 - φ / b) A A C π/4 + φ / H H/3 B δ P P π/+ φ D H P A δ D π/ - φ H/3 Figura 3.30 Effetto dell attrito parete-terreno sulla forma della superficie di scorrimento, nel caso di spinta passiva (a) e attiva (b) B 4 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

229 Capitolo 3 SPINTA DELLE TERRE a) spinta passiva, con movimento del cuneo di terreno verso l interno e verso l alto rispetto al movimento del muro (δ < 0). b) spinta attiva, con movimento del cuneo di terreno verso l esterno e verso il basso rispetto al movimento del muro (δ > 0); I casi a) e b) possono essere confrontati con le soluzioni di Coulomb per la spinta attiva e passiva. La soluzione fu ottenuta per via numerica da Caquot e Kérisel (948) accoppiando le teorie di Rankine e di Boussinesq, ed è riportata in grafici e tabelle in termini di coefficienti di spinta al variare degli angoli di resistenza al taglio φ, di attrito parete-terreno δ, di inclinazione della parete rispetto alla verticale λ, e di inclinazione del piano che delimita il terrapieno rispetto all orizzontale β, con la convenzione sui segni indicata in Figura λ +δ +β Figura 3.3 Convenzione sui segni delle variabili angolari nelle Tabelle di Caquot and Kérisel 3.3. Dipendenza di K A e K P dall angolo δ Il valore di δ non può superare il valore di φ, poiché in tal caso si formerebbe una pellicola di terreno solidale alla parete e lo scorrimento avverrebbe internamente al terreno con coefficiente di attrito tanφ. I coefficienti di spinta K A e K P crescono con continuità da δ = +φ a δ = -φ. Il segno di δ dipende, come abbiamo detto, dal movimento verticale relativo fra la parete e il terreno. In generale: - in condizioni di spinta attiva, il terreno si abbassa rispetto alla parete e δ risulta compreso tra +φ e 0, - in condizioni di spinta passiva, il terreno sale rispetto alla parete e δ risulta compreso tra 0 e -φ. In genere, ma in modo più o meno arbitrario, si assume δ = φ /4 per pareti in muratura o in cemento armato intonacate, e δ compreso tra /3φ e φ / per pareti in muratura o in cemento armato non lisciate. A titolo di esempio in Tabella 3. sono riportati i valori di K A e di K P al variare di δ per φ =30, β = 0 e λ = 0. Si può osservare che in condizioni di spinta attiva il coefficiente K A varia poco, ovvero è poco influenzato dalla rugosità della parete. In condizioni di spinta passiva invece la dipendenza del coefficiente K P da δ è molto sensibile. Tabella 3. - Soluzione di Caquot e Kérisel: Coefficienti di spinta K A e K P al variare di δ per φ =30, β = 0 e λ = 0 δ K A 0,3 0,30 0,30 0,33 K P 6,56 5,5 4,0 3,00 43 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

230 Capitolo 3 SPINTA DELLE TERRE 3.3. Dipendenza di K A e K P dall angolo β Il valore dei coefficienti di spinta sia attiva che passiva cresce con β, poiché aumenta il volume di terreno coinvolto nella rottura. A titolo di esempio in Tabella 3.3 sono riportati i valori di K A e di K P al variare di β per φ =30, λ = 0, δ = φ in condizioni di spinta attiva e δ = -φ in condizioni di spinta passiva. Si osservi che il caso β = +φ = 30 in condizioni di spinta attiva (δ = φ ) corrisponde al caso particolare dell equilibrio limite inferiore di Rankine, poiché la spinta P A risulta parallela alla superficie libera e, analogamente, in condizioni di spinta passiva (δ = -φ ) corrisponde al caso particolare dell equilibrio limite superiore di Rankine. Tabella Soluzione di Caquot e Kérisel: Coefficienti di spinta K A e K P al variare di β per φ =30, λ = 0,, δ = +φ in condizioni di spinta attiva e δ = -φ in condizioni di spinta passiva. β K A 0,3 0,57 0,308 0,409 0,866 K P 0,84,85 6,56,8 6, Dipendenza di K A e K P dall angolo λ In condizioni di spinta attiva, il coefficiente K A si riduce fino ad annullarsi quando π φ l angolo λ decresce gradualmente dal valore λ =, corrispondente all inclinazione 4 π dei piani di scorrimento di Rankine, al valore λ = φ, che corrisponde all angolo di naturale declivio. In condizioni di spinta passiva, il coefficiente K P cresce molto rapidamente quando π φ l angolo λ diminuisce dal valore λ = +, corrispondente all inclinazione dei piani di 4 π scorrimento di Rankine, al valore λ =, che corrisponde ad una fondazione superficiale. A titolo di esempio, in Tabella 3.4 sono riportati i valori dei coefficienti di spinta K A e K P al variare di λ per β = 0, φ = 30, δ = + φ in condizioni di spinta attiva e δ = - φ in condizioni di spinta passiva. Tabella Soluzione di Caquot e Kérisel: coefficienti di spinta K A e K P al variare di λ per φ =30, β = 0, δ = +φ in condizioni di spinta attiva e δ = -φ in condizioni di spinta passiva. λ K A - - 0,5 0,4 0,308 0,03 0,09 0, K P 0,8,65,80 4,4 6,56 9,5 3,6 9, Dipendenza di K A e K P dall angolo φ e dal rapporto δ/φ In Tabella 3.5 sono riportati i valori dei coefficienti di spinta K A (prima riga) e K P (seconda riga) al variare dell angolo di resistenza al taglio φ e del rapporto δ/φ per terrapieno orizzontale (β = 0 ) e parete verticale (λ = 0 ). Come già detto, nella maggior parte dei casi pratici, si assume che il rapporto δ/φ sia positivo in condizioni di spinta attiva e ne- 44 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

231 Capitolo 3 SPINTA DELLE TERRE gativo in condizioni di spinta passiva. Si osserva che al crescere dell angolo di resistenza al taglio φ il coefficiente di spinta attiva K A decresce lentamente, mentre il coefficiente di spinta passiva cresce molto rapidamente. Tabella Soluzione di Caquot e Kérisel: Coefficienti di spinta K A (prima riga) e K P (seconda riga) al variare dell angolo di resistenza al taglio φ e del rapporto δ/φ per terrapieno orizzontale (β = 0 ) e parete verticale (λ = 0 ) φ δ 0,8 0,65 0,53 0,44 0,37 0,3 0,6 0, 0,9 0,6 =,6,66,0 3,04 4,6 6,56 0,7 8, 35,0 75,0 φ δ 0,8 0,66 0,54 0,44 0,36 0,30 0,5 0,0 0,6 0,3 =,4,59,06,7 3,6 5,5 8,00,8,0 4,0 φ 3 δ 0,8 0,67 0,56 0,45 0,37 0,30 0,5 0,0 0,6 0,3 =,,5,89,38 3,03 4,0 5,55 8,0,0 9,0 φ 3 δ 0,84 0,70 0,59 0,49 0,4 0,33 0,7 0, 0,7 0,3 = 0,9,4,70,04,46 3,00 3,70 4,60 5,80 7,50 φ Confronto con la soluzione di Coulomb Il metodo di Coulomb ipotizza e impone la forma della superficie di scorrimento piana. Pertanto i valori di P A e di P P, rispettivamente ottenuti dalle condizioni di massimo e di minimo, limitatamente alla forma imposta della superficie di scorrimento, non sono il massimo ed il minimo assoluti, ovvero per qualunque ipotetica forma della superficie di scorrimento. Pertanto i valori dei coefficienti di spinta attiva che si stimano con il metodo di Coulomb sono sempre inferiori ai valori stimati con il metodo di Caquot e Kérisel, che ipotizza una superficie di scorrimento curvilinea, e analogamente i valori dei coefficienti di spinta passiva che si stimano con il metodo di Coulomb sono sempre superiori ai valori stimati con il metodo di Caquot e Kérisel. Le differenze minori si osservano proprio quando risulta minore la differenza fra le superfici ipotizzate. Nel caso di spinta attiva, nella maggior parte dei casi pratici, ovvero per β, λ e δ positivi, le differenze sono modeste. Nel caso di spinta passiva invece le differenze possono essere molto sensibili, e poiché in genere la spinta passiva è una forza resistente, non è cautelativo calcolarla con il metodo di Coulomb. Inoltre, come già fatto osservare, poiché le deformazioni necessarie per mobilitare la spinta passiva sono molto grandi, il valore di progetto dell angolo di resistenza al taglio non è, come nel caso di spinta attiva, il valore di picco, ma piuttosto il valore critico, a volume costante. 3.4 Spinta dovuta all acqua interstiziale in pressione (pressione interstiziale) Le teorie sulla spinta delle terre che abbiamo esaminato si riferiscono a terreni asciutti o comunque non sotto falda e quindi con acqua nei pori non in pressione (si ricorda che convenzionalmente e per semplicità si assume in genere che l acqua nei pori possa avere 45 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

232 Capitolo 3 SPINTA DELLE TERRE pressione solo positiva, ovvero maggiore della pressione atmosferica. Si assume che l acqua presente nei terreni sopra falda sia a pressione zero). Se un terreno è anche solo parzialmente sotto falda, la spinta totale esercitata contro una parete sarà somma di due forze: la prima forza è la spinta esercitata dal terreno, valutata con le formule sopra citate, utilizzando le tensioni verticali efficaci 7, la seconda forza è la spinta esercitata dall acqua interstiziale. Quest ultima si calcola integrando il diagramma delle pressioni interstiziali. La presenza di acqua in pressione contro una parete di sostegno del terreno determina un forte incremento della spinta totale, pertanto, ove possibile, è sempre opportuno realizzare opere di drenaggio a tergo dell opera allo scopo di abbattere il livello di falda. Z w (Z + Z) w Z 3 Nel caso particolare, ma frequente, di falda freatica alla profondità Z w (Figura 3.3) si ottiene: u (Z) = 0 per Z < Z w S w γ w(z-z w) Figura 3.3 Spinta idrostatica u(z) per = γ w (Z Z Z Z w w ) S ( ) w (Z) = γ w Z Zw (Eq. 3.43) Z(Sw ) = Z (Z Zw ) = (Z + Zw ) (Eq. 3.44) 3 3 Se vi è differenza tra il livello dell acqua a monte e a valle dell opera di sostegno, e vi è filtrazione sotto e intorno alla parete, la pressione interstiziale dovrebbe essere determinata in base al reticolo idrodinamico, come descritto nel Capitolo 4. Tuttavia, nel caso di terreno omogeneo, un approccio ragionevole e semplificato consiste nell assumere che il carico idraulico vari linearmente come mostrato in Figura La differenza di carico piezometrico tra monte e valle è: h = (h + k j), il percorso di filtrazione è L = (h + d j) + (d k) = (h + d j k), il gradiente idraulico è: i = h/l = (h + k j) / (h + d j k) (Eq. 3.45) 7 Le tensioni verticali efficaci, per il principio delle tensioni efficaci, si ottengono sottraendo le tensioni interstiziali alle tensioni verticali totali. 46 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

233 Capitolo 3 SPINTA DELLE TERRE j h k d Percorso di filtrazione u b u b Pressione dell acqua totale Pressione dell acqua netta Figura 3.33 Schema semplificato della pressione dell acqua su una parete in presenza di filtrazione Nel tratto di monte del percorso la filtrazione è discendente e comporta una riduzione della pressione interstiziale rispetto alla condizione idrostatica. Nel tratto di valle la filtrazione è ascendente e comporta un aumento della pressione interstiziale rispetto alla condizione idrostatica. Al piede della parete (supponendo che il suo spessore sia trascurabile rispetto alla lunghezza del percorso di filtrazione) la pressione interstiziale vale: u = γ (h + d j) ( i) = γ (d k) ( i) (Eq. 3.46) b w w Incremento della spinta attiva dovuta a carichi applicati sul terrapieno 3.5. Pressione verticale uniforme ed infinitamente estesa sulla superficie del deposito. Una pressione q verticale, uniforme ed infinitamente estesa sulla superficie di un deposito delimitato da un piano orizzontale produce in ogni punto del semispazio un incremento costante della tensione verticale σ v0 = q ed un incremento costante della tensione orizzontale σ h = K q (Figura 3.34), avendo indicato con K il coefficiente di spinta che, a seconda dello stato di deformazione orizzontale, assume valori compresi tra K A e K P. Ne consegue che: - le tensioni verticale ed orizzontali continuano ad essere le tensioni principali, - il diagramma delle tensioni orizzontali è trapezio, - la spinta orizzontale S presente su una parete ideale dal piano di campagna fino ad una generica profondità H, è l area del diagramma di pressione orizzontale e può essere 47 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

234 Capitolo 3 SPINTA DELLE TERRE calcolata come somma dell area rettangolare di base Kq e altezza H, e dell area triangolare di base K γ H e altezza H: S = S(q) + S( γ) = K q H + K γ H (Eq..47) - la profondità della retta di applicazione della componente S(q) è H/, la profondità della retta di applicazione di S(γ) è H/3, dunque la profondità della retta di azione di S è: H S(q) + S( γ) H Z(S) 3 (Eq..48) = S q q σ v0 σ h q γ Z K q Κ γ Z Z Figura 3.34 Effetto di una pressione verticale uniforme ed infinitamente estesa Z 3.5. Carichi concentrati sulla superficie del deposito Se, in condizioni di spinta attiva, sulla superficie del deposito delimitato da un piano orizzontale agiscono carichi che possono essere schematizzati come puntuali o come distribuiti su una linea parallela al muro, di intensità piccola (minore del 30%) rispetto alla spinta attiva, l incremento di pressione orizzontale può essere valutato con le formule indicate in Figura 3.35, ottenute da Terzaghi (954) modificando empiricamente le equazioni di Boussinesq. Se i carichi sono molto elevati o hanno una diversa distribuzione, occorre utilizzare il metodo del cuneo di Coulomb. 3.6 Effetto del costipamento meccanico del terrapieno Molto spesso, ad esempio per la costruzione di strade, il terrapieno retrostante un opera di sostegno è costituito da un terreno incoerente asciutto, messo in opera in strati successivi, costipati con rullo compressore per aumentarne la densità e quindi la rigidezza e la resistenza. Tale tecnica produce uno stato di coazione nel terreno ed un conseguente aumento delle pressioni orizzontali nella condizione di spinta attiva. Se l azione esercitata dal rullo compressore può essere schematizzata con un carico di intensità p distribuito lungo una linea parallela alla parete, e se il terreno viene messo in o- pera in strati di piccolo spessore, per tenere conto dell effetto di costipamento, si può as- 48 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

235 Capitolo 3 SPINTA DELLE TERRE sumere come diagramma di pressione orizzontale sul muro quello indicato in Figura Valori di n = z/h Carico lineare Carico puntiforme Valori di σ (H/Q ) h L Valori di σ h (H /Q ) P Carico lineare Q L Per Carico puntiforme Q P Per Per Risultante Per Diagramma delle pressioni relativo al caso di carico lineare Q L (equazione di Boussinesq modificata sperimentalmente) La profondità critica è: Sezione a - a Diagramma delle pressioni relativo al caso di carico puntiforme Q P (equazione di Boussinesq modificata sperimentalmente) Figura 3.35 Pressioni orizzontali su una parete in condizioni di spinta attiva dovute a carichi concentrati sulla superficie orizzontale del terrapieno p Zc = K A (Eq. 3.49) π γ 49 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

236 Capitolo 3 SPINTA DELLE TERRE Il valore del carico p, dipende dai mezzi impiegati per il costipamento, e in particolare dal peso statico e dalle dimensioni del rullo, e dalla eventuale azione vibratoria che si assume equivalente ad un incremento di peso. Z c σ h σ = K σ hp P v h c σ = K σ Z Figura 3.36 Effetto del costipamento sul diagramma di spinta attiva ha A v 50 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

237 Capitolo 4 OPERE DI SOSTEGNO CAPITOLO 4 OPERE DI SOSTEGNO 4. Introduzione Esiste una grande varietà di strutture utilizzate per sostenere il terreno e/o l acqua sia per lavori temporanei che per opere definitive. In questa sede esamineremo brevemente gli usuali criteri di dimensionamento, progettazione e verifica geotecnica di:. opere di sostegno a gravità (muri, gabbionate, crib walls) e in cemento armato (muri a mensola, muri a contrafforti e speroni);. terra armata; 3. paratie (palancole e diaframmi); 4. strutture di sostegno di scavi e trincee. La principale differenza fra i muri (di ogni tipo) e le paratie, consiste nel meccanismo di trasmissione, attraverso l opera di sostegno, della spinta esercitata dal terreno sostenuto al terreno di fondazione. Nel primo caso la trasmissione avviene attraverso la struttura di fondazione dell opera di sostegno. Nel secondo caso essa è assicurata dal prolungamento della parete nel terreno di fondazione, e dal sistema equilibrato di spinte e contro spinte che viene a determinarsi. Un altra importante differenza consiste nel fatto che il terreno sostenuto dai muri è di riporto, mentre il terreno sostenuto dalle paratie è spesso il terreno naturale. Inoltre i muri di sostegno sono in genere opere definitive, mentre le paratie, e specialmente le palancole, sono spesso opere provvisionali. 4. Muri di sostegno I muri di sostegno hanno lo scopo di prevenire lo smottamento di pendii naturali ripidi o di assicurare la stabilità di pendii artificiali sagomati con pendenze superiori alla pendenza di equilibrio naturale. Da questo punto di vista si distinguono (Figura 4.): - i muri di sostegno in sterro o di controripa, che consentono di formare una piattaforma a valle, e - i muri di sostegno in rilevato o di sottoscarpa, che consentono di formare una piattaforma a monte. a) Terreno di riempimento b) Piattaforma Terrazzamento provvisorio Piattaforma Figura 4.: Muri in sterro (a) e in rilevato (b) Terreno di riempimento Terrazzamento provvisorio 5 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

238 Capitolo 4 OPERE DI SOSTEGNO In entrambi i casi, occorre prima procedere ad uno sbancamento, per liberare lo spazio ove costruire il muro, poi costruire il muro propriamente detto, e infine porre in opera il terreno di riempimento a tergo con le eventuali opere di drenaggio. La realizzazione di un muro di sostegno modifica le condizioni di equilibrio generale del pendio, e tali modifiche possono condurre ad una instabilità generale o localizzata. Nel caso dei muri in sterro, può determinarsi la rottura localizzata del ripido pendio a monte che si crea con i lavori di sbancamento preliminari. Per limitare tale rischio è opportuno prevedere una realizzazione per brevi tratti. Nel caso dei muri in rilevato può esservi il rischio di una rottura generale profonda o superficiale del pendio dovuta al sovraccarico costituito dal peso del terreno di riporto messo in opera (Figura 4.). Le verifiche di stabilità dell insieme muro-terreno sono eseguite con i metodi illustrati al Capitolo 8 ( Stabilità dei pendii ). a) b) Sovraccarico Sovraccarico Scavo Terreno a minore resistenza Figura 4.: Rotture di pendio conseguenti alla realizzazione di un muro di sostegno: profonda (a) e superficiale (b) Oltre alle verifiche di stabilità generale del pendio in cui è inserito il muro, per la progettazione di un muro di sostegno devono essere effettuate le verifiche: - al ribaltamento, - allo slittamento, - di capacità portante. Nello schema di Figura 4.3 è rappresentato un generico muro di sostegno e le forze risultanti che agiscono su di esso: W = peso del muro e del terreno che grava sulla fondazione, P a = spinta esercitata dal terreno a monte (compresa l eventuale spinta dell acqua), P p = spinta esercitata dal terreno a valle (da trascurare, di norma, nelle verifiche di sicurezza), Figura Schema di muro di sostegno e delle forze agenti su di esso. N = componente normale della reazione di appoggio, F = componente tangenziale della reazione di appoggio, 5 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

239 Capitolo 4 OPERE DI SOSTEGNO La normativa italiana vigente (D.M. /03/988) richiede: per la verifica al ribaltamento che il coefficiente di sicurezza, definito dal rapporto tra il momento delle forze stabilizzanti (W) e quello delle forze ribaltanti (P a ) rispetto al bordo anteriore alla base (O), non risulti minore di,5; per la verifica allo slittamento che il coefficiente di sicurezza, definito dal rapporto tra la somma delle forze resistenti nella direzione dello scorrimento (F max ) e la somma delle componenti nella stessa direzione delle azioni sul muro (P a,h ) non risulti minore di,3; per la verifica di capacità portante che il coefficiente di sicurezza rispetto alla rottura della fondazione del muro, tenendo conto dell inclinazione e dell eccentricità della risultante delle forze trasmesse dal muro al terreno di fondazione (N, F), non risulti minore di,0. Il calcolo di capacità portante della fondazione del muro sarà eseguito con i metodi illustrati al Capitolo 5 ( Capacità portante delle fondazioni superficiali ). Nel caso di fondazione su pali la verifica deve soddisfare i criteri esposti al Capitolo 7 ( Capacità portante delle fondazioni profonde ). In Figura 4.4 sono rappresentati i più comuni tipi di muri di sostegno a gravità ed in cemento armato, la loro geometria e le loro proporzioni. I muri di sostegno a gravità (Figura 4.4a) resistono alla spinta esercitata dal terreno e- sclusivamente in virtù del proprio peso. Essi sono realizzati con muratura di mattoni o di pietrame, o in calcestruzzo. Affinché ogni sezione orizzontale del muro sia interamente compressa è necessario che, ad ogni quota, la risultante del peso e della spinta del terreno sia interna al nocciolo d inerzia. Si tratta pertanto di strutture tozze, la cui altezza massima supera raramente i 3,5m, poiché per altezze maggiori non sono economicamente convenienti. I muri di sostegno a mensola (Figura 4.4b) e a contrafforti e speroni (Figura 4.4c) sfruttano anche il peso del terreno che grava sulla fondazione per la stabilità al ribaltamento ed alla traslazione orizzontale. Le diverse parti della struttura (fondazione e pareti) sono armate in modo da resistere anche a flessione e taglio. I muri a mensola sono più semplici da realizzare, come carpenteria e armatura, ma poiché sono costituiti da tre mensole convergenti in un nodo, i momenti flettenti di incastro crescono molto rapidamente con l altezza del muro. I muri a contrafforti e speroni, essendo strutture scatolari, composte da lastre incastrate su tre lati, consentono un migliore sfruttamento dei materiali e sono quindi preferiti per i muri di grande altezza, ma richiedono molto più lavoro di carpenteria e di armatura. Per ridurre l intensità della spinta, ed in particolare della sua componente orizzontale, è opportuno utilizzare terreni di riempimento sabbiosi e ghiaiosi, caratterizzati da un alto valore dell angolo di resistenza al taglio. Si ricorda che il momento alla sezione di incastro di una trave a mensola di luce l soggetta ad un carico triangolare con valore massimo p=γl all incastro vale M i = γ l 3 /6. 53 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

240 Capitolo 4 OPERE DI SOSTEGNO a) b) D sufficientemente grande da tenere in conto gli effetti di congelamento c) Figura Geometria e proporzioni usuali dei muri di sostegno: a gravità (a), a mensola (b), a contraffortie speroni (c). Per limitare l influenza sulla spinta del terreno naturale in sito dietro il muro ed il suo riempimento, il pendio che si realizza con lo sbancamento deve avere debole pendenza. Per ridurre, e possibilmente eliminare, la spinta esercitata dall acqua è necessario prevedere un efficace sistema di drenaggio dietro l opera di sostegno. I sistemi di drenaggio più utilizzati sono (Figura 4.5): - fori di drenaggio, di 0 5 cm di diametro e interasse 4 m, muniti di rete reps o di filtro, disposti a quinconce su tutta l altezza del muro, con maggiore densità nella parte inferiore; - materiali drenanti messi in opera dietro il muro, sia verticalmente a contatto diretto con la parete, sia come tappeti drenanti messi in opera sul pendio di terreno naturale prima del riempimento, in modo da abbattere la superficie di falda. Le acque di drenaggio che attraversano il muro possono essere convogliate in una canaletta al piede. 54 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

241 Capitolo 4 OPERE DI SOSTEGNO In casi particolarmente difficili può essere necessario il drenaggio del pendio a monte con un sistema di dreni sub-orizzontali. Il sistema drenante può essere ulteriormente migliorato con l inerbimento del pendio, che riduce l acqua di infiltrazione, e con la messa in opera di opportune specie vegetali a radici profonde che, per suzione, riducono il contenuto in acqua del terreno. Fori di drenaggio Terreno di riempimento Materiale drenante Terreno di riempimento Tappeto drenante Canaletta al piede Argilla Argilla Figura 4.5: Sistemi di drenaggio dietro i muri di sostegno. 4.3 Gabbionate e crib-walls Le gabbionate e i crib-walls sono particolari muri di sostegno a gravità. Le gabbionate sono costituite da elementi indipendenti (gabbioni), affiancati e appoggiati l uno sull altro (Figura 4.6). I gabbioni sono parallelepipedi di rete metallica, di norma di dimensioni xx m, riempiti in sito di pietrame, ciottoli e ghiaia pulita (Figura 4.7). Terreno di riempimento Terreno naturale Figura 4.6: Schemi di gabbionate Figura Involucro di un gabbione La costruzione e la messa in opera delle gabbionate è semplice e rapida. Un opera di sostegno in gabbioni ha il vantaggio di essere molto flessibile, adattandosi senza danno a movimenti verticali e orizzontali, e molto permeabile. Tali caratteristi- 55 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

242 Capitolo 4 OPERE DI SOSTEGNO che rendono le gabbionate particolarmente utili per la stabilizzazione dei pendii in frana e per le opere di difesa dall erosione delle sponde dei corsi d acqua e delle coste. L economia della struttura dipende dal costo di approvvigionamento del materiale di riempimento. I crib-walls sono muri a cassone, ottenuti assemblando elementi prefabbricati in cemento armato (Figura 4.8). I cassoni sono riempiti con terreno incoerente e drenante (toutvenant di fiume o di cava), compattato a strati successivi. Gli elementi prefabbricati possono avere forma diversa (Figura 4.9). a) Terreno di riempimento b) c) Figura 4.8: Schema di crib-wall Figura 4.9: Tipi di elementi prefabbricati per crib-walls: a) a doppia faccia; b) a coda di rondine; c) di tipo chiuso 4.4 Terra armata La terra armata (Figura 4.0) è un materiale composito che deriva dall associazione di terreno e di armature. L attrito fra terreno e armature limita le deformazioni orizzontali dell ammasso e conferisce al terreno una sorta di coesione. Un paramento verticale sulla faccia esterna dell ammasso sostiene il terreno, che altrimenti scorrerebbe tra le armature. Esso ha solo funzione di sostegno locale del terreno, ma non interviene nella stabilità generale dell ammasso. I materiali costituenti la terra armata sono: o il terreno, che deve essere caratterizzato da un coefficiente d attrito con le armature generalmente non inferiore a 0,35. A tal fine devono essere esclusi i terreni argillosi (con percentuale di fine superiore al 5%) e quelli organici, ed occorre verificare che non vi siano agenti aggressivi per le armature e/o per le pareti. Il terreno è messo in 56 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

243 Capitolo 4 OPERE DI SOSTEGNO opera per strati orizzontali successivi compattati di spessore dell ordine di 30 cm; o le armature, che devono essere flessibili, resistenti a trazione, con elevato coefficiente d attrito e non corrodibili. Spesso consistono in strisce d acciaio, galvanizzato o inossidabile, o di lega d alluminio, di larghezza compresa tra 4 e cm. Sono anche utilizzate, come armature, le geogriglie estruse in HDPE. Le armature sono poste perpendicolari ed agganciate al paramento, e disposte orizzontalmente sullo strato di terreno compattato in opera; o il paramento verticale, che costituisce la parte a vista del muro, e deve potersi adattare alle deformazioni dell ammasso. A tal fine sono utilizzati profilati metallici d acciaio galvanizzato o d alluminio, a sezione sottile di forma semi ellittica, o bullonati fra loro e con le armature, oppure pannelli prefabbricati di calcestruzzo, di dimensioni,5 x,5 m, incernierati l uno con l altro, in modo da poter subire senza danno sensibili movimenti. O anche casseri in rete elettro-saldata e geogriglie, con inerbimento del paramento stesso, al fine di ridurre l impatto visivo e ambientale dell opera. È stato sperimentalmente verificato che lo sforzo di trazione, T, nelle armature presenta un massimo in prossimità del paramento esterno, e che è possibile individuare due zone: Zona attiva Zona resistente Armature Paramento esterno Terreno di riempimento Terreno Spaziatura RIPARTIZIONE DEGLI SFORZI DI TRAZIONE Lunghezza Larghezza Figura 4.0: Schema di terra armata - la zona attiva, prossima al paramento, in cui le tensioni tangenziali sono dirette verso il paramento e il terreno tende a trascinare le armature; e - la zona resistente, più distante dal paramento e maggiormente estesa, in cui le tensioni tangenziali sono dirette verso l interno ed il terreno tende a trattenere le armature. Per il calcolo delle strutture in terra armata si fa riferimento allo schema di Figura 4.. Si assume che la pressione orizzontale vari linearmente con la profondità (Figura 4.a). Le corrispondenti forze di trazione nelle armature sono calcolate come indicato in Figura 4.b. 57 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

244 Capitolo 4 OPERE DI SOSTEGNO φ 45 + Superficie potenziale di scorrimento dove strato di base H i Figura 4.. Schema di calcolo di un muro in terra armata La lunghezza delle armature deve essere tale che la porzione oltre la superficie di scorrimento potenziale sia sufficiente a garantire l ancoraggio con un adeguato coefficiente di sicurezza, la sezione delle armature deve essere dimensionata in base alla resistenza a trazione del materiale costituente. In genere la lunghezza delle armature è dell ordine di 0,8 volte l altezza dell opera. Per la stabilità di insieme devono essere eseguite le stesse verifiche dei muri di sostegno. La terra armata è utilizzata non solo come opera di sostegno ma anche per la stabilizza- 58 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

245 Capitolo 4 OPERE DI SOSTEGNO zione dei pendii in frana, per la realizzazione di rilevati e argini, etc.. Le opere in terra armata, che possono anche raggiungere altezze elevate, sono caratterizzate da una grande deformabilità e sono quindi idonee a sopportare senza danno cedimenti assoluti e differenziali. 4.5 Paratie Le paratie sono pareti verticali parzialmente o interamente immerse nel terreno, che possono avere funzione idraulica, di sostegno del terreno, di fondazione profonda, o mista. In questo paragrafo ci occuperemo di paratie con funzione di sostegno del terreno. Le paratie con funzione di sostegno del terreno sono pareti verticali immorsate nel terreno, con quota diversa ai due lati della parete. Tale differenza di quota può essere dovuta ad uno scavo o ad un riporto. Nel primo caso la struttura è interamente a contatto con terreno naturale, nel secondo caso il terreno di fondazione è naturale e quello sostenuto è di riporto. Il meccanismo di funzionamento delle paratie si basa sul fatto che l intensità della pressione mutua di contatto fra la parete e il terreno dipende dal movimento della parete, e quindi dalle conseguenti deformazioni del terreno, come abbiamo visto al Capitolo 3 ( Spinta delle terre ). In condizioni di equilibrio, le azioni orizzontali, a monte e a valle della struttura, hanno risultante di eguale intensità, verso opposto, e stessa retta d azione. Nella risultante vanno comprese le eventuali forze concentrate trasmesse da vincoli, come tiranti di ancoraggio o puntoni (Figura 4.). I movimenti e la deformazione della parete, e di conseguenza le tensioni orizzontali mutue, dipendono dalla rigidezza relativa della struttura, e dovrebbero essere determinati mediante un analisi di interazione terreno-struttura. Tuttavia, nella progettazione corrente, si utilizzano metodi all equilibrio limite, ipotizzando note le distribuzioni di pressione. Nel termine paratie si comprendono le palancole e i diaframmi, strutture che possono differire molto fra loro sia come materiale costituente, sia come tecnica di messa in opera, sia come geometria, ma che hanno in comune il meccanismo di funzionamento. Le palancole sono strutture permanenti o provvisorie, messe in opera a percussione o a vibro-infissione, con battipalo. Possono essere di legno, di cemento armato 3, o più frequentemente d acciaio. Le palancole d acciaio hanno resistenza elevata, peso ridotto, possono essere facilmente trasportate e movimentate in opera, possono essere rimosse, recuperate e riutilizzate, hanno elevata durabilità anche sotto falda, e possono essere facilmente collegate fra loro, in orizzontale, per saldatura. Le palancole di legno non sono più usate ma possono incontrarsi nei lavori di restauro 3 Le palancole in cemento armato sono usate solo per altezze modeste a causa del peso e delle dimensioni elevate 59 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

246 Capitolo 4 OPERE DI SOSTEGNO In Figura 4. sono riportate le sezioni tipo delle palancole in acciaio NKSP, e in Tabella 4. sono raffigurati gli schemi di accoppiamento e le caratteristiche geometriche e inerziali. I diaframmi utilizzati come opere di sostegno delle terre 4 sono pareti in c.a. realizzate con pali accostati, pali intersecantisi o con pannelli, che possono raggiungere elevate profondità. L uso dei diaframmi consente di ridurre al minimo i volumi di scavo e le aree di lavoro, per cui sono spesso impiegati in ambiente urbano. Per limitare la flessibilità della struttura sono spesso vincolati al terreno con tiranti di ancoraggio, anche a più livelli, o con puntelli provvisori, che sono poi sostituiti, nella loro funzione, dai solai della struttura definitiva. Talvolta, per aumentarne la rigidezza flessionale, i diaframmi sono ottenuti accostando elementi con sezione a T o ad H. Più raramente sono precompressi in opera. Figura 4. - Sezioni tipo di palancole metalliche NKSP. I diaframmi a pali secanti sono composti da pali trivellati di diametro φ compreso tra 60 e 80 cm, e interasse i tra 50 e 60 cm. Sono prima realizzati i pali pari (o dispari), non armati, e successivamente i pali dispari (o pari) che intersecano i pali già gettati e sono dotati di armatura metallica. I diaframmi di pali sono un ripiego rispetto ai diaframmi a pannelli, giustificato talvolta da ragioni di costo, sia perché hanno spessore variabile e non buona disposizione delle armature, sia perché a causa degli errori di verticalità nella messa in opera, alcuni pali possono svergolare dalla parete rendendola meno resistente e più permeabile. I diaframmi lineari sono costituiti da pannelli le cui dimensioni usuali sono: spessore S compreso tra 50 e 0 cm, lunghezza L compresa tra 00 e 600 cm. 4 I diaframmi con funzione idraulica (ad es. come taglioni impermeabili di argini e dighe in terra, o a protezione dall inquinamento della falda, oppure filtri permeabili di depurazione delle acque, etc..) sono realizzati con materiali diversi. 60 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

247 Capitolo 4 OPERE DI SOSTEGNO Tabella 4. - Schemi di accoppiamento e caratteristiche geometriche e inerziali di palancole metalliche NKSP. Le fasi esecutive per la realizzazione di diaframmi a pannelli lineari sono: i. scavo dei pannelli pari (o dispari) a sezione obbligata in profondità con benna mordente e/o con idrofresa, previa stabilizzazione delle pareti con fango bentonitico; ii. posa in opera della gabbia di armatura preassemblata e di eventuali casseri recuperabili per la formazione di giunti; 6 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

248 Capitolo 4 OPERE DI SOSTEGNO iii. iv. getto del calcestruzzo nello scavo, dal basso verso l alto (sistema contractor), che si sostituisce al fango bentonitico: ripetizione delle operazioni per i pannelli dispari (o pari). I metodi all equilibrio limite per il calcolo delle paratie assumono le seguenti ipotesi semplificative sulla spinta del terreno:. legame pressioni-spostamenti di tipo rigido-plastico (con spostamenti infinitesimi sono raggiunti gli stati di tensione limite attivo o passivo);. il valore delle pressioni attive e passive è indipendente dalle modalità con cui la parete si muove e dalla sua deformabilità; 3. la distribuzione delle pressioni è lineare e il suo valore può determinarsi mediante i coefficienti di spinta attiva e passiva Metodo convenzionale di calcolo di paratie a sbalzo Con riferimento agli schemi di Figura 4.3a e 4.3b, nei quali sono rappresentati rispettivamente la geometria di una paratia a sbalzo in terreno omogeneo, incoerente e a- sciutto, e l andamento dei diagrammi limite di pressione attiva e passiva a monte e a valle della paratia, il problema è staticamente determinato, poiché si hanno: incognite: - la profondità di infissione D - la profondità d del punto di spostamento nullo, O e equazioni di equilibrio: - alla traslazione orizzontale - alla rotazione. Talora, per semplificare ulteriormente il calcolo, poiché il punto O è prossimo alla base, si fa riferimento allo schema di Figura 4.3b trascurando il momento di trasporto. Si calcola in tal modo il valore di d con un unica equazione di equilibrio alla rotazione rispetto al punto O, e si assume D=,d. Il coefficiente di spinta passiva è diviso per il coefficiente di sicurezza, il cui valore è assunto di norma pari a. Lo schema di calcolo delle paratie a sbalzo, illustrato per semplicità di esposizione con riferimento ad un terreno omogeneo, incoerente e asciutto, può essere esteso a differenti condizioni geotecniche, anche con terreni stratificati, in presenza di falda e di filtrazione. La procedura generale, in un calcolo di progetto, consiste nel determinare i diagrammi limite di pressione attiva e passiva, quest ultima ridotta dall applicazione del coefficiente di sicurezza, nonché della pressione dell acqua, a monte e a valle della paratia, e successivamente, imponendo le condizioni di equilibrio alla traslazione orizzontale e alla rotazione, ricavare la profondità di infissione e la profondità del punto di spostamento nullo. In un calcolo di verifica, la profondità di infissione è nota, e le incognite del problema sono la profondità del punto di spostamento nullo ed il coefficiente di sicurezza. 6 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

249 Capitolo 4 OPERE DI SOSTEGNO Figura 4.3: Analisi di stabilità di un diaframma a mensola in terreno incoerente, omogeneo e asciutto, e relativi diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione Per il calcolo di paratie a sbalzo in argilla satura, occorre considerare le condizioni iniziali, non drenate, a breve termine, e le condizioni finali, drenate, a lungo termine. Nel primo caso si assume che la resistenza al taglio del terreno valga: τ f = cu, per cui le tensioni orizzontali limite (totali) attiva e passiva, valgono rispettivamente: σ a = σ v c u 0, e σ p = σ v + c u. Il coefficiente di sicurezza può essere applicato al valore della resistenza al taglio disponibile, c u. A titolo di esempio in Figura 4.4 sono riportati i diagrammi di tensione netta (risultante della tensione attiva e passiva) per paratie a sbalzo in terreno di fondazione coesivo saturo e riempimento granulare (Figura 4.4a) e in terreno omogeneo coesivo saturo (Figura 4.4b). I diagrammi di pressione teorici, che derivano dall applicazione stretta dell ipotesi di comportamento rigido-plastico del terreno, sono poco verosimili, poiché implicano improvvise inversioni di segno della pressione orizzontale. Per rendere più realistici i diagrammi di spinta si possono utilizzare linee di raccordo inclinate, come nei procedimenti nel seguito descritti. 63 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

250 Capitolo 4 OPERE DI SOSTEGNO Linea di dragaggio Riempimento granulare Argilla Argilla Argilla Figura 4.4: Diagrammi di spinta netta a breve termine per paratie a sbalzo in terreno di fondazione coesivo saturo e riempimento granulare (a) e in terreno omogeneo coesivo saturo (b) Metodo di calcolo di palancola a sbalzo in terreno granulare L analisi è basata sulla distribuzione di pressione mostrata in Figura 4.5, per un terreno granulare omogeneo, con piano campagna orizzontale e assenza di filtrazione 5. Il coefficiente di sicurezza (di norma compreso tra,5 e ) può essere introdotto riducendo K p del 30-50% oppure incrementando la profondità di infissione minima del 0-40%. Con riferimento alla Figura 4.5, si ha: p a = K C = γ (K p a a = C R = R R R a a [ γ h + γ ( H h )] p + R = K = γ K a w K a h w a ) + R γ h 3 w + R 4 ( H h ) w w 5 Per terreno stratificato, per piano campagna inclinato, in presenza di sovraccarichi o di filtrazione, si introdurranno le relative modifiche al diagramma di spinta, ma la filosofia del metodo rimane invariata. 64 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

251 Capitolo 4 OPERE DI SOSTEGNO J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007) 65 Figura 4.5: Diagrammi di spinta per palancola a sbalzo in terreno granulare. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) 0 R R R F Y p z p p R R D K h D H h K p Y K K p a D Y a 3 y 3 h H a y h H a y h 3 H a y y R y R y R y R y R a p R h H K R p p a x p p p p p a w w p p a p p 4 w 3 w w a a 4 w a 3 = + = + = + + = = = = + = + = + = = = = Σ γ γ γ γ γ da cui, sostituendo: γ

252 Capitolo 4 OPERE DI SOSTEGNO J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007) 66 ( ) ( ) 0 3 Y Y p 3 z z p p y Y R M p p R Y p z p p p a piede p p a p = = + = Σ ovvero: ( ) ( ) 0 Y p z p p y Y R 6 p p p a = che, con alcuni passaggi, diviene: L equazione (4.) viene in genere risolta per tentativi, assumendo un primo valore di per D in base alle indicazioni di Tabella 4., e risolvendo per Y. Tabella 4. - Valori approssimati della profondità di infissione D per palancole a sbalzo in terreno granulare omogeneo N SPT Densità relativa della sabbia Profondità di infissione, D 0-4 Molto sciolta,0 H 5-0 Sciolta,5 H - 30 Mediamente densa,5 H 3-50 Densa,0 H > 50 Molto densa 0,75 H Metodo di calcolo di palancola a sbalzo in terreno coesivo saturo Il calcolo della struttura a breve termine, ovvero poco dopo la messa in opera della palancola, è generalmente svolta in termini di tensioni totali, assumendo che l argilla abbia resistenza al taglio τ f = c u = 0,5 q u. Con riferimento agli schemi di distribuzioni delle pressioni indicati in Figura 4.6, rispettivamente per riempimento granulare (Figura 4.6a) e per terreno omogeneo (Figura 4.6b) il calcolo viene svolto in modo concettualmente analogo a quello già illustrato per palancola in terreno granulare, determinando z con l equazione all equilibrio in direzione orizzontale: ( ) 0 y p 3 R p C R Y C p y R 6 Y p R Y p a p a p a p a 3 = + + (Eq. 4.) 0 R R R F p p a x = + = Σ (Eq. 4.)

253 Capitolo 4 OPERE DI SOSTEGNO ma in cui: z R p R p = ( 4 cu q + 4 cu + q) ( 4 cu q) D = 4 cu z ( 4 cu q) D e D con l equazione all equilibrio dei momenti rispetto al piede della palancola, che può essere scritta nel modo seguente: D c ( 4 c q) R ( D + y) c [ ( 4 c q) D R ] = 0 u e risolta per tentativi. a u u u a Figura 4.6: Diagrammi di spinta per palancola a sbalzo in terreno coesivo saturo per riempimento granulare (a) e per terreno omogeneo (b) Metodi convenzionali di calcolo di paratie con un ordine di tiranti a) Metodo del supporto libero (free earth support) Il metodo convenzionale del supporto libero si applica a strutture di elevata rigidezza (diaframmi in c.a.). Lo schema di Figura 4.7, rappresenta una paratia rigida, con un ordine di tiranti o comunque con un vincolo prossimo alla sommità, in un terreno omogeneo, incoerente e a- sciutto. Si assume, per ipotesi, che il movimento della struttura sia interamente verso l esterno, e che quindi il terreno retrostante la parete sia ad ogni profondità in condizioni di spinta attiva, e quello antistante in condizioni di spinta passiva. Il problema risulta staticamente determinato, poiché si hanno incognite: - la profondità di infissione d - la forza F (per unità di lunghezza della struttura) esercitata dai tiranti, e equazioni di equilibrio: - alla traslazione orizzontale 67 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

254 Capitolo 4 OPERE DI SOSTEGNO - alla rotazione intorno al punto di ancoraggio. La sicurezza è messa in conto assumendo un valore ridotto della spinta passiva (solitamente si applica un coefficiente di sicurezza FS = ). Per il dimensionamento e la verifica di sicurezza degli ancoraggi dei tiranti si amplifica il valore calcolato di F, di norma moltiplicandolo per,5. Figura 4.7: Analisi di stabilità di un diaframma ancorato in terreno incoerente, omogeneo e asciutto, e relativi diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione Anche in questo caso, il metodo di calcolo del supporto libero per una paratia con un ordine di ancoraggi, illustrato per semplicità di esposizione con riferimento ad un terreno omogeneo, incoerente e asciutto, può essere esteso a differenti condizioni geotecniche, anche con terreni stratificati, in presenza di falda e di filtrazione. Se la struttura è flessibile, come ad esempio le palancole metalliche, e il terreno è sabbia, la pressione del terreno sulla parete differisce sensibilmente, per effetto arco, dallo schema a segmenti rettilinei adottato con il metodo del supporto libero, con la conseguenza che il momento flettente calcolato risulta superiore al valore reale e troppo conservativo. 68 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

255 Capitolo 4 OPERE DI SOSTEGNO Figura 4.8: Coefficiente di riduzione del momento flettente (Rowe) L 4 Per tener conto di tale evidenza sperimentale Rowe (95, 957) propose di utilizzare un coefficiente r di riduzione del momento flettente, da applicare ai risultati dell analisi condotta con il metodo del supporto libero, funzione della flessibilità della parete. La flessibilità della parete è rappresentata dal parametro ρ = EI (in m /t a metro di parete), in cui L è la lunghezza totale della palancola, ed EI è la rigidezza flessionale. In Figura 4.8 sono riportate le curve di variazione di ρ con r = M/M tr per sabbie di diversa densità. b) Metodo del supporto fisso (fixed earth support) Il metodo convenzionale del supporto fisso si applica a strutture di modesta rigidezza (palancole metalliche). Lo schema di Figura 4.9, rappresenta una palancola flessibile, con un ordine di tiranti o comunque con un vincolo prossimo alla sommità, in un terreno omogeneo, incoerente e asciutto. Si assume, per ipotesi che la deformata della struttura comporti un movimento anche verso l interno, e che quindi nella il parte terreno infissa a contatto comporti della parete, a monte e a valle, sia in parte in condizioni di spinta attiva e in parte in condizioni di un spinta passiva. Il problema, in questo caso, non è staticamente determinato, e la soluzione si ottiene introducendo un ulteriore ipotesi semplificativa, a carattere semi empirico. La linea elastica della struttura presenta un flesso (punto di inversione della curvatura) in cui il momento flettente è nullo. L ipotesi semplificativa consiste nell assegnare la posizione di tale punto C in funzione dell angolo di resistenza al taglio del terreno. In Tabella 4.3 è indicato il valore del rapporto x/h fra la profondità x del punto C rispetto alla quota del terreno a valle della palancola (linea di dragaggio) e l altezza H dello scavo in funzione dell angolo di resistenza al taglio del terreno φ. I valori di Tabella 4.3 sono ben riprodotti dall equazione: x = φ φ H R = (Eq. 4.3) 69 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

256 Capitolo 4 OPERE DI SOSTEGNO Tabella 4.3: Stima della posizione del punto di flesso per una palancola flessibile ancorata in terreno omogeneo incoerente φ ( ) x/h 0,5 0,5 0,08 0,035-0,007 H x Figura 4.9: Analisi di stabilità di una palancola flessibile ancorata in terreno incoerente, omogeneo e asciutto, e relativi diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione Si considerano separatamente i due tratti B di palancola (Figura 4.0): a F A il tratto superiore BC, di lunghezza (H + x), dalla sommità B al punto di flesso C H il tratto inferiore CD, di lunghezza h (d - x), dal punto C alla base D. Le incognite sono 4: taglio (massimo) T C nel punto C, forza F, profondità di x infissione d, e risultante delle pressioni T C C T C orizzontali nella parte terminale della d d-x palancola R D. R Le equazioni di equilibrio sono 4: le e- D quazioni di equilibrio alla rotazione e alla traslazione dei due tratti di trave. D Figura 4.0: Schema di calcolo del metodo del supporto fisso 70 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

257 Capitolo 4 OPERE DI SOSTEGNO Con riferimento allo schema di calcolo di Figura 4.0:. tratto BC: dall equilibrio alla rotazione intorno ad A si ricava T C ;. tratto CD: dall equilibrio alla rotazione intorno a D si ricava (d x); 3. tratto BC: dall equilibrio alla traslazione orizzontale si ricava F; 4. tratto CD: dall equilibrio alla traslazione orizzontale si ricava R D. La profondità di infissione, d, si ricava con la relazione d =. a Tiranti di ancoraggio I tiranti di ancoraggio delle palancole e dei diaframmi sono costituiti da tre elementi funzionali: la testata, la parte libera e la fondazione, bulbo o piastra di ancoraggio (Figura 4.). Figura 4.: Schema di un tirante di ancoraggio L armatura è di acciaio armonico, e viene di norma presollecitata. Il bulbo di ancoraggio è realizzato mediante iniezione di malta cementizia. Esso deve essere posto ad una distanza dalla parete tale da non interferire con la superficie di scorrimento potenziale, ovvero deve essere esterno al cuneo di spinta attiva (Figura 4.a), ed essere immerso in terreno omogeneo. La forza di progetto del tirante, T, si ottiene dall equazione: F T =,5 i (Eq. 4.4) cosα in cui:,5 rappresenta un coefficiente di sicurezza, F è la forza vincolare orizzontale calcolata per unità di lunghezza della parete, α è l angolo di inclinazione del tirante sull orizzontale, ed 7 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

258 Capitolo 4 OPERE DI SOSTEGNO i è l interasse fra i tiranti (in genere -3m). a) b) Figura 4. - Posizione corretta della fondazione dei tiranti di ancoraggio La forza T deve essere garantita dalle tensioni tangenziali di attrito e/o di aderenza fra la fondazione ed il terreno circostante. Se invece che con un bulbo iniettato la fondazione del tirante è realizzata con una piastra, la posizione di quest ultima deve ricadere nella zona indicata in Figura 4.b. In questo caso la forza T è garantita dalla differenza fra la spinta passiva sul lato di valle e la spinta attiva sul lato di monte della piastra d ancoraggio. 4.6 Scavi armati e trincee Molto spesso per il sostegno di pareti di scavo verticali temporanee, come ad esempio per la realizzazione di gallerie, sottopassi, parcheggi sotterranei etc.., si utilizzano strutture provvisorie armate con puntelli che collegano le due pareti affacciate. Le pareti verticali possono essere costituite da tavole di legno, o da palancole metalliche o anche da diaframmi in c.a., e, a seconda della tipologia, possono essere messe in opera prima dello scavo e raggiungere profondità maggiori del fondo scavo, oppure via via che procede lo scavo (Figura 4.3). Puntoni Tavola in legno Puntoni Palancole Figura 4.3: Schemi di scavi armati 7 Vista in sezione J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

259 Capitolo 4 OPERE DI SOSTEGNO I puntelli possono essere in legno, in acciaio (tubolari, profilati o travi reticolari) o in c.a. Poiché i vincoli costituiti dai puntoni impediscono, o comunque limitano molto, il movimento della parete, non sono validi i diagrammi di pressione utilizzati per altre opere di sostegno e si utilizzano i diagrammi di pressione semplificati di Figura 4.4, ottenuti in modo empirico dai valori misurati dello sforzo normale nei puntoni di strutture diverse, di diverse dimensioni, e in diversi terreni (Terzaghi e Peck, 967). Sabbia Argilla Argilla Argilla In genere n = 0.4 Si adotta una distribuzione maggiore di (b) e (c) n = 0. per piccoli movimenti e costruzioni aventi periodo proprio piccolo Argilla dura fessurata Fattore di stabilità m = 0.4 per argilla NC m =.0 per argilla leggermente OC o in presenza di uno strato rigido vicino alla base dello scavo Argilla soffice e compatta N.B. Per N = 6 il fattore di sicurezza contro la rottura alla base può essere insufficiente Per N > 7.5 la rottura alla base è probabile Figura Diagrammi di pressione del terreno sulle pareti di scavi puntellati 73 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

260 Capitolo 5 CAPACITÀ PORTANTE DELLE FONDAZIONI SUPERFICIALI CAPITOLO 5 CAPACITÀ PORTANTE DELLE FONDAZIONI SUPERFICIALI La fondazione è quella parte della struttura che trasmette il carico dell opera al terreno sottostante. La superficie di contatto tra la base della fondazione e il terreno è detta piano di posa. In base al rapporto tra la profondità del piano di posa (D), rispetto al piano di campagna, e la dimensione minima in pianta (B), si definiscono, in accordo con quanto proposto da Terzaghi: superficiali le fondazioni in cui il rapporto D/B è minore di 4; profonde le fondazioni per le quali il rapporto D/B è maggiore di 0; semi-profonde le fondazioni con D/B compreso tra 4 e 0. Per quanto riguarda il meccanismo di trasferimento del carico al terreno, le fondazioni superficiali trasmettono il carico solo attraverso il piano di appoggio, le fondazioni profonde e semi-profonde trasferiscono il carico al terreno sia in corrispondenza del piano di appoggio che lungo la superficie laterale. In questo capitolo la trattazione sarà limitata al caso delle fondazioni superficiali. Per garantire la funzionalità della struttura in elevazione, il sistema di fondazioni deve soddisfare alcuni requisiti; in particolare, il carico trasmesso in fondazione:. non deve portare a rottura il terreno sottostante;. non deve indurre nel terreno cedimenti eccessivi tali da compromettere la stabilità e la funzionalità dell opera sovrastante; 3. non deve produrre fenomeni di instabilità generale (p. es. nel caso di strutture realizzate su pendio); 4. non deve indurre stati di sollecitazione nella struttura di fondazione incompatibili con la resistenza dei materiali. 5. Capacità portante e meccanismi di rottura Il primo punto è quello che riguarda la verifica di stabilità dell insieme terrenofondazione, ovvero la determinazione di quella che viene definita capacità portante (o carico limite, q lim ) e che rappresenta la pressione massima che una fondazione può trasmettere al terreno prima che questo raggiunga la rottura. Per introdurre il concetto di capacità portante immaginiamo di applicare ad un blocco di calcestruzzo appoggiato su un terreno omogeneo un carico verticale centrato e di misurare il valore del cedimento all aumentare del carico. Se riportiamo in un grafico la curva carico-cedimenti, osserviamo che il suo andamento è diverso in relazione allo stato di addensamento (o alla consistenza, se si tratta di terreno coesivo) del terreno (Figura 5.). In particolare, si ha che: a parità di carico, il cedimento del blocco è tanto maggiore quanto minore è la densità relativa (o quanto minore è la consistenza); A rigore, l andamento del grafico riportato nella figura 5.a) si riferisce a condizioni di deformazione controllata e non di carico controllato. 74 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

261 Capitolo 5 CAPACITÀ PORTANTE DELLE FONDAZIONI SUPERFICIALI per valori elevati della densità relativa (o della consistenza), in corrispondenza del carico di rottura, il blocco collassa, mentre per valori bassi della densità relativa (o della consistenza) il cedimento tende ad aumentare progressivamente ed indefinitamente. In questo caso la condizione di rottura è individuata da un valore limite convenzionale del cedimento. Alle diverse curve caricocedimenti corrispondono diversi meccanismi di rottura che possono ricondursi a tre schemi principali (Figura 5.):. rottura generale. rottura locale 3. punzonamento per ciascuno dei quali si sviluppano, nel terreno sottostante la fondazione, superfici di rottura con diverso andamento.variando la profondità del piano di posa si osserva che l andamento della curva carico-cedimenti si modifica e in particolare all aumentare della profondità del piano di posa si può passare da una condizione di rottura generale ad una di rottura locale e a una per punzonamento. Per quanto riguarda i tre meccanismi di rottura sopra menzionati, è possibile osservare che nel caso di Figura 5.: Meccanismi di rottura terreno denso (o compatto) i piani di rottura si estendono fino a raggiungere la superficie del piano campagna (rottura generale), nel caso di materiale sciolto (o poco consistente) le superfici di rottura interessano solo la zona in prossimità del cuneo sottostante la fondazione e non si estendono lateralmente (rottura locale); nel caso di materiale molto sciolto (o molle) le superfici di rottura coincidono praticamente con le facce laterali del cuneo (punzonamento). Attualmente non si dispone di criteri quantitativi per individuare a priori il tipo di meccanismo di rottura, anche se Figura 5.: Meccanismi di rottura di fondazioni superficiali su sabbia esistono indicazioni a livello qualitativo per identificare il tipo di rottura più probabile (un esempio per terreni incoerenti è riportato in Figura 5.). Ad oggi, non sono reperibili in letteratura soluzioni analitiche per lo studio del meccanismo di rottura locale, 75 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

262 Capitolo 5 CAPACITÀ PORTANTE DELLE FONDAZIONI SUPERFICIALI mentre esistono numerose soluzioni analitiche per la stima del carico limite per lo schema di rottura generale. 5. Calcolo della capacità portante I due principali studi teorici per il calcolo della capacità portante, dai quali deriva la maggior parte delle soluzioni proposte successivamente, sono stati condotti da Prandtl (90) e Terzaghi (943), per fondazione nastriforme (problema piano) utilizzando il metodo dell equilibrio limite. Entrambi schematizzano il terreno come un mezzo continuo, omogeneo e isotropo, a comportamento rigido plastico e per il quale vale il criterio di rottura di Mohr-Coulomb. 5.. Schema di Prandtl Prandtl ipotizza l assenza di attrito tra fondazione e terreno sottostante e quindi che la rottura avvenga con la formazione di un cuneo in condizioni di spinta attiva di Rankine (in cui le tensioni verticale ed orizzontale sono principali, la tensione verticale è la tensione principale maggiore, la tensione orizzontale è la tensione principale minore) le cui facce risultano inclinate di un angolo di 45 +ϕ/ rispetto all orizzontale, essendo ϕ l angolo di resistenza al taglio del terreno (Figura 5.3). Il cuneo è spinto verso il basso e, in condizioni di equilibrio limite, produce la rottura del terreno circostante secondo una superficie di scorrimento a forma di spirale logaritmica, con anomalia φ (zona di taglio radiale). Tale ipotesi consegue al fatto che in condizioni di rottura le tensioni sulla superficie di scorrimento sono inclinate per attrito di un angolo φ rispetto alla normale, e quindi hanno direzione che converge nel polo A della spirale logaritmica. A sua volta la zona di taglio radiale spinge il terreno latistante e produce la rottura per spinta passiva. Il cuneo ADF è in condizioni di spinta passiva di Rankine (le tensioni verticale ed orizzontale sono principali, la tensione verticale è la tensione principale minore, la tensione orizzontale è la tensione principale maggiore), è delimitato da superfici piane inclinate di un angolo di 45 - φ/ rispetto all orizzontale, e scorre verso l esterno e verso l alto. q = γ D Piano di fondazione C B 45 +ϕ/ L = A E piano campagna F G D 45 - ϕ/ Cuneo rigido di terreno B D Zona passiva di Rankine Superficie di scorrimento a forma di spirale logaritmica Figura 5.3: Schema di Prandtl per il calcolo della capacità portante 76 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

263 Capitolo 5 CAPACITÀ PORTANTE DELLE FONDAZIONI SUPERFICIALI Come caso particolare, per φ = 0 il cuneo sottostante la fondazione ha le pareti inclinate a 45, la zona di taglio radiale è limitata da una superficie circolare (spirale logaritmica ad anomalia 0) e la zona passiva ha piani di scorrimento inclinati a Schema di Terzaghi Il meccanismo di rottura di Terzaghi ipotizza (secondo uno schema più aderente alle condizioni reali) la presenza di attrito tra fondazione e terreno. In questo caso il cuneo sottostante la fondazione è in condizioni di equilibrio elastico, ha superfici inclinate di un angolo φ rispetto all orizzontale, e penetra nel terreno come se fosse parte della fondazione stessa. (Figura 5.4). q=γ D Piano di fondazione C B ϕ L = A piano campagna E F 45 - ϕ/ G D C B A c AB Cuneo rigido di terreno B D Zona passiva di Rankine B c q P p = Pp γ + Pp + Pp ϕ P p Superficie di scorrimento a forma di spirale logaritmica Figura 5.4: Schema di Terzaghi per il calcolo della capacità portante È da osservare che la presenza di un cuneo intatto, sotto la fondazione, è in accordo con l evidenza che le superfici di rottura non possono interessare l elemento rigido di fondazione. Secondo entrambe le teorie, il terreno sovrastante il piano di fondazione contribuisce alla capacità portante solo in virtù del proprio peso, ma è privo di resistenza al taglio; pertanto nel tratto FG della superficie di scorrimento non vi sono tensioni di taglio. Con riferimento agli schemi delle Figure 5.3 e 5.4, relativi al caso di una fondazione nastriforme, è possibile evidenziare che il carico limite dipende, oltre che dalla larghezza della fondazione, B, e dall angolo di resistenza al taglio, φ, del terreno: dalla coesione, c; dal peso proprio del terreno, γ, interno alla superficie di scorrimento; dal sovraccarico presente ai lati della fondazione, che, in assenza di carichi esterni sul piano campagna, è dato da q = γ D (Figure 5.3 e 5.4). Non esistono metodi esatti per il calcolo della capacità portante di una fondazione superficiale su un terreno reale, ma solo formule approssimate trinomie ottenute, per sovrapposizione di effetti, dalla somma di tre componenti da calcolare separatamente, che rappresentano rispettivamente i contributi di: () coesione e attrito interno di un terreno privo di 77 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

264 Capitolo 5 CAPACITÀ PORTANTE DELLE FONDAZIONI SUPERFICIALI peso e di sovraccarichi; () attrito interno di un terreno privo di peso ma sottoposto all azione di un sovraccarico q; (3) attrito interno di un terreno dotato di peso e privo di sovraccarico. Ogni componente viene calcolata supponendo che la superficie di scorrimento corrisponda alle condizioni previste per quel particolare caso. Poiché le superfici differiscono fra loro e dalla superficie del terreno reale, il risultato è approssimato. L errore comunque è piccolo e a favore della sicurezza. La soluzione, per fondazione nastriforme con carico verticale centrato, è espressa nella forma: qlim = γ B N γ + c Nc + q Nq (Eq. 5.) dove N γ, N c, N q sono quantità adimensionali, detti fattori di capacità portante, funzioni dell angolo di resistenza al taglio φ e della forma della superficie di rottura considerata. Per i fattori N c ed N q, relativi rispettivamente alla coesione e al sovraccarico, esistono e- quazioni teoriche, mentre per il fattore N γ, che tiene conto dellinfluenza del peso del terreno, la cui determinazione richiede un procedimento numerico per successive approssimazioni, esistono solo formule empiriche approssimanti. Confrontando le equazioni proposte da vari Autori per il calcolo dei fattori di capacità portante si osserva un accordo quasi unanime per i fattori N c e di N q, mentre per il fattore N γ sono state proposte soluzioni diverse. Le equazioni più utilizzate per la stima dei fattori di capacità portante sono le seguenti: π tgϕ π φ N q = e tg ( + ) (Eq. 5.) Nc = ( Nq ) ctgφ (Eq. 5.3) Nq Nc N γ = ( N q ) tgφ (Eq. 5.4) Νγ Il valore dei fattori di capacità portante cresce molto rapidamente con l angolo di resistenza al taglio (Figura 5.5). È pertanto molto più importante, per una stima corretta della capacità portante, la scelta dell angolo di resistenza al taglio che non l utilizzo di una o l altra delle equazioni proposte dai vari Autori. Come caso particolare, per ϕ = 0, ovvero per le verifiche in condizioni non drenate di fondazioni superficiali su terreno coesivo saturo in termini di tensioni totali, i fattori di capacità por- Fattori di capacità portante ϕ ( ) Figura 5.5: Fattori di capacità portante per fondazioni superficiali A titolo di esempio: Nγ = (Nq ) tg(, 4 φ) (Meyerhof, 963) Nγ =,5 (Nq ) tgφ (Hansen, 970) Nγ = (N q + ) tgφ (Vesic, 973) 78 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

265 Capitolo 5 CAPACITÀ PORTANTE DELLE FONDAZIONI SUPERFICIALI tante assumono i valori: N q =, N c = 5,4 N γ = Equazione generale di capacità portante di fondazioni superficiali Nelle applicazioni pratiche, per la stima della capacità portante di fondazioni superficiali, si utilizza la seguente equazione generale, proposta da Vesic (975): q + lim = c N γ c B N s γ c s d γ c d i γ c i b γ c b g γ c g + q N γ q s q d q i q b In cui, si è indicato con: s c, s q, s γ, i fattori di forma; d c, d q, d γ, i fattori di profondità; i c, i q, i γ, i fattori di inclinazione del carico; b c, b q, b γ, i fattori di inclinazione della base; g c, g q, g γ, i fattori di inclinazione del piano campagna; B la larghezza equivalente per carico eccentrico. q g q + (Eq. 5.5) Fattori di forma e di profondità L equazione originale di Terzaghi è ottenuta con riferimento ad un striscia indefinita di carico, in modo da poter considerare il problema piano. Le fondazioni reali hanno invece, spesso, dimensioni in pianta confrontabili, e quindi la capacità portante è influenzata dagli effetti di bordo. Si può tener conto, in modo semi empirico, della tridimensionalità del problema di capacità portante attraverso i fattori di forma, il cui valore può essere calcolato con le formule indicate in Tabella 5.. Tabella 5.: Fattori di forma (Vesic, 975) Forma della fondazione s c s q s γ B N q B B Rettangolare + + tanφ 0,4 L N c L L N q Circolare o quadrata + + tanφ 0,6 N c I fattori s c ed s q, rispettivamente associati alla coesione e al sovraccarico latistante, sono maggiori di poiché anche il terreno alle estremità longitudinali della fondazione contribuisce alla capacità portante, mentre il fattore s γ, associato al peso proprio del terreno di fondazione, è minore di a causa del minore confinamento del terreno alle estremità. Se si vuole mettere in conto anche la resistenza al taglio del terreno sopra il piano di fondazione, ovvero considerare la superficie di scorrimento estesa fino al piano campagna (segmento FG delle Figure 5.3 e 5.4), si possono utilizzare i fattori di profondità indica- 79 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

266 Capitolo 5 CAPACITÀ PORTANTE DELLE FONDAZIONI SUPERFICIALI ti in Tabella 5.. Tuttavia, poiché il terreno sovrastante il piano di fondazione è molto spesso un terreno di riporto o comunque con caratteristiche meccaniche scadenti e inferiori a quelle del terreno di fondazione, l uso dei fattori di profondità deve essere fatto con cautela. Tabella 5.: Fattori di profondità (Vesic, 975) Valore di φ φ = 0 argilla satura in condizioni non drenate φ > 0 sabbia e argilla in condizioni drenate D B D > B d d c d q d γ D + 0,4 B D + 0,4 arctan B q d q N tan φ c D ( ) D + tan φ senφ B B D > ( ) B + tan φ senφ D arctan B Inclinazione ed eccentricità del carico Molto spesso le fondazioni superficiali devono sostenere carichi eccentrici e/o inclinati. Per tenere conto della riduzione di capacità portante dovuta all eccentricità del carico si assume che l area resistente a rottura sia quella porzione dell area totale per la quale il carico risulta centrato. In particolare, per una fondazione a base rettangolare di dimensioni B x L, se la risultante dei carichi trasmessi ha eccentricità e B nella direzione del lato minore B ed eccentricità e L nella direzione del lato maggiore L, ai fini del calcolo della capacità portante si terrà conto di una fondazione rettangolare equivalente di dimensioni B xl rispetto alla quale il carico è centrato, essendo: B = B e B (Eq. 5.6) L = L e L (Eq. 5.7) Anche l inclinazione del carico riduce la resistenza a rottura di una fondazione superficiale. A seconda del rapporto fra le componenti, orizzontale H e verticale V, del carico la rottura può avvenire per slittamento o per capacità portante. Le equazioni empiriche per fattori di inclinazione del carico ritenute più affidabili sono indicate in Tabella 5.3. Si osservi che data una fondazione con carico inclinato si può definire un dominio di rottura nel piano H-V, e pervenire al collasso per differenti moltiplicatori del carico, e in particolare: ) per aumento di V ad H costante, ) per aumento di H a V costante, 3) per aumento proporzionale di H e di V (a H/V costante). 80 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

267 Capitolo 5 CAPACITÀ PORTANTE DELLE FONDAZIONI SUPERFICIALI Occorre quindi di volta in volta considerare le condizioni di carico possibili più sfavorevoli. Tabella 5.3: Fattori di inclinazione del carico (Vesic, 975) Terreno i c i q i γ φ = 0 m H argilla satura in B L c condizioni non u N c drenate m+ i c > 0, φ > 0 q i H H q argilla in condizioni N c tan φ V B L c cot g + φ V B L c cot g + φ drenate m+ m = m c = 0 sabbia L + m B cos ϑ sen ϑ - B + m L B = B + L m+ m H H V L + m B L = L + B V θ è l angolo fra la direzione del carico proiettata sul piano di fondazione e la direzione di L Inclinazione della base e del piano campagna Q B ε Figura 5.6: Piano di posa e/o piano di campagna inclinato ω Se la struttura trasmette carichi permanenti sensibilmente inclinati può essere talvolta conveniente realizzare il piano di posa della fondazione con un inclinazione ε rispetto all orizzontale (Figura 5.6). In tal caso la capacità portante nella direzione ortogonale al piano di posa può essere valutata utilizzando i fattori di inclinazione del piano di posa indicati in Tabella 5.4. Se il piano campagna è inclinato di un angolo ω rispetto all orizzontale (Figura 5.6), la capacità portante può essere valutata utilizzando i fattori di inclinazione del piano di campagna indicati in Tabella 5.5. Tabella 5.4: Fattori di inclinazione del piano di posa (ε < π/4) (Hansen, 970) b q b c b q b γ bq N tanφ ε tanφ ε tanφ ( ) ( ) c 8 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

268 Capitolo 5 CAPACITÀ PORTANTE DELLE FONDAZIONI SUPERFICIALI Tabella 5.5: Fattori di inclinazione del piano campagna (ω < π/4, ω < φ) (Hansen, 970) g q g c g q g γ gq g q tan ω cos N tanφ cosω ( ) ω c 5.3 Scelta dei parametri di resistenza del terreno Il calcolo della capacità portante deve essere effettuato nelle condizioni più critiche per la stabilità del sistema di fondazione, valutando con particolare attenzione le possibili condizioni di drenaggio. Tali condizioni dipendono com è noto dal tipo di terreno e dalla velocità di applicazione del carico. Nel caso dei terreni a grana grossa (ghiaie e sabbie), caratterizzati da valori elevati della permeabilità (K 0-5 m/s), l applicazione di carichi statici 3 non genera sovrapressioni interstiziali; pertanto, l analisi è sempre condotta con riferimento alle condizioni drenate, in termini di tensioni efficaci. Nel caso di terreni a grana fine (limi e argille), a causa della loro bassa permeabilità, salvo il caso di applicazione molto lenta del carico, si generano sovrapressioni interstiziali che si dissipano lentamente nel tempo col procedere della consolidazione. Pertanto per i terreni a grana fine è necessario distinguere un comportamento a breve termine, in condizioni non drenate, ed uno a lungo termine, in condizioni drenate. L analisi (a lungo termine) in condizioni drenate può essere effettuata in termini di tensioni efficaci. Tale tipo di approccio può essere impiegato anche nelle analisi (a breve termine) in condizioni non drenate, ma per la sua applicazione è richiesta la conoscenza delle sovrapressioni interstiziali, u, che si sviluppano durante la fase di carico. Poiché, di fatto, la definizione delle u in sito è un problema estremamente complesso, l analisi in condizioni non drenate è generalmente effettuata, nelle applicazioni pratiche, in termini di tensioni totali, con riferimento alla resistenza al taglio non drenata corrispondente alla pressione di consolidazione precedente l applicazione del carico. Le condizioni non drenate sono generalmente le più sfavorevoli per la stabilità delle fondazioni su terreni coesivi, poiché al termine del processo di consolidazione l incremento delle tensioni efficaci avrà prodotto un incremento della resistenza al taglio Analisi in termini di tensioni efficaci (condizioni drenate) Nelle analisi di capacità portante in termini di tensioni efficaci, la resistenza del terreno è definita mediante i parametri c e φ (il criterio di rottura è espresso nella forma τ = c + σ tg φ ) e i vari termini e fattori della relazione generale (Eq. 5.5), devono essere calcolati con riferimento a questi parametri. In presenza di falda si deve tener conto dell azione dell acqua, sia nella determinazione del carico effettivamente trasmesso dalla fondazione al terreno sia nel calcolo della q lim. In particolare, nel calcolo del carico trasmesso dalla fondazione al terreno deve essere considerata la sottospinta dell acqua agente sulla porzione di fondazione immersa (quindi il carico di esercizio deve essere diminuito della sottospinta idraulica), mentre il carico 3 L applicazione di carichi dinamici e ciclici può causare un accumulo significativo delle pressioni interstiziali anche in terreni sabbiosi 8 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

269 Capitolo 5 CAPACITÀ PORTANTE DELLE FONDAZIONI SUPERFICIALI limite deve essere valutato in termini di pressioni efficaci. In particolare, riferendosi per semplicità alla relazione di Terzaghi (e nel caso più generale alla Eq. 5.5), si ha: q lim = γ B Nγ + c Nc + q N q (Eq. 5.8) dove q rappresenta il valore della pressione efficace agente alla profondità del piano di posa della fondazione e γ il peso di volume immerso del terreno presente sotto la fondazione. Nel calcolo dei fattori di capacità portante viene utilizzato il valore di φ del terreno presente sotto la fondazione. Ipotizzando la presenza di falda in quiete, i casi possibili sono 4: a) Il pelo libero della falda si trova a profondità maggiore di D+B. In questo caso la presenza della falda può essere trascurata. b) Il pelo libero della falda coincide con il piano di posa della fondazione (Figura 5.7a). In questo caso q = γ D, essendo γ il peso umido (o saturo) del terreno al di sopra del piano di posa della fondazione. c) Il pelo libero della falda si trova a quota a al di sopra del piano di posa della fondazione (Figura 5.7b). In questo caso q = γ ( D a) + γ a, essendo rispettivamente γ il peso umido (o saturo) e γ il peso immerso del terreno al di sopra del piano di posa della fondazione. d) Il pelo libero della falda si trova a quota d<b sotto il piano di posa della fondazione (Figura 5.7c). In questo caso q = γ D, essendo γ il peso umido (o saturo) del terreno al di sopra del piano di posa della fondazione, mentre il termine B γ d + γ B d γ diventa ( ) B D a B D B D d B-d a) b) c) Figura 5.7: Influenza della posizione della falda sul calcolo della capacità portante 5.3. Analisi in termini di tensioni totali (condizioni non drenate) Nelle analisi di capacità portante in termini di tensioni totali, la resistenza del terreno è definita convenzionalmente mediante il parametro c u (il criterio di rottura è espresso nella forma τ = c u ), che, contrariamente a c e ϕ, non rappresenta una caratteristica del materiale, ma un parametro di comportamento. In questo caso, i fattori di capacità portante valgono: N γ = 0, N c = 5.4, N q = e il carico limite è dato quindi da: q lim = 5,4 c u s c0 d c0 i c0 b c0 g c0 + q g q0 (Eq. 5.9) 83 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

270 Capitolo 5 CAPACITÀ PORTANTE DELLE FONDAZIONI SUPERFICIALI essendo q = γ D la pressione totale agente sul piano di posa della fondazione, e avendo indicato con il pedice 0 i fattori correttivi per φ = 0. È opportuno evidenziare che per l analisi in termini di tensioni totali, l eventuale sottospinta idrostatica dovuta alla presenza della falda non deve essere considerata Effetto della compressibilità del terreno di fondazione Le soluzioni teoriche per la determinazione della capacità portante di fondazioni superficiali con il metodo all equilibrio limite si riferiscono al meccanismo di rottura generale (Figura 5.), e assumono che il terreno non si deformi ma che i blocchi che identificano il cinematismo di rottura (Figure 5.3 e 5.4) abbiano moto rigido. Quando tale ipotesi è lontana dall essere verificata, ovvero per terreni molto compressibili, argille molli e sabbie sciolte, il meccanismo di rottura è locale o per punzonamento. Un metodo approssimato semplice, suggerito da Terzaghi, per tenere conto dell effetto della compressibilità del terreno di fondazione sulla capacità portante consiste nel ridurre di /3 i parametri di resistenza al taglio, ovvero nell assumere come dati di progetto i valori: c*= 0,67 c e tanφ*= 0,67 tanφ Per il calcolo della capacità portante di fondazioni superficiali su sabbie mediamente addensate o sciolte (D R < 0,67) Vesic (975) propose di utilizzare un valore di calcolo ridotto dell angolo di resistenza al taglio, secondo l equazione: ( 0,67 + D 0,75 D ) tanφ * tanφ = (Eq. 5.0) R R 5.4 Capacità portante di fondazioni su terreni stratificati La determinazione della capacità portante di fondazioni su terreni stratificati è un problema di non facile soluzione, per il quale non esistono quindi trattazioni teoriche di semplice impiego. Se l importanza dell opera non è tale da giustificare l uso di metodi numerici avanzati (per esempio metodi agli elementi finiti), si ricorre generalmente all applicazione di schemi e formule approssimate. In presenza di terreni stratificati, se lo spessore misurato dal piano di fondazione dello strato di terreno su cui appoggia la fondazione è maggiore di B, il terreno può considerarsi omogeneo. Nell ipotesi che tale circostanza non sia verificata, i casi che possono presentarsi sono i seguenti:. Fondazione su terreni dotati di sola coesione. strato superiore meno resistente di quello inferiore. strato superiore più resistente di quello inferiore. Fondazione su terreni dotati di attrito e coesione. strato superiore meno resistente di quello inferiore. strato superiore più resistente di quello inferiore Generalmente nei casi. e. si ricorre, se possibile all asportazione dello strato più superficiale ed eventualmente ad una sua sostituzione con materiale compattato. Qualora ciò 84 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

271 Capitolo 5 CAPACITÀ PORTANTE DELLE FONDAZIONI SUPERFICIALI non sia possibile, si può comunque calcolare cautelativamente la capacità portante assumendo come parametri di resistenza quelli relativi allo strato più superficiale. Nel caso., se lo strato superficiale è di spessore limitato si può mettere in conto anche il contributo alla resistenza dovuto allo strato sottostante, utilizzando nell espressione di q lim per fondazioni nastriformi (q lim = cn c + γd) la seguente formula per N c :.5 d Nc, s = + 5.4cr 5.4 (Eq. 5.) B dove d rappresenta lo spessore dello strato più superficiale al di sotto del piano di fondazione, B la larghezza della fondazione e c r = c /c, essendo c e c, rispettivamente, il valore della coesione dello strato più superficiale e di quello sottostante. Per 0.7 c r il valore di N c,s deve essere ridotto del 0%. Nel caso. la capacità portante di una fondazione nastriforme di larghezza B può essere calcolata utilizzando lo schema di una fondazione ideale di larghezza B+d appoggiata sullo strato inferiore (ipotizzando cioè che il carico si diffonda nello strato superiore di spessore d con un rapporto :). Nel caso si possono calcolare per la stratificazione un angolo di resistenza al taglio ed una coesione equivalenti nel seguente modo: si determina la profondità H= 0.5 tg(45 + ϕ /) B con ϕ angolo di resistenza al taglio relativo allo strato superiore; se H > d si determina il valore di ϕ equivalente da utilizzare nel calcolo di q lim come: ( H d ) d ϕ + ϕ ϕ = H con ϕ angolo di resistenza al taglio relativo allo strato inferiore; in modo analogo si ricava c equivalente. 5.5 Dal carico limite al carico ammissibile Il carico ammissibile q amm è calcolato dividendo il carico limite q lim per un coefficiente maggiore di, chiamato fattore di sicurezza FS, che viene introdotto per tener conto della variabilità del terreno, dell affidabilità dei dati e delle incertezze insite nel modello adottato e nella stima dei carichi. Generalmente il coefficiente di sicurezza viene applicato solo alla pressione limite netta, ossia al carico che va ad aggiungersi a quello già presente alla quota del piano di fondazione. In pratica: qlim q qamm = + q (Eq. 5.0) FS Il valore così ottenuto deve risultare maggiore del carico di esercizio q es. In alternativa, se è noto il carico di esercizio q es trasmesso dalla fondazione al terreno, il coefficiente di sicurezza può essere calcolato mediante la relazione: qlim q FS = (Eq. 5.) qes q e questo valore deve risultare maggiore del limite imposto dalla normativa. 85 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

272 Capitolo 5 CAPACITÀ PORTANTE DELLE FONDAZIONI SUPERFICIALI Nel caso di fondazioni con carico eccentrico, per il calcolo strutturale dell elemento di fondazione, si fa in genere l ipotesi semplificativa che, in condizioni di esercizio e quindi per carico molto minore della capacità portante, la pressione di contatto struttura di fondazione-terreno sia lineare, e che il terreno non abbia resistenza a trazione. Ne consegue che il diagramma delle tensioni di contatto viene calcolato con le formule della presso flessione per sezioni non reagenti a trazione. Ad esempio, se per semplicità di esposizione si considera una fondazione continua di larghezza B soggetta ad un carico verticale N per unità di lunghezza con eccentricità e (Figura 5.8): - se la risultante ricade all interno del nocciolo d inerzia, ovvero se risulta e < B/6, il σ max N 6 e diagramma è trapezio e le tensioni alle estremità valgono: = ± σ min B B - se invece la risultante è esterna al nocciolo d inerzia, ovvero se risulta e > B/6, la sezione è parzializzata e il diagramma è triangolare, con base B * = 3 e e tensione B 4 N massima, all estremità compressa σ max =. 3 B e ( ) N e N e B B σ max σ min σ max B* e < B/6 e > B/6 Figura 5.8: Schema delle pressioni di contatto in condizioni di esercizio per fondazioni con carico eccentrico. Il coefficiente di sicurezza per la verifica di capacità portante, trascurando il carico già presente alla quota del piano di fondazione, sarà il rapporto fra la forza verticale massima con eccentricità e, al limite dell equilibrio: Q lim = q lim (B e) e la forza verticale di esercizio, con pari eccentricità N: FS = Q lim N È buona norma tuttavia progettare le fondazioni superficiali in modo che la sezione sia interamente compressa, almeno per i carichi di lunga durata. 86 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

273 Capitolo 5 CAPACITÀ PORTANTE DELLE FONDAZIONI SUPERFICIALI La scelta del coefficiente di sicurezza rispetto alla rottura di fondazioni superficiali (che potremmo anche definire coefficiente di ignoranza), come sempre per le opere geotecniche, è operazione delicata e complessa, poiché sono molte e di diversa origine le incertezze con cui viene determinato il valore di riferimento. Vi sono incertezze nella definizione del modello geotecnico (stratigrafia, spessore e geometria degli strati, variabilità delle caratteristiche geotecniche, affidabilità delle indagini geotecniche eseguite, etc..), incertezze legate al metodo di calcolo (leggi costitutive, ipotesi sul meccanismo di collasso, utilizzo di relazioni empiriche, etc..), incertezze legate ai carichi applicati, alla loro probabilità di evenienza e alla persistenza nel tempo, etc). In attesa dell entrata in vigore di una nuova normativa basata sul metodo semiprobabilistico e sui coefficienti parziali di carico e di resistenza (Eurocodice 7), occorre comunque rispettare la normativa italiana vigente (D.M ), la quale fissa, come limite inferiore del coefficiente di sicurezza globale rispetto alla rottura di fondazioni superficiali, un valore pari a 3 per le fondazioni di manufatti in generale, e pari a per le fondazioni delle opere di sostegno. 87 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)

274 Capitolo 6 CEDIMENTI DI FONDAZIONI SUPERFICIALI 6. Introduzione CAPITOLO 6 CEDIMENTI DI FONDAZIONI SUPERFICIALI I cedimenti delle fondazioni superficiali sono gli spostamenti verticali del piano di posa, e sono il risultato (l integrale) delle deformazioni verticali del terreno sottostante la fondazione. Tali deformazioni sono la conseguenza di un alterazione dello stato di tensione, che in generale può essere prodotta dal carico trasmesso dalla fondazione stessa o da altre fondazioni vicine, o anche da una variazione delle pressioni interstiziali, ad esempio per un abbassamento del livello di falda. Limitandoci al caso dei carico trasmesso dalla fondazione, la stima dei cedimenti attesi è necessaria per valutarne l ammissibilità in condizioni di esercizio, e quindi per valori del carico e delle tensioni indotte molto inferiori a quelli che producono la rottura del terreno. Per stimare i cedimenti è necessario conoscere, fino alla profondità alla quale l alterazione dello stato di tensione diviene trascurabile, ovvero nel volume significativo del sottosuolo:. le condizioni stratigrafiche,. lo stato tensionale iniziale e finale, 3. le leggi costitutive tensioni-deformazioni-tempo per ciascuno dei terreni presenti. Come per molti altri problemi di ingegneria geotecnica, troppo complessi per essere affrontati e risolti in modo rigoroso e unitario, anche la stima dei cedimenti di fondazione viene di norma affrontata per parti e a cascata, applicando a ciascuna di esse modelli e schemi incompleti e parziali, talvolta empirici o semi-empirici, ma sufficientemente accurati per dare una risposta quantitativa affidabile ad ogni passo del procedimento. Naturalmente è essenziale avere percezione della complessità del problema fisico e consapevolezza dei limiti dei modelli e schemi adottati. Il calcolo dei cedimenti di fondazioni superficiali si articola nelle seguenti fasi:. calcolo delle tensioni litostatiche e degli incrementi di tensione indotti nel sottosuolo;. scelta delle leggi tensioni-deformazioni-tempo e determinazione sperimentale dei parametri rappresentativi per ciascuno degli strati presenti nel volume significativo; 3. calcolo delle deformazioni verticali e loro integrazione; 4. calcolo del decorso dei cedimenti nel tempo. 6. Cedimenti di fondazioni superficiali su terreno coesivo saturo Il cedimento di una fondazione superficiale su terreno coesivo saturo si compone di tre parti: cedimento immediato, S i, cedimento di consolidazione, S c, e cedimento viscoso, S s. S = S + S + S i c A causa della bassa permeabilità del terreno coesivo e con le abituali ipotesi di scheletro solido ed acqua incompressibili, all istante di applicazione del carico la deformazione avviene in condizioni non drenate, ovvero la deformazione volumetrica è zero ed il cedis (Eq. 6.) 88 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

275 Capitolo 6 CEDIMENTI DI FONDAZIONI SUPERFICIALI mento consegue solo a deformazioni di taglio. Se l area di carico è limitata il cedimento immediato della fondazione è necessariamente accompagnato da un sollevamento del terreno circostante. Ne consegue che in condizioni edometriche il cedimento immediato è zero, poiché non sono possibili rigonfiamenti laterali. Le tensioni indotte dal carico applicato generano sovrapressioni interstiziali nel terreno di fondazione che innescano un processo di consolidazione. In condizioni edometriche la consolidazione è monodimensionale, per carico distribuito su una striscia la consolidazione è piana, per carico agente su un area di ampiezza limitata la consolidazione è tridimensionale. Durante il processo di consolidazione si riducono i vuoti nel terreno, si hanno quindi deformazioni volumetriche e cedimenti che si accrescono nel tempo fino alla completa dissipazione delle sovrapressioni interstiziali. A processo di consolidazione terminato e quindi a tensioni efficaci costanti, si possono avere ulteriori deformazioni e quindi cedimenti per viscosità dello scheletro solido (creep). Per i terreni a grana fine il cedimento di consolidazione rappresenta in genere l aliquota dominante del cedimento totale. Il cedimento secondario o viscoso, salvo casi particolari (torbe o argille organiche) è piccolo e viene trascurato. 6.. Cedimento immediato, S i Il cedimento immediato si manifesta via via che viene applicato il carico durante la costruzione dell opera geotecnica, e pertanto spesso è poco temibile, sia perché può essere recuperato riportando in quota la struttura, sia perché normalmente precede la messa in opera delle parti più vulnerabili (pavimentazioni, rivestimenti, finiture). Il cedimento immediato di fondazioni superficiali su terreni a grana fine saturi viene di norma calcolato in termini di tensioni totali e in condizioni non drenate con la teoria dell elasticità, la cui applicazione può essere in parte giustificata dal basso valore delle tensioni (e quindi delle deformazioni) indotte dal carico di esercizio. La principale fonte di incertezza è comunque derivante dalla scelta dei valori più appropriati dei parametri e- lastici. Per quanto riguarda il coefficiente di Poisson, le condizioni non drenate per un terreno saturo implicano l assenza di deformazioni volumetriche e quindi ν = ν u = 0,5. Per quanto riguarda invece il modulo di deformazione in condizioni non drenate, E u, spesso si fa riferimento al valore del modulo secante per deformazioni assiali pari a un mezzo o ad un terzo della deformazione assiale di rottura ε af, determinato con prove di compressione semplice e/o con prove triassiali non drenate (questa scelta deriva dal fatto che il fattore di sicurezza, FS, in condizioni di esercizio è spesso compreso tra e 3). Tuttavia i valori di E u così stimati sono in generale troppo cautelativi e costituiscono tuttalpiù il limite inferiore dei valori reali, sia perché le curve σ ε di laboratorio si riferiscono a provi- ε 3 e analoghe. In condizioni non drenate per E ( ν) un terreno saturo è: ε v = ε + ε + ε3 = ( σ + σ + σ3 ) = 0 da cui: ν = 0, 5. E 89 Infatti per la legge di Hooke è: = [ σ ν ( σ + σ )] J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

276 Capitolo 6 CEDIMENTI DI FONDAZIONI SUPERFICIALI ni di terreno almeno in parte disturbato e sono affette da errori di varia natura che comportano tutti una sottostima della rigidezza, sia perché nel volume significativo la deformazione media in condizioni di esercizio è molto inferiore al valore ε af /FS. Pertanto, o si dispone di misure sperimentali di laboratorio eseguite con apparecchiature di grande precisione su campioni a minimo disturbo, oppure è preferibile utilizzare valori di E u ottenuti mediante correlazioni empiriche da prove in sito e/o da misure di cedimenti di opere in vera grandezza. Ad esempio in Tabella 6. sono presentati i valori orientativi del rapporto fra il modulo E u, stimato mediante back analyses di strutture realizzate su terreni coesivi diversi, e la resistenza al taglio non drenata, c u, ottenuta con prove triassiali non drenata su campioni indisturbati di terreno. Tabella 6.: Stima del modulo di deformazione non drenato per terreni a grana fine E u /c OCR u I P < < I P < 50 I P > 50 < > Come abbiamo visto nel Capitolo 6 ( Pressioni di contatto e diffusione delle pressioni in un semispazio elastico ), una pressione verticale uniforme agente su una fondazione di dimensioni finite determina una pressione di contatto e un cedimento che dipendono dal terreno e dalla rigidezza della struttura di fondazione. In particolare su un terreno coesivo saturo in condizioni non drenate se la fondazione è rigida il cedimento è uniforme e la pressione di contatto è massima al D H Mezzo rigido p p Mezzo elastico (E, ν) fondazione B x L Figura 6. - Schema per il calcolo dei cedimenti elastici di una fondazione superficiale bordo e minima al centro dell area di carico, viceversa se la fondazione è flessibile la pressione di contatto è uniforme e il cedimento è massimo al centro e minimo al bordo. Per il calcolo del cedimento immediato di una fondazione rettangolare di dimensioni BxL si può fare riferimento allo schema di Figura 6., in cui p è la pressione netta trasmessa in fondazione, E e ν sono i parametri elastici del terreno, D è la profondità del piano di posa e H è lo spessore dello strato deformabile dal piano di fondazione. Nel caso particolare di fondazione flessibile, D = 0 e H =, il cedimento s in corrispondenza di uno Apparecchiature di laboratorio in grado di misurare con precisione la rigidezza dei terreni per bassi livelli di deformazione sono l apparecchio triassiale con misura delle deformazioni interne, l apparecchio di colonna risonante e l apparecchio di taglio torsionale ciclico. 90 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

277 Capitolo 6 CEDIMENTI DI FONDAZIONI SUPERFICIALI spigolo dell area di carico è dato dalla seguente equazione: p B ( ν ) s = Is E L ξ = B ( ) + + ξ I = ξ + + ξ + ξ s ln ln π ξ (Eq. 6.) Applicando il principio di sovrapposizione degli effetti, in modo analogo a quanto già visto per il calcolo delle tensioni indotte da una superficie di carico rettangolare, l Eq. 6. permette di determinare il cedimento di qualunque punto della superficie, sia interno che esterno all area di carico. In particolare il cedimento massimo corrisponde al centro dell area di carico. Se la fondazione è rigida il cedimento può essere assunto in prima approssimazione pari all 80% del cedimento massimo della fondazione flessibile. Più in generale il cedimento immediato medio 3 di una fondazione rettangolare flessibile su argilla satura (ν = 0,5) può essere stimato con la seguente equazione (Jambu, 956; Christian e Carrier, 978): p B Si = µ 0 µ (Eq. 6.3) E u In cui µ 0 e µ sono fattori dipendenti rispettivamente dalla profondità del piano di fondazione e dallo spessore dello strato compressibile (Figura 6.). Per il calcolo dei cedimenti immediati di fondazioni su terreno stratificato e dei cedimenti di strutture sotterranee come le tubazioni si può ricorrere ancora all Eq. 6.3 con un artificio. In particolare il cedimento immediato di una fondazione su un terreno costituito da due strati, A e B, caratterizzati da due differenti valori del modulo elastico non drenato, E u,a e E u,b, (Figura 6.3) può essere ottenuto sommando i contributi al cedimento dovuti alla deformazione dello strato A e dello strato B: S i = S i,a + S i,b (Eq. 6.4) Il termine S i,a è il cedimento calcolato assumendo H=H A e E u =E u,a. Il termine S i,b è la differenza fra il cedimento calcolato assumendo H=H B e E u =E u,b e il cedimento calcolato assumendo H=H A e E u =E u,b. Analogamente e con riferimento allo schema di Figura 6.4, il cedimento della tubazione posta alla profondità H, può essere calcolato come differenza tra il cedimento calcolato assumendo H=H e il cedimento calcolato assumendo H=H. 3 Spesso si assume che il cedimento medio di una fondazione flessibile sia eguale al cedimento della fondazione rigida 9 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

278 Capitolo 6 CEDIMENTI DI FONDAZIONI SUPERFICIALI Figura 6. - Fattori µ 0 e µ per il calcolo del cedimento immediato di fondazioni su argilla satura fondazione B x L p E u fondazione B x L p A H A E u,a H H B H B E u,b Figura Schema per il calcolo dei cedimenti Figura Schema per il calcolo dei cedimenti immediati di una tubazione dovuti immediati di una fondazione superficiale su terreno coesivo saturo stratificato ad una fondazione su terreno coesivo satu- 9 ro J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

279 Capitolo 6 CEDIMENTI DI FONDAZIONI SUPERFICIALI 6.. Cedimento di consolidazione, S c Nel Capitolo 7 (Compressibilità e consolidazione edometrica), abbiamo visto come si possono calcolare i cedimenti di consolidazione in condizioni edometriche, ovvero in condizioni di espansione laterale impedita, con filtrazione e deformazioni solo in direzione verticale. Abbiamo anche visto che in tali condizioni, se il terreno è saturo, il cedimento istantaneo è zero e l incremento di pressione interstiziale u è pari all incremento di tensione verticale totale applicato in superficie σ. Inoltre all istante iniziale, ovvero in condizioni non drenate, le tensioni efficaci non variano e quindi le tensioni principali totali hanno pari incremento: σ = σ 3 = u = σ. Nel Capitolo 8 ( Ancora sulla consolidazione ), abbiamo visto che se la pressione non è uniforme, o se gli strati non sono orizzontali, o se l area di carico non è infinitamente e- stesa, la consolidazione non è monodimensionale. Nel Capitolo 6 ( Pressioni di contatto e diffusione delle tensioni in un semispazio elastico ), abbiamo visto che carichi applicati in superficie producono in generale incrementi delle tensioni principali maggiore e minore differenti fra loro, σ σ 3. Infine nel Capitolo 9 ( Resistenza al taglio ), abbiamo visto che l incremento di pressione interstiziale u in condizioni non drenate prodotto da un incremento σ della tensione principale maggiore e σ 3 della tensione principale minore è: u = B [ σ3 + A ( σ σ3 )], con A e B parametri di Skempton (se il terreno è saturo B = ). Tutto ciò premesso e richiamato, è evidente che il cedimento di consolidazione di una fondazione superficiale su argilla satura dovrebbe essere calcolato tenendo conto delle effettive condizioni al contorno, che in generale non corrispondono alle condizioni edometriche. Tuttavia per motivi di semplicità la stima del cedimento di consolidazione di fondazioni superficiali su terreni a grana fine è abitualmente ottenuta con un metodo di calcolo semplificato (metodo di Terzaghi) che si basa sulle ipotesi di consolidazione edometrica, modificando eventualmente il risultato ottenuto con un fattore correttivo empirico per tenere conto delle approssimazioni introdotte. Metodo di Terzaghi Il metodo si basa sulle seguenti ipotesi semplificative, verificate con approssimazione tanto migliore quanto più è piccolo il rapporto H/B tra lo spessore H dello strato compressibile e la dimensione caratteristica B in pianta dell area caricata: - le deformazioni avvengono solo in direzione verticale, senza contrazioni o espansioni orizzontali; - la sovra pressione dei pori iniziale u è pari all incremento di tensione verticale totale σ v indotta dai carichi. Con riferimento allo schema di Figura 6.5, i passi necessari per applicare il metodo sono i seguenti:. Si definisce il modello geotecnico, ovvero lo schema a strati orizzontali di riferimento, per ciascuno dei quali si stimano, in funzione della profondità o come valore medio, il 93 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

280 Capitolo 6 CEDIMENTI DI FONDAZIONI SUPERFICIALI peso di volume, γ, l indice dei vuoti, e 0, gli indici di compressione, C c, e di ricompressione-rigonfiamento, C s, nonché la profondità della falda. q B γ D p = q -γ D σ v D q D Z W H H H H H A H 3 H 4 H 3 H 4 H 5 σ v0 + σ v H 5 H H 6 H 6 H 7 H 7 H B H 8 H 8 H 9 H 9 σ v0 σ c Figura Metodo edometrico per la stima dei cedimenti di consolidazione di fondazioni superficiali. Si determina e si traccia il profilo della tensione verticale efficace geostatica, σ v0, in asse alla fondazione. 3. Si determina e si traccia il profilo della pressione di consolidazione, σ c. Per terreni NC i profili di σ v0 e di σ c coincidono. 4. Si determina la pressione verticale media netta trasmessa dalla fondazione, p = q - γd, in cui q è la pressione media totale trasmessa dalla fondazione e γd è la tensione verticale totale geostatica alla profondità del piano di fondazione. 5. Si determina e si traccia il profilo dell incremento di tensione verticale σ v prodotto dalla pressione p agente sull area di carico, in asse alla fondazione, utilizzando la teoria dell elasticità, fino alla profondità Z oltre la quale non sono presenti strati compressibili o fino alla profondità Z alla quale si ha σ v = 0, σ v0. 6. Si assume che il cedimento di consolidazione sia dovuto alle deformazioni verticali del terreno fra le profondità D e Z, e quindi che lo spessore di terreno compressibile sia H = Z D. 7. Si suddivide lo spessore H in strati coincidenti con gli strati orizzontali del modello geotecnico oppure, qualora vi siano strati di grande spessore, suddividendoli ulte- 94 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

281 Capitolo 6 CEDIMENTI DI FONDAZIONI SUPERFICIALI riormente in sottostrati. Poiché il metodo di calcolo del cedimento sostituisce all integrale delle deformazioni verticali nello spessore H la sommatoria dei cedimenti dei singoli strati e sottostrati, l approssimazione sarà tanto migliore quanto minore sarà il loro spessore. Spesso si considerano strati e sottostrati di eguale spessore, ma poiché il cedimento di quelli più superficiali, a parità di rigidezza, contribuisce maggiormente al cedimento totale sarebbe buona norma eseguire una suddivisione tale che gli strati o sottostrati più superficiali siano di minore spessore. Indicando con H i lo spessore dell i-esimo strato o sottostrato, sarà H = ΣH i. 8. In corrispondenza del punto medio di ciascuno strato o sottostrato di spessore H i si determinano i valori di: σ v0, σ c, σ v, e 0, C c, C s. 9. Si stima il cedimento di ogni strato o sottostrato i-esimo nel modo seguente: a) se σ c = σ v0 (terreno N.C.): H ( ) i σ v0 + σ v H i = Cc log (Eq. 6.5) + e0 σ v0 b) se σ c > (σ v0 + σ v ): H ( ) i σ v0 + σ v H i = Cs log (Eq. 6.6) + e0 σ v0 c) se (σ v0 + σ v ) >σ c > σ v0 : H ( ) i σc σ v0 + σ v H i = Cs log + Cc log (Eq. 6.7) + e0 σ v0 σc 0. Si stima il cedimento di consolidazione edometrico di tutto lo strato compressibile H: S ed = Σ H i (Eq. 6.8) Alternativamente il cedimento di consolidazione edometrico può essere calcolato utilizzando i moduli edometrici, M, (o i coefficienti di compressibilità m v ) invece degli indici di compressione, C c, e di ricompressione-rigonfiamento, C s. In tal caso il contributo al cedimento totale di ogni i-esimo strato sarà calcolato con l equazione: σ v H i = H i = H i m v σ v (Eq. 6.9) M in cui i valori di M (o di m v ) devono riferirsi alla tensione verticale litostatica efficace, σ v0, nel punto medio dello strato i-esimo. Correzione di Skempton-Bjerrum Il metodo di Terzaghi si basa sulle ipotesi di consolidazione monodimensionale (ε r = 0, u = σ). Poiché il terreno sottostante la fondazione non è confinato lateralmente, l incremento di pressione interstiziale all istante di applicazione del carico, in condizioni non drenate, è diverso e in genere inferiore all incremento di tensione verticale totale ( u < σ). Poiché le deformazioni per consolidazione sono dovute alla riduzione di volume derivante dal dissiparsi delle sovrapressioni interstiziali, ne consegue che le deformazioni reali di consolidazione sono inferiori a quelle calcolate con il metodo di Terzaghi. 95 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

282 Capitolo 6 CEDIMENTI DI FONDAZIONI SUPERFICIALI Skempton e Bjerrum (957) suggerirono di stimare il cedimento di consolidazione con la seguente equazione semi-empirica: S = µ c S ed (Eq. 6.0) in cui µ (Figura 6.6) è un coefficiente semi-empirico, ottenuto da prove triassiali e quindi in condizioni di carico assialsimmetriche, funzione del coefficiente di pressione dei pori A, che a sua volta è funzione del grado di sovraconsolidazione e del livello di mobilitazione della resistenza (vedi Capitolo 9 Resistenza al taglio ), e della forma dell area di carico. Figura Valori del coefficiente di correzione µ per la stima del cedimento di consolidazione di fondazioni superficiali Per fondazioni quadrate o rettangolari non molto allungate di area A ci si può riferite al caso della fondazione circolare con diametro equivalente D = A. Come si può osservare dal grafico di Figura 6.6, i valori di µ sono π inferiori ad, salvo che per argille sensibili, e sono generalmente compresi tra 0,7 e per le argille normalmente consolidate, tra 0,5 e 0,7 per le argille mediamente sovraconsolidate, e tra 0, e 0,5 per le argille fortemente sovra-consolidate. Da quanto finora detto risulta che il cedimento totale di una fondazione superficiale su terreno a grana fine può essere stimato con la relazione: S = S + S = S + µ S (Eq. 6.) i c i ed È stato osservato (Burland et al., 978) che per fondazioni superficiali su: - argille normalmente consolidate il cedimento immediato S i è piccolo rispetto al cedimento totale S (S i /S 0,) e che il cedimento per consolidazione S c non è molto inferiore al cedimento calcolato con il metodo edometrico (S c /S ed = µ = 0,7 ). Pertanto per semplicità e tenuto conto delle numerose fonti di incertezza, ci si può limitare al calcolo del cedimento edometrico e assumere: S i = 0, S ed S c = S ed S =, S ed 96 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

283 Capitolo 6 CEDIMENTI DI FONDAZIONI SUPERFICIALI - argille sovra consolidate il cedimento immediato S i costituisce un aliquota importante del cedimento totale S (S i /S 0,6) e che pertanto, limitandoci al calcolo del cedimento edometrico, si può assumere: S i = 0,6 S ed S c = 0,4 S ed S = S ed. 6.3 Cedimenti di fondazioni superficiali su sabbia A causa della natura granulare delle sabbie è più probabile che si verifichino sensibili cedimenti assoluti e differenziali a causa delle vibrazioni, prodotte da macchinari, dal traffico o da terremoti, che non a causa della pressione trasmessa dalle fondazioni. Comunque sono stati proposti molti metodi per la stima dei cedimenti di fondazioni superficiali su sabbia, la maggior parte dei quali empirici o semi-empirici, basati cioè sull osservazione di un certo numero di casi reali. L esistenza di molti metodi è un chiaro indice del fatto che nessuno di essi può considerarsi accurato e affidabile. Tuttavia una stima accurata dei cedimenti di fondazioni su sabbia non è in generale molto importante, sia perché tali cedimenti sono di modesta entità (raramente superiore a 4cm), sia perché sono immediati (le condizioni di carico sono drenate) e si esauriscono durante la costruzione, salvo quando il carico accidentale non sia molto superiore al carico permanente. Poiché inoltre è molto difficile ottenere campioni indisturbati di sabbia su cui eseguire prove di laboratorio atte alla caratterizzazione meccanica del terreno in sito, i più diffusi metodi di calcolo del cedimento di fondazioni superficiali su sabbia sono basati sui risultati di prove in sito. I metodi attualmente più accreditati sono il metodo di Schmertmann ( ) che utilizza i risultati di prove penetrometriche statiche, CPT, e il metodo di Burland e Burbridge (985) che utilizza i risultati di prove penetrometriche dinamiche, SPT Metodo di Schmertmann Il metodo di Schmertmann consente di stimare il cedimento di fondazioni superficiali su sabbia utilizzando il profilo di resistenza penetrometrica di punta, q c, di una prova CPT. Con riferimento allo schema di Figura 6.7, il cedimento della fondazione è stimato con l equazione: z C = C I z z S p Eq. (6.) C q 3 0 c in cui: p = p p 0 è la pressione media netta applicata dalla fondazione, p è la pressione trasmessa dalla fondazione, p 0 è la pressione efficace alla profondità del piano di fondazione, z è la profondità significativa, ovvero la profondità massima dal piano di fondazione del terreno che contribuisce al cedimento, z è il generico strato in cui si è suddiviso lo spessore z di terreno, che al limite può coincidere con l intervallo di campionamento della prova, q c è la resistenza di punta media dello strato z, 97 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

284 Capitolo 6 CEDIMENTI DI FONDAZIONI SUPERFICIALI I z C C C 3 p 0 è un fattore di influenza della deformazione verticale media, la cui variazione con la profondità è rappresentata in Figura 6.7, è un fattore che dipende dalla profondità del piano di fondazione, è un fattore di viscosità, è un fattore che dipende dalla forma dell area di carico. B p D I zmax I z0 I z z /B z /B I I z z = I = z z0 I + z,max z ( I I ) z,max ( z z) z0 z z z per B z per B z B z B z B Figura Metodo di Schmertmann per la stima del cedimento di fondazioni superficiali su sabbia I fattori e le variabili che compaiono nell Eq. 6. sono calcolati con riferimento alle seguenti formule e ai valori riportati in Tabella 6.: p 0 C = 0,5 0,5 p Eq. (6.3) C = + 0, log0 0t Eq. (6.4) essendo t il tempo dalla fine della costruzione espresso in anni; 0,5 p I z,max = 0,5 + 0, Eq. (6.5) σ v essendo σ v la tensione verticale efficace alla profondità z Metodo di Burland e Burbridge Il metodo di Burland e Burbridge per la stima del cedimento di fondazioni su sabbie normalmente consolidate (NC) e sovra consolidate (OC) dai risultati di prove SPT si basa su un analisi statistica di un grande numero casi osservati. 98 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007) z/b

285 Capitolo 6 CEDIMENTI DI FONDAZIONI SUPERFICIALI Tabella 6. Valori dei parametri z, z e C 3 che compaiono nell equazione 6. al variare della forma della fondazione Forma dell area di carico Striscia (B/L = 0) Quadrato (B/L = ) Rettangolo (0<B/L<) B I z0 0, 0, 0, 0, L z B 0,5 0,5 B L z B 4 4 B L B C 3 3,5,5 3,5 L Il cedimento di fondazioni su sabbie NC, al termine della costruzione, è stimato con la seguente equazione: S i 0,7 = f s f q B I c Eq. (6.6) in cui: S i B f s è il cedimento medio immediato espresso in mm, è la larghezza della fondazione, in metri,,5 L B = L B 0,5 è un fattore di forma che assume i valori: + f s = per fondazione quadrata o circolare (L/B = ) f s =,5 per fondazione a nastro H s H s 0,763 f = è un fattore di spessore, in cui Z I = B è la profondità di influenza, e H s è lo spessore dello strato di sabbia sotto la fondazione. ZI ZI Z I e H s sono espressi in metri. Se H s > Z I si assume f =. q è la pressione media trasmessa dalla fondazione, in kpa,,7 I c = è un indice di compressibilità, funzione di un valore medio, N,,4 N dell indice della prova SPT. I valori direttamente misurati dell indice N SPT = N + N 3 sono corretti per tener conto della composizione granulometrica, nel modo seguente: per sabbie molto fini o limose sotto falda N = 5+0,5 (N SPT 5), per ghiaie o sabbie ghiaiose N =,5 N SPT 99 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

286 Capitolo 6 CEDIMENTI DI FONDAZIONI SUPERFICIALI Se i valori di N SPT (o del valore corretto N ) crescono o sono pressoché costanti con la profondità, la media N è calcolata entro la profondità di influenza Z I, altrimenti entro una profondità pari a B. Nel caso di fondazioni su sabbie OC o disposte alla base di uno scavo, indicando con σ v0 la pressione di consolidazione del terreno OC o la pressione verticale efficace litostatica alla profondità dello scavo, l equazione per il calcolo del cedimento medio immediato al termine della costruzione è modificata nel modo seguente: 0,7 I c Si = f s f q B 3 se q < σ v0 Eq. (6.7) 0,7 Si = f s f q σ v0 B I c = 3 I c 0, 7 = f s f σ v0 + ( q σ v0 ) I c B 3 se q > σ v0 Eq. (6.8) Tale modifica consegue dall assunzione che la compressibilità della sabbia sovraconsolidata, per cause geologiche, per erosione o anche per la decompressione conseguente allo scavo, sia circa pari a /3 della compressibilità di una sabbia NC. Poiché tuttavia non è facile stabilire se una sabbia è sovra consolidata e tanto meno determinare il valore della pressione di consolidazione, è prudente non tenere conto di un eventuale sovraconsolidazione e utilizzare le Equazioni 6.7 e 6.8 solo per fondazioni alla base di uno scavo. Per tenere conto degli effetti viscosi Burland e Burbridge propongono di moltiplicare il cedimento immediato per un fattore di correzione: S = S i f t t Eq. (6.9) f t = + R 3 + R t log0 3 in cui t è il tempo dalla fine della costruzione espresso in anni (t 3), ed R 3 e R t sono coefficienti che dipendono dalle condizioni di carico (Tabella 6.3). Tabella 6.3 Valori dei coefficienti R 3, e R t che compaiono nell equazione 6.9 al variare delle condizioni di carico Condizioni di carico R 3 R t Carichi statici 0,3 0, Carichi ciclici 0,7 0,8 L apparente accuratezza dei metodi sopra esposti non deve farci dimenticare quanto detto all inizio del paragrafo: la stima del cedimento di fondazioni superficiali su sabbia è sempre molto incerta, sia a causa della variabilità intrinseca dei depositi sabbiosi, sia per la natura empirica o semi empirica di metodi di calcolo, cosicché errori dell ordine del 50% sono molto frequenti, ma raramente l entità dei cedimenti è tale da creare un reale problema ingegneristico. 300 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

287 Capitolo 6 CEDIMENTI DI FONDAZIONI SUPERFICIALI 6.4 Cedimenti assoluti e differenziali ammissibili Dopo avere stimato l entità dei cedimenti di una fondazione superficiale occorre valutarne l ammissibilità. Il problema è molto complesso per i seguenti motivi: - Innanzitutto l entità e la distribuzione del carico trasmesso dalla fondazione al terreno, che abbiamo finora considerato un dato del problema, in realtà non sono affatto certe, sia perché possono variare nel tempo sia perché dipendono dall interazione terreno fondazione struttura in elevazione. Ad esempio la pressione trasmessa da un rilevato stradale può considerarsi nota e sostanzialmente costante nel tempo, in quanto il carico accidentale è piccolo rispetto a quello permanente e la fondazione può considerarsi priva di rigidezza. Al contrario il carico trasmesso dalle fondazioni superficiali di un fabbricato dipende in modo rilevante sia dalla rigidezza della struttura in elevazione, comprese le parti non strutturali come le pareti di tamponamento con le loro aperture o le pavimentazioni, sia dalla tipologia e dalla rigidezza della struttura di fondazione (plinti, travi, reticoli di travi, platee), sia infine dalla natura del terreno di fondazione (coesivo o incoerente). Inoltre per le strutture in cui il carico accidentale è prevalente, o comunque rilevante, come ad esempio i serbatoi o i palazzetti dello sport, occorre valutare quale aliquota del carico accidentale mettere in conto per la stima dei cedimenti. Infatti mentre per la verifica di capacità portante è ovvio che si debba considerare la combinazione di carico più sfavorevole, anche se improbabile e di breve durata, per il calcolo dei cedimenti occorrerà distinguere tra cedimenti immediati prodotti dal carico massimo e cedimenti di consolidazione prodotti da un carico medio di lunga durata. - Occorre poi considerare che una parte del cedimento può essere dovuto a cause diverse dal carico trasmesso dalla fondazione, in primo luogo dai carichi trasmessi da fondazioni vicine, appartenenti o meno allo stesso complesso strutturale, poi dalle oscillazioni di falda, dal rigonfiamento e/o dal ritiro dei terreni argillosi, da movimenti franosi, dallo scavo di una galleria a piccola profondità, da vibrazioni etc.. - L ammissibilità dei cedimenti assoluti e differenziali dipende poi dalla vulnerabilità della struttura portante (le strutture isostatiche sono meno vulnerabili) e delle strutture portate (tramezzi, infissi, collegamenti impiantistici), dalla destinazione d uso, dalla qualità dei materiali impiegati. - A tutto ciò si aggiunge l incertezza della stima dei cedimenti, legata sia al modello geotecnico, necessariamente semplificato, sia al metodo di calcolo. Pertanto, pur non rinunciando ad un calcolo analitico dell interazione terreno struttura di fondazione-struttura in elevazione per la valutazione dei cedimenti assoluti e differenziali, con metodi che sono oggetto di un altro corso del settore geotecnico (Fondazioni Speciali), l ingegnere dovrà tenere conto dell esperienza propria e altrui, basata sull osservazione di casi reali. 30 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

288 Capitolo 6 CEDIMENTI DI FONDAZIONI SUPERFICIALI In Figura 6.8 (Burland e Wroth, 974) sono graficamente rappresentati i parametri che descrivono i cedimenti assoluti e differenziali: i punti A, B, C e D possono rappresentare plinti isolati di un sistema di fondazioni superficiali, ma anche punti appartenenti ad un muro, ad una trave o ad una platea di fondazione. Con riferimento alla Figura 6.8 i parametri, e i relativi simboli, sono i seguenti: ρ i, cedimento del punto i (i = A, B, C, D), ρ max, cedimento massimo (ρ max = ρ B ), δρ, cedimento differenziale, ovvero differenza fra i cedimenti di due punti, δρ max, cedimento differenziale massimo, (δρ max = δρ BD = ρ B ρ D ) Figura 6.8: Parametri per la definizione dei cedimenti assoluti e differenziali θ, rotazione ovvero pendenza rispetto all orizzontale della retta congiungente due punti consecutivi, θ max, rotazione massima (θ max = θ AB = arctan(δρ AB /L AB ) ω rotazione rigida, ovvero pendenza rispetto all orizzontale della retta congiungente i due punti A e D di estremità (ω = arctan(δρ AD /L AD ), inflessione relativa, ovvero distanza del punto i (i = B, C), rispetto alla retta congiungente i due punti di estremità, max inflessione relativa massima ( max = B ), /L rapporto d inflessione, rapporto fra l inflessione relativa e la lunghezza totale L = L AD α deformazione angolare, (positiva per concavità verso l alto sagging e negativa per concavità verso il basso hogging ), rappresenta la rotazione totale in un punto (α B = θ AB + θ BC ); β rotazione relativa o distorsione angolare, rotazione della retta congiungente due punti rispetto alla retta congiungente i punti di estremità (β AB = θ AB + ω, β DC = θ DC - ω). Un cedimento uniforme non determina variazioni nello stato tensionale della struttura in elevazione, e pertanto potrebbero essere tollerati anche cedimenti elevati purché compatibili con la funzionalità dell opera. Al contrario movimenti di rotazione rigida e cedimenti differenziali alterano le sollecitazioni nella struttura e sono quindi più pericolosi per l integrità dell opera. 30 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

289 Capitolo 6 CEDIMENTI DI FONDAZIONI SUPERFICIALI Poiché tuttavia il cedimento differenziale aumenta al crescere del cedimento assoluto, spesso si pongono limitazioni al cedimento assoluto, di meno incerta determinazione, ed in tal modo ci si garantisce anche rispetto al cedimento differenziale. Esistono molti grafici e tabelle, proposti da vari Autori, che su base statistica indicano i valori ammissibili dei diversi parametri che definiscono i cedimenti assoluti e differenziali. A titolo di esempio, in Tabella 6.4, sono riportati alcuni dei valori della distorsione angolare limite suggeriti da Bjerrum (963), in Tabella 6.5 i valori ammissibili di alcuni parametri di deformazione secondo Sowers (96). In generale si può dire che: - sono ammissibili cedimenti maggiori su argilla che su sabbia, poiché avvengono più gradualmente nel tempo e permettono alla struttura di adeguarsi; - gli edifici intelaiati sopportano meglio i cedimenti differenziali degli edifici di muratura portante, più rigidi e fragili; - i muri portanti sopportano meglio deformazioni angolari con concavità verso l alto che verso il basso; - le strutture lunghe sopportano meglio le inflessioni relative. Tabella Distorsioni angolari limite secondo Bjerrum (963) Categoria di danno potenziale Limite oltre il quale possono sorgere problemi in macchinari sensibili ai cedimenti tanβ /750 Limite di pericolo per strutture reticolari /600 Limite di sicurezza per edifici in cui non si ammettono fessurazioni /500 Limite oltre il quale possono apparire le prime fessure nei muri di tamponamento e difficoltà nell uso dei carri ponte /300 Limite oltre il quale possono essere visibili inclinazioni di edifici alti /50 Notevoli fessure in muri di tamponamento e muri portanti in laterizio. Limite di sicurezza per muri portanti in laterizio con h/l</4. /50 Limite oltre il quale si devono temere danni strutturali negli edifici. 303 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

290 Capitolo 6 CEDIMENTI DI FONDAZIONI SUPERFICIALI Tabella Valori ammissibili di alcuni parametri di deformazione delle strutture secondo Sowers (96) Tipo di movimento Fattore di limitazione Valore ammissibile Cedimento massimo ρ max (cm) Rotazione rigida tanω Rotazione relativa tanβ Collegamento a reti di servizi 5 30 Accessibilità Probabilità di cedimenti differenziali in: a) murature portanti,5 5 b) strutture intelaiate 5 0 c) ciminiere, silos 7,5 30 Stabilità al ribaltamento Dipende dalla posizione del baricentro Operatività di macchine: a) macchine tessili 0,003 b) turbogeneratori 0,000 c) binari di carro ponte 0,003 Drenaggio di superfici pavimentate 0,0 0,0 Murature portanti multipiano 0,0005 0,00 Murature portanti ad un piano 0,00 0,0 Lesioni di intonaci 0,00 Telai in c.a. 0,005 0,004 Pareti di strutture a telaio in c.a. 0,003 Telai in acciaio 0,00 Strutture semplici d acciaio 0, J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

291 Capitolo 7 TIPOLOGIA E CAPACITÀ PORTANTE DI FONDAZIONI PROFONDE CAPITOLO 7 TIPOLOGIA E CAPACITÀ PORTANTE DI FONDAZIONI PROFONDE 7. Definizione, impiego e classificazione delle fondazioni profonde Terzaghi definisce profonda una fondazione per la quale il rapporto tra la profondità della base d appoggio, D, e la larghezza, B, è maggiore di 0. Per le fondazioni profonde non è trascurabile, ed anzi è spesso prevalente, il contributo alla capacità portante delle tensioni tangenziali d attrito e di aderenza tra il terreno e la superficie laterale della fondazione. Le più comuni fondazioni profonde sono i pali di fondazione. Nel seguito ci riferiremo esclusivamente ad essi. Le fondazioni profonde sono di norma più costose delle fondazioni superficiali, per cui si ricorre ad esse quando la soluzione con fondazioni superficiali non è in grado di soddisfare le esigenze del problema geotecnico. In particolare le fondazioni profonde sono impiegate per (Figura 7.): a) trasferire il carico a strati di terreno profondi più resistenti, b) trasferire il carico anche attraverso tensioni tangenziali d attrito o d aderenza lungo il fusto, c) resistere ad azioni di trazione, d) resistere ad azioni orizzontali, e) resistere in gruppo a carichi inclinati, f) assicurare la stabilità anche in caso di scalzamento degli strati superficiali, g) trasferire il carico al di sotto di un futuro piano di scavo, h) attraversare strati di terreno rigonfiante. Figura 7. Situazioni in cui è opportuno utilizzare una fondazione su pali 305 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

292 Capitolo 7 TIPOLOGIA E CAPACITÀ PORTANTE DI FONDAZIONI PROFONDE I pali di fondazione possono essere classificati in base a differenti criteri: Rispetto alle dimensioni - piccolo diametro o micropali (d 5 cm), - medio diametro (30 d 60 cm), - grande diametro (d 80 cm). Rispetto al materiale costituente - calcestruzzo (prefabbricato o gettato in opera, normale, centrifugato, vibrato, precompresso), - acciaio, - legno. Rispetto al procedimento costruttivo - infissi (senza asportazione di terreno, prefabbricati o gettati in opera), - trivellati (con asportazione di terreno), - trivellati con elica continua (parziale asportazione di terreno). Quest ultimo criterio è il più importante, poiché il comportamento meccanico, resistente e deformativo, del sistema palo-terreno è fortemente dipendente, oltre che dal tipo di terreno, dalle modalità di messa in opera del palo e dalle conseguenti modifiche dello stato tensionale preesistente nel terreno. A titolo di esempio l infissione di un palo senza asportazione di terreno in sabbia sciolta produce un addensamento, ovvero una riduzione dell indice dei vuoti, del terreno circostante che si manifesta con la formazione di un cratere nell intorno della testa del palo (Figura 7.). Per effetto dell addensamento la resistenza al taglio aumenta. Al contrario l infissione di un palo senza asportazione di terreno in argilla satura avviene in condizioni non drenate a volume costante, con la formazione di un rigonfiamento nell intorno della testa del palo (Figura 7.3). La pressione interstiziale nell intorno del palo ha un forte incremento, con conseguente caduta di resistenza al taglio (la qual cosa facilita l infissione), solo in parte recuperata nel tempo. Anche la realizzazione di pali previa asportazione di terreno crea disturbo nel terreno circostante, alterandone lo stato di tensione, ma in misura assai minore rispetto ai pali battuti. I pali trivellati con elica continua, con parziale asportazione di terreno, producono nel terreno effetti intermedi rispetto ai casi precedenti. In Tabella 7. sono riportati per confronto i vantaggi e i limiti dei pali battuti (messi in opera senza asportazione di terreno) e dei pali trivellati (messi in opera previa asportazione del terreno). I pali in legno non sono quasi più utilizzati in Italia, ma lo sono in alcuni Paesi del nord Europa e soprattutto sono presenti in tutte le costruzioni del passato fondate su pali (ad es. i ponti e quasi tutti i palazzi di Venezia, etc..). Nei lavori di consolidamento e restauro statico di antichi edifici è frequente dover intervenire su fondazioni profonde costituite da pali in legno. I pali in legno, se non adeguatamente trattati e protetti, possono deteriorarsi se soggetti a periodiche immersioni ed emersioni dalla falda. 306 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

293 Capitolo 7 TIPOLOGIA E CAPACITÀ PORTANTE DI FONDAZIONI PROFONDE Figura 7. Infissione di un palo senza a- sportazione di terreno in sabbia sciolta Figura 7.3 Infissione di un palo senza a- sportazione di terreno in argilla satura Tabella 7.: Confronto tra pali battuti e pali trivellati PALI BATTUTI TRIVELLATI notevoli limitazioni in presenza di possono attraversare qualsiasi terreni compatti, strati lapidei, trovanti di terreno (con opportuno sistema Terreni attraversabili perforazione) Modifiche che la messa in opera del palo provoca nel terreno circostante Dimensioni Inclinazione massima possibile Qualità del calcestruzzo Attrezzature Impatto - in terreni incoerenti producono un addensamento con conseguente miglioramento delle proprietà meccaniche - in terreni coesivi producono rimaneggiamento e diminuzione della resistenza al taglio D max 60 cm L max 0 m per pali prefabbricati è necessario prefissare la lunghezza fino a 5-0 ottima ingombranti e costose vibrazioni e scosse durante la messa in opera decompressione del terreno e peggioramento delle sue caratteristiche meccaniche. In terreni coesivi tale effetto può essere ridotto nessuna limitazione generalmente impossibile salvo che per pali di piccolo diametro da controllare, può essere molto scadente per pali di grande diametro ingombranti e costose molto minore che per i pali battuti 307 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

294 Capitolo 7 TIPOLOGIA E CAPACITÀ PORTANTE DI FONDAZIONI PROFONDE 7. Tipologie e tecniche di realizzazione dei pali di fondazione Nell ambito di ciascuna classe di pali esistono differenti tipologie e tecniche di realizzazione. In Tabella 7. sono riassunte le tipologie e le tecniche di realizzazione dei pali infissi senza asportazione di terreno. In Figura 7.4 sono rappresentati i più diffusi pali battuti prefabbricati. In Figura 7.5 viene descritta la tecnica di realizzazione del palo Franki, che è un palo infisso e gettato in opera. Tabella 7. - Tipologie e tecniche di realizzazione dei pali infissi MATERIALE TECNOLOGIA INFISSIONE legno per battitura acciaio profilati di varie forme eventualmente saldati fra loro; per battitura o per vibrazione o a pressione elementi tubolari - in cantiere, di c.a. normale prefabbricati per battitura, con eventuale parziale ausilio di o di c.a.p. (sempre con armatura) getto d acqua - in stabilimento, di c.a. centrifugato calcestruzzo costruiti in opera (con o senza armatura) - con tubo forma metallico recuperabile - con tubo forma metallico a perdere - con elementi tubolari in c.a. a perdere per battitura, per vibrazione per battitura per battitura, a pressione Figura Tipi di pali battuti prefabbricati 308 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

295 Capitolo 7 TIPOLOGIA E CAPACITÀ PORTANTE DI FONDAZIONI PROFONDE Figura Tecnica di realizzazione del palo Franki: a) infissione del tubo; b) formazione del bulbo; c) formazione del fusto; d) palo ultimato. I pali messi in opera previa asportazione del terreno si differenziano per la tecnica di scavo (Tabella 7.3), per le modalità di sostegno delle pareti e del fondo scavo, e per il sistema di getto del calcestruzzo. La realizzazione di pali trivellati di medio e grande diametro in terreni coesivi consistenti e in assenza di falda può essere eseguita senza sostegno delle pareti del foro, ma nella maggior parte dei terreni le pareti del foro, ovvero della cavità in cui sarà inserito il palo, devono essere sostenute per evitarne il collasso o un eccessivo restringimento. Il sostegno può essere ottenuto con tubo forma metallico, temporaneo o definitivo, da mettere in opera a percussione, con morsa oscillante o con vibratore, e/o con fanghi bentonitici. I fanghi bentonitici sono una miscela di acqua e bentonite. La bentonite è un argilla molto plastica del gruppo montmorillonitico. Il fango bentonitico ha un peso di volume superiore a quello dell acqua e crea un sottile velo impermeabile sulla parete della cavità. Inoltre i fanghi bentonitici hanno proprietà tixotropiche, ovvero sono fluidi, se in movimento, e semisolidi, se fermi. Tale proprietà viene talvolta sfruttata per trasportare il materiale di scavo in superficie; infatti se la lavorazione viene interrotta il terreno in risalita rimane in sospensione e non precipita sul fondo scavo. Poiché il rivestimento metallico sostiene le pareti ma non il fondo dello scavo, talvolta si utilizzano in abbinamento sia il rivestimento metallico che i fanghi bentonitici. Il rivestimento metallico per il sostegno delle pareti del foro presenta i seguenti vantaggi: - protegge le pareti dello scavo contro il collasso durante la perforazione, - se definitivo, protegge il calcestruzzo fresco contro strizioni e dilavamenti, - è adatto per ghiaie con poca sabbia e terreni coesivi molto teneri o in corso di consolidazione 309 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

296 Capitolo 7 TIPOLOGIA E CAPACITÀ PORTANTE DI FONDAZIONI PROFONDE di contro: - se provvisorio, durante l estrazione nella fase di getto, può creare discontinuità nel palo, - l installazione e l estrazione rimaneggiano il terreno lungo il fusto (ciò è particolarmente importante nei terreni coesivi compatti), - è possibile la decompressione del terreno sotto la base del palo (molto importante nel caso di terreni sabbiosi sotto falda), - non è adatto per terreni argillosi compatti e sabbie sotto falda. Tabella Tecniche di scavo dei pali di fondazione A percussione (in genere con rivestimento metallico del foro) A rotazione (in genere senza rivestimento metallico del foro) SISTEMA DI PERFORAZIONE Con sonda a valvola (curetta) e foro rivestito con tubazione metallica. Con benna a ganasce e foro rivestito con tubazione metallica, o scoperto ma pieno di fango. Con scalpello e circolazione diretta di fango. Con trivella a spirale (auger) o secchione (bucket) e foro scoperto Con carotiere aperto e foro scoperto. Con secchione (bucket) e foro scoperto ma pieno di fango. Con carotiere aperto e foro scoperto ma pieno di fango. A distruzione di nucleo e circolazione diretta di fango. A distruzione di nucleo e circolazione inversa di fango Con carotiere aperto e contemporaneo rivestimento metallico del foro DIAMETRO DEL FORO 60 cm 40 cm 50 cm qualsiasi qualsiasi qualsiasi qualsiasi 50 cm 50 cm 5 cm TIPO DI TERRENO Tutti, esclusa la roccia lapidea in banchi. Impiego di scalpello per attraversare sottili stratificazioni lapidee o trovanti. Sconsigliabile per sabbie in falda. Come sopra, ma con maggiori possibilità di superare strati lapidei e trovanti senza ricorrere allo scalpello. Tutti, anche in falda, purché non eccessivamente permeabili. Esclusa solo la roccia lapidea in banchi. Sabbio-limoso, in assenza di falda, ovvero limoso e argilloso, anche in falda, purché esente da trovanti Come sopra, anche con trovanti; in più, roccia lapidea Tutti, anche in falda, esclusa solo la roccia lapidea in banchi o trovanti. Limosi e argillosi, anche con trovanti e in falda. Tutti, anche in falda, purché non eccessivamente permeabili. Come sopra. Tutti, anche in falda. In Figura 7.6 sono rappresentate le diverse fasi esecutive di un palo trivellato con uso di fanghi bentonitici per il sostegno del foro. 30 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

297 Capitolo 7 TIPOLOGIA E CAPACITÀ PORTANTE DI FONDAZIONI PROFONDE Figura Fasi di realizzazione di un palo trivellato con uso di fanghi bentonitici per il sostegno del foro 3 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

298 Capitolo 7 TIPOLOGIA E CAPACITÀ PORTANTE DI FONDAZIONI PROFONDE Nei lavori di sottofondazione di edifici e strutture esistenti, quando vi è la necessità di o- perare con attrezzature di ingombro e peso molto ridotti, o quando si debbano realizzare pali con forte inclinazione sulla verticale, si ricorre a pali trivellati di piccolo diametro (micropali). Esistono vari tipi di micropali, ma attualmente il più utilizzato è il micropalo Tubfix. L esecuzione del micropalo Tubfix prevede l introduzione di un armatura tubolare d acciaio di forte spessore in un foro eseguito per trivellazione, spesso con circolazione di fango bentonitici. Il tubo d acciaio ha una serie di valvole di non ritorno disposte a interasse di cm nel tratto terminale, in corrispondenza degli strati di terreno cui si intende trasferire il carico. In una prima fase, dalla valvola più profonda, viene iniettata una malta cementizia che, risalendo dal basso verso l alto, occupa l intercapedine tra la parete del foro e il tubo di armatura. In una seconda fase, è iniettata malta ad alta pressione attraverso ciascuna valvola, una per volta, dal basso verso l alto. Ciò produce la rottura della guaina e la formazione di sbulbature di diametro tanto maggiore quanto più tenero è il terreno circostante. Per tale motivo la capacità portante del sistema palo-terreno dipende assai più dalle caratteristiche del micropalo che non da quelle del terreno (Tabella 7.4). Tabella Carichi ammissibili per micropali Tubfix Diametro Diametro del tubo di armatura (mm) Carico massimo ammissibile (kn) del foro (mm) esterno interno a trazione a compressione 85 48,3 39, ,0 35, ,3 44, ,3 35, , 60, , 5, ,5 66, ,5 57, ,9 7, ,9 63, ,6 85, ,6 76, Capacità portante per carico verticale di un palo isolato Per stimare la capacità portante per carico verticale di un palo di fondazione isolato si fa riferimento allo schema di Figura 7.7. Il palo è un corpo cilindrico che oppone resistenza alla penetrazione nel terreno mediante tensioni tangenziali di attrito e/o di aderenza sulla superficie laterale e tensioni di compressione alla base. Le tensioni tangenziali si sviluppano per uno scorrimento relativo tra la superficie laterale del palo e il terreno circostante, in parte dovuto alla traslazione rigida e in parte alla compressione assiale del palo. Le tensioni di compressione alla base si sviluppano per un cedimento della base. Immaginiamo di applicare un carico verticale progressivamente crescente alla sommità del palo. Inizialmente, ovvero se il carico è piccolo, l equilibrio è garantito solo da tensioni tangenziali nella parte superiore del palo. Poi, al crescere dell intensità della forza, la deformazione del palo si propaga verso il basso e iniziano i cedimenti della base del palo. Oltre un certo valore del carico gli scorrimenti relativi tra la superficie laterale del palo e il terreno circostante sono tali da avere prodotto la completa mobilitazione delle tensioni 3 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

299 Capitolo 7 TIPOLOGIA E CAPACITÀ PORTANTE DI FONDAZIONI PROFONDE Q LIM Q S W P Q P Figura Schema per il calcolo della capacità portante di un palo isolato tangenziali d interfaccia, mentre vi è ancora un margine di crescita delle tensioni di compressione alla base. Se indichiamo con Q S la risultante delle tensioni di attrito e/o di aderenza laterale e con Q P la risultante delle tensioni di compressione alla base, quanto sopra detto comporta che, il carico applicato sulla sommità del palo è inizialmente equilibrato solo da Q S. All aumentare del carico applicato, Q S cresce e si sposta verso il basso, poiché vengono interessati anche i livelli di terreno più profondi. Comincia a traslare anche la base e quindi nascono tensioni di compressione alla base, ovvero Q P. Poi Q S non cresce più (e semmai decresce), ma aumenta Q P, fino alle condizioni di equilibrio ultime. La forza Q S è la risultante delle tensioni di attrito e/o di aderenza, le quali dipendono dall interazione tra la superficie laterale del palo e un determinato spessore di terreno deformato. La forza Q P invece è la risultante delle tensioni di compressione alla base del palo, le quali dipendono da un volume di terreno deformato, che si estende al di sopra e al di sotto della base del palo e le cui dimensioni sono funzione del diametro del palo. In pratica la completa mobilitazione della resistenza laterale (Q S ) si ha per spostamenti del palo di 6-0 mm indipendentemente dal diametro, mentre la completa mobilitazione della resistenza di punta (Q P ) si ha per spostamenti pari a circa l 8% del diametro per pali infissi e pari a circa il 5% del diametro per pali trivellati. La capacità portante per carico verticale di un palo isolato può essere valutata: - con formule statiche, - con formule dinamiche, - dai risultati di prove penetrometriche statiche e dinamiche, - dai risultati di prove di carico. 7.4 Stima della capacità portante per carico verticale di un palo isolato mediante formule statiche La stima della capacità portante per carico verticale di un palo isolato Q LIM mediante formule statiche è ottenuta valutando i valori massimi mobilizzabili, in condizioni di equilibrio limite, della resistenza laterale Q S e di quella di punta Q P : Q LIM + W P = Q S + Q P (Eq. 7.) essendo W P il peso proprio del palo. 33 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

300 Capitolo 7 TIPOLOGIA E CAPACITÀ PORTANTE DI FONDAZIONI PROFONDE Si fanno le seguenti ipotesi: - il carico limite del sistema palo terreno è condizionato dalla resistenza del terreno e non da quella del palo; - il palo è un corpo cilindrico rigido; - i termini di capacità portante per attrito e/o aderenza laterale Q S e di capacità portante di punta Q P non si influenzano reciprocamente e possono essere determinati separatamente. Nell esposizione si farà riferimento per semplicità ad un terreno di fondazione omogeneo. In realtà un palo di fondazione attraversa spesso strati di diversa natura, o comunque con proprietà geotecniche variabili con la profondità, per cui la capacità portante dovrà essere valutata per sommatoria dei contributi dei differenti strati Palo in terreno coesivo saturo Stima di Q S La capacità portante per aderenza e/o per attrito laterale per un palo di diametro D e lunghezza L è per definizione: Q S L = π D τ dz (Eq. 7.) 0 s Le tensioni tangenziali limite di attrito e/o di aderenza laterale all interfaccia tra la superficie del palo e il terreno coesivo saturo circostante, τ s, sono molto difficili da valutare a- naliticamente, poiché dipendono dal grado di disturbo e dall alterazione delle pressioni efficaci e interstiziali che le modalità di costruzione del palo producono nel terreno. Sul piano qualitativo il fenomeno è abbastanza chiaro, ma per una valutazione quantitativa è necessario ricorrere a semplificazioni drastiche e ad una buona dose di empirismo. I metodi attualmente più utilizzati sono due, il metodo α e il metodo β. È buona norma assumere come capacità portante per attrito e/o aderenza laterale di progetto il minore dei due valori stimati. a) Metodo α Si assume che le tensioni tangenziali limite siano una quota parte della resistenza al taglio non drenata originaria del terreno indisturbato: τ s = α c u (Eq. 7.3) in cui α è un coefficiente empirico di aderenza che dipende dal tipo di terreno, dalla resistenza al taglio non drenata del terreno indisturbato, dal metodo di costruzione del palo, dal tempo, dalla profondità, dal cedimento del palo. L Associazione Geotecnica Italiana suggerisce di assumere per α i valori indicati in Tabella J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

301 Capitolo 7 TIPOLOGIA E CAPACITÀ PORTANTE DI FONDAZIONI PROFONDE Tabella Valori indicativi del coefficiente di aderenza α per pali in terreni coesivi saturi Tipo di palo Materiale c u (kpa) α Infisso (senza asportazione di terreno) Trivellato (con asportazione di terreno) Calcestruzzo Acciaio Calcestruzzo , ,65 > 75 0, , ,65 > 75 0,50 5 0, , ,60 > 75 0,40 α c u,max (kpa) L Associazione Americana del Petrolio (A.P.I., 984) consiglia di utilizzare la seguente relazione (c u in kpa): c u < 5 α = 5 < c u < 75 α = -0,0 c u +,5 75 < c u α = 0,5 (Eq. 7.4) Altri autori (Viggiani, 999) suggeriscono invece (c u in kpa): per pali battuti: c u < 5 α = 5 < c u < 70 α = -0,0 (c u 5) 70 < c u α = 0,5 (Eq. 7.5) per pali trivellati: c u < 5 α = 0,7 5 < c u < 70 α = 0,7-0,008 (c u 5) 70 < c u α = 0,35 (Eq. 7.6) b) Metodo β Si assume che le sovrapressioni interstiziali che si generano durante la messa in opera del palo si siano dissipate al momento di applicazione del carico, e che pertanto la tensione tangenziale limite possa essere valutata, con riferimento alle tensioni efficaci, nel modo seguente: τ = (Eq. 7.7) s σ h tanδ = K σ v0 tanδ = β σ v0 35 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

302 Capitolo 7 TIPOLOGIA E CAPACITÀ PORTANTE DI FONDAZIONI PROFONDE in cui: σ h è la tensione efficace orizzontale nel terreno a contatto con il palo, σ v0 è la tensione efficace verticale iniziale, prima della messa in opera del palo, K è un coefficiente di spinta, rapporto fra σ h e σ v0, tanδ è il coefficiente d attrito palo-terreno. β è un coefficiente, pari al prodotto K tanδ. Se l angolo di attrito palo-terreno, δ, fosse eguale all angolo di resistenza al taglio del terreno, φ, e se l installazione del palo non producesse alterazioni nello stato tensionale del terreno, si avrebbe: K 0,5 = K0 ( senφ ) OCR tan tanφ δ = (Eq. 7.8) Per terreni coesivi l angolo di resistenza al taglio, φ, è generalmente compreso tra 0 e 30, per cui, per un terreno N.C., si otterrebbero valori di β compresi tra 0,4 e 0,9. Risultati sperimentali indicano che: - per pali infissi in terreni coesivi normalmente consolidati, il coefficiente β risulta compreso tra 0,5 e 0,40 (Figura 7.8), per cui sembra ragionevole assumere come valore di progetto β = 0,3; - per pali infissi in terreni coesivi sovraconsolidati, i valori del coefficiente β sono molto più dispersi, (Figura 7.9) ma comunque superiori ai valori ottenibili con le ipotesi dell eq. (7.8), che possono essere cautelativamente assunti come valori di progetto; Figura 7.8 Valori dell attrito laterale medio, τ s, con la profondità per pali infissi in argille tenere Figura Valori dell attrito laterale medio, τ s, con la profondità per pali infissi in argille consistenti 36 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

303 Capitolo 7 TIPOLOGIA E CAPACITÀ PORTANTE DI FONDAZIONI PROFONDE - per pali trivellati in terreni coesivi normalmente consolidati si può fare riferimento, come valore di progetto, a β = 0,5; - per pali trivellati in terreni coesivi sovraconsolidati i valori ottenibili con le ipotesi dell Eq. (7.7) non sono cautelativi, e, come valore di progetto, si può fare riferimento a β = 0,8 (Figura 7.0) Figura Valori dell attrito laterale medio, τ s, con la profondità per pali trivellati in argille consistenti Stima di Q P In genere il termine di capacità portante di punta Q P di pali in terreno coesivo contribuisce in maniera modesta (0%-0%) alla capacità portante totale. Per la stima di Q P si esegue un analisi in condizioni non drenate, in termini di tensioni totali. L equazione di riferimento è formalmente identica a quella della capacità portante di fondazioni superficiali su terreno coesivo in condizioni non drenate : Q P = A q = A c N + σ ) (Eq. 7.9) P P P ( u c v0, P in cui A P è l area di base del palo, q P è la capacità portante unitaria, c u è la resistenza al taglio in condizioni non drenate del terreno alla profondità della base del palo, σ v0,p è la tensione verticale totale alla punta, e N c è un fattore di capacità portante, il cui valore è assunto pari a 9. Molto spesso il peso del palo W P e il termine A P σ v0,p sono trascurati, poiché quasi si compensano, e si pone: Q LIM = Q S + Q P (Eq. 7.0) e Q P = 9 c u A P (Eq. 7.) In terreni coesivi sovraconsolidati, e quindi spesso fessurati, è opportuno introdurre un fattore di riduzione R C che, secondo Meyerhof, può essere calcolato nel modo seguente, in funzione del diametro D del palo (in metri): Lo schema di riferimento è però diverso: per le fondazioni superficiali si assume lo schema della striscia indefinita (problema piano) e terreno resistente solo dal piano di fondazione, per le fondazioni profonde si assume lo schema di area circolare (problema a simmetria cilindrica) e terreno resistente sia sopra che sotto il piano di fondazione. Per tale motivo i fattori di capacità portante per fondazioni profonde sono maggiori che per fondazioni superficiali. 37 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

304 Capitolo 7 TIPOLOGIA E CAPACITÀ PORTANTE DI FONDAZIONI PROFONDE per pali infissi: D + 0,5 R C = D (Eq. 7.) per pali trivellati: D + R C = D + (Eq. 7.3) 7.4. Palo in terreno incoerente Nel caso di pali in terreni incoerenti, e quindi di elevata permeabilità, l analisi è svolta sempre con riferimento alle condizioni drenate e quindi in termini di tensioni efficaci. Stima di Q S Per la stima di Q S si applica il metodo β. Per la scelta dei valori di K e di tanδ si può fare riferimento alle indicazioni di Tabella 7.6. Battuto Tabella 7.6: Valori di K e di tanδ per pali di medio diametro in terreno incoerente Tipo di palo profilato in acciaio tubo d acciaio chiuso cls. prefabbricato cls. gettato in opera Valori di K per stato di addensamento sciolto denso Valori di tanδ tan0 = 0.36 tan(0.75φ ) tanφ trivellato tanφ trivellato-pressato con elica continua tanφ Altri autori (Reese e O Neill, 988) sulla base di un analisi di prove di carico su pali strumentati suggeriscono di assumere, per pali trivellati, β = 0,8 fino alla profondità di 0 volte il diametro e β = 0,6 per profondità maggiori, con la limitazione τ s 00kPa. Tabella Profondità critica, Z c, in funzione dello stato di addensamento della sabbia Stato di addensamento Zc / D Sabbia molto sciolta 7 Sabbia sciolta 0 Sabbia media 4 Sabbia densa 6 Sabbia molto densa 0 L applicazione dell Eq. (7.7) per il calcolo delle tensioni tangenziali d attrito di un palo in terreno sabbioso porta ad assumere una crescita lineare di τ s con la tensione verticale efficace, e quindi con la profondità, che non è in realtà verificata. Probabilmente a causa di fenomeni d arco (effetto silo), la tensione efficace o- rizzontale nel terreno a contatto con il palo σ h, e quindi anche τ s, crescono meno che linearmente con la profondità e tendono a stabilizzarsi ad una profondità critica dipendente dal diametro del palo e dallo stato di addensamento del terreno (Tabella 7.7). Stima di Q P La capacità portante di punta dei pali in terreni incoerenti è stimata con l equazione: Q = A q = A σ N (Eq. 7.4) P P P P v0, P q J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

305 Capitolo 7 TIPOLOGIA E CAPACITÀ PORTANTE DI FONDAZIONI PROFONDE in cui A P è l area di base del palo, q P è la capacità portante unitaria, σ v0,p è la tensione verticale efficace alla punta, N q è un fattore di capacità portante. Il valore di N q dipende, a parità di angolo di resistenza al taglio, dal meccanismo di rottura ipotizzato. Nelle Figure 7. e 7. sono rappresentati diversi meccanismi di rottura proposti e i corrispondenti valori di N q. Figura 7. Meccanismi di rottura ipotizzati per un palo: a) Caquot, Buisman e Terzaghi; b) Meyerhof; c) Berezantzev; d) Skempton, Yassin, Gibson e Vesic Figura 7. Confronto tra i valori proposti in letteratura per il fattore N q Come si può notare la dispersione dei valori è molto alta e crescente con il valore dell angolo di resistenza al taglio. A titolo di esempio per φ = 35 i valori di N q proposti dai vari Autori sono compresi tra 55 e 500. Inoltre è molto incerta la scelta del valore di calcolo di φ, sia perché la messa in opera del palo altera le proprietà meccaniche del terreno sia perché la stima di φ in terreni incoerenti è indiretta e affidata a prove in sito, sia infine perché il valore di φ dipende anche dallo stato tensionale a rottura. In genere si fa riferimento alla curva di N q proposta da Berezantzev, che è una delle più cautelative, e ad un angolo di resistenza al taglio di progetto, φ d, ridotto rispetto al valore di picco stimato. Ad esempio, è stato proposto di assumere: per pali battuti: + 40 φ d = φ (Eq. 7.5) e per pali trivellati: φ d = φ 3 (Eq. 7.6) 39 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

306 Capitolo 7 TIPOLOGIA E CAPACITÀ PORTANTE DI FONDAZIONI PROFONDE Una procedura di calcolo suggerita da Fleming et al. (985) è la seguente: - si stima un valore di φ sulla base della densità relativa e si determina il corrispondente fattore di capacità portante N q secondo Berezantzev, - si valuta la tensione efficace media nella zona di rottura mediante la relazione: p σ (Eq. 7.7) = v0 N q - si stima un nuovo valore di φ con la relazione: φ = φ cv + 3 [ D R ( 0 ln p ) ] (Eq. 7.8) - si calcola il valore aggiornato di N q e si ripete la procedura fino a convergenza. La forte incertezza associata alla stima della capacità portante di punta per pali trivellati di grande diametro in terreno incoerente non è tuttavia quasi mai determinante nelle scelte progettuali. Infatti esse sono condizionate dai cedimenti ammissibili piuttosto che dalla rottura del sistema palo-terreno, la quale si manifesta, come già è stato detto, per cedimenti dell ordine del 5% del diametro. È pertanto opportuno riferirsi alla condizione limite di esercizio, ovvero ad un carico alla punta del palo cui corrisponde un cedimento dell ordine del 6-0% del diametro del palo, utilizzando un equazione formalmente identica alla Eq. (7.4) ma con un coefficiente N q *, inferiore ad N q e corrispondente all insorgere delle prime deformazioni plastiche alla punta (Figura 7.3). Figura 7.3 Valori del coefficiente di capacità portante N q * corrispondenti all insorgere delle deformazioni plastiche alla punta. 7.5 Stima della capacità portante per carico verticale di un palo isolato mediante formule dinamiche Durante la messa in opera di pali battuti, ovvero infissi a percussione, l energia necessaria per affondare il palo è correlata con la resistenza a rottura del sistema palo terreno. Le formule dinamiche tentano una stima della capacità portante del palo dalla misura dell energia necessaria per la messa in opera, ovvero mediante un bilancio energetico, assumendo che il lavoro totale del maglio, diminuito del lavoro perduto per deformazioni e dissipato nell urto, sia pari al prodotto della capacità portante per l abbassamento del palo (Figura 7.4): L m = L u + L p 30 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007) (Eq. 7.9)

307 Capitolo 7 TIPOLOGIA E CAPACITÀ PORTANTE DI FONDAZIONI PROFONDE in cui L m = ρ E m è il lavoro motore (ρ è un coefficiente di efficienza), E m = W h è l energia fornita da un colpo di maglio (W è il peso del maglio, h è l altezza di caduta libera del maglio), L u = Q lim δ è il lavoro utile (Q lim è la capacità portante del palo, δ è il rifiuto, ovvero l abbassamento medio per un colpo di maglio) L p è il lavoro dissipato nell urto (le numerose formule esistenti si differenziano per l espressione di L p ). Le formule dinamiche, oltre ad essere applicabili ai soli pali battuti, sono poco attendibili come metodo di stima della capacità portante per molti motivi, il principale dei quali è che la resistenza all infissione del palo non è affatto eguale alla capacità portante del palo in condizioni statiche. Tuttavia sono utili per un controllo di qualità della palificata e di omogeneità del terreno di fondazione. Esistono molte formule dinamiche, le più note sono: la formula di Jambu (953) ρ EM QLIM = δ k λ k = C + + C EM L λ = A E δ WP C = W Figura 7.4 Schema do palo infisso a percussione (Eq. 7.0) e la formula danese (956) ρ EM QLIM = ρ EM L (Eq. 7.) δ + E A in cui A, E ed L sono rispettivamente l area della sezione, il modulo di Young e la lunghezza del palo. 3 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

308 Capitolo 7 TIPOLOGIA E CAPACITÀ PORTANTE DI FONDAZIONI PROFONDE 7.6 Stima della capacità portante per carico verticale di un palo isolato dai risultati di prove penetrometriche I risultati delle prove penetrometriche possono essere utilizzate per la stima della capacità portante dei pali di fondazione sia in modo indiretto, ovvero per determinare i parametri geotecnici da utilizzare nelle formule statiche, sia in modo diretto. In particolare, la prova penetrometrica statica (CPT), che consiste nell infissione a pressione nel terreno di un piccolo palo, può essere considerata come una prova di carico a rottura su un prototipo in scala ridotta del palo da progettare. In base a tale analogia, ma tenendo anche conto del fatto che il volume di terreno coinvolto nel fenomeno di rottura alla punta è funzione del diametro D del palo, Meyerhof (976) suggerisce di stimare la capacità portante unitaria di punta, q P, per pali infissi in terreno sabbioso omogeneo, se la lunghezza del palo L è maggiore della profondità critica, Z c nel modo seguente: q P = q c (Eq. 7.) con q c valore medio della resistenza penetrometrica di punta fra le profondità (L 4D) e (L + D). La profondità critica Z c è funzione dello stato di addensamento della sabbia, come indicato in Tabella 7.7. Se lo strato di sabbia in cui si attesta la punta del palo è compreso tra due strati di minore resistenza penetrometrica di punta, il valore di progetto della capacità portante unitaria, q P, può essere stimato con le indicazioni di Figura 7.5. q c q c q c3 q c q P D 0D 0D Z Profilo schematico di q c Z Profilo schematico di q P Figura 7.5: Effetto della profondità di immorsamento sulla capacità portante unitaria di punta Sempre per pali battuti in terreno incoerente, la tensione tangenziale limite d attrito lungo il fusto si può assumere pari alla resistenza laterale locale della prova CPT: τ s = f s (Eq. 7.3) oppure si può stimare con riferimento alla resistenza penetrometrica di punta, assumendo: τ s = q c / 00 se q c 0 MPa (Eq. 7.4) τ s = q c / 50 se q c 0 MPa 3 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

309 Capitolo 7 TIPOLOGIA E CAPACITÀ PORTANTE DI FONDAZIONI PROFONDE o con l espressione consigliata dall AGI (984), (meno cautelativa della precedente): La determinazione sperimentale diretta della capacità portante di un palo isolato ottenuta con prova di carico a rottura su pali prototipo strumentati, identici a quelli di progetto, è la migliore delle stime possibili. Tuttavia anche tale tecnica non è esente da incertezza, sia per la variabilità del terreno di fondazione, sia per l impossibilità di realizzare pali fra loro identici, sia per la dipendenza del comportamento dalle modalità di applicazione del carico. Le prove di carico sui pali di fondazione possono essere di progetto o di collaudo. Nel primo caso il palo non appartiene alla fondazione, è appositamente realizzato (spesso con una cura maggiore degli altri) per essere portato a rottura o comunque sottoposto ad un carico pari a tre volte il carico di esercizio, ed è spesso strumentato anche lungo il fusto, allo scopo di stimare separatamente i contributi di attrito laterale e di punta. Le prove di carico di progetto non sono obbligatorie per legge, ma, se eseguite, consentono di adottare un valore minore del coefficiente di sicurezza rispetto alla rottura ( invece di,5). Le prove di carico di collaudo, che per opere di notevole importanza sono obbligatorie per legge nella misura minima dell % dei pali in progetto e comunque non meno di, si e- seguono su pali, già realizzati, appartenenti alla fondazione e scelti a caso. Il carico massimo applicato durante la prova è di norma pari a,5 volte il carico di eserciτ s = α q c con i valori di α di Tabella 7.8: Tabella Coefficienti per la stima di τ s da q c Stato di addensamento α Sabbia molto sciolta 0,00 Sabbia sciolta 0,05 Sabbia media 0,0 Sabbia densa 0,009 Sabbia molto densa 0,007 (Eq. 7.5) Anche la prova SPT è utilizzata per la stima della capacità portante di pali infissi in terreno incoerente. A tal fine, Meyerhof suggerisce di assumere: q p (kpa) = 400 N SPT per sabbie omogenee, e q p (kpa) = 300 N SPT per limi non plastici, in cui N SPT è il valore medio fra le profondità (L 4D) e (L + D) τ s (kpa) = N SPT 00 kpa in cui N SPT è il valore medio per l intera lunghezza L (Eq. 7.6) Per pali trivellati si possono assumere valori di q p e di τ s pari a /3 e a / di quelli corrispondenti ai pali battuti. 7.7 Stima della capacità portante per carico verticale di un palo isolato dai risultati di prove di carico 33 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

310 Capitolo 7 TIPOLOGIA E CAPACITÀ PORTANTE DI FONDAZIONI PROFONDE zio, quindi non tale da produrre la rottura, ma è comunque possibile estrapolare dalla curva carico-cedimenti il valore della capacità portante del palo. In figura 7.6 sono mostrati i possibili schemi di applicazione del carico. Figura 7.6 Possibili schemi di applicazione del carico: a) martinetto che contrasta contro una zavorra; b) martinetto che contrasta contro una trave ancorata a pali Le più usuali modalità di esecuzione della prova sono le seguenti: - applicazione del carico per incrementi Q 0.5 Q e - durata di applicazione di ciascun incremento di carico che dovrà risultare tale che la velocità di cedimento, v, sia: v 0.0 mm/0 per pali di piccolo diametro v 0.0 mm/0 per pali di medio diametro v 0.03 mm/0 per pali di grande diametro I risultati sono presentati come indicato in Figura J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

311 Capitolo 7 TIPOLOGIA E CAPACITÀ PORTANTE DI FONDAZIONI PROFONDE Figura 7.7 Rappresentazione dei risultati di una prova ad incrementi di carico controllato Esistono diversi metodi convenzionali per definire la capacità portante di un palo per carico verticale dai risultati di prove di carico di progetto e/o di collaudo: Metodo convenzionale da prove di progetto: - pali battuti: Q lim = carico corrispondente a un abbassamento w = 0,D - pali trivellati: Q lim = carico corrispondente a un abbassamento w = 0,5D Metodo convenzionale da prove di progetto: Q lim = carico in corrispondenza del quale il cedimento vale δ essendo δ il cedimento per Q = 0,9 Q lim (Figura 7.8). 3 Metodo convenzionale da prove di progetto e di collaudo: interpolazione iperbolica dei dati sperimentali (Figura 7.9). w 0.9 Q Qlim = m + n w n (Eq 7.7) oppure: wlim Q lim m + n wlim (Eq 7.7a) con: w lim = 0.0 D per pali battuti w lim = 0.5 D per pali trivellati Figura 7.8 Possibile definizione del carico limite 35 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

312 Capitolo 7 TIPOLOGIA E CAPACITÀ PORTANTE DI FONDAZIONI PROFONDE Figura 7.9 Interpolazione iperbolica dei dati sperimentali carico-cedimenti 7.8 Coefficiente di sicurezza e carico ammissibile di un palo singolo Il carico ammissibile di un palo singolo è ottenuto dividendo la capacità portante del palo stimata con metodi teorici per un coefficiente di sicurezza F che, secondo la Normativa Italiana vigente, non deve essere minore di,5. Il cedimento del palo corrispondente al carico ammissibile è tale da mobilitare in modo diverso la capacità portante di punta e quella per attrito o aderenza laterale, pertanto al coefficiente di sicurezza globale F corrispondono coefficienti di sicurezza sui due termini della capacità portante, di punta e di attrito laterale, molto diversi fra loro. A titolo di esempio consideriamo un palo trivellato di diametro D = 60cm e lunghezza L = 0m, immerso in un terreno coesivo omogeneo. La resistenza al taglio non drenata media lungo il fusto sia c u,m = 50kPa, e il coefficiente di aderenza α = 0,75, mentre la resistenza al taglio non drenata di progetto alla base sia c u,b = 00kPa. Assumiamo per semplicità un comportamento elastico perfettamente plastico sia del termine di aderenza laterale Q S che del termine di punta Q P della capacità portante Q LIM. Il cedimento per il quale si mobilizza totalmente Q S sia w S = 8mm (indipendente dal diametro del palo), mentre il cedimento per il quale si ha la completa mobilitazione di Q P sia w P = 0,5 D = 50mm. Il coefficiente di sicurezza sia F = 3. Applicando le formule statiche si stima: Q S = A S τ s = (π D L) (α c u,m ) = 43,7kN Q P = A P q P = (π D /4) (9c u,b ) = 54,5kN Q LIM = Q S + Q P = 668,kN Q AMM = Q LIM /F = 556,kN Con le ipotesi fatte (Figura 7.0) il carico ammissibile si ottiene per un cedimento del palo w = 3,mm, cui corrisponde un carico per aderenza laterale Q S /F S = 550,8kN ed un carico alla base Q P /F P = 5,3kN, ovvero coefficienti di sicurezza rispettivamente F S =,57 e F P = 48,3. In pratica cioè, in condizioni di esercizio, il palo lavora quasi solo per aderenza laterale. 36 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

313 Capitolo 7 TIPOLOGIA E CAPACITÀ PORTANTE DI FONDAZIONI PROFONDE curve schematiche carico - cedimenti particolare delle curve Q, Qs, Qp (kn) Qs Qp Q Q, Qs, Qp (kn) Qs Qp Q Figura 0: Curve schematiche carico-cedimenti dell esempio. Figura Curve schematiche carico-cedimenti relative all esempio considerato Infine occorre notare che molto spesso i pali di una fondazione sono collegati in testa da una struttura (plinto, trave o platea) che appoggia sul terreno. Le pressioni di contatto fra tale struttura e il terreno contribuiscono alla capacità portante del sistema di fondazione ma, di norma, sono trascurate. 7.9 Capacità portante di pali in gruppo Molto spesso i pali di fondazione sono utilizzati in gruppo. La distanza minima fra i pali di un gruppo non dovrebbe essere inferiore a tre volte il diametro. A causa dell interazione fra i pali costituenti un gruppo, il comportamento di un palo del gruppo, sia in termini di rigidezza sia in termini di resistenza, non è eguale al comportamento del palo isolato. L interazione fra i pali del gruppo dipende da molti fattori, i principali dei quali sono la distanza fra i pali, le modalità di messa in opera dei pali, la natura del terreno di fondazione, l entità dei carichi applicati, il tempo. Si definisce efficienza del gruppo di pali il rapporto tra il carico limite del gruppo Q LIM, G e la somma dei carichi limite dei singoli pali che lo compongono: QLIM, G EG = (Eq. 7.8) Q LIM w (mm) 0 0 0,5,5,5 3 3,5 w (mm) L efficienza del gruppo può essere maggiore, eguale o minore di, ma la Normativa impone di assegnare a E G valori non superiori ad. Valori orientativi dell efficienza di un gruppo di pali in terreni incoerenti sono indicati in Tabella J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

314 Capitolo 7 TIPOLOGIA E CAPACITÀ PORTANTE DI FONDAZIONI PROFONDE Tabella Valori orientativi dell efficienza di un gruppo di pali in terreni incoerenti Tipo di palo i/d E G infisso < 6 > (si assume = ) trivellato < 6 0,67 - qualsiasi > 6 L efficienza di un gruppo di pali in terreno coesivo, se la struttura di fondazione non interagisce con il terreno, è di norma assunta pari ad per interassi superiori a 8 volte il diametro e compresa tra e 0,6 in caso contrario. Se la struttura di fondazione interagisce con il terreno, il carico limite di un gruppo di pali in terreno coesivo, e quindi portanti prevalentemente per aderenza o attrito laterale, è di norma assunto pari al minore fra i due seguenti valori: a) la somma dei carichi limite dei singoli pali che lo compongono (ovvero E G = ), b) la capacità portante di un blocco avente altezza pari alla lunghezza dei pali e base delimitata dal perimetro del gruppo. La capacità portante del blocco è data dalla relazione: Q = B L c N + B + L L c N B c B B ub B = L c B B ( ) B B L + B B um (Eq. 7.9) L con la limitazione: +, 5 B essendo: B B e L B le dimensioni in pianta del blocco rettangolare equivalente, L l altezza del blocco pari alla lunghezza dei pali, c ub e c um la resistenza al taglio non drenata rispettivamente alla profondità della base e media lungo il fusto dei pali. 38 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

315 Capitolo 8 STABILITÀ DEI PENDII CAPITOLO 8 STABILITÀ DEI PENDII 8. Frane 8.. Fattori e cause dei movimenti franosi Per frana si intende un rapido spostamento di una massa di roccia o di terra il cui centro di gravità si muove verso il basso e verso l esterno. I principali fattori che influenzano la franosità sono: fattori geologici, ovvero caratteri strutturali (faglie e fratturazioni), giacitura, scistosità, associazione e alternanza fra i litotipi, degradazione, alterazione, eventi sismici e vulcanici; fattori morfologici ovvero pendenza dei versanti; fattori idrogeologici, ovvero circolazione idrica superficiale e sotterranea, entità e distribuzione delle pressioni interstiziali; fattori climatici e vegetazionali, ovvero alternanza di lunghe stagioni secche e periodi di intensa e/o prolungata piovosità, disboscamenti e incendi; fattori antropici, ovvero scavi e riporti, disboscamenti e abbandono delle terre. Le cause dei movimenti franosi possono essere distinte in cause strutturali o predisponenti, prevalentemente connesse ai fattori geologici, morfologici e idrogeologici, e in cause occasionali o determinanti (o scatenanti), prevalentemente connesse ai fattori climatici, vegetazionali, antropici ed al manifestarsi di eventi sismici o vulcanici. Il movimento franoso si manifesta quando lungo una superficie (o meglio in corrispondenza di una fascia di terreno in prossimità di una superficie) all interno del pendio, le tensioni tangenziali mobilitate per l equilibrio (domanda di resistenza) eguagliano la capacità di resistenza al taglio del terreno. Ciò può avvenire per un aumento della domanda di resistenza, per una riduzione della capacità di resistenza o per il manifestarsi di entrambi i fenomeni. Un aumento della domanda di resistenza può essere determinato da un incremento di carico (dovuto ad esempio alla costruzione di un manufatto o ad un evento sismico), o da un aumento dell acclività del pendio (dovuta ad esempio a erosione o sbancamento al piede). La riduzione della resistenza al taglio può essere dovuta ad un incremento delle pressioni interstiziali (per effetto ad esempio di un innalzamento della falda o della riduzione delle tensioni di capillarità prodotti dalla pioggia) o per effetto di fenomeni fisici, chimici o biologici. Per l innesco e l evoluzione di un fenomeno franoso è molto importante la dipendenza della resistenza al taglio dall entità della deformazione, ovvero la curva tensionideformazioni del terreno, ed i valori di resistenza al taglio di picco e residua. Infatti la domanda e la capacità di resistenza lungo la superficie di scorrimento potenziale sono variabili, e quando in una parte di essa viene superata la resistenza di picco e la capacità resistente decade ad un valore residuo, si verifica una ridistribuzione degli sforzi con parziale trasferimento della domanda ad un altra parte, meno sollecitata, della superficie di scorrimento (fenomeno di rottura progressiva). Pertanto, in condizioni di equilibrio limite del pendio, il valore medio pesato della resistenza al taglio mobilitata lungo la superficie di scorrimento è intermedio tra la resistenza di picco e la resistenza residua. 39 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

316 Capitolo 8 STABILITÀ DEI PENDII 8.. Nomenclatura di un movimento franoso Negli schemi di Figura 8. sono indicate le parti fondamentali di un movimento franoso. In particolare in Figura 8.a sono indicati, la nicchia di distacco, che è la zona superiore della frana, con una caratteristica forma "a cucchiaio", l alveo di frana, che è la porzione intermedia, e il cumulo di frana, che è la parte terminale della frana, di forma convessa e rilevata rispetto alla superficie topografica preesistente. I numeri di Figura 8.b indicano rispettivamente:. il coronamento,. la scarpata principale, 3. la testata o terrazzo di frana, 4. le fessure trasversali, 5. la scarpata secondaria, 6. il terrazzo di frana secondario, 7. la zona delle fessure longitudinali, 8. la zona delle fessure trasversali, 9. la zona dei rigonfiamenti trasversali e, a valle, delle fessure radiali, 0. l unghia del cumulo di frana e, infine,. il fianco destro. a) b) Cumulo di frana Zona di distacco Alveo di frana L Zona di accumulo 9 0 Zona di distacco 7 Lc x c Piega Superficie di separazione Superficie di rottura y c Figura 8. - Nomenclatura delle parti di un movimento franoso 8..3 Classificazione dei movimenti franosi I movimenti franosi possono essere caratterizzati da diverse forme della superficie di scorrimento e da diversi meccanismi di rottura. L individuazione dell andamento della superficie di rottura (effettiva o potenziale) e del cinematismo di collasso è importante per la scelta del metodo di analisi più appropriato e degli eventuali interventi di stabilizzazione e di mitigazione degli effetti. Per questo motivo sono stati proposti diversi sistemi di classificazione delle frane tra i quali il più noto e utilizzato è il sistema di Varnes (978), che distingue sei classi fondamentali: crolli (falls): caratterizzati dallo spostamento dei materiali in caduta libera e dal successivo movimento, per salti e/o rimbalzi, dei frammenti di roccia (Figura 8.). Generalmente si verificano in versanti interessati da preesistenti Figura 8. Frana di crollo di- 330 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

317 Capitolo 8 STABILITÀ DEI PENDII scontinuità strutturali (faglie e piani di stratificazione) e sono, di norma, improvvisi con velocità di caduta dei materiali elevata. La frana di crollo avviene in pareti subverticali di roccia, dalle quali si staccano blocchi di materiale che precipitano al piede della scarpata. Cause determinanti sono le escursioni termiche (gelo e disgelo), l erosione alla base, le azioni sismiche e le azioni antropiche. ribaltamenti (topples): movimenti simili ai crolli, determinati dalle stesse cause e caratterizzati dal ribaltamento frontale del materiale che ruota intorno ad un punto al di sotto del baricentro della massa. I materiali interessati sono generalmente rocce lapidee che hanno subito intensi processi di alterazione e/o che presentano delle superfici di discontinuità (faglie o superfici di strato). Le frane per ribaltamento (Figura 8.3) si verificano di norma nelle zone dove le superfici di strato risultano essere sub-verticali (a) o lungo le sponde dei corsi d acqua per scalzamento al piede (b). Figura Frane di ribaltamento. scorrimenti (slides): in base alla forma della superficie di scorrimento si distinguono in scorrimenti rotazionali e scorrimenti traslativi (Figura 8.4). Lo scorrimento rotazionale avviene in terreni o rocce dotati di coesione e si sviluppa lungo una superficie generalmente concava, che si produce al momento della rottura del materiale. La parte inferiore del cumulo di frana tende ad allargarsi e dà luogo spesso a frane di colamento. Lo scorrimento traslazionale invece consiste nel movimento di masse rocciose o di terreni, lungo una superficie di discontinuità poco scabrosa e preesistente disposta a franapoggio. Le principali cause degli scorrimenti sono le acque di infiltrazione, le azioni antropiche e i terremoti. a) b) Figura Frane di scorrimento rotazionale (a) e traslazionale (b) 33 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

318 Capitolo 8 STABILITÀ DEI PENDII espansioni laterali (lateral spreads): sono movimenti complessi, a componente orizzontale prevalente, che hanno luogo quando una massa rocciosa lapidea e fratturata giace su un terreno dal comportamento molto plastico (Figura 8.5). colamenti (flows): sono movimenti franosi, anche molto estesi, che si verificano nei terreni sciolti (Figura 8.6). La superficie di scorrimento non è ben definibile, la velocità è variabile da punto a punto Figura Espansioni laterali della massa in frana, talvolta è molto elevata con conseguenze catastrofiche. Il materiale in frana ha il comportamento di un fluido viscoso e segue l andamento di preesistenti solchi di erosione che ne costituiscono l alveo. fenomeni complessi (complex): sono combinazioni di due o più tipi di frane precedentemente descritte, ad esempio: crollo di roccia e colata di detrito, scorrimento rotazionale e ribaltamento, scorrimento traslativo di blocchi e crollo di roccia, etc.. (Figura 8.7). Figura Colamenti Figura 8.7 Fenomeni franosi complessi 8. Analisi di stabilità dei pendii I metodi di analisi della stabilità dei pendii più diffusi ed utilizzati nella pratica professionale sono metodi all equilibrio limite, che ipotizzano per il terreno un comportamento rigido perfettamente plastico. Si immagina cioè che il terreno non si deformi fino al rag- 33 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

319 Capitolo 8 STABILITÀ DEI PENDII giungimento della condizione di rottura, e che, in condizioni di rottura, la resistenza al taglio si mantenga costante e indipendente dalle deformazioni accumulate. Da tale ipotesi, fortemente semplificativa, consegue che: a) la rottura si manifesta lungo una superficie netta di separazione tra la massa in frana e il terreno stabile, b) la massa in frana è un blocco indeformato in moto di roto-traslazione rigida, c) la resistenza mobilitata lungo la superficie di scorrimento in condizioni di equilibrio limite è costante nel tempo, indipendente dalle deformazioni e quindi dai movimenti della frana, e ovunque pari alla resistenza al taglio, d) non è possibile determinare né le deformazioni precedenti la rottura, né l entità dei movimenti del blocco in frana, né la velocità del fenomeno. Inoltre la maggior parte dei metodi di verifica della stabilità dei pendii considerano il problema piano (cioè ipotizzano che la superficie di scorrimento sia di forma cilindrica con direttrici ortogonali al piano considerato), analizzando di norma una o più sezioni longitudinali del versante e trascurando gli effetti tridimensionali. Ulteriori ipotesi semplificative, diverse da un metodo all altro, sono necessarie per rendere il problema staticamente determinato (come si vedrà nel Paragrafo 8.6), cosicché a parità di geometria e di caratteristiche fisico-meccaniche del terreno, il risultato dell analisi, in termini di superficie di scorrimento critica (superficie per la quale il rapporto fra resistenza disponibile e resistenza mobilitata assume il valore minimo) e di coefficiente di sicurezza (rapporto fra resistenza disponibile e resistenza mobilitata), non è unico ma dipende dal metodo adottato. Nonostante tutto però, l affidabilità dei risultati dipende quasi esclusivamente dalla corretta schematizzazione del fenomeno e dalla scelta dei parametri di progetto che, proprio a causa della scarsa aderenza alla realtà fisica del modello costitutivo adottato per il terreno, devono essere fissati con grande attenzione e consapevolezza. Occorre poi distinguere i pendii naturali dai pendii artificiali, non solo e non tanto perché i volumi in gioco e le condizioni di carico sono spesso molto diversi, o perché alcuni metodi di analisi sono più adatti allo studio della stabilità degli uni o degli altri, ma perché è generalmente molto diversa la conoscenza qualitativa e quantitativa della geometria superficiale e profonda, e delle proprietà fisico-meccaniche dei terreni. Nei pendii artificiali (ad esempio i fianchi dei rilevati stradali, degli argini o delle dighe in terra) quasi sempre la geometria è semplice e nota, i terreni sono materiali da costruzione omogenei ed hanno caratteristiche fisico-meccaniche note, poiché corrispondenti alle specifiche di capitolato, lo schema bidimensionale (problema piano) è aderente alla realtà fisica, poiché si tratta di opere con una dimensione di gran lunga prevalente rispetto alle altre due e con variazioni graduali della sezione trasversale, le condizioni di carico possono variare rapidamente nel tempo, ad esempio per gli argini al variare del livello del fiume, o per le dighe al variare del livello di invaso. I pendii naturali invece sono di norma caratterizzati da una morfologia superficiale e profonda complessa, da una grande variabilità spaziale delle caratteristiche fisicomeccaniche dei terreni, e di norma da una meno rapida variazione delle condizioni di carico (salvo le azioni sismiche). Le indagini geologiche, idrogeologiche e geotecniche, la cui estensione ed approfondimento devono essere commisurati, in termini anche economici, all importanza, alle finalità, all estensione ed alla gravità del problema in studio ed alla fase di progettazione, possono solo fornire un quadro approssimato e parziale della realtà fisica. 333 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

320 Capitolo 8 STABILITÀ DEI PENDII Nel caso degli scavi le condizioni sono talora, in un certo senso, intermedie, poiché la geometria superficiale è ben definita, ma il terreno di cui è costituito il pendio è naturale, e quindi può essere caratterizzato anche da forte variabilità spaziale, le condizioni di carico, legate ai tempi e ai modi di realizzazione dello scavo e di permanenza dello scavo aperto, possono variare sensibilmente nel tempo. 8.3 Pendii indefiniti Lo schema di pendio indefinito è applicabile al caso di frane di scorrimento allungate, in cui l influenza delle porzioni di sommità e di piede è trascurabile. La stabilità delle coltri di terreno alluvionale o detritico, di piccolo spessore rispetto alla lunghezza della frana, poste su un terreno di fondazione più rigido è di norma trattata con riferimento allo schema di pendio indefinito Pendio indefinito di terreno incoerente asciutto Consideriamo inizialmente il caso di un pendio indefinito di terreno omogeneo, incoerente e asciutto, con resistenza al taglio data dall equazione: τ f = σ tanφ. In Figura 8.8 sono rappresentate le condizioni di equilibrio di un generico concio di terreno de- β N=W cosβ limitato da due superfici verticali e da un β piano di base appartenente alla potenziale superficie di scorrimento, parallelo alla superficie del pendio. Per simmetria le tensioni sulle facce laterali del concio W sono eguali e opposte, quindi le azioni T W T=W sinβ risultanti hanno la stessa retta d azione N parallela al pendio, stessa direzione, stesso modulo, e verso opposto. Pertanto si Figura Schema di pendio indefinito incoerente asciutto elidono a vicenda e non intervengono nelle equazioni di equilibrio. Il fattore (o coefficiente) di sicurezza FS è in generale il rapporto tra la capacità di resistenza, C, e la domanda di resistenza, D: C FS = (Eq. 8.) D Nel caso in esame, considerando l equilibrio alla traslazione lungo la superficie di base del concio, inclinata di un angolo β rispetto all orizzontale si ha che: C è la forza di taglio massima disponibile alla base del concio: C = Tf = N tan φ = W cosβ tan φ D è la forza di taglio necessaria per l equilibrio: D = T = W sinβ dunque: C W cosβ tan φ tan φ FS = = = (Eq. 8.) D W sin β tanβ 334 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

321 Capitolo 8 STABILITÀ DEI PENDII In condizioni di equilibrio limite FS = e dunque: β max = φ Si può osservare che: - la condizione di equilibrio limite si verifica per β = φ, - la superficie di scorrimento è parallela al pendio, - la condizione di equilibrio è indipendente dalla profondità della superficie di scorrimento, - l unico parametro geotecnico necessario per valutare il coefficiente di sicurezza FS è l angolo di resistenza al taglio φ. È inoltre da sottolineare che: - nelle verifiche di sicurezza è opportuno assumere φ = φ cv, avendo indicato con φ cv l angolo di resistenza al taglio a volume costante, ovvero allo stato critico, - nei pendii naturali può aversi β > φ per effetto di capillarità, leggera cementazione, radici, altezza limitata del pendio Pendio indefinito di terreno incoerente totalmente immerso in acqua in quiete Si consideri l equilibrio del concio di terreno omogeneo, incoerente e totalmente immerso in acqua in quiete indicato in Figura 8.9. In questo caso oltre alle forze presenti nel caso di terreno incoerente asciutto (Paragrafo 3.3.), agisce sul concio una spinta dell acqua, risultante delle pressioni idrostatiche agenti sulle pareti, che risulta verticale e diretta verso l alto, pari al peso specifico dell acqua per il volume del concio. Per l equilibrio è pertanto sufficiente fare riferimento al peso immerso (o efficace) del concio, che vale: W = γ a d essendo γ = γ γ il peso di volume sat w Livello d acqua immerso del terreno e avendo assunto uno spessore unitario del concio nella direzione ortogonale al piano del disegno. Poiché per un pendio indefinito il peso del concio è ininfluente sul valore del fattore di sicurezza, anche nel caso di pendio totalmente immerso in acqua in quiete il fattore di sicurezza vale: tanϕ FS = (Eq. 8.3) tan β come per il caso di pendio asciutto Pendio indefinito di terreno omogeneo con filtrazione parallela al pendio Lo schema di pendio indefinito con filtrazione parallela al pendio (Figura 8.0) è spesso utilizzato per verificare la stabilità di una coltre di terreno, relativamente permeabile e di spessore quasi costante, su un substrato roccioso o comunque di terreno non alterato, poco 335 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007) a d Figura Schema di pendio indefinito immerso in acqua in quiete β

322 Capitolo 8 STABILITÀ DEI PENDII permeabile e stabile, allorché in seguito a prolungate piogge diviene sede di un moto di filtrazione parallelo al pendio. L altezza della falda viene messa in relazione alla durata e all intensità della pioggia, ed al coefficiente di assorbimento del terreno. La resistenza al taglio del terreno vale: τ f = c +σ tan φ, τ ed il fattore di sicurezza è: FS = f τ Facendo riferimento alla Figura 8.0 e indicando con γ il peso di volume medio del terreno sopra falda e con γ sat il peso di volume del terreno saturo (sotto falda), la componente del peso normale alla base del concio è: [( m) γ + m γ ] z cos β N = W cos β = sat la lunghezza della base del concio è: l =, cos β dunque la tensione normale alla base del concio vale: σ = [( m) γ + m γ ] z cos β sat La componente del peso parallela alla base del concio è: [( m) γ + m γ ] z sin β T = W sin β = sat dunque la tensione di taglio alla base del concio vale: [( m) γ + m γ sat ] z sin β cos β τ =. β m Figura Schema di pendio indefinito con filtrazione parallela al pendio 336 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

323 Capitolo 8 STABILITÀ DEI PENDII In questo caso è inoltre possibile osservare che la risultante delle pressioni interstiziali a- genti sulle due facce verticali del concio è uguale ed opposta e che lungo la base inferiore la distribuzione delle pressioni interstiziali è uniforme e la pressione interstiziale vale: u = γ h w w = m z γ cos w β Quindi l espressione generale per il fattore di sicurezza risulta: FS + [( m) γ + m γ ] z cos β tan [( m) γ + m γ ] z sin β cos β c + ( σ u ) tanφ c φ = = (Eq. 8.4) τ sat Se si assume, come ipotesi semplificativa e cautelativa, oltreché molto spesso realistica, c = 0, risulta: FS = [( m) γ + m γ ] tan φ [( m) γ + m γ ] tanβ sat (Eq. 8.5) se poi, per semplicità e senza grave errore, si assume γ = γ sat (anche perché molto spesso il terreno sopra falda è saturo per risalita capillare e per infiltrazione dell acqua piovana), risulta: FS = ( γ m γ ) sat γ sat w tan φ tan β (Eq. 8.6) Nel caso particolare di m = (falda coincidente con il piano campagna) si ottiene: FS = γ γ sat tan φ tanβ (Eq. 8.7) γ Poiché il rapporto è circa pari a 0,5, ne consegue che la presenza di un moto di filtrazione parallelo al pendio con livello di falda coincidente con il piano campagna riduce γ sat il coefficiente di sicurezza ad un valore che è circa la metà del coefficiente di sicurezza del pendio asciutto o immerso in acqua in quiete. 8.4 Pendii di altezza limitata Per le verifiche di stabilità di pendii di altezza limitata con metodi all equilibrio limite, si considera l equilibrio di una massa di terreno delimitata da una superficie di slittamento di forma nota (molto spesso circolare o a forma di spirale logaritmica). La resistenza al taglio disponibile, C, e quella mobilitata, D, sono calcolate impiegando solo le equazioni di equilibrio statico ed il criterio di rottura di Mohr-Coulomb. Il coefficiente di sicurezza è definito come il rapporto C/D ed è assunto costante lungo tutta la superficie di scorrimento potenziale. 337 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

324 Capitolo 8 STABILITÀ DEI PENDII I metodi di calcolo della stabilità possono essere utilizzati in modo diretto o inverso, ovvero: - per stimare il coefficiente di sicurezza di un pendio stabile, si fissa la geometria superficiale e profonda, si attribuiscono valori di progetto ai parametri geotecnici, si ipotizza l entità e la distribuzione delle pressioni interstiziali, e si determinano per tentativi il coefficiente di sicurezza e la superficie di scorrimento critica (ricordando che per quest ultima si intende la superficie cui è associato il minimo valore del rapporto fra resistenza disponibile e resistenza mobilitata); - se invece la frana è in atto o è avvenuta, la superficie di scorrimento è nota o sperimentalmente determinabile, e le equazioni di equilibrio consentono di determinare, posto FS =, la resistenza al taglio media in condizioni di rottura lungo la superficie di scorrimento. 8.5 Pendii artificiali Come già è stato detto, i pendii artificiali, ovvero realizzati dall uomo con la costruzione di un opera in terra o con scavi, sono caratterizzati in genere da una morfologia elementare e, nel caso di opere in terra, da terreni omogenei. Inoltre l ipotesi di bidimensionalità del problema è molto spesso ben verificata, poiché la lunghezza del rilevato o dello scavo è di norma molto maggiore dell altezza, e quest ultima è costante o varia gradualmente. Pertanto i metodi all equilibrio limite per la verifica della stabilità di pendii artificiali considerano un blocco unico di terreno omogeneo, geometricamente definito dalla superficie topografica e dalla superficie di scorrimento potenziale. Una volta fissata la forma della superficie di scorrimento, tali metodi si prestano a soluzioni adimensionali. Nell ambito dei pendii artificiali, occorre tuttavia distinguere tra pendii di rilevato e pendii di scavo. Nel primo caso si ha di norma una differenza tra il terreno naturale di fondazione e il terreno artificiale di costruzione del rilevato. La messa in opera del rilevato, determina nel terreno di fondazione un incremento delle tensioni totali e induce un processo di consolidazione, più o meno rapido a seconda della permeabilità del terreno. Pertanto occorre associare alla verifica di stabilità del pendio anche la verifica di capacità portante a breve e a lungo termine del terreno di fondazione. Nel corpo dei rilevati stradali le pressioni interstiziali sono, di norma, nulle (o negative) e la verifica di stabilità del pendio può essere svolta in termini di tensioni efficaci. Nel corpo dei rilevati arginali e delle dighe in terra le pressioni interstiziali variano con le condizioni di carico idraulico nello spazio e nel tempo. In condizioni di moto di filtrazione assente o stazionario è possibile misurare o calcolare la distribuzione delle pressioni interstiziali e svolgere l analisi di stabilità in termini di tensioni efficaci. In condizioni di moto di filtrazione transitorio, ad esempio dopo uno svaso rapido, se il terreno è poco permeabile, la distribuzione delle pressioni interstiziali è difficilmente determinabile e l analisi di stabilità viene svolta in termini di tensioni totali, con riferimento alla resistenza al taglio non drenata relativa alla pressione di consolidazione iniziale. Tale condizione è la più critica, poiché viene a mancare la pressione dell acqua che sostiene il pendio (e quindi aumenta la domanda di resistenza), mentre si assume invariata la capacità di resistenza. Nel tempo, col dissiparsi delle sovrapressioni interstiziali, la resistenza al taglio, e quindi il coefficiente di sicurezza tenderanno a crescere. 338 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

325 Capitolo 8 STABILITÀ DEI PENDII Nel caso di pendii di scavo, l analisi di stabilità presenta in genere maggiori incertezze a causa della variabilità del terreno naturale che costituisce il pendio. Per scavi sotto falda si determina un moto di filtrazione ascendente e sono pertanto necessarie le verifiche al sifonamento e di stabilità del fondo scavo. Se si esegue uno scavo in un terreno sotto falda, ad esempio per realizzare le fondazioni di un fabbricato, e si mantiene asciutto il fondo dello scavo per permettere le lavorazioni, si produce un alterazione dello stato tensionale del terreno circostante. In particolare le tensioni totali si riducono via via che procede lo scavo, mentre le pressioni interstiziali e le pressioni efficaci variano con tempi che dipendono dalla permeabilità del terreno. Pertanto il fattore di sicurezza del pendio, ovvero il rapporto tra capacità e domanda di resistenza, FS = C/D, varia nel tempo, ed il periodo durante il quale possono prodursi franamenti dopo la realizzazione di uno scavo sotto falda, ovvero il momento critico di minimo valore di F, dipende dalla natura del terreno. Nei terreni granulari molto permeabili (sabbie e ghiaie) la falda assume la posizione di equilibrio via via che procede lo scavo (fasi,, 3 di Figura 8.), ovvero non solo le pressioni totali, ma anche le pressioni interstiziali ed efficaci variano in tempo reale, e il moto di filtrazione è, istante per istante, in regime stazionario. Pertanto le condizioni di stabilità sono indipendenti dal tempo (condizioni drenate) e le verifiche di stabilità possono e devono essere eseguite in termini di tensioni efficaci, previa valutazione del reticolo idrodinamico. Piano di campagna Fase SCAVO Livello di falda iniziale Fase Fase 3 Figura 8. - Fasi di uno scavo Invece, nei terreni a grana fine poco permeabili (limi e argille), durante lo scavo a causa della variata distribuzione delle tensioni nascono sovrapressioni interstiziali che non possono dissiparsi rapidamente. Le condizioni di stabilità sono dipendenti dal tempo, e poiché difficilmente si conosce l evoluzione delle pressioni interstiziali in regime di filtrazione transitorio, le verifiche di stabilità devono essere eseguite sia per condizioni non drenate a breve termine (in tensioni totali), sia per condizioni drenate a lungo termine (in tensioni efficaci). In linea generale, la condizione più critica per la stabilità è a lungo termine. Infatti a causa dello scarico tensionale prodotto dallo scavo si ha una diminuzione istantanea della domanda di resistenza, mentre le tensioni efficaci, e quindi la capacità di resistenza, si riducono lentamente con il dissiparsi delle sovrapressioni interstiziali negative. Pertanto il coefficiente di sicurezza diminuisce gradualmente, ed un fronte di scavo, 339 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

326 Capitolo 8 STABILITÀ DEI PENDII inizialmente stabile, può collassare dopo un certo tempo. Le verifiche di stabilità a breve termine sono di norma eseguite per scavi solo temporaneamente non sostenuti Analisi di stabilità di un pendio omogeneo nell ipotesi di superficie di scorrimento piana (metodo di Culmann) Il metodo di Culmann per l analisi di stabilità di un pendio omogeneo di altezza limitata considera le condizioni di equilibrio di un cuneo di terreno delimitato da una superficie di scorrimento piana (in analogia al metodo di Coulomb per la determinazione della spinta delle terre). Evidenze sperimentali e analisi teoriche dimostrano che, salvo casi particolari, l ipotesi di superficie di scorrimento piana non è realistica né cautelativa, tuttavia consente una trattazione semplice del problema, utile a comprendere lo spirito dei metodi all equilibrio limite globale. Si consideri il pendio indicato in Figura 8., avente altezza H, angolo di pendio β rispetto all orizzontale, e costituito da un terreno omogeneo con peso di volume γ e resistenza al taglio espressa dall equazione di Mohr-Coulomb: τ f = c + σ tanφ. Assumiamo come potenziale superficie di scorrimento il piano AC, inclinato di un angolo θ sull orizzontale, che individua il cuneo ABC. Il peso del cuneo ABC, vale: H B C W = = γ γ H H BC = sen( β θ) senβ senθ γ H (cot θ cotβ) = β θ A Figura 8. - Cuneo di Culmann Le componenti normale, N, e tangenziale, T, di W rispetto al piano AC, valgono: sen( β θ) N = W cosθ = γ H cosθ senβ senθ sen( β θ) T = W senθ = γ H senβ La tensione normale media, σ, e la tensione tangenziale media, τ, sul piano AC valgono: N σ = = AC T τ = = AC N = H senθ T = H senθ γ γ ( β θ) sen H senβ ( β θ) sen H senβ cosθ senθ Indicando con FS il coefficiente di sicurezza del pendio con riferimento alla superficie di scorrimento potenziale AC, la resistenza al taglio mobilitata è: 340 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

327 Capitolo 8 STABILITÀ DEI PENDII τ m τ f c + σ tanφ c tanφ = = = + σ (Eq. 8.8) FS FS FS FS c tan φ Se si definiscono con c m = e con tan φ m = i contributi alla resistenza al taglio FS FS mobilitata rispettivamente della coesione e dell attrito, si può scrivere: Eguagliando la tensione tangenziale media necessaria per l equilibrio, τ, alla tensione tangenziale mobilitata, τ m, si ha: γ sen H senβ ( β θ) sen( β θ) senθ = c m + γ H ( β θ) sen τ m = c m + σ tan φm = c m + γ H cosθ tan φm (Eq. 8.9) senβ senβ cosθ tan φ ovvero: sen( β θ) c m = γ H ( senθ cosθ tan φm ) (Eq. 8.0) senβ Il valore di θ che corrisponde alla superficie critica per l equilibrio, è quello per il quale c m assume il valore massimo, e può essere determinato imponendo la condizione: c m = 0 θ m Si ottiene: β + φ θ cr = m (Eq. 8.) e quindi: γ H cos( β φm ) c m = (Eq. 8.) 4 senβ cos φm L altezza critica, H cr, ovvero la massima altezza del pendio compatibile con l equilibrio, si ottiene imponendo FS =, ovvero sostituendo c a c m e tanφ a tanφ m : 4 c senβ cosφ H cr = γ (Eq. 8.3) cos ( β φ) Se l analisi è svolta in termini di tensioni totali ed il terreno è saturo, la resistenza al taglio vale τ f = c u, per cui l altezza critica di uno scavo in argilla a breve termine, in condizioni non drenate, risulta: 34 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

328 Capitolo 8 STABILITÀ DEI PENDII 4 c u senβ H cr = (Eq. 8.4) γ ( cosβ) e il piano di scorrimento è inclinato di: θ cr = β/ (Eq. 8.5) e, nel caso particolare di scavo in parete verticale (β = 90 ), si ottiene: 4 c u H cr = θ cr = 45 (Eq. 8.6) γ Allo stesso valore di altezza critica e di inclinazione del piano di scorrimento si perviene anche applicando la teoria della spinta delle terre di Rankine (vedi Capitolo ) con riferimento ad un mezzo puramente coesivo. Infatti, nel piano di Mohr delle tensioni totali, l inviluppo a rottura di un mezzo puramente coesivo è una retta orizzontale di equazione τ = c u. In un deposito omogeneo, avente peso di volume γ, delimitato da una superficie piana orizzontale, le tensioni verticale ed orizzontali sono per simmetria tensioni principali. La tensione verticale (totale) varia linearmente con la profondità e vale σ v = γ z. La tensione orizzontale (totale) minima per l equilibrio, varia anch essa linearmente con la profondità, e vale: σ ha = σ v c u = γz c u. Il diagramma delle tensioni orizzontali totali è intrecciato e la profondità alla quale, in condizioni di equilibrio limite inferiore, la tensione orizzontale è zero, vale: z cr = c u /γ. L altezza critica di scavo, per la quale l area del diagramma di spinta è zero, e quindi la parete ideale di Rankine non deve sostenere alcuna spinta è dunque teoricamente pari a: 4 c u H cr = z cr = (Eq. 8.7) γ Le superfici di scorrimento sono inclinate di 45 rispetto all orizzontale. Il metodo di Culmann (come il metodo di Coulomb per la spinta delle terre) si presta a soluzioni grafiche basate sulla costruzione del poligono delle forze, e può essere utilizzato anche per geometrie del pendio più complesse e irregolari, e in presenza di carichi concentrati o distribuiti sulla superficie. Fratture di trazione per coesione Il criterio di rottura di Mohr- Coulomb: τ = c + σ tanφ implica resistenza a trazione per i materiali con c 0. In particolare, per σ < c tan(45 + φ/) si ha σ 3 < 0 (Figura 8.3). Poiché i terreni non hanno resistenza a trazione, in una fascia superficiale in cui le tensioni litostatiche sono basse, si formano fratture di trazione, come già visto nel Paragrafo J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007) τ c Caso limite: σ = c tan(45 + φ/) σ = 0 σ 3 σ Figura 8.3 Criterio di rottura di Mohr.-Coulomb 3 ϕ σ

329 Capitolo 8 STABILITÀ DEI PENDII Il terreno compreso in tale fascia superficiale non contribuisce alla resistenza allo scorrimento del cuneo sulla superficie di rottura potenziale. Inoltre le fessure possono riempirsi di acqua meteorica, che esercita una spinta idrostatica.la profondità delle fessure, d, non W S w d/3 è nota, e può essere stimata per tentativi, o H con la formula semi-empirica: c d = γ m φm tan 45 + In Figura 8.4 è rappresentato lo schema di calcolo per l analisi di stabilità di un pendio interessato da fratture di trazione piene d acqua. (Eq. 8.8) θ Figura 8.4 Schema di calcolo di stabilità di un pendio interessato da fratture di trazione 8.5. Metodo del cuneo con due piani di scorrimento Abbastanza frequentemente le condizioni stratigrafiche e geotecniche di un pendio possono suggerire una superficie di scorrimento potenziale critica composta da due piani che delimitano un cuneo di terreno. In tal caso l analisi di stabilità del pendio può essere condotta secondo lo schema rappresentato in Figura 8.5. W L β L W W α P θ P θ W T N c L N tanφ T = + F F c L N tanφ T = + F F T W N c L F N P N tanφ F R N tanφ F P N R W c L F La massa in frana potenziale può essere verticalmente suddivisa in due cunei, che si trasmettono mutuamente una forza P. L intensità della forza P è incognita, ma può essere determinata con un poligono delle forze se si assegna un valore alla sua inclinazione θ rispetto all orizzontale. Il valore del coefficiente di sicurezza FS è sensibilmente influenzato dal valore di θ. Una ragionevole ipotesi per assegnare il valore a θ è assumere che esso sia pari all angolo di resistenza al taglio mobilitato, φ m, ovvero: P - P Figura Metodo dei due cunei x x x x F 343 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

330 Capitolo 8 STABILITÀ DEI PENDII tan φ tan θ = tan φm =. Poiché FS non è noto a priori, è necessario fissare un valore iniziale di tentativo e procedere iterativamente fino a convergenza. Con riferimento alla Fi- FS gura 8.5, ciascuno dei due cunei è considerato separatamente. Il poligono delle forze per il cuneo può essere disegnato (o calcolato). Esso è costituito: a) dalla forza peso W, ottenuta moltiplicando l area del cuneo per il peso di volume del terreno, di cui sono note intensità e direzione, b) dalla componente dovuta alla coesione della forza di taglio T alla base del concio, c L /FS, di cui sono note intensità e direzione, c) dalla forza normale N alla base del concio, di cui è nota la direzione, d) dalla componente dovuta all attrito della forza di taglio T alla base del concio, N tanφ/fs, di cui è nota la direzione, e) dalla forza P, di cui è nota la direzione. La direzione della risultante R fra le forza N e N tanφ/fs forma un angolo φ m con la direzione della forza N. Analogamente si procede per il cuneo, disegnandone (o calcolandone) il poligono delle forze e ottenendone il valore di P. Se risulta P = P, il valore di tentativo prescelto per FS è corretto, altrimenti si ripete il calcolo fino a convergenza. In pratica conviene disegnare un grafico in cui si riportano, per ogni tentativo, i valori della differenza (P P ) in funzione del coefficiente di sicurezza FS. L intersezione della curva che collega i punti calcolati con l asse delle ordinate indica il valore corretto di FS Carte di stabilità di un pendio omogeneo nell ipotesi di superficie di scorrimento circolare Per l analisi di stabilità di un pendio omogeneo con metodi all equilibrio limite globale si ricorre in genere alla più realistica ipotesi di superficie di scorrimento circolare. Con riferimento agli schemi di Figura 8.6, se la superficie di scorrimento critica interseca il pendio al piede o lungo la scarpata, la rottura è detta di pendio (slope failure), e si possono avere i casi di cerchio di piede (toe circle) e di cerchio di pendio (slope circle). Se invece il punto di intersezione è ad una certa distanza dal piede del pendio, la rottura è detta di base (base failure) ed il corrispondente cerchio è detto medio (midpoint circle). Taylor (937) ha affrontato analiticamente il problema della stabilità di un pendio omogeneo, con geometria regolare e di altezza limitata, fornendo soluzioni adimensionali e carte di stabilità di impiego semplice e immediato. Il terreno ha peso di volume γ, e resistenza al taglio τ = c + σ tanφ. Il caso di pendio costituito da materiale puramente coesivo (γ = γ sat, φ u = 0, τ = c u ) è applicabile per la verifica a breve termine di pendii di argilla omogenea satura non fessurata in condizioni non drenate. Il caso di pendio costituito da materiale dotato di coesione e attrito è applicabile alle verifiche a breve termine di terreno argilloso non saturo (γ < γ sat, φ u > 0, τ = c u + σ tanφ u ), e a lungo termine di terreni coesivi sovraconsolidati in assenza di pressione interstiziale (φ > 0, u = 0, τ = c + σ tanφ ). Altri Autori hanno considerato casi più complessi che mettono in conto gli effetti sulla stabilità di un sovraccarico uniformemente distribuito sulla sommità del pendio, della resistenza al taglio variabile con la profondità, dell inclinazione della superficie a monte, della filtrazione e della sommergenza, delle fessure di trazione, di superfici di scorrimento a forma di spirale logaritmica, etc., ma tali soluzioni richiedono numerose tabelle e/o grafici, ed è allora preferibile utilizzare i metodi delle strisce che, con la diffusione dei programmi di calcolo automatico, non hanno più lo svantaggio del lungo tempo di calcolo. 344 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

331 Capitolo 8 STABILITÀ DEI PENDII A) ROTTURA DI PENDIO CERCHIO DI PIEDE CERCHIO DI PENDIO B) ROTTURA DI BASE Figura Schemi di rottura di un pendio omogeneo di altezza limitata con superficie di scorrimento circolare Stabilità a breve termine di pendii in argilla omogenea satura Per la verifica di stabilità a breve termine, in condizioni non drenate, di un pendio omogeneo, con geometria regolare e di altezza limitata, costituito da argilla satura avente peso di volume γ e resistenza al taglio costante con la profondità, τ f = c u, si utilizza la soluzione di Taylor (937). Lo schema geometrico di riferimento è indicato in Figura 8.7, ove a solo titolo di esempio, è rappresentata una rottura di base ed il corrispondente cerchio medio. Il tipo di rottura e la posizione del cerchio critico dipendono, come è possibile desumere dalla Figura 8.8, dall inclinazione β del pendio e dal fattore di profondità n d, che è il rapporto adimensionale fra la profondità H di un eventuale strato rigido di base e l altezza H del pendio. 345 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

332 Capitolo 8 STABILITÀ DEI PENDII Figura Schema geometrico di riferimento per la soluzione di Taylor Figura Carta di stabilità di Taylor per pendii di terreno dotato di sola coesione In condizioni di equilibrio limite l altezza critica del pendio vale: c u H c = N s (Eq. 8.9) γ Il fattore di stabilità, N s, adimensionale, dipende dalla geometria del problema ed è determinabile con il grafico di Figura 8.8, ove è indicato anche il tipo di rottura che si determina. In condizioni di equilibrio stabile, il coefficiente di sicurezza FS, vale: H c c u FS = = N s (Eq. 8.0) H γ H Dall osservazione del grafico di Taylor, si desume che: per un pendio a parete verticale (β = 90 ) il fattore di stabilità vale 3,85, ovvero c u l altezza critica è H c = 3,85, inferiore al valore che si è ottenuto con l ipotesi di γ c u superficie di scorrimento piana H c = 4 ; γ per angolo di pendio β > 53 il cerchio critico è sempre di piede; per angolo di pendio β < 53 il cerchio critico può essere di piede, medio o di pendio a seconda della profondità dello strato rigido di base; in assenza di uno strato compatto di base, ovvero per n d =, vi è un altezza critica c u H c = 5,5 che comunque non può essere superata, indipendentemente dal γ valore di β. Stabilità di un pendio di terreno omogeneo dotato di coesione e attrito La soluzione di Taylor per un pendio di terreno omogeneo dotato di coesione e attrito è basata sul metodo del cerchio d attrito, schematicamente illustrato in Figura 8.9. Il raggio della superficie di scorrimento potenziale è indicato con R. Il cerchio d attrito è 346 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

333 Capitolo 8 STABILITÀ DEI PENDII concentrico alla superficie circolare di scorrimento ed ha raggio R senφ. Ogni linea tangente al cerchio d attrito che interseca la superficie di scorrimento, forma con la normale ad essa un angolo φ. Pertanto in ogni punto della superficie di scorrimento, la direzione della tensione mutua (somma dello sforzo normale e della tensione tangenziale dovuta all attrito), in condizioni di equilibrio limite, forma un angolo φ con la normale alla superficie ed è tangente al cerchio d attrito. Per un assegnato valore di φ l altezza critica del pendio è data dall equazione: c H c = N s (Eq. 8.) γ Il valore del fattore di stabilità Ns è funzione degli angoli β e φ (Figura 8.0). Cerchio di attrito β p Superficie di scorrimento circolare Fattore di stabilità, N = γ H /c S c W = peso del terreno c = coesione risultante P = forza risultante φ β = angolo di resistenza al taglio = inclinazione del pendio Inclinazione del pendio, β ( ) Figura Schema del metodo del cerchio d attrito Figura Carta di stabilità di Taylor per pendii di terreno dotato di coesione eattrito 8.6 Pendii naturali Metodi delle strisce Per le verifiche di stabilità dei pendii naturali, spesso caratterizzati da una complessa e irregolare morfologia superficiale e profonda, e da una forte variabilità delle condizioni stratigrafiche e geotecniche, si ricorre, nell ambito dei metodi all equilibrio limite, ai cosiddetti metodi delle strisce. Dopo avere scelto e disegnato una o più sezioni longitudinali del pendio in base alla massima pendenza e/o ad altre condizioni critiche come la presenza di strutture o infrastrutture, di discontinuità morfologiche o geologiche, o anche dei segni che indicano un movimento avvenuto, come fratture e rigonfiamenti, si ipotizza una superficie cilindrica di scorrimento potenziale, S, e si suddivide idealmente la porzione di terreno delimitato da S e dalla superficie topografica in n conci mediante n- tagli verticali (Figura 8.), non 347 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

334 Capitolo 8 STABILITÀ DEI PENDII Livello dell acqua n- n i Terreno tipo Figura 8. - Schema di suddivisione di un pendio in strisce normale e tangenziale della forza mutua tra i conci, b i è la quota di applicazione di E i rispetto alla superficie di scorrimento. U i è la risultante delle pressioni interstiziali sulla superficie di separazione fra i conci i ed (i+). N i e T i sono le componenti normale e tangenziale della reazione di appoggio del concio sulla superficie di scorrimento, a i è la distanza E i del punto di applicazione di N i dallo spigolo anteriore, e U b,i è la risultante U i delle pressioni interstiziali alla base del b i concio. 3 Superficie S Terreno tipo X i necessariamente di eguale larghezza, ma tali che l arco di cerchio alla base di ciascuno di essi ricada interamente in un unico tipo di terreno. Immaginiamo di estrarre il concio i-esimo e di rappresentare le forze che agiscono su di esso in condizioni di equilibrio (Figura 8.). Il concio ha larghezza x i, e peso W i. La corda dell arco di cerchio alla base è inclinata di un angolo α i sull orizzontale. E i e X i, sono le componenti i x i W i T i i - X i - E i- U i- Le ipotesi generalmente ammesse da quasi tutti i metodi delle strisce sono:. stato di deformazione piano (ovvero superficie cilindrica e trascurabilità degli effetti tridimensionali),. arco della superficie di scorrimento alla base del concio approssimabile con la relativa corda, 3. comportamento del terreno rigido-perfettamente plastico e criterio di rottura di Mohr- Coulomb, 4. coefficiente di sicurezza FS eguale per la componente di coesione e per quella di attrito, e unico per tutti i conci, ovvero: T T FS essendo FS x i li =. cosαi ( c l + N tanϕ ) 348 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007) α i a i N i U b,i Figura 8. - Geometria del concio i-esimo e forze agenti su di esso fi i = = i i i i (Eq. 8.)

335 Capitolo 8 STABILITÀ DEI PENDII Analizzando le forze agenti sul concio (Figura 8.) si osserva che: il peso W i del concio e le risultanti U i e U bi delle pressioni interstiziali sono determinabili, essendo nota la geometria del concio (α i, x i e quindi l i ) e le caratteristiche geometrice e geotecniche del pendio la forza di taglio T i è determinabile, nota la forza normale N i, dalla Equazione (8.). e quindi, il bilancio del numero di incognite e di equazioni di equilibrio del sistema è quello indicato in Tabella 8.. Tabella 8. - Numero delle incognite e delle equazioni di equilibrio nel metodo delle strisce Incognite Equazioni di equilibrio FS n Σ V = 0 n Σ H = n- i n- i n N i n 0 E n Σ M = 0 X n- b i n. tot. 5n- 3n a i Poiché il numero delle incognite, (5n ), è superiore al numero delle equazioni di equilibrio, pari a 3n, il sistema è indeterminato. Per ridurre il numero delle incognite e rendere il sistema determinato, è necessario introdurre alcune ipotesi semplificative. I diversi metodi delle strisce differiscono sulle ipotesi semplificative assunte. I due più semplici e più diffusi metodi delle strisce sono il metodo di Fellenius ed il metodo di Bishop semplificato. Un ipotesi comune a molti metodi, fra cui i metodi di Fellenius e di Bishop descritti nei paragrafi successivi, ma non a tutti, è l ipotesi di superficie di scorrimento circolare, sufficientemente ben verificata quando non vi siano condizioni stratigrafiche e geotecniche particolari. Se si accetta tale ipotesi, il coefficiente di sicurezza risulta pari al rapporto fra momento stabilizzante e momento ribaltante rispetto al centro della circonferenza. in cui: n T M FS = M S = = r e pertanto: i= fi S n (Eq. 8.3) T M R i= i n i= n T fi = r n [ c li + N tanϕ ] i i (Eq. 8.4) M = r T = r W senα (Eq. 8.5) R i= i n i i 349 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

336 Capitolo 8 STABILITÀ DEI PENDII n [ c l i + N i tan ϕi ] M S FS = = n (Eq. 8.6) M R W senα i i α i F 4 Direzione normale alla superficie di scorrimento Le forze interne X i e E i non intervengono perché costituiscono un sistema equilibrato. Consideriamo il poligono delle forze che agiscono sul concio i-esimo (Figura 8.3): F F 3 F = W + (X X ) F = (E E F = T 3 4 i i i i i i F = N + U bi i ) + (U U i i ) F Figura Poligono delle forze agenti sul concio i-esimo 8.6. Metodo di Fellenius Il più antico e più semplice metodo delle strisce è il metodo di Fellenius, detto anche metodo svedese o ordinario, che è caratterizzato dalla seguente ulteriore ipotesi semplificativa: per ogni concio la risultante delle componenti nella direzione normale alla superficie di scorrimento delle forze agenti sulle facce laterali è nulla. Con riferimento al poligono delle forze di Figura 8.3, l equazione di equilibrio nella direzione normale alla superficie di scorrimento è: F cosα i + F senα i = F 4 [ Wi + (Xi Xi ) ] cosαi + [(E i Ei ) + (Ui Ui ) ] senα i = Ni + U bi per l ipotesi del metodo di Fellenius è: ( X X ) cos α + [( E E ) + (U U )] senα 0 i i i i i i i i = ne risulta: W cosα = N + U (Eq. 8.7) i i i bi 350 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

337 Capitolo 8 STABILITÀ DEI PENDII da cui: Ni = Wi cosα i U bi = Wi cosαi u bi li (Eq. 8.8) avendo ipotizzato una distribuzione uniforme, u bi, delle pressioni interstiziali alla base del concio. L espressione del momento stabilizzante diventa: M S = r n n [ c li + Ni tan i ] = r [ c li + (Wi cosα i u bi li ) tanϕi ] e quindi il coefficiente di sicurezza è: ϕ (Eq. 8.9) n [ c li + (Wi cosαi u bi li ) tanϕi ] MS FS = = n M R W senα i i (Eq. 8.30) Il coefficiente di sicurezza calcolato è relativo alla superficie di scorrimento potenziale considerata. Il valore minimo di FS corrisponde alla superficie di scorrimento potenziale critica e deve essere determinato per tentativi, come vedremo nel seguito. Il metodo di Fellenius è in genere conservativo, poiché porta ad una sottostima del coefficiente di sicurezza rispetto ai valori stimati con altri metodi più accurati Metodo di Bishop semplificato Il metodo di Bishop semplificato è attualmente il più diffuso ed utilizzato fra i metodi delle strisce. Esso è caratterizzato dalla seguente ulteriore ipotesi semplificativa: per ogni concio la risultante delle componenti nella direzione verticale delle forze agenti sulle facce laterali è nulla. Con riferimento al poligono delle forze di Figura 8.3, l equazione di equilibrio nella direzione verticale è: F F senα 3 i = F cos α 4 i Wi + (Xi Xi ) Ti senαi = (Ni + Ubi) cos αi per l ipotesi del metodo di Bishop semplificato è: ( Xi Xi ) = 0 ne risulta: W T senα i ed essendo: i i = (N + U i bi ) cos α i 35 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

338 Capitolo 8 STABILITÀ DEI PENDII Ti = i FS xi li = cos α U bi = u l ne segue: i ( c l + N tan ϕ ) i i i i i W i FS x i ci cosα i + N tan ϕ i i senα i = N i + u i x i cosα i cosα i e sviluppando: Wi ui x i ci x i tanαi N = FS i tanϕ tan i αi cosαi + FS (Eq. 8.3) n [ ] M S = c x i + (Wi u i x i ) tanϕ tanα i tanϕi cosα + i FS (Eq. 8.3) La soluzione è ricercata per via iterativa fissando un primo valore di tentativo per FS. Il coefficiente di sicurezza calcolato è relativo alla superficie di scorrimento potenziale considerata. Il valore minimo di FS corrisponde alla superficie di scorrimento potenziale critica e deve essere determinato per tentativi Ricerca della superficie circolare di scorrimento potenziale critica Quando si studiano le condizioni di stabilità di un pendio naturale che non ha avuto movimenti significativi, e che quindi non presenta tracce di intersezione tra la superficie di scorrimento e la superficie topografica, la superficie di scorrimento critica, ovvero la superficie cui è associato il minimo valore del coefficiente di sicurezza, deve essere determinata per tentativi. Se, tenuto conto delle condizioni stratigrafiche e geotecniche del pendio, si ritiene plausibile l ipotesi di superficie di scorrimento circolare, la circonferenza critica è determinata quando se ne conoscano la posizione del centro ed il raggio. Se il calcolo è svolto a mano, il numero di superfici che possono essere analizzate è necessariamente ridotto, ed inoltre si preferirà utilizzare il metodo di Fellenius rispetto al metodo di Bishop semplificato, poiché il calcolo del coefficiente di sicurezza con quest ultimo metodo richiede un procedimento iterativo per ogni superficie considerata. Tuttavia molto spesso le condizioni morfologiche, stratigrafiche e geotecniche del pendio sono tali che, con un minimo di buon senso e di esperienza, anche con un numero ridotto di tentativi si riesce ad individuare la superficie di scorrimento critica. 35 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

339 Capitolo 8 STABILITÀ DEI PENDII Attualmente la diffusione dei programmi di calcolo automatico ha eliminato il problema della lunghezza e della laboriosità del calcolo numerico, sebbene siano sempre necessari esperienza e buon senso per definire i confini del campo di ricerca. La procedura di ricerca della superficie circolare critica e del relativo coefficiente di sicurezza è illustrata in Figura 8.4. Eseguendo l analisi di stabilità per un certo numero di cerchi aventi lo stesso centro e diverso raggio, e diagrammando i coefficienti di sicurezza ottenuti in funzione del raggio si ottengono dei punti che appartengono ad una linea che presenta un minimo. Tale valore è il coefficiente di sicurezza minimo associato al centro comune dei cerchi considerati. Ripetendo la procedura per diversi centri di cerchi disposti ai nodi di un reticolo a maglia rettangolare o quadrata, si otterrà un piano quotato, di cui si potranno tracciare le linee di livello che descrivono una porzione di superficie tridimensionale. Se tale superficie presenta un minimo, il punto corrispondente al minimo avrà come coordinate planimetriche le coordinate del centro della superficie circolare critica e come quota il coefficiente di sicurezza del pendio. Se la superficie presenta più minimi relativi significa che esistono più superfici critiche di scorrimento potenziale Effetti tridimensionali La maggior parte dei metodi di verifica della stabilità dei pendii considerano il problema piano, ovvero assumono una geometria cilindrica trascurando gli effetti tridimensionali. Tale ipotesi è generalmente ben verificata per i pendii artificiali ma non per i pendii naturali. Se si esegue la verifica di stabilità per la sezione più critica, corrispondente in genere alla sezione longitudinale in asse alla frana, il coefficiente di sicurezza ottenuto è una sottostima del valore reale. Un metodo approssimato per tenere conto degli effetti tridimensionali, è il seguente: Si considerano n sezioni longitudinali parallele equidistanti, e per ciascuna di esse si calcola il coefficiente di sicurezza minimo FS i, che risulta associato ad un area A i di terreno in frana potenziale. Il coefficiente di sicurezza globale del pendio è stimato con l equazione: FSi A i FS = (Eq. 8.34) FS i (a) Centro della superficie di scorrimento (c) 353 Cerchio critico (b) J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007) (d) Terreno di riempimento sabbioso Argilla soffice Figura Procedura per la determinazione della superficie circolare di scorrimento critica e del coefficiente di sicurezza

340 Capitolo 8 STABILITÀ DEI PENDII 8.7 Scelta del coefficiente di sicurezza La scelta del valore del coefficiente di sicurezza da utilizzare nelle verifiche di stabilità dei pendii richiede un giudizio critico da parte dell ingegnere geotecnico, poiché sono molti i fattori di cui tenere conto. Occorre infatti considerare: - l affidabilità del modello geotecnico, ovvero dello schema stratigrafico di riferimento e della caratterizzazione meccanica dei terreni, - i limiti del metodo di calcolo, ovvero delle ipotesi semplificative ad esso associate, - le conseguenze di un eventuale rottura, - la vulnerabilità delle strutture e delle infrastrutture, la cui funzionalità potrebbe essere compromessa anche da movimenti che hanno luogo con coefficienti di sicurezza superiori ad (stato limite di servizio), - il tempo, ovvero se la stabilità del pendio deve essere assicurata per un breve oppure per un lungo periodo di tempo. La Normativa Italiana attualmente in vigore (D.M. LL.PP. /03/88) prescrive che: Nel caso di terreni omogenei e nei quali le pressioni interstiziali siano note con sufficiente attendibilità, il coefficiente di sicurezza non deve essere minore di,3. Nelle altre situazioni il valore del coefficiente di sicurezza da adottare deve essere scelto caso per caso, tenuto conto principalmente della complessità strutturale del sottosuolo, delle conoscenze del regime delle pressioni interstiziali e delle conseguenze di un eventuale fenomeno di rottura. A titolo indicativo, se la conoscenza delle condizioni stratigrafiche e geotecniche è buona, e le conseguenze di una eventuale rottura non sono particolarmente drammatiche, per le verifiche di stabilità di scavi o di pendii naturali a priori, ovvero se non si è manifestata la frana, si può adottare un coefficiente di sicurezza compreso tra,3 e,4 in relazione al metodo di calcolo impiegato, mentre per le verifiche di stabilità a posteriori, ovvero dopo che si è manifestata la frana, e quindi si conosce la superficie di scorrimento e si utilizza la resistenza al taglio residua del terreno, potranno essere adottati coefficienti di sicurezza minimi compresi tra, e,3. Valori maggiori dei coefficienti di sicurezza devono essere utilizzati per opere quali le dighe in terra, che comunque dovranno essere costantemente monitorate durante le varie fasi di esercizio. 8.8 Criteri di intervento per la stabilizzazione delle frane Per stabilizzare una frana in atto, o comunque per aumentare il coefficiente di sicurezza di un pendio, FS, che, come è stato detto, è il rapporto tra la capacità di resistenza lungo la superficie di scorrimento potenziale critica, C, e la domanda di resistenza, ovvero la resistenza necessaria per l equilibrio, D, occorrono interventi volti a produrre un aumento di C, o una diminuzione di D, oppure entrambe le cose. Sebbene qualunque intervento richieda un analisi del fenomeno in atto, o temuto, sia dal punto di vista tipologico, sia dal punto di vista morfologico e plano-altimetrico, sia per ciò che riguarda i litotipi coinvolti e le loro caratteristiche geotecniche, sia per quanto riguarda le condizioni idrogeologiche, è innanzitutto necessario distinguere tra interventi d urgenza e interventi definitivi. 354 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

341 Capitolo 8 STABILITÀ DEI PENDII Se è richiesto un intervento di urgenza, perché la frana è in atto e costituisce minaccia incombente a persone o a beni, fatta salva la necessità di richiedere l evacuazione della zona a rischio, occorre raccogliere il maggior numero di informazioni esistenti o disponibili in breve tempo, e predisporre quelle misure rapide ed economiche che, pur non essendo risolutive, portano ad una riduzione del rischio, o comunque non lo accrescono. Ad esempio, non rimuovere l accumulo al piede che, col proprio peso, produce un momento stabilizzante, eliminare le zone di ristagno dell acqua piovana facilitandone invece il ruscellamento, ripristinare l efficienza di canalette e fossi di guardia, sigillare le fratture per limitare le infiltrazioni di acqua piovana, etc.. Per progettare un intervento di sistemazione definitivo è necessario svolgere tutte le indagini, geologiche, geofisiche, geotecniche, topografiche, e mettere in opera tutti gli strumenti (piezometri, inclinometri, estensimetri, basi topografiche), necessari per chiarire l estensione e la cinematica del fenomeno. Poiché in genere il costo delle indagini rappresenta una parte piccola rispetto al costo complessivo dell intervento di stabilizzazione di una frana, e poiché in assenza di dati affidabili il progettista tende ad assumere ipotesi molto cautelative che comportano un sovradimensionamento delle opere da realizzare, non è conveniente risparmiare sulle indagini (naturalmente purché siano ben programmate ed eseguite). È inoltre sempre opportuno prevedere indagini e controlli durante e dopo la realizzazione delle opere, compresa la messa in opera di strumentazione adeguata, per verificare le ipotesi di progetto, l efficacia dell intervento eseguito e controllare il decorso dei movimenti nel tempo, prolungando il monitoraggio per almeno un intero ciclo stagionale dopo il termine dei lavori. Dopo avere raccolto tutte le informazioni necessarie, si definisce il modello geotecnico, ovvero lo schema fisico meccanico interpretativo del fenomeno, e si procede alla verifica di stabilità del pendio, nelle condizioni precedenti l intervento di stabilizzazione, con i metodi della geotecnica (fra cui, ma non solo, quelli all equilibrio limite visti ai paragrafi precedenti). Se la frana è avvenuta si può eseguire un analisi a ritroso (back analysis), ovvero si impone che per la superficie di scorrimento reale (se individuata) e nelle condizioni idrogeologiche esistenti al momento della frana, risulti FS =, si ricava il valore medio della resistenza al taglio a rottura, e lo si confronta con il valore desunto dalle prove di laboratorio. La prima fase della progettazione è finalizzata ad individuare i fattori che maggiormente influenzano la stabilità del pendio, ed alla selezione, scelta e verifica dell efficacia dei possibili interventi di stabilizzazione. In Tabella 8. sono elencati i criteri di scelta e i principi fisici dei provvedimenti possibili. Essi possono essere suddivisi in due grandi categorie generali: i provvedimenti volti a ridurre la domanda di resistenza, D, e quelli volti ad aumentare la capacità di resistenza, C. Limitandoci ad una sommaria disamina dei provvedimenti per la stabilizzazione di movimenti franosi in terreni sciolti, nella prima categoria sono compresi: - la riprofilatura del pendio, ovvero la modifica della superficie topografica con riduzione della pendenza, alleggerimento della sommità e/o appesantimento del piede del pendio. Interventi di questo tipo hanno efficacia per movimenti franosi di tipo rotazionale non molto profondi; - l inserimento di opere di sostegno passive, quali muri, terra armata, paratie, pali, reticoli di micropali e pozzi, al piede della frana, con lo scopo di trasferire la spinta dell ammasso a strati più profondi e stabili. Possono essere impiegati solo per frane di spessore modesto. 355 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

342 Capitolo 8 STABILITÀ DEI PENDII Tabella 8. - Principi e metodi di stabilizzazione dei pendii e delle scarpate (da Jappelli, Manuale di Ingegneria Civile) CRITERIO PRINCIPIO FISICO PROVVEDIMENTO NOTE Riduzione delle forze che tendono a provocare la rottura Aumento delle forze resistenti Riduzione degli sforzi tangenziali lungo la superficie di scivolamento Trasferimento degli sforzi tangenziali ad elementi strutturali fondati o ancorati ad una formazione sottostante non interessata dal dissesto Aumento degli sforzi normali totali lungo la superficie di scivolamento Riduzioni delle pressioni interstiziali in punti interni o lungo il contorno Miglioramento della resistenza al taglio del materiale Scavo di alleggerimento sulla sommità del pendio Abbattimento della scarpata Muri di sostegno Sistemi di pali Ancoraggi pesanti Paratie e palancolate con o senza ancoraggio Chiodi Applicazioni di elementi strutturali con tiranti pretesi Applicazioni di rinfianchi o placcaggi al piede del pendio Allontanamento delle acque superficiali Drenaggio: a) dreni orizzontali b) pozzi c) dreni verticali d) gallerie drenanti e) trincee drenanti Elettroosmosi Addensamento Iniezioni Congelamento Cottura 356 Non sempre fattibile per il costo elevato, per l esistenza di manufatti, per pendii molto lunghi Molto costosi e non sempre adeguati Non sempre efficaci Devono essere progettati con criteri cautelativi specialmente quando previsti con funzione di sostegno permanente Si applicano prevalentemente a pendii in roccia Spesso applicabili Generalmente di costo elevato ed applicabili solo in terreni o rocce particolari Nella seconda categoria rientrano: - le opere per la disciplina delle acque superficiali, come fossi e cunette di guardia, fascinate, inerbimenti e rimboschimenti, che hanno lo scopo di ridurre le infiltrazioni di acqua dalla superficie e quindi le pressioni interstiziali, e di aumentare la resistenza al taglio del terreno più superficiale, anche per mezzo delle armature costituite dall apparato radicale delle piante. Tali interventi hanno efficacia solo per stabilizzare la coltre più superficiale di terreno; J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)

343 Capitolo 8 STABILITÀ DEI PENDII - le opere di drenaggio superficiali e profonde (trincee drenanti, pozzi drenanti, dreni suborizzontali, cunicoli e gallerie drenanti, elettroosmosi) hanno lo scopo di ridurre le pressioni interstiziali e quindi accrescere le pressioni efficaci e la resistenza al taglio del terreno. Sono i provvedimenti più diffusi ed efficaci per la stabilizzazione della maggior parte dei movimenti franosi profondi. In zone urbanizzate occorre verificare l entità e gli effetti dei cedimenti di consolidazione indotti dall abbassamento del livello di falda; - piastre e travi che, per mezzo di tiranti di ancoraggio pretesi, comprimono il terreno aumentando le tensioni normali, e quindi la resistenza al taglio, lungo la superficie di scorrimento; - altri interventi finalizzati al miglioramento delle caratteristiche meccaniche del terreno, quali iniezioni di miscele chimiche o cementizie, trattamenti termici come congelamento o cottura, etc.., i quali sono utilizzabili solo in casi particolari. 357 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 007)