12. Figura di merito e rumore negli amplificatori ottici. L amplificatore Raman

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1 1. Figura di merito e rumore egli amplificatori ottici. L amplificatore Rama 1.1 Master Equatio Le leggi di emissioe ed assorbimeto formulate al Capitolo 10 o pogoo restrizioi sul modo di emissioe ed ifatti il decadimeto spotaeo avviee co ua desità di modi " # = # /$ c 3. E possibile scrivere le stesse leggi di emissioe ed assorbimeto i ua formulazioe moomodale i cui ache l emissioe spotaea viee costretta ad emettere i u uico modo assegato. I questa formulazioe le leggi si semplificao perché o avrò più u coefficiete apposito per l emissioe spotaea ma questo sarà il caso di macaza di campo dell emissioe stimolata. Posso poi itrodurre ivece del parametro desità di campo ottico W(ω) il più semplice parametro umero di fotoi e riscrivere i questo modo ua più semplice formulazioe fotoica delle leggi di assorbimeto ed emissioe, dove u uico coefficiete w (da o cofodere co la desità di eergia W(ω) usata ai paragrafi precedeti) sostituisce i tre coefficieti di Eistei probabilità di trasire dallo stato allo stato1e di emettere u fotoe h" i preseza di ua radiazioe lumiosa coteete fotoi modo # atomo# secodo probabilità di trasire dallo stato 1 allo stato e di assorbire u fotoe h" i preseza di ua radiazioe lumiosa coteete fotoi modo # atomo# secodo = w( +1) = w Cosideriamo adesso u campo ottico, come quello emesso per esempio da u amplificatore ottico di tipo EDFA: i esso l uico modo fotoico si può trovare a diversi livelli di eccitazioe ovvero avere diverse popolazioi : 0, 1,, 3, (-1), (), (+1), come illustrato ella figura seguete. Chiamo P la probabilità che il campo fotoico si trovi el -esimo stato di eccitazioe ovvero che cotega fotoi P = probabilità che il campo ottico si trovi co fotoi Comuicazioi Ottiche, Capitolo 1, Edizioe Ottobre 007 1

2 Questo campo iteragirà co il materiale dell amplificatore ottico provocado trasizioi di assorbimeto e di emissioe (come studiato ai capitoli precedeti). Il materiale sarà popolato elettroicamete co le popolazioi ed. Suppogo che queste popolazioi siao molto gradi e che quidi siao mateute quasi-costati durate i processi di assorbimeto e di emissioe. Ad u certo istate temporale, se soo i fotoi preseti el campo ottico, vi sarao processi di emissioe dagli stati e di assorbimeto dagli stati che dimiuirao la popolazioe dello stato (portadolo ifatti rispettivamete allo stato (+1) e (-1)). La probabilità P subirà quidi ua variazioe di sego egativo el tempo del tipo: dp dt = " wp " w( +1)P Comuicazioi Ottiche, Capitolo 1, Edizioe Ottobre 007

3 Cotemporaeamete avrò processi di emissioe dal campo (-1) dagli stati e di assorbimeto dal campo (+1) da parte degli stati che mi produrrao ua variazioe positiva di P: dp dt = + w( +1)P +1 + wp "1 come illustrato ache ella figura seguete Il bilacio dei due feomei, mi produrrà ua equazioe di bilacio della popolazioe fotoica del campo ottico chiamata ache Master Equatio del campo ottico, del tipo dp dt = " wp " w( +1)P + w( +1)P +1 + wp "1 Questa equazioe (moomodale) è importate perché permette di studiare tutti i feomei della iterazioe fra u campo ottico ed i materiali e Comuicazioi Ottiche, Capitolo 1, Edizioe Ottobre 007 3

4 quidi i feomei di assorbimeto, amplificazioe e laser e produrre le statistiche di emissioe ed assorbimeto dei fotoi. Nel seguito verrà studiata i alcue soluzioi semplici per l amplificatore ottico e la radiazioe termica. 1. Radiazioe termica Come primo esempio di soluzioe della Master Equatio cosideriamo il caso i cui o vi siao fotoi el campo ottico (=0) metre il materiale sia eccitato per via termica agli stati ed. Dei 4 termii della ME: dp dt = " wp " w( +1)P + w( +1)P +1 + wp "1 solo i termii co (+1) rimarrao e quidi ottego dp dt = " w(1)p 0 + w(1)p 1 allo stato stazioario,quado dp/dt = 0 posso risolvere questa equazioe i P 1 esprimedolo i fuzioe di P 0, ed e così i via ricursiva geerare ua catea di equazioi del tipo wp "1 " wp = 0 la cui soluzioe è P = N # P "1 = N & % ( $ ' P 0 Il valore di Po è determiabile sapedo che P deve essere ormalizzato i modo che sia " P =1 e quidi ottego " P = N % $ ' # & * " ( 1) N %-, $ '/ + # &. Comuicazioi Ottiche, Capitolo 1, Edizioe Ottobre 007 4

5 itroducedo ora empiricamete il parametro umero di fotoi medio come = " riscrivo l equazioe precedete i fuzioe di questo parametro ed ottego siccome / è uguale a = " " = = " 1+ e sostituedo ell espressioe di P prima trovata " % P = $ ' # 1+ & P = ( +1) +1 * " %- (, 1) $ '/ = (1+ ) ) + # 1+ &. ( +1) +1 che, come abbiamo già visto, rappreseta la distribuzioe di probabilità caratteristica di ua sorgete termica (o distribuzioe di Bose-Eistei o distribuzioe della luce caotica o distribuzioe di Plack). Comuicazioi Ottiche, Capitolo 1, Edizioe Ottobre 007 5

6 1.3 Radiazioe Amplificata Cosa succederà quado è " 0 o acora di più quado arrivo ad u iversioe di popolazioe ( > )? Che soluzioi prede la ME i questo caso? La soluzioe completa è molto complicata e si può avere solo umericamete. Può però essere utile osservare l adameto del primo e secodo mometo della distribuzioe ", cioè di = " P = " P A partire dalla ME, moltiplicado per e sommado per tutti gli si ottiee d dt = " w # ( +1)P + ( +1)P +1 # P + P #1 ovvero { } d dt = " w {# ( +1) + ( #1) # + ( +1) }P = " w{ # # + # # }P da cui = " wp # [( ) + ] d dt = w $ &# P N " N 1 % e quidi ottego # ( ) + P d dt = w ( " ) + w ' ) = w " ( ( ) + w Comuicazioi Ottiche, Capitolo 1, Edizioe Ottobre 007 6

7 che rappreseta l equazioe di bilacio fotoico dell Amplificatore Ottico. Questa equazioe riassume tutte le caratteristiche di fuzioameto del processo di AO i ua cavità moomodale seza perdita. La sua soluzioe più geerale è [ = 0( " ) " ]e " ( " )wt + ( " ) dove 0 è il umero medio di fotoi preseti all igresso. Questa espressioe può essere vista come ( ) ( ) e" N1 "N N = 1 " 0 " ( )wt + ( ) " ( ) e" ( N1 "N )wt " " ovvero cambiado il sego della paretesi ( " ) ( = 0 e " )wt + ( )wt ( ) " 1" e + " Defiisco Guadago dell Amplificatore Ottico la quatità ( G = e " )wt e Fattore d Iversioe della Popolazioe sp / " = s# e quidi sarà = 0 G + ( G "1) s# Il termie ( G "1) s# rappreseta il cotributo forito alla produzioe di fotoi da parte del solo processo di Emissioe Spotaea Amplificata (ASE). L espressioe precedete può essere vista come = c + i Comuicazioi Ottiche, Capitolo 1, Edizioe Ottobre 007 7

8 ( essedo c = 0 e " )wt = compoete coerete e ( i = s" 1# e # )wt [ ] = compoete icoerete o caotica Seguiamo ora l evoluzioe della statistica fotoica al variare delle codizioi iiziali e dell iversioe di popolazioe. Si può dimostrare che quado le due luci (quella coerete e quella caotica) soo preseti cotemporaeamete il grado di coereza del ordie vale g 0 ( ) = i + 4i c + c ( i + c ) - se 0 = 0, o vi è preseza iiziale di luce coerete, solo il cotributo icoerete rimae sia el processo di atteuazioe che di amplificazioe e g ( 0) " ; - se soo i u processo di atteuazioe (cioè > ) ed iizialmete è presete luce coerete di igresso, dopo u certo tempo rimae solo la compoete icoerete ed acora ua volta g ( 0) " ; - se ivece soo i preseza di u processo di amplificazioe > ed acora o ho luce di igresso ( 0 = 0), la luce all uscita dell amplificatore sarà solo la compoete i ed g ( 0) " ; - se ivece ho la preseza di luce coerete di igresso, sia la luce c e i aumeterao all aumetare del G ed il grado di coereza dipederà dall itesità delle relative compoeti, sapedo che dopo u certo tempo, gli espoeziali prevarrao e quidi c i " 0 ( ) # # 1 = N 0( # 1) = 0 s$ Questi risultati dimostrao che il processo di amplificazioe ottica tede a coservare la propria coereza della luce etrate. Osserviamo ora più da vicio il risultato otteuto. Comuicazioi Ottiche, Capitolo 1, Edizioe Ottobre 007 8

9 Il termie ( c = 0 e " )wt è uguale al risultato otteuto ella trattazioe dell AO i cui viee costruita l equazioe di bilacio multimodale i fuzioe della propagazioe i z. Ifatti, ell accezioe qui utilizzata, w è il coefficiete di Eistei moomodale (ovvero per desità fotoica =1), e quidi w = "# Ioltre ed rappresetao il umero di atomi al livello eccitato e fodametale, metre ella precedete trattazioe rappresetavao il Numero/Volume, per cui ( " )wt diveta ( " )#$t e moltiplicado e dividedo per c ( " ) #$ c ct e defiedo ct = z e sapedo che " c = 1 volume ( N " # N "1 )$z, l equazioe diveta da cui ri-ottego l espressioe del G come ( G = e N " #N $ 1 )% a z Il termie i = ( G "1) s# rappreseta l ievitabile cotributo di rumore ASE che accompaga sempre il processo di AO. Questa è l espressioe moomodale. Per otteere l espressioe multimodo e valutare la poteza ASE tego presete che Comuicazioi Ottiche, Capitolo 1, Edizioe Ottobre 007 9

10 imm = ( G "1) s# $ umero di modi di emissioe spotaea di questa emissioe di fotoi, solo la parte che propaga i fibra verrà raccolta, cioè solo l emissioe che rimae all itero dell agolo solido ( NA) /4" e per otteere la poteza emessa devo itegrare questa emissioe per tutta la bada dell AO, ovvero per 4 THz. Ottego quidi ( ) " P ASE = i # c $ NA 3 4# $ h" $ ( ) 0.1 = ( G %1) sp # $ %19 $ e se per esempio ipotizzo di avere u G = 30 db ed u s" = 4 P ASE =10 3 " 4 " # 4$ # = "10# = # =,4 mw Comuicazioi Ottiche, Capitolo 1, Edizioe Ottobre

11 1.4 Valutazioe della figura di merito di u Amplificatore Ottico Per valutare le proprietà statistiche della luce amplificata debbo valutare il termie. Utilizzo la stessa procedura adoperata per la valutazioe della media, sapedo che = " #. Moltiplico quidi etrambi i membri della ME, ed ottego d dt = " w # ( +1)$ + ( +1)$ +1 # 3 $ + 3 $ #1 { } ovvero d dt = " w{ # ( +1) + ( +1) # 3 + ( +1) 3 }$ % ( = " w& # 3 # # # ) ' * $ = " w{ ( # ) + ( 3 + ) + }$ = ( # )W + ( 3 + )W + W Risolvedo questa equazioe co la sostituzioe = 0G + ( G "1) s# posso ricavare la variaza " della mia amplificazioe " = # " OUT = 0 e # ( # )wt + $ N + ' & ) % # ( { } + e # ( #N )wt #1 # e # ( #N { )wt #1} + e # # ( )wt [ 0 # 0 # 0 ] e # ( #N { )wt #1} e # ( # )wt { } 0 # ovvero " OUT = G0 + ( G #1) s$ + G( G #1) s$ 0 + ( G #1) s$ + G 0 # G [ 0 # G 0 ] dove compaioo 4 termii pricipali che posso ricooscere dalla teoria del rapporto SNR come: Comuicazioi Ottiche, Capitolo 1, Edizioe Ottobre

12 G 0 + ( G "1) s# = termie di shot-oise G( G "1) s# 0 = termie di battimeto ASE-segale G "1 = termie di batimeto ASE-ASE ( ) s# G 0 " G 0 " G 0 = termie di rumore i eccesso A parte il 4 termie, ricoosco egli altri tre termii gli stessi termii otteuti dal processo di fotorivelazioe quado la luce di igresso era ua luce miscela cioè i termii prodotti da ua statistica di tipo La guerre. Si può dimostrare che il termie di excess oise è dipedete dalla statistica della luce i igresso. I particolare: - per luce coerete esso si aula: 0 " 0 di Poisso e quidi vale che " 0 = 0 ; ( ) " 0 - per luce caotica esso vale: 0 " 0 " 0 = 0 = 0 perchè soo i statistica Dispoedo del valor quadratico medio, posso valutare l evoluzioe del SNR attraverso l Amplificatore Ottico. Ho ifatti che, per defiizioe, ella ipotesi di luce coerete di igresso: ( SNR) OUT = OUT ( SNR) OUT = metre è " OUT ( SNR) IN = 0 0Bm ( G 0) G 0 + ( G "1) s# + G( G "1) s# 0 + ( G "1) [ s# ]Bm ( ) e quidi il Fattore di Merito F dell Amplificatore Ottico sarà per defiizioe ( SNR) IN SNR = F = 1 ( ) OUT G + G "1 G 0 s# + ( G "1) G + ( G "1) s# s# G 0 Comuicazioi Ottiche, Capitolo 1, Edizioe Ottobre 007 1

13 e per u G >>1, semplificado l espressioe diveta F = 1 G + s" + s" + s" G 0 da cui per G grade 0 F = sp + s" 0 ovvero per segali di igresso gradi: F " s# e el caso ideale per s" che tede a 1 (caso della piea iversioe di popolazioe) ottego che F = cioè il Fattore di Merito di u Amplificatore Ottioc tede a 3 db solo el caso ideale che corrispode a: luce d igresso perfettamete coerete ( altrimeti avrei avuto u fattore di rumore i eccesso che o si aullava; poteza di segale sufficietemete grade; completa iversioe di popolazioe. Comuicazioi Ottiche, Capitolo 1, Edizioe Ottobre

14 1.5 L amplificatore distribuito di tipo Rama Abbiamo visto al paragrafo 11.3 che per piccoli segali l equazioe di guadago dell Amplificatore Ottico diveta dis dz = "# sa Is + $# sa I p I pump sat Is dalla quale itroducedo il uovo parametro sitetico g edfa defiito come g edfa = " a# I pump sat ottego dis dz = "# sa Is + g edfa IpIs Questa equazioe fa sistema co l equazioe di atteuazioe della pompa dip dz = "# pa Ip Queste due equazioi soo particolarmete adatte ad ua trattazioe propagativa dell AO, ovvero a descrivere feomei che avvegoo co la propagazioe di campi all itero delle fibre ottiche. La secoda equazioe rappreseta semplicemete l atteuazioe che subisce la pompa metre propaga. La prima equazioe mi dice, al primo termie del secodo membro, che l itesità del segale viee atteuata co il processo classico di atteuazioe i fibra (dove ad esempio Σ abbiamo visto valere "5 m "1 ) + u termie di guadago che è fuzioe dell itesità di pompa Ip e di Is stessa (ovvero del processo stimolato). Tutta la fisica dell iversioe di popolazioe rimae ascosta detro il coefficiete g edfa e la fuzioe di pompaggio viee ivece esplicitata dalla preseza di Ip. Valutiamo g edfa. Per " a = #5 m $ =1 I pump sat = W /m ed u drogaggio pari a 10 ppm (cui corrispodoo circa N T " = m #3 ) ottego: Comuicazioi Ottiche, Capitolo 1, Edizioe Ottobre

15 g edfa = "# = $ m % $9 I pump sat W Usado questo sistema di espressioi posso facilmete studiare l Amplificatore Ottico di tipo EDFA ma distribuito el quale cioè l amplificazioe avviee i Km di fibra ottica. Questo tipo di AO è stato studiato per molti ai, ma poi si è visto che o era coveiete rispetto quello a parametri cocetrati el quale grazie ad itese cocetrazioi di Er 3+ si aveva ua amplificazioe i pochi metri di fibra ottica. U equazioe molto simile a quella ricavata per l EDFA si ottiee per altri due tipi di AO distribuiti: l amplificatore Rama e l amplificatore Parametrico (o Kerr). Si può dimostrare che per l amplificatore Rama le equazioi equivaleti alle precedeti divetao & ( ' ( )( dis dz = "#Is + g Rama IpIs dip dz = "$ % $ s g Rama IpIs " #pip dove g Rama è acora misurata i m /W co uo spettro caratteristico che prevede u picco a frequeze comprese fra i 1 ed i 14 THz, dove vale g Rama "10 #13 m /W. Si ota ua differeza sostaziale rispetto al sistema di equazioi che descrivevao l EFDA distribuito: il flusso di fotoi di segale è equivalete al flusso di fotoi di pompa, per cui il termie di guadago è presete elle due equazioi co sego opposto: la pompa si svuota di fotoi che vegoo covertiti il fotoi di segale. Il feomeo Rama è u processo d urto o di scatterig di tipo aelastico che avviee i quasi tutti i materiali. Durate l iterazioe fra il fotoe e la molecola, lo stato elettroico molecolare viee eccitato ad eergia più alta per poi decadere immediatamete co la coseguete emissioe di u fotoe: se il decadimeto o avviee co l emissioe dello stesso fotoe di igresso l urto si dice aalestatico a sottolieare che l eergia del fotoe di emissioe varia rispetto all igresso. Nei solidi come la Silice della fibra ottica, l urto comporta iterazioe fra il fotoe d igresso e u sistema di vibrazioi molecolari orgaizzate chiamate fooi. I cosegueza dell urto aelastico si possoo avere due casi: Comuicazioi Ottiche, Capitolo 1, Edizioe Ottobre

16 il fotoe di uscita ha eergia più bassa i quato cede parte dell eergia ai fooi del materiale. I questo caso la radiazioe di ri-emissioe si chiama radiazioe Stokes ed il fotoe ri-emesso ha lughezza d oda più grade di quello di igresso; il fotoe di uscita ha eergia più alta i quato cattura l eergia dei fooi del materiale. I questo caso la radiazioe ri-emessa si chiama radiazioe Ati-Stokes ed il fotoe ri-emesso ha lughezza d oda più corta di quello di igresso. Questo processo è sitetizzabili dalle segueti espressioi $ +AtiStokes h" uscita = h" igresso ± h" Rama % &#Stokes Le vibrazioi molecolari soo l esito di processi di immissioe di eergia termica che avvegoo i tutti i materiali (sia essi solidi che cristallii che gassosi o liquidi) a temperatura diversa dallo zero assoluto. L eergia media vibrazioale è pari al 3kT / e el caso dei solidi cocorre ad eccitare sistemi molecolari complessi (catee) che vibrao secodo modi propri del materiale chiamati fooi. I fooi si presetao quidi co ua distribuzioe spettrale che sarà caratteristica del materiale e della temperatura alla quale si trova: le frequeze tipiche vao da pochi GHz alle diverse decie di THz. La distribuzioe spettrale fooica si rifletterà sulla produzioe di fotoi aelatici: ache essi preseterao ua variabilità eergetica (e quidi i lughezza d oda) che dipederà dal materiale icotrato ed alla sua temperatura. Nel caso della silice attoro alle lughezze d oda dell ifrarosso lo spettro fooico si preseta come ella figura seguete i cui i ordiata è rappresetata la popolazioe fooica ovvero la probabilità di trovare fooi alla eergia idicata i ascissa: si osserva che lo spettro fooico va da frequeze prossime allo zero sio a frequeze oltre i 40 THz co u picco dai 1 ai 14 THz: attoro a questo picco si avrà quidi la maggiore probabilità di avere u urto aelastico co cessioe/acquisizioe di eergia pari a h" = 6,6410 #34 $110 1 = 79,510 # joule = 49,7 mev se questo urto avviee co fotoi della terza fiestra di comuicazioe ottica, per la quale 15 GHz corrispodoo ad uo spostameto di circa 1 m, i fotoi i uscita dal processo d urto avrao ua lughezza d oda spostata di circa u cetiaio di m. Comuicazioi Ottiche, Capitolo 1, Edizioe Ottobre

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18 Il processo di amplificazioe Rama avviee i preseza di due flussi fotoici cotemporaei: u flusso fotoico che eccita le molecole del materiale (o el caso di solidi i fooi ) ed u flusso fotoico che stimola il decadimeto dello stato eccitato producedo di cosequeza l amplificazioe: il processo di amplificazioe è quidi sempre dato dalla emissioe stimolata. I liea di pricipio l amplificazioe può avveire i tuta la bada fooica, sia per radiazioe Stokes che Ati-Stokes. Praticamete però essa avviee co maggiore probabilità attoro al picco di maggiore popolazioe e per radiazioe Ati-Stokes, i quato è difficile che a temperatura ambiete la popolazioe fooica sia molto eccitata. Comuicazioi Ottiche, Capitolo 1, Edizioe Ottobre

19 Osservado la figura si può ache immagiare che il processo d urto crei u livello virtuale all itero del materiale (virtuale, perchè o è u livello stazioario elettroico, ma è u livello eccitato otteuto mediate il processo d urto) da cui viee stimolata l emissioe Stokes: i questo seso osservo u aalogia fra lo schema Rama e lo schema di pompaggio a 3 livelli: è come se l assorbimeto Rama mi producesse u ripopolameto del livello virtuale il quale poi decade al livello fodametale sotto lo stimolo di u campo ottico di segale sempre presete, i modo da produrre amplificazioe ottica ella trasizioe fra il livello virtuale ed il livello fodametale. L amplificatore Rama prevede quidi che vi sia sempre ua pompa spostata i frequeza di u etità pari alla frequeza del fooe eccitato. Ad esempio, se questo è alla frequeza più probabile (cioè alla frequeza co più grade sezioe d urto) cioè 1,5 THz, questi equivalgoo attoro ad 1,5 micro a circa 100 m. Se quidi voglio amplificare u segale a 1550 m (posto i posizioe Ati-Stokes), debbo usare ua pompa a circa 1450 m. Questo schema è simmetrico: se cioè etra u fotoe Stokes e questo trova il fooe corrispodete eccitato, esso produce il fotoe di pompa (quello cioè che era servito a popolare il livello virtuale alto). Il feomeo Rama è u feomeo o-lieare che coivolge ella sua formulazioe sempre la preseza di due fotoi. Da questo schema di livelli virtuale si evice come mai i fotoi di pompa vegao covertiti i fotoi di segale direttamete dopo avere urtato cotro le molecole di silice. A livello di flusso fotoico si ha che: " p = " s e quidi h" s h" p h" p # p = h" s # s da cui " s " p I p = I s e quidi lo svuotameto dell itesità I " avviee oltre che per ormale Comuicazioi Ottiche, Capitolo 1, Edizioe Ottobre

20 atteuazioe, per coversioe di Ip i Is co efficieza " p /" s. Il valore modesto "10 #13 m /W ( ) del g Rama è equivalete a quello di u AO di tipo EDFA debolmete drogato (ad esempio 1 ppb) ed è il motivo per cui l Amplificatore Ottico di tipo Rama è usato sio ad ora prevaletemete i schemi distribuiti. I figura ad esempio la pompa Rama è posta al ricevitore ed i quella posizioe essa aiuta a pre-amplificare il segale di arrivo. Questo schema si chiama cotro-propagate perché il segale cotro-propaga rispetto alla pompa. I alterativa si può utilizzare ache uo schema copropagate ed il profilo dell itesità di segale i fuzioe della lughezza di propagazioe è illustrato ella figura seguete. Comuicazioi Ottiche, Capitolo 1, Edizioe Ottobre 007 0

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