E S E R C I Z I A R I O M A T E M A T I C A

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1 S. Serio E S E R C I Z I A R I O DI M A T E M A T I C A VOLUME I Espressioni aritmetiche M.C.D. m.c.m. Unità di misura Proporzioni Calcolo letterale Monomi Polinomi

2 I N D I C E MODULO A : Numeri Naturali MODULO B : M.C.D. m.c.m. MODULO C : Frazioni e Numeri decimali MODULO D : Unità di misura MODULO E : Proporzionalità diretta MODULO F : Proporzionalità inversa MODULO G : Percentuali MODULO H : Numeri Relativi MODULO I : Calcolo letterale MODULO L : Monomi MODULO M : Polinomi

3 I NUMERI NATURALI Sono i primi numeri che l uomo ha utilizzato, servono per contare ed ordinare, sono infiniti. Nell insieme dei numeri naturali (N) sono sempre possibili le operazioni di addizione e moltiplicazione, mentre non sono sempre possibili le operazioni di sottrazione e divisione. I termini dell addizione si chiamano addendi, il risultato si chiama somma. I termini della sottrazione si chiamano minuendo e sottraendo, il risultato si chiama differenza. La sottrazione è impossibile in N se il minuendo è minore del sottraendo ( 8 = impossibile). I termini della moltiplicazione si chiamano fattori, il risultato si chiama prodotto. I termini della divisione si chiamano dividendo e divisore, il risultato si chiama quoto se il resto della divisione è zero, si chiama quoziente se il resto è diverso da zero. Vale la relazione : dividendo = divisore x quoziente + resto. L operazione di elevamento a potenza consiste nel calcolare il prodotto di tanti fattori tutti uguali. Il fattore che viene moltiplicato si chiama base, il numero di volte che viene moltiplicato si chiama esponente, il risultato si chiama potenza. Es.: = base = esponente 8 = potenza 8 L operazione inversa dell addizione è la sottrazione, della moltiplicazione è la divisione, dell elevamento a potenza è l estrazione di radice. Infatti: ) ) a a m m PROPRIETA DELLE POTENZE n mn a a n mn a a 7 m n mn 6 ) a 6 a n n ) a b a b n 8 n n ) a n b a b A

4 ESPRESSIONI NUMERICHE SI DICE ESPRESSIONE NUMERICA UN COMPLESSO DI OPERAZIONI DA ESEGUIRE SU NUMERI. SI ESEGUONO PRIMA LE OPERAZIONI NELLE PARENTESI PIU' INTERNE (TONDE) DANDO LA PRECEDENZA PRIMA ALLE POTENZE, POI ALLE MOLTIPLICAZIONI E DIVISIONI E INFINE ALLE ADDIZIONI E SOTTRAZIONI. SI PROCEDE POI, SECONDO LE PRECEDENZE SUDDETTE, ALLO SVILUPPO DELLE OPERAZIONI NELLE PARENTESI DI ORDINE SUCCESSIVO (QUADRE E GRAFFE) FINO AD OTTENERE UN UNICO NUMERO CHE RAPPRESENTA IL RISULTATO DELL'ESPRESSIONE. NEL CASO DI PIU ADDIZIONI E SOTTRAZIONI, OPPURE DI PIU MOLTIPLICAZIONI E DIVISIONI, LE OPERAZIONI VANNO ESEGUITE COSI COME VENGONO. CALCOLIAMO IL VALORE DELL'ESPRESSIONE: 7 : 9 6 ESEGUIAMO I CALCOLI NELLE PARENTESI PIU' INTERNE (LE TONDE) ( + ) = ( + ) = 6 (6 ) (8 6) SOSTITUIAMO I RISULTATI AL POSTO DELLE RISPETTIVE PARENTESI 6 7 : 9 ESEGUIAMO ORA LE OPERAZIONI NELLE PARENTESI QUADRE DANDO LA PRECEDENZA ALLA MOLTIPLICAZIONE E SOSTITUIAMO [ 6 7] [ ] : 9 ESEGUIAMO LE OPERAZIONI NELLE PARENTESI GRAFFE ESEGUENDO LA MOLTIPLICAZIONE E LA DIVISIONE NELL'ORDINE IN CUI SONO SCRITTE 0 60 A

5 CALCOLA IL VALORE DELLE SEGUENTI ESPRESSIONI : + {[ x x + (8 8 : )] : (8 + )} + (7+ : 8) Eseguiamo le operazioni nelle parentesi TONDE rispettando le priorità: + {[ x x + (8 6)] : ( )} + (7+ ) + {[ x x + ] : 0} + 0 Eseguiamo le operazioni nelle parentesi QUADRE rispettando le priorità: + {[8 0 + ] : 0} {[8 + ] : 0} {0 : 0} + 0 Eseguiamo le operazioni nelle parentesi GRAFFE: = { x [(8 8 x + ) : + 0 8] : } + Eseguiamo le operazioni nelle parentesi TONDE rispettando le priorità: { x [(8 + ) : + 0 8] : } + { x [(6 + ) : + 0 8] : } + { x [ : + 0 8] : } + Eseguiamo le operazioni nelle parentesi QUADRE rispettando le priorità: { x [ ] : } + { x 9 : } + Eseguiamo le operazioni nelle parentesi GRAFFE: {7 : } = 0 A

6 ( : ) 6 : Metodo CALCOLIAMO LE POTENZE E SOSTITUIAMO ( : ) 6: 8 ESEGUIAMO LE OPERAZIONI NELLE PARENTESI TONDE : : E SOSTITUIAMO 6 : 8 ESEGUIAMO LE OPERAZIONI RISPETTANDO LE PRECEDENZE (PRIMA LE POTENZE, POI LE MOLTIPLICAZIONI E DIVISIONI E INFINE LE ADDIZIONI E SOTTRAZIONI) 8 6 : A6

7 ( : ) 6 : Metodo ESEGUIAMO LE POTENZE NELLE PARENTESI TONDE: ( : ) 6 : 8 ESEGUIAMO LE MOLTIPLICAZIONI E DIVISIONI NELLE PARENTESI TONDE : ( ) 6 : 8 ESEGUIAMO LE ADDIZIONI E LE SOTTRAZIONI NELLE PARENTESI TONDE : ( ) 6 : 8 ESEGUIAMO LE OPERAZIONI RISPETTANDO LE PRECEDENZE (PRIMA LE POTENZE, POI LE MOLTIPLICAZIONI E DIVISIONI E INFINE LE ADDIZIONI E SOTTRAZIONI) : A7

8 Calcola il valore delle seguenti espressioni applicando le proprietà delle potenze (Pag. A) : 9 ) 7 proprietà n proprietà n proprietà n. ) 7 ) x x = proprietà n. proprietà n. proprietà n. proprietà n. x 6 6 x = proprietà n. A8

9 SCOMPOSIZIONE DI UN NUMERO IN FATTORI PRIMI. Un numero si dice divisibile per un altro se la divisione del primo per il secondo non dà resto. In tal caso il primo si dice multiplo del secondo e anche che il secondo è divisore del primo. Un numero si dice primo se è divisibile solo per e per se stesso. Scomporre un numero in fattori primi significa trovare quei fattori primi il cui prodotto è uguale al numero dato. Es.: Si definisce minimo comune multiplo (m.c.m.) di due o più numeri il più piccolo dei multipli comuni ai numeri dati. Es.: Trovare il m.c.m. dei numeri, 6, 8 Multipli di = {, 8, 7, 96, 0,, 68, 9, 6, 0, 6, 88,,..} Multipli di 6 = { 6, 7, 08,, 80, 6,, 88,,..} Multipli di 8 = { 8, 96,, 9, 0, 88, 6,.} Multipli comuni = {, 88,.} m.c.m. = { } Si definisce massimo comune divisore (M.C.D.) di due o più numeri il più grande dei divisori comuni ai numeri dati. Es.: Trovare il M.C.D. dei numeri, 6, 8 Divisori di = {,,, 6, 8,, } Divisori di 6 = {,,,, 9,, 8, 6 } Divisori di 8 = {,,,, 6, 8,, 6,, 8 } Divisori comuni = {,,, } M.C.D. = { } B

10 CALCOLO DEL MASSIMO COMUNE DIVISORE (M.C.D.) Metodo della scomposizione in fattori primi Per calcolare il M.C.D. tra due o più numeri, si scompongono questi in fattori primi e si fa il prodotto dei fattori primi comuni presi ciascuno una volta sola col minimo esponente. - Calcolare il M.C.D. dei numeri Scomponiamo in fattori primi : M. C. D.(8,7,8) - Calcolare il M.C.D. dei numeri Scomponiamo in fattori primi : M. C. D.(6,80,0) 8 B

11 CALCOLO DEL MASSIMO COMUNE DIVISORE (M.C.D.) Metodo della scomposizione simultanea Si dispongono i numeri su una stessa riga e alla fine si traccia una linea verticale; si divide ciascuno di essi per il loro più piccolo divisore comune e i quozienti si scrivono in un secondo rigo; si dividono questi quozienti ancora per il loro più piccolo divisore comune e i quozienti si scrivono in un terzo rigo e così si continua finché non si trova che tutti i quozienti non hanno più alcun divisore comune. Il prodotto di tutti i divisori comuni adoperati è il massimo comune divisore dei numeri dati. - Calcolare il M.C.D. dei numeri M. C. D.( 8,7,8 ) - Calcolare il M.C.D. dei numeri M. C. D.( 6,80,0 ) 8 B

12 CALCOLO DEL MINIMO COMUNE MULTIPLO (m.c.m.) Metodo della scomposizione in fattori primi Per calcolare il m.c.m. tra due o più numeri, si scompongono questi in fattori primi e si fa il prodotto dei fattori primi comuni e non comuni presi, ciascuno una volta sola, col massimo esponente. - Calcolare il m.c.m. dei numeri Scomponiamo in fattori primi : m. c. m.(8,7,8) Calcolare il m.c.m. dei numeri Scomponiamo in fattori primi : m. c. m.(6,80,0) B6

13 CALCOLO DEL MINIMO COMUNE MULTIPLO (m.c.m.) Metodo della scomposizione simultanea Si dispongono i numeri su una stessa riga e alla fine si traccia una linea verticale; si divide ciascuno di essi per il più piccolo divisore e i quozienti si scrivono in un secondo rigo; i numeri che non sono divisibili per il divisore scelto si riportano tal quali; si dividono questi quozienti ancora per il più piccolo divisore e i quozienti si scrivono in un terzo rigo e così si continua finché non si trova che tutti i quozienti hanno come divisore l'unità. Il prodotto di tutti i divisori adoperati è il minimo comune multiplo dei numeri dati. - Calcolare il m.c.m.. dei numeri mc.. m.(8,7,8) Calcolare il m.c.m. dei numeri m. c. m.(6,80,0) B8

14 FRAZIONI E NUMERI DECIMALI In molti problemi è necessario fare riferimento non a quantità intere ma ad alcune parti in cui una quantità è stata divisa. Ad esempio mangiare /8 di una torta significa averla divisa in otto fette e mangiarne una; mangiarne /8 significa mangiare tre delle otto fette; mangiarne i /0 significa averla divisa in dieci fette e mangiarne tre. Analogamente, mangiare i / di quindici caramelle significa dividere le caramelle in parti uguali e mangiarne, cioè 9 caramelle; mangiarne i / significa dividere le caramelle in parti uguali e mangiarne parti, cioè 0 caramelle. Le scritture /8, /8, /0, /, ecc. si chiamano frazioni; la linea tra i due numeri (che equivale al segno di divisione) prende il nome di linea di frazione; il numero al di sopra della linea di frazione si chiama numeratore e quello al di sotto denominatore. Se moltiplichiamo o dividiamo per uno stesso numero diverso da zero il numeratore e il denominatore di una frazione, il valore di questa non cambia. Questa proprietà risulta utile quando dobbiamo semplificare una frazione, cioè ridurla ai minimi termini: basta, infatti, dividere numeratore e denominatore per uno stesso numero fin quando è possibile. Un altro modo per semplificare una frazione consiste nel dividere numeratore e denominatore per il loro M.C.D. Data una frazione, quindi, esistono infinite altre frazioni equivalenti ad essa. Es.: / = 6/0 = 9/ = / 0 = Tutte queste frazioni costituiscono un insieme che prende il nome di numero razionale. Per indicare un numero razionale si utilizza una qualsiasi dell insieme, ma preferibilmente quella ridotta ai minimi termini. Per eseguire l addizione e/o la sottrazione di frazioni occorre trovare il m.c.m. dei denominatori, si divide tale m.c.m. per ciascun denominatore e si moltiplica il risultato per il relativo numeratore; la frazione risultante avrà per numeratore la somma e/o la differenza dei prodotti parziali ottenuti e per denominatore il m.c.m. trovato. Es.: Il prodotto di due o più frazioni è una frazione avente per denominatore il prodotto dei denominatori e per numeratore il prodotto dei numeratori. Es.: C

15 Per dividere una frazione per un altra, si moltiplica la prima per l inverso della seconda. Es.: La potenza di una frazione è data da una frazione avente per numeratore e denominatore quelli della frazione data, elevati all esponente a cui si deve elevare la frazione. Es.: 8 7 Se dividiamo il numeratore per il denominatore di una frazione otteniamo un numero decimale. Si possono verificare due casi: ) se la frazione è decimale ( cioè il suo denominatore è una potenza di 0) o si può trasformare in una decimale, si ottiene come quantità un numero decimale finito (numero limitato di cifre decimali). Es. : 7 /0 = : 0 = 0, /00 = : 00 =, 0, 7 00 ) se la frazione non è decimale, né trasformabile in decimale, si ottiene come quoziente un numero periodico cioè un numero decimale illimitato nella cui parte decimale una cifra, o un gruppo di cifre, si ripete all infinito. Es. : / = : = 0, / = 6 : =,7.. In un numero decimale la prima cifra dopo la virgola indica i decimi, la seconda i centesimi, la terza i millesimi e così via. Le regole per calcolare il valore di espressioni contenenti numeri razionali non sono diverse da quelle già viste a proposito dei numeri naturali. Come sempre, si devono rispettare le priorità delle operazioni e tenere conto delle parentesi. C

16 RIDURRE AI MINIMI TERMINI (SEMPLIFICARE) UNA FRAZIONE Per semplificare una frazione bisogna dividere numeratore e denominatore della frazione per lo stesso numero fino a quando è possibile. Allo scopo conviene scomporre in fattori primi i numeri dati. C

17 Metodo ESEGUIAMO LE OPERAZIONI NELLE PARENTESI TONDE: E SOSTITUIAMO: ESEGUIAMO LE OPERAZIONI NELLE PARENTESI QUADRE E SOSTITUIAMO: ESEGUIAMO LE OPERAZIONI NELLE PARENTESI GRAFFE E SOSTITUIAMO: C

18 Metodo ESEGUIAMO LE VARIE OPERAZIONI, RISPETTANDO LE PRECEDENZE, NELLE PARENTESI TONDE : ESEGUIAMO LE VARIE OPERAZIONI, RISPETTANDO LE PRECEDENZE, NELLE PARENTESI QUADRE : ELIMINIAMO LE PARENTESI GRAFFE : C

19 MISURAZIONE DELLE GRANDEZZE Misurare una grandezza significa, dopo aver prefissato una unità di misura, calcolare quante volte tale unità è contenuta nella grandezza in esame. Misure di lunghezza Miriametro (Mm) = 0 Km = 00 hm = 000 dam = 0000 m Chilometro (Km) = 0 hm = 00 dam = 000 m : Ettometro (hm) = 0 dam = 00 m Decametro (dam) = 0 m Metro (m) Decimetro (dm) = 0, m x Centimetro (cm) = 0, dm = 0,0 m Millimetro (mm) = 0, cm = 0,0 dm = 0,00 m Il fattore di conversione è 0, quindi per trasformare la misura di una grandezza da una unità ad un altra si segue la seguente regola: bisogna moltiplicare per 0 se nella scala si scende di un posto; per 00 se si scende di due posti; per 000 se si scende di tre posti, e così via. Bisogna dividere per 0 se nella scala si sale di un posto; per 00 se si sale di due posti; per 000 se si sale di tre posti, e così via. Moltiplicare per 0, 00, 000, ecc. significa spostare la virgola verso destra rispettivamente di,,, ecc. posti. Dividere per 0, 00, 000, ecc. significa spostare la virgola verso sinistra rispettivamente di,,, ecc. posti. Se i posti mancano, occorre aggiungere degli zeri. Es.: Km,6 = hm,6 ( si scende di un posto, quindi si moltiplica per 0) (la virgola si sposta verso destra di un posto) Km,6 = dam 6 (si scende di due posti, quindi si moltiplica per 00) (la virgola si sposta verso destra di due posti) Km,6 = m 60 ( si scende di tre posti, quindi si moltiplica per 000) (la virgola si sposta verso destra di tre posti; poiché il terzo posto manca, si aggiunge uno zero) D

20 mm = cm, ( si sale di un posto, quindi si divide per 0) (la virgola si sposta verso sinistra di un posto) mm = dm 0, ( si sale di due posti, quindi si divide per 00) (la virgola si sposta verso sinistra di due posti) mm = m 0,0 ( si sale di tre posti, quindi si divide per 000) (la virgola si sposta verso sinistra di tre posti; poiché il terzo posto manca, si aggiunge uno zero) Misure di capacità Chilolitro (Kl) = 0 hl = 00 dal = 000 l : Ettolitro (hl) = 0 dal = 00 l Decalitro (dal) = 0 l Litro (l) Decilitro (dl) = 0, l x Centilitro (cl) = 0, dl = 0,0 l Millilitro (ml) = 0, cl = 0,0 dl = 0,00 l Il fattore di conversione è 0, quindi per trasformare la misura di una grandezza da una unità ad un altra si segue la stessa regola vista per le misure di lunghezza. Es.: Kl,6 = hl,6 ( si scende di un posto, quindi si moltiplica per 0) (la virgola si sposta verso destra di un posto) Kl,6 = dal 6 ( si scende di due posti, quindi si moltiplica per 00) (la virgola si sposta verso destra di due posti) Kl,6 = l 60 ( si scende di tre posti, quindi si moltiplica per 000) (la virgola si sposta verso destra di tre posti; poiché il terzo posto manca, si aggiunge uno zero) D

21 ml = cl, ( si sale di un posto, quindi si divide per 0) (la virgola si sposta verso sinistra di un posto) ml = dl 0, ( si sale di due posti, quindi si divide per 00) (la virgola si sposta verso sinistra di due posti) ml = l 0,0 ( si sale di tre posti, quindi si divide per 000) (la virgola si sposta verso sinistra di tre posti; poiché il terzo posto manca, si aggiunge uno zero) Misure di peso Tonnellata (t) = 0 q = 00 Mg = 000 Kg =. Quintale (q) = 0 Mg = 00 Kg = 000 hg = 0000 dag = g Miriagrammo (Mg) = 0 Kg = 00 hg = 000 dag = 0000 g Chilogrammo (Kg) = 0 hg = 00 dag = 000 g : Ettogrammo (hg) = 0 dag = 00 g Decagrammo (dag) = 0 g Grammo (g) Decigrammo (dg) = 0, g x Centigrammo (cg) = 0, dg = 0,0 g Milligrammo (mg) = 0, cg = 0,0 dg = 0,00 g Il fattore di conversione è 0, quindi per trasformare la misura di una grandezza da una unità ad un altra si segue la stessa regola vista per le misure di lunghezza. Es.: Kg,6 = hg,6 ( si scende di un posto, quindi si moltiplica per 0) (la virgola si sposta verso destra di un posto) Kg,6 = dag 6 ( si scende di due posti, quindi si moltiplica per 00) (la virgola si sposta verso destra di due posti) Kg,6 = g 60 ( si scende di tre posti, quindi si moltiplica per 000) (la virgola si sposta verso destra di tre posti; poiché il terzo posto manca, si aggiunge uno zero) D

22 mg = cg, ( si sale di un posto, quindi si divide per 0) (la virgola si sposta verso sinistra di un posto) mg = dg 0, ( si sale di due posti, quindi si divide per 00) (la virgola si sposta verso sinistra di due posti) mg = g 0,0 ( si sale di tre posti, quindi si divide per 000) (la virgola si sposta verso sinistra di tre posti; poiché il terzo posto manca, si aggiunge uno zero) Misure di superficie Miriametro quadrato (Mm ) = 00 Km = 0000 hm = dam = Chilometro quadrato (Km ) = 00 hm = 0000 dam = m : Ettometro quadrato (hm ) = 00 dam = 0000 m Decametro quadrato (dam ) = 00 m Metro quadrato (m ) Decimetro quadrato (dm ) = 0,0 m x Centimetro quadrato (cm ) = 0,0 dm = 0,000 m Millimetro quadrato (mm ) = 0,0 cm = 0,000 dm = 0,00000 m Il fattore di conversione è 00, quindi per trasformare la misura di una grandezza da una unità ad un altra si segue la seguente regola: bisogna moltiplicare per 00 se nella scala si scende di un posto; per 0000 se si scende di due posti; per se si scende di tre posti, e così via. Bisogna dividere per 00 se nella scala si sale di un posto; per 0000 se si sale di due posti; per se si sale di tre posti, e così via. Es.: Km,689 = hm 6,89 ( si scende di un posto, quindi si moltiplica per 00) (la virgola si sposta verso destra di due posti) Km,689 = dam 68,9 ( si scende di due posti, quindi si moltiplica per 0000) (la virgola si sposta verso destra di quattro posti) Km,6 = m 6890 ( si scende di tre posti, quindi si moltiplica per ) (la virgola si sposta verso destra di sei posti; poiché il sesto posto manca, si aggiunge uno zero) D

23 mm 67 = cm,67 ( si sale di un posto, quindi si divide per 00) (la virgola si sposta verso sinistra di due posti) mm 67 = dm,67 ( si sale di due posti, quindi si divide per 0000) (la virgola si sposta verso sinistra di quattro posti) mm 67 = m 0,067 ( si sale di tre posti, quindi si divide per ) (la virgola si sposta verso sinistra di sei posti; poiché il sesto posto manca, si aggiunge uno zero) Misure di volume Miriametro cubo (Mm ) = 000 Km = hm = Chilometro cubo (Km ) = 000 hm = dam = m : Ettometro cubo (hm ) = 000 dam = m Decametro cubo (dam ) = 000 m Metro cubo (m ) Decimetro cubo (dm ) = 0,00 m x Centimetro cubo (cm ) = 0,00 dm = 0,00000 m Millimetro cubo (mm ) = 0,00 cm = 0,00000 dm = 0, m Il fattore di conversione è 000, quindi per trasformare la misura di una grandezza da una unità ad un altra si segue la seguente regola: bisogna moltiplicare per 000 se nella scala si scende di un posto; per se si scende di due posti; per se si scende di tre posti, e così via. Bisogna dividere per 000 se nella scala si sale di un posto; per se si sale di due posti; per se si sale di tre posti, e così via. Es.: Km,689 = hm 6,89 ( si scende di un posto, quindi si moltiplica per 000) (la virgola si sposta verso destra di tre posti) Km,689 = dam 6890 ( si scende di due posti, quindi si moltiplica per ; la virgola si sposta verso destra di sei posti; poiché il sesto posto manca, si aggiunge uno zero) D

24 mm 67 = cm,67 ( si sale di un posto, quindi si divide per 000) (la virgola si sposta verso sinistra di tre posti) mm 67 = dm 0,067 ( si sale di due posti, quindi si divide per ) (la virgola si sposta verso sinistra di sei posti; poiché il sesto posto manca, si aggiunge uno zero) Equivalenza fra le unità di misura dei volumi e delle capacità Possiamo trasformare le unità di misura di volume in quelle di capacità e viceversa, tenendo presente la relazione : Esempi : dm = l hl 6,8 = l 680 = dm 680 = m,680 m,86 = dm 86 = l 86 = hl 8,6 D6

25 PROPORZIONALITA DIRETTA Due grandezze si dicono direttamente proporzionali quando all aumentare dell una, aumenta anche l altra; precisamente se una raddoppia, anche l altra raddoppia; se una triplica, anche l altra triplica, e così via. Es.: Consideriamo il costo di un certo numero di quaderni : quaderni (n.) 6 7 costo ( ) Come si può facilmente notare dalla tabella il rapporto delle misure corrispondenti è costante: / = /6 = /9 = / = / = 6/8.. / = 6/ = 9/ = / = / = 8/6. Si può anche notare che il rapporto tra due misure qualsiasi della stessa grandezza è uguale al rapporto delle corrispondenti misure dell altra : : = 9 : ; 6 : = 8 : 6 ; : 6 = 9 : 8 ; : = : Queste proprietà possono essere utilizzate per risolvere problemi che riguardano grandezze direttamente proporzionali. ) Sapendo che quaderni costano 9, quanto costeranno 7 quaderni? Se indichiamo con x il costo incognito possiamo disporre i dati del problema nel seguente modo : quaderni (n.) 7 costo ( ) 9 x Applicando la prima proprietà possiamo scrivere: : 9 = 7 : x da cui x = (7 9) : = oppure : 9 : = x : 7 da cui x = (7 9) : = E

26 Applicando la seconda proprietà possiamo scrivere : : 7 = 9 : x da cui x = (7 9) : = oppure : 9 : x = : 7 da cui x = (7 9) : = ) Un automobile percorre una strada con velocità costante. Se in ore percorre Km 0, quanti chilometri percorre in ore? Se indichiamo con x l incognita possiamo disporre i dati del problema nel seguente modo : percorso (Km.) 0 x tempo (ore) Applicando la prima proprietà possiamo scrivere: : 0 = : x da cui x = (0 ) : = 00 oppure : 0 : = x : da cui x = (0 ) : = 00 Applicando la seconda proprietà possiamo scrivere : : = 0 : x da cui x = (0 ) : = 00 oppure : x : 0 = : da cui x = (0 ) : = 00 ) Se con 60 chilogrammi di uva si ottengono 9 litri di vino, quanta uva occorrerà per ottenere hl,8 di vino? Se indichiamo con x l incognita possiamo disporre i dati del problema nel seguente modo : quantità di uva (Kg.) 60 x quantità di vino (litri) 9 8 E

27 Applicando la prima proprietà possiamo scrivere: 9 : 60 = 8 : x da cui x = (8 60) : 9 = 900 oppure : 60 : 9 = x : 8 da cui x = (8 60) : 9 = 900 Applicando la seconda proprietà possiamo scrivere : 9 : 8 = 60 : x da cui x = (8 60) : 9 = 900 oppure : x : 60 = 8 : 9 da cui x = (8 60) : 9 = 900 ) Un automobile consuma litri di benzina ogni 80 chilometri. Quanti litri di benzina occorrono per percorrere 0 chilometri? Se indichiamo con x l incognita possiamo disporre i dati del problema nel seguente modo : percorso (Km.) 80 0 benzina (litri) x Applicando la prima proprietà possiamo scrivere: 80 : = 0 : x da cui x = (0 ) : 80 = 78 oppure : : 80 = x : 0 da cui x = (0 ) : 80 = 78 Applicando la seconda proprietà possiamo scrivere : 80 : 0 = : x da cui x = (0 ) : 80 = 78 oppure : x : = 0 : 80 da cui x = (0 ) : 80 = 78 ) Una lampada accesa per h 0 m consuma energia elettrica per un costo di 6,90. Quale sarà il costo dell energia se si tiene accesa per h 0 m? Se indichiamo con x l incognita possiamo disporre i dati del problema nel seguente modo : E

28 costo energia ( ) 6,90 x tempo (minuti) 60 0 Applicando la prima proprietà possiamo scrivere: 6,90 : 60 = x : 0 da cui x = (0 6,90) : 60 =,0 oppure : 60 : 6,90 = 0 : x da cui x = (0 6,90) : 60 =,0 Applicando la seconda proprietà possiamo scrivere : 6,90 : x = 60 : 0 da cui x = (0 6,90) : 60 =,0 oppure : 0 : 60 = x : 6,90 da cui x = (0 6,90) : 60 =,0 6) Se da Kg 8 di caffè crudo si ottengono Kg di caffè tostato, quanto caffè crudo occorre per avere Kg 80 di caffè tostato? Se indichiamo con x l incognita possiamo disporre i dati del problema nel seguente modo : caffè crudo (Kg) 8 x caffè tostato (Kg) 80 Applicando la prima proprietà possiamo scrivere: 8 : = x : 80 da cui x = (8 80) : = 0 oppure : : 8 = 80 : x da cui x = (8 80) : = 0 Applicando la seconda proprietà possiamo scrivere : 80 : = x : 8 da cui x = (8 80) : = 0 oppure : 8 : x = : 80 da cui x = (8 80) : = 0 E

29 PROPORZIONALITA INVERSA Due grandezze si dicono inversamente proporzionali quando all aumentare dell una, l altra diminuisce; precisamente se una raddoppia, l altra si dimezza; se una triplica, l altra diventa la terza parte, e così via. Es.: Consideriamo il tempo occorrente a un certo numero di operai per eseguire un determinato lavoro: operai (n.) 6 tempo (giorni) 6 Come si può facilmente notare dalla tabella il prodotto delle misure corrispondenti è costante: = 6 = = = 6 =.. Si può anche notare che il rapporto tra due misure qualsiasi della stessa grandezza è uguale al rapporto inverso delle corrispondenti misure dell altra : : = : ; 6 : = : ; : 6 = : ; : = :.. Queste proprietà possono essere utilizzate per risolvere problemi che riguardano grandezze inversamente proporzionali. ) Per eseguire un lavoro operai impiegano 6 giorni. Se si vuole fare lo stesso lavoro in giorni, quanti operai occorrono? Se indichiamo con x l incognita possiamo disporre i dati del problema nel seguente modo : operai (n.) x tempo (giorni) 6 Applicando la prima proprietà possiamo scrivere: x = 6 da cui x = ( 6) : = F

30 Applicando la seconda proprietà possiamo scrivere : : x = : 6 da cui x = ( 6) : = oppure : 6 : = x : da cui x = ( 6) : = ) Un rubinetto che versa litri di acqua al minuto impiega 8 minuti per riempire una vasca. In quanto tempo la riempirebbe un altro rubinetto che versa 9 litri di acqua al minuto? Se indichiamo con x l incognita possiamo disporre i dati del problema nel seguente modo : acqua (litri) 9 tempo (minuti) 8 x Applicando la prima proprietà possiamo scrivere: x 9 = 8 da cui x = ( 8) : 9 = Applicando la seconda proprietà possiamo scrivere : 8 : x = 9 : da cui x = ( 8) : 9 = oppure : : 9 = x : 8 da cui x = ( 8) : 9 = ) Quale numero di denti bisognerà dare ad una ruota d ingranaggio perché faccia 0 giri, mentre una seconda ruota con la quale essa ingrana e che ha 60 denti ne fa 600? Se indichiamo con x l incognita possiamo disporre i dati del problema nel seguente modo : denti d ingranaggio (n.) 60 x giri al minuto (n.) F

31 Applicando la prima proprietà possiamo scrivere: x 0 = da cui x = (60 600) : 0 = 0 Applicando la seconda proprietà possiamo scrivere : 60 : x = 0 : 600 da cui x = (60 600) : 0 = 0 oppure : 600 : 0 = x : 60 da cui x = (60 600) : 0 = 0 ) Si deve trasportare un carico di benzina da una città ad un altra. Adoperando un autocisterna che ne porta q 0 per volta si devono fare 0 viaggi. Quanti viaggi si potrebbero fare adoperando un autocisterna che ne trasporta q per volta? Se indichiamo con x l incognita possiamo disporre i dati del problema nel seguente modo : benzina (q) 0 viaggi (n.) 0 x Applicando la prima proprietà possiamo scrivere: x = 0 0 da cui x = (0 0) : = Applicando la seconda proprietà possiamo scrivere : 0 : x = : 0 da cui x = (0 0) : = oppure : 0 : = x : 0 da cui x = (0 0) : = F

32 ) Un operaio per fare un lavoro in giorni deve lavorare 6 h 0 m al giorno. Per fare lo stesso lavoro in giorni quante ore al giorno deve lavorare? Se indichiamo con x l incognita possiamo disporre i dati del problema nel seguente modo : giorni (n.) tempo (minuti) 00 x Applicando la prima proprietà possiamo scrivere: x = 00 da cui x = ( 00) : = 0 ( h 0 m ) Applicando la seconda proprietà possiamo scrivere : 00 : x = : da cui x = ( 00) : = 0 ( h 0 m ) oppure : : = x : 00 da cui x = ( 00) : = 0 ( h 0 m ) F

33 PERCENTUALI Acquistare una merce con lo sconto del 0 % (venti per cento) significa che se il suo costo è di 00, verrà pagata 80. Se lo sconto è del 60% verrà pagata 0. Se la percentuale di bocciati in una scuola è del 0 % significa che sono stati bocciati venti alunni ogni cento. Quando si dice che il caffè crudo, se viene tostato, perde il % del suo peso significa che per ogni cento parti di peso se ne perdono ( 00 chilogrammi di caffè crudo dopo la tostatura si ridurranno a 6). Questi problemi si risolvono con le stesse regole della proporzionalità diretta. ) Un commerciante vende un televisore che costa 600 con lo sconto del 0%. Quanto viene a costare? Metodo Se indichiamo con x il costo incognito possiamo disporre i dati del problema nel seguente modo : prezzo non scontato ( ) prezzo scontato ( ) 70 x Applicando la prima proprietà possiamo scrivere: 00 : 70 = 600 : x da cui x = (70 600) : 00 = 0 oppure : 70 : 00 = x : 600 da cui x = (70 600) : 00 = 0 Applicando la seconda proprietà possiamo scrivere : 00 : 600 = 70 : x da cui x = (70 600) : 00 = 0 oppure 600 : 00 = x : 70 da cui x = (70 600) : 00 = 0 Metodo Se indichiamo con x il costo incognito possiamo disporre i dati del problema nel seguente modo : prezzo non scontato ( ) sconto ( ) 0 x G

34 Applicando la prima proprietà possiamo scrivere: 00 : 0 = 600 : x da cui x = (0 600) : 00 = 80 oppure : 0 : 00 = x : 600 da cui x = (0 600) : 00 = 80 Applicando la seconda proprietà possiamo scrivere : 00 : 600 = 0 : x da cui x = (0 600) : 00 = 80 oppure 600 : 00 = x : 0 da cui x = (0 600) : 00 = 80 Poiché lo sconto è di 80, il televisore verrà a costare = 0 ) In una scuola frequentata da 0 alunni è stata registrata una percentuale di bocciati del %. Quanti alunni sono stati bocciati? Se indichiamo con x l incognita possiamo disporre i dati del problema nel seguente modo : totale alunni (n.) 00 0 alunni bocciati (n.) x Applicando la prima proprietà possiamo scrivere: 00 : = 0 : x da cui x = ( 0) : 00 = oppure : : 00 = x : 0 da cui x = ( 0) : 00 = Applicando la seconda proprietà possiamo scrivere : 00 : 0 = : x da cui x = ( 0) : 00 = oppure 0 : 00 = x : da cui x = ( 0) : 00 = ) Nella stagionatura della legna verde si ha un calo ponderale del 8%. Calcolare il peso di 7 quintali di legna verde dopo la stagionatura. Se indichiamo con x l incognita possiamo disporre i dati del problema nel seguente modo : G

35 legna verde (q) 00 7 legna secca (q) 8 x Applicando la prima proprietà possiamo scrivere: 00 : 8 = 7 : x da cui x = (8 7) : 00 = 6, oppure : 8 : 00 = x : 7 da cui x = (8 7) : 00 = 6, Applicando la seconda proprietà possiamo scrivere : 00 : 7 = 8 : x da cui x = (8 7) : 00 = 6, oppure 7 : 00 = x : 8 da cui x = (8 7) : 00 = 6, ) Una bottiglia contiene 0,7 litri di brandy avente il grado alcolico del %. Quanto alcool puro è contenuto nella bottiglia? Se indichiamo con x l incognita possiamo disporre i dati del problema nel seguente modo : brandy (ml) alcool puro (ml) x Applicando la prima proprietà possiamo scrivere: 00 : = 70 : x da cui x = ( 70) : 00 = Applicando la seconda proprietà possiamo scrivere : 00 : 70 = : x da cui x = ( 70) : 00 = G

36 ) Una merce, con lo sconto del 0%, viene pagata 0. Qual era il prezzo non scontato? Se indichiamo con x il costo incognito possiamo disporre i dati del problema nel seguente modo : prezzo non scontato ( ) 00 x prezzo scontato ( ) 70 0 Applicando la prima proprietà possiamo scrivere: 00 : 70 = x : 0 da cui x = (00 0) : 70 = 600 oppure : 70 : 00 = 0 : x da cui x = (00 0) : 70 = 600 Applicando la seconda proprietà possiamo scrivere : 00 : x = 70 : 0 da cui x = (0 00) : 70 = 600 oppure x : 00 = 0 : 70 da cui x = (0 00) : 70 = 600 6) In una città di 0000 abitanti sono nati in un anno 8000 bambini. Quale è stato il tasso percentuale dei nati? Se indichiamo con x l incognita possiamo disporre i dati del problema nel seguente modo : abitanti (n.) bambini (n.) 8000 x Applicando la prima proprietà possiamo scrivere: 0000 : 8000 = 00 : x da cui x = ( ) : 0000 =, oppure : 8000 : 0000 = x : 00 da cui x = ( ) : 0000 =, G

37 Applicando la seconda proprietà possiamo scrivere : 0000 : 00 = 8000 : x da cui x = ( ) : 0000 =, oppure : 00 : 0000 = x : 8000 da cui x = ( ) : 0000 =, 7) Una merce che costa 600 viene venduta a saldo per 0. Calcolare la percentuale di sconto. Metodo Se indichiamo con x il costo incognito possiamo disporre i dati del problema nel seguente modo : prezzo non scontato ( ) prezzo scontato ( ) 0 x Applicando la prima proprietà possiamo scrivere: 0 : 600 = x : 00 da cui x = (00 0) : 600 = 70 Applicando la seconda proprietà possiamo scrivere : 0 : x = 600 : 00 da cui x = (0 00) : 600 = 70 Poiché il prezzo scontato è del 70%, la percentuale di sconto sarà del 0%. Metodo Lo sconto effettuato sarà di = 80 Se indichiamo con x l incognita possiamo disporre i dati del problema nel seguente modo : prezzo non scontato ( ) sconto ( ) 80 x G

38 Applicando la prima proprietà possiamo scrivere: 80 : 600 = x : 00 da cui x = (00 80) : 600 = 0 Applicando la seconda proprietà possiamo scrivere : 80 : x = 600 : 00 da cui x = (80 00) : 600 = 0 La percentuale di sconto sarà del 0%. G6

39 NUMERI RELATIVI Alcune grandezze, come la temperatura, l altitudine, le somme di denaro, possono assumere valori opposti rispetto a uno di riferimento. Ad es.: + C ; -8 C ; +00 m s.l.m. ; -0 m s.l.m. ; + 00 (credito) ; -00 (debito). Per rappresentare queste grandezze, e per eseguire sottrazioni in cui il sottraendo è maggiore del minuendo ( es.:0-), sono stati introdotti i numeri relativi che diremo positivi se preceduti dal segno (+) e negativi se preceduti dal segno (-). Si chiama modulo o valore assoluto di un numero relativo, e si indica racchiudendolo fra due sbarrette verticali, il numero privato del segno. Ad es.: +9= 9 ( il valore assoluto di +9 è 9); -7= 7 ( il valore assoluto di 7 è 7). Due numeri relativi si dicono: concordi se hanno lo stesso segno (+6 e + 8) oppure (- e 9); discordi se hanno segno diverso (+6 e 8 ) opposti se hanno segno diverso ma stesso modulo (+8 e 8). Addizione OPERAZIONI CON I NUMERI RELATIVI La somma di due numeri relativi concordi è un numero relativo avente lo stesso segno e per modulo la somma dei moduli. Es.: (+7) + (+8) = + ; (-) + (-) = - 9 La somma di due numeri relativi discordi è un numero relativo avente il segno dell addendo di valore assoluto maggiore e per modulo la differenza dei valori assoluti degli addendi. Es.: (+9) + (-) = + ; (+6) + (-9)= - La somma di due numeri relativi opposti è zero. Es.: (+6) + (-6) = 0 H

40 Quando si devono addizionare più numeri relativi, applicando le proprietà commutativa e associativa dell addizione, conviene addizionare separatamente tutti gli addendi positivi, poi tutti gli addendi negativi ed infine addizionare le somme parziali ottenute. Es.: (-8) + (-) + (+0) + (-) + (+) = (+0+) + (-8--) = (+) +(-) = + Sottrazione La differenza di due numeri relativi è il numero relativo che si ottiene aggiungendo al minuendo l opposto del sottraendo. Es.: (+) (+) = (+) + (-) = + ; (+6) (-8) = (+6) + (+8) = + (-7) (+) = (-7) + (-) = - ; (-8) (-) = (-8) + (+) = - L addizione e la sottrazione di numeri relativi non sono operazioni distinte e assumono l unico nome di addizione algebrica; si chiama somma algebrica il risultato di addizioni e sottrazioni. Per calcolare la somma algebrica di una espressione numerica contenente le parentesi, si possono seguire due metodi: ) si eseguono le operazioni all interno delle parentesi tonde, poi delle quadre e infine delle graffe; ) si applica la regola che prende il nome di scioglimento di parentesi: per eliminare una parentesi preceduta dal segno (+), si toglie questo segno e le parentesi e si scrivono tutti i termini entro parentesi ciascuno col proprio segno; per eliminare una parentesi preceduta dal segno (-), si toglie questo segno e le parentesi e si scrivono tutti i termini entro parentesi cambiandoli di segno. Calcolare la seguente espressione: - {- - [ - (-)] + } Primo metodo: - {- - [ - (-)] + } - {- - [+6 ] + } - {-8 + } - {-7} 0 - H

41 Secondo metodo - {- - [ -+)] + } - {- +-+} Calcolare la seguente espressione: Primo metodo Secondo metodo H

42 Moltiplicazione Il prodotto di due numeri relativi è il numero relativo che ha per valore assoluto il prodotto dei valori assoluti; il segno è positivo se i due numeri sono concordi, negativo se sono discordi. Es. : (+) (+8) = +0 ; (-6) (-7) = + ; (+9) (-) = -6 ; (-/) (+/) = (-9/0) Divisione Il quoziente di due numeri relativi è il numero relativo che ha per valore assoluto il quoziente del valore assoluto del divisore; è positivo se dividendo e divisore sono concordi (stesso segno), è negativo se sono discordi (segno diverso). Es.: (+):(+)=(+) ; (-0):(-)=(+) ; (+0):(-6)=(-) ; (-/):(+/7)= 7 Elevamento a potenza La potenza di un numero relativo è il prodotto di più fattori tutti uguali a quel numero. Il numero si chiama base; il numero dei fattori richiama esponente. Es.: 8 + = base = esponente La potenza di un numero relativo positivo è sempre positiva; la potenza di un numero relativo negativo è positiva se l esponente è pari, è negativa se l esponente è dispari. Es.: 8 ; 6 ; 8 ; 6 8 ; 7 H

43 ESPRESSIONI NUMERICHE Per calcolare il valore di una espressione numerica contenente le operazioni con i numeri relativi si eseguono le stesse regole stabilite per le espressioni con i numeri assoluti. Es.: {+ +[ 7+ ( +) + ( +6)]} Eseguiamo le operazioni nelle parentesi tonde: {+ +[ 7+ ( ) + (+)]} Applichiamo la regola scioglimento di parentesi per eliminare le parentesi tonde: {+ +[ 7+++]} Eseguiamo le operazioni nelle parentesi quadre: {+ +[+]} Applichiamo la regola scioglimento di parentesi per eliminare le parentesi quadre: {+ +} Eseguiamo le operazioni nelle parentesi graffe: {+} Applichiamo la regola scioglimento di parentesi per eliminare le parentesi graffe: = 7 H

44 Eseguiamo le operazioni nelle parentesi tonde: Applichiamo la regola scioglimento di parentesi per eliminare le parentesi tonde: : 7: 8 9 Applichiamo la regola scioglimento di parentesi per eliminare le parentesi quadre: 6 Eliminiamo i termini opposti : Ottenendo: H6

45 CALCOLO LETTERALE Si dice algebrica o letterale una espressione contenente sia numeri che lettere. Si può trasformare una espressione algebrica in una numerica se alle lettere sostituiamo dei numeri. Esempi: a b ab 6a Poniamo a = e b = Poniamo a = b = I

46 Poniamo a = - e b = Poniamo a e b Poniamo a e b I

47 MONOMI Si chiama monomio un espressione algebrica che non contiene operazioni di addizione e sottrazione, ma soltanto di moltiplicazione, divisione e potenza. Es.: ab ; -a b ; (-/)x y z Un monomio si dice ridotto a forma normale se contiene un solo fattore numerico, che si chiama coefficiente, e una parte letterale in cui ogni lettera compare una sola volta. Anche un solo numero o una sola lettera è un monomio. Un monomio si dice intero se non figurano lettere al denominatore; in caso contrario si dice frazionario. Il grado di un monomio intero, a forma normale, rispetto ad una lettera, è l esponente di quella lettera.il grado complessivo di un monomio è uguale alla somma degli esponenti delle lettere che in esso appaiono. Due monomi si dicono: uguali se hanno il coefficiente e le parti letterali uguali; simili se hanno la stessa parte letterale; opposti se differiscono solo per il segno. Es.: ab e ab sono uguali 8a b e (-/7) a b sono simili xy e -xy sono opposti Addizione di monomi La somma di due o più monomi si ottiene scrivendoli uno dopo l altro con il proprio segno. Se vi sono due o più monomi simili, si fa la riduzione dei termini simili, sostituendo ai monomi simili un monomio simile ad essi, avente per coefficiente la somma algebrica (risultato di addizioni e sottrazioni) dei coefficienti dei monomi dati. La somma di due monomi opposti è 0. Es.: addizionare i monomi ab ; - a b ; -ab ; 7 a b ; -8 a b ; ab si scrive: ab -a b ab + 7a b -8a b + ab L

48 riduciamo i monomi simili: ab + ab ab = (+-)ab = 6ab 7 a b - 8 a b - a b = (7-8-) a b = - a b ottenendo: ab -a b ab + 7a b -8a b + ab = 6ab - a b Sottrazione di monomi La differenza di due monomi si ottiene addizionando al primo l opposto del secondo. Es.: (+ab) (-ab) = (+ab) + (+ab) = ab + ab = 8ab (-a b) (+7a b) = (-a b) + (-7a b) = -a b - 7a b = -a b Moltiplicazione di monomi Il prodotto di due o più monomi è un monomio che ha per coefficiente il prodotto dei coefficienti e, come parte letterale, le lettere comuni con esponente uguale alla somma degli esponenti, e le lettere non comuni con esponente immutato. Es.: (-abc) (a b ) = -0a b c x y z 8 xy x y 9 z Divisione di monomi Il quoziente di due monomi è un monomio che ha per coefficiente il quoziente dei coefficienti e per parte letterale tutte le lettere dei due monomi, prese ognuna una volta sola, con esponente uguale alla differenza degli esponenti che ciascuna lettera ha nel dividendo e nel divisore. Es.: ( -0a b c) : (-abc) = +a b 9 x y z x y xy 8 L

49 Potenza di un monomio Per elevare a potenza con esponente intero un monomio, si eleva a quella potenza il coefficiente e si moltiplicano gli esponenti dei fattori letterali per l esponente della potenza. Es. (a b) = 7a 6 b (-a b ) = 6a 8 b 6 Eseguire le seguenti operazioni: ) a bc ab c : a b a b c : a b 0 c ) : a b a b 8 6 6a b : a b 6a b 9 ) 6a b c : 6 ab a b 6a b c : a b 8 6 a b 6 96a b c a b 6 9a b c L

50 Semplificare le seguenti espressioni riducendo i termini simili : ) x + 7xy x 7xy xy x + xy Individuiamo i termini simili e riduciamoli: x + 7xy x 7xy xy x + xy x x x = 0x = 0 7xy - 7xy -xy + xy = xy Quindi : x + 7xy x 7xy xy x + xy = xy ) - x a +x a + 8a Individuiamo i termini simili e riduciamoli: - x a +x a + 8a - x + x = x - a a + 8a = a Quindi: - x a +x a + 8a = x + a ) a (-b) + a + (+b) (+c) + (-6c) Eliminiamo le parentesi applicando la regola scioglimento di parentesi e riduciamo i termini simili: a + b + a +b c 6c a + a = 8a b + b = b -c 6c = -8c Quindi : a (-b) + a + (+b) (+c) + (-6c) = 8a + b 8c L

51 ) -a + (+a ) (-9a ) (a ) + (-a ) Eliminiamo le parentesi applicando la regola scioglimento di parentesi e riduciamo i termini simili: -a + a + 9a a - a - a a + 9a = a +a - a = a Quindi : -a + (+a ) (-9a ) (a ) + (-a ) = a a 6 ) a b c a b c Individuiamo i termini simili e riduciamoli: 7 6 a a a b b b Quindi : c c c 6 7 a b c a b c a b c 6) xy x y xy x y x y Eliminiamo le parentesi applicando la regola scioglimento di parentesi e riduciamo i termini simili: xy x y xy x y x y x y x y x y 6 x y xy 7 xy xy Quindi : xy 7 x y xy x y x y x y xy 6 L

52 Semplificare le seguenti espressioni : ) ab ab : 8 a 6 : b b b Eseguiamo le operazioni rispettando le precedenze (Vedi regola per il calcolo di espressioni numeriche). 6 ab : 8 a b : b 6 b 6 a b : 8 a b : b 6 b b b : b 6 b : b b 6 b b b a b ab : a b a b : ab : b ) a 6 b a b 9 : a b 6 a b 6 : 8a b : b L6

53 a 9 b 8 : 6a b ab : b 6 ab ab 9 6 ab ) 6 ab a b c : a ab c a bc m : ac m 6 6 ab a b c : a a b c a bc m : a c m a b 7 c : a b c bc a b c : 0 0 a b c bc 6bc bc 0bc xy x y : xy : xy x x ) xy x y : x y : x y x x L7

54 x y : x y x x x y : x y x x x x x x 6r t : 6rt r t r t : r t : 6r r ) r 6r 8 t : r t : 6r 6r r r r 6r : 6r 6r 6r 8 : 6r 6r 6r 6r r 6 8 6) : : x x x y xy x : x : x x x : 7 9 x x : x x : x 6 6 x : x L8

55 P O L I N O M I Polinomio è un espressione algebrica contenente operazioni di addizione e/o sottrazione. Si dice binomio, trinomio, quadrinomio, secondo che abbia due, tre, quattro termini. Si dice intero se tutti i suoi termini sono monomi interi; si dice frazionario se in qualcuno dei monomi che lo compongono compaiono lettere al denominatore. Addizione Per addizionare due o più polinomi, si scrive un unico polinomio che ha tutti i termini dei polinomi dati. Se ci sono dei termini simili, si fa la riduzione (v. addizione di monomi). Es.: (a + ab b ) + ( ab + b ) + ( a + ab ) a + ab b ab + b a + ab a + ( +) ab + ( +) b a a + b a Sottrazione La differenza di due polinomi si ottiene addizionando al primo l opposto del secondo. Se ci sono termini simili, si fa la riduzione. Es.: (a + ab b ) ( ab + b ) (a + ab b ) + (+ ab b ) a + ab b + ab b a + (+) ab + ( )b a + 6ab b Somma algebrica. Si indica scrivendo i polinomi racchiusi tra parentesi e separati dai segni + o. Si eliminano quindi le parentesi, cambiando il segno dei termini contenuti nelle parentesi precedute dal segno e rimanendo inalterati quelli contenuti nelle parentesi precedute dal segno +. Infine, si riducono i termini simili. Es.: (a + b ) + ( a ab + c) ( a + c) (a ab + b ) = = a + b a ab + c + a c +a + ab b = = ( + +)a + ( )b + ()c + ( + )ab = 7a ab M

56 Prodotto di un polinomio per un monomio. Si esegue moltiplicando il monomio per ciascun termine del polinomio e addizionando i prodotti parziali ottenuti. Es.: x y (x + xy + y ) = = x y (x ) + x y (+ xy ) + x y (+ y ) = = x y + 6x y + x y Prodotto di polinomi. Per moltiplicare due polinomi si moltiplica ciascun termine di uno di essi per ciascun termine dell altro e si addizionano i prodotti parziali ottenuti. Quindi si riducono gli eventuali termini simili. Es.: (x + y) (x + y ) = = x x + x y + x () + y x + y y + y () = = x + 6xy 9x + xy + y y = = x + 7xy 9x + y y Quoziente tra un polinomio e un monomio. Si esegue dividendo ciascun termine del polinomio per il monomio e sommando i prodotti parziali ottenuti. Es.: (0a b 0a b + a b ) : (a b) = (0a b ) : (a b) + (0a b ) : (a b) + (a b ) : (a b) = = a b b + a b M

57 Semplificare le seguenti somme e differenze di polinomi : ) a [ ab (b ab) + ab (a + b )] Eliminiamo le parentesi applicando la regola scioglimento di parentesi e riduciamo i termini simili: a [ ab b + ab + ab a b ] = = a ab + b ab ab + a + b = = ( + )a + ( )ab + ( + )b = = 6a 6ab +b ) a + { a + ab [a + ab ( a + ab c ) + b ] a} + c = = a + { a + ab [a + ab + a ab + c + b ] a} + c = = a + { a + ab a ab a + ab c + b a} + c = = a a + ab a ab a + ab c + b a + c = = ()a + ( )a + (+)ab + (+)c + b = = a + ab + b ) (x + xy y ) (x xy + y ) + (x +xy + y ) = = x + xy y + x + xy y x +xy + y = = (+)x + (++)xy + (+)y = = 6xy M

58 = 6 ) b a a ab b b ab ab = b a a ab b b ab ab = 6 = b a a ab b b ab ab= 6 = ( ) a b ab 6 = a ab 6 = ) x x x x x x 6x x x = x x x x x 6 x 6x x x = = 6x x x x x x 6x x x = x = = 6 6 x = x 6) x y y x y xy y xy x y xy y = 6 = x y y x y xy y xy x y xy y = 6 = x y xy y 6 = xy y = M

59 Semplificare le seguenti espressioni contenenti prodotti e quozienti tra polinomi e monomi : ) a (a + b ) + a (b+) = = a + ab a ab + a = = a + ()ab + (-+)a = = a ab ) y (a x) x (a y) + a (x y) = = ay 6xy ax + 6xy + ax ay = = ( ) ay + (6 + 6)xy + ( + )ax = = 0 ) x (x + y + ) x (x y ) = = x + xy + x x + xy + x = = ( )x + ( + ) x + ( + )xy = = x + x + xy ) [a + a b a (b + )] : (ab) a ( ab) = = [a + a b 6a b a ] : (ab) a ( ab) = = [ + a b 6a b] : (ab) a ( ab) = = a b + 6a 6a + a b = = ( + )a b + (6 6)a = = a b M

60 ) [a (a + b) + ab] : {[a b a b (a)] : (ab) } = = [6a + ab + ab] : {[a b + a b ] : (+a b )} = = [6a + 8ab] : {[8a b ] : (+a b )} = = [6a + 8ab] : {a} = = a + b 6) [ab (a b) + a b ] : ( ab ) + ( a) = = [0a b ab + a b ] : ( ab ) + ( a) = = [a b ab ] : ( ab ) + (+a ) = = a + b + a = = b 9 x x y y = 7) x x y x y x y : xy = = = = 9 x x x x y x y x y : 9x y y y = 9 x y y x x y y x = 9 9 x y y x x y y x = x x y y x = = x x = x x = x M6

61 Semplificare le seguenti espressioni contenenti prodotti tra polinomi : ) (x+y) (x) x (x y ) = = x x + xy y x + xy + x = = ( )x + ( + ) x + ( + )xy y = = xy y ) (a ) (a + ) + (a ) (a + ) = = (6a + a 8a 0) + (6a + a a ) = = 6a + a 8a 0 + 6a + a a = = (6 + 6)a + ( 8 + )a 0 = = a + 6a ) (x x + ) (x ) (x ) (x x + ) = = (x x x + x + x ) (x x + 6x x + 0x ) = = x x x + x + x x + x 6x + x 0x + = = ( )x + ( + + )x + ( + 6 0)x + = = x + x x + ) [x + (x ) (x + )] (x + ) = = [x + (x + x x )] (x + ) = = [x + x + x x ] (x + ) = = [7x + x ] (x + ) = = x + 6x x + x + 9x = = x + 7x + 7x M7

62 ) x xy y x y xy x y = 9 = = 7 7 x x y x y xy xy y x y xy = 9 9 x x y xy y = 9 9 = 7 x y = ) x z x z x z x z xz = x 8 xz xz z 8 x 8xz xz z xz = = x 8 8 z 8 xz = = 0xz a b a b a b a b = 7) a 6b a b a b a b = = = ( a ab ab b ) a ab ab b = a ab b = = = 7 a b M8