Parli matematichese?

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1 Parli matematichese? Per una didattica della matematica come linguaggio Luca Mari Università Cattaneo LIUC Scuola di Ingegneria Industriale

2 Abbiamo un problema... Perché? Cosa fare? Qualche riflessione

3 «Con il termine analfabetismo funzionale si designa l'incapacità di un individuo di usare in modo efficiente le abilità di lettura, scrittura e calcolo nelle situazioni della vita quotidiana.»

4 «Due anni fa il fatturato medio delle nostre aziende si era ridotto del 20%, ma l anno scorso è cresciuto del 20%. Dunque siamo tornati ai livelli di due anni fa: i nostri associati non hanno motivo di lamentarsi.» [il presidente dell associazione di categoria X]

5 «Il settore sta esplodendo: prevediamo che il suo fatturato raddoppi entro i prossimi 10 anni. Ciò corrisponderà a una crescita media del 10% all anno.» [il direttore del centro studi Y]

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8 Quale delle seguenti disuguaglianze è vera? non lo so 7/8 > 8/9 7/8 = 8/9 7/8 < 8/9 100% 80% 60% 40% 20% 0%

9 «Le competenze sono definite in questa sede alla stregua di una combinazione di conoscenze, abilità e attitudini appropriate al contesto. Le competenze chiave sono quelle di cui tutti hanno bisogno per la realizzazione e lo sviluppo personali, la cittadinanza attiva, l inclusione sociale e l occupazione. Il quadro di riferimento delinea otto competenze chiave: 1) comunicazione nella madrelingua; 2) comunicazione nelle lingue straniere; 3) competenza matematica e competenze di base in scienza e tecnologia; 4) competenza digitale; 5) imparare a imparare; 6) competenze sociali e civiche; 7) spirito di iniziativa e imprenditorialità; e 8) consapevolezza ed espressione culturale.»

10 Abbiamo un problema... Perché? Cosa fare? Qualche riflessione

11 «La realtà è storia e solo storicamente la si conosce, e le scienze la misurano bensì e la classificano come è pur necessario, ma non propriamente la conoscono né loro ufficio è di conoscerla nell intrinseco.»

12 «Le scienze naturali e le discipline matematiche, di buona grazia, hanno ceduto alla filosofia il privilegio della verità, ed esse rassegnatamente, o addirittura sorridendo, confessano che i loro concetti sono concetti di comodo e di pratica utilità, che non hanno niente da vedere con la meditazione del vero.»

13 Benedetto Croce ( ) (Ministro della Pubblica Istruzione del Regno d Italia)

14 «Perhaps the most unfortunate fact about mathematics is that it requires us to reason, whereas most human beings are not convinced that reasoning is worth while. Indeed, it is not at all obvious that reasoning in general and mathematical reasoning in particular are valuable. People do not use reasoning to learn how to eat.» [M. Kline, Mathematics and the physical world, 1959]

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17 Cos è la matematica? la struttura dell universo?? uno strumento per risolvere problemi? pragmatica??? epistemica????? la più pura forma di arte una sintassi

18 Cos è la matematica? The primary motivation for the development of mathematics [...] is its value in the study of nature [M. Kline, Mathematics and the physical world, 1959] la struttura dell universo?? uno strumento per risolvere problemi? pragmatica??? epistemica????? la più pura forma di arte una sintassi «The new methodology is less connected to physical reality» [F. Quinn, A revolution in mathematics? What really happened a century ago, and why it matters today, 2012]

19 Cos è la matematica? oppure: Cosa imparo quando studio la matematica?

20 Abbiamo un problema... Perché? Cosa fare? Qualche riflessione

21 Ipotesi: la matematica è (anche) un linguaggio e come tale può essere imparata e usata

22 Memorizzare delle frasi in una lingua è un modo molto particolare per imparare quella lingua... anche perché saper parlare (e comprendere e leggere e scrivere) una lingua implica una capacità produttiva

23 Un modo per imparare la lingua X è di tradurre: dalla propria lingua a X: (come si dice... in X?) da X alla propria lingua: (cosa significa...?)

24 Cosa significa... f(x 1, x 2 ) = (x 1 + x 2 ) / 2 f(x) = max(x, x) f(x) = int(x + 0,5) f(x) = int(x / 2) = = (x / 2) f(x 1, x 2 ) = x 1 int(x 1 / x 2 ) x 2

25 Consideriamo la matematica come una lingua ( il matematichese ): quali sono le principali differenze tra l italiano e il matematichese?

26 Consideriamo la matematica come una lingua ( il matematichese ): quali sono le principali differenze tra l italiano e il matematichese? Il matematichese: è più sintetico è più preciso è meno ambiguo

27 Consideriamo la matematica come una lingua ( il matematichese ): quali sono le principali differenze tra l italiano e il matematichese? Il matematichese: è più sintetico è più preciso è meno ambiguo Cos ha di meglio / in più l italiano rispetto al matematichese (come si dice mi piace la matematica in matematichese?)

28 Esempi di matematichese /1... Se i simboli x, y, e z rappresentano numeri interi: l espressione x ++=+ y = z non è ben formata, e quindi non ha significato, e quindi non è né vera né falsa l espressione x + y = z è ben formata e ha un significato, ma non è né vera né falsa l espressione x, y, z, x + y = z è ben formata, ha un significato, ed è falsa l espressione x, y, z, x + y = z è ben formata, ha un significato, ed è vera

29 Esempi di matematichese /2... Perché quelle (strane?) regole di priorità algebrica? (a meno delle parentesi, calcola prima le potenze, poi moltiplicazioni e divisioni, e infine addizioni e sottrazioni) (cioè perché vale 7 invece di 9?)

30 Esempi di matematichese /2... Perché quelle (strane?) regole di priorità algebrica? (a meno delle parentesi, calcola prima le potenze, poi moltiplicazioni e divisioni, e infine addizioni e sottrazioni) (cioè perché vale 7 invece di 9?) Perché i polinomi in questo modo si possono scrivere senza parentesi: k 1 x 3 + k 2 x 2 + k 3 x + k 4 invece di (k 1 (x 3 )) + (k 2 (x 2 )) + (k 3 x) + k 4

31 Esempi di matematichese /3...

32 Esempi di matematichese /3... Un punto materiale di massa m che si sposta con velocità v ha una quantità di moto q = m v

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34 Ma in definitiva... Just do it!

35 Esempi di matematichese /4...

36 Abbiamo un problema... Perché? Cosa fare? Qualche riflessione

37 homo faber e homo ludens

38 Una lingua è anche uno strumento (imprescindibile?) per l immaginazione e la creatività e la matematica? Modelli matematici 1. Spesso con gli strumenti di base del matematichese si riescono a sviluppare modelli sofisticati 2. Spesso oggi i modelli si risolvono con tecniche numeriche, invece che analitiche

39 Matematica: un linguaggio per... analizzare problemi e identificare / costruire soluzioni lasciamolo fare al calcolatore calcolare le soluzioni analizzare i risultati e validare le soluzioni

40 A causa della televisione e di internet, la funzione della scuola di garantire l accesso a informazione ha perso gran parte della sua rilevanza D altra parte, la formazione è finalizzata a ben più che rendere disponibile informazione Certo: disporre di informazione e saperla usare in modo appropriato non sono la stessa cosa Ipotesi: per imparare occorre affrontare, e possibilmente almeno qualche volta risolvere, problemi

41 Ipotesi (non ulteriormente argomentata): risolvere problemi e svolgere esercizi sono attività significativamente diverse Infatti: la specie umana si è evoluta perché ha risolto problemi, non svolto esercizi si diventa (psicologicamente e cognitivamente) adulti risolvendo problemi, non svolgendo esercizi nel mondo del lavoro si è chiamati a risolvere problemi, non svolgere esercizi

42 Una considerazione a latere Ipotesi: una vita senza problemi da risolvere non è interessante Infatti gli esseri umani, quando possono permettersi di non dover risolvere problemi legati alla loro sopravvivenza biologica, giocano e sono artisti, cioè inventano problemi e imparano a risolverli D altra parte, risolvere problemi comporta una fatica, e quindi deve valerne la pena : la soglia per cui si accetta la fatica ha aspetti oggettivi (in particolare legati alla sopravvivenza) ma anche soggettivi. Risolvere problemi è un attitudine, che contrasta un altra attitudine : la pigrizia Viviamo in una società in cui i ragazzi non hanno praticamente più problemi di sopravvivenza biologica da risolvere (l acqua esce magicamente dal rubinetto). Un effetto della riduzione della quantità di problemi da risolvere (non certo un male) è il prolungamento dell adolescenza

43 Ipotesi: la scuola e l università propongono ai ragazzi più esercizi da svolgere che problemi da risolvere L acquisizione di schemi di comportamento è inevitabile e parte dell apprendimento: il punto è se l obiettivo è la replica rigida di schemi o un comportamento flessibile e adattativo ma regolato Come si insegna a essere creativi in un contesto definito da regole? E come si insegna a esserlo in modo responsabile?

44 Per (non) concludere...

45 Un insegnante di matematica ha una grande possibilità... «Un idea geniale risolve spesso un grande problema, ma nella risoluzione di tutti i problemi interviene un pizzico di genialità. Può trattarsi di un problema modesto; tuttavia, se esso stuzzica la nostra curiosità ed eccita le nostre facoltà mentali e, soprattutto, se si riesce a risolverlo da soli, si scoprirà l ansia della ricerca e la gioia della scoperta. Simili esperienze, fatte a tempo opportuno, possono rappresentare un vero e proprio esercizio dello spirito e lasciare un impronta nell animo e nel carattere per tutta la vita. Quindi un insegnante di matematica ha una grande possibilità. Se egli impiegherà le sue ore di lezione a far eseguire dei calcoli ai suoi studenti, finirà per soffocare il loro interesse, arrestare il loro sviluppo mentale e sciupare l opportunità che gli si presenta. Invece, se risveglierà la curiosità degli alunni proponendo problemi di difficoltà proporzionate alle loro conoscenze e li aiuterà a risolvere le questioni proposte con domande opportune, egli saprà ispirare in loro il gusto di un ragionamento originale.» [G. Polya, How to solve it, 1945]

46 Le due culture?! «A good many times I have been present at gatherings of people who, by the standards of the traditional culture, are thought highly educated and who have with considerable gusto been expressing their incredulity at the illiteracy of scientists. Once or twice I have been provoked and have asked the company how many of them could describe the Second Law of Thermodynamics. The response was cold: it was also negative. Yet I was asking something which is the scientific equivalent of: Have you read a work of Shakespeare s? I now believe that if I had asked an even simpler question such as, What do you mean by mass, or acceleration, which is the scientific equivalent of saying, Can you read? not more than one in ten of the highly educated would have felt that I was speaking the same language. So the great edifice of modern physics goes up, and the majority of the cleverest people in the western world have about as much insight into it as their neolithic ancestors would have had.» [C.P. Snow, 1959]

47 Riferimenti (volutamente non sistematici) Rete Eurydice, L insegnamento della matematica in Europa: sfide comuni e politiche nazionali, 2011 [ Un ampio documento politico e non solo K.E. Iverson, Notation as a tool of thought, 1979 [ Una complessa ma stimolante discussione sul matematichese P. Lockhart, A mathematician s lament, 2002 [ Un arguto e argomentato richiamo al ruolo tradizionale della matematica F. Quinn, A revolution in mathematics? What really happened a century ago, and why it matters today, 2012 [ Un interpretazione di alcune vicende alla base del ruolo non tradizionale della matematica C. Wolfram, Teaching kids real math with computers, 2010 [ Un interessante e controversa micro-conferenza (e una buona scusa per segnalare TED...) L. Carimali, L. Mari, Riprogettare il curriculum di matematica: corso di formazione docenti scuola secondaria di secondo grado, 2011 [

48 Parli matematichese? Per una didattica della matematica come linguaggio Grazie dell attenzione Luca Mari Università Cattaneo LIUC Scuola di Ingegneria Industriale