Quadrato. (Ottenuto da un foglio di carta qualsiasi) Riaprire tutto il foglio

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1 Quadrato (Ottenuto da un foglio di carta qualsiasi) Riaprire tutto il foglio 6 5

2 Rettangolo x (Ottenuto da un rettangolo qualsiasi) (Ottenuto da un quadrato)

3 Rettangolo x (Ottenuto da un foglio rettangolare qualsiasi) H Dimostrazione: Il punto si trova sull asse di quindi equidistante dagli estremi del segmento. llora = (Fig. ) er costruzione il segmento è uguale al segmento (Fig. ) e per la proprietà transitiva dell uguaglianza si ha: = & = quindi =. Di conseguenza = = ed il triangolo risulta così equilatero. Il segmento H risulta essere l altezza di tale triangolo H = H x quindi H = e H =.

4 Triangolo equilatero (Ottenuto da un foglio rettangolare qualsiasi) K D K D H E (...e da un foglio quadrato) K Q ^ dimostrazione: si trova sull asse di quindi =. er costruzione = ed il segmento K è asse di quindi il triangolo è equilatero in quanto = = e l angolo K ^ = 0 e quindi K ^ = 60 e K ^ = 60. (Fig. ) La piega di Fig. risulta essere la bisettrice di KD ^ quinsi KD ^ = 60 e di conseguenza anche EK ^ = 60. Se ne deduce che anche il triangolo EK è un triangolo equilatero ^ dimostrazione: er la dimostrazione sopra K ^ = 60 K ^ = 60 quindi anche Q ^ = 60 ed il triangolo risulta essere equilatero

5 Esagono regolare (Ottenuto da un foglio rettangolare di dimensioni x ) o simile 5 Riaprire il foglio 6 7 Metodo tradizionale

6 Esagono regolare (Ottenuto da un foglio quadrato - costruzione matematicamente esatta) 5 Ottagono regolare (Ottenuto da un foglio quadrato - costruzione matematicamente esatta) Ripetere sugli altri tre vertici

7 Dimostrazione esagono regolare : Le pieghe della Fig. producono le tracce della Fig.. Dalla costruzione della figura si ricava che: D = D = DE ^ = E ^ Il punto si trova sull asse di quindi = quindi = = ed il triangolo è equilatero pertanto ^ = 60 così ^ ^ pure ed E alterno interno con. ^ ^ er simmetria anche DE = E ^ ^ = E = 60 er simmetria quindi l intero esagono risulta equilatero e quindi è regolare. D E Dimostrazione ottagono regolare: D G G E E F F H Il segmento risulta essere uguale al segmento FD in quanto diagonali del quadrato DF. Nella prima piega fatta cioè HD su EH si ha che per simmetria il segmento FD = EF = ma FD = quindi = = G... ertanto il poligono è equilatero. (Fig. ) Gli angoli dell ottagono sono formati (Fig. ) da un angolo retto E ^ (ad esempio) più un angolo di 5 del triangolo ripegato (isoscele rettangolo). ertanto ogni angolo dell ottagono è uguale a 5 e quindi il poligono risulta essere anche equiangolo percioò è regolare.

8 entagono regolare ir (Ottenuto da un foglio quadrato - metodo tradizionale giapponese) Dimostrazione: Dalla Fig. si ha: = /, per il teorema di itagora si ricava che = / quindi ^ = arctg[(/)/(/)] = arctg(/) 6 quindi il pentagono che ne deriva é irregolare. Tuttavia per l utilizzo pratico questo metodo assicura una soddisfacente approssimazione.

9 Sezione aurea Riaprire il foglio (Da Origami Omnibus di K. Kasahara) ax -x = Se consideriamo il segmento unitario e lo dividiamo in due parti tali che la parte maggiore sia media proporzionale fra la parte minore e l intero segmento otteniamo: = x; = ; b = -x : x = x : (-x) e quindi x + x - = 0 da cui x = ( 5 - )/ è detta SEZIONE URE di ed il rapporto / = /x = ( 5 + )/ = è detto RORTO UREO o IDELE. La DIVIN ROORZIONE Riaprire Dimostrazione: M D Dalla Fig. 8 e dal fatto che D = F = ½ si ha 8 = + / = 5/ = - = - R = 5 / - ½ = ( 5 - )/. onsidero i triangoli simili R * * Q D e Q. Si ha : ½ = ( 5- )/ : Q quindi Q = RQ = ( 5 - )/ onsidero ora i triangoli simili S e RQ. Si ha : S = ½ : ( 5- )/; S = ( 5 - )/ ~ 0,68. S E ertanto S = ( 5 - )/ risulta essere la SEZIONE URE di E ed il rettangolo SM è un RETTNGOLO UREO.

10 entagono regolare (Da Geometric Exercises in paperfolding di T. Sundara Row) X X sezione aurea di M X N MN è il lato del pentagono M X N Riaprire e ripetere i passaggi e dall altra parte er la dimostrazione vedi il testo da cui è tratto. 9 Tratto da: Geometric Exercises in paperfolding Di T.Sundara Row Dover 8