Prova scritta di Elettricità e Magnetismo ed Elettromagnetismo A.A. 2004/ Luglio 2005 (Proff. F. Lacava, C. Mariani, F. Ricci, D.

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1 Prova scritta di Eettricità e Magnetiso ed Eettroagnetiso A.A. 24/25 4 Lugio 25 (Proff. F. Lacava, C. Mariani, F. Ricci, D. Trevese) Modaità - Recupero I o esonero di Eettroagnetiso: Esercizio 3 (2 ore) - Recupero II o esonero di Eettroagnetiso: Esercizio 4 (2 ore) - Prova scritta di Eettroagnetiso: Esercizi 3 e 4 (3 ore) - Prova scritta di Eettricità e Magnetiso: Esercizi 1 e 2 (3 ore) - Prova scritta di Eettricità e Magnetiso e di Eettroagnetiso: Esercizi 1, 3 e 4 (4 ore) - Prova scritta di Eettricità e Magnetiso e recupero I o esonero di Eettroagnetiso: Esercizi 1, 2 e 3 (4 ore) - Prova scritta di Eettricità e Magnetiso e recupero II o esonero di Eettroagnetiso: Esercizi 1, 2 e 4 (4 ore) Esercizio 1 Una carica puntifore = C viene posta a centro di uno strato sferico di raggio interno R 1 = 1 c ed esterno R 2 = 2 c coposto da ateriae dieettrico oogeneo ed isotropo di costante dieettrica = 4. Deterinare: a) espressione de capo eettrico in funzione dea distanza radiae daa carica puntifore; b) i vaore dee cariche di poarizzazione sue due facce de dieettrico; c) i avoro copiuto per portare a carica a infinito. R 2 ε r R 1 Esercizio 2 Un nastro conduttore non oogeneo indefinito di spessore trascurabie e arghezza d = 6 c è percorso da una corrente I distribuita non uniforeente su nastro, con densità ineare di corrente data da espressione J() = a e diretta ungo. La circuitazione de capo B ungo una inea chiusa C concatenata con i nastro vae Wb/. Deterinare: a) i vaore dea corrente I; b) i vaore dea costante a; c) espressione de capo B ne piano de nastro (nea regione > d) in funzione dea distanza r da bordo de nastro; d) i vaore dea forza (specificando se attrattiva o repusiva) che agisce su una spira quaata di ato = d/2 percorsa da una corrente i = 2 A circoante in senso orario disposta su piano de nastro ad una distanza da bordo r = d/2. J r i O C d

2 Esercizio 3 Un toro costituito da ega ferroagnetica con µ r = 4 (costante), di sezione Σ = 6 c 2 e unghezza edia = 2.4, è posto su di un piano orizzontae. I toro è tagiato trasversaente in due punti diaetraente opposti, uno dei due seitori è fissato a piano, entre i secondo sei-toro può scorrere su piano, senza attrito, ungo a direzione, coe indicato in figura. I circuito eccitatore è di fora soenoidae con N = 15 spire ed è percorso daa corrente I = 1.6 A, antenuta costante da un generatore esterno. I secondo sei-toro viene aontanato, in odo tae che si creino due traferri, ciascuno di spessore s = 6., e antenuto in posizione traite due spessori indeforabii di egno (di pereabiità agnetica reativa µ r = 1) posti neo spazio dei traferri. A tae sei-toro è coegato un fio inestensibie di assa trascurabie a quae può essere appesa una assa (vedi figura). Cacoare: a) intensità di B e H ne ateriae ferroagnetico quando i due sei-tori non sono ancora stati separati; b) intensità di B e H ne ateriae ferroagnetico e nei traferri a separazione avvenuta; c) a variazione di energia agnetica ne operazione di separazione dei due sei-tori; d) i vaore inio dea assa necessario per provocare i distacco de seitoro dagi spessori di egno. I N s s Σ Esercizio 4 Un onda eettroagnetica piana, sinusoidae di frequenza ν=2 MHz ha i capo eettrico di apiezza A=2. V 1 nea direzione de asse z e si propaga ne vuoto nea direzione positiva de asse. A tepo t= i capo eettrico ne origine e nuo e di vaore decrescente (ne tepo). Si considerino due caini rettangoari C 1 e C 2 giacenti rispettivaente su piano z e su piano, con un vertice ne origine degi assi e i ati paraei agi assi e orientati in verso positivo, secondo a regoa dea vite (destra), rispetto agi assi ad essi ortogonai. I ato paraeo a asse ha unghezza a = λ/4 entre atro ato ha unghezza b = 3.. a) Si scrivano e espressioni dee coponenti, e z de capo eettrico E e de capo di induzione agnetica B in funzione dee coordinate spaziai e teporai. b) Si scriva espressione in funzione de tepo e si cacoi i vaore a tepo t = dea circuitazione f de capo eettrico E su caino C 1. c) Si scriva espressione in funzione de tepo e si cacoi i vaore a tepo t = de fusso Φ(B) de induzione agnetica B attraverso una superficie deiitata da C 1. d) Si ostri che è verificata a egge di Farada-Neuann. e) Si scriva espressione in funzione de tepo dea corrente di spostaento I s attraverso una superficie deiitata da C 2. f) Si cacoi i rapporto fra a circuitazione f de capo eettrico e a corrente di spostaento I s cacoate nei precedenti punti b) ed e). z z E C1 E a b a b C2

3 Souzione Esercizio 1 a) Da teorea di Gauss per i capo induzione dieettrica Φ(D) =, si ha, considerando superfici sferiche di raggio r centrate nea carica : D = /(4πr 2 ). Daa reazione E = D/ɛ, si ottiene E(r) = 4πɛ r 2 per r < R 1 (ne vuoto) E(r) = 4πɛ r 2 per R 1 r R 2 (ne dieettrico) E(r) = 4πɛ r 2 per r > R 2 (ne vuoto) b) La densità di carica di poarizzazione si ottiene daa reazione σ p = P n, con n norae uscente daa superficie de dieettrico e P = ɛ χe = ɛ ( 1)E vettore di poarizzazione. uindi sue superfici interna ed esterna de dieettrico si ha rispettivaente σ p (R 1 ) = P(R 1 ) = ɛ ( 1) E(R 1 ) = 1 σ p (R 2 ) = + P(R 2 ) = ɛ ( 1) E(R 2 ) = 1 4πR1 2 4πR2 2 avendo tenuto conto de verso di n rispetto a P. Le cariche di poarizzazione sue superfici vagono pertanto: p (R 1 ) = 4πR1σ 2 p (R 1 ) = 1 = C p (R 2 ) = 4πR2σ 2 p (R 1 ) = 1 = (R 1 ) = C c) I avoro per portare a carica a infinito è dato daa differenza di energia eettrostatica de sistea tra a configurazione finae (carica a infinito) e quea iniziae (carica a centro deo strato dieettrico) L = U U. Scrivendo a densità di energia eettrostatica nea fora u = D 2 /2ɛ (con ɛ=ɛ ne vuoto e ɛ=ɛ ne dieettrico) si ottiene ne caso di separazione infinita tra carica e dieettrico U = dv D2 2ɛ = 2 8πɛ r 2, entre nea situazione di carica a centro deo strato dieettrico [ U = 2 R1 8πɛ r R2 ] R 1 r 2 + R 2 r 2 = U 2 ( 1) 8πɛ Si ottiene quindi per i avoro: L = 2 ( 1) 8πɛ R2 R 1 R2 R 1 r 2 = 2 ( 1) R 2 R J 8πɛ R 1 R 2 Si noti che entrabe e energie U e U hanno vaore infinito (dovuto ai contributi divergenti dei capi cacoati a centro dea carica), a nea differenza tai divergenze si eiinano dando un risutato finito. r 2.

4 Souzione Esercizio 2 a) Da teorea dea circuitazione di Apère B d = µ I si ottiene: I 15 A. b) Daa condizione si ottiene I = d d J() = ad2 2, a = 2I d A/ 2. c) Consideriao una striscia infinitesia di arghezza d e posizione. La corrente su tae striscia è di = J()d = (2I/d 2 )d, per cui i capo infinitesio db da essa generato in un punto de piano distante r da bordo de nastro (e quindi r + d daa striscia infinitesia) è: db (r) = µ di 2π(r + d ) d = µ I πd 2 (r + d ) d, diretto perpendicoarente (con verso entrante) a piano de nastro. I capo si ottiente integrando nea variabie B (r) = µ I πd 2 d d r + d = µ I [(r + d) og (1 + d/r) d], πd2 coe si ottiene faciente con i cabio di variabie = r + d. d) La risutante dea forza sua spira è data daa soa dee forze sui tratti di spira paraei a nastro (di segno opposto) F = ib (r) + ib (r + ) = iµ I [(r + d) og (1 + d/r) (r + + d) og (1 + d/(r + ))], πd2 e sostituendo i vaori de probea (forza attrattiva). F = µ ii 4π (3 og 3 4 og 2) N

5 Souzione Esercizio 3 a) I capo agnetico H può essere cacoato usando i Teorea dea circuitazione di Apere: H d = H = NI H = NI = As/ B = µ µ r H =.5 T b) uando i due seitori sono separati: H d = H + H 2s = NI, inotre avreo: B = B = µ H = µ µ r H, da cui: µ µ r B + 2s µ B = NI B = µµrni =.17 T, H = B µ = µrni H = B µ µ r = NI = As/, = As/. c) La differenza di energia agnetica è: U = U finae U iniziae U iniziae, dove: = 1 2BH τ, con τ = Σ voue de toro. Sostituendo B e H ricavati precedenteente si ottiene: U iniziae = 1 2 Σµ µ r (NI) 2. uando i due seitori sono stati separati si ha: U finae = 1 2 B (H τ + H τ ), con τ = 2sΣ i voue dei due traferri. Sostituendo e espressioni di B, H e H ricavate in precedenza, si ottiene: U finae = 1 2 B (H + H 2s)Σ = 1 2 Σµ µ r (NI) 2. Avreo quindi: U = U finae U iniziae = 1 2 Σµ µ r (NI) 2 1 ( 1 ) = 2.41 J. d) I generatore esterno antiene costante a corrente ne circuito eccitatore, per cui: F = + U(). L energia agnetica quando i due traferri sono ad una distanza, è: U () = 1 2 Σµ µ r (NI) 2 +2µ r, per cui: F () = + U() = Σµ µ 2 r(ni) 2 1 (+2µ r) 2. La assa inia posta su piano dea biancia che provocherà a separazione dei due sei-tori sarà quea per cui a forza peso controbiancia esattaente a forza agnetica attrattiva: F (s) = g, per cui: = F(s) g = 1 g Σµ µ 2 r(ni) 2 1 () = 13.7 Kg. 2

6 Souzione Esercizio 4 a) E z = A sin(k ωt), E = E = B = A/c sin(k ωt), B = B z = b) f = b A sin(π/2 ωt) dz + A sin( ωt) dz = A b [cos(ωt) + sin(ωt)] b f f o sin(ωt + φ f ) : φ f = π/4, f o = A b 2 A tepo t = : f(t = ) = Ab = 6 V c) Φ(B) = b λ/4 A/c sin(k ωt) d = ba ck [cos(ωt) sin(ωt)] Φ(B) Φ o sin(ωt + φ Φ ) : Φ o = ba ck 2, φφ = 3π 4 A tepo t = : Φ(B)(t = ) = ba ck = ba 2πν = Wb. d) dφ(b) dt = ba ck ω[ sin(ωt) cos(ωt)] = ba [sin(ωt) + cos(ωt)] c.d.d. e) J s = ɛ o E t I s = S 2 J s ds = bɛ o Aω λ/4 cos(k ωt) d I s = ba Z o [cos(ωt) + sin(ωt)] f) f I s = Z o = 377 Ω