APPLICAZIONI di MATEMATICA

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1 APPLICAZIONI di MATEMATICA 1 Serie di poteze e trasformata Zeta 1.1 Serie di Poteze (Richiami) Premettiamo alcui richiami sulle serie di poteze. Sia {a } ua successioe di costati reali o complesse; si chiama allora serie di poteze ua serie del tipo a 0 + a 1 s + a 2 s a s + = a s (1) dove s idica u umero complesso. Ogi serie di poteze del tipo (1) coverge per s = 0. Ioltre se essa coverge per u valore s = s 0 0, allora essa coverge assolutamete per qualsiasi valore della variabile s di modulo miore di s 0. Se ivece per s = s 0 la serie (1) o coverge, allora (1) o coverge per qualsiasi valore della variabile s di modulo maggiore di s 0. I altri termii se (1) coverge per s = s 0, allora (1) coverge assolutamete i tutti i puti iteri alla circofereza di cetro l origie e raggio s 0 ; se ivece (1) o coverge per s = s 0, allora (1) o coverge i tutti i puti esteri a tale circofereza. Vi soo serie di poteze che covergoo solo per s = 0; tale è, ad esempio, la serie 1 + 1!s + 2!s 2 + 3!s 3 + +!s + ; altre serie ivece covergoo per ogi valore della variabile s, come, ad esempio, la serie espoeziale =0 1 + s 1! + s2 2! + s3 3! + + s! +. 1

2 Vi soo ifie delle serie che, per alcui valori di s, di modulo positivo, covergoo e per altri valori di s o covergoo. U esempio i tal seso è dato dalla serie geometrica 1 + s + s 2 + s s + (2) che coverge per valori di s di modulo miore di 1 e o coverge per valori di s di modulo maggiore di 1. Cosideriamo ora ua serie di poteze della forma (1) che, per qualche s 1 0 sia covergete e per altri valori s 2 sia o covergete. A tale serie è possibile associare u umero reale positivo ρ che coicide co l estremo superiore dei moduli dei valori di s per i quali (1) coverge. Pertato (1) coverge assolutamete per ogi s tale che s < ρ; (1) o coverge per ogi s tale che s > ρ. Tale valore ρ prede il ome di raggio di covergeza e la circofereza di cetro l origie e raggio ρ si chiama circofereza di covergeza e il suo itero cerchio di covergeza. Se la serie cosiderata coverge soltato per s = 0, diremo che il suo raggio di covergeza è ullo e porremo, per covezioe, ρ = 0. Aalogamete, se la serie coverge per ogi valore di s, diremo che il suo raggio di covergeza è ifiito e porremo ρ =. I quest ultimo caso il cerchio di covergeza coiciderà co l itero piao complesso. Vediamo ora come può essere determiato il raggio di covergeza. A tal fie ricordiamo la defiizioe di limite superiore di ua successioe. Data ua successioe {g } di umeri reali o egativi, limitata superiormete 1, si chiama limite superiore di {g }, e si idica co lim sup g, il limite dove lim sup g = lim M (3) def M = sup {g, g +1, g +2,...}. Se ivece la successioe {g } è illimitata (superiormete), si poe lim sup g =. 1 Ricordiamo che ua successioe {g } è limitata superiormete se esiste ua costate k tale che g < k, = 0, 1, 2,.... 2

3 Il massimo limite può essere, alterativamete, calcolato el modo seguete. Sia {g } limitata superiormete; essedo a termii o egativi, tale successioe è limitata e quidi ammette sottosuccessioi covergeti. Si cosiderio allora tutte le possibili sottosuccessioi estraibili da {g } e covergeti e sia I l isieme formato da tutti i limiti di tali sottosuccessioi. Allora è possibile dimostrare che lim sup g = max I. Se poi la successioe {g } è covergete, ovviamete si ha lim sup g = lim g. Ad esempio, per la successioe {g } data da { 1 + e pari g = 3 + e dispari si ha lim sup g = 3. Ivece per la successioe {g } data da { 1 + e pari g = 3 + e dispari si ha Ifie per la successioe {g } data da lim sup g =. g = 1 + e si ha lim sup g = lim g = 1. Ciò premesso si ha il seguete Teorema (di Cauchy-Hadamard) Data la serie (1), sia ρ il suo raggio di covergeza. Allora 1 = lim sup a. (4) ρ 3

4 Ad esempio per la serie (2) si ha subito ρ = 1. Per la serie dove a = a s (5) =0 { e e pari dispari si ha facilmete ρ = 1/e. Il raggio di covergeza può essere, talvolta, determiato i forma più agevole, mediate la seguete Proposizioe 1. Sia ρ il raggio di covergeza di (1). Se il limite a +1 lim a (6) esiste fiito, allora Ad esempio per la serie 1 ρ = lim a +1 a. (7) si ha 1 + s + s s s 2 + (8) lim a +1 a = lim 2 ( + 1) 2 = 1 e quidi ρ = 1. La Proposizioe 1 ivece o è applicabile alla serie (5) i quato { a +1 e 2+1 se è pari = a e 2 1 se è dispari e quidi il limite (6) o esiste. Per quato cocere poi il comportameto della serie (1) sulla circofereza di covergeza, possoo presetarsi varie possibilità. La serie data può 4

5 o covergere i essu puto s tale che s = ρ: è questo, ad esempio, il caso della serie (2) per la quale si ha, come si è visto, ρ = 1 e s = 1 (2) o coverge. Ifatti sulla circofereza di covergeza si ha lim s = 1, metre la covergeza di (2) implicherebbe lim s = 0. Altre serie, ivece, covergoo sull itera circofereza di covergeza, come, ad esempio, la serie (8) per la quale si ha, come si è visto, ρ = 1, ed ioltre s = 1 (8) coverge. Altre serie ifie covergoo i alcui puti della circofereza di covergeza e o i altri, come, ad esempio, la serie s s2 2 + s3 s ( 1) (9) per la quale da (7) si ha subito ρ = 1 ed ioltre s = 1 (9) coverge s = 1 (9) o coverge. Come si è visto, la serie (1) coverge assolutamete all itero del cerchio di covergeza. Ricordiamo ioltre che (1) è uiformemete covergete i ogi isieme chiuso coteuto propriamete el cerchio di covergeza. Più i geerale è possibile dimostrare (Teorema di Abel) che se (1) coverge i u puto P apparteete alla circofereza di covergeza, allora (1) coverge uiformemete i ogi settore circolare chiuso Ω di vertice P e coteuto el cerchio di covergeza (vedi Figura 1). 5

6 Ω P Figura 1. Il cerchio di covergeza e il settore circolare Ω Ricordiamo ifie che ogi serie di poteze è derivabile termie a termie all itero del cerchio di covergeza, ossia la serie (1) e la serie a s 1 =1 hao lo stesso raggio di covergeza e ( ) d a s = ds =0 a s 1. =1 1.2 Defiizioe di Trasformata Zeta Poiamo le segueti defiizioi: DEF. Sia {f } ua successioe di umeri, reali o complessi; si chiama raggio di covergeza di {f }, e si idica co R f, il limite superiore 2 lim sup f = R f. (10) 2 Come al solito, co il simbolo f si itede il valore assoluto oppure il modulo a secoda che f sia u umero reale o complesso. 6

7 Come richiamato el precedete paragrafo, R f è fiito se e solo se la successioe { f } è limitata. DEF. Sia {f } ua successioe di umeri reali o complessi aveti raggio di covergeza R f fiito. Si chiama trasformata Zeta di {f } la fuzioe complessa F data da F (z) = f z (11) =0 dove z è u umero complesso tale che z > R f. La defiizioe ora data è be posta, el seso che la serie (11) è covergete i ua opportua regioe del piao complesso. Ifatti vale la seguete Proposizioe 2. Sia {f } ua successioe di umeri reali o complessi avete raggio di covergeza R f fiito. Allora la serie (11) coverge per ogi umero complesso z estero alla circofereza di cetro l origie e raggio R f. Effettuado ifatti i (11) il cambiameto di variabile s = 1/z si ottiee la serie di poteze f s (12) =0 la quale, per i risultati richiamati el precedete paragrafo, coverge per ogi umero complesso s itero alla circofereza di covergeza. Quest ultima ha raggio ρ dato da ρ = 1/R f e pertato (12) coverge per ogi umero complesso s tale che s < 1 R f. Teedo coto che z = 1/s segue che (11) coverge se z > R f. La trasformata Zeta è quidi ua fuzioe (complessa di variabile complessa) defiita i ogi puto estero ad ua opportua circofereza il cui raggio è dato da (10) (vedi Figura 2). 7

8 Im z R f Re z Figura 2. Il piao z e il domiio della trasformata Zeta Essa pertato è defiita i u itoro di ifiito. Scrivedo (11) per esteso si ottiee: 1 F (z) = f 0 + f 1 z + f 1 2 z + + f 1 2 z + (13) e tale serie coverge se z > R f, R f <. Allora la trasformata Zeta o è altro che uo sviluppo i serie di Lauret all ifiito, sviluppo privo di parte pricipale i quato i (13) o compaioo poteze di z ad espoete positivo 3. Da ciò discede subito ua prima proprietà per la trasformata Zeta. Vale ifatti la seguete Proposizioe 3. Sia {f } ua successioe avete raggio di covergeza R f fiito. Allora la sua trasformata Zeta è aalitica per ogi z C, tale che z > R f. Il raggio di covergeza è il miimo tra i raggi delle circofereze tali che la trasformata Zeta è aalitica al suo estero. Vale ifatti: 3 Per tale motivo sarebbe stato più appropriato utilizzare per F il termie Trasformata di Lauret. Si è affermato ivece, i particolare i molti testi tecici, il termie, ache qui usato, Trasformata Zeta. Esso trae la sua origie dal ome impiegato per idicare la variabile da cui dipede F. Tale scelta è suggerita poi dall opportuità di distiguere tale trasformata dalla trasformata di Laplace per la quale viee usata, i particolare elle applicazioi di atura elettroica, la lettera s. 8

9 Teorema (Abel) Sia F (z) la trasformata Zeta di {f }, e sia R f > 0 il suo raggio di covergeza. Allora F ha almeo ua sigolarità sulla circofereza z = R. Il teorema di Abel permette quidi di determiare agevolmete il raggio di covergeza di ua successioe {f } che sia z-trasformabile, ota la sua trasformata F (z). È ifatti sufficiete determiare le sigolarità di F : il raggio di covergeza è il massimo tra i moduli delle sigolarità di F. Per quato riguarda poi l esisteza della trasformata, le successioi z- trasformabili soo quelle per le quali il raggio di covergeza è fiito, ossia quelle la cui crescita è, al massimo, di tipo espoeziale. Vale ifatti la seguete Proposizioe 4. Sia {f } ua successioe di umeri reali o complessi. Tale successioe è z-trasformabile se e solo se esiste ua costate positiva M tale che f M, = 0, 1, 2,... (14) Ioltre la trasformata Zeta è defiita per ogi umero complesso z tale che z > R f dove R f è dato da (10) oppure da f +1 R f = lim f se quest ultimo limite esiste. Ad esempio la successioe {f } data da è z-trasformabile i quato Ioltre, poiché lim f +1 f f = 1! f 1. = lim = 0 tale trasformata è defiita sull itero piao complesso, eccetto l origie. Ivece la successioe {g } data da g = 9

10 o ammette trasformata Zeta, i quato lim sup g = lim =. Come si è visto, il raggio di covergeza è legato alla crescita della successioe {f }. Ad esempio le successioi {a }, {b }, {c }, {d } date, rispettivamete, da soo tutte z-trasformabili, e si ha a = e = 0, 1, 2,... b = = 0, 1, 2,... c = 2 = 0, 1, 2,... d = 4 = 0, 1, 2,... R a = lim sup R b = lim sup R c = lim sup R d = lim sup a = e 1 b = 1 c = 1 d = 4. Vale ifie il seguete Teorema di caratterizzazioe. Teorema 1. Sia F ua fuzioe complessa di variabile complessa. Allora le segueti quattro affermazioi soo equivaleti: 1. F è ua trasformata Zeta; 2. z = è u puto di regolarità o ua sigolarità elimiabile per F ; 3. F è sviluppabile i serie di Lauret all ifiito e lo sviluppo è privo di parte pricipale; 4. F è aalitica per z grade e lim z F (z) existe fiito. Esercizio. Quale delle segueti fuzioi è ua trasformata Zeta? F 1 (z) = si z; F 2 (z) = si(1/z); F 3 (z) = 1/ si z; G 1 (z) = z2 + 1 z ; G 2(z) = z4 + 1 z Risposta: lo soo F 2 e G 1, o lo soo le altre [F 1 ha ua sig. esseziale all ifiito, F 3 ha i s = ua sig. o isolata e G 2 u polo semplice]. 10

11 1.3 Atitrasformata Zeta I questo paragrafo esamieremo il problema dell atitrasformata Zeta, per quato cocere sia l esisteza che il calcolo. Il problema dell uicità è immediatamete risolto. Se ifatti F è ua trasformata Zeta, allora F è sviluppabile i serie di Lauret all ifiito. Poiché lo sviluppo i serie di Lauret è uico, ecessariamete o può esistere più di ua successioe {f } tale che F (z) = Z{f }. Per quato cocere l esisteza, il Teorema visto el precedete paragrafo forisce codizioi ecessarie e sufficieti affiché ua data fuzioe F complessa di variabile complessa sia ua trasformata Zeta. Vediamo ora alcui esempi. Esempio 1. Le fuzioi F 1, F 2, date da F 1 (z) = zez z F 2 (z) = z + 16 o soo trasformate Zeta. Ifatti le sigolarità di F 1 soo z = ±4j e z =. La sigolarità z = è esseziale e quidi la codizioe 2. del Teorema 1 o è verificata. Per quato cocere la fuzioe F 2, essa è defiita i tutto il piao complesso e si ha lim z F 2(z) = 0. Tale fuzioe tuttavia o è aalitica i essu puto del piao complesso 4 e quidi o è sviluppabile i serie di Lauret, é al fiito, é all ifiito. Esempio 2. La fuzioe F data da F (z) = ze1/z z Idicado ifatti co u e v la parte reale e immagiaria di F 2, si ha (z = x + jy) u(x, y) = 1, v(x, y) = 0 x2 + y ed è immediato cotrollare che le formule di Cauchy-Riema o soo soddisfatte. 11

12 è ua trasformata Zeta. Ifatti le sigolarità di F soo collocate ei puti z = 0, z = ±2j. Pertato F è aalitica per z > 2. Ioltre lim F (z) = 0 z e quidi, per il Teorema 1, F è ua trasformata Zeta, e R f = 2. Esempio 3. La fuzioe F 1 data da F 1 (z) = z2 + 6 z è ua trasformata Zeta, metre o lo è la fuzioe F 2 data da F 2 (z) = z3 + 6 z Etrambe queste fuzioi hao due sigolarità al fiito, ei puti z = ±3j. Etrambe pertato soo aalitiche per z > 3. Soo quidi etrambe sviluppabili i serie di Lauret all ifiito. Tuttavia metre lo sviluppo di F 1 è privo di parte pricipale, i quato lim F 1(z) = 1, z lo sviluppo di F 2 ha ua parte pricipale o ulla poiché lim F 2(z) =. z Alla stessa coclusioe si perviee osservado che z = è, per F 1, u puto di regolarità e per F 2 u polo (semplice). Osservazioe Se F (z) è ua fuzioe razioale, ovvero F (z) = N(z)/D(z), N, D poliomi, allora vale la semplice caratterizzazioe: F è ua trasformata Zeta SSE gr(n) gr(d). 12

13 1.4 Calcolo dell Atitrasformata Ricordiamo prelimiarmete che lo sviluppo i serie di Lauret all ifiito di ua geerica fuzioe complessa di variabile complessa g assume la forma dove s è sufficietemete grade e g(s) = + c s + c +1 s + + c 1 1 s + c 0 + c 1 s + + c s + (15) c = 1 2πj Γ g(s) ds (16) s+1 co Γ curva chiusa, semplice, regolare, percorsa i seso positivo (atiorario), coteete al proprio itero tutte le sigolarità di g. Ciò premesso, sia F ua trasformata Zeta. Allora esiste ua successioe {f } tale che per z grade 1 F (z) = f 0 + f 1 z + f 1 2 z +. (17) 2 Cofrotado le formule (15) e (17) si ha allora f = c, = 0, 1, 2,... Pertato, teedo coto di (16), si ha f = 1 F (z) 1 dz = 2πj z +1 2πj Γ Γ F (z)z 1 dz. Tale espressioe cosete di determiare, ota la trasformata F, la successioe {f }. Essa prede ome di formula dell atitrasformata Zeta e scriveremo Z 1 {F (z)} = f = 1 F (z)z 1 dz (18) 2πj dove, ricordiamolo, Γ rappreseta ua curva chiusa, semplice, regolare, percorsa i seso positivo (atiorario) e coteete, al proprio itero, tutte le sigolarità di F. Pertato il calcolo dell atitrasformata è ricodotto al calcolo, per ogi 0, dell itegrale che figura a secodo membro di (18). Normalmete tale 13 Γ

14 itegrale sarà calcolato utilizzado la teoria dei Residui abbiado, i talui casi, quest ultima co la proprietà della covoluzioe discreta, che vedremo i seguito. Completiamo questo paragrafo illustrado altre teciche che cosetoo, co u procedimeto di ricorreza, la determiazioe della successioe {f }. Da (17) si ha subito Teorema (del valore iiziale). Sia {f } ua successioe z-trasformabile. Allora, posto Z{f } = F (z), si ha Ioltre, sempre da (17) si ha e quidi f 0 = lim z F (z) 1 [F (z) f 0 ]z = f 1 + f 2 z + f 1 3 z + 2 f 1 = lim z [F (z) f 0 ]z. Procededo i maiera simile si ha poi f 2 = lim z [F (z) f 0 f 1 1 z ]z2 e così via. Tale procedimeto cosete quidi di determiare, uo dopo l altro, tutti i valori del campioameto {f }. U altra possibilità, per quato riguarda il calcolo dell atitrasformata, è poi la seguete. Effettuiamo i (17) il cambio di variabile z = 1/u: si ottiee allora per u piccolo ( ) 1 F = f 0 + f 1 u + f 2 u 2 +. u Essedo quest ultima ua serie di Taylor di cetro u = 0 si ha allora f = 1 d! du G(u) dove G(u) = F (1/u). u=0 14

15 Esempio 4. Calcolare l atitrasformata Zeta della fuzioe F data da F (z) = 1 z 2 4. La fuzioe F è ua trasformata Zeta i quato è aalitica per z > 2 e lim z F (z) = 0. Dalla formula (18) si ha allora f = 1 2πj C z 1 dz (19) z 2 4 dove C è ua circofereza, percorsa i seso positivo, di cetro l origie e raggio R > 2. Le sigolarità della fuzioe itegrada soo z = ±2 ed ioltre z = 0 quado = 0. D altra parte il coefficiete f 0 può essere calcolato tramite il teorema del valore iiziale, otteedo f 0 = 0. Per 1, applicado i (19) il Teorema dei Residui, si ha [ ] [ ] z 1 z 1 f = Res z 2 4, 2 + Res z 2 4, 2. Essedo z = ±2 poli semplici, si ha allora f = z 1 2z + z 1 z=2 2z = 2 3 ( 2) 3 = 2 3 (1 + ( 1) ). z= 2 I coclusioe: 0 = 0 f = 2 2 = 2k, k N 0 = 2k + 1, k N. Esempio 5. Calcolare l atitrasformata Zeta della fuzioe F data da F (z) = z z Per il Teorema 1, F è ua trasformata Zeta. Applicado la formula (18) si ha f = 1 z 2πj z dz C 15

16 dove C è ua circofereza, percorsa i seso positivo, di cetro l origie e raggio R > 2. Le sigolarità della fuzioe itegrada soo z = ±2j e soo due poli semplici. Applicado allora il Teorema dei Residui si ha f = z 2z + z z=2j 2z = (2j) 1 z= 2j 2 Poiché j = e jπ/2, co facili calcoli si ottiee [ π ] f = 2 1 cos 2 ( 1) = + ( 2j) 1. 2 { ( 1) k 2 2k = 2k + 1, k N {0} 0 = 2k, k N {0}. Osservazioe. Sia F (z) ua trasformata Zeta. Se z = è ua zero di ordie N 1 per F, allora detta {f } l atitrasformata Zeta di F, risulta: f 0 = f 1 =... = f N 1 = 0, f N 0. Ifatti: F (z) = f N /z N + f N+1 /z N , co f N Prime proprietà I questo paragrafo presetiamo alcue proprietà della trasformata Zeta. Le dimostrazioi di queste proprietà soo alla fie del paragrafo. Proposizioe 5 (Liearità). Siao {f }, {g } due successioi z-trasformabili e siao c 1, c 2 due costati complesse. Allora la successioe {h } data da h = c 1 f + c 2 g, = 0, 1, 2,... è z-trasformabile e Z{h } = c 1 Z{f } + c 2 Z{g }. (20) Si osservi che l ipotesi le successioi {f }, {g } soo z-trasformabili o può, i geerale, essere sostituita da la successioe {h } è z-trasformabile. Ad esempio sia c 1 = c 2 = 1 e { f 0 = g 0 = 0 f = g =, = 1, 2, 3,... Allora h = f + g = 0; quidi {h } è z-trasformabile. Tuttavia le successioi {f } e {g } o ammettoo trasformata Zeta e quidi (20) o vale. 16

17 Proposizioe 6 (Proprietà dello smorzameto). Sia {f } ua successioe z-trasformabile e sia F (z) = Z{f }. Fissato u umero ω, reale o complesso, la successioe {g } data da è z-trasformabile e si ha g = f e ω R g = R f e Re ω (21) Z{g } = F (e ω z) (22) Proposizioe 7 (Proprietà della moltiplicazioe per ). Sia {f } ua successioe z-trasformabile e sia F (z) = Z{f }. Allora la successioe {g } data da g = f è z-trasformabile e si ha R g = R f (23) Z{g } = z d F (z). (24) dz Dimostrazioe Proposizioe 5. Essedo {f } e {g } due successioi z-trasformabili, esistoo due costati positive M f e M g, tali che f M f, g M g, = 0, 1, 2,... Posto M = max(m f, M g ) si ha allora e quidi {h } è z-trasformabile. geerale delle serie 5. h ( c 1 + c 2 )M L idetità (20) segue da ua proprietà Dimostrazioe Proposizioe 6. Per la Proposizioe 4, esiste ua costate positiva M tale che f M ; 5 Ricordiamo che se le due serie umeriche a, =0 =0 b 17

18 allora g = f e Re ω ( Me Re ω) e quidi, {g } è z-trasformabile. Ioltre da (25) si ha (25) g = e Re ω f e quidi (21) è verificata. Poedo si ha poi Z{g } = = s = e ω z f e ω z = =0 ( f e ω z ) =0 f s = F (s) =0 e quidi ache (22) è verificata. Dimostrazioe Proposizioe 7. Avedosi lim sup g = lim sup ( ) f = lim sup f e segue che {g } è z-trasformabile e che (23) è verificata. Essedo poi la trasformata Zeta ua serie di poteze, è lecito derivare termie a termie; si ha pertato d dz F (z) = f z 1 da cui, moltiplicado ambo i membri per z, si ottiee subito (23). =1 soo assolutamete covergeti, allora lo è ache la serie e si ha (a + b ) =0 ( ) ( ) (a + b ) = a + b. =0 =0 =0 18

19 2 Campioameti Elemetari Utilizzado la defiizioe e le proprietà viste el Paragrafo precedete calcoliamo la trasformata Zeta di alcue successioi otteute campioado fuzioi elemetari. 2.1 Campioameto costate Sia Allora R f = 1 e per z > 1 si ha f = 1, = 0, 1, 2,... F (z) = Z{1} = =0 z }{{} ( ) = z = z z 1 i quato ( ) è ua serie geometrica di ragioe 1/z. 2.2 Campioameto lieare Sia f =, = 0, 1, 2,... Allora f = 1 e utilizzado la proprietà della moltiplicazioe per (Proposizioe 7), si ottiee per z > 1 Z{} = z d dz z z 1 = 2.3 Campioameto poliomiale Sia z (z 1) 2. f = 2, = 0, 1, 2,... Procededo come el caso precedete, si ottiee per z > 1 Z{ 2 } = z d dz z (z 1) = z2 + z 2 (z 1). 3 19

20 Aalogamete si ha per z > 1 e così via. Z{ 3 } = z d dz z 2 + z (z 1) = z3 + 4z 2 + z 3 (z 1) Campioameto espoeziale Sia f = e T, = 0, 1, 2,... dove T è u fissato umero reale o complesso. Allora f = e T = e Re T. Pertato R f = e Re T. Per z > e Re T, dalla proprietà dello smorzameto (Proposizioe 6) si ottiee Z{e T } = Z{e T 1} = e T z e T z 1 = 2.5 Campioameti trigoometrici Sia f = si(ω), = 0, 1, 2,... z z e T. dove ω è u umero reale fissato. Utilizzado le formule di Eulero e la proprietà dello smorzameto, si ottiee facilmete per z > 1 Similmete si ha Z{si(ω)} = Z{cos(ω)} = z si ω z 2 2z cos ω + 1. z(z cos ω) z 2 2z cos ω + 1. Esempio 6. Calcolare la trasformata Zeta della successioe {f } data da f = e 3 si, = 0, 1, 2,... 20

21 Poiché per z > 1 z si 1 Z{si } = z 2 2z cos per la proprietà dello smorzameto, la successioe {e 3 si } ha raggio di covergeza e 3 e si ha Z{e 3 si } = e 3 z si 1 e 6 z 2 2e 3 z cos Dal Teorema della moltiplicazioe per si ha ifie Z{f } = z d dz e 3 z si 1 e 6 z 2 2e 3 z cos La Proprietà della Traslazioe Poiamo la seguete Def. Sia p u itero positivo fissato. Data la successioe {f } =: f 0, f 1, f 2,..., f,... si chiama successioe traslata i avati di p-passi, o semplicemete successioe traslata, la successioe 0, 0,..., 0, f }{{} 0, f 1, f 2,... p volte I altre parole la successioe traslata i avati di p-passi è la successioe otteuta da {f } iseredo ei primi p posti il valore zero. Tale successioe sarà idicata co il simbolo {f p }. Così, ad esempio, f 3 =: 0, 0, 0, f 0, f 1,... Il motivo del ome è evidete. Se {f } rappreseta ifatti il campioameto di ua fuzioe f, ulla per t < 0, egli istati t = T, allora {f p } è il campioameto della fuzioe traslata f(t pt ) egli stessi istati. Si ha pertato { 0 se < p f p = (26) f p se p. Ciò posto, vale la seguete 21

22 Proposizioe 8 (Proprietà della traslazioe). Sia {f } ua successioe z-trasformabile. Allora ache la successioe traslata {f p } è z-trasformabile, ha lo stesso raggio di covergeza ed ioltre Z{f p } = z p Z{f }. Ifatti, dalla defiizioe di limite superiore, segue subito che {f } e {f p } hao stesso raggio di covergeza. Ioltre, teedo coto di (26), si ha Z{f p } = f p z = =p f i z i p = z p i=0 i=0 f i z i. Esempio 7. Calcolare la trasformata Zeta della successioe {f } data da { e 4 4 f = 0 = 0, 1, 2, 3. Si ha evidetemete dove {g } è la successioe data da f = g 4, = 0, 1, 2,... g = e 16+4, = 0, 1, 2,... Pertato e quidi Z{g } = Z{f } = e16 z z e 4 e 16 z 3 (z e 4 ). 2.7 La Covoluzioe Discreta Poiamo la seguete Def. Siao {f } e {g } due successioi. Si chiama covoluzioe discreta tra le due successioi {f } e {g }, la successioe {h } data da h = f k g k, = 0, 1, 2,... (27) 22

23 La covoluzioe discreta sarà idicata co il simbolo {f g }. Il motivo del ome è, ache i questo caso, evidete. Siao ifatti f, g due fuzioi ulle per t < 0 e sufficietemete regolari; siao poi {f } e {g } i campioameti di tali fuzioi egli istati t = T. Ricordiamo che il prodotto di covoluzioe f g è la fuzioe data da (f g)(t) = t 0 f(τ)g(t τ) dτ. (28) Poiché la sommatoria i (27) è la forma discretizzata dell itegrale che compare i (28), è aturale idicare (27) co l espressioe covoluzioe discreta. Valgoo le proprietà: {f g } = {g f } {f (g 1 + g 2 )} = {f g 1 + f g 2 }. Il seguete risultato illustra ua importate proprietà della covoluzioe discreta. Teorema Siao {f }, {g } due successioi z-trasformabili. Allora ache la covoluzioe discreta {h } = {f g } è z-trasformabile e il suo raggio di covergeza R h verifica la disuguagliaza R h max(r f, R g ) (29) dove R f e R g idicao, rispettivamete, i raggi di covergeza di {f } e {g }. Ioltre si ha Z{h } = Z{f }Z{g }. (30) Esempio 8. Calcolare la trasformata Zeta della successioe {h } data da Evidetemete si ha dove { Allora h = f = g = 1 h = f g Z{h } = Z{}Z{1} = 23 = 0, 1, 2,... z 2 (z 1) 3.

24 Osserviamo che la disuguagliaza (29) può valere ache i seso stretto. Ad esempio svolgere il seguete esercizio. Esercizio. Si cosiderio le due successioi {f }, {g } date rispettivamete da { 1 se = 0 f = 1 e se 1 { 1 se = 0 g = e 1 (e 1) se 1. Dopo avere determiato il raggio di covergeza delle rispettive trasformate Zeta, si scriva esplicitamete la loro covoluzioe discreta h = f g e si provi che, i questo caso, vale R h < max(r f, R g ). Il Teorema della covoluzioe discreta ha alcue semplici ma importati cosegueze. Corollario 1. Se F (z) è la trasformata Zeta di {f }, allora { } Z f k = z z 1 F (z). Corollario 2. Se F (z), G(z) soo le trasformate Zeta di {f } e {g }, rispettivamete, allora l atitrasformata Zeta di F (z)h (z) è la covoluzioe discreta {f g }. Ua applicazioe importate del Corollario 2 è il calcolo dell atitrasformata Zeta el caso o razioale. Esempio 9. Calcolare l atitrasformata Zeta della fuzioe H data da H(z) = 1 z 2 4 e1/z. La fuzioe H è ua trasformata Zeta i quato è aalitica per z > 2 e lim z H(z) = 0. Da (17) si ha allora h 0 = lim z H(z) = 0. 24

25 Per quato riguarda i restati coefficieti h si ha, da (18), h = 1 z 2πj CR 1 z 2 4 e1/z dz (31) dove C R è ua circofereza di cetro l origie, percorsa i seso positivo e di raggio R > 2. Applicado il Teorema dei Residui a (31) si ottiee ( 1) [ ] [ ] z 1 z 1 h = Res z 2 4 e1/z, 0 +Res z }{{} 2 4 e1/z, 2 ( ) [ ] z 1 + Res z 2 4 e1/z, 2. Il calcolo del primo residuo ( ) preseta otevoli difficoltà i quato z = 0 è ua sigolarità esseziale. Il calcolo dell atitrasformata di H può essere affrotato i altro modo osservado che H è il prodotto di due fuzioi F e G, date rispettivamete da F (z) = 1 z 2 4 G(z) = e 1/z. Per il Teorema 1 sia F che G soo, a loro volta, due trasformate Zeta. Posto allora Z 1 {F (z)} = f, Z 1 {G(z)} = g, avedosi H(z) = F (z)g(z) dalla proprietà della covoluzioe discreta si ha h = f g = f k g k. Il problema è pertato ricodotto al calcolo delle atitrasformate di F e di G. L atitrasformata della fuzioe razioale F è stata calcolata ell Esempio 4. Per quato riguarda poi G, è sufficiete ricordare la defiizioe di espoeziale i campo complesso e 1/z = z ! z (z 0). 2! z 25

26 Pertato g = 1!. Esempio 10. Calcolare l atitrasformata Zeta della fuzioe H data da H(z) = z si 1 3z z La fuzioe H è ua trasformata Zeta i quato è aalitica per z > 2 e lim z H(z) = 0. Essedo H o razioale, procediamo come ell esempio precedete. La fuzioe H è ifatti il prodotto delle due fuzioi F e G date da F (z) = z z G(z) = si 1 3z, la prima delle quali è razioale. Etrambe tali fuzioi soo, per il Teorema 1, trasformate Zeta. L atitrasformata {f } della fuzioe F è stata calcolata ell Esempio 5. Per quato riguarda G si ha (z 0) Pertato, posto si ha si 1 3z = z ! 3 3 z ! 3 5 z +. 5 g = Z 1 {G(z)} g = 0 se è pari g 2+1 = ( 1) 1 1 (2 + 1)! L atitrasformata cercata {h } si ottiee allora effettuado la covoluzioe discreta tra le due successioi {f } e {g }. 2.8 Il Teorema del Valore Fiale Aalogamete al Teorema del Valore Iiziale, già visto, che dà ua relazioe tra il comportameto della trasformata Zeta all ifiito e il termie iiziale 26

27 f 0 del campioameto, i alcui casi sussiste ache ua relazioe tra il comportameto all ifiito del campioameto e il valore della trasformata i u puto. Vale ifatti il seguete risultato. Teorema (del valore fiale). Sia {f } ua successioe covergete e- spoezialmete 6. Allora {f } ammette trasformata Zeta e, posto Z{f } = F (z), si ha lim f = lim(z 1)F (z) (32) z 1 dove il limite a secodo membro è iteso el seso che il umero complesso z tede a 1 restado all estero del cerchio di cetro l origie e raggio uitario. Si osservi che la successioe {f } ammette trasformata Zeta i quato, essedo covergete, è limitata e duque R f 1. Pertato il domiio della trasformata o cotiee al proprio itero il puto z = 1 (el caso i cui R f < 1) o ha il puto z = 1 come puto di accumulazioe. I etrambi i casi quidi è lecito calcolare il limite a secodo membro di (32). I particolare, se lim f = l 0, allora (32) diviee lim(z 1)F (z) = l 0. z 1 Teedo coto allora della defiizioe di Residuo, e segue che F ha ecessariamete u polo semplice i z = 1. Notare Bee. Il Teorema del valore fiale richiede, implicitamete, che il raggio di covergeza R f di {f } sia miore o uguale ad 1. Pertato se R f > 1, allora tale Teorema o può essere applicato. Questo è il caso, ad esempio, della fuzioe F (z) = 2(z + 3) 2z 2 13z + 6. Tale fuzioe è ua trasformata Zeta. Essedo z = 1/2 e z = 6 due poli semplici, F è aalitica per z > 6. Allora R f = 6 e il Teorema del valore fiale o può essere applicato. 6 Ricordiamo che ua successioe {f } coverge espoezialmete a l se {f } coverge ad l ed ioltre esistoo due costati positive k, γ tali che per ogi sufficietemete grade si abbia f l ke γ 27

28 2.9 Applicazioi della Trasformata Zeta - Equazioi alle differeze - Teorema del campioameto Il recete sviluppo della tecologia el settore degli elaboratori digitali ha favorito l impiego di modelli discreti ello studio di umerosi problemi fisici, ossia di modelli ei quali le gradezze coivolte soo ote o per ogi valore delle variabili, ma soltato per u isieme discreto di tali valori 7. Spesso tali modelli hao, come legge di equilibrio, equazioi, o sistemi di equazioi, alle differeze. Oltre ai metodi classici impiegati per la loro risoluzioe (metodo matriciale, metodo di ricorreza, ecc.), i molti casi u approccio particolarmete efficace è dato dal metodo della trasformata Zeta. Il vataggio di tale algoritmo cosiste el fatto che esso ricoduce la risolubilità delle equazioi cosiderate a quella di opportue equazioi algebriche. I questo seso quidi svolge ua fuzioe molto simile a quella svolta dalla trasformata di Laplace el caso di sistemi tempo-cotiui, ossia di sistemi modellati da equazioi o sistemi di equazioi differeziali. Si cosideri, ad esempio, la rete RL i Figura 3 e siao rispettivamete R, L i valori della resisteza e dell iduttaza. Sia poi v la f.e.m. applicata e i la correte che percorre il circuito. La legge di equilibrio del circuito aalogico è data dall equazioe differeziale lieare L d i(t) + Ri = v(t). (33) dt L + v i R Figura 3. Circuito RL-serie 7 Nell ambito dell elettroica le gradezze defiite per ogi valore della variabile temporale t soo chiamate aalogiche: le gradezze defiite ivece solo per valori discreti di t soo dette digitali. 28

29 Sia T u itervallo di tempo sufficietemete piccolo; approssimado la derivata di/dt ell istate t = T co il rapporto icremetale all idietro ( ) di i( T ) i( T T ), dt T da (33) si ottiee ossia i(t ) T L i(t ) i(t 1 ) T L L + R T i(t 1) + Ri(t ) v(t ) Posto i = i(t ), v = v(t ), (34) assume la forma i L L + R T i 1 T L + R T v(t ). (34) T L + R T v che è u equazioe alle differeze del primo ordie. Assegata la sequeza di igresso {v }, è possibile risolvere tale equazioe (i.e. determiare la sequeza di uscita {i }) utilizzado varie teciche, tra cui il metodo della trasformata Zeta. Osservado che l equazioe (34) è del tipo: i Ai 1 = Bv, co A, B costati ote e {v } successioe assegata, possiamo applicare la trasformata Zeta ad etrambi i membri, assumedo che {i } e {v } siao z-trasformabili. Posto I(z) = Z{i } e V (z) = Z{v } risulta da cui I(z) A I(z) = BV (z), z I(z) = BzV (z) z A, e atitrasformado si determia la sequeza i uscita {i }. La trasformata Zeta trova u largo impiego o solo ella simulazioe di reti elettriche tramite modelli digitali, ma ache i umerosi altri problemi. Fra essi, di particolare importaza soo quelli coessi co la trasmissioe e 29

30 l elaborazioe di segali digitali. Ricordiamo i proposito che, data ua fuzioe φ (reale o complessa) di variabile reale, si chiama fuzioe campioata o campioameto (di φ), la successioe {φ } = {φ(t )} otteuta campioado la fuzioe φ i ua successioe di istati equispaziati t = T. L ampiezza di tali itervalli prede il ome di itervallo di campioameto. Le fuzioi campioate soo ampiamete utilizzate elle telecomuicazioi per i vataggi che il loro utilizzo comporta e, i questo ambito, la trasformata Zeta si rivela u valido strumeto matematico. Ua proprietà di fodametale importaza delle fuzioi campioate è descritta dal seguete teorema. Teorema (del campioameto). Sia f ua fuzioe trasformabile secodo Fourier e sia F la sua trasformata. Siao ioltre f e F sviluppabili i serie di Fourier i [ L, L], per ogi L > 0. Suppoiamo ifie che F sia a supporto compatto, ossia che esista ua costate B > 0 tale che F (ω) = 0 se ω > 2πB. Sotto queste ipotesi, vale la seguete formula [ π ] f(t) = T + si f(t ) T (t T ) π t T = (35) dove T = 1/(2B). L importaza di tale risultato è evidete. Ifatti da (35) e segue che la fuzioe f è ota o appea siao oti i valori f(t ) che tale fuzioe assume egli istati T. I altre parole, è possibile stabilire ua corrispodeza biuivoca tra le fuzioi verificati le ipotesi del Teorema e u loro campioameto, effettuato i istati di tempo equispaziati. Nell ambito delle telecomuicazioi, tale corrispodeza biuivoca è di otevole importaza, i quato cosete la trasmissioe di segali i forma campioata, seza perdita di iformazioi e la formula (35) permette di ricostruire il segale da u suo campioameto. A ciò si aggiuga il fatto che la trasmissioe di 30

31 segali i forma campioata è molto più agevole di quella di segali aalogici. Nel Teorema precedete l ipotesi cruciale è la seguete F (ω) = 0 per ω 2πB. I altre parole la corrispodeza biuivoca tra segali e loro campioameti ecessita della codizioe che f deve avere spettro ullo al di fuori della bada di pulsazioi [ 2πB, 2πB]. La trasformata Zeta viee utilizzata ache i altre applicazioi, di atura igegeristica e o. Esempi i tal seso si trovao ello studio di processi di cotrollo, ell impiego di filtri digitali, ella teoria delle atee, ell aalisi di reti a scala, i svariati problemi di ottimizzazioe, i questioi di ecoomia, ecc. La trasformata Zeta iterviee ioltre ache ella risolubilità di alcue classi di equazioi differeziali alle differeze, che modellao problemi fisici i cui soo preseti elemeti co memoria. Per tutte queste applicazioi, riviamo ai corsi relativi Esempi ed esercizi Esempio 11. Calcolare la trasformata Zeta della successioe {f } data da { e se = 0, 2, 4,... f = (36) 0 se = 1, 3, 5,... Calcoliamo il raggio di covergeza R f. Avedosi { e 1 > 0, pari f = 0 dispari da (10) si ha R f = e 1. Applicado la defiizioe e osservado che tutti i termii di posto dispari soo ulli, si ha Z{f } = = f z = =0 f 2k z 2k 2ke 2k z 2k. 31

32 Poedo w = z 2 si ottiee Z{f } = 2 ke 2k w k. Ci siamo perciò ricodotti al calcolo della trasformata Zeta della successioe {ke 2k }. Avedosi, per w > 1, w Z{k} = (w 1) 2 applicado la proprietà dello smorzameto si ha da cui ifie Z{ke 2k } = we 2, se w > (e 2 e 2 w 1) 2 z 2 e 2 Z{f } = 2 (37) (e 2 z 2 1) 2 co z > e 1, i accordo co il valore di R f otteuto prima. La trasformata Zeta della successioe (36) può essere calcolata ache co altre teciche. Ad esempio cosiderado la successioe ausiliaria {h } data da { 1 pari h = 0 dispari. Itrodotta tale successioe, si ha f = e h, = 0, 1, 2,... e quidi il problema è, i defiitiva, ricodotto al calcolo della trasformata di {h }. Si ha Z{h } = h z = z z + 4 =0 1 z2 = = se z > 1. 1 z 2 z 2 1 Applicado le proprietà dello smorzameto e della moltiplicazioe per (l ordie è idifferete) si ha ifie ( z > e 1 ) da cui la (37). Z{f } = Z{e h } = z d dz 32 (ze) 2 z 2 e 2 1

33 Esempio 12. Calcolare la trasformata Zeta della successioe {f } data da se è pari, 8 f = 0 se è dispari e se = 8. Per quato riguarda il raggio di covergeza, si ha facilmete R f = 1. Per quato riguarda il calcolo di Z{f }, la successioe {f } può essere pesata come somma di due successioi {g } e {h } date rispettivamete da { se è pari g = 0 se è dispari { 8 + e se = 8 h = 0 altrimeti. Ifatti si ha f = g + h, = 0, 1, 2,... Il calcolo della trasformata è quidi ricodotto al calcolo delle due trasformate Z{g }, Z{h }. Dalla defiizioe si ha subito Ioltre Z{g } = Z{h } = 8 + e z 8. g z = =0 2kz 2k = 2 kz 2k. Poedo allora w = z 2 e applicado la proprietà della moltiplicazioe per, si ha Z{g } = 2 k = 2w (w 1) 2. kw k = 2w d dw w w 1 Pertato Z{f } = 2z 2 (z 2 1) e. 2 z 8 33

34 Si osservi che il cambiameto di variabile w = z 2 è suggerito dal successivo impiego della proprietà della moltiplicazioe per. Si faccia attezioe ifatti che 2 kz 2k o è uguale a 2z d dz z 2k. Esempio 13. Calcolare la trasformata Zeta della successioe {f } data da e se = 0, 4, 8, 12,... f = se = 1, 3, 5, 7,... 0 altrimeti. Per quato riguarda il raggio di covergeza, avedosi e se = 4, 8, 12,... f = se = 1, 3, 5,... 0 altrimeti da (10) si ha subito R f = e. Ioltre pertato Z{f } = f z = f 4k z 4k + (2k + 1)z 2k 1 =0 Z{f } = e 4k z 4k + 2z 1 kz 2k + z 1 z 2k. Poedo w = z 4 ella prima sommatoria e v = z 2 ella secoda e ella terza si ha Z{f } = e 4k w k + 2z 1 kv k + z 1 ossia Z{f } = w w e + v 4 2z 1 (v 1) + v 2 z 1 v 1 34 v k

35 da cui Z{f } = z4 z 4 e + z3 + z 4 (z 2 1). 2 Esercizi. Calcolare la trasformata Zeta dei segueti campioameti, determiado ache il raggio di covergeza. f = e γ, γ C : F (z) = ze γ (z e γ ) 2 f = ( 1) e 6 : F (z) = ze6 (ze 6 + 1) 2 f = e 7 si(4) : F (z) = ze7 si 4(z 2 e 14 ) (z 2 2ze 7 cos 4 + e 14 ) 2 f = ( 1) e 2 si(3) { 4 se è pari 8z 2 f = : F (z) = 0 se è dispari (z 2 1) ; { 2 0 se è pari e 3 f = e 3 : F (z) = se è dispari z(1 e 6 z 2 ) ; { 2 se è pari f = 3 se è dispari e 3 se = 0, 5, 10, 15, 20,... 2 se = 1, 6, 11, 16, 21,... f = se = 2, 7, 12, 17, 22,... 0 altrimeti π se = 3k, k N f = se = 3k + 1, k N. 2 se = 3k + 2, k N 35