Informazioni generali

Transcript

1 Informazioni generali Corso di Geometria e Algebra Corsi di Laurea in Ing. Ambientale e Civile. Docente: Prof. Ing. Andrea Ratto Ordinario di Geometria e Algebra Il Ricevimento studenti avviene nello studio del docente situato presso il Biennio di Matematica di Viale Merello. L orario Ufficiale di Ricevimento durante il periodo delle lezioni (secondo semestre) è: Lunedì ore (se l accesso al Biennio è chiuso, telefonare allo ). oppure: pausa tra ore di lezione o alla fine delle lezioni; oppure: appuntamento mediante (con oggetto) a rattoa@unica.it 1 / 28

2 2 / 28 Informazioni generali Orario delle Lezioni: Martedì ore Mercoledì ore Venerdì ore Tutor: Ing. Francesco Arrai, dettagli da definire.

3 3 / 28 Informazioni generali Materiale didattico in formato pdf, scaricabile direttamente dal sito del Docente: rattoa (1) conoscenze-preliminari.pdf (2) Libro-geometria.pdf (3) eserciziario-geometria-ratto.pdf (4) geometria-euclidea-e-trigonometria.pdf (5) compiti d esame assegnati negli anni accademici precedenti

4 4 / 28 Il materiale a disposizione nasce da rielaborazione di contenuti presenti in : Matematica per le Scuole di Architettura Autori: A. Ratto e A. Cazzani Casa Editrice: Liguori, Napoli, e Matematica: 2 3 capitoli per tutti Autori: S. Montaldo e A. Ratto Casa Editrice: Liguori, Napoli, 2011.

5 MODALITÀ D ESAME 5 / 28 Esame scritto (a partire da giugno) su tutti gli argomenti del corso (Si veda: rattoa/didatticaweb/didattica.htm) oppure Due prove parziali che si terranno rispettivamente nei giorni: 24 Aprile, 31 Maggio. Nota: per partecipare alla seconda prova è necessario aver ottenuto un voto sufficiente nella prima.

6 STRUTTURA DEL CORSO 6 / 28 Secondo semestre, 70 ore, corrispondenti a 7 CFU. Conoscenze preliminari.. Argomenti del corso: GEOMETRIA ANALITICA NELLO SPAZIO, NUMERI COMPLESSI, ALGEBRA LINEARE (con applicazioni dell algebra lineare allo studio di CONICHE)

7 Conoscenze preliminari Teoria degli insiemi e linguaggio matematico Assi cartesiani e coordinate dei punti Concetto di funzione e grafici di funzioni Funzioni trigonometriche fondamentali Potenze (anche radici quadrate, cubiche etc.), esponenziali, logaritmi Calcolo algebrico e polinomi Geometria analitica nel piano Nota : Argomenti trattati nel corso di Analisi Matematica 1. 7 / 28

8 8 / 28 CONTENUTI DEL CORSO 0: PRELIMINARI, CALCOLO ALGEBRICO, POLINOMI (approx. 4 ore) 1: VETTORI E GEOMETRIA EUCLIDEA NELLO SPAZIO (con CENNI a CURVE e SUPERFICI..) (approx. 20 ore) 2: NUMERI COMPLESSI (approx. 7 ore) 3: MATRICI (ALGEBRA LINEARE)(approx. 7 ore) 4: SISTEMI LINEARI (approx. 7 ore) 5: DIAGONALIZZAZIONE (approx. 10 ore) 6: CONICHE E QUADRICHE (approx. 10 ore) 7: Esercizi tipo esame (approx. 5 ore)

9 Insiemi e Linguaggio Matematico 9 / 28 Conviene considerare il concetto di insieme come primitivo, cioè non riconducibile a nozioni più elementari. Più precisamente: Un insieme è una collezione di oggetti, determinati e distinti, della nostra percezione o del nostro pensiero, concepiti come un tutto unico.

10 Insiemi e Linguaggio Matematico 10 / 28 Generalmente, indichiamo gli insiemi con le lettere maiuscole A,B,C,D, mentre per i suoi elementi useremo le lettere minuscole a,b,c,d, Se a è un elemento di A scriviamo a A (a appartiene a A) Se invece b non appartiene a A, si scrive: b / A

11 Insiemi e Linguaggio Matematico 11 / 28 Quando un insieme A possiede un numero finito di elementi, chiameremo questo numero cardinalità di A, e lo indicheremo con il simbolo: #(A)=numero degli elementi dell insieme A Inoltre sono di uso comune i seguenti simboli : significa tale che significa esiste significa per ogni significa implica significa equivalente

12 Insiemi e Linguaggio Matematico 12 / 28 Un insieme si può definire esibendo i suoi elementi: Esempio: l insieme A dei numeri naturali da 0 a 5 si scrive come A={0,1,2,3,4,5} (1) In questo esempio #(A)=6.

13 Insiemi e Linguaggio Matematico 13 / 28 Alternativamente, un insieme può essere definito a partire da una proprietà comune a tutti i suoi elementi: Esempio: Denotiamo con N l insieme dei numeri naturali: ovvero N={0,1,2,...,n,...}. Allora l insieme A definito precedentemente in (1) si può ridefinire, in modo equivalente, come A={n N : n 5}.

14 Insiemi e Linguaggio Matematico 14 / 28 L insieme privo di elementi si chiama insieme vuoto e si indica con /0. Esempio: si consideri l insieme A formato da tutti i numeri naturali simultaneamente maggiori e minori di 5: A={n N : n>5en<5}= /0

15 Insiemi e Linguaggio Matematico 15 / 28 Si considerino gli insiemi Si ha A={a,b,c,d}, B={a,b,d}. x B x A. Questo può essere riscritto nel modo seguente: B A e dice che l insieme B è contenuto nell insieme A. Osservazione: A=B (B A e A B)

16 Insiemi numerici fondamentali 16 / 28 I numeri naturali N={0,1,2,...,n,...} I numeri interi Z={..., 2, 1,0,1,2,...} I numeri razionali { m } Q= n : m,n Z, n 0, m e n sono primi tra loro primi tra loro vuol dire M.C.D.(m,n)=1

17 17 / 28 Operazioni tra insiemi Unione: A B={x : x A oppure x B} Intersezione: A B={x : x A e x B} Differenza: A\B={x A : x / B}

18 Complementare 18 / 28 Sia A B il complementare di A rispetto a B è: C B (A)={x B : x / A} Esempio: A={1,2,3,5,7} B={1,2,3,5,7,9,11} C B (A)={9,11}

19 I numeri reali 19 / 28 Un insieme numerico fondamentale è quello dei numeri reali indicati con R Una definizione formalmente rigorosa dell insieme dei numeri reali richiede conoscenze matematiche avanzate.

20 I numeri reali 20 / 28 Qui ci accontentiamo di dire che operativamente possiamo identificare l insieme dei numeri reali R con i punti di una retta su cui sono fissati l origine O, corrispondente al valore 0, l unità di misura u ed il verso. u π 2, π / Q I numeri reali non razionali si chiamano irrazionali

21 Concetto di funzione 21 / 28 Siano A, B due insiemi Definizione: Una funzione f : A B è una legge che a ogni elemento a A associa un unico elemento b B. Si scrive f(a)=b b si chiama immagine di a attraverso f L insieme A è detto dominio di f L insieme B si chiama codominio di f

22 Esempio 22 / 28 Siano A={a, b, c, d}, B={1, 2, 3} Definiamo f : A B come f(a)=1, f(b)=2, f(c)=1, f(d)=2

23 Rappresentazione di una funzione mediante diagramma 23 / 28 f(a)=1, f(b)=2, f(c)=1, f(d)=2 a b c d A B

24 Funzioni surgettive 24 / 28 Definizione: Sia f : A B una funzione. Diremo che f è surgettiva se: y B, x A t.c. f(x)=y

25 Funzioni iniettive 25 / 28 Definizione: Sia f : A B una funzione. Diremo che f è iniettiva se: x 1,x 2 A (f(x 1 )=f(x 2 )) (x 1 = x 2 ) Nota: Equivalentemente, se x 1,x 2 A (x 1 x 2 ) (f(x 1 ) f(x 2 )) Definizione: Una funzione f : A B si dice bigettiva (o corrispondenza biunivoca) se è iniettiva e surgettiva.

26 Logica Matematica 26 / 28 Un esempio classico di uso della logica matematica è lo sviluppo della geometria euclidea a partire da un insieme finito di postulati. In generale, possiamo dire che, fin dall antichità (Aristotele), lo studio della logica è andato di pari passo con il progresso nelle scienze matematiche e nella filosofia della scienza (Leibnitz). Più recenti, determinanti contributi vanno attribuiti a G.Boole, D. Hilbert, B.Russell e K.Gödel. Attualmente, gli studi su linguaggi formali, teoria dei modelli e fondamenti della computazione collegano questo ramo della matematica alle moderne ricerche di ingegneria del software.

27 Concetto di proposizione 27 / 28 Definizione: Una proposizione è un affermazione per la quale si può stabilire se è vera (V) o falsa (F). Principali connettivi logici: (non) (oppure) (e) (implica) (equivalente) I connettivi logici possono essere utilizzati per formare proposizioni più complesse..(concetto di tavola di verità vedi materiale didattico: conoscenze preliminari pag.11 e seguenti).

28 28 / 28 Tecniche di dimostrazione Una dimostrazione matematica può essere: diretta; per contrapposizione; per assurdo; per induzione.